"Decizia ecuațiilor raționale fracționate". Ecuații raționale

T. Kosyakova,
Școala nr. 80, Krasnodar

Soluția de ecuații raționale pătrate și fracționate care conțin parametri

Lecția 4.

Tema Lecția:

Scopul lecției:formând capacitatea de a rezolva ecuațiile raționale fracționate care conțin parametri.

Tipul lecției: Introducere materiale noi.

1. (oral.) Decideți ecuațiile:

Exemplul 1.. Decideți ecuația

Decizie.

Găsiți valori nevalide a.:

Răspuns. În cazul în care un în cazul în care un a. = – 19 , fără rădăcini.

Exemplul 2.. Decideți ecuația

Decizie.

Găsiți valori de parametri nevalide a. :

10 – a. = 5, a. = 5;

10 – a. = a., a. = 5.

Răspuns. În cazul în care un a. = 5 a. № 5 T. x \u003d 10- a. .

Exemplul 3.. Sub ce valori ale parametrului b. ecuația Are:

a) două rădăcini; b) Singura rădăcină?

Decizie.

1) Găsiți valori nevalide ale parametrilor b. :

x \u003d. b., b. 2 (b. 2 – 1) – 2b. 3 + b. 2 = 0, b. 4 – 2b. 3 = 0,
b. \u003d 0 sau b. = 2;
x \u003d 2, 4 ( b. 2 – 1) – 4b. 2 + b. 2 = 0, b. 2 – 4 = 0, (b. – 2)(b. + 2) = 0,
b. \u003d 2 sau b. = – 2.

2) Ecuația soluțiilor X 2 ( b. 2 – 1) – 2b. 2 x +. b. 2 = 0:

D \u003d 4. b. 4 – 4b. 2 (b. 2 - 1), d \u003d 4 b. 2 .

dar)

Excluderea valorilor parametrilor nevalide b. , obținem că ecuația are două rădăcini dacă b. № – 2, b. № – 1, b. № 0, b. № 1, b. № 2 .

b) 4b. 2 = 0, b. = 0, dar aceasta este o valoare nevalidă a parametrului b. ; în cazul în care un b. 2 –1=0 , adică b.=1 sau.

Răspuns: a) Dacă b. № –2 , b. № –1, b. № 0, b. № 1, b. № 2 , apoi două rădăcini; b) dacă b.=1 sau b \u003d -1. , atunci singura rădăcină.

Muncă independentă

Opțiunea 1

Decideți ecuațiile:

Opțiunea 2.

Decideți ecuațiile:

Răspunsuri

ÎN 1. ce-ar fi dacă a.=3 , fără rădăcini; în cazul în care un b) Dacă a. № 2 , fără rădăcini.

La 2. În cazul în care un a.=2 , fără rădăcini; în cazul în care un a.=0 , fără rădăcini; în cazul în care un
b) dacă a.=– 1 , ecuația își pierde semnificația; Dacă nu există rădăcini;
în cazul în care un

Sarcină acasă.

Decideți ecuațiile:

Răspunsuri: a) Dacă a. № –2 T. x \u003d. a. ; în cazul în care un a.=–2 , atunci nu există soluții; b) dacă a. № –2 T. x \u003d 2. ; în cazul în care un a.=–2 , atunci nu există soluții; c) dacă a.=–2 T. x. - orice număr cu excepția 3 ; în cazul în care un a. № –2 T. x \u003d 2. ; d) dacă a.=–8 , fără rădăcini; în cazul în care un a.=2 , fără rădăcini; în cazul în care un

Lecția 5.

Tema Lecția: "Soluția ecuațiilor raționale fracționate care conțin parametri".

Obiective Lecția:

Învățarea de a rezolva ecuațiile cu condiție non-standard;
Conștient asimilați elevii de concepte algebrice și conexiuni între ele.

Tipul lecției: Sistematizare și generalizări.

Verificați-vă temele.

Exemplul 1.. Decideți ecuația

a) relativ la x; b) în raport cu y.

Decizie.

a) găsiți valori inacceptabile y.: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 -2y,

y \u003d 0. - Valoarea nevalidă a parametrului Y..

În cazul în care un y.№ 0 T. x \u003d Y-2 ; în cazul în care un y \u003d 0. , Ecuația își pierde semnificația.

b) Vom găsi valori ale parametrilor nevalide x.: y \u003d x, 2x-x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - Valoarea nevalidă a parametrului x.; y (2 + x-y) \u003d 0, y \u003d 0 sau y \u003d 2 + x;

y \u003d 0. Nu satisface condiția y (y-x)№ 0 .

Răspuns: a) Dacă y \u003d 0. , ecuația își pierde semnificația; în cazul în care un y.№ 0 T. x \u003d Y-2 ; b) dacă x \u003d 0. x.№ 0 T. y \u003d 2 + x .

Exemplul 2.. La ce valori ale parametrului o rădăcină a ecuației aparțin decalajului

D \u003d (3 a. + 2) 2 – 4a.(a. + 1) · 2 \u003d 9 a. 2 + 12a. + 4 – 8a. 2 – 8a.,

D \u003d ( a. + 2) 2 .

În cazul în care un a. № 0 sau a. № – 1 T.

Răspuns: 5 .

Exemplul 3.. Găsiți un relativ x. Soluții de ecuație

Răspuns. În cazul în care un y \u003d 0. , ecuația nu are sens; în cazul în care un y \u003d -1. T. x. - orice alt număr decât zero; în cazul în care un Y 0, Y. - 1, Nu am soluții.

Exemplul 4. Decideți ecuația cu parametri a. și b. .

În cazul în care un a.№ - B. T.

Răspuns. În cazul în care un a \u003d.0 sau b \u003d.0 , ecuația își pierde semnificația; în cazul în care un a.№ 0, B.№ 0, a \u003d -b T. x. - orice număr cu excepția zero; în cazul în care un a.№ 0, B.№ 0, A.№ -B, acea x \u003d -a, x \u003d -b .

Exemplul 5.. Dovedește că cu orice valoare a parametrului n, diferită de zero, ecuația are singura rădăcină egală - N. .

Decizie.

adică x \u003d -N. După cum este necesar pentru a dovedi.

Sarcină acasă.

1. Găsiți întreaga soluție a ecuației

2. La ce valori ale parametrului c. ecuația Are:
a) două rădăcini; b) Singura rădăcină?

3. Găsiți toate rădăcinile întregi ale ecuației în cazul în care un a.DESPRE N. .

4. Decideți ecuația 3xy - 5x + 5Y \u003d 7:a) Despre y. ; b) Despre x. .

1. Ecuația satisface orice valori egale întregi x și y altele decât zero.
2. A) Când
b) la sau
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) dacă rădăcinile nu sunt; în cazul în care un
b) dacă nu există rădăcini; în cazul în care un

Test

Opțiunea 1

1. Determinați tipul de ecuație 7C (C + 3) x 2 + (C-2) X-8 \u003d 0 Cu) c \u003d -3. ; b) C \u003d 2; în) c \u003d 4. .

2. Decideți ecuația: a) x 2 -bx \u003d 0; b) cx 2 -6x + 1 \u003d 0 ; în)

3. Decideți ecuația 3x-xy-2y \u003d 1:

a) Despre x. ;
b) Despre y. .

Nx 2 - 26x + n \u003d 0, Știind că parametrul n ia doar valori întregi.

5. Sub ce valori B ecuația are:

a) două rădăcini;
b) Singura rădăcină?

Opțiunea 2.

1. Determinați tipul de ecuație 5C (C + 4) x 2 + (C-7) x + 7 \u003d 0 Cu) C \u003d -4; b) C \u003d 7; în) c \u003d 1. .

2. Decideți ecuația: a) Y 2 + CY \u003d 0; b) NY 2 -8Y + 2 \u003d 0; în)

3. Decideți ecuația 6x-xy + 2Y \u003d 5:

a) Despre x. ;
b) Despre y. .

4. Găsiți ecuația tuturor rădăcinilor nx 2 -22x + 2N \u003d 0, Știind că parametrul n ia doar valori întregi.

5. La ce valori ale parametrului este o ecuație are:

a) două rădăcini;
b) Singura rădăcină?

Răspunsuri

ÎN 1. 1. a) ecuația liniară;
b) ecuația pătrată incompletă; c) ecuația pătrată.
2. a) Dacă b \u003d 0. T. x \u003d 0. ; în cazul în care un b de timp 0. T. x \u003d 0, x \u003d b;
b) în cazul în care un cO (9; + ґ) , fără rădăcini;
c) dacă a.=–4 , ecuația își pierde semnificația; în cazul în care un a.№ –4 T. x \u003d - - a. .
3. a) Dacă y \u003d 3. , fără rădăcini; în cazul în care un);
b) a.=–3, a.=1.

Sarcini suplimentare

Decideți ecuațiile:

Literatură

1. Golubev V.I., Goldman a.m., Dorofeyev G.V. Despre parametrii de la început. - Tutor, nr. 2/1991, p. 3-13.
2. Gronostein P.I., Polononky V.B., Yakir M.S. Condiții preliminare în sarcini cu parametri. - QUPT, nr. 11/1991, p. 44-49.
3. Dorofeyev G.V., Zatakai V.V. Rezolvarea sarcinilorconținând parametri. Partea 2. - M., perspectivă, 1990, p. 2-38.
4. Tynyakin s.a. Cinci sute de paisprezece sarcini cu parametri. - Volgograd, 1991.
5. Yarstassicky g.a. Sarcini cu parametri. - M., Iluminare, 1986.

Ecuații fracționate. Ciudat

Atenţie!
Acest subiect are suplimentar
Materiale într-o secțiune specială 555.
Pentru cei care sunt puternic "nu foarte ..."
Și pentru cei care sunt "foarte ...")

Continuăm să explorăm ecuațiile. Suntem deja conștienți de modul de a lucra cu ecuațiile liniare și pătrate. Ultima viziune a rămas - ecuații fracționate. Sau sunt, de asemenea, numite mult mai solide - ecuații raționale fracționate. Asta e lafel.

Ecuații fracționate.

Ca în mod clar din nume, fracțiunile sunt neapărat prezente în aceste ecuații. Dar nu doar o fracțiune și fraza care au necunoscut în numitor. Cel puțin într-unul. De exemplu:

Permiteți-mi să vă reamintesc dacă numai în numitori numereAcestea sunt ecuații liniare.

Cum să decideți ecuații fracționate? Mai întâi de toate - scapă de fracțiuni! După aceea, ecuația se transformă cel mai adesea în liniară sau pătrată. Și apoi știm ce să facem ... În unele cazuri se poate transforma în identitate, tip 5 \u003d 5 sau o expresie incorectă, tipul 7 \u003d 2. Dar se întâmplă rar. Mai jos vorbesc despre asta.

Dar cum să scapi de fracțiuni!? Foarte simplu. Aplicând toate aceleași conversii de identitate.

Trebuie să mulăm înmulți toate ecuațiile pentru aceeași expresie. Astfel încât toți numitorii să fie liniștiți! Totul va fi mai ușor imediat. Vă explic despre exemplul. Să avem nevoie să rezolvăm ecuația:

Cum ați învățat în clasele junior? Noi purtăm totul într-o singură direcție, duceți la un numitor comun etc. Uitați cum un vis teribil! Deci, trebuie să faceți atunci când pliați sau deduce expresii fracționate. Sau lucrați cu inegalități. Și în ecuații, multiplicăm imediat ambele părți asupra expresiei care ne vor da ocazia de a reduce toți numitorii (adică, în esență, asupra denominatorului general). Și care este această expresie?

În partea stângă pentru a reduce numitorul, este necesară multiplicarea x + 2. . Și în dreptul de multiplicare necesară de 2. Deci, ecuația trebuie să fie înmulțită cu 2 (x + 2). Multiplica:

Aceasta este multiplicarea obișnuită a fracțiilor, dar voi scrie în detaliu:

Notă, încă nu dezvăluie suportul (x + 2)Fotografiile! Deci, voi scrie în întregime:

În partea stângă este redusă în întregime (x + 2), și în dreapta 2. Ce a fost necesar! După tăiere, ajungem liniar ecuația:

Și această ecuație va decide deja pe oricine! x \u003d 2..

Eu decid un alt exemplu, puțin mai complicat:

Dacă vă amintiți că 3 \u003d 3/1, și 2x \u003d 2x /1, puteți scrie:

Și din nou, scăpăm de ceea ce nu ne place foarte mult - de la fracțiuni.

Vedem că pentru a reduce numitorul cu Xa, trebuie să multiplicați fracțiunea (X - 2). Și unități pe care nu le intervin. Ei bine, multiplicați. Toate Partea stângă a I. toate Partea dreaptă:

Deasupra paranteze (X - 2) Nu dezvăluie. Lucrez cu un suport ca un întreg, ca și cum ar fi un număr! Deci, ar trebui să faceți întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.

Cu un sentiment de reducere profundă a satisfacției (X - 2) Și obținem ecuația fără fracțiuni, în linii!

Dar acum dezvăluim deja parantezele:

Dăm aceste lucruri, transferăm totul la stânga și obținem:

Dar înainte de a învăța alte sarcini să decidem. La sută. Cele mai multe greble, apropo!

Dacă vă place acest site ...

Apropo, am un alt cuplu de site-uri interesante pentru tine.)

Acesta poate fi accesat în rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testarea cu verificarea instantanee. Aflați - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu caracteristici și derivați.

"Decizia ecuațiilor raționale fracționate"

Obiective Lecția:

Educational:

Formarea conceptului de ecuație rațională fracționată; Luați în considerare diverse modalități de a rezolva ecuațiile raționale fracționate; Luați în considerare algoritmul pentru soluționarea ecuațiilor raționale fracționate, inclusiv starea egalității fracțiunii din zero; Învățați soluții de ecuații raționale fracționate asupra algoritmului; Verificați nivelul de asimilare a subiectului prin efectuarea lucrărilor de testare.

În curs de dezvoltare:

Dezvoltarea capacității de a opera corect cunoștințele dobândite, să se gândească logic; Dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiunilor mentale - analiza, sinteza, compararea și generalizarea; Dezvoltarea inițiativei, capacitatea de a lua decizii, să nu stabilească pe îndeplinirea; dezvoltarea gândirii critice; Dezvoltarea abilităților de cercetare.

Ridicarea:

sarcină

Tipul de lecție: Lecția - Explicarea noului material.

În timpul clasei

1. Momentul organizațional.

Buna baieti! Pe tablă au scris ecuațiile. Uită-te cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Ce nu și de ce?

Ecuațiile în care partea stângă și dreaptă sunt expresii raționale fracționate, se numesc ecuații raționale fracționate. Ce credeți că vom învăța astăzi în lecție? Cuvânt subiectul lecției. Deci, deschidem notebook-ul și scriem subiectul lecției "Decizia ecuațiilor raționale fracționate".

2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, munca orală cu clasa.

Și acum vom repeta principalul material teoretic pe care trebuie să-l studiați subiect nou. Te rugăm să răspunzi la următoarele întrebări:

1. Care este ecuația? ( Egalitatea cu variabilă sau variabilă.)

2. Care este numele de ecuație numărul 1? ( Liniar.) O metodă de rezolvare a ecuațiilor liniare. ( Toate cu necunoscute pentru a transfera în partea stângă a ecuației, toate numerele au dreptate. Creați componente similare. Găsiți un multiplicator necunoscut).

3. Care este numele de ecuație numărul 3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuațiilor pătrate. ( Selectarea unui pătrat complet, conform formulelor care utilizează teorema Vieta și consecințele acesteia.)

4. Care este proporția? ( Egalitatea a două relații.) Proprietatea de bază. ( Dacă proporția este adevărată, atunci produsul membrilor săi extreme este egal cu produsul membrilor medii.)

5. Ce proprietăți sunt utilizate la rezolvarea ecuațiilor? ( 1. Dacă în ecuația de a transfera termenul de la o parte la alta, schimbarea semnului său, atunci ecuația este echivalentă cu aceasta. 2. Dacă ambele părți ale ecuației se înmulțesc sau se împart în același număr diferit de zero, ecuația este echivalentă cu acest lucru.)

6. Când fracțiunea este zero? ( Fracțiunea este zero când număratorul este zero, iar numitorul nu este zero.)

3. Explicarea noului material.

Rezolva în notebook-uri și pe numărul de ecuație a consiliului 2.

Răspuns: 10.

Ce ecuație fracțională rațională poate fi încercată să decidă utilizarea proprietății de bază a proporției? (№5).

(x - 2) (x-4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x2-4x-2x + 8 \u003d x2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x \u003d 6-8

Rezolva în notebook-uri și pe numărul de ecuație al consiliului 4.

Răspuns: 1,5.

Ce fel de ecuație rațională fracționată poate fi încercată pentru a rezolva, multiplicând ambele părți ale ecuației asupra numitorului? (№6).

D \u003d 1\u003e 0, x1 \u003d 3, x2 \u003d 4.

Răspuns: 3;4.

Acum încercați să rezolvați numărul 7 în unul din modurile.


(x2-2x-5) x (x-5) \u003d x (x-5) (x + 5)
(x2-2x-5) x (X-5) -H (X-5) (x + 5) \u003d 0
x (x-5) (x2-2x-5- (x + 5)) \u003d 0			x2-2x-5-X-5 \u003d 0
x (X-5) (x2-3x-10) \u003d 0
x \u003d 0 x-5 \u003d 0 x2-3x-10 \u003d 0
x1 \u003d 0 x2 \u003d 5 d \u003d 49

Răspuns: 0;5;-2.			Răspuns: 5;-2.

Explicați de ce sa întâmplat? De ce într-un caz trei rădăcini, în cealaltă - două? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționate?

Până în prezent, elevii nu s-au întâlnit cu conceptul de rădăcină străină, sunt foarte greu de înțeles de ce sa întâmplat. Dacă nimeni nu poate oferi o explicație clară pentru această situație în sala de clasă, atunci profesorul solicită întrebări de conducere.

În ecuațiile numărul 2 și 4 în numărul numitorului, nr. 5-7 - expresii cu o variabilă

Valoarea variabilei în care ecuația contestă la egalitatea corectă

Faceți cec.

La verificarea, unii studenți observă că trebuie să împărtășiți la zero. Ei concluzionează că numerele 0 și 5 nu sunt rădăcinile acestei ecuații. Întrebarea apare: Există o modalitate de a rezolva ecuațiile raționale fracționate, permițând excluderea acestei erori? Da, această metodă se bazează pe starea egalității de fracțiune zero.

x2-3x-10 \u003d 0, d \u003d 49, x1 \u003d 5, x2 \u003d -2.

Dacă x \u003d 5, x (x-5) \u003d 0, apoi o rădăcină 5-străină.

Dacă x \u003d -2, apoi x (x-5) ≠ 0.

Răspuns: -2.

Să încercăm să formulăm algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționate prin această metodă. Copiii înșiși formulează un algoritm.

Algoritmul de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționate:

1. Pentru a transfera totul în partea stângă.

2. Creați o fracțiune pentru un numitor comun.

3. Efectuați un sistem: Fracțiunea este zero, când număratorul este zero, iar numitorul nu este zero.

4. Rezolvați ecuația.

5. Verificați inegalitatea pentru a elimina rădăcinile străine.

6. Înregistrați răspunsul.

Discuție: Cum se face o soluție dacă se utilizează proprietatea principală a proporției și multiplicarea ambelor părți ale ecuației asupra numitorului general. (Pentru a adăuga o decizie: pentru a exclude de la rădăcinile sale care transformă în zero un numitor comun).

4. Înțelegerea primară a unui nou material.

Lucrați în perechi. Elevii aleg metoda de rezolvare a ecuației în funcție de tipul de ecuație. Sarcini din manualul "Algebra 8", 2007: № 000 (B, B și); № 000 (A, D, G). Profesorul controlează îndeplinirea sarcinii, răspunde la problemele care au apărut, ajută studenții slabi vorbind. Auto-test: Răspunsurile sunt scrise pe tablă.

b) 2 - o rădăcină străină. Răspuns: 3.

c) 2 - rădăcină străină. Răspuns: 1.5.

a) Răspuns: -12.5.

g) Răspuns: 1; 1,5.

5. Manipularea temelor.

2. Pentru a afla algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționate.

3. Rezolvarea în notebook-uri № 000 (A, G, D); № 000 (G, H).

4. Încercați să rezolvați № 000 (A) (opțional).

6. Efectuați sarcina de control pe subiectul studiat.

Munca este efectuată pe frunze.

Un exemplu de sarcină:

A) Ce ecuații sunt raționale fracționate?

B) Fracțiunea este zero, când numitorul ______________________ și numitorul _______________________.

C) este numărul -3 rădăcină a numărului de ecuație 6?

D) rezolvați numărul de ecuație 7.

Criterii de evaluare a sarcinilor:

"5" este plasat dacă studentul a îndeplinit mai mult de 90% din sarcină. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" este ridicată de un student care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină. Rating 2 Jurnale nu este pus, 3 - la Will.

7. Reflecție.

La frunze cu muncă independentă, loc:

1 - Dacă ați fost interesat de lecție și de înțeles; 2 - Interesant, dar nu poate fi de înțeles; 3 - Nu este interesant, dar ușor de înțeles; 4 - Nu este interesant, nu este clar.

8. Rezumarea lecției.

Deci, astăzi la lecție, ne-am întâlnit cu ecuații raționale fracționate, am învățat cum să rezolvăm aceste ecuații în diferite moduri, ne-am verificat cunoștințele folosind predarea muncă independentă. Rezultatele muncii independente pe care le veți învăța în următoarea lecție, veți avea ocazia de a consolida cunoștințele dobândite.

Ce metodă de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționate, în opinia dvs., este mai ușoară, accesibilă, rațională? Nu în funcție de metoda de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționate, ce ar trebui să nu uit? Care este "viclenia" ecuațiilor raționale fracționate?

Mulțumesc tuturor, lecția sa terminat.

Ecuațiile cu fracțiunile în sine nu sunt dificile și foarte interesante. Luați în considerare vizionările ecuații fracționate Și cum să le rezolvăm.

Cum de a rezolva ecuațiile cu fracțiuni - x într-un numitor

În cazul în care este dată o ecuație fracționată, în cazul în care necunoscutul este într-un numitor, soluția nu necesită condiții suplimentare și este rezolvată fără probleme inutile. Forma generală O astfel de ecuație este X / A + B \u003d C, unde X este necunoscut, a, b și c - numere obișnuite.

Găsiți X: X / 5 + 10 \u003d 70.

Pentru a rezolva ecuația, trebuie să scapi de fracțiuni. Înmulțiți fiecare membru al ecuației cu 5: 5x / 5 + 5 × 10 \u003d 70 × 5. 5x și 5 sunt reduse, 10 și 70 sunt înmulțite cu 5 și obținem: X + 50 \u003d 350 \u003d\u003e x \u003d 350 - 50 \u003d 300.

Găsiți X: X / 5 + X / 10 \u003d 90.

Acest exemplu este o versiune ușor complicată a primului. Există două opțiuni de soluție.

Opțiunea 1: Scapă de fracțiuni, înmulțirea tuturor membrilor ecuației pentru un numitor mai mare, adică 10: 10x / 5 + 10x / 10 \u003d 90 × 10 \u003d\u003e 2x + x \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.
Opțiunea 2: pliam partea stângă a ecuației. X / 5 + x / 10 \u003d 90. Numitor comun - 10. 10 Împărțăm pe 5, multiplicați pe x, primim 2x. 10 Împărțăm pe 10, ne înmulțim pe X, obținem X: 2x + x / 10 \u003d 90. Prin urmare, 2x + x \u003d 90 × 10 \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.

Adesea există ecuații fracționate în care Xers sunt situate pe margini diferite ale semnului egal. Într-o astfel de situație, este necesar să se transfere toate fracțiunile cu cavitățile într-o singură direcție și numărul la altul.

Găsiți X: 3x / 5 \u003d 130 - 2x / 5.
Noi purtăm 2x / 5 în dreapta cu semnul opus: 3x / 5 + 2x / 5 \u003d 130 \u003d\u003e 5x / 5 \u003d 130.
Reduceți 5x / 5 și obțineți: x \u003d 130.

Cum să rezolvați ecuația cu fracțiunile - X în numitor

Acest tip de ecuații fracționate necesită înregistrarea unor condiții suplimentare. Specificarea acestor condiții este o parte obligatorie și integrală a deciziei corecte. Fără să le atribuim, riscați, deoarece răspunsul (chiar dacă este corect) poate pur și simplu să nu se bazeze.

Forma generală de ecuații fracționate, în care X este în numitor, are forma: a / x + b \u003d c, unde x este necunoscut, a, b, c - numere obișnuite. Vă rugăm să rețineți că X nu este un număr. De exemplu, x nu poate fi zero, deoarece este imposibil să se împartă la 0. Aceasta este condiția suplimentară pe care trebuie să o menționăm. Aceasta se numește o zonă de valori admise, abreviate - OTZ.

Găsiți X: 15 / x + 18 \u003d 21.

Scrieți imediat OTZ pentru X: X ≠ 0. Acum, când este specificat ODB, rezolvați ecuația în conformitate cu schema standard, eliminarea fracțiilor. Înmulțiți toți membrii ecuației pe x. 15x / x + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 15/3 \u003d 5.

Există adesea ecuații în care în numitor nu este doar x, ci și o acțiune cu ea, cum ar fi adăugarea sau scăderea.

Găsiți X: 15 / (X-3) + 18 \u003d 21.

Știm deja că numitorul nu poate fi zero, ceea ce înseamnă X-3 ≠ 0. Transferul -3 în partea dreaptă, schimbând semnul "-" pe "+" și obținem că x ≠ 3. OTZ este indicat.

Rezolvăm ecuația, multiplicați totul pe X-3: 15 + 18 × (X - 3) \u003d 21 × (x - 3) \u003d\u003e 15 + 18x - 54 \u003d 21x - 63.

Ne purtăm în dreapta, numărul din stânga: 24 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 8.

Prezentare și lecție pe subiect: "Ecuații raționale. Algoritm și exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să părăsiți comentariile, recenzii, dorințe! Toate materialele sunt verificate de programul antivirus.

Manuale de instruire și simulatoare în magazinul online "Integral" pentru clasa 8
Manual pentru manualul Makarycheva Yu.N. Manual pentru manualul Mordkovich a.g.

Cunoștință cu ecuațiile iraționale

Băieți, am învățat să decidem ecuații patrate. Dar matematica nu se limitează la ele. Astăzi vom învăța să rezolvăm ecuațiile raționale. Conceptul de ecuații raționale este în mare parte similar cu conceptul de numere raționale. Numai în plus față de numere acum avem o anumită variabilă $ x $. Așadar, avem o expresie în care sunt prezente operațiunile de adăugare, scădere, multiplicare, divizare și construcția unui dipt întreg.

Lăsați $ R (x) $ sunt expresie rațională. O astfel de expresie poate fi o polinom simplă de la variabila $ x $ sau de raportul polinomic (funcționarea diviziunii este introdusă ca și pentru numerele raționale).
Ecuația $ r (x) \u003d 0 $ numit ecuația rațională.
Orice ecuație a tipului $ P (x) \u003d Q (x) $, unde $ P (x) $ și $ q (x) $ este expresii raționale, va fi, de asemenea ecuația rațională.

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale.

Exemplul 1.
Rezolva ecuația: $ \\ frac (5x-3) (x-3) \u003d \\ frac (2x-3) (x) $.

Decizie.
Transferim toate expresiile în partea stângă: $ \\ frac (5x-3) (x-3) - \\ frac (2x-3) (x) \u003d 0 $.
Dacă numerele convenționale au fost prezentate în partea stângă a ecuației, atunci am condus două fracții unui numitor comun.
Să facem acest lucru și să facem: $ \\ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - \\ frac (2x-3) * (x-3)) ((x-3) * x) \u003d \\ frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9) ((x-3) * x) \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((X-3 ) * x) \u003d \\ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) $.
Ecuația a fost obținută: $ \\ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) \u003d 0 $.

Fracțiunea este zero, atunci și numai dacă număratorul de fracțiune este zero, iar numitorul este diferit de zero. Apoi selectați număratorul la zero separat și găsiți rădăcinile numărătorului.
$ 3 (x ^ 2 + 2x-3) \u003d 0 $ sau $ x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ frac (-2 ± \\ sqrt (4-4 * (- 3))) (2) \u003d \\ frac (-2 ± 4) (2) \u003d 1; -3 $.
Acum verificați denomote denoger: $ (x-3) * x ≠ $ 0.
Produsul a două numere este zero, când cel puțin unul dintre aceste numere este zero. Apoi: $ x ≠ 0 $ sau $ x-3 ≠ 0 $.
$ x ≠ $ 0 sau $ x ≠ $ 3.
Rădăcinile obținute în numerotare și denominator nu coincid. Deci, ca răspuns, scriem atât rădăcina numărătorului.
Răspuns: $ x \u003d 1 $ sau $ x \u003d -3 $.

Dacă dintr-o dată, una dintre rădăcinile numărătorului a coincis cu rădăcina numitorului, ar trebui exclusă. Astfel de rădăcini sunt numite în afară!

Algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Toate expresiile conținute în ecuația sunt transferate în partea stângă a semnului egal.
2. Transformați această parte a ecuației algebraic Fraci.: $ \\ Frac (P (x)) (Q (x)) \u003d 0 $.
3. Pentru a echivala număratorul rezultat la zero, adică pentru a rezolva ecuația $ P (x) \u003d 0 $.
4. echivalează numitorul la zero și rezolvați ecuația obținută. Dacă rădăcinile numitorului au coincis cu rădăcinile numărătorului, acestea ar trebui să fie excluse din răspuns.

Exemplul 2.
Decideți ecuația: $ \\ frac (3x) (x - 1) + \\ frac (4) (x + 1) \u003d \\ frac (6) (x ^ 2-1) $.

Decizie.
Eu decid în conformitate cu punctele algoritmului.
1. $ \\ frac (3x) (x - 1) + \\ frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) (x ^ 2-1) \u003d 0 $.
2. $ \\ frac (3x) (x - 1) + \\ frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) (x ^ 2-1) \u003d \\ frac (3x) (x - 1) + \\ Frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) ((x - 1) (x + 1)) \u003d \\ frac (3x (x + 1) +4 (x - 1) -6) ((x -1) (x + 1)) \u003d $ $ \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x - 1) (x + 1)) \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 7x- 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ \\ Frac (3x ^ 2 + 7x-10) ((x - 1) (x + 1)) \u003d 0 $.
3. Eclinăm număratorul la zero: $ 3x ^ 2 + 7x-10 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ frac (-7 ± \\ sqrt (49-4 * 3 * (- 10)) (6) \u003d \\ frac (-7 ± 13) (6) \u003d - 3 \\ frac ( 1) (3); $ 1.
4. Noi echivalăm numitorul la zero:
$ (x - 1) (x + 1) \u003d 0 $.
$ x \u003d 1 $ și $ x \u003d -1 $.
Una dintre rădăcinile de $ x \u003d $ 1 a coincis cu rădăcina de la numărător, atunci nu o scriem ca răspuns.
Răspuns: $ x \u003d -1 $.

Este convenabil să rezolvați ecuațiile raționale utilizând metoda de înlocuire variabilă. Să o demonstrăm.

Exemplul 3.
Rezolva ecuația: $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 \u003d 0 $.

Decizie.
Introducem un înlocuitor: $ t \u003d x ^ 2 $.
Apoi, ecuația noastră va lua forma:
$ T ^ 2 + 12T-64 \u003d 0 $ este o ecuație convențională pătrată.
$ T_ (1,2) \u003d \\ frac (-12 ± \\ sqrt (12 ^ 2-4 * (- 64)) (2) \u003d \\ frac (-12 ± 20) (2) \u003d - 16; $ 4.
Introducem înlocuirea inversă: $ x ^ 2 \u003d 4 $ sau $ x ^ 2 \u003d -16 $.
Rădăcinile primei ecuații sunt o pereche de numere $ x \u003d ± 2 $. Al doilea - nu are rădăcini.
Răspuns: $ x \u003d ± $ 2.

Exemplul 4.
Rezolva ecuația: $ x ^ 2 + x + 1 \u003d \\ frac (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
Decizie.
Introducem o nouă variabilă: $ t \u003d x ^ 2 + x + 1 $.
Apoi, ecuația va lua forma: $ t \u003d \\ frac (15) (t + 2) $.
Vom acționa în continuare pe algoritm.
1. $ t- \\ frac (15) (t + 2) \u003d 0 $.
2. $ \\ frac (t ^ 2 + 2T-15) (t + 2) \u003d 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2T-15 \u003d 0 $.
$ T_ (1,2) \u003d \\ frac (-2 ± \\ sqrt (4-4 * (- 15)) (2) \u003d \\ frac (-2 ± sqrt (64)) (2) \u003d \\ frac ( -2 ± 8) (2) \u003d - 5; $ 3.
4. $ t ≠ -2 $ - rădăcini nu se potrivesc.
Introducem o înlocuire inversă.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d -5 $.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d $ 3.
Fie ca fiecare ecuație separat:
$ x ^ 2 + x + 6 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ frac (-1 ± \\ sqrt (1-4 * (- 6))) (2) \u003d \\ frac (-1 ± \\ sqrt (-23)) (2) $ - nr rădăcini.
Și a doua ecuație: $ x ^ 2 + x-2 \u003d 0 $.
Rădăcinile acestei ecuații vor fi numere $ x \u003d -2 $ și $ x \u003d 1 $.
Răspuns: $ x \u003d -2 $ și $ x \u003d 1 $.

Exemplul 5.
Rezolva ecuația: $ x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) + x + \\ frac (1) (x) \u003d $ 4.

Decizie.
Introducem înlocuirea: $ t \u003d x + \\ frac (1) (x) $.
Atunci:
$ T ^ 2 \u003d x ^ 2 + 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) $ sau $ x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) \u003d t ^ 2-2 $.
Ecuația primită: $ t ^ 2-2 + t \u003d $ 4.
$ t ^ 2 + t-6 \u003d 0 $.
Rădăcinile acestei ecuații sunt un cuplu:
$ T \u003d -3 $ și $ t \u003d $ 2.
Introducem înlocuirea inversă:
$ X + \\ frac (1) (x) \u003d - $ 3.
$ X + \\ frac (1) (x) \u003d $ 2.
Ne hotărâm separat.
$ X + \\ frac (1) (x) + 3 \u003d 0 $.
$ \\ Frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ frac (-3 ± \\ sqrt (9-4)) (2) \u003d \\ frac (-3 ± sqrt (5)) (2) $.
Rezolvarea celei de-a doua ecuații:
$ X + \\ frac (1) (x) -2 \u003d 0 $.
$ \\ Frac (x ^ 2-2x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ \\ Frac ((x-1) ^ 2) (x) \u003d 0 $.
Rădăcina acestei ecuații este numărul $ x \u003d 1 $.
Răspuns: $ x \u003d \\ frac (-3 ± sqrt (5)) (2) $, $ x \u003d 1 $.

Sarcini pentru soluții de sine

Rezolvați ecuațiile:

1. $ \\ frac (3x + 2) (x) \u003d \\ frac (2x + 3) (x + 2) $.

2. $ \\ frac (5x) (x + 2) - \\ frac (20) (x ^ 2 + 2x) \u003d \\ frac (4) (x) $.
3. $ x ^ 4-7x ^ 2-18 \u003d 0 $.
4. $ 2x ^ 2 + x + 2 \u003d \\ frac (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) \u003d $ 3.