Sfera yuqori simmetriyaga ega bo'lgan jismlardan biri bo'lib, uning xususiyatlari maktab geometriyasi kursida o'rganiladi. Ushbu maqolada sharning formulasi, uning shardan farqi muhokama qilinadi, shuningdek, sayyoramizning sirt maydoni hisobi berilgan.

Sfera: geometriyada tushuncha

Quyida keltirilgan sirt formulasini yaxshiroq tushunish uchun shar tushunchasi bilan tanishish kerak. Geometriyada bu ma'lum hajmli bo'shliqni o'z ichiga olgan uch o'lchovli jism. Sferaning matematik ta'rifi quyidagicha: bu markaz deb ataladigan bitta sobit nuqtadan ma'lum teng masofada joylashgan nuqtalar yig'indisi. Belgilangan masofa shar radiusi bo'lib, u r yoki R bilan belgilanadi va metr (kilometr, santimetr va boshqa uzunlik birliklari) bilan o'lchanadi.

Quyidagi rasmda tasvirlangan rasm ko'rsatilgan. Chiziqlar uning yuzasining konturlarini ko'rsatadi. Qora nuqta - sharning markazi.

Agar siz aylana olsangiz va uni diametridan o'tuvchi o'qlar atrofida aylana boshlasangiz, siz bu shaklga ega bo'lishingiz mumkin.

Sfera va to'p: farqi nimada va o'xshashligi nimada?

Ko'pincha maktab o'quvchilari tashqi tomondan bir -biriga o'xshash, lekin umuman boshqacha bo'lgan bu ikki raqamni chalkashtirib yuborishadi jismoniy xususiyatlar... Sfera va shar birinchi navbatda massasi bilan ajralib turadi: shar - bu cheksiz yupqa qatlam, shar esa - sferik sirt bilan chegaralangan hamma nuqtalarida bir xil bo'lgan, cheklangan zichlikdagi hajmli jism. Ya'ni, to'p cheklangan massaga ega va juda haqiqiy ob'ekt. Sfera - bu massasi bo'lmagan, aslida mavjud bo'lmagan ideal shakl, lekin uning xususiyatlarini o'rganishda geometriyada muvaffaqiyatli idealizatsiya.

Shakli deyarli sharga to'g'ri keladigan haqiqiy narsalarga misollar-bu Rojdestvo daraxti yoki sovun pufagini bezash uchun to'p shaklidagi o'yinchoq.

Ko'rib chiqilayotgan raqamlar o'rtasidagi o'xshashliklarga kelsak, quyidagi xususiyatlarni chaqirish mumkin.

• ikkalasi ham bir xil simmetriyaga ega;
• ikkalasi uchun sirt maydoni formulasi bir xil, bundan tashqari, agar ular radiusi teng bo'lsa, ular bir xil sirt maydoniga ega;
• radiusi teng bo'lgan ikkala raqam ham kosmosda bir xil hajmni egallaydi, faqat to'p uni to'liq to'ldiradi va shar faqat uning sirtini chegaralaydi.

Quyidagi rasmda radiusi teng shar va shar ko'rsatilgan.

E'tibor bering, shar, xuddi shar kabi, inqilob tanasidir, shuning uchun uni diametri atrofida aylana aylantirish orqali olish mumkin (aylana emas!).

Sfera elementlari

Geometrik kattaliklar deb ataladi, ularning bilimi butun figurani yoki uning alohida qismlarini tasvirlashga imkon beradi. Uning asosiy elementlari quyidagilar:

• Yuqorida aytib o'tilgan r radiusi. Bu shakl markazidan sferik sirtgacha bo'lgan masofa. Aslida, bu sharning barcha xususiyatlarini tasvirlaydigan yagona miqdor.
• Diametri d yoki D. Bu chiziqli segment bo'lib, uning uchlari sferik sirt ustida yotadi va o'rtasi rasmning markaziy nuqtasidan o'tadi. Sferaning diametrini cheksiz ko'p usullar bilan chizish mumkin, lekin olingan barcha segmentlar bir xil uzunlikka ega bo'ladi, bu radiusning ikki barobariga teng, ya'ni D = 2 * R.
• S sirt maydoni ikki o'lchovli xarakteristikadir, uning formulasi quyida keltirilgan.
• Sfera bilan bog'liq bo'lgan 3D burchaklar steradiyalarda o'lchanadi. Steradiyaliklardan biri - burchak, uning tepasi shar markazida joylashgan va u sferik sirtning R 2 maydoniga ega.

Sharning geometrik xususiyatlari

Ushbu rasmning yuqoridagi tavsifidan siz ushbu xususiyatlar haqida mustaqil ravishda taxmin qilishingiz mumkin. Ular quyidagichadir:

• Sferani kesib o'tuvchi va uning markazidan o'tuvchi har qanday to'g'ri chiziq shaklning simmetriya o'qidir. Sferani shu o'q atrofida istalgan burchakda aylantirish uni o'ziga aylantiradi.
• Ko'rib chiqilayotgan figurani uning markazi orqali kesib o'tuvchi tekislik sferani teng ikkita qismga bo'linadi, ya'ni aks ettirish tekisligi.

Shaklning sirt maydoni

Bu qiymat lotincha S harfi bilan belgilanadi, shar maydonini hisoblash formulasi quyidagicha:

S = 4 * pi * R 2, bu erda pi ≈ 3.1416.

Formula shuni ko'rsatadiki, agar R radiusi ma'lum bo'lsa, S maydonini hisoblash mumkin. Agar uning diametri D ma'lum bo'lsa, sharning formulasini quyidagicha yozish mumkin:

O'nli kasrli to'rtta kasr berilgan irratsional bo'lmagan pi sonini bir qator matematik hisoblarda yuzlik aniqlik bilan, ya'ni 3.14 da ishlatish mumkin.

Shuningdek, ko'rib chiqilayotgan rasmning butun yuzasi qancha steradianga to'g'ri keladi degan savolni ko'rib chiqish ham qiziq. Ushbu miqdor ta'rifiga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz:

Ω = S / R 2 = 4 * pi * R 2 / R 2 = 4 * pi steradian.

Har qanday hajmli burchakni hisoblash uchun yuqoridagi ifodadagi S maydonining mos qiymatini almashtirish kerak.

Yer sayyorasining yuzasi

Sfera formulasi biz qaerda yashayotganimizni aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Hisob -kitoblarni davom ettirishdan oldin, bir nechta ogohlantirishlarni bajarish kerak:

• Birinchidan, Yerning mukammal sharsimon yuzasi yo'q. Uning ekvatorial va qutb radiusi mos ravishda 6378 km va 6357 km. Bu ko'rsatkichlar orasidagi farq 0,3%dan oshmaydi, shuning uchun hisoblash uchun o'rtacha radiusi 6371 km ni olish mumkin.
• Ikkinchidan, relyef uch o'lchovli, ya'ni tepaliklar va tog'lar bor. Sayyoraning bu xarakterli xususiyatlari uning sirt maydonining ko'payishiga olib keladi, lekin biz ularni hisobda hisobga olmaymiz, chunki hatto eng katta tog 'Everest ham er radiusining 0,1% ini tashkil qiladi (8.848 / 6371).

Sfera formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

S = 4 * pi * R 2 = 4 * 3.1416 * 6371 2 ≈ 510.066 million km 2.

Rossiya, rasmiy ma'lumotlarga ko'ra, 17,125 million km 2 maydonni egallaydi, bu sayyoramiz sirtining 3,36 foizini tashkil qiladi. Agar atigi 150,387 million km 2 quruqlikka tegishli ekanligini hisobga oladigan bo'lsak, unda mamlakatimiz maydoni suv bilan qoplanmagan butun hududning 11,4 foizini tashkil qiladi.

To'p - bu ma'lum bir nuqtadan ma'lum masofadan uzoq bo'lmagan kosmosdagi barcha nuqtalardan iborat jism. Bu nuqta to'pning markazi deb ataladi va bu masofa to'pning radiusi deb ataladi. To'pning chegarasi sferik sirt yoki shar deb ataladi. Sferaning nuqtalari - bu radiusga teng masofada markazdan olib tashlangan sharning barcha nuqtalari. To'p markazini to'p yuzasidagi nuqta bilan bog'laydigan har qanday segmentga radius ham deyiladi. To'p yuzasining ikki nuqtasini bog'laydigan to'pning o'rtasidan o'tuvchi segment diametr deyiladi. Har qanday diametrning uchlari to'pning diametrik qarama -qarshi nuqtalari deb ataladi.

To'p - xuddi konus va silindr kabi, inqilob tanasi. To'p diametri atrofida yarim doira o'qi sifatida aylantirib olinadi.

To'pning sirtini quyidagi formulalar yordamida topish mumkin.

bu erda r - to'pning radiusi, d - to'pning diametri.

To'pning hajmi quyidagi formula bo'yicha topiladi:

V = 4/3 πr 3,

bu erda r - to'pning radiusi.

Teorema. Sferaning tekislikdagi har qanday qismi aylana. Bu aylananing markazi - to'p markazidan kesish tekisligiga tushgan perpendikulyarning asosi.

Bu teoremaga asoslanib, agar O markazi va radiusi R bo'lgan to'p a tekislik bilan kesilgan bo'lsa, u holda kesmada K markazi bo'lgan r radiusli aylana olinadi.Topning tekislikdagi kesimining radiusi formula

Formuladan ko'rinib turibdiki, markazdan teng masofada joylashgan samolyotlar to'pni teng aylana shaklida kesib o'tishadi. Bo'limning radiusi qanchalik katta bo'lsa, kesish tekisligi to'p markaziga qanchalik yaqin bo'lsa, ya'ni OK masofa shuncha kichik bo'ladi. Eng katta radiusda shar markazidan o'tuvchi tekislik bilan kesim bor. Bu doiraning radiusi to'pning radiusiga teng.

To'p markazidan o'tuvchi tekislikka diametrik tekislik deyiladi. To'pning diametrik tekislikdagi kesimi katta aylana, sharning kesimiga esa katta aylana, sharning kesimiga esa katta aylana deyiladi.

Teorema. To'pning har qanday diametrik tekisligi uning simmetriya tekisligidir. To'pning markazi - uning simmetriya markazi.

Sferik sirtning A nuqtasidan o'tuvchi va A nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar bo'lgan tekislik teginish tekisligi deyiladi. A nuqta teginish nuqtasi deyiladi.

Teorema. Tangens tekislikda to'p bilan bitta umumiy nuqta bor - teginish nuqtasi.

Sferik sirtning A nuqtasidan shu nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar o'tuvchi to'g'ri chiziq teginish chiziq deb ataladi.

Teorema. Sferik sirtning istalgan nuqtasidan cheksiz ko'p teginuvchilar o'tadi va ularning hammasi to'pning teginish tekisligida yotadi.

Sferik segment - bu to'pning tekislik bilan kesilgan qismi. ABC doirasi - bu to'p segmentining asosi. ABC aylananing N markazidan sferik sirt bilan kesishuvgacha chizilgan perpendikulyarning MN segmenti sharsimon segmentning balandligidir. M nuqta - sferik segmentning tepasi.

Sferik segmentning sirtini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Sferik segmentning hajmini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin.

V = πh 2 (R - 1/3 soat),

bu erda R - katta doiraning radiusi, h - sferik segmentning balandligi.

Sferik sektor sferik segment va konusdan quyidagicha olinadi. Agar sferik segment yarim shardan kichik bo'lsa, u holda sferik segment konus bilan to'ldiriladi, uning uchi to'pning markazida, bazasi esa segmentning asosidir. Agar segment yarim shardan kattaroq bo'lsa, unda ko'rsatilgan konus undan chiqariladi.

Sferik sektor - bu sferik segmentning egri yuzasi (bizning rasmimizda AMCB) va konusli sirt (rasmda - OABC) bilan chegaralangan to'pning bir qismi bo'lib, uning asosi segmentning asosidir ( ABC), va tepasi - to'pning markazi O.

Sferik sektorning hajmi quyidagi formula bo'yicha topiladi:

V = 2/3 πR 2 H.

Sferik qatlam - bu sferik sirt bilan kesishgan ikkita parallel tekislik (rasmda, ABC va DEF tekisliklari) o'rtasida o'ralgan sharning bir qismi. Sferik qatlamning egri yuzasi sharsimon kamar (zona) deb ataladi. ABC va DEF doiralari to'p kamarining asosidir. Shar kamarining tagliklari orasidagi NK masofasi uning balandligidir.

sayt, materialning to'liq yoki qisman nusxasi bilan, manba havolasi bo'lishi shart.

2 -bobda biz "qurilish geometriyasi" ni davom ettiramiz va eng muhim fazoviy figuralar - shar va shar, silindr va konus, prizma va piramidalarning tuzilishi va xossalari haqida gaplashamiz. Inson qo'li bilan yaratilgan ob'ektlarning ko'pchiligi - binolar, mashinalar, mebellar, idishlar va boshqalar., va hokazo, bu raqamlar shakliga ega bo'lgan qismlardan iborat.

§ 4. Sfera va to'p

To'g'ri chiziqlar va tekisliklardan so'ng, shar va to'p eng sodda, lekin juda muhim va har xil xususiyatlarga, fazoviy figuralarga boy. To'p va uning yuzasi - sharning geometrik xususiyatlari haqida butun kitoblar yozilgan. Bu xususiyatlarning ba'zilari qadimgi yunon geometrlariga ma'lum bo'lgan, ba'zilari esa yaqinda topilgan oxirgi yillar... Bu xususiyatlar (tabiatshunoslik qonunlari bilan birgalikda) nima uchun, masalan, to'pning shakli borligini tushuntiradi samoviy jismlar va baliq tuxumlari, nima uchun vannaxonalar va futbol to'plari to'p shaklida qilingan, nima uchun rulmanlar texnologiyada juda keng tarqalgan va hk. Biz faqat to'pning eng oddiy xususiyatlarini isbotlay olamiz. Boshqa xususiyatlarning isboti, juda muhim bo'lsa-da, ko'pincha oddiy elementar bo'lmagan usullarni qo'llashni talab qiladi, garchi bunday xususiyatlarni shakllantirish juda oddiy bo'lishi mumkin: masalan, berilgan sirt maydoniga ega bo'lgan barcha jismlar orasida to'p eng katta hajmga ega.

4.1. Shar va to'pning ta'riflari.

Kosmosdagi shar va to'p aylana va tekislikdagi aylana kabi aniqlanadi. Sfera - fazodan berilgan nuqtadan uzoqda joylashgan barcha nuqtalardan tashkil topgan shakl

bir xil (musbat) masofaga nuqta qo'ying.

Bu nuqta sharning markazi, masofa esa uning radiusi deb ataladi (4.1 -rasm).

Shunday qilib, markazi O va radiusi R bo'lgan shar - bu fazoning barcha X nuqtalari tomonidan hosil qilingan shakl

To'p - bu ma'lum bir nuqtadan berilgan (musbat) masofadan katta bo'lmagan masofada joylashgan kosmosning barcha nuqtalari tomonidan hosil qilingan raqam. Bu nuqta to'pning markazi deb ataladi va bu masofa uning radiusi deb ataladi.

Shunday qilib, markazi O va radiusi R bo'lgan to'p - bu fazoning barcha X nuqtalari tomonidan hosil qilingan raqam

Bu shar O nuqtasi va radiusi R bo'lgan to'pning X nuqtalari, ular uchun shar hosil qiladi. Aytishlaricha, bu shar berilgan to'pni chegaralaydi yoki uning yuzasi.

‌‌‌V tuman ilmiy -amaliy konferentsiya Talabalarning ilmiy -tadqiqot, dizayn va ijodiy ishlari "Ilmdagi birinchi qadamlar"

Tadqiqot ishlari bu mavzu bo'yicha:

"Shar va to'p oddiy geometrik jismlardir."

Tugatgan: MBOU 9 -sinf o'quvchisi

"Kochetovskaya o'rta maktabi" Romanov Dima.

Nazoratchi: matematika va fizika o'qituvchisi Tremaskina V.S.

Kirish _________________________________________________________ 3

1. Geometrik jismlarni o'rganish tarixi: shar, shar _____________________ 3

2. Sfera va to'p.

2.1. Shar va shar tushunchasi _________________________________________ 3-4

2.2. Sfera tenglamasi ________________________________________________ 4

2.3. O'zaro kelishuv sharlar va tekisliklar _________________________ 4-6

2.4. Sferaga teguvchi tekislik ____________________________________ 6-7

2.5. Sfera maydoni va sfera hajmi ____________________________________ 7

2.6. Sfera olish _____________________________________________ 7-8

2.7. Shar va sharni tabiatdan topish ____________________________ 9-13

2.8 Sfera va to'p Kundalik hayot _________________________________14-15

2.9.Shema va sharning arxitekturada qo'llanilishi ____________________________ 16-22

2.10. Sfera va to'pni geodeziyada qo'llash ____________________________ 23

2.11 Astronomiya va geografiyada shar va sharning qo'llanilishi _________________ 24

2.12. San'at sohasi va to'p _________________________________________ 25

Xulosa _________________________________________________________ 25

Adabiyot _________________________________________________________ 26

Tanlangan mavzuning dolzarbligi.

Asrlar mobaynida insoniyat u yoki bu fan sohasidagi ilmiy bilimlarini to'ldirishdan to'xtamadi. Ko'p o'rganilgan geometrlar va oddiy odamlar, shar va uning "qobig'i" kabi sharga qiziqish bildirgan. Ko'pchilik haqiqiy ob'ektlar fizika, astronomiya, biologiya va boshqalarda tabiiy fanlar to'p shakliga ega. Shuning uchun to'pning xususiyatlarini o'rganish turli xil tarixiy davrlarda tayinlangan va bizning davrimizda muhim rol o'ynagan.

Tadqiqot maqsadi: shar va sharning geometrik jismlarini o'rganing, ularni fanning turli sohalarida, kundalik hayotda, tabiatda qo'llanishini ko'rib chiqing, "Shar va shar - oddiy geometrik jismlar" taqdimotini yarating.

Vazifalar:

1. Har xil ma'lumot manbalaridan, shu jumladan Internet -resurslardan foydalanib, to'p va sfera haqida material to'plang.

2. To'p va shar haqidagi materialni tizimlashtirish.

4. Taqdimot yarating ” Sfera va to'p - oddiy geometrik jismlar».

5. Geometriya darsidagi ishni "Sfera va shar" mavzusini o'rganishda taqdim eting.

O'qish ob'ekti : shar va to'p

O'qish mavzusi : shar va to'pning elementlari va xossalari

Gipoteza: Bizning dunyomizni rang -barang va hajmli qilish uchun bizga to'p kerak.

Usullari: qisman qidirish, tadqiqot, qiyosiy tahlil, sintez, amaliy.

Tadqiqot natijasi: olingan bilimlar nafaqat astronomlar, dengiz kemalari, samolyotlar, kosmik kemalar Ular koordinatalarini yulduzlar bilan belgilaydilar, balki minalar, metrolar, tunnellar quruvchilariga, me'morlarga, shuningdek, er yuzining katta maydonlarini tadqiq qilishda, kundalik hayotda uning sharsimonligini hisobga olish zarur bo'lganda.

Ilmiy yangilik: nazariy materiallar yuqori sinf o'quvchilari uchun tushunarli shaklda taqdim etiladi.

Amaliy ahamiyati: uchun bu material asos sifatida ishlatilishi mumkin tanlov kursi jismoniy va matematik profil darslarida, sinfda "Sfera va to'p" mavzularini o'rganishda.

Kirish

Ko'p asrlar davomida insoniyat u yoki bu fan sohasidagi ilmiy bilimlarini to'ldirishdan to'xtamadi. Stereometriya, kosmosdagi raqamlar haqidagi fan sifatida, tabiatan ko'pchilik bilan bog'liq ilmiy fanlar... Bu fanlarga: matematika, fizika, informatika va dasturlash, shuningdek kimyo va biologiya kiradi. Ikkinchisida, kosmosdagi turli zarralarning bir -biriga nisbatan murakkab birikmasi bo'lgan mikrodunyo olamini o'rganish muammosi mavjud. Arxitekturada teoremalar va stereometriyaning oqibatlari doimo ishlatiladi.

Ko'p geometriya olimlari, shuningdek oddiy odamlar, shar nomi berilgan shar va uning "qobig'i" kabi figuraga qiziqishgan. Shunisi ajablanarliki, to'p - bu boshqa kublar, masalan, kub, prizma yoki boshqa ko'pburchaklarning hajmiga teng bo'lgan, yuzasi kattaroq bo'lgan yagona tanadir. Biz har kuni to'p bilan muomala qilamiz. Masalan, deyarli har bir kishi tayoqning uchida metall shar o'rnatilgan sharikli qalamdan foydalanadi, u bilan qog'oz orasidagi ishqalanish kuchlari ta'sirida aylanadi va uning yuzasi burilish jarayonida to'p " siyohning yana bir qismini chiqaradi. Avtomobilsozlik sanoatida g'ildiraklarning to'g'ri aylanishini va yo'lda mashinaning barqarorligini ta'minlaydigan, shar qismlari ishlab chiqariladi. Suv yoki havo doimiy ta'sirida bo'lgan avtomobillar, samolyotlar, raketalar, mototsikllar, chig'anoqlar, yelkanli kemalar elementlari, asosan, qobiq deb ataladigan sharsimon sirtlarga ega.

Geometrik jismlarni o'rganish tarixi: shar, shar

To'pni shar bilan chegaralangan jism deb atash odat tusiga kiradi, ya'ni. shar va shar - har xil geometrik jismlar. Biroq, "to'p" va "shar" so'zlari bir xil yunoncha "sefira" - to'p so'zidan kelib chiqqan. Bunda "to'p" so'zi sf undoshlarining w ga o'tishidan hosil bo'lgan.

XI "Boshlanishlar" kitobida Evklid to'pni aniq diametri atrofida aylanadigan yarim doira bilan tasvirlangan shakl sifatida belgilaydi. Qadim zamonlarda bu sohani hurmat qilishgan. Astronomik kuzatuvlar kosmosda doimo shar tasvirini uyg'otdi.

Soha har doim fan va texnikaning turli sohalarida keng qo'llanilgan.

2.1. Sfera va to'p tushunchasi

Sfera - bu ma'lum bir nuqtadan ma'lum masofada joylashgan kosmosdagi barcha nuqtalardan iborat sirt.

Sfera bilan chegaralangan jismga to'p deyiladi.

Bu nuqta sharning markazi deb ataladi va bu masofa shar radiusi deb ataladi.

Sferaning ikkita nuqtasini bog'laydigan va o'tuvchi segment

uning markazi orqali sfera diametri deyiladi.

Sharning markazi, radiusi, diametri sharning markazi, radiusi va diametri deb ham ataladi.

2.2. Sfera tenglamasi

O'rnatamiz to'rtburchaklar tizimi koordinatalar Oxyz

C (x 0; y 0; z 0) nuqtada markazlashgan shar yasang.

va radiusi R

MS = (x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2

MC = R yoki MC2 = R2

shuning uchun tenglama

shar quyidagi shaklga ega:

(x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z - z 0 ) 2 = R. 2

2.3. Sfera va tekislikning nisbiy joylashuvi

Berilgan:

S radiusli shar, markaz C (x 0; y 0; z 0), M (x; y; z) nuqtasi shar ustida yotadi.

MS masofasi qancha?

MS = dan beri R keyin

M

R

bilan

BILAN BILANSS

Berilgan: a tekislik, shar (C; R),

d - C markazidan a tekislikka masofa.

Keling, nuqta C (x 0; y 0; z 0) bo'lgan koordinata tizimini joriy qilaylik. Sfera va a tekislikning tenglamalarini tuzaylik.

z

NS
og'iz nuqtasi C z o'qida yotadi. Keyin uning koordinatalari (0; 0; d).

Sfera tenglamasi:

A tekislikning tenglamasi: z = 0

Keling, tenglamalar tizimini ko'rib chiqaylik:

z = 0

Keyin

D va R nisbatlariga qarab, 3 ta holat mumkin ...

1
) d< R .

Keyin

doira tenglamasi (O; r)

Sferaning tekislik bilan kesimi - aylana

2
) d = R.

Keyin

IN bilan noto'g'ri

x = 0 va y = 0

Sfera va tekislikning umumiy bir nuqtasi bor.

3
) d> R.

Keyin

echimlari yo'q.

Sfera va tekislikning umumiy nuqtalari yo'q.

2.4. Sferaga teguvchi tekislik

Sfera bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan tekislik sharga teguvchi tekislik, ularning umumiy nuqtasi esa tekislik va sharning teginish nuqtasi deyiladi.

Teorema. Sfera va tekislikning teginish nuqtasida chizilgan shar radiusi teginish tekisligiga perpendikulyar.

Berilgan: markazi bo'lgan sharO va radiusR , α - bir nuqtada sharga tegishlidirLEKIN samolyot

Isbotlang: OA lekin .

Isbot: ruxsat bering OA tekislikka perpendikulyar emas lekin , keyin OA tekislikka moyil, ya'ni markazdan tekislikgacha bo'lgan masofa d < R . Bular. shar aylana shaklida tekislik bilan kesishishi kerak, lekin bu teorema shartini qondirmaydi. Vositalar, OA lekin .

Keling, konversiya teoremasini isbotlaylik.

Agar shar radiusi uning uchidan o'tadigan tekislikka perpendikulyar bo'lsa, u holda bu tekislik sharga tegib turadi.

Berilgan: markazi bo'lgan sharO va radius OA , lekin, OA lekin .

Isbotlang:lekin - teguvchi tekislik.

Dalil: Chunki OA lekin , keyin sfera markazidan tekislikgacha bo'lgan masofa radiusga teng. Bu shuni anglatadiki, shar va tekislik bitta umumiy nuqtaga ega. Ta'rifga ko'ra, tekislik sharga tegib turadi.

2.5. Sfera maydoni va sfera hajmi

va to'p radiusi formulalar bilan belgilanadi:

Isbot

N nuqtada markazlashtirilgan R radiusining chorak doirasini oling... Bu doiraning atrofi tenglamasi:, qaerda.

Funktsiya uzluksiz, ortib boruvchi, manfiy emas. Ox o'qi atrofida aylananing chorak qismi aylanganda, yarim shar hosil bo'ladi, shuning uchun:

Ch va boshqalar qayerdan keladi?

Isbot

Ch.Ekt.

To'pning bir qismi, [ ] undan qandaydir samolyot bilan uzilgan deyiladi sferik yoki sferik segment. To'p segmentining asosi aylana deb ataladi. A B C D... Sferik segmentning balandligi segment deb ataladi NM, ya'ni markazdan tiklangan perpendikulyar uzunligi N. to'pning yuzasini kesib o'tmaguncha taglik. Nuqta M sferik segmentning tepasi deb ataladi.

To'p segmentining hajmi formula bilan ifodalanadi:

V = π h 2 ( R − 1/3 h)

Sferik qatlam bu to'pning bir qismi [ ], ikkita kesuvchi parallel tekisliklar orasiga o'ralgan. Balli kamar yoki To'p zonasi sferik qatlamning egri yuzasi. Davralar ABC va DEF bu to'p kamarining asoslari. Baza orasidagi masofa ON sferik qatlamning balandligi.

Sferik qatlam hajmi formula bilan ifodalanadi:

V = 1/6 π h 3 + 1/2 π( r 1 2 + r 2 2 ) h

Balli sektor bu to'pning bir qismi [ ], sferik segmentning egri yuzasi va konus yuzasi bilan chegaralangan, uning asosi segmentning asosi, tepasi esa sharning markazi.

Sferik sektor hajmi ga teng uning poydevori sferik sektordan kesilgan qismi bilan bir xil maydonga ega va balandligi radiusga teng

V = 1/3 R S = 2/3 π R 2 h

2.6. Sfera olish

Sferani ABB yarim doira bo'ylab aylantirib olish mumkin

2.7. Tabiatda shar va to'pni topish

Z Tabiat Agadki - to'plar -xabarlar.To'liq dumaloq shaklga ega bo'lgan bu sirli tosh shakllanishlar 1940 -yillarning oxirida Markaziy Amerika Kosta -Rika o'rmonida topilgan. To'plar diametri 10 sm dan 3-4 metrgacha. Havodan suratga olish paytida ular tasodifan er yuziga tarqalmaganligi, balki geometrik shakllar ekanligi ma'lum bo'ldi. Hatto to'plar tarqoq emas, balki ulkan shaklda yoyilgan bo'lishi mumkin yulduz xaritasi; har bir to'p tegishli tavsifga ega yulduzdir.

To'plarning kelib chiqishi haqidagi farazlar orasida faqat ekzotik versiyalar mavjud: chet elliklardan tortib Atlantida haykaltaroshlariga qadar. To'plarni kesib o'tgan (turizmdan kelajakdagi dividendlarni hisobga olgan holda) zerikkan fashistlar suv bosgan muhojirlar tomonidan kesilgan degan versiya ham bor. lotin Amerikasi Uchinchi Reyx qulaganidan keyin. To'plarning ko'pligi va ularga g'aroyib rasmlarni tabiiy sabablar bilan izohlashning iloji bo'lmadi. Qozog'istonda, chuqur chuqurlikda qum qudug'ini ishlab chiqish paytida, bunday toshlarning bir nechta yirik namunalari ham topilgan ... Bu topilma Fenomen komissiyasi tomonidan ma'lum qilingan; afsuski, topilmalarning fotosuratlari saqlanmagan.

Kristall to'p. Makro fotografiya. Daraxt shoxida atrofdagi tabiatni aks ettiruvchi shisha shar bor. Juda chiroyli sariq gullar va yashil shirali o'tlar.

BILAN oqayotgan to'plar

fotosuratda kuch joylarida - uran yoki hayotning plazmoid shakli parchalanishi natijasimi?

Muqaddas qabriston cherkovi va Isroilning boshqa joylari

VA
qiziqarli tabiiy hodisa Michigan ko'li bo'yida minglab muntazam muz to'plari paydo bo'lgan

Yosunlar g'ayrioddiy to'plar shaklida

G'alati to'plar 2002 yil iyun oyida AQShning sharqiy sohilidagi Xampton sohilida paydo bo'lgan. To'lqin to'lqini ko'p sonli yam -yashil to'plarga bardosh bera boshladi - yumshoq, gubkaga o'xshash va tennis yoki golf to'pi kattaligiga o'xshaydi. Taxminan 300 metr masofada yoki to'liqroq qumli plyaj tom ma'noda bunday to'plarga to'la edi. Bahslar darhol boshlandi - bu nima va qaerda? Dengiz biologlari, plyajda sayr qiluvchilar va tasodifan o'tayotganlar bahsga jalb qilingan. Bu erda hech kim bunday narsani oldin ko'rmagan.

Tabiat simmetriyadan qo'rqadi, tabiat ideal geometrik shakllarni bilmaydi. Ammo odam tabiatni unga begona shakllarni olishga majbur qilishi mumkin. Tasviriy misol Bunga - koreys rassomi Li Chje Xoning ishi, undan yaratadidaraxt tanalari mukammal sharlar

T

Minglab mayda binafsha rangli to'plar AQShning Arizona shtatidagi cho'lning o'rtasida g'alati tarzda topiladi. Tucson aholisi Geraldin Vargas va uning eri bir necha hafta oldin mahallani aylanib yurganida, tushunarsiz to'plar to'pini topdilar. "Biz cho'l tabiatini suratga olayotganda, biz bu g'aroyib joyni uchratdik ... qanday tushunmadim, biz buni darhol sezmadikmi?" - dedi jurnalistlarga Jeraldin. "U faqat quyoshda porladi." Fotosuratchilar fotosuratlarni yuborishdi g'alati narsalar uning do'sti zoologga, lekin u nima ekanligini ayta olmadi, hatto bu borada hech qanday taxminlari yo'q edi.

Mineral sharlar.

Ametist. Braziliya.

Tosh kristalli. Janubiy. Chelyab viloyati. Sotiladi.

Amazonit Kolskiy yarim oroli sotiladi.

2.8 Kundalik hayotda shar va to'p

H
va geometrik to'p o'xshash globus, futbol to'pi, Rojdestvo o'yinchoqlari.

DIY strafor to'pi

Zo'rlash - bu bugungi kunda eng zamonaviy ekstremal ko'ngilocharlardan biri. Zorbing sizga yangi, g'ayrioddiy yorqin va kuchli hislarni boshdan kechirishga va kundalik hayotdan voz kechishga imkon beradi.

Zorb to'pi nima

Z orb (ZORB) diametri 3,2 metr bo'lgan shaffof shar (to'p), uning ichida diametri 1,8 metr bo'lgan shar bor, u erda zorbonavt (Zorba yo'lovchisi). Bu sharlar orasidagi bo'shliq havo bilan to'ldirilgan bo'lib, uning bosimi bilan sharlar bir -biridan kengayib ketadi va aksincha slinglar tomonidan ushlab turiladi. Bunday tizim juda yaxshi so'riladi, yo'lning notekisligini yumshatadi va chang'ida yurishni xavfsiz qiladi.

2.9.Sfera va sharning arxitekturada qo'llanilishi

Bunday uy deyiladi WIGWAM... Bunday uylar qurilmoqda Hindlar.

Zanglamaydigan po'latdan yasalgan sharlar va yarim sharlar

Favvora "aylanmoqdato'p "Sankt -Peterburgda

Peterburg -

Zamonaviy uylar

AgarUy nafaqat daraxtda, balki to'p shaklida ham.

Bu eng haqiqiy qishloqdumaloq uylar .

BILAN
zamonaviy dumaloq uylar

Monreal biosferasi - Kanadadagi Expo 67 ko'rgazmasidagi AQSh ko'rgazma paviloni,

me'mor Richard Fuller tomonidan ishlab chiqilgan.

Shaffof to'plar ko'rinishidagi mehmonxona

IN
bog'larning birida Frantsiyaning Roubaix shahri haqida Hotel Bolha ochildi. Biz buni, ayniqsa, shahar o'rmonining markazida, tabiatga yaqinroq bo'lishni xohlaydigan odamlar uchun qildik.Pufakcha kontseptsiyasini dizayner Per Stefan Dyuma ixtiro qilgan. Bu ilg'or dizayn mehmonlarni noma'lumlarga vaqtincha qo'shish uchun yaratilgan. Axir, ko'pchilik yumaloq shift ostida uxlashga qodir emas.

Balon libosi.

Mamlakat ofisi Bahor keladi (va u erda yoz ham) va ko'pchilik dam olish uchun mamlakatga keta boshlaydi.
Ammo ba'zida siz mamlakatda ishlashingiz kerak (siz uchun!). Nafaqaga joy yo'qmi?
Bu erda "Archipod" kichik sharsimon tuzilishda mumkin:

Energiya samaradorligiarxitektura ... Aqlli uy - bu molekula.

Parijning sharqiy chekkasidagi qassobxona joyida qurilgan La Vilette ilmiy -texnika parkida ko'zgu yuzasida Parij osmoni va uning atrofidagi manzarani aks ettiruvchi ulkan to'p ko'zni qamashtiradi. Bugungi kunda bu bino dunyodagi eng mukammal sferik tuzilma hisoblanadi. Parijliklar uni Geod deb atashadi. Bu panoramik

Evropadagi eng katta ekranli kino. to'p uyi oynasi

Agar sizning bayramingiz tabiatda yoki shiftdan o'tayotgan bo'lsa, bunday ip to'plarini daraxt shoxlariga osib qo'yish mumkin. Shuningdek, ular banket stolini bezatib, kompozitsiyani sham va gullar bilan to'ldirishlari mumkin.

2.10. Sfera va to'pni geodeziyada qo'llash.

Xaritadagi proektsiyalar

er ellipsoidining butun yuzasini aks ettirish (Qarang. ) yoki uning xaritasi samolyotda, asosan xaritani tuzish uchun olingan.

O'lchov.Qurilish loyihalari ma'lum miqyosda qurilmoqda. Er ellipsoidini aqliy ravishda kamaytirishMmarta, masalan, 10 000 000 marta, uning geometrik modelini oling - , tasviri tekislikda to'liq hajmda, bu ellipsoid yuzasi xaritasini beradi. Miqdor 1:M(1 -misolda: 10 000 000) xaritaning asosiy yoki umumiy miqyosini belgilaydi. Ellipsoid va to'pning sirtini tekislikda burilish va burmalarsiz ochib bo'lmaydi (ular ochiladigan yuzalar sinfiga kirmaydi). )), har qanday xarita har qanday xaritaga xos bo'lgan chiziq uzunligi, burchagi va boshqalarning buzilishi bilan tavsiflanadi. Kosmik kemaning istalgan nuqtasidagi asosiy xarakteristikasi - m shkalasi. Bu cheksiz kichik segment nisbati o'zarodser yuzida o'z qiyofasiga ellipsoiddσ yuzasida: μ min ≤ μ ≤ μ maksimalva tenglik bu erda faqat ma'lum nuqtalarda yoki xaritadagi ba'zi chiziqlar bo'ylab mumkin. Shunday qilib, xaritaning asosiy shkalasi uni faqat umumiy ma'noda, ma'lum bir o'rtacha shaklda tavsiflaydi. Munosabat m / M nisbiy shkalasi yoki uzunligining oshishi farqi deyiladi M = 1.

1. Sferik koordinata chiziqlari tarmoqlari.

2.11. Sfera va sferaning astronomiya va geografiyada qo'llanilishi.

BILAN ferra va to'p, shuningdek, aylana va aylana qadim zamonlarda hisoblangan. Erning sferikligi kashf etilishi, samoviy sfera haqidagi g'oyalarning paydo bo'lishi sharda joylashgan raqamlarni o'rganadigan maxsus fan - SPHERICning rivojlanishiga turtki berdi.

Dunyo bo'ylab sayohatlarni amalga oshirayotganda, navigatorlar o'sha joyga qaytganlarida, butun kun davomida yo'qotish yoki yutuq bo'lishini payqashdi, agar Yer disk shakliga ega bo'lsa, umuman imkonsiz bo'lar edi.

Shunday qilib, hozirgi vaqtda Yerning sharsimonligini isbotlovchi dalillar:

Okeanda va ochiq pasttekisliklarda yoki platolarda ufqning har doim aylana shakli;

Dunyo bo'ylab sayohat qiling.

Asta -sekin yaqinlashish yoki ob'ektlarni olib tashlash;

VA
har xil urish geografik xaritalar, biz geografiyada borligini aniqladik geografik nomlar to'p bilan bog'liq. Masalan, Novaya Zemlyaning Shimoliy va Janubiy orollari o'rtasida Baroch va Qora dengizlarni bog'laydigan bo'g'oz bor, u Matochkin Shar deb ataladi yoki Vaygach oroli sohillari bilan Evrosiyo materigi bo'g'ozi - Yugorskiy Shar. Bizning fikrimizcha, bu bo'g'ozlar to'p deb ataladi, chunki ularning kattaligi va pastki shakli sharsimon sirtga o'xshaydi.

2.12. San'at sohasi va to'p

Escher matematikasi

Bundan tashqari, Escherning turli xil "imkonsiz raqamlar" tasvirlangan rasmlari makon mantig'iga ega "o'yin" dir; Escher ularni alohida tasvirlab, litografiya va gravyurada syujet qilgan.

Uch sfera. 1946

Yansıtıcı shar bilan qo'l. 1935 yil

Xulosa

O'ylaymanki, men to'plagan material va bajarilgan ish jarayonida olingan bilimlarni geometriya darslarida, mehnatda, kundalik hayotda, fizika va matematika darslarida, shuningdek darsdan tashqari darslarda tanlash mumkin. talabalar dunyoqarashini kengaytirishga qaratilgan tadbirlar.

Adabiyot

Hadamard J. Boshlang'ich geometriya. 2 -qism. M. Uchpedgiz, 1958. Andreev

Atanasyan L.S. Geometriya. 2 -qism. - M: Ta'lim, 1987.- 352-yillar.

Bazylev V.T. Geometriya. M.: Ta'lim, 1975.

Bazylev V.T. Geometriya bo'yicha muammolar to'plami. M: Ta'lim, 1980.240 -yillar.

Egorov I.P. Geometriya. - M: Ta'lim, 1979.- 256-yillar.

Egorov I.P. Geometriya asoslari. - M: Ta'lim, 1984.- 144 b.

"Kvant" muammoli kitobi: Matematika. 1 -qism. / Ed. N.B. Vasileva. M: 1997 yil.

Rosenfeld B.A. Evklid bo'lmagan geometriya tarixi. Geometrik makon tushunchasini ishlab chiqish. M. Nauka., 1976. - 408p.

Boshlang'ich matematika entsiklopediyasi. 4 -kitob - Geometriya. M., 1963 yil.

10. Internet -resurslar.

To'p va shar birinchi navbatda geometrik figuralardir va agar to'p geometrik jism bo'lsa, u holda shar - bu sharning yuzasi. Bu raqamlar miloddan avvalgi ming yillar oldin qiziqqan.

Keyinchalik, Yer shar, osmon esa samoviy sfera ekanligi aniqlanganda, geometriyada yangi ajoyib yo'nalish - shar geometriyasi yoki sferik geometriya ishlab chiqildi. To'pning kattaligi va hajmi haqida gapirish uchun avval uni aniqlash kerak.

To'p

Geometriyaning O nuqtasida joylashgan R radiusli shar - bu umumiy xususiyatga ega bo'lgan kosmosning barcha nuqtalari tomonidan yaratilgan jism. Bu nuqtalar to'pning radiusidan oshmaydigan masofada joylashgan, ya'ni ular hamma joyni to'pning radiusidan kamroq, uning markazidan hamma tomonga to'ldiradi. Agar biz faqat to'p markazidan teng masofada joylashgan nuqtalarni hisobga olsak, biz uning yuzasini yoki to'pning qobig'ini ko'rib chiqamiz.

Qanday qilib to'p olish mumkin? Biz aylanani qog'ozdan kesib, o'z diametri atrofida aylantirishni boshlashimiz mumkin. Ya'ni, aylananing diametri aylanish o'qi bo'ladi. Yaratilgan shakl to'p bo'ladi. Shuning uchun, to'pni inqilob tanasi deb ham atashadi. Chunki uni tekis shakl - aylana aylantirish orqali hosil qilish mumkin.

Keling, samolyot olaylik va u bilan to'pimizni kesib tashlaylik. Xuddi biz apelsinni pichoq bilan kesib tashlaganimizdek. Biz to'pdan kesib tashlagan bo'lak sferik segment deb ataladi.

IN Qadimgi Yunoniston ular nafaqat to'p va shar bilan ishlashga, balki geometrik shakllardagidek, masalan, ularni qurilishda ishlatishga, balki to'pning sirtini va to'p hajmini hisoblashni ham bilishgan.

Sfera sharning yuzasi deb ham ataladi. Sfera tana emas - bu inqilob tanasining yuzasi. Ammo, Yer ham, ko'plab jismlar ham sferik shaklga ega bo'lgani uchun, masalan, bir tomchi suv, shar doirasidagi geometrik munosabatlarni o'rganish keng tarqalgan.

Masalan, agar biz sharning ikkita nuqtasini bir -biri bilan to'g'ri chiziq bilan bog'laydigan bo'lsak, bu to'g'ri chiziq akkord deb ataladi va agar bu akora sharning markaziga to'g'ri keladigan shar markazidan o'tib ketsa, u holda akkord sferaning diametri deb ataladi.

Agar biz sferaga bir nuqtada tegadigan to'g'ri chiziqni chizsak, bu chiziq teginish deb ataladi. Bunga qo'shimcha ravishda, bu vaqtda sharga tegib turgan teginish nuqta chizilgan sfera radiusiga perpendikulyar bo'ladi.

Agar biz akkordni bir yo'nalishda to'g'ri yo'nalishda, ikkinchisini shardan davom ettirsak, bu akkord sekant deb ataladi. Yoki boshqacha qilib aytganda - sharning sekanti o'z akkordini o'z ichiga oladi.

To'p hajmi

To'p hajmini hisoblash formulasi:

bu erda R - to'pning radiusi.

Agar siz sferik segmentning hajmini topmoqchi bo'lsangiz, formuladan foydalaning:

V seg = ph 2 (R-h / 3), h-sharsimon segmentning balandligi.

To'p yoki sharning sirt maydoni

Sfera maydonini yoki to'pning sirtini hisoblash uchun (ular bir xil):

bu erda R - shar radiusi.

Arximed to'p va sharni juda yaxshi ko'rar edi, hatto uning qabriga silindrga yozilgan sharni qo'yishni so'radi. Arximed to'pning hajmi va uning yuzasi to'p yozilgan silindr hajmi va yuzasining uchdan ikki qismiga teng deb hisoblardi.