Tenglamalarni qavslar yordamida yechish. Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish
Bitta noma'lum tenglama, qavslarni ochib, o'xshash hadlarni qisqartirgandan so'ng, shaklni oladi
ax + b = 0, bu yerda a va b ixtiyoriy sonlar deyiladi chiziqli tenglama noma'lum biri bilan. Bugun biz ushbu chiziqli tenglamalarni qanday hal qilishni aniqlaymiz.
Masalan, barcha tenglamalar:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - chiziqli.
Tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiruvchi noma'lumning qiymati deyiladi qaror yoki tenglamaning ildizi .
Masalan, agar 3x + 7 \u003d 13 tenglamasida noma'lum x o'rniga 2 raqamini almashtirsak, biz to'g'ri tenglikni olamiz 3 2 + 7 \u003d 13. Bu x \u003d 2 qiymati yechim ekanligini anglatadi. yoki tenglamaning ildizi.
Va x \u003d 3 qiymati 3x + 7 \u003d 13 tenglamasini haqiqiy tenglikka aylantirmaydi, chunki 3 2 + 7 ≠ 13. Shuning uchun x \u003d 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizi emas.
Har qanday chiziqli tenglamalarning yechimi ko'rinishdagi tenglamalar yechimiga keltiriladi
ax + b = 0.
Biz erkin atamani tenglamaning chap tomonidan o'ng tomonga o'tkazamiz, b ning oldidagi belgini teskarisiga o'zgartiramiz.
Agar a ≠ 0 bo'lsa, u holda x = - b/a .
1-misol 3x + 2 =11 tenglamani yeching.
Biz 2 ni tenglamaning chap tomonidan o'ng tomonga o'tkazamiz, 2 ning oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartiramiz.
3x \u003d 11 - 2.
Keling, ayirish amalini bajaramiz
3x = 9.
X ni topish uchun mahsulotni ma'lum koeffitsientga bo'lish kerak, ya'ni
x = 9:3.
Demak, x = 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizidir.
Javob: x = 3.
Agar a = 0 va b = 0 bo'lsa, keyin biz 0x \u003d 0 tenglamasini olamiz. Bu tenglamaning cheksiz ko'p echimlari bor, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirishda biz 0 ni olamiz, lekin b ham 0 bo'ladi. Bu tenglamaning yechimi har qanday raqamdir.
2-misol 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 tenglamani yeching.
Qavslarni kengaytiramiz:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Mana shunga o'xshash a'zolar:
0x = 0.
Javob: x har qanday raqam.
Agar a = 0 va b ≠ 0 bo'lsa, keyin 0x = - b tenglamani olamiz. Bu tenglamaning yechimi yo'q, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirishda biz 0 ni olamiz, lekin b ≠ 0.
3-misol x + 8 = x + 5 tenglamasini yeching.
Keling, chap tomonda noma'lum atamalarni va o'ng tomonda bo'sh shartlarni guruhlarga ajratamiz:
x - x \u003d 5 - 8.
Mana shunga o'xshash a'zolar:
0x = - 3.
Javob: yechim yo'q.
Ustida 1-rasm chiziqli tenglamani yechish sxemasi ko'rsatilgan
Bitta o‘zgaruvchili tenglamalarni yechishning umumiy sxemasini tuzamiz. 4-misolning yechimini ko'rib chiqing.
4-misol Keling, tenglamani yechamiz
1) Tenglamaning barcha aʼzolarini maxrajlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga koʻpaytiring.
2) Qisqartirilgandan keyin biz olamiz
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Noma'lum va erkin a'zolarni o'z ichiga olgan a'zolarni ajratish uchun qavslarni oching:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Biz bir qismda noma'lumlarni o'z ichiga olgan atamalarni, ikkinchisida esa erkin atamalarni guruhlaymiz:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Mana o'xshash a'zolar:
- 22x = - 154.
6) - 22 ga bo'linadi, Biz olamiz
x = 7.
Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizi etti.
Umuman olganda, bunday tenglamalarni quyidagicha yechish mumkin:
a) tenglamani butun son ko'rinishga keltiring;
b) ochiq qavslar;
v) tenglamaning bir qismida noma’lum, ikkinchi qismida erkin hadlarni o‘z ichiga olgan hadlarni guruhlash;
d) o'xshash a'zolarni olib kelish;
e) o'xshash hadlarni keltirgandan keyin olingan ah = b ko'rinishdagi tenglamani yeching.
Biroq, bu sxema har bir tenglama uchun talab qilinmaydi. Ko'p oddiy tenglamalarni yechishda birinchisidan emas, ikkinchisidan boshlash kerak ( Misol. 2), uchinchi ( Misol. 13) va hatto beshinchi bosqichdan boshlab, 5-misolda bo'lgani kabi.
5-misol 2x = 1/4 tenglamani yeching.
Biz noma'lum x \u003d 1/4: 2 ni topamiz,
x = 1/8 .
Asosiy davlat imtihonida uchraydigan ba'zi chiziqli tenglamalarning yechimini ko'rib chiqing.
6-misol 2 (x + 3) = 5 - 6x tenglamani yeching.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Javob: - 0,125
7-misol Tenglamani yeching - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Javob: 2.3
8-misol Tenglamani yeching
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
9-misol f (x + 2) = 3 7 bo'lsa, f(6) ni toping
Yechim
Biz f (6) ni topishimiz kerak va biz f (x + 2) ni bilamiz,
keyin x + 2 = 6.
Biz x + 2 = 6 chiziqli tenglamani yechamiz,
biz x \u003d 6 - 2, x \u003d 4 ni olamiz.
Agar x = 4 bo'lsa
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Javob: 27.
Agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa, tenglamalar yechimini chuqurroq tushunish istagi bor, mening darslarim uchun JAVVALda ro'yxatdan o'ting. Men sizga yordam berishdan xursand bo'laman!
TutorOnline shuningdek, o'qituvchimiz Olga Aleksandrovnaning chiziqli tenglamalarni va boshqalarni tushunishga yordam beradigan yangi video darsini tomosha qilishni tavsiya qiladi.
sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.
Bitta noma'lum tenglama, qavslarni ochib, o'xshash hadlarni qisqartirgandan so'ng, shaklni oladi
ax + b = 0, bu yerda a va b ixtiyoriy sonlar deyiladi chiziqli tenglama noma'lum biri bilan. Bugun biz ushbu chiziqli tenglamalarni qanday hal qilishni aniqlaymiz.
Masalan, barcha tenglamalar:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - chiziqli.
Tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiruvchi noma'lumning qiymati deyiladi qaror yoki tenglamaning ildizi .
Masalan, agar 3x + 7 \u003d 13 tenglamasida noma'lum x o'rniga 2 raqamini almashtirsak, biz to'g'ri tenglikni olamiz 3 2 + 7 \u003d 13. Bu x \u003d 2 qiymati yechim ekanligini anglatadi. yoki tenglamaning ildizi.
Va x \u003d 3 qiymati 3x + 7 \u003d 13 tenglamasini haqiqiy tenglikka aylantirmaydi, chunki 3 2 + 7 ≠ 13. Shuning uchun x \u003d 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizi emas.
Har qanday chiziqli tenglamalarning yechimi ko'rinishdagi tenglamalar yechimiga keltiriladi
ax + b = 0.
Biz erkin atamani tenglamaning chap tomonidan o'ng tomonga o'tkazamiz, b ning oldidagi belgini teskarisiga o'zgartiramiz.
Agar a ≠ 0 bo'lsa, u holda x = - b/a .
1-misol 3x + 2 =11 tenglamani yeching.
Biz 2 ni tenglamaning chap tomonidan o'ng tomonga o'tkazamiz, 2 ning oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartiramiz.
3x \u003d 11 - 2.
Keling, ayirish amalini bajaramiz
3x = 9.
X ni topish uchun mahsulotni ma'lum koeffitsientga bo'lish kerak, ya'ni
x = 9:3.
Demak, x = 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizidir.
Javob: x = 3.
Agar a = 0 va b = 0 bo'lsa, keyin biz 0x \u003d 0 tenglamasini olamiz. Bu tenglamaning cheksiz ko'p echimlari bor, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirishda biz 0 ni olamiz, lekin b ham 0 bo'ladi. Bu tenglamaning yechimi har qanday raqamdir.
2-misol 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 tenglamani yeching.
Qavslarni kengaytiramiz:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Mana shunga o'xshash a'zolar:
0x = 0.
Javob: x har qanday raqam.
Agar a = 0 va b ≠ 0 bo'lsa, keyin 0x = - b tenglamani olamiz. Bu tenglamaning yechimi yo'q, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirishda biz 0 ni olamiz, lekin b ≠ 0.
3-misol x + 8 = x + 5 tenglamasini yeching.
Keling, chap tomonda noma'lum atamalarni va o'ng tomonda bo'sh shartlarni guruhlarga ajratamiz:
x - x \u003d 5 - 8.
Mana shunga o'xshash a'zolar:
0x = - 3.
Javob: yechim yo'q.
Ustida 1-rasm chiziqli tenglamani yechish sxemasi ko'rsatilgan
Bitta o‘zgaruvchili tenglamalarni yechishning umumiy sxemasini tuzamiz. 4-misolning yechimini ko'rib chiqing.
4-misol Keling, tenglamani yechamiz
1) Tenglamaning barcha aʼzolarini maxrajlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga koʻpaytiring.
2) Qisqartirilgandan keyin biz olamiz
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Noma'lum va erkin a'zolarni o'z ichiga olgan a'zolarni ajratish uchun qavslarni oching:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Biz bir qismda noma'lumlarni o'z ichiga olgan atamalarni, ikkinchisida esa erkin atamalarni guruhlaymiz:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Mana o'xshash a'zolar:
- 22x = - 154.
6) - 22 ga bo'linadi, Biz olamiz
x = 7.
Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizi etti.
Umuman olganda, bunday tenglamalarni quyidagicha yechish mumkin:
a) tenglamani butun son ko'rinishga keltiring;
b) ochiq qavslar;
v) tenglamaning bir qismida noma’lum, ikkinchi qismida erkin hadlarni o‘z ichiga olgan hadlarni guruhlash;
d) o'xshash a'zolarni olib kelish;
e) o'xshash hadlarni keltirgandan keyin olingan ah = b ko'rinishdagi tenglamani yeching.
Biroq, bu sxema har bir tenglama uchun talab qilinmaydi. Ko'p oddiy tenglamalarni yechishda birinchisidan emas, ikkinchisidan boshlash kerak ( Misol. 2), uchinchi ( Misol. 13) va hatto beshinchi bosqichdan boshlab, 5-misolda bo'lgani kabi.
5-misol 2x = 1/4 tenglamani yeching.
Biz noma'lum x \u003d 1/4: 2 ni topamiz,
x = 1/8 .
Asosiy davlat imtihonida uchraydigan ba'zi chiziqli tenglamalarning yechimini ko'rib chiqing.
6-misol 2 (x + 3) = 5 - 6x tenglamani yeching.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Javob: - 0,125
7-misol Tenglamani yeching - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Javob: 2.3
8-misol Tenglamani yeching
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
9-misol f (x + 2) = 3 7 bo'lsa, f(6) ni toping
Yechim
Biz f (6) ni topishimiz kerak va biz f (x + 2) ni bilamiz,
keyin x + 2 = 6.
Biz x + 2 = 6 chiziqli tenglamani yechamiz,
biz x \u003d 6 - 2, x \u003d 4 ni olamiz.
Agar x = 4 bo'lsa
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Javob: 27.
Agar sizda hali ham savollar bo'lsa, tenglamalarni echish bilan batafsilroq shug'ullanish istagi bor. Men sizga yordam berishdan xursand bo'laman!
TutorOnline shuningdek, o'qituvchimiz Olga Aleksandrovnaning chiziqli tenglamalarni va boshqalarni tushunishga yordam beradigan yangi video darsini tomosha qilishni tavsiya qiladi.
blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola kerak.
Qavslar sonli va alifboli ifodalarda, shuningdek, oʻzgaruvchili ifodalarda amallarning bajarilish tartibini koʻrsatish uchun ishlatiladi. Qavsli ifodadan qavssiz bir xil teng ifodaga o'tish qulay. Ushbu usul qavs ochish deb ataladi.
Qavslarni kengaytirish bu qavslar ifodasidan xalos bo'lishni anglatadi.
Yana bir nuqta alohida e'tiborga loyiqdir, bu qavslarni ochishda echimlarni yozishning o'ziga xos xususiyatlariga tegishli. Qavslar bilan dastlabki ifodani va qavs ochilgandan keyin olingan natijani tenglik sifatida yozishimiz mumkin. Masalan, qavslar ochilgandan so'ng, ifoda o'rniga
3−(5−7) 3−5+7 ifodani olamiz. Bu ikkala ifodani 3−(5−7)=3−5+7 tengligi sifatida yozishimiz mumkin.
Va yana bir muhim nuqta. Matematikada yozuvlarni qisqartirish uchun, agar ifoda yoki qavs ichida birinchi bo'lsa, ortiqcha belgisini yozmaslik odatiy holdir. Misol uchun, agar biz ikkita musbat sonni qo'shsak, masalan, etti va uchta, u holda biz +7 + 3 emas, balki oddiygina 7 + 3 ni yozamiz, garchi ettita ham ijobiy sondir. Xuddi shunday, agar siz, masalan, (5 + x) ifodasini ko'rsangiz - bilingki, qavs oldida yozilmagan plyus bor, va oldida ortiqcha + (+5 + x) bor. besh.
Qo'shish uchun qavsni kengaytirish qoidasi
Qavslarni ochayotganda, qavslar oldidan ortiqcha belgi bo'lsa, bu plyus qavslar bilan birga olib tashlanadi.
Misol. Qavslarni 2 + (7 + 3) ifodasida oching, qavs oldidan ortiqcha, keyin qavs ichidagi raqamlar oldidagi belgilar o'zgarmaydi.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Ayirishda qavslarni kengaytirish qoidasi
Qavslar oldidan minus bo'lsa, bu minus qavslar bilan birga olib tashlanadi, lekin qavs ichidagi atamalar o'z belgisini teskarisiga o'zgartiradi. Qavs ichidagi birinchi haddan oldin belgining yo'qligi + belgisini bildiradi.
Misol. 2 − (7 + 3) ifodadagi qavslarni oching
Qavslar oldidan minus mavjud, shuning uchun qavslardagi raqamlar oldidagi belgilarni o'zgartirishingiz kerak. 7 raqamidan oldin qavs ichida belgi yo'q, ya'ni etti musbat, uning oldida + belgisi joylashgan deb hisoblanadi.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Qavslarni ochganda, biz qavs oldidagi misoldagi minusni va qavslarning o'zi 2 - (+ 7 + 3) ni olib tashlaymiz va qavs ichidagi belgilarni qarama-qarshi belgilarga o'zgartiramiz.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Ko'paytirishda qavslarni kengaytirish
Qavslar oldida ko'paytirish belgisi mavjud bo'lsa, u holda qavs ichidagi har bir raqam qavs oldidagi koeffitsientga ko'paytiriladi. Shu bilan birga, minusni minusga ko'paytirish plyusni beradi va minusni ortiqcha bilan ko'paytirish, ortiqchani minusga ko'paytirish kabi minusni beradi.
Shunday qilib, mahsulotlardagi qavslar ko'paytirishning taqsimlash xususiyatiga muvofiq kengaytiriladi.
Misol. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Qavsni qavsga ko'paytirishda birinchi qavsning har bir a'zosi ikkinchi qavsning har bir hadi bilan ko'paytiriladi.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Aslida, barcha qoidalarni eslab qolishning hojati yo'q, faqat bittasini eslab qolish kifoya, bu: c(a−b)=ca−cb. Nega? Chunki c o‘rniga bittasini qo‘ysak, (a−b)=a−b qoidasini olamiz. Agar minus birni almashtirsak, −(a−b)=−a+b qoidasini olamiz. Xo'sh, agar siz c o'rniga boshqa qavsni almashtirsangiz, oxirgi qoidani olishingiz mumkin.
Bo'lishda qavslarni kengaytiring
Qavslardan keyin bo'linish belgisi bo'lsa, qavs ichidagi har bir raqam qavsdan keyin bo'linuvchiga bo'linadi va aksincha.
Misol. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Ichki qavslarni qanday kengaytirish mumkin
Agar ifoda ichki qavslarni o'z ichiga olgan bo'lsa, ular tashqi yoki ichkidan boshlab tartibda kengaytiriladi.
Shu bilan birga, qavslardan birini ochayotganda, boshqa qavslarga tegmaslik, ularni qanday bo'lsa, xuddi shunday yozish kerak.
Misol. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Qavslar bilan tenglamani qanday yechishni qidirganmisiz? . Ta'rif va tushuntirishlar bilan batafsil yechim hatto eng qiyin vazifani hal qilishga yordam beradi va qavs ichidagi tenglamalarni qanday echish ham bundan mustasno emas. Biz sizga uy vazifalari, testlar, olimpiadalar, shuningdek, universitetga kirish uchun tayyorgarlik ko'rishga yordam beramiz. Va qanday misol, qaysi matematik so'rovni kiritmasligingizdan qat'iy nazar, bizda allaqachon yechim bor. Masalan, "qavslar bilan tenglamani qanday yechish kerak".
Turli xil matematik masalalar, kalkulyatorlar, tenglamalar va funktsiyalardan foydalanish hayotimizda keng tarqalgan. Ular ko'plab hisob-kitoblarda, inshootlarni qurishda va hatto sportda qo'llaniladi. Matematikani inson qadim zamonlardan beri qo'llagan va o'shandan beri ulardan foydalanish faqat ortib bormoqda. Biroq, hozir fan bir joyda turmaydi va biz uning faoliyati samarasidan bahramand bo'lishimiz mumkin, masalan, tenglamani qavslar bilan yechish, tenglamani qavs ichida qanday yechish, qanday qilib yechish kabi masalalarni hal qila oladigan onlayn kalkulyator. tenglamani qavslar bilan yechish, tenglamani qavslar bilan yechish Ushbu sahifada siz har qanday savolni, shu jumladan qavslar bilan tenglamani qanday yechishingizni hal qilishga yordam beradigan kalkulyatorni topasiz. (masalan, tenglamani qavslar bilan yechish usullari).
Matematikadagi har qanday muammoni qayerda hal qilishim mumkin, shuningdek, qavslar bilan tenglamani onlayn qanday hal qilish mumkin?
Qavslar bilan tenglamani qanday yechish masalasini bizning veb-saytimizda hal qilishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi har qanday murakkablikdagi onlayn muammoni bir necha soniya ichida hal qilish imkonini beradi. Siz qilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni hal qiluvchiga kiritishdir. Shuningdek, siz bizning veb-saytimizda video ko'rsatmani ko'rishingiz va vazifangizni qanday qilib to'g'ri kiritishni o'rganishingiz mumkin. Va agar sizda biron bir savol bo'lsa, ularni kalkulyator sahifasining pastki chap qismidagi chatda so'rashingiz mumkin.
Chiziqli tenglamalar. Yechim, misollar.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Chiziqli tenglamalar.
Chiziqli tenglamalar maktab matematikasida eng qiyin mavzu emas. Ammo u erda hatto o'qitilgan talabani ham boshdan kechiradigan ba'zi hiylalar bor. Biz buni aniqlaymizmi?)
Chiziqli tenglama odatda quyidagi shakldagi tenglama sifatida aniqlanadi:
bolta + b = 0 qayerda a va b- har qanday raqamlar.
2x + 7 = 0. Bu erda a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Bu erda a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Bu erda a=12, b=1/2
Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Ayniqsa, agar siz quyidagi so'zlarni sezmasangiz: "Bu erda a va b har qanday raqamlar"... Va agar siz e'tibor bersangiz, lekin beparvolik bilan bu haqda o'ylaysizmi?) Axir, agar a=0, b=0(har qanday raqamlar mumkinmi?), keyin biz kulgili iborani olamiz:
Lekin bu hammasi emas! Agar aytaylik, a=0, a b=5, Bu juda absurd narsa bo'lib chiqdi:
Matematikaga bo'lgan ishonchni nima buzadi va susaytiradi, ha ...) Ayniqsa imtihonlarda. Ammo bu g'alati ifodalardan siz X ni topishingiz kerak! Bu umuman mavjud emas. Va ajablanarlisi shundaki, bu X ni topish juda oson. Biz buni qanday qilishni o'rganamiz. Bu darsda.
Chiziqli tenglamani tashqi ko'rinishida qanday aniqlash mumkin? Bu qanday ko'rinishga bog'liq.) Ayyorlik shundaki, chiziqli tenglamalar nafaqat shakldagi tenglamalar deb ataladi bolta + b = 0 , balki transformatsiyalar va soddalashtirishlar orqali bu shaklga keltiriladigan har qanday tenglamalar ham. Va u kamayadimi yoki yo'qmi, kim biladi?)
Ba'zi hollarda chiziqli tenglama aniq tan olinishi mumkin. Aytaylik, agar bizda faqat birinchi darajali noma'lumlar mavjud bo'lgan tenglama bo'lsa, ha raqamlar. Va tenglama unday emas ga bo'lingan kasrlar noma'lum , bu muhim! Va bo'linish raqam, yoki sonli kasr - tamom! Masalan:
Bu chiziqli tenglama. Bu erda kasrlar bor, lekin kvadratda, kubda va hokazolarda x mavjud emas va maxrajlarda x mavjud emas, ya'ni. Yo'q x ga bo'linish. Va bu erda tenglama
chiziqli deb atash mumkin emas. Bu erda x ning hammasi birinchi darajali, lekin bor x bilan ifoda bo'yicha bo'lish. Soddalashtirish va o'zgartirishlardan so'ng siz chiziqli tenglamani, kvadratik tenglamani va o'zingiz yoqtirgan narsani olishingiz mumkin.
Ma'lum bo'lishicha, chiziqli tenglamani deyarli yechmaguningizcha, qandaydir murakkab misolda topish mumkin emas. Xafa qiladi. Ammo topshiriqlarda, qoida tariqasida, ular tenglama shakli haqida so'ramaydilar, to'g'rimi? Topshiriqlarda tenglamalar tartiblangan qaror. Bu quvontiradi.)
Chiziqli tenglamalarni yechish. Misollar.
Chiziqli tenglamalarning butun yechimi tenglamalarni bir xil o'zgartirishlardan iborat. Aytgancha, bu o'zgarishlar (ikkitagacha!) echimlar asosida yotadi matematikaning barcha tenglamalari. Boshqacha aytganda, qaror har qanday Tenglama xuddi shu o'zgarishlar bilan boshlanadi. Chiziqli tenglamalar bo'lsa, bu o'zgarishlar bo'yicha u (yechim) to'liq javob bilan tugaydi. Havolaga amal qilish mantiqan to'g'rimi?) Bundan tashqari, chiziqli tenglamalarni yechish misollari ham mavjud.
Eng oddiy misoldan boshlaylik. Hech qanday tuzoqsiz. Aytaylik, quyidagi tenglamani yechishimiz kerak.
x - 3 = 2 - 4x
Bu chiziqli tenglama. X larning barchasi birinchi darajaga tegishli, X ga bo'linish yo'q. Lekin, aslida, tenglama nima ekanligi bizga qiziq emas. Biz buni hal qilishimiz kerak. Bu erda sxema oddiy. Tenglamaning chap tomonida x bo'lgan hamma narsani, o'ngda esa x (raqamlar)siz hamma narsani to'plang.
Buning uchun siz transfer qilishingiz kerak - 4x chap tomonga, belgi o'zgarishi bilan, albatta, lekin - 3 - O'ngga. Aytgancha, bu tenglamalarning birinchi bir xil konvertatsiyasi. Hayron qoldingizmi? Shunday qilib, ular havolaga rioya qilishmadi, lekin behuda ...) Biz olamiz:
x + 4x = 2 + 3
Biz shunga o'xshash narsalarni beramiz, biz ko'rib chiqamiz:
To'liq baxtli bo'lish uchun bizga nima kerak? Ha, chap tomonda toza X bo'lishi uchun! Beshtasi yo‘lda to‘sqinlik qiladi. Beshtadan qutuling tenglamalarning ikkinchi bir xil transformatsiyasi. Ya'ni, tenglamaning ikkala qismini 5 ga bo'lamiz. Biz tayyor javobni olamiz:
Albatta, oddiy misol. Bu isinish uchun). Ha mayli. Biz buqani shoxlaridan olamiz.) Keling, ta'sirchanroq narsani hal qilaylik.
Masalan, bu tenglama:
Qayerdan boshlaymiz? X bilan - chapga, X holda - o'ngga? Shunday bo'lishi mumkin. Uzoq yo'l bo'ylab kichik qadamlar. Va siz darhol, universal va kuchli tarzda qila olasiz. Albatta, sizning arsenalingizda tenglamalarning bir xil o'zgarishlari mavjud bo'lmasa.
Men sizga asosiy savol beraman: Bu tenglamada sizga ko'proq nima yoqmaydi?
100 kishidan 95 kishi javob beradi: kasrlar ! Javob to'g'ri. Shunday ekan, keling, ulardan qutulaylik. Shunday qilib, biz darhol boshlaymiz ikkinchi bir xil transformatsiya. Chapdagi kasrni maxraj butunlay kamayishi uchun nimaga ko'paytirish kerak? To'g'ri, 3. Va o'ngda? By 4. Lekin matematika bizga ikkala tomonni ko'paytirish imkonini beradi bir xil raqam. Qanday qilib chiqamiz? Keling, ikkala tomonni 12 ga ko'paytiramiz! Bular. umumiy maxrajga. Keyin uchtasi kamayadi va to'rttasi. Har bir qismni ko'paytirish kerakligini unutmang butunlay. Birinchi qadam qanday ko'rinishga ega:
Qavslarni kengaytirish:
Eslatma! Numerator (x+2) Qavs ichida oldim! Buning sababi shundaki, kasrlarni ko'paytirishda hisoblagich butunga ko'paytiriladi, butunlay! Va endi siz kasrlarni kamaytirishingiz va kamaytirishingiz mumkin:
Qolgan qavslarni ochish:
Misol emas, balki sof zavq!) Endi biz quyi sinflardagi afsunni eslaymiz: x bilan - chapga, x holda - o'ngga! Va bu transformatsiyani qo'llang:
Mana bir nechtasi:
Va biz ikkala qismni 25 ga ajratamiz, ya'ni. ikkinchi transformatsiyani yana qo'llang:
Ana xolos. Javob: X=0,16
E'tibor bering: asl chalkash tenglamani yoqimli shaklga keltirish uchun biz ikkitadan (faqat ikkita!) foydalandik. bir xil o'zgarishlar- chapdan o'ngga ishorani o'zgartirish va tenglamani bir xil raqamga ko'paytirish-bo'lish bilan tarjima qilish. Bu universal usul! Biz shu tarzda ishlaymiz har qanday tenglamalar! Mutlaqo har qanday. Shuning uchun men har doim bir xil o'zgarishlarni takrorlayman.)
Ko'rib turganingizdek, chiziqli tenglamalarni echish printsipi oddiy. Biz tenglamani olamiz va javobni olmaguncha uni bir xil o'zgartirishlar yordamida soddalashtiramiz. Bu erda asosiy muammolar yechim tamoyilida emas, balki hisob-kitoblarda.
Ammo ... Eng elementar chiziqli tenglamalarni echish jarayonida shunday kutilmagan hodisalar mavjudki, ular kuchli stuporga olib kelishi mumkin ...) Yaxshiyamki, bunday kutilmagan hodisalar faqat ikkita bo'lishi mumkin. Keling, ularni maxsus holatlar deb ataylik.
Chiziqli tenglamalarni yechishdagi maxsus holatlar.
Avval ajablantiring.
Aytaylik, siz elementar tenglamaga duch keldingiz, masalan:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Bir oz zerikib, biz X bilan chapga, X holda - o'ngga o'tkazamiz ... Belgining o'zgarishi bilan hamma narsa chin-chinar ... Biz olamiz:
2x-5x+3x=5-2-3
Biz ishonamiz va ... oh! Biz olamiz:
O'z-o'zidan bu tenglik e'tiroz bildirmaydi. Nol haqiqatan ham nolga teng. Ammo X ketdi! Va biz javobda yozishimiz kerak, x nimaga teng. Aks holda, yechim hisoblanmaydi, ha...) Boshi berk ko'cha?
Sokin! Bunday shubhali holatlarda eng umumiy qoidalar qutqaradi. Tenglamalarni qanday yechish mumkin? Tenglamani yechish nimani anglatadi? Bu degani, x ning barcha qiymatlarini toping, ular asl tenglamaga almashtirilganda bizga to'g'ri tenglikni beradi.
Lekin bizda to'g'ri tenglik bor allaqachon sodir bo'ldi! 0=0, qayerda?! Bu qaysi x dan olinganligini aniqlash qoladi. X ning qaysi qiymatlarini almashtirish mumkin original tenglama, agar bu x bo'lsa hali ham nolga qisqaradimi? Kel?)
Ha!!! X ni almashtirish mumkin har qanday! Nima xohlaysiz. Kamida 5, kamida 0,05, kamida -220. Ular hali ham qisqaradi. Agar menga ishonmasangiz, tekshirib ko'rishingiz mumkin.) Istalgan x qiymatini o'rniga qo'ying original tenglama va hisoblash. Har doim sof haqiqat olinadi: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 va hokazo.
Mana sizning javobingiz: x - har qanday raqam.
Javob turli matematik belgilarda yozilishi mumkin, mohiyat o'zgarmaydi. Bu mutlaqo to'g'ri va to'liq javob.
Ikkinchidan ajablanib.
Keling, bir xil elementar chiziqli tenglamani olaylik va undagi faqat bitta raqamni o'zgartiramiz. Buni biz hal qilamiz:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Xuddi shu o'zgarishlardan so'ng biz qiziqarli narsalarni olamiz:
Mana bunday. Chiziqli tenglamani yechish, g'alati tenglikni oldi. Matematik jihatdan aytganda, bizda bor noto'g'ri tenglik. Va oddiy qilib aytganda, bu to'g'ri emas. Rave. Ammo shunga qaramay, bu bema'nilik tenglamani to'g'ri hal qilish uchun juda yaxshi sababdir.)
Yana umumiy qoidalar asosida fikr yuritamiz. Dastlabki tenglamaga almashtirilganda, x bizga nimani beradi to'g'ri tenglik? Ha, yo'q! Bunday xes yo'q. Nimani almashtirsangiz ham, hamma narsa kamayadi, bema'nilik qoladi.)
Mana sizning javobingiz: yechimlar yo'q.
Bu ham mukammal javobdir. Matematikada bunday javoblar tez-tez uchraydi.
Mana bunday. Endi, umid qilamanki, har qanday (nafaqat chiziqli) tenglamani yechish jarayonida X ning yo'qolishi sizni umuman bezovta qilmaydi. Masala tanish.)
Endi biz chiziqli tenglamalardagi barcha tuzoqlarni ko'rib chiqdik, ularni hal qilish mantiqan.
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
