Pifagor teoremasini qo'llash bo'yicha vazifalar. Pifagor teoremalarida ilm-fan bo'limidan boshlang

Sizga berilgan uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak ekanligiga ishonch hosil qiling, chunki Pifagor teoremasi faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun amal qiladi. To'g'ri burchakli uchburchaklarda uchta burchakdan biri har doim 90 daraja.

• To'g'ri burchakli uchburchakdagi to'g'ri burchak to'g'ri bo'lmagan burchaklarni ifodalovchi egri chiziq o'rniga kvadrat bilan ko'rsatilgan.

Uchburchakning tomonlarini belgilang. Oyoqlarni "a" va "b" (oyoqlari to'g'ri burchak ostida kesishgan tomonlar) va gipotenuzani "c" deb belgilang (gipotenuza - to'g'ri burchakka qarama-qarshi joylashgan to'g'ri burchakli uchburchakning eng katta tomoni).

Uchburchakning qaysi tomonini topmoqchi ekanligingizni aniqlang. Pifagor teoremasi to'g'ri burchakli uchburchakning istalgan tomonini topishga imkon beradi (agar boshqa ikki tomoni ma'lum bo'lsa). Qaysi tomonni (a, b, c) topish kerakligini aniqlang.

• Masalan, 5 ga teng gipotenuza berilgan va 3 ga teng oyog'i berilgan. Bunday holda, siz ikkinchi oyoqni topishingiz kerak. Bu misolga keyinroq qaytamiz.
• Agar qolgan ikki tomon noma'lum bo'lsa, Pifagor teoremasini qo'llash uchun noma'lum tomonlardan birining uzunligini topish kerak. Buning uchun asosiy trigonometrik funktsiyalardan foydalaning (agar sizga to'g'ri bo'lmagan burchaklardan birining qiymati berilsa).

Formuladagi a 2 + b 2 \u003d c 2 ni sizga berilgan qiymatlarni (yoki siz topgan qiymatlarni) almashtiring. Esda tutingki, a va b oyoqlar, c esa gipotenuzadir.

• Bizning misolimizda yozing: 3² + b² = 5².

Har bir ma'lum tomonni kvadratga aylantiring. Yoki ko'rsatkichlarni qoldiring - keyinroq raqamlarni kvadratga qo'yishingiz mumkin.

• Bizning misolimizda yozing: 9 + b² = 25.

Noma'lum tomonni tenglamaning bir tomonida ajratib oling. Buning uchun ma'lum qiymatlarni tenglamaning boshqa tomoniga o'tkazing. Agar siz gipotenuzani topsangiz, u holda Pifagor teoremasida u allaqachon tenglamaning bir tomonida izolyatsiya qilingan (shuning uchun hech narsa qilish kerak emas).

• Bizning misolimizda noma'lum b² ni ajratib olish uchun tenglamaning o'ng tomoniga 9 ni o'tkazing. Siz b² = 16 ni olasiz.

Tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizini oling. Bu bosqichda tenglamaning bir tomonida noma'lum (kvadrat), ikkinchi tomonida kesma (son) mavjud.

• Bizning misolimizda, b² = 16. Tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizini oling va b = 4 ni oling. Demak, ikkinchi oyog'i 4 .

Kundalik hayotda Pifagor teoremasidan foydalaning, chunki u juda ko'p amaliy vaziyatlarda qo'llanilishi mumkin. Buni amalga oshirish uchun kundalik hayotda to'g'ri uchburchaklarni tan olishni o'rganing - ikkita ob'ekt (yoki chiziqlar) to'g'ri burchak ostida kesishgan va uchinchi ob'ekt (yoki chiziq) birinchi ikkita ob'ektning (yoki) tepalarini (diagonal ravishda) bog'laydigan har qanday vaziyatda. chiziqlar), noma'lum tomonni topish uchun Pifagor teoremasidan foydalanishingiz mumkin (agar boshqa ikki tomon ma'lum bo'lsa).

• Misol: binoga suyangan narvon berilgan. Zinapoyaning pastki qismi devor tagidan 5 metr masofada joylashgan. Zinapoyaning tepasi erdan 20 metr (devorga) joylashgan. Narvonning uzunligi qancha?
  • "Devorning tagidan 5 metr" degan ma'noni anglatadi a = 5; "Yerdan 20 metr uzoqlikda" degani b = 20 (ya'ni sizga to'g'ri burchakli uchburchakning ikkita oyog'i berilgan, chunki binoning devori va Yer yuzasi to'g'ri burchak ostida kesishadi). Narvonning uzunligi noma'lum bo'lgan gipotenuzaning uzunligi.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. Shunday qilib, zinapoyaning taxminiy uzunligi 20,6 metr.

Maktab o‘quv dasturida o‘rganilayotgan Pifagor teoremasining tarixi bilan qiziquvchilarni 1940 yilda oddiy ko‘ringan bu teoremaning uch yuz yetmishta isboti bilan kitobning nashr etilishi kabi fakt ham qiziqtiradi. Ammo u turli davrlardagi ko'plab matematik va faylasuflarning ongini qiziqtirdi. Ginnesning rekordlar kitobida u maksimal isbotlar soniga ega teorema sifatida qayd etilgan.

Pifagor teoremasining tarixi

Pifagor nomi bilan bog'liq bo'lgan teorema buyuk faylasuf tug'ilishidan ancha oldin ma'lum bo'lgan. Shunday qilib, Misrda inshootlarni qurishda to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari nisbati besh ming yil oldin hisobga olingan. Bobil matnlarida Pifagor tug'ilishidan 1200 yil oldin to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining bir xil nisbati qayd etilgan.

Savol tug'iladi, nima uchun hikoyada aytiladi - Pifagor teoremasining paydo bo'lishi unga tegishli? Faqat bitta javob bo'lishi mumkin - u uchburchakdagi tomonlar nisbatini isbotladi. U tajriba bilan o'rnatilgan aspekt nisbati va gipotenuzani oddiygina ishlatganlar, asrlar oldin qilmagan ishni qildi.

Pifagor hayotidan

Bo'lajak buyuk olim, matematik, faylasuf miloddan avvalgi 570 yilda Samos orolida tug'ilgan. Tarixiy hujjatlarda marvarid o'ymakorligi bo'lgan Pifagorning otasi haqida ma'lumotlar saqlanib qolgan, ammo uning onasi haqida hech qanday ma'lumot yo'q. Tug'ilgan o'g'il haqida ular bolaligidan musiqa va she'riyatga ishtiyoqni namoyon etgan ajoyib bola ekanligini aytishdi. Tarixchilar Ermodamant va Siroslik Ferekidlarni yosh Pifagorlarning ustozlari deb atashadi. Birinchisi bolani Musalar olamiga kiritdi, ikkinchisi faylasuf va italyan falsafa maktabining asoschisi bo'lib, yigitning nigohini logotipga qaratdi.

Pifagor 22 yoshida (miloddan avvalgi 548 yil) Misrliklarning tili va dinini oʻrganish uchun Navkratisga boradi. Bundan tashqari, uning yo'li Memfisda bo'lib, u erda ruhoniylar tufayli, ularning ajoyib sinovlaridan o'tib, u Misr geometriyasini tushundi, bu, ehtimol, qiziquvchan yigitni Pifagor teoremasini isbotlashga undadi. Keyinchalik tarix bu nomni teorema bilan bog'laydi.

Bobil shohi tomonidan asirga olingan

Pifagor Elladaga uyiga ketayotib, Bobil shohi tomonidan asirga olinadi. Ammo asirlikda bo'lish boshlang'ich matematikning qiziquvchan ongiga foyda keltirdi, u ko'p narsalarni o'rganishi kerak edi. Darhaqiqat, o'sha yillarda Bobilda matematika Misrga qaraganda ancha rivojlangan edi. U o'n ikki yil davomida matematika, geometriya va sehrni o'rgandi. Va, ehtimol, uchburchak tomonlari nisbati va teoremaning ochilish tarixini isbotlashda Bobil geometriyasi ishtirok etgan. Buning uchun Pifagorda yetarli bilim va vaqt bor edi. Ammo bu Bobilda sodir bo'lgan, buni hech qanday hujjatli tasdiqlash yoki rad etish yo'q.

Miloddan avvalgi 530 yilda Pifagor asirlikdan o'z vataniga qochib ketadi va u erda zolim Polikratning saroyida yarim qul maqomida yashaydi. Bunday hayot Pifagorga mos kelmaydi va u Samos g'orlariga nafaqaga chiqadi va keyin o'sha paytda Kroton yunon koloniyasi joylashgan Italiyaning janubiga boradi.

Yashirin monastir tartibi

Bu mustamlaka negizida Pifagor bir vaqtning o'zida diniy ittifoq va ilmiy jamiyat bo'lgan yashirin monastir ordeni tashkil qilgan. Bu jamiyatning o'ziga xos turmush tarziga rioya qilish to'g'risidagi nizomi bor edi.

Pifagor Xudoni tushunish uchun inson algebra va geometriya kabi fanlarni bilishi, astronomiyani bilishi va musiqani tushunishi kerak, deb ta'kidlagan. Tadqiqot ishlari raqamlar va falsafaning mistik tomonlarini bilishga qisqartirildi. Shuni ta'kidlash kerakki, o'sha paytda Pifagor tomonidan targ'ib qilingan tamoyillar hozirgi vaqtda taqlid qilishda ma'noga ega.

Pifagor shogirdlari tomonidan qilingan ko'plab kashfiyotlar unga tegishli edi. Shunga qaramay, qisqacha aytganda, o'sha davrning qadimgi tarixchilari va biograflari tomonidan Pifagor teoremasini yaratish tarixi bevosita ushbu faylasuf, mutafakkir va matematik nomi bilan bog'liq.

Pifagor ta'limoti

Ehtimol, tarixchilar buyuk yunonning oyoqlari va gipotenuzasi bo'lgan uchburchak hayotimizdagi barcha hodisalarni kodlaganligi haqidagi bayonotidan ilhomlangandir. Va bu uchburchak yuzaga keladigan barcha muammolarni hal qilishning "kalitidir". Buyuk faylasufning aytishicha, uchburchakni ko'rish kerak, shunda muammoning uchdan ikki qismi hal qilingan deb taxmin qilish mumkin.

Pifagor o'z ta'limotini faqat o'z shogirdlariga og'zaki, hech qanday qayd qilmasdan, sir saqlagan holda aytib bergan. Afsuski, eng buyuk faylasufning ta'limoti bugungi kungacha saqlanib qolgani yo'q. Ularning ba'zilari tashqariga chiqib ketgan, ammo ma'lum bo'lgan narsaning qanchalik haqiqat va qanchalik yolg'on ekanligini aytish mumkin emas. Pifagor teoremasining tarixi bilan ham hamma narsa aniq emas. Matematika tarixchilari Pifagorning muallifligiga shubha qilishadi, ularning fikricha, teorema uning tug'ilishidan ko'p asrlar oldin ishlatilgan.

Pifagor teoremasi

Bu g'alati tuyulishi mumkin, ammo Pifagorning o'zi tomonidan teoremani isbotlashning tarixiy faktlari yo'q - na arxivlarda, na boshqa manbalarda. Zamonaviy versiyada u Evklidning o'zidan boshqa hech kimga tegishli emas, deb ishoniladi.

Miloddan avvalgi 2300-yillarda misrliklar tomonidan yozilgan Berlin muzeyida saqlanadigan papirusda kashf etilgan eng buyuk matematika tarixchilaridan biri Morits Kantor haqida dalillar mavjud. e. tenglik, o'qiydi: 3² + 4² = 5².

Pifagor teoremasi tarixidan qisqacha

Tarjimada Evklidning "Boshlanishlari" teoremasining formulasi zamonaviy talqindagi kabi eshitiladi. Uni o'qishda hech qanday yangilik yo'q: to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonning kvadrati to'g'ri burchakka ulashgan tomonlarning kvadratlari yig'indisiga teng. Hindiston va Xitoyning qadimgi sivilizatsiyalari teoremadan foydalanganligi "Chjou Bi Suan Jin" risolasi bilan tasdiqlangan. Unda Misr uchburchagi haqidagi ma'lumotlar mavjud bo'lib, u tomonlar nisbatini 3:4:5 sifatida tasvirlaydi.

Yana bir qiziqarli Xitoy matematik kitobi "Chu-pei" ham Pifagor uchburchagi haqida tushuntirish va Basxara hindu geometriyasi chizmalariga to'g'ri keladigan chizmalarni eslatib o'tadi. Uchburchakning o'zi haqida kitobda aytilishicha, agar to'g'ri burchakni uning tarkibiy qismlariga ajratish mumkin bo'lsa, u holda tomonlarning uchlarini bog'laydigan chiziq beshga teng bo'ladi, agar poydevor uchta bo'lsa va balandligi to'rtta bo'lsa.

Miloddan avvalgi 7-5-asrlarga oid hindlarning "Sulva sutra" risolasi. e., Misr uchburchagi yordamida to'g'ri burchakni qurish haqida gapiradi.

Teoremaning isboti

O'rta asrlarda talabalar teoremani isbotlashni juda qiyin deb hisoblashgan. Zaif o‘quvchilar isbotning ma’nosini tushunmay, teoremalarni yoddan o‘rgandilar. Shu munosabat bilan ular "eshaklar" laqabini oldilar, chunki Pifagor teoremasi ular uchun eshak uchun ko'prik kabi engib bo'lmaydigan to'siq edi. O'rta asrlarda talabalar ushbu teorema mavzusi bo'yicha o'ynoqi she'r bilan chiqishdi.

Pifagor teoremasini eng oson yo'l bilan isbotlash uchun, isbotda maydonlar tushunchasidan foydalanmasdan, uning tomonlarini o'lchashingiz kerak. To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonning uzunligi c va unga qo'shni a va b, natijada biz tenglamani olamiz: a 2 + b 2 \u003d c 2. Ushbu bayonot, yuqorida aytib o'tilganidek, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini o'lchash orqali tasdiqlanadi.

Agar biz teoremani isbotlashni uchburchakning yon tomonlarida qurilgan to'rtburchaklar maydonini hisobga olgan holda boshlasak, butun shaklning maydonini aniqlashimiz mumkin. Bu yon tomoni (a + b) bo'lgan kvadratning maydoniga, boshqa tomondan, to'rtta uchburchak va ichki kvadrat maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2, bu isbotlanishi kerak edi.

Pifagor teoremasining amaliy ahamiyati shundan iboratki, uning yordamida segmentlarning uzunliklarini o‘lchamasdan topish mumkin. Tuzilmalarni qurishda masofalar, tayanchlar va nurlarni joylashtirish hisoblab chiqiladi, tortishish markazlari aniqlanadi. Pifagor teoremasi barcha zamonaviy texnologiyalarda ham qo'llaniladi. Ular 3D-6D o'lchamdagi filmlarni yaratishda teoremani unutmadilar, bu erda odatdagi 3 ta qiymatdan tashqari: balandlik, uzunlik, kenglik, vaqt, hid va ta'm hisobga olinadi. Ta'm va hidlar teorema bilan qanday bog'liq, deb so'raysizmi? Hamma narsa juda oddiy - filmni namoyish qilishda siz auditoriyaga qaerga va qanday hid va ta'mni yo'naltirishni hisoblashingiz kerak.

Bu faqat boshlanishi. Yangi texnologiyalarni kashf qilish va yaratish uchun cheksiz imkoniyatlar qiziquvchan aqllarni kutmoqda.

Pifagor - taxminan 2500 yil oldin (miloddan avvalgi 564-473) yashagan yunon olimi.

To'g'ri burchakli uchburchak kimning tomonlari berilgan bo'lsin a, b va Bilan(267-rasm).

Keling, uning yon tomonlarida kvadratchalar quramiz. Bu kvadratlarning maydonlari mos ravishda a 2 , b 2 va Bilan 2. Keling, buni isbotlaylik Bilan 2 = a 2 +b 2 .

Har birining yon tomoniga ABC to'g'ri burchakli uchburchakning katetlari yig'indisiga teng bo'lgan segmentni olib, ikkita MKOR va M'K'O'R' kvadratlarini quramiz (268, 269-rasm).

Ushbu kvadratlarda 268 va 269-rasmlarda ko'rsatilgan konstruktsiyalarni bajarib, biz MKOR kvadratining maydonlari bo'lgan ikkita kvadratga bo'linganligini ko'ramiz. a 2 va b 2 va to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchaklar, ularning har biri ABC to'g'ri burchakli uchburchakka teng. M'K'O'R' kvadrat to'rtburchak (269-rasmda soyalangan) va to'rtta to'g'ri burchakli uchburchakka bo'lingan, ularning har biri ham ABC uchburchakka teng. Soyali to'rtburchak kvadratdir, chunki uning tomonlari teng (har biri ABC uchburchakning gipotenuzasiga teng, ya'ni. Bilan) va burchaklar to'g'ri chiziqlar ∠1 + ∠2 = 90 °, bu erdan ∠3 = 90 °).

Shunday qilib, oyoqlarda qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisi (268-rasmda bu kvadratlar soyali) to'rtta teng uchburchakning maydonlari yig'indisisiz MKOR kvadratining maydoniga va gipotenuzada qurilgan kvadrat (269-rasmda bu kvadrat ham soyali) M'K'O'R' kvadratining maydoniga teng, MKOR kvadratiga teng, maydonlarning yig'indisisiz to'rtta o'xshash uchburchak. Shunday qilib, to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlarining yig'indisiga teng.

Biz formulani olamiz Bilan 2 = a 2 +b 2, qayerda Bilan- gipotenuza, a va b- to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari.

Pifagor teoremasini quyidagicha umumlashtirish mumkin:

To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

Formuladan Bilan 2 = a 2 +b 2 quyidagi formulalarni olishingiz mumkin:

a 2 = Bilan 2 - b 2 ;

b 2 = Bilan 2 - a 2 .

Ushbu formulalar to'g'ri burchakli uchburchakning ikkita tomoni berilgan noma'lum tomonini topish uchun ishlatilishi mumkin.

Masalan:

a) agar oyoqlar berilgan bo'lsa a= 4 sm, b\u003d 3 sm, keyin siz gipotenuzani topishingiz mumkin ( Bilan):

Bilan 2 = a 2 +b 2, ya'ni. Bilan 2 = 4 2 + 3 2; 2 = 25 bilan, qaerdan Bilan= √25 = 5(sm);

b) gipotenuza berilgan bo'lsa Bilan= 17 sm va oyoq a= 8 sm, keyin siz boshqa oyoqni topishingiz mumkin ( b):

b 2 = Bilan 2 - a 2, ya'ni. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, qaerdan b= √225 = 15 (sm).

Xulosa: Agar ikkita to'g'ri burchakli uchburchakda ABC va A 1 B 1 C 1 gipotenuza bo'lsa Bilan va Bilan 1 teng va oyoq b ABC uchburchagi oyoqdan kattaroqdir b 1 ta uchburchak A 1 B 1 C 1,

keyin oyoq a ABC uchburchagi oyoqdan kichik a 1 ta uchburchak A 1 B 1 C 1.

Haqiqatan ham, Pifagor teoremasiga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz:

a 2 = Bilan 2 - b 2 ,

a 1 2 = Bilan 1 2 - b 1 2

Yozma formulalarda minuendlar teng bo'lib, birinchi formuladagi ayirma ikkinchi formuladan ko'ra kattaroqdir, shuning uchun birinchi farq ikkinchidan kichik,

ya'ni a 2 a 1 2 . Qayerda a a 1.

1

Shapovalova L.A. (Egorlykskaya stansiyasi, MBOU ESOSH No 11)

1. Gleyzer G.I. VII - VIII sinflar maktabida matematika tarixi, o'qituvchilar uchun qo'llanma, - M: Ta'lim, 1982 yil.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. “Matematika darsligi sahifalarida” 5-6-sinf o‘quvchilari uchun qo‘llanma. - M.: Ma'rifat, 1989 yil.

3. Zenkevich I.G. “Matematika darsining estetikasi”. - M.: Ma'rifat, 1981 yil.

4. Litsman V. Pifagor teoremasi. - M., 1960 yil.

5. Voloshinov A.V. "Pifagor". - M., 1993 yil.

6. Pichurin L.F. "Algebra darsligi sahifalaridan tashqari". - M., 1990 yil.

7. Zemlyakov A.N. “10-sinfda geometriya”. - M., 1986 yil.

8. "Matematika" gazetasi 17/1996.

9. "Matematika" gazetasi 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskiy M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Boshlang'ich matematikadan masalalar to'plami". - M., 1963 yil.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.X. "Matematika bo'yicha qo'llanma". - M., 1973 yil.

12. Shchetnikov A.I. "Son va kattalik haqidagi Pifagor ta'limoti". - Novosibirsk, 1997 yil.

13. “Haqiqiy sonlar. Irratsional ifodalar» 8-sinf. Tomsk universiteti nashriyoti. - Tomsk, 1997 yil.

14. Atanasyan M.S. “Geometriya” 7-9 sinf. - M.: Ma'rifat, 1991 yil.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Bu o'quv yilida men qadim zamonlardan ma'lum bo'lgan qiziqarli teorema bilan tanishdim:

"To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yig'indisiga teng."

Odatda bu bayonotning kashfiyoti qadimgi yunon faylasufi va matematigi Pifagorga (miloddan avvalgi VI asr) tegishli. Ammo qadimgi qo'lyozmalarni o'rganish shuni ko'rsatdiki, bu bayonot Pifagor tug'ilishidan ancha oldin ma'lum bo'lgan.

Nima uchun bu holatda, bu Pifagor nomi bilan bog'liq ekanligiga hayron bo'ldim.

Mavzuning dolzarbligi: Pifagor teoremasi katta ahamiyatga ega: u geometriyada har qadamda tom ma'noda qo'llaniladi. Pifagor asarlari hozir ham dolzarbligicha qolmoqda, deb hisoblayman, chunki qayerga qaramasak, hamma joyda uning zamonaviy hayotning turli sohalarida mujassamlangan buyuk g‘oyalari samarasini ko‘rishimiz mumkin.

Mening tadqiqotimning maqsadi: Pifagor kim bo'lganligini va uning bu teorema bilan qanday aloqasi borligini aniqlash edi.

Teorema tarixini o'rganib, men quyidagilarni aniqlashga qaror qildim:

Bu teoremaning boshqa isbotlari bormi?

Bu teoremaning odamlar hayotida qanday ahamiyati bor?

Pifagor matematikaning rivojlanishida qanday rol o'ynadi?

Pifagorning tarjimai holidan

Samoslik Pifagor - buyuk yunon olimi. Uning mashhurligi Pifagor teoremasining nomi bilan bog'liq. Garchi hozir biz bu teorema qadimgi Bobilda Pifagordan 1200 yil oldin ma'lum bo'lganini va undan 2000 yil oldin Misrda tomonlari 3, 4, 5 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak ma'lum bo'lganligini bilsak ham, biz uni hanuzgacha ushbu qadimiy nomi bilan ataymiz. olim.

Pifagorning hayoti haqida deyarli hech narsa ma'lum emas, lekin ko'plab afsonalar uning nomi bilan bog'liq.

Pifagor miloddan avvalgi 570 yilda Samos orolida tug'ilgan.

Pifagor chiroyli ko'rinishga ega edi, uzun soqolli va boshida oltin diadem bor edi. Pifagor - bu ism emas, balki faylasuf har doim to'g'ri va ishonarli gapirgani uchun olgan taxallus, xuddi yunon orakuli kabi. (Pythagoras - "ishonchli nutq").

Miloddan avvalgi 550 yilda Pifagor qaror qabul qiladi va Misrga boradi. Shunday qilib, Pifagor oldida noma'lum mamlakat va noma'lum madaniyat ochiladi. Bu mamlakatda Pifagorni ko'p hayratda qoldirdi va hayratda qoldirdi va misrliklar hayotini ba'zi kuzatishlardan so'ng, Pifagor ruhoniylar kastasi tomonidan himoyalangan bilimga yo'l din orqali ekanligini tushundi.

Misrda o'n bir yillik o'qishdan so'ng, Pifagor o'z vataniga boradi va u erda yo'lda Bobil asirligiga tushadi. U yerda Misr ilmidan ancha rivojlangan Bobil ilmi bilan tanishadi. Bobilliklar chiziqli, kvadrat va ayrim turdagi kub tenglamalarni yechishni bilishgan. Asirlikdan qutulib, u yerda hukm surgan zo‘ravonlik va zulm muhiti tufayli o‘z vatanida uzoq qola olmadi. U Krotonga (Italiya shimolidagi yunon koloniyasi) ko'chib o'tishga qaror qildi.

Aynan Krotonda Pifagor hayotidagi eng shonli davr boshlanadi. U erda u diniy-axloqiy birodarlik yoki yashirin monastir tartibini o'rnatdi, uning a'zolari Pifagorcha hayot tarzini olib borishlari shart edi.

Pifagor va Pifagorchilar

Pifagorlar Apennin yarim orolining janubidagi yunon koloniyasida diniy va axloqiy birodarlikni, masalan, keyinchalik Pifagor ittifoqi deb ataladigan monastir ordenini tashkil qildilar. Ittifoq a'zolari ma'lum tamoyillarga amal qilishlari kerak edi: birinchidan, go'zal va ulug'vorlikka intilish, ikkinchidan, foydali bo'lish, uchinchidan, yuqori zavq olishga intilish.

Pifagor o'z shogirdlariga vasiyat qilgan axloqiy va axloqiy qoidalar tizimi antik davr, o'rta asrlar va Uyg'onish davrida juda mashhur bo'lgan pifagorchilarning o'ziga xos "Oltin oyatlar" axloq kodeksiga kiritilgan.

Pifagor tadqiqotlari tizimi uchta bo'limdan iborat edi:

Raqamlar haqidagi ta'limotlar - arifmetika,

Shakllar haqidagi ta'limotlar - geometriya,

Koinotning tuzilishi haqidagi ta'limotlar - astronomiya.

Pifagor tomonidan asos solingan ta'lim tizimi ko'p asrlar davom etdi.

Pifagor maktabi geometriyaga fan xarakterini berish uchun ko'p ish qildi. Pifagor usulining asosiy xususiyati geometriyani arifmetika bilan birlashtirish edi.

Pifagor proporsiyalar va progressiyalar va, ehtimol, raqamlarning o'xshashligi bilan ko'p shug'ullangan, chunki u muammoni hal qilishda ishtirok etgan: "Ma'lumotlardan biriga o'lchami bo'yicha teng va ikkinchisiga o'xshash uchinchisini tuzing. ikkita raqam berilgan."

Pifagor va uning shogirdlari ko'pburchak, do'stona, mukammal sonlar tushunchasini kiritdilar va ularning xususiyatlarini o'rgandilar. Arifmetika hisob amaliyoti sifatida Pifagorni qiziqtirmasdi va u “arifmetikani savdogar manfaatidan ustun qo‘yishini” g‘urur bilan e’lon qildi.

Pifagor ittifoqi a'zolari Gretsiyaning ko'plab shaharlarining aholisi edi.

Pifagorchilar ham ayollarni o'z jamiyatiga qabul qildilar. Ittifoq yigirma yildan ortiq gullab-yashnadi, keyin uning a'zolarini ta'qib qilish boshlandi, ko'plab talabalar o'ldirildi.

Pifagorning o'limi haqida turli xil afsonalar mavjud edi. Ammo Pifagor va uning shogirdlarining ta'limoti yashashda davom etdi.

Pifagor teoremasining yaratilish tarixidan

Hozirgi vaqtda bu teoremani Pifagor kashf qilmaganligi ma'lum. Biroq, ba'zilar uning to'liq isbotini birinchi bo'lib Pifagor bergan deb hisoblashadi, boshqalari esa bu xizmatni inkor etadilar. Ba'zilar Evklid o'zining "Elementlar" ning birinchi kitobida keltirgan dalilni Pifagorga bog'laydi. Boshqa tomondan, Prokl Elementlardagi dalil Evklidning o'zi tufayli ekanligini da'vo qiladi. Ko'rib turganimizdek, matematika tarixida Pifagor hayoti va uning matematik faoliyati haqida ishonchli aniq ma'lumotlar deyarli yo'q.

Keling, Pifagor teoremasining tarixiy sharhini qadimgi Xitoydan boshlaylik. Bu erda Chu-peyning matematik kitobi alohida e'tiborni tortadi. Ushbu inshoda tomonlari 3, 4 va 5 bo'lgan Pifagor uchburchagi haqida aytilgan:

"Agar to'g'ri burchak uning tarkibiy qismlariga ajralsa, u holda uning tomonlari uchlarini bog'laydigan chiziq 5 ga teng bo'ladi, agar asos 3 va balandligi 4 bo'lsa."

Ularning qurilish usulini takrorlash juda oson. 12 m uzunlikdagi arqonni oling va uni 3 m masofada rangli chiziq bo'ylab bog'lang. bir chetidan, ikkinchisidan 4 metr. 3 va 4 metr uzunlikdagi tomonlar o'rtasida to'g'ri burchak o'rnatiladi.

Hindular orasida geometriya kult bilan chambarchas bog'liq edi. Gipotenuza kvadrati teoremasi Hindistonda eramizdan avvalgi 8-asrda allaqachon ma'lum bo'lganligi ehtimoli katta. Sof marosim retseptlari bilan bir qatorda, geometrik teologik xarakterga ega bo'lgan asarlar mavjud. Miloddan avvalgi 4-5-asrlarga oid bu yozuvlarda tomonlari 15, 36, 39 boʻlgan uchburchak yordamida toʻgʻri burchak yasash bilan uchrashamiz.

O'rta asrlarda Pifagor teoremasi imkon qadar katta bo'lmasa, hech bo'lmaganda yaxshi matematik bilimlarning chegarasini belgilab berdi. Ba'zan maktab o'quvchilari tomonidan, masalan, professor yoki erkakning xalatini kiygan shlyapaga aylantiriladigan Pifagor teoremasining xarakterli chizmasi o'sha kunlarda matematikaning ramzi sifatida ko'pincha ishlatilgan.

Xulosa qilib aytganda, biz yunon, lotin va nemis tillaridan tarjima qilingan Pifagor teoremasining turli formulalarini taqdim etamiz.

Evklid teoremasi o'qiydi (so'zma-so'z tarjimasi):

"To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakni o'z ichiga olgan tomonning kvadrati to'g'ri burchakni o'rab turgan tomonlarning kvadratlariga teng."

Ko'rib turganingizdek, turli mamlakatlarda va turli tillarda tanish teoremani shakllantirishning turli xil versiyalari mavjud. Turli vaqtlarda va turli tillarda yaratilgan ular bitta matematik naqshning mohiyatini aks ettiradi, buning isboti ham bir nechta variantlarga ega.

Pifagor teoremasini isbotlashning beshta usuli

qadimgi Xitoy dalillari

Qadimgi Xitoy chizmasida oyoqlari a, b va gipotenuza c bo'lgan to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchaklar shunday joylashtirilganki, ularning tashqi konturi a + b tomoni bo'lgan kvadratni, ichki tomoni esa c tomoniga qurilgan kvadratni hosil qiladi. gipotenuza

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Gardfildning isboti (1882)

Ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakni shunday joylashtiramizki, ulardan birining oyog'i ikkinchisining davomi bo'lsin.

Ko'rib chiqilayotgan trapezoidning maydoni asoslar va balandlikning yarmi yig'indisining ko'paytmasi sifatida topiladi.

Boshqa tomondan, trapezoidning maydoni hosil bo'lgan uchburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng:

Ushbu iboralarni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Buning isboti oddiy

Bu dalil teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning eng oddiy holatida olinadi.

Ehtimol, teorema u bilan boshlangan.

Darhaqiqat, teorema to'g'ri ekanligini bilish uchun faqat teng burchakli to'g'ri burchakli uchburchaklarning plitkalariga qarash kerak.

Misol uchun, ABC uchburchagi uchun: AC gipotenuzasiga qurilgan kvadrat 4 ta boshlang'ich uchburchakni o'z ichiga oladi va oyoqlarda qurilgan kvadratlar ikkitadan iborat. Teorema isbotlangan.

Qadimgi hindlarning isboti

Yoni (a + b) bo'lgan kvadratni shakldagi kabi qismlarga bo'lish mumkin. 12. a, yoki rasmdagi kabi. 12b. Har ikkala rasmda 1, 2, 3, 4 qismlari bir xil ekanligi aniq. Va agar tenglardan (maydonlardan) tenglar ayirilsa, tenglar qoladi, ya'ni. c2 = a2 + b2.

Evklidning isboti

Ikki ming yil davomida eng keng tarqalgani Evklid tomonidan ixtiro qilingan Pifagor teoremasining isboti edi. Bu uning mashhur "Boshlanishlar" kitobida joylashgan.

Evklid BH balandligini to'g'ri burchak cho'qqisidan gipotenuzaga tushirdi va uning kengayishi gipotenuzada tugallangan kvadratni ikkita to'rtburchakga bo'lishini isbotladi, ularning maydonlari oyoqlarda qurilgan tegishli kvadratlarning maydonlariga teng.

Bu teoremani isbotlashda foydalanilgan chizma hazil bilan “Pifagor shimi” deb ataladi. Uzoq vaqt davomida u matematika fanining ramzlaridan biri hisoblangan.

Pifagor teoremasining qo'llanilishi

Pifagor teoremasining ahamiyati shundan iboratki, geometriya teoremalarining aksariyati undan yoki uning yordami bilan olinishi va ko‘plab masalalarni yechish mumkin. Bundan tashqari, Pifagor teoremasi va uning teskari teoremasining amaliy ahamiyati shundan iboratki, ular segmentlarning o'zini o'lchamasdan segmentlarning uzunliklarini topish uchun ishlatilishi mumkin. Bu, xuddi to'g'ri chiziqdan tekislikka, tekislikdan hajmli fazoga va undan tashqariga yo'l ochadi. Aynan shuning uchun ham Pifagor teoremasi insoniyat uchun juda muhim bo'lib, u ko'proq o'lchamlarni kashf etishga va bu o'lchamlarda texnologiyalar yaratishga intiladi.

Xulosa

Pifagor teoremasi shu qadar mashhurki, bu haqda eshitmagan odamni tasavvur qilish qiyin. Pifagor teoremasini isbotlashning bir qancha usullari borligini bilib oldim. Men bir qator tarixiy-matematik manbalarni, jumladan, Internetdagi ma’lumotlarni o‘rganib chiqdim va Pifagor teoremasi nafaqat o‘z tarixi, balki hayotda va fanda muhim o‘rin tutgani uchun ham qiziq ekanligini angladim. Buni men tomonidan ushbu maqolada berilgan ushbu teorema matnining turli xil talqinlari va uni isbotlash usullari tasdiqlaydi.

Demak, Pifagor teoremasi geometriyaning asosiy va, aytish mumkinki, eng muhim teoremalaridan biridir. Uning ahamiyati shundaki, geometriyaning aksariyat teoremalarini undan yoki uning yordami bilan chiqarish mumkin. Pifagor teoremasi ham diqqatga sazovorki, u o'z-o'zidan aniq emas. Masalan, teng yonli uchburchakning xossalarini bevosita chizmada ko'rish mumkin. Ammo to'g'ri burchakli uchburchakka qanchalik qaramang, uning tomonlari o'rtasida oddiy munosabat borligini hech qachon ko'rmaysiz: c2 = a2 + b2. Shuning uchun vizualizatsiya ko'pincha buni isbotlash uchun ishlatiladi. Pifagorning xizmati shundaki, u bu teoremani to'liq ilmiy isbotlagan. Xotirasi bu teorema bilan tasodifiy saqlanib qolmagan olimning shaxsiyati qiziq. Pifagor musiqa va raqamlar uyg'unligiga, ezgulik va adolatga, bilim va sog'lom turmush tarziga qaratilgan ajoyib notiq, o'qituvchi va tarbiyachi, o'z maktabining tashkilotchisi. U biz, uzoq avlodlar uchun namuna bo'lishi mumkin.

Bibliografik havola

Tumanova S.V. PİFAGOR TEOREMASINI ISBODLASHNING BIR QANDAY YO'LLARI // Ilm-fandan boshlang. - 2016. - No 2. - B. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (kirish sanasi: 28.02.2020).

Van der Vaerdenning so'zlariga ko'ra, umumiy shakldagi nisbat Bobilda miloddan avvalgi 18-asrda ma'lum bo'lgan bo'lishi mumkin. e.

Miloddan avvalgi taxminan 400 yil. e., Proklusga ko'ra, Platon algebra va geometriyani birlashtirgan Pifagor uchliklarini topish usulini bergan. Miloddan avvalgi 300-yillar atrofida. e. Evklidning "Elementlari" da Pifagor teoremasining eng qadimgi aksiomatik isboti paydo bo'ldi.

So'zlash

Asosiy formulada algebraik operatsiyalar mavjud - oyoqlari uzunligi teng bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakda. a (\displaystyle a) va b (\displaystyle b), va gipotenuzaning uzunligi c (\displaystyle c), munosabat bajariladi:

.

Maydon-figura tushunchasiga murojaat qilib, ekvivalent geometrik formulani ham qo'llash mumkin: to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisiga teng. Bu shaklda teorema Evklid Prinsipiyasida tuzilgan.

Teskari Pifagor teoremasi- tomonlarning uzunliklari o'zaro bog'liqlik bilan bog'liq bo'lgan har qanday uchburchakning to'rtburchakligi haqidagi bayonot a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Natijada, ijobiy raqamlarning har qanday uchligi uchun a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) va c (\displaystyle c), shu kabi a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), oyoqlari bilan to'g'ri burchakli uchburchak mavjud a (\displaystyle a) va b (\displaystyle b) va gipotenuza c (\displaystyle c).

isboti

Ilmiy adabiyotlarda Pifagor teoremasining kamida 400 ta isboti qayd etilgan bo'lib, bu geometriya uchun asosiy qiymat va natijaning elementarligi bilan izohlanadi. Dalillarning asosiy yo'nalishlari quyidagilardir: elementlarning nisbatlarini algebraik ishlatish - uchburchak (masalan, mashhur o'xshashlik usuli), maydon usuli, shuningdek, turli xil ekzotik isbotlar (masalan, differentsial tenglamalar yordamida).

Shu kabi uchburchaklar orqali

Evklidning klassik isboti gipotenuza ustidagi kvadratni oyoqlar ustidagi kvadratlar bilan to'g'ri burchakdan balandlik bilan kesish natijasida hosil bo'lgan to'rtburchaklar orasidagi maydonlarning tengligini aniqlashga qaratilgan.

Isbot uchun ishlatiladigan konstruktsiya quyidagicha: to'g'ri burchakli to'g'ri burchakli uchburchak uchun C (\displaystyle C), oyoq ustidagi kvadratlar va gipotenuzaning ustidagi kvadratlar A B I K (\displaystyle ABIK) balandligi qurilmoqda C H (\displaystyle CH) va uni davom ettiruvchi nur s (\displaystyle s), gipotenuzaning ustidagi kvadratni ikkita to'rtburchaklar va . Isbot to'rtburchak maydonlarining tengligini o'rnatishga qaratilgan A H J K (\displaystyle AHJK) oyoq ustidagi kvadrat bilan A C (\displaystyle AC); gipotenuza ustidagi kvadrat bo'lgan ikkinchi to'rtburchak va boshqa oyoq ustidagi to'rtburchaklar maydonlarining tengligi xuddi shunday tarzda o'rnatiladi.

To'rtburchak maydonlarining tengligi A H J K (\displaystyle AHJK) va A C E D (\displaystyle ACED) uchburchaklarning mos kelishi orqali o'rnatiladi △ A C K ​​(\displaystyle \uchburchak ACK) va △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), har birining maydoni kvadratlar maydonining yarmiga teng A H J K (\displaystyle AHJK) va A C E D (\displaystyle ACED) mos ravishda, quyidagi xususiyat bilan bog'liq holda: uchburchakning maydoni, agar raqamlar umumiy tomoniga ega bo'lsa, to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng, va uchburchakning umumiy tomoniga balandligi boshqa tomoni bo'lsa. to'rtburchak. Uchburchaklarning mos kelishi ikki tomonning (kvadratlarning tomonlari) va ular orasidagi burchakning (to'g'ri burchak va burchakdan tashkil topgan) tengligidan kelib chiqadi. A (\displaystyle A).

Shunday qilib, dalil gipotenuza ustidagi kvadratning maydoni to'rtburchaklardan tashkil topganligini aniqlaydi. A H J K (\displaystyle AHJK) va B H J I (\displaystyle BHJI), oyoq ustidagi kvadratlar maydonlarining yig'indisiga teng.

Leonardo da Vinchining isboti

Hudud usuli Leonardo da Vinchi tomonidan topilgan dalilni ham o'z ichiga oladi. To'g'ri uchburchak bo'lsin △ A B C (\displaystyle \uchburchak ABC) to'g'ri burchak C (\displaystyle C) va kvadratlar A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) va A B H J (\displaystyle ABHJ)(rasmga qarang). Yon tomonda bu dalilda H J (\displaystyle HJ) ikkinchisi, uchburchak tashqi tomondan qurilgan, mos keladi △ A B C (\displaystyle \uchburchak ABC), bundan tashqari, gipotenuzaga nisbatan ham, unga nisbatan balandlikka nisbatan ham (ya'ni, J I = B C (\displaystyle JI=BC) va H I = A C (\displaystyle HI=AC)). To'g'riga C I (\displaystyle CI) gipotenuzada qurilgan kvadratni ikkita teng qismga ajratadi, chunki uchburchaklar △ A B C (\displaystyle \uchburchak ABC) va △ J H I (\displaystyle \triangle JHI) qurilishda tengdir. Dalil to'rtburchaklarning mos kelishini o'rnatadi C A J I (\displaystyle CAJI) va D A B G (\displaystyle DABG), ularning har birining maydoni, bir tomondan, oyoqlardagi kvadratlarning yarmi va dastlabki uchburchakning maydoni yig'indisiga, boshqa tomondan, uchburchakning yarmiga teng. gipotenuzadagi kvadrat va asl uchburchakning maydoni. Hammasi bo'lib, oyoqlar ustidagi kvadratlar maydonlarining yarmi yig'indisi gipotenuza ustidagi kvadrat maydonining yarmiga teng, bu Pifagor teoremasining geometrik formulasiga teng.

Infinitesimal usuli bilan isbotlash

Differensial tenglamalar texnikasidan foydalangan holda bir nechta dalillar mavjud. Xususan, Hardy oyog'ining cheksiz o'sish sur'atlari yordamida isbotlangan a (\displaystyle a) va b (\displaystyle b) va gipotenuza c (\displaystyle c), va asl to'rtburchak bilan o'xshashlikni saqlab qolish, ya'ni quyidagi differentsial munosabatlarning bajarilishini ta'minlash:

d a d c = c a (\ displaystyle (\ frac (da) (dc)) = (\ frac (c) (a))), d b d c = c b (\ displaystyle (\ frac (db) (dc)) = (\ frac (c) (b))).

O'zgaruvchilarni ajratish usuli bilan ulardan differentsial tenglama olinadi c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), uning integratsiyasi munosabatni beradi c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Dastlabki shartlarni qo'llash a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) doimiyni 0 deb belgilaydi, bu teoremaning tasdiqlanishiga olib keladi.

Yakuniy formuladagi kvadratik bog'liqlik uchburchak tomonlari va o'sishlar orasidagi chiziqli proportsionallik tufayli paydo bo'ladi, yig'indisi esa turli oyoqlarning o'sishidan mustaqil hissalar tufayli yuzaga keladi.

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

Uch tomondan o'xshash geometrik shakllar

Pifagor teoremasining muhim geometrik umumlashmasi Evklid tomonidan "Boshlanishlar" da berilgan, yon tomonlardagi kvadrat maydonlaridan o'zboshimchalik bilan o'xshash geometrik figuralar maydoniga o'tgan: oyoqlarda qurilgan bunday raqamlarning maydonlarining yig'indisi bo'ladi. gipotenuzada qurilgan ularga o'xshash figuraning maydoniga teng.

Ushbu umumlashtirishning asosiy g'oyasi shundaki, bunday geometrik figuraning maydoni uning har qanday chiziqli o'lchamlarining kvadratiga va xususan, har qanday tomon uzunligining kvadratiga proportsionaldir. Shuning uchun, maydonlar bilan o'xshash raqamlar uchun A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) va C (\displaystyle C) uzunlikdagi oyoqlarda qurilgan a (\displaystyle a) va b (\displaystyle b) va gipotenuza c (\displaystyle c) Shunga ko'ra, munosabatlar mavjud:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2))))=(\frac (C)(c^(2)))\,\O‘ng strelka \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)C).

Chunki Pifagor teoremasiga ko'ra a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), keyin bajariladi.

Bundan tashqari, agar Pifagor teoremasiga murojaat qilmasdan isbotlash mumkin bo'lsa, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlaridagi uchta o'xshash geometrik figuralarning maydonlari uchun A + B = C (\display uslubi A+B=C), keyin Evklidning umumlashtirish isbotining teskarisini ishlatib, Pifagor teoremasining isbotini olishimiz mumkin. Misol uchun, agar gipotenuzada biz maydoni bilan boshlang'ich uchburchakka mos keladigan to'g'ri burchakli uchburchak quramiz C (\displaystyle C), va oyoqlarda - maydonlari bo'lgan ikkita o'xshash to'g'ri burchakli uchburchaklar A (\displaystyle A) va B (\displaystyle B), keyin oyoqlardagi uchburchaklar dastlabki uchburchakni balandligiga bo'lish natijasida hosil bo'ladi, ya'ni uchburchaklarning ikkita kichik maydonining yig'indisi uchinchisining maydoniga teng, shuning uchun A + B = C (\display uslubi A+B=C) va shunga o'xshash raqamlar uchun munosabatni qo'llash orqali Pifagor teoremasi olinadi.

Kosinus teoremasi

Pifagor teoremasi ixtiyoriy uchburchakda tomonlarning uzunliklarini bog'laydigan umumiy kosinus teoremasining maxsus holatidir:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ th = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

tomonlar orasidagi burchak qayerda a (\displaystyle a) va b (\displaystyle b). Agar burchak 90 ° bo'lsa, u holda cos ⁡ th = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), va formula odatdagi Pifagor teoremasiga soddalashtiriladi.

Ixtiyoriy uchburchak

Pifagor teoremasini faqat tomonlarning uzunliklari nisbati asosida ishlaydigan ixtiyoriy uchburchakka umumlashtirish mavjud bo'lib, uni birinchi marta Sabiya astronomi Sobit ibn Kurra o'rnatgan deb ishoniladi. Unda tomonlari bo'lgan ixtiyoriy uchburchak uchun asosi yon tomonda bo'lgan teng yonli uchburchak. c (\displaystyle c), yon tomoniga qarama-qarshi bo'lgan asl uchburchakning tepasiga to'g'ri keladigan cho'qqi c (\displaystyle c) va asosdagi burchaklar burchakka teng th (\displaystyle \theta) qarama-qarshi tomon c (\displaystyle c). Natijada, asl uchburchakka o'xshash ikkita uchburchak hosil bo'ladi: birinchisi yon tomonlari bilan a (\displaystyle a), undan uzoqda yozilgan teng yonli uchburchakning lateral tomoni va r (\displaystyle r)- yon qismlar c (\displaystyle c); ikkinchisi yon tomondan unga simmetrikdir b (\displaystyle b) ziyofat bilan s (\displaystyle s)- tomonning tegishli qismi c (\displaystyle c). Natijada, munosabatlar amalga oshiriladi:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

da Pifagor teoremasiga aylanadi th = p / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Bu nisbat shakllangan uchburchaklarning o'xshashligining natijasidir:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c)) (b))=(\frac (b)(s))\,\O‘ng strelka \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Pappus maydoni teoremasi

Evklid bo'lmagan geometriya

Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining aksiomalaridan olingan bo‘lib, Evklid bo‘lmagan geometriya uchun yaroqsiz – Pifagor teoremasining bajarilishi Yevklid parallelizmi postulatiga tengdir.

Evklid bo'lmagan geometriyada to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari orasidagi munosabat Pifagor teoremasidan farqli shaklda bo'lishi shart. Masalan, sferik geometriyada to'g'ri burchakli uchburchakning birlik sharning oktantini tutashgan uch tomoni ham uzunlikka ega. p / 2 (\displaystyle \pi /2), bu Pifagor teoremasiga ziddir.

Bundan tashqari, Pifagor teoremasi giperbolik va elliptik geometriyada to'g'ri keladi, agar uchburchakning to'rtburchaklar bo'lishi talabi uchburchakning ikkita burchagi yig'indisi uchinchisiga teng bo'lishi sharti bilan almashtirilsa.

sferik geometriya

Radiusli shardagi har qanday to'g'ri burchakli uchburchak uchun R (\displaystyle R)(masalan, uchburchakdagi burchak to'g'ri bo'lsa) tomonlari bilan a , b , c (\displaystyle a,b,c) tomonlar o'rtasidagi munosabatlar:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\o'ng)=\cos \left((\frac) (a)(R))\o'ng)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\o'ng)).

Bu tenglikni barcha sferik uchburchaklar uchun amal qiladigan sferik kosinus teoremasining maxsus holati sifatida olish mumkin:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ g (\displaystyle \cos \left((\frac () c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

qayerda ch (\displaystyle \operator nomi (ch) )- giperbolik kosin. Ushbu formula barcha uchburchaklar uchun amal qiladigan giperbolik kosinus teoremasining maxsus holatidir:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ g (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operator nomi (sh) a\cdot \operator nomi (sh) b\cdot \cos \gamma ),

qayerda g (\displaystyle \gamma)- uchi yon tomonga qarama-qarshi bo'lgan burchak c (\displaystyle c).

Giperbolik kosinus uchun Teylor seriyasidan foydalanish ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2/2 (\displaystyle \operator nomi (ch) x\taxminan 1+x^(2)/2)) shuni ko'rsatish mumkinki, agar giperbolik uchburchak kamaysa (ya'ni qachon a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) va c (\displaystyle c) nolga intiladi), keyin to'g'ri burchakli uchburchakdagi giperbolik munosabatlar klassik Pifagor teoremasining munosabatiga yaqinlashadi.

Ilova

Ikki o'lchovli to'rtburchaklar tizimlarda masofa

Pifagor teoremasining eng muhim qo'llanilishi to'rtburchaklar tizim koordinatalaridagi ikkita nuqta orasidagi masofani aniqlashdir: masofa s (\displaystyle s) koordinatali nuqtalar o'rtasida (a , b) (\displaystyle (a,b)) va (c , d) (\displaystyle (c,d)) teng:

s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Kompleks sonlar uchun Pifagor teoremasi modul kompleks sonini topishning tabiiy formulasini beradi - uchun z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) uzunligiga teng