Piramida. Piramidaning formulalari va xossalari

apotem apotema

(yunoncha apotíthēmi — keyinga qoldiraman), 1) perpendikulyar boʻlak (shuningdek, uning uzunligi) a, muntazam ko'pburchakning markazidan uning istalgan tomoniga tushirilgan. 2) To'g'ri piramidada apotem - balandlik a yon cheti.

APOTHEM

APOFEMA (yunoncha apothema — kechiktirilgan narsa),
1) muntazam ko'pburchakning markazidan uning istalgan tomoniga tushgan perpendikulyar a segmenti (shuningdek, uning uzunligi).
2) Muntazam piramidada apotem - yon yuzning balandligi.

ensiklopedik lug'at. 2009 .

Sinonimlar:

Boshqa lug'atlarda "apotema" nima ekanligini ko'ring:

APOTEMga qarang. Rus tiliga kiritilgan xorijiy so'zlarning lug'ati. Chudinov A.N., 1910. APOTEMA, qarang: APOTEMA. Rus tiliga kiritilgan xorijiy so'zlarning lug'ati. Pavlenkov F., 1907 yil ... Rus tilidagi xorijiy so'zlar lug'ati

- (yunoncha apotithemi I ortga suraman) ..1) muntazam koʻpburchak markazidan uning istalgan tomoniga tushirilgan a perpendikulyar segmenti (shuningdek uning uzunligi2)] Muntazam piramidada apotem balandlikdir. yon yuzidan ... Katta ensiklopedik lug'at

Mavjud., sinonimlar soni: 3 apotema (2) uzunlik (10) perpendikulyar (4) Lug'at ... Sinonim lug'at

APOTHEM- (1) muntazam ko'pburchak atrofida uning istalgan tomoniga o'ralgan aylana markazidan tushirilgan perpendikulyar uzunligi; (2) muntazam piramidaning yon yuzining balandligi; (3) trapezoidning balandligi, ya'ni oddiy kesilgan yon yuzi ... ... Katta politexnika entsiklopediyasi

- (yunoncha apotithçmi dan chetga qo'yaman) 1) muntazam ko'pburchak markazidan uning istalgan tomoniga tushirilgan perpendikulyar uzunligi (1-rasm); 2) muntazam piramidada A. uning lateral yuzining balandligi a (2-rasm). Guruch. 1 dan…… Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

- (yunoncha apotfthemi I ortga suraman) 1) muntazam koʻpburchak markazidan uning istalgan tomoniga tushirilgan a perpendikulyar segmenti (shuningdek uning uzunligi). 2) Muntazam A. piramidasida yon yuzining balandligi a (rasmga qarang). San'atga. Apothem ... Katta ensiklopedik politexnika lug'ati

Muntazam ko'pburchak markazidan uning bir tomoniga tushirilgan perpendikulyar uzunligi; apotema berilgan ko‘pburchakda chizilgan aylana radiusiga teng. A. konusning qiya tomoni deb ham atalgan ... Entsiklopedik lug'at F.A. Brockhaus va I.A. Efron

- (yunoncha apotithemi I ortga surishdan), 1) muntazam koʻpburchak markazidan uning istalgan tomoniga tushirilgan perpendikulyar a segmenti (shuningdek uning uzunligi). 2) Muntazam A. piramidada yon yuzining balandligi a ... Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

Apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem (

apotema- muntazam piramidaning yuqori qismidan chizilgan yon yuzining balandligi (bundan tashqari, apotem - bu muntazam ko'pburchakning o'rtasidan uning 1 tomoniga tushirilgan perpendikulyar uzunligi);
yon yuzlar (ASB, BSC, CSD, DSA) - tepada birlashadigan uchburchaklar;
yon qovurg'alar ( AS , BS , CS , D.S. ) - yon yuzlarning umumiy tomonlari;
piramidaning tepasi (v. S) - yon qirralarni tutashtiruvchi va asos tekisligida yotmaydigan nuqta;
balandligi ( SO ) - piramidaning yuqori qismidan uning asosi tekisligiga o'tkaziladigan perpendikulyar segmenti (bunday segmentning uchlari piramidaning tepasi va perpendikulyarning asosi bo'ladi);
piramidaning diagonal kesmasi- piramidaning yuqori qismidan va poydevorning diagonalidan o'tadigan qismi;
asos (A B C D) piramidaning tepasi tegishli bo'lmagan ko'pburchakdir.

piramidaning xususiyatlari.

1. Agar barcha yon qirralarning o'lchami bir xil bo'lsa, u holda:

piramida poydevori yaqinida doirani tasvirlash oson, piramidaning tepasi esa ushbu doira markaziga proyeksiya qilinadi;
yon qovurg'alar taglik tekisligi bilan teng burchak hosil qiladi;
bundan tashqari, qarama-qarshilik ham to'g'ri, ya'ni. yon qirralarning asos tekisligi bilan teng burchaklar hosil qilganda yoki piramida poydevori yaqinida aylana tasvirlangan bo'lsa va piramidaning tepasi bu doiraning markaziga proyeksiyalangan bo'lsa, u holda piramidaning barcha yon qirralari bo'ladi. bir xil o'lchamda.

2. Yon yuzlar bir xil qiymatdagi poydevor tekisligiga moyillik burchagiga ega bo'lsa, u holda:

piramida poydevoriga yaqin joyda aylanani tasvirlash oson, piramidaning tepasi esa bu doira markaziga proyeksiya qilinadi;
yon yuzlarning balandligi teng uzunlikda;
yon yuzaning maydoni taglik perimetri va yon yuzning balandligining ½ mahsulotidir.

3. Piramida yaqinida sharni tasvirlash mumkin, agar piramida asosi ko‘pburchak bo‘lsa, uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin (zarur va yetarli shart). Sfera markazi piramida chetlarining o'rta nuqtalaridan ularga perpendikulyar bo'lgan tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'ladi. Ushbu teoremadan biz sharni har qanday uchburchak atrofida ham, har qanday muntazam piramida atrofida ham tasvirlash mumkin degan xulosaga kelamiz.

4. Piramidaning ichki ikki burchakli burchaklarining bissektrisa tekisliklari 1-nuqtada kesishsa, sharni piramidaga chizish mumkin (zarur va yetarli shart). Bu nuqta sharning markaziga aylanadi.

Eng oddiy piramida.

Piramida asosining burchaklari soniga ko'ra, ular uchburchak, to'rtburchak va boshqalarga bo'linadi.

Piramida bo'ladi uchburchak, to'rtburchak, va hokazo, piramidaning asosi uchburchak, to'rtburchak va hokazo bo'lganda. Uchburchak piramida tetraedr - tetraedrdir. To'rtburchak - pentaedr va boshqalar.

Geometriyadagi muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun ushbu fan foydalanadigan atamalarni aniq tushunish kerak. Masalan, bular "to'g'ri chiziq", "tekislik", "ko'p yuzli", "piramida" va boshqalar. Ushbu maqolada biz apotema nima degan savolga javob beramiz.

"Apotema" atamasini ikki marta ishlatish

Geometriyada "apotema" yoki "apotema" so'zining ma'nosi, xuddi shunday deyilganidek, qaysi ob'ektga nisbatan qo'llanilishiga bog'liq. Shakllarning ikkita tubdan farq qiladigan toifalari mavjud bo'lib, bu ularning xususiyatlaridan biridir.

Avvalo, bu tekis ko'pburchaklar. Ko'pburchakning apotemi nima? Bu figuraning geometrik markazidan uning istalgan tomoniga chizilgan balandlik.

Nima xavf ostida ekanligini aniqroq qilish uchun aniq bir misolni ko'rib chiqing. Keling, quyidagi rasmda ko'rsatilgan muntazam olti burchakli bor deb faraz qilaylik.

l belgisi uning tomonining uzunligini, a harfi apotemni bildiradi. Belgilangan uchburchak uchun bu nafaqat balandlik, balki bissektrisa va medianadir. l tomoni nuqtai nazaridan uni quyidagicha hisoblash mumkinligini ko'rsatish oson:

Xuddi shunday, apotema har qanday n-gon uchun aniqlanadi.

Ikkinchisi - piramidalar. Bunday raqam uchun apotema nima? Bu masala batafsilroq ko'rib chiqishni talab qiladi.

Ushbu mavzu bo'yicha: Bir oy ichida kirpiklaringizni qanday qilib uzun va qalin qilish mumkin?

Piramidalar va ularning apothemi

Birinchidan, geometriya nuqtai nazaridan piramidani aniqlaymiz. Bu rasm bitta n-burchak (asos) va n ta uchburchak (tomon) tomonidan hosil qilingan uch o'lchamli tanadir. Ikkinchisi tepa deb ataladigan bir nuqtada ulanadi. Undan poydevorgacha bo'lgan masofa - bu raqamning balandligi. Agar u n-gonning geometrik markaziga tushsa, u holda piramida to'g'ri deyiladi. Agar qo'shimcha ravishda n-gonning burchaklari va tomonlari teng bo'lsa, u holda bu raqam muntazam deyiladi. Quyida piramidaga misol keltirilgan.

Bunday raqam uchun apotema nima? Bu n-burchakning tomonlarini rasmning yuqori qismiga bog'laydigan perpendikulyar. Shubhasiz, u piramidaning yon tomoni bo'lgan uchburchakning balandligini ifodalaydi.

Apotema oddiy piramidalar bilan geometrik masalalarni yechishda foydalanish uchun qulay. Haqiqat shundaki, ular uchun barcha yon yuzlar bir-biriga teng bo'lgan teng yonli uchburchaklar. Oxirgi fakt barcha n ta apotema teng ekanligini anglatadi, shuning uchun oddiy piramida uchun biz bitta shunday to'g'ri chiziq haqida gapirishimiz mumkin.

To'rtburchakli piramidaning apotemi to'g'ri

Ehtimol, bu raqamning eng yorqin namunasi dunyodagi mashhur birinchi mo''jiza - Cheops piramidasi bo'lishi mumkin. U Misrda.

Muntazam n burchakli asosga ega bo'lgan har qanday bunday figura uchun uning apotemini ko'pburchak tomonining uzunligi a bo'yicha, yon cheti b va balandligi h bo'yicha aniqlash imkonini beradigan formulalar berilishi mumkin. Bu erda asosi kvadrat bo'lgan to'g'ri piramida uchun mos formulalarni yozamiz. Buning uchun h b apotemi quyidagiga teng bo'ladi:

Ushbu mavzu bo'yicha: Boshqirdiston bayrog'i - tavsifi, ramziyligi va tarixi

h b \u003d √ (b 2 - a 2/4);

h b \u003d √ (h 2 + a 2/4)

Ushbu iboralarning birinchisi har qanday oddiy piramida uchun, ikkinchisi - faqat to'rtburchak uchun amal qiladi.

Keling, ushbu formulalar muammoni hal qilish uchun qanday ishlatilishini ko'rsatamiz.

geometrik muammo

Kvadrat asosli to'g'ri piramida berilsin. Uning asosiy maydonini hisoblash kerak. Piramidaning apothemi 16 sm, balandligi esa poydevor tomondan 2 baravar ko'p.

Har bir talaba biladi: ko'rib chiqilayotgan piramidaning asosi bo'lgan kvadratning maydonini topish uchun uning tomonini bilish kerak a. Uni topish uchun apotema uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:

h b \u003d √ (h 2 + a 2/4)

Apotemaning ma’nosi masala shartidan ma’lum. H balandligi a tomonning uzunligidan ikki barobar bo'lganligi sababli, bu ifodani quyidagicha o'zgartirish mumkin:

h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>

a = 2*h b /√17

Kvadratning maydoni uning tomonlari mahsulotiga teng. Olingan ifodani a ga almashtirsak, biz:

S \u003d a 2 \u003d 4/17 * h b 2

Masalaning shartidan apotemning qiymatini formulaga almashtirish va javobni yozish qoladi: S ≈ 60,2 sm 2.

Shuningdek o'qing:

Eslatma. Bu geometriya masalalari (qattiq geometriya bo'limi, piramidaga oid masalalar) darsining bir qismidir. Agar siz geometriyadagi muammoni hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu erda yo'q - bu haqda forumda yozing. Vazifalarda "kvadrat ildiz" belgisi o'rniga sqrt () funktsiyasi qo'llaniladi, bunda sqrt kvadrat ildiz belgisidir va qavs ichida radikal ifoda ko'rsatilgan..Oddiy radikal iboralar uchun "√" belgisidan foydalanish mumkin.

Nazariy materiallar va formulalar, bobga qarang " To'g'ri piramida ".

Vazifa

Muntazam uchburchakli piramidaning apothemi 4 sm, poydevoridagi ikki burchakli burchak esa 60 daraja. Piramidaning hajmini toping.

Yechim.

Piramida to'g'ri bo'lgani uchun quyidagilarni ko'rib chiqing:

Piramidaning balandligi poydevor markaziga proyeksiya qilingan
Masalaning shartiga ko'ra muntazam piramida asosining markazi teng tomonli uchburchakdir
Teng yonli uchburchakning markazi ichki chizilgan doiraning ham, aylananing ham markazidir.
Piramidaning balandligi poydevor tekisligi bilan to'g'ri burchak hosil qiladi

Piramidaning hajmini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
V = 1/3 Sh

Muntazam piramidaning apothemi piramida balandligi bilan birga toʻgʻri burchakli uchburchak hosil qilganligi sababli balandlikni topish uchun sinus teoremasidan foydalanamiz. Bundan tashqari, quyidagilarni hisobga olamiz:

Ko'rib chiqilayotgan to'g'ri burchakli uchburchakning birinchi oyog'i balandlik, ikkinchi oyog'i - chizilgan doira radiusi (muntazam uchburchakda markaz ham chizilgan va aylanalarning markazi), gipotenuza - bu chiziqning apothemidir. piramida
To'g'ri burchakli uchburchakning uchinchi burchagi 30 gradus (uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 gradus, 60 graduslik burchak shart bilan beriladi, ikkinchi burchak piramidaning xususiyatlariga ko'ra to'g'ri burchakdir). , uchinchisi 180-90-60 = 30)
sinus 30 daraja 1/2 ga teng
60 graduslik sinus uchning kvadrat ildiziga teng
90 gradusning sinusi 1 ga teng

Sinus teoremasiga ko'ra:
4 / gunoh (90) = h / gunoh (60) = r / gunoh (30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
qayerda
r=2
h = 2√3

Piramidaning tagida muntazam uchburchak joylashgan bo'lib, uning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:
Teng yonli uchburchakning S = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Endi piramidaning hajmini toping:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V \u003d 24 sm 3.

Javob: 24 sm3.

Vazifa

Muntazam to‘rtburchakli piramida poydevorining balandligi va yon tomoni mos ravishda 24 va 14 ga teng.Piramidaning apothemini toping.

Yechim.

Piramida muntazam bo'lgani uchun, uning tagida muntazam to'rtburchak - kvadrat yotadi. Bundan tashqari, piramidaning balandligi kvadrat markaziga proektsiyalangan. Shunday qilib, to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i, piramidaning apothemi, balandligi va ularni bog'laydigan segmenti muntazam to'rtburchaklar piramida poydevorining yarmiga teng.

Pifagor teoremasiga ko'ra, apotemaning uzunligi tenglamadan qaerdan topiladi:

72 + 242 = x2
x2 = 625
x=25

Javob: 25 sm