X0 nuqtadagi hosilaning qiymatini toping. Funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping

1-misol

Malumot: Funktsiyani belgilashning quyidagi usullari ekvivalentdir: Ba'zi vazifalarda funktsiyani "o'yinchi", ba'zilarida esa "ef dan x" sifatida belgilash qulay.

Avval hosilani topamiz:

2-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

, , to'liq funktsiyani o'rganish va boshq.

3-misol

Nuqtadagi funksiyaning hosilasini hisoblang. Avval hosilani topamiz:

Xo'sh, bu butunlay boshqa masala. Nuqtadagi hosilaning qiymatini hisoblang:

Agar hosila qanday topilganligini tushunmasangiz, mavzuning dastlabki ikki darsiga qayting. Ark tangensi va uning ma'nolari bilan bog'liq qiyinchiliklar (tushunmovchilik) bo'lsa, albatta uslubiy materialni o‘rganish Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari- oxirgi xatboshi. Chunki talabalik yoshi uchun arktangentlar hali yetarli.

4-misol

Nuqtadagi funksiyaning hosilasini hisoblang.

Funksiya grafigiga teginish tenglamasi

Oldingi paragrafni birlashtirish uchun tegni topish masalasini ko'rib chiqing funktsiya grafikasi ayni paytda. Biz bu vazifani maktabda uchratganmiz va u oliy matematika kursida ham uchraydi.

"Namoyish" elementar misolini ko'rib chiqing.

Funksiya grafigiga abtsissa bilan nuqtada teginish tenglamasini yozing. Men darhol muammoga tayyor grafik yechimni beraman (amalda, bu ko'p hollarda kerak emas):

Tangensning qat'iy ta'rifi tomonidan berilgan funktsiya hosilasining ta'riflari, lekin hozircha biz masalaning texnik qismini o'zlashtiramiz. Shubhasiz, deyarli hamma intuitiv ravishda tangens nima ekanligini tushunadi. Agar siz "barmoqlarda" ni tushuntirsangiz, u holda funktsiya grafigiga teginish bo'ladi To'g'riga, bu funksiya grafigiga tegishli faqat nuqta. Bunday holda, to'g'ri chiziqning barcha yaqin nuqtalari funksiya grafigiga imkon qadar yaqin joylashgan.

Bizning holatimizga nisbatan qo'llaniladigan: da, tangens (standart yozuv) funksiya grafigiga bir nuqtada tegadi.

Va bizning vazifamiz to'g'ri chiziq tenglamasini topishdir.

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi qanday topiladi? Ushbu topshiriqning ikkita aniq nuqtasi matndan kelib chiqadi:

1) hosilani topish kerak.

2) Berilgan nuqtada hosilaning qiymatini hisoblash kerak.

1-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

Yordam: Funktsiyani belgilashning quyidagi usullari ekvivalentdir:


Ba'zi vazifalarda funktsiyani "o'yinchi", ba'zilarida esa "ef dan x" sifatida belgilash qulay.

Avval hosilani topamiz:

Umid qilamanki, ko'pchilik allaqachon og'zaki ravishda bunday lotinlarni topishga moslashgan.

Ikkinchi bosqichda lotin qiymatini nuqtada hisoblaymiz:

Mustaqil yechim uchun kichik isitish misoli:

2-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bir nuqtada hosilani topish zarurati quyidagi vazifalarda paydo bo'ladi: funktsiya grafigiga tangensni qurish (keyingi paragraf), ekstremum uchun funktsiyani o'rganish , grafikning burilish funksiyasini o'rganish , to'liq funktsiyani o'rganish va boshq.

Ammo ko'rib chiqilayotgan vazifa nazorat hujjatlarida va o'z-o'zidan topiladi. Va, qoida tariqasida, bunday hollarda, funktsiya juda murakkab beriladi. Shu munosabat bilan yana ikkita misolni ko'rib chiqing.

3-misol

Funktsiyaning hosilasini hisoblang nuqtada.
Avval hosilani topamiz:

Asosan, lotin topiladi va kerakli qiymat almashtirilishi mumkin. Lekin men hech narsa qilishni xohlamayman. Ifoda juda uzun va "x" qiymati kasrdir. Shuning uchun biz hosilani iloji boricha soddalashtirishga harakat qilamiz. Bunday holda, keling, oxirgi uchta shartni umumiy maxrajga qisqartirishga harakat qilaylik: nuqtada.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol.

F(x) funksiyaning Ho nuqtadagi hosilasining qiymati qanday topiladi? Umuman olganda, buni qanday hal qilish mumkin?

Agar formula berilgan bo'lsa, hosilani toping va X o'rniga X-nolni qo'ying. hisoblash
Agar biz b-8 USE, grafik haqida gapiradigan bo'lsak, u holda siz X o'qiga tangens hosil qiluvchi burchakning (o'tkir yoki o'tkir) tangensini topishingiz kerak (to'g'ri burchakli uchburchakning aqliy konstruktsiyasidan foydalangan holda va tangensni aniqlash). burchak)

Timur Adilxo'jaev

Birinchidan, siz belgi haqida qaror qabul qilishingiz kerak. Agar x0 nuqtasi koordinata tekisligining pastki qismida bo'lsa, javobdagi belgi minus, undan yuqori bo'lsa, + bo'ladi.
Ikkinchidan, to'rtburchaklar to'rtburchakda tange nima ekanligini bilishingiz kerak. Va bu qarama-qarshi tomonning (oyoq) qo'shni tomonga (shuningdek, oyoq) nisbati. Odatda rasmda bir nechta qora belgilar mavjud. Ushbu belgilardan siz to'g'ri burchakli uchburchak yasaysiz va tangeni topasiz.

f x funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymati qanday topiladi?

aniq savol yo'q - 3 yil oldin

Umumiy holatda funktsiyaning biron bir o'zgaruvchiga nisbatan hosilasining qiymatini istalgan nuqtada topish uchun berilgan funksiyani shu o'zgaruvchiga nisbatan differensiallash kerak bo'ladi. Sizning holatingizda X o'zgaruvchisi tomonidan. Olingan ifodada X o'rniga x ning qiymatini lotin qiymatini topishingiz kerak bo'lgan nuqtaga qo'ying, ya'ni. sizning holatingizda, nol X o'rniga qo'ying va olingan ifodani hisoblang.

Xo'sh, bu masalani tushunishga bo'lgan xohishingiz, menimcha, shubhasiz, men toza vijdon bilan qo'ygan + ga loyiqdir.

Hosilni topish muammosining bunday formulasi ko'pincha hosilaning geometrik ma'nosi bo'yicha materialni aniqlash uchun qo'yiladi. Muayyan funktsiyaning grafigi taklif qilingan, mutlaqo ixtiyoriy va tenglama bilan berilmagan va ko'rsatilgan X0 nuqtasida hosilaning qiymatini (hosilning o'zi emas!) topish talab qilinadi. Buning uchun berilgan funksiyaga tangens quriladi va uning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari topiladi. Keyin bu tangens tenglamasi y=kx+b ko'rinishda tuziladi.

Bu tenglamada k va koeffitsienti hosilaning qiymati bo'ladi. faqat b koeffitsientining qiymatini topish uchun qoladi. Buning uchun biz x \u003d o da y qiymatini topamiz, u 3 ga teng bo'lsin - bu b koeffitsientining qiymati. Biz X0 va Y0 qiymatlarini asl tenglamaga almashtiramiz va k ni topamiz - bu nuqtadagi hosilaning qiymati.

B9 masalada funktsiya yoki hosila grafigi berilgan, undan quyidagi miqdorlardan birini aniqlash talab etiladi:

1. X 0 nuqtadagi hosilaning qiymati,
2. Yuqori yoki past nuqtalar (ekstremal nuqtalar),
3. Ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalarning intervallari (monotonlik oraliqlari).

Bu masalada keltirilgan funksiyalar va hosilalar doimo uzluksiz bo'lib, bu yechimni ancha soddalashtiradi. Vazifa matematik tahlil bo'limiga tegishli bo'lishiga qaramay, u hatto eng zaif o'quvchilarning kuchiga kiradi, chunki bu erda chuqur nazariy bilim talab qilinmaydi.

Losmalar, ekstremal nuqtalar va monotonlik oraliqlarining qiymatini topish uchun oddiy va universal algoritmlar mavjud - ularning barchasi quyida muhokama qilinadi.

Ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun B9 muammosining shartini diqqat bilan o'qing: ba'zida juda katta hajmli matnlar uchrab turadi, ammo hal qilish jarayoniga ta'sir qiladigan bir nechta muhim shartlar mavjud.

Hosila qiymatini hisoblash. Ikki nuqta usuli

Agar masalaga x 0 nuqtada shu grafaga tangens bo‘lgan f(x) funksiyaning grafigi berilgan bo‘lsa va bu nuqtada hosilaning qiymatini topish talab etilsa, quyidagi algoritm qo‘llaniladi:

1. Tangens grafigida ikkita "adekvat" nuqtani toping: ularning koordinatalari butun son bo'lishi kerak. Bu nuqtalarni A (x 1 ; y 1) va B (x 2 ; y 2) deb belgilaymiz. Koordinatalarni to'g'ri yozing - bu yechimning asosiy nuqtasi va bu erda har qanday xato noto'g'ri javobga olib keladi.
2. Koordinatalarni bilgan holda, Dx = x 2 − x 1 argumentining ortishi va Dy = y 2 − y 1 funksiyasining o‘sishini hisoblash oson.
3. Nihoyat, hosila D = Dy/Dx qiymatini topamiz. Boshqacha qilib aytganda, siz funktsiya o'sishini argument o'sishiga bo'lishingiz kerak - va bu javob bo'ladi.

Yana bir bor ta'kidlaymiz: A va B nuqtalarni ko'pincha bo'lgani kabi f(x) funksiya grafigida emas, balki aniq tangens bo'yicha izlash kerak. Tangensda kamida ikkita shunday nuqta bo'lishi kerak, aks holda muammo noto'g'ri tuzilgan.

A (−3; 2) va B (−1; 6) nuqtalarini ko‘rib chiqing va o‘sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Hosilaning qiymati topilsin: D = Dy/Dx = 4/2 = 2.

Vazifa. Rasmda y \u003d f (x) funktsiyasining grafigi va abtsissa x 0 nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 3) va B (3; 0) nuqtalarini ko'rib chiqing, o'sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Endi hosilaning qiymatini topamiz: D = Dy/Dx = -3/3 = -1.

Vazifa. Rasmda y \u003d f (x) funktsiyasining grafigi va abtsissa x 0 nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 2) va B (5; 2) nuqtalarini ko'rib chiqing va o'sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Dy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Hosilaning qiymatini topish qoladi: D = Dy/Dx = 0/5 = 0.

Oxirgi misoldan biz qoidani shakllantirishimiz mumkin: agar tangens OX o'qiga parallel bo'lsa, teginish nuqtasida funktsiyaning hosilasi nolga teng. Bunday holda, siz hech narsani hisoblashingiz shart emas - shunchaki grafikaga qarang.

Yuqori va past ballarni hisoblash

Ba'zan B9 masaladagi funktsiya grafigi o'rniga hosila grafigi beriladi va funktsiyaning maksimal yoki minimal nuqtasini topish talab qilinadi. Ushbu stsenariyda ikki nuqtali usul foydasiz, ammo boshqa, hatto oddiyroq algoritm ham mavjud. Birinchidan, terminologiyani aniqlaymiz:

1. X 0 nuqtasi f(x) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar ushbu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≥ f(x).
2. x 0 nuqtasi f(x) funksiyaning minimal nuqtasi deyiladi, agar ushbu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≤ f(x).

Hosila grafigida maksimal va minimal nuqtalarni topish uchun quyidagi amallarni bajarish kifoya:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlagan holda lotin grafigini qayta chizing. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, qo'shimcha ma'lumotlar faqat yechimga xalaqit beradi. Shuning uchun biz koordinata o'qida hosilaning nollarini belgilaymiz - va bu.
2. Nollar orasidagi intervallardagi hosila belgilarini toping. Agar biron bir x 0 nuqtasi uchun f'(x 0) ≠ 0 ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda faqat ikkita variant mumkin: f'(x 0) ≥ 0 yoki f'(x 0) ≤ 0. Hosilning belgisi: dastlabki chizmadan aniqlash oson: agar hosilaviy grafik OX oʻqidan yuqorida joylashgan boʻlsa, u holda f'(x) ≥ 0. Aksincha, hosila grafik OX oʻqi ostida joylashgan boʻlsa, f'(x) ≤ 0 boʻladi.
3. Biz lotinning nollarini va belgilarini yana tekshiramiz. Belgisi minusdan plyusga o'zgargan joyda minimal nuqta mavjud. Aksincha, lotinning belgisi ortiqcha dan minusga o'zgartirilsa, bu maksimal nuqtadir. Hisoblash har doim chapdan o'ngga amalga oshiriladi.

Ushbu sxema faqat uzluksiz funktsiyalar uchun ishlaydi - B9 muammosida boshqalar yo'q.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−5 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 5]. Ushbu segmentdagi f(x) funksiyaning minimal nuqtasini toping.

Keraksiz ma'lumotlardan xalos bo'laylik - biz faqat chegaralarni qoldiramiz [−5; 5] va hosila nollari x = -3 va x = 2,5. Shuningdek, belgilarga e'tibor bering:

Shubhasiz, x = −3 nuqtada hosila belgisi minusdan plyusga o'zgaradi. Bu minimal nuqta.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi maksimal nuqtasini toping.

Keling, faqat chegaralarni qoldirib, grafikni qayta chizamiz [−3; 7] va hosila nollari x = -1,7 va x = 5. Hosil bo'lgan grafikdagi hosilaning belgilariga e'tibor bering. Bizda ... bor:

Shubhasiz, x = 5 nuqtasida lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi - bu maksimal nuqta.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−6 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; to'rt]. f(x) funksiyaning [−4 oraliqga tegishli maksimal nuqtalari sonini toping; 3].

Masalaning shartlaridan kelib chiqadiki, grafikning faqat segment bilan chegaralangan qismini ko'rib chiqish kifoya [−4; 3]. Shuning uchun biz yangi grafik quramiz, unda biz faqat chegaralarni belgilaymiz [−4; 3] va uning ichidagi hosilaning nollari. Ya'ni, nuqtalar x = -3,5 va x = 2. Biz quyidagilarni olamiz:

Bu grafikda faqat bitta maksimal nuqta x = 2. Aynan unda hosilaning belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi.

Butun son bo'lmagan koordinatali nuqtalar haqida kichik eslatma. Masalan, oxirgi masalada x = -3,5 nuqtasi ko'rib chiqildi, ammo xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz x = -3,4 ni olishimiz mumkin. Agar muammo to'g'ri tuzilgan bo'lsa, bunday o'zgarishlar javobga ta'sir qilmasligi kerak, chunki "belgilangan yashash joyisiz" nuqtalar muammoni hal qilishda bevosita ishtirok etmaydi. Albatta, butun sonlar bilan bunday hiyla ishlamaydi.

Funksiyaning ortish va kamayish intervallarini topish

Bunday masalada maksimal va minimal nuqtalar kabi hosila grafigidan funksiyaning o‘zi ortib yoki kamayadigan sohalarni topish taklif etiladi. Birinchidan, ko'tarilish va pasayish nima ekanligini aniqlaymiz:

1. Agar f(x) funksiya segmentda ortib boruvchi deyiladi, agar bu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi bayonot to'g'ri bo'lsa: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Boshqacha qilib aytganda, argumentning qiymati qanchalik katta bo'lsa, funktsiyaning qiymati shunchalik katta bo'ladi.
2. f(x) funksiya segmentdagi kamayuvchi deyiladi, agar ushbu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi bayonot to'g'ri bo'lsa: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Bular. argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga mos keladi.

Biz oshirish va kamaytirish uchun etarli shartlarni shakllantiramiz:

1. Uzluksiz f(x) funksiyaning segmentda ortishi uchun uning segment ichidagi hosilasi musbat bo'lishi kifoya, ya'ni. f'(x) ≥ 0.
2. Uzluksiz f(x) funksiyaning segmentda kamayishi uchun uning segment ichidagi hosilasi manfiy bo'lishi kifoya, ya'ni. f'(x) ≤ 0.

Biz bu da'volarni isbotsiz qabul qilamiz. Shunday qilib, biz o'sish va pasayish intervallarini topish sxemasini olamiz, bu ko'p jihatdan ekstremum nuqtalarni hisoblash algoritmiga o'xshaydi:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlang. Hosilning asl grafigida bizni birinchi navbatda funksiyaning nollari qiziqtiradi, shuning uchun biz faqat ularni qoldiramiz.
2. Nol orasidagi oraliqda hosila belgilarini belgilang. f'(x) ≥ 0 bo'lgan joyda funksiya ortadi, f'(x) ≤ 0 bo'lsa, u kamayadi. Muammo x o'zgaruvchisiga cheklovlar bo'lsa, biz ularni qo'shimcha ravishda yangi diagrammada belgilaymiz.
3. Endi biz funktsiyaning xatti-harakati va cheklovini bilganimizdan so'ng, muammoda kerakli qiymatni hisoblash qoladi.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7.5]. f(x) funksiyaning kamayuvchi oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun sonlar yig'indisini yozing.

Odatdagidek, biz grafikni qayta chizamiz va chegaralarni belgilaymiz [−3; 7.5], shuningdek, x = -1.5 va x = 5.3 hosilasining nollari. Keyin hosila belgilarini belgilaymiz. Bizda ... bor:

(− 1,5) oraliqda hosila manfiy bo‘lgani uchun bu funksiya kamayuvchi intervaldir. Ushbu oraliq ichidagi barcha sonlarni yig'ish qoladi:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Vazifa. Rasmda [−10] segmentida aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; to'rt]. f(x) funktsiyaning ortishi oraliqlarini toping. Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini yozing.

Keling, ortiqcha ma'lumotlardan xalos bo'laylik. Biz faqat chegaralarni qoldiramiz [−10; 4] va hosilaning nollari, bu safar ular to'rtta bo'lib chiqdi: x = −8, x = −6, x = −3 va x = 2. Hosilning belgilariga e'tibor bering va quyidagi rasmni oling:

Biz funktsiyani oshirish intervallari bilan qiziqamiz, ya'ni. Bu yerda f'(x) ≥ 0. Grafikda ikkita shunday interval mavjud: (−8; −6) va (−3; 2). Keling, ularning uzunligini hisoblaymiz:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Intervallarning eng kattasining uzunligini topish talab qilinganligi uchun javob sifatida l 2 = 5 qiymatini yozamiz.