Bu har doim kvadrat. Kvadrat tenglamalarni yechish, ildiz formulasi, misollar
To'liq kvadrat tenglamani to'liq bo'lmaganga aylantirish quyidagicha ko'rinadi (\(b=0\) holat uchun):
\(c=0\) yoki ikkala koeffitsient nolga teng bo'lgan holatlar uchun hamma narsa o'xshash.
E'tibor bering, \(a\) nolga teng emas, u nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki bu holda u quyidagicha aylanadi:
Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish
Avvalo, siz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama hali ham ekanligini tushunishingiz kerak, shuning uchun uni odatdagi kvadratik (orqali) bilan bir xil tarzda echish mumkin. Buning uchun tenglamaning etishmayotgan komponentini nol koeffitsient bilan qo'shamiz.
Misol
: \(3x^2-27=0\) tenglamaning ildizlarini toping.
Yechim
:
|
Bizda \(b=0\) koeffitsientli to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama mavjud. Ya'ni, tenglamani quyidagi shaklda yozishimiz mumkin: |
||
|
\(3x^2+0\cdot x-27=0\) |
Aslida, bu erda xuddi boshida bo'lgani kabi tenglama, lekin endi uni oddiy kvadrat sifatida echish mumkin. Avval biz koeffitsientlarni yozamiz. |
|
|
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\) |
\(D=b^2-4ac\) formulasi yordamida diskriminantni hisoblang. |
|
|
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) |
Formulalar yordamida tenglamaning ildizlarini topamiz |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\) |
|
Javobni yozing |
Javob : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)
Misol
: \(-x^2+x=0\) tenglamaning ildizlarini toping.
Yechim
:
|
Yana to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, lekin endi \(c\) koeffitsienti nolga teng. Tenglamani to'liq deb yozamiz. |
||
Kvadrat tenglama yoki bitta noma'lum bo'lgan ikkinchi darajali tenglama - bu transformatsiyalardan so'ng quyidagi ko'rinishga keltirilishi mumkin bo'lgan tenglama:
bolta 2 + bx + c = 0 - kvadrat tenglama
qayerda x noma'lum va a, b va c- tenglamaning koeffitsientlari. Kvadrat tenglamalarda a birinchi koeffitsient deyiladi ( a ≠ 0), b ikkinchi koeffitsient deb ataladi va c ma'lum yoki bepul a'zo deb ataladi.
Tenglama:
bolta 2 + bx + c = 0
chaqirdi to'liq kvadrat tenglama. Agar koeffitsientlardan biri bo'lsa b yoki c nolga teng bo'lsa yoki bu koeffitsientlarning ikkalasi ham nolga teng bo'lsa, tenglama to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama sifatida ifodalanadi.
Qisqartirilgan kvadrat tenglama
To'liq kvadrat tenglamani barcha hadlarini bo'lish orqali qulayroq shaklga keltirish mumkin a, ya'ni birinchi koeffitsient uchun:
Tenglama x 2 + px + q= 0 qisqartirilgan kvadrat tenglama deyiladi. Shuning uchun birinchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan har qanday kvadrat tenglamani qisqartirilgan deb atash mumkin.
Masalan, tenglama:
x 2 + 10x - 5 = 0
kamayadi va tenglama:
3x 2 + 9x - 12 = 0
yuqoridagi tenglamani uning barcha a'zolarini -3 ga bo'lish yo'li bilan almashtirish mumkin:
x 2 - 3x + 4 = 0
Kvadrat tenglamalarni yechish
Kvadrat tenglamani yechish uchun uni quyidagi shakllardan biriga keltirish kerak:
bolta 2 + bx + c = 0
bolta 2 + 2kx + c = 0
x 2 + px + q = 0
Har bir tenglama turi ildizlarni topish uchun o'z formulasiga ega:
Tenglamaga e'tibor bering:
bolta 2 + 2kx + c = 0
bu aylantirilgan tenglama bolta 2 + bx + c= 0, bunda koeffitsient b- hatto, bu uni 2-turga almashtirishga imkon beradi k. Shuning uchun bu tenglamaning ildizlarini topish formulasini 2 ni almashtirish orqali soddalashtirish mumkin k o'rniga b:
1-misol Tenglamani yeching:
3x 2 + 7x + 2 = 0
Tenglamadagi ikkinchi koeffitsient juft son emasligi va birinchi koeffitsient birga teng bo'lmagani uchun biz kvadrat tenglamaning ildizlarini topishning umumiy formulasi deb ataladigan birinchi formuladan foydalanib, ildizlarni qidiramiz. Birinchidan
a = 3, b = 7, c = 2
Endi tenglamaning ildizlarini topish uchun biz oddiygina koeffitsientlar qiymatlarini formulaga almashtiramiz:
| x 1 = | -2 | = - | 1 | , x 2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| Javob: - | 1 | , -2. |
| 3 |
2-misol:
x 2 - 4x - 60 = 0
Keling, koeffitsientlar nimaga teng ekanligini aniqlaymiz:
a = 1, b = -4, c = -60
Tenglamadagi ikkinchi koeffitsient juft son bo'lganligi sababli, biz juft ikkinchi koeffitsientli kvadrat tenglamalar uchun formuladan foydalanamiz:
x 1 = 2 + 8 = 10, x 2 = 2 - 8 = -6
Javob: 10, -6.
3-misol
y 2 + 11y = y - 25
Tenglamani umumiy shaklga keltiramiz:
y 2 + 11y = y - 25
y 2 + 11y - y + 25 = 0
y 2 + 10y + 25 = 0
Keling, koeffitsientlar nimaga teng ekanligini aniqlaymiz:
a = 1, p = 10, q = 25
Birinchi koeffitsient 1 ga teng bo'lganligi sababli, biz yuqoridagi tenglamalar uchun formula bo'yicha ildizlarni ikkinchi koeffitsient bilan qidiramiz:
Javob: -5.
4-misol
x 2 - 7x + 6 = 0
Keling, koeffitsientlar nimaga teng ekanligini aniqlaymiz:
a = 1, p = -7, q = 6
Birinchi koeffitsient 1 ga teng bo'lganligi sababli, biz toq ikkinchi koeffitsientli berilgan tenglamalar uchun formula bo'yicha ildizlarni qidiramiz:
x 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x 2 = (7 - 5) : 2 = 1
Tenglamalardan foydalanish hayotimizda keng tarqalgan. Ular ko'plab hisob-kitoblarda, inshootlarni qurishda va hatto sportda qo'llaniladi. Tenglamalar inson tomonidan qadim zamonlardan beri qo'llanilgan va o'sha paytdan beri ulardan foydalanish faqat ortib bordi. Diskriminant har qanday kvadrat tenglamalarni quyidagi shaklga ega bo'lgan umumiy formuladan foydalanib echishga imkon beradi:
Diskriminant formulasi polinom darajasiga bog'liq. Yuqoridagi formula quyidagi shakldagi kvadrat tenglamalarni echish uchun javob beradi:
Diskriminant bilishingiz kerak bo'lgan quyidagi xususiyatlarga ega:
* Ko'phadning bir nechta ildizlari (teng ildizlar) bo'lganda "D" 0 ga teng;
* "D" ko'phadning ildizlariga nisbatan simmetrik ko'phad va shuning uchun uning koeffitsientlari bo'yicha ko'phad; bundan tashqari, bu ko'phadning koeffitsientlari ildizlar qanday kengaytmadan olinganligidan qat'i nazar, butun sonlardir.
Faraz qilaylik, bizga quyidagi shakldagi kvadrat tenglama berilgan:
1 tenglama
Formulaga ko'ra bizda:
\ dan beri tenglama 2 ta ildizga ega. Keling, ularni aniqlaymiz:
Diskriminant onlayn hal qiluvchi orqali tenglamani qayerda yechish mumkin?
Tenglamani bizning https: // saytimizda echishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi har qanday murakkablikdagi onlayn tenglamani bir necha soniya ichida hal qilish imkonini beradi. Siz qilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni hal qiluvchiga kiritishdir. Shuningdek, siz bizning veb-saytimizda video ko'rsatmani ko'rishingiz va tenglamani qanday echishni o'rganishingiz mumkin.Va agar sizda biron bir savol bo'lsa, ularni Vkontakte guruhimiz http://vk.com/pocketteacher orqali so'rashingiz mumkin. Guruhimizga qo'shiling, biz har doim sizga yordam berishdan xursandmiz.
Umid qilamanki, ushbu maqolani o'rganganingizdan so'ng, siz to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini qanday topishni o'rganasiz.
Diskriminant yordamida faqat to'liq kvadrat tenglamalar yechiladi, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish uchun "To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish" maqolasida topiladigan boshqa usullar qo'llaniladi.
Qanday kvadrat tenglamalar to'liq deyiladi? bu ax 2 + b x + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalar, bu erda a, b va c koeffitsientlari nolga teng emas. Demak, toʻliq kvadrat tenglamani yechish uchun D diskriminantini hisoblash kerak.
D \u003d b 2 - 4ac.
Diskriminant qanday qiymatga ega ekanligiga qarab, biz javobni yozamiz.
Agar diskriminant manfiy raqam bo'lsa (D< 0),то корней нет.
Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, u holda x \u003d (-b) / 2a. Diskriminant musbat son bo'lsa (D > 0),
keyin x 1 = (-b - √D)/2a va x 2 = (-b + √D)/2a.
Masalan. tenglamani yeching x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Javob: 2.
2-tenglamani yeching x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Javob: ildiz yo'q.
2-tenglamani yeching x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Javob: - 3,5; bitta.
Shunday qilib, 1-rasmdagi sxema bo'yicha to'liq kvadrat tenglamalarning yechimini tasavvur qilaylik.
Ushbu formulalar har qanday to'liq kvadrat tenglamani yechish uchun ishlatilishi mumkin. Siz shunchaki ehtiyot bo'lishingiz kerak tenglama standart ko'rinishdagi ko'phad sifatida yozildi
a x 2 + bx + c, aks holda siz xato qilishingiz mumkin. Masalan, x + 3 + 2x 2 = 0 tenglamasini yozishda siz noto'g'ri qaror qabul qilishingiz mumkin
a = 1, b = 3 va c = 2. Keyin
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 va keyin tenglama ikkita ildizga ega. Va bu haqiqat emas. (Yuqoridagi 2-misol yechimiga qarang).
Shuning uchun, agar tenglama standart ko'rinishdagi ko'phad sifatida yozilmagan bo'lsa, birinchi navbatda to'liq kvadrat tenglama standart shakldagi ko'phad sifatida yozilishi kerak (eng katta ko'rsatkichli monom birinchi navbatda turishi kerak, ya'ni a x 2 , keyin kamroq bilan – bx, keyin esa bepul muddat Bilan.
Yuqoridagi kvadrat tenglamani va ikkinchi had uchun juft koeffitsientli kvadrat tenglamani yechishda boshqa formulalardan ham foydalanish mumkin. Keling, ushbu formulalar bilan tanishamiz. Agar ikkinchi hadli to'liq kvadrat tenglamada koeffitsient juft bo'lsa (b = 2k), u holda tenglamani 2-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalar yordamida yechish mumkin.
Agar koeffitsient at bo'lsa, to'liq kvadrat tenglama qisqartirilgan deb ataladi x 2 birlikka teng va tenglama shaklni oladi x 2 + px + q = 0. Bunday tenglama yechish uchun berilishi mumkin yoki tenglamaning barcha koeffitsientlarini koeffitsientga bo'lish yo'li bilan olinadi. a da turish x 2 .
3-rasmda qisqartirilgan kvadrat yechimining diagrammasi ko'rsatilgan 
tenglamalar. Ushbu maqolada muhokama qilingan formulalarni qo'llash misolini ko'rib chiqing.
Misol. tenglamani yeching
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Bu tenglamani 1-rasmda ko‘rsatilgan formulalar yordamida yechamiz.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3)) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3)) / 6 \u003d -1 + √ 3
Javob: -1 - √3; –1 + √3
Ushbu tenglamadagi x koeffitsienti juft son ekanligini ko'rishingiz mumkin, ya'ni b \u003d 6 yoki b \u003d 2k, bu erdan k \u003d 3. Keyin rasm diagrammasida ko'rsatilgan formulalar yordamida tenglamani echishga harakat qilaylik. D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3)) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3)) / 3 \u003d - 1 + √3
Javob: -1 - √3; –1 + √3. Ushbu kvadrat tenglamadagi barcha koeffitsientlar 3 ga bo'linishi va bo'linishiga e'tibor berib, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz x 2 + 2x - 2 = 0 Bu tenglamani qisqartirilgan kvadrat uchun formulalar yordamida yechamiz. 
tenglamalar 3-rasm.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3)) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3)) / 2 \u003d - 1 + √ 3
Javob: -1 - √3; –1 + √3.
Ko'rib turganingizdek, bu tenglamani turli formulalar yordamida yechishda biz bir xil javob oldik. Shuning uchun, 1-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalarni yaxshi o'zlashtirib, siz har doim har qanday to'liq kvadrat tenglamani echishingiz mumkin.
sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.
Dars mazmuniKvadrat tenglama nima va uni qanday yechish mumkin?
Esda tutamizki, tenglama qiymati topilishi kerak bo'lgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglikdir.
Agar tenglamaga kiritilgan o'zgaruvchi ikkinchi darajaga (kvadratga) ko'tarilsa, unda bunday tenglama deyiladi. ikkinchi darajali tenglama yoki kvadrat tenglama.
Masalan, quyidagi tenglamalar kvadratikdir:
Biz ushbu tenglamalarning birinchisini yechamiz, ya'ni x 2 − 4 = 0 .
Oddiy chiziqli tenglamalarni yechishda qo'llagan barcha bir xil o'zgarishlar kvadrat tenglamalarni yechishda ham qo'llanilishi mumkin.
Shunday qilib, tenglamada x 2 − 4 = 0 belgisini o‘zgartirib, −4 atamasini chap tomondan o‘ng tomonga o‘tkazamiz:
Tenglamani oldim x 2 = 4. Avvalroq aytgandik, agar bir qismda o‘zgaruvchi birinchi darajada yozilsa va uning koeffitsienti birga, ikkinchi qismi esa qandaydir songa teng bo‘lsa, tenglama yechilgan hisoblanadi. Ya'ni, tenglamani yechish uchun uni shaklga keltirish kerak x = a, qayerda a- tenglamaning ildizi.
Bizda o'zgaruvchi bor x hali ikkinchi darajada, shuning uchun yechim davom ettirilishi kerak.
Tenglamani yechish uchun x 2 = 4 , siz qanday qiymatda savolga javob berishingiz kerak x chap tomoni 4 ga aylanadi. Shubhasiz, 2 va -2 qiymatlari uchun. Ushbu qiymatlarni olish uchun biz kvadrat ildizning ta'rifidan foydalanamiz.
Raqam b sonning kvadrat ildizi deyiladi a, agar b 2 = a va sifatida belgilanadi
Hozir bizda ham xuddi shunday holat. Axir, nima x 2 = 4? O'zgaruvchan x bu holda 4 ning kvadrat ildizi, chunki ikkinchi daraja x 4 ga teng.
Keyin buni yozishimiz mumkin. O'ng tomonni hisoblash sizga nimaga teng ekanligini aniqlashga imkon beradi x. Kvadrat ildiz ikki ma'noga ega: ijobiy va salbiy. Keyin olamiz x= 2 va x= −2 .
Odatda ular shunday yozadilar: ular kvadrat ildiz oldiga ortiqcha-minus belgisini qo'yadilar, keyin topadilar. Bizning holatda, ifoda yozilayotgan bosqichda ± belgisi oldin qo'yilishi kerak
Keyin kvadrat ildizning arifmetik qiymatini toping
Ifoda x= ± 2 shuni anglatadi x= 2 va x= -2. Ya'ni, tenglamaning ildizlari x 2 - 4 = 0 - 2 va -2 raqamlari. Ushbu tenglamaning to'liq yechimini yozamiz:
Ikkala holatda ham chap tomon nolga teng. Shunday qilib, tenglama to'g'ri.
Keling, boshqa tenglamani yechamiz. Kvadrat tenglamani yechish talab qilinsin ( x+ 2) 2 = 25
Birinchidan, bu tenglamani tahlil qilaylik. Chap tomoni kvadrat bo'lib, 25 ga teng. Qaysi sonning kvadrati 25? Shubhasiz, 5 va -5 raqamlari
Ya'ni, bizning vazifamiz topishdir x, qaysi ifoda ostida x+ 2 5 va −5 raqamlariga teng bo'ladi. Keling, ushbu ikkita tenglamani yozamiz:
Keling, ikkala tenglamani ham yechamiz. Bu oddiy chiziqli tenglamalar bo'lib, ular osonlikcha echiladi:
Shunday qilib, tenglamaning ildizlari ( x+ 2) 2 = 25 - 3 va -7 raqamlari.
Ushbu misolda, avvalgidek, kvadrat ildizning ta'rifidan foydalanishingiz mumkin. Shunday qilib, tenglamalarda ( x+ 2) 2 = 25 ifoda ( x+ 2) 25 ning kvadrat ildizi. Shuning uchun, biz birinchi navbatda yozishimiz mumkin 
.
Keyin o'ng tomon ±5 ga teng bo'ladi. Siz ikkita tenglama olasiz: x+ 2 = 5 va x+ 2 = −5. Ushbu tenglamalarning har birini alohida yechish orqali biz 3 va -7 ildizlariga kelamiz.
Keling, tenglamaning to'liq yechimini yozamiz ( x+ 2) 2 = 25
Ko'rib chiqilgan misollardan ko'rinib turibdiki, kvadrat tenglama ikkita ildizga ega. Topilgan ildizlarni, o'zgaruvchini unutmaslik uchun x subscripts bilan imzolanishi mumkin. Shunday qilib, ildiz 3 ni quyidagicha belgilash mumkin x 1 va ildiz -7 orqali x 2
Oldingi misolda siz buni ham qilishingiz mumkin. Tenglama x 2 − 4 = 0 ning 2 va −2 ildizlari bor edi. Bu ildizlar deb atash mumkin x 1 = 2 va x 2 = −2.
Bundan tashqari, kvadrat tenglama faqat bitta ildizga ega yoki umuman ildizga ega emas. Bunday tenglamalarni keyinroq ko'rib chiqamiz.
Keling, tenglamani tekshiramiz ( x+ 2) 2 = 25 . Unga 3 va -7 ildizlarini qo'ying. Agar 3 va −7 qiymatlari uchun chap tomon 25 ga teng bo'lsa, bu tenglama to'g'ri echilganligini anglatadi:
Ikkala holatda ham chap tomon 25 ga teng. Shunday qilib, tenglama to'g'ri.
Kvadrat tenglama turli shakllarda berilgan. Uning eng keng tarqalgan shakli quyidagicha ko'rinadi:
bolta 2 + bx + c= 0
,
qayerda a, b, c- ba'zi raqamlar x- noma'lum.
Bu shunday deyiladi kvadrat tenglamaning umumiy shakli. Bunday tenglamada barcha atamalar umumiy joyda (bir qismda) yig'iladi, ikkinchi qismi esa nolga teng. Aks holda, bu turdagi tenglama deyiladi kvadrat tenglamaning normal shakli.
3-tenglama berilgan bo'lsin x 2 + 2x= 16. Uning o'zgaruvchisi bor x ikkinchi darajaga ko'tariladi, shuning uchun tenglama kvadratdir. Keling, bu tenglamani umumiy shaklga keltiramiz.
Shunday qilib, biz tenglamaga o'xshash tenglamani olishimiz kerak bolta 2 + bx+ c= 0 . Buning uchun 3-tenglamada x 2 + 2x= 16 belgisini o'zgartirib, 16 ni o'ng tomondan chap tomonga o'tkazamiz:
3x 2 + 2x − 16 = 0
Tenglamani oldim 3x 2 + 2x− 16 = 0 . Ushbu tenglamada a= 3 , b= 2 , c= −16 .
Shaklning kvadrat tenglamasida bolta 2 + bx+ c= 0 raqamlar a , b va c o'z nomlariga ega. Ha, raqam a birinchi yoki katta koeffitsient deb ataladi; raqam b ikkinchi koeffitsient deb ataladi; raqam c bepul a'zo deb ataladi.
Bizning holatda, tenglama uchun 3x 2 + 2x− 16 = 0 birinchi yoki eng yuqori koeffitsient 3 ga teng; ikkinchi koeffitsient - 2 raqami; bepul a'zo soni -16 . Raqamlarning yana bir umumiy nomi mavjud a, b va c — variantlari.
Shunday qilib, tenglamada 3x 2 + 2x− 16 = 0 parametrlar 3, 2 va -16 raqamlari.
Kvadrat tenglamada hadlarni shunday tartibga solish maqsadga muvofiqki, ular kvadrat tenglamaning normal ko'rinishidagi kabi tartibda joylashtiriladi.
Masalan, tenglama berilgan −5 + 4x 2 + x= 0 , keyin uni oddiy shaklda, ya'ni shaklda yozish maqsadga muvofiqdir bolta 2 + bx + c= 0.
Tenglamada −5 + 4x 2 + x = 0 erkin muddat -5 ekanligini ko'rish mumkin, u chap tomonning oxirida joylashgan bo'lishi kerak. a'zo 4 x 2 yetakchi koeffitsientni o'z ichiga oladi, uni birinchi bo'lib qo'yish kerak. A'zo x mos ravishda ikkinchi o'rinda turadi:
Kvadrat tenglama vaziyatga qarab turli ko'rinishga ega bo'lishi mumkin. Bularning barchasi qanday qadriyatlarga bog'liq a , b va Bilan .
Agar koeffitsientlar a , b va c nolga teng bo'lmasa, kvadrat tenglama deyiladi to'liq. Masalan, kvadrat tenglama to'liq 2x 2 + 6x - 8 = 0 .
Agar koeffitsientlardan birortasi nolga teng bo'lsa (ya'ni yo'q), u holda tenglama sezilarli darajada kamayadi va oddiyroq shaklni oladi. Bu kvadrat tenglama deyiladi to'liqsiz. Masalan, 2-kvadrat tenglama to'liq emas x 2 + 6x= 0, u koeffitsientlarga ega a va b(2 va 6 raqamlari), lekin bepul a'zo yo'q c.
Keling, ushbu turdagi tenglamalarning har birini ko'rib chiqaylik va bu turlarning har biri uchun biz o'z hal qilish usullarini aniqlaymiz.
Kvadrat tenglama bo'lsin 2x 2 + 6x - 8 = 0 . Ushbu tenglamada a= 2 , b= 6 , c= −8. Agar a b nolga tenglashtirilsa, tenglama quyidagi shaklni oladi:
2-tenglama chiqdi x 2 − 8 = 0. Buni hal qilish uchun biz belgini o'zgartirib, -8 ni o'ng tomonga o'tkazamiz:
2x 2 = 8
Tenglamani yanada soddalashtirish uchun biz ilgari o'rganilgan bir xil o'zgarishlardan foydalanamiz. Bunday holda, siz ikkala qismni 2 ga bo'lishingiz mumkin
Bizda ushbu darsning boshida yechilgan tenglama bor. Tenglamani yechish uchun x 2 \u003d 4, siz kvadrat ildizning ta'rifidan foydalanishingiz kerak. Agar a x 2 = 4, keyin. Bu yerdan x= 2 va x= −2 .
Shunday qilib, 2-tenglamaning ildizlari x 2 - 8 = 0 - 2 va -2 raqamlari. Ushbu tenglamaning to'liq yechimini yozamiz:
Keling, tekshirib ko'raylik. Biz 2 va −2 ildizlarni dastlabki tenglamaga almashtiramiz va tegishli hisob-kitoblarni bajaramiz. Agar 2 va −2 qiymatlari uchun chap tomon nolga teng bo'lsa, bu tenglama to'g'ri echilganligini anglatadi:
Ikkala holatda ham chap tomon nolga teng, ya'ni tenglama to'g'ri echilgan.
Biz hozir yechgan tenglama to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama. Ism o'zi uchun gapiradi. Agar to'liq kvadrat tenglama o'xshash bo'lsa bolta 2 + bx+ c= 0 , keyin koeffitsientni hosil qiling b nol - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama bolta 2 + c= 0 .
Biz ham birinchi bo'lib to'liq kvadrat tenglamaga ega bo'ldik 2x 2 + 6x− 4 = 0 . Lekin biz nisbatga erishdik b nol, ya'ni 6 raqami o'rniga 0 ni qo'ying. Natijada, tenglama to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama 2 ga aylandi x 2 − 4 = 0 .
Ushbu darsning boshida biz kvadrat tenglamani yechdik x 2 − 4 = 0. Bu, shuningdek, shaklning tenglamasidir bolta 2 + c= 0 , ya'ni to'liq emas. Unda a= 1 , b= 0 , Bilan= −4 .
Bundan tashqari, agar koeffitsient bo'lsa, kvadrat tenglama to'liq bo'lmaydi c nolga teng.
To'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing 2x 2 + 6x - 4 = 0 . Keling, koeffitsientni yarataylik c nol. Ya'ni, 4 raqami o'rniga 0 qo'ying
2-kvadrat tenglamani oldik x 2 + 6x=0, bu to'liq emas. Bunday tenglamani yechish uchun o'zgaruvchi x qavslardan chiqarib oling:
Bu tenglama chiqdi x(2x+ 6) = 0, bu erda topiladi x, bunda chap tomon nolga teng bo'ladi. Ushbu tenglamadagi ifodalarga e'tibor bering x va 2 x+ 6) omillardir. Ko'paytirishning xususiyatlaridan biri, agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa (birinchi omil yoki ikkinchisi) mahsulot nolga teng ekanligini aytadi.
Bizning holatda, agar tenglikka erishiladi x nolga teng bo'ladi yoki (2 x+ 6) nolga teng bo'ladi. Buni yozishdan boshlaylik:
Ikkita tenglama mavjud: x= 0 va 2 x+ 6 = 0. Birinchi tenglamani yechish shart emas - u allaqachon yechilgan. Ya'ni, birinchi ildiz nolga teng.
Ikkinchi ildizni topish uchun 2-tenglamani yechamiz x+ 6 = 0. Bu echish oson bo'lgan oddiy chiziqli tenglama:
Ikkinchi ildiz −3 ekanligini ko'ramiz.
Shunday qilib, 2-tenglamaning ildizlari x 2 + 6x= 0 - 0 va -3 raqamlari. Ushbu tenglamaning to'liq yechimini yozamiz:
Keling, tekshirib ko'raylik. Biz 0 va −3 ildizlarini dastlabki tenglamaga almashtiramiz va tegishli hisob-kitoblarni bajaramiz. Agar 0 va −3 qiymatlari uchun chap tomon nolga teng bo'lsa, bu tenglama to'g'ri echilganligini anglatadi:
Keyingi holat - raqamlar qachon b va Bilan nolga teng. To'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing 2x 2 + 6x− 4 = 0 . Keling, koeffitsientlarni yarataylik b va c nollar. Keyin salom tenglamasi:
Tenglama 2 bor x 2 = 0. Chap tomoni mahsulot, o'ng tomoni esa nolga teng. Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu aniq x= 0. Haqiqatan ham, 2 × 0 2 = 0. Demak, 0 = 0 . Boshqa qiymatlar uchun x tenglikka erishilmaydi.
Oddiy qilib aytganda, agar shaklning kvadrat tenglamasida bo'lsa bolta 2 + bx+ c= 0 raqamlar b va Bilan nolga teng bo'lsa, bunday tenglamaning ildizi nolga teng.
E'tibor bering, iboralar qachon b nolga teng"yoki" c nolga teng “, keyin parametrlari tushuniladi b yoki c tenglamaga umuman kiritilmagan.
Misol uchun, agar 2 tenglama berilgan bo'lsa x 2 − 32 = 0 , keyin biz buni aytamiz b= 0. Chunki to'liq tenglama bilan solishtirganda bolta 2 + bx+ c= 0 , 2- tenglamada ko'rish mumkin x 2 − 32 = 0 yetakchi koeffitsient mavjud a, 2 ga teng; kesma bor -32 ; lekin koeffitsient yo'q b .
Nihoyat, to'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing bolta 2 + bx+ c= 0 . Misol tariqasida kvadrat tenglamani yechamiz x 2 − 2x+ 1 = 0 .
Shunday qilib, biz topishimiz kerak x, bunda chap tomon nolga teng bo'ladi. Keling, ilgari o'rganilgan bir xil o'zgarishlardan foydalanamiz.
Avvalo, tenglamaning chap tomoni ekanligini unutmang. Agar biz qanday qilib eslasak, biz chap tomonga o'tamiz ( x− 1) 2 .
Biz yana bahslashamiz. Chap tomoni kvadrat bo'lib, nolga teng. Qaysi sonning kvadrati nolga teng? Shubhasiz, faqat 0. Shuning uchun bizning vazifamiz topishdir x, qaysi ifodada x− 1 nolga teng. Eng oddiy tenglamani yechish orqali x− 1 = 0, nimaga teng ekanligini bilib olishingiz mumkin x
Xuddi shu natijani kvadrat ildiz yordamida olish mumkin. tenglamada ( x− 1) 2 = 0 ifoda ( x− 1) nolning kvadrat ildizi. Keyin buni yozish mumkin 
. Bu misolda ildizdan oldin ± belgisini yozish shart emas, chunki nolning ildizi faqat bitta qiymatga ega - nolga teng. Keyin chiqadi x− 1 = 0. Bu yerdan x= 1
.
Shunday qilib, tenglamaning ildizi x 2 − 2x+ 1 = 0 birlik hisoblanadi. Bu tenglama boshqa ildizlarga ega emas. Bu holda biz faqat bitta ildizga ega bo'lgan kvadrat tenglamani yechdik. Bu ham sodir bo'ladi.
Oddiy tenglamalar har doim ham berilmaydi. Masalan, tenglamani ko'rib chiqing x 2 + 2x− 3 = 0 .
Bunday holda, chap tomon endi yig'indi yoki farqning kvadrati emas. Shuning uchun boshqa echimlarni topish kerak.
E'tibor bering, tenglamaning chap tomoni kvadrat uch a'zodir. Keyin biz ushbu trinomialdan to'liq kvadratni tanlashga urinib ko'rishimiz va u bizga nima berishini ko'rishimiz mumkin.
Biz tenglamaning chap tomonida joylashgan kvadrat trinomialdan to'liq kvadratni tanlaymiz:
Olingan tenglamada belgini o'zgartirib, -4 ni o'ng tomonga o'tkazamiz:
Endi kvadrat ildizdan foydalanamiz. tenglamada ( x+ 1) 2 = 4 ifoda ( x+ 1) 4 ning kvadrat ildizi. Keyin buni yozish mumkin 
. O'ng tomonni hisoblash ifodani beradi x+ 1 = ± 2. Bundan ikkita tenglamani olamiz: x+ 1 = 2 va x+ 1 = −2, uning ildizlari 1 va −3 raqamlari
Shunday qilib, tenglamaning ildizlari x 2 + 2x− 3 = 0 1 va −3 raqamlari.
Keling, tekshiramiz:
3-misol. tenglamani yeching x 2 − 6x+ 9 = 0 , to'liq kvadratni tanlash.
Shunday qilib, tenglamaning ildizi x 2 − 6x+ 9 = 0 - 3. Keling, tekshiramiz:
4-misol 4x 2 + 28x− 72 = 0 , to'liq kvadratni ajratib ko'rsatish:
Chap tomondan to'liq kvadratni tanlang:
Belgini o'zgartirib, −121 ni chap tomondan o'ng tomonga o'tkazamiz:
Keling, kvadrat ildizdan foydalanamiz:
Biz ikkita oddiy tenglamani oldik: 2 x+ 7 = 11 va 2 x+ 7 = -11. Keling, ularni hal qilaylik:
5-misol. tenglamani yeching 2x 2 + 3x− 27 = 0
Bu tenglama biroz murakkabroq. To'liq kvadratni tanlaganimizda, biz kvadrat trinomialning birinchi hadini qandaydir ifodaning kvadrati sifatida ifodalaymiz.
Shunday qilib, oldingi misolda tenglamaning birinchi hadi 4 edi x 2. U 2 ifodaning kvadrati sifatida ifodalanishi mumkin x, ya'ni (2x) 2 = 2 2 x 2 = 4x 2 . Bu to'g'ri ekanligini tekshirish uchun siz 4 ifodaning kvadrat ildizini olishingiz mumkin x 2. Bu mahsulotning kvadrat ildizi - bu ildizlarning mahsulotiga teng:
Tenglamada 2x 2 + 3x− 27 = 0 birinchi a'zo - 2 x 2. Uni hech qanday ifodaning kvadrati sifatida ko'rsatib bo'lmaydi. Chunki kvadrati 2 bo'lgan raqam yo'q. Agar shunday raqam bo'lganida, bu raqam 2 sonining kvadrat ildizi bo'lar edi. Ammo 2 raqamining kvadrat ildizi faqat taxminan chiqariladi. Va taxminiy qiymat 2 raqamini kvadrat sifatida ifodalash uchun mos emas.
Agar dastlabki tenglamaning ikkala qismi bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, u holda tenglama asl tenglamaga teng bo'ladi. Bu qoida kvadrat tenglama uchun ham amal qiladi.
Keyin tenglamamizning ikkala tomonini 2 ga bo'lishimiz mumkin. Bu oldin deuce xalos bo'ladi x 2, bu bizga keyinchalik to'liq kvadratni tanlash imkoniyatini beradi:
Chap tomonni maxraj 2 bilan uchta kasr shaklida qayta yozing
Birinchi kasrni 2 ga kamaytiramiz. Chap tomonning qolgan a'zolarini o'zgarishsiz qayta yozamiz. O'ng tomon hali ham nolga aylanadi:
Keling, to'liq kvadratni tanlaymiz.
Agar atama qo'sh ko'paytma sifatida ifodalangan bo'lsa, 2 koeffitsientining paydo bo'lishi bu omil va kasrning maxraji qisqarishiga olib keladi. Bunga yo'l qo'ymaslik uchun ikki baravar ko'paygan mahsulot ko'paytirildi. To'liq kvadratni tanlashda siz har doim asl ifodaning qiymati o'zgarmasligiga ishonch hosil qilishga harakat qilishingiz kerak.
Olingan to'liq kvadratni yig'amiz:
Mana shunga o'xshash a'zolar:
Belgini o'zgartirib, kasrni o'ng tomonga o'tkazamiz:
Keling, kvadrat ildizdan foydalanamiz. Ifoda sonning kvadrat ildizidir
O'ng tomonni hisoblash uchun biz ekstraktsiya qoidasidan foydalanamiz:
Keyin bizning tenglamamiz quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
Biz ikkita tenglamani olamiz:
Keling, ularni hal qilaylik:
Shunday qilib, tenglamaning ildizlari 2x 2 + 3x− 27 = 0 3 va raqamlari.
Numeratorni maxrajga ajratmasdan, ildizni shu shaklda qoldirish qulayroqdir. Bu tekshirishni osonlashtiradi.
Keling, tekshirib ko'raylik. Topilgan ildizlarni asl tenglamaga almashtiramiz:
Ikkala holatda ham chap tomon nolga teng, shuning uchun tenglama 2x 2 + 3x− 27 = 0 to'g'ri qaror qildi.
Tenglamani yechish 2x 2 + 3x− 27 = 0 , eng boshida biz uning ikkala qismini 2 ga bo'ldik. Natijada, oldingi koeffitsient bo'lgan kvadrat tenglama olindi x 2 birga teng:
Bunday kvadrat tenglama deyiladi qisqartirilgan kvadrat tenglama.
Shaklning istalgan kvadrat tenglamasi bolta 2 + bx+ c= 0 qisqartirilishi mumkin. Buning uchun siz uning ikkala qismini x² oldida joylashgan koeffitsientga bo'lishingiz kerak. Bunday holda, tenglamaning ikkala tomoni bolta 2 + bx+ c= 0 ga ajratish kerak a
6-misol. Kvadrat tenglamani yeching 2x 2 + x+ 2 = 0
Keling, bu tenglamani qisqartiramiz:
Keling, to'liq kvadratni tanlaymiz:
Tenglamani oldim 
, bunda ifodaning kvadrati manfiy songa teng. Bu bo'lishi mumkin emas, chunki har qanday raqam yoki ifodaning kvadrati har doim ijobiy bo'ladi.
Shuning uchun, bunday narsa yo'q x, bunda chap tomon teng bo'ladi. Shunday qilib, tenglama ildizlari yo'q.
Va tenglamadan beri dastlabki tenglamaga teng 2x 2 + x+ 2 = 0
, keyin uning (asl tenglama) ildizlari yo'q.
Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar
Har bir echilayotgan kvadrat tenglama uchun to'liq kvadrat tanlash unchalik qulay emas.
Kvadrat tenglamalarni yechish uchun universal formulalar yaratish mumkinmi? Ma'lum bo'lishicha, siz qila olasiz. Endi biz bu bilan shug'ullanamiz.
Literal tenglama asosida bolta 2 + bx+ c= 0 , va ba'zi bir xil o'zgarishlarni amalga oshirgandan so'ng, kvadrat tenglamaning ildizlarini chiqarish uchun formulalarni olishimiz mumkin. bolta 2 + bx+ c= 0 . Ushbu formulalarga koeffitsientlarni almashtirish mumkin a , b , Bilan va yechimlarni oling.
Shunday qilib, biz tenglamaning chap tomonidan to'liq kvadratni tanlaymiz bolta 2 + bx+ c= 0. Birinchidan, bu tenglamani qisqartirilgan qilib olaylik. Keling, ikkala qismni ham ajratamiz a
Endi hosil bo'lgan tenglamada biz to'liq kvadratni tanlaymiz:
Belgini o'zgartirib, shartlarni va o'ng tomonga o'tkazamiz:
Keling, o'ng tomonni umumiy maxrajga keltiraylik. Harflardan tashkil topgan kasrlar umumiy maxrajga olib keladi. Ya'ni, birinchi kasrning maxraji ikkinchi kasrning qo'shimcha ko'rsatkichiga, ikkinchi kasrning maxraji esa birinchi kasrning qo'shimcha ko'rsatkichiga aylanadi:
O'ng tomonning numeratorida biz qavslardan chiqaramiz a
Keling, o'ng tomonni qisqartiramiz a
Barcha o'zgarishlar bir xil bo'lganligi sababli, hosil bo'lgan tenglama 
asl tenglama bilan bir xil ildizlarga ega bolta 2 + bx+ c= 0.
Tenglama o'ng tomoni noldan katta yoki teng bo'lsagina ildizlarga ega bo'ladi. Buning sababi shundaki, kvadratlashtirish chap tomonda amalga oshiriladi va har qanday sonning kvadrati musbat yoki nolga teng (agar bu kvadratga nol kvadrat bo'lsa). Va o'ng tomon nimaga teng bo'lishi o'zgaruvchilar o'rniga nima almashtirilishiga bog'liq a
, b va c
.
Chunki har qanday uchun a nolga teng emas, tenglamaning o'ng tomonining maxraji har doim musbat bo'ladi, u holda kasrning belgisi uning sonining belgisiga, ya'ni ifodaga bog'liq bo'ladi. b 2 − 4ac
.
Ifoda b 2 − 4ac chaqirdi kvadrat tenglamaning diskriminanti. Diskriminant lotincha so'z bo'lib, ma'nosini bildiradi ajratuvchi . Kvadrat tenglamaning diskriminanti harf bilan belgilanadi D
D = b 2 − 4ac
Diskriminant tenglamaning ildizlari bor yoki yo'qligini oldindan bilish imkonini beradi. Shunday qilib, oldingi vazifada biz tenglamani uzoq vaqt davomida hal qildik 2x 2 + x+ 2 = 0 va uning ildizi yo'qligi ma'lum bo'ldi. Diskriminant bizga ildizlar yo'qligini oldindan bilish imkonini beradi. Tenglamada 2x 2 + x+ 2 = 0 imkoniyatlar a, b va c mos ravishda 2, 1 va 2. Ularni formulaga almashtiring D = b 2 −4ac
D = b 2 − 4ac= 1 2 - 4 × 2 × 2 = 1 - 16 = -15.
Biz buni ko'ramiz D(bu b 2 − 4ac) manfiy sondir. Shunda tenglamani yechishning ma’nosi yo‘q 2x 2 + x+ 2 = 0,
unda to'liq kvadratni tanlash, chunki biz shaklning tenglamasiga kelganimizda , ma'lum bo'lishicha, o'ng tomon noldan kamroq bo'ladi (salbiy diskriminant tufayli). Va sonning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas. Shuning uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q.
Qadimgi odamlar nima uchun bu iborani ko'rib chiqishganligi aniq bo'ladi b 2 − 4ac ajratuvchi. Bu ifoda indikator kabi ildizli tenglama va ildizsiz tenglamani farqlash imkonini beradi.
Shunday qilib, D teng b 2 − 4ac. Tenglamada almashtiring ifoda o'rniga b 2 − 4ac xat D
Agar dastlabki tenglamaning diskriminanti noldan kichik bo'lsa ( D< 0) , то уравнение примет вид:
Bunday holda, asl tenglamaning ildizlari yo'q deyiladi, chunki har qanday sonning kvadrati manfiy bo'lmasligi kerak.
Agar dastlabki tenglamaning diskriminanti noldan katta bo'lsa ( D> 0) bo‘lsa, tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
Bunday holda, tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi. Ularni olish uchun kvadrat ildizdan foydalanamiz:
Tenglamani oldim 
. Undan ikkita tenglamani olamiz: 
va 
. Ekspress x tenglamalarning har birida:
Olingan ikkita tenglik kvadrat tenglamani yechish uchun universal formulalardir bolta 2 + bx+ c= 0. Ular chaqiriladi kvadrat tenglamaning ildizlari formulalari.
Ko'pincha, bu formulalar sifatida belgilanadi x 1 va x 2. Ya'ni, birinchi ildizni hisoblash uchun indeks 1 bo'lgan formuladan foydalaniladi; ikkinchi ildizni olish uchun - indeks 2 bo'lgan formula. Keling, formulalarimizni xuddi shunday belgilaymiz:
Formulalarni qo'llash tartibi muhim emas.
Masalan, kvadrat tenglamani yechamiz x 2 + 2x− 8 = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan foydalanish. Ushbu kvadrat tenglamaning koeffitsientlari 1 , 2 va -8 raqamlaridir. Ya'ni, a= 1 , b= 2 , c= −8 .
Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni ishlatishdan oldin siz ushbu tenglamaning diskriminantini topishingiz kerak.
Kvadrat tenglamaning diskriminantini topamiz. Buning uchun biz formuladan foydalanamiz D = b 2 − 4 ac. O'zgaruvchilar o'rniga a, b va c biz tenglamaning koeffitsientlariga ega bo'lamiz x 2 + 2x− 8 = 0
D = b 2 − 4ac= 2 2 - 4 × 1 × (-8) = 4 + 32 = 36
Diskriminant noldan katta. Demak, tenglamaning ikkita ildizi bor. Endi siz kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan foydalanishingiz mumkin:
Shunday qilib, tenglamaning ildizlari x 2 + 2x− 8 = 0 2 va −4 raqamlari. Ildizlarning to'g'ri topilganligini tekshirish:
Nihoyat, kvadrat tenglamaning diskriminanti nolga teng bo'lgan holatni ko'rib chiqing. Keling, tenglamaga qaytaylik. Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, tenglamaning o'ng tomoni quyidagi shaklni oladi:
Va bu holda, kvadrat tenglama faqat bitta ildizga ega bo'ladi. Keling, kvadrat ildizdan foydalanamiz:
Bu kvadrat ildizni olishning yana bir formulasi. Keling, uning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik. Ilgari biz tenglamani hal qildik x 2 − 6x+ 9 = 0 , bitta ildizga ega bo'lgan 3. Biz uni to'liq kvadrat tanlash orqali hal qildik. Endi formulalar yordamida yechishga harakat qilaylik.
Kvadrat tenglamaning diskriminantini topamiz. Ushbu tenglamada a= 1 , b= −6 , c= 9. Keyin, diskriminant formulasiga ko'ra, bizda:
D = b 2 − 4ac= (−6) 2 - 4 × 1 × 9 = 36 - 36 = 0
Diskriminant nolga teng ( D= 0). Bu tenglama faqat bitta ildizga ega ekanligini anglatadi va u formula bilan hisoblanadi
Shunday qilib, tenglamaning ildizi x 2 − 6x+ 9 = 0 3 raqami.
Bitta ildizga ega bo'lgan kvadrat tenglama uchun formulalar ham qo'llaniladi 
va 
. Ammo ularning har birini qo'llash bir xil natijani beradi.
Keling, oldingi tenglama uchun ushbu ikki formulani qo'llaymiz. Ikkala holatda ham biz bir xil javobni olamiz 3
Agar kvadrat tenglama faqat bitta ildizga ega bo'lsa, unda formuladan emas, balki formuladan foydalanish tavsiya etiladi. va . Bu vaqt va joyni tejaydi.
3-misol. tenglamani yeching 5x 2 − 6x+ 1 = 0
Shunday qilib, tenglamaning ildizlari 5x 2 − 6x+ 1 = 0 1 va raqamlari.
Javob: 1; .
4-misol. tenglamani yeching x 2 + 4x+ 4 = 0
Kvadrat tenglamaning diskriminantini topamiz:
Diskriminant nolga teng. Shunday qilib, tenglama faqat bitta ildizga ega. U formula bo'yicha hisoblanadi
Shunday qilib, tenglamaning ildizi x 2 + 4x+ 4 = 0 -2 soni.
Javob: -2.
5-misol. tenglamani yeching 3x 2 + 2x+ 4 = 0
Kvadrat tenglamaning diskriminantini topamiz:
Diskriminant noldan kichik. Shunday qilib, bu tenglamaning ildizlari yo'q.
Javob: ildiz yo'q.
6-misol. tenglamani yeching (x+ 4) 2 = 3x+ 40
Keling, bu tenglamani normal shaklga keltiramiz. Chap tomonda ikkita ifoda yig'indisining kvadrati joylashgan. Keling, uni ajratamiz:
Keling, barcha shartlarni belgilarini o'zgartirib, o'ng tomondan chap tomonga o'tkazamiz. Nol o'ng tomonda qoladi:
Diskriminant noldan katta. Demak, tenglamaning ikkita ildizi bor. Kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan foydalanamiz:
Shunday qilib, tenglamaning ildizlari (x+ 4) 2 = 3x+ 40 3 va −8 raqamlari.
Javob: 3; −8.
7-misol. tenglamani yeching 
Ushbu tenglamaning ikkala tomonini 2 ga ko'paytiring. Bu bizga chap tomondagi fraktsiyadan xalos bo'lishga imkon beradi:
Olingan tenglamada belgini o'zgartirib, 22 ni o'ng tomondan chap tomonga o'tkazamiz. 0 o'ng tomonda qoladi
Chap tomonda shunga o'xshash atamalar mavjud:
Olingan tenglamada biz diskriminantni topamiz:
Diskriminant noldan katta. Demak, tenglamaning ikkita ildizi bor. Kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan foydalanamiz:
Shunday qilib, tenglamaning ildizlari 23 va −1 raqamlari.
Javob: 23; −1.
8-misol. tenglamani yeching 
Ikkala qismni ikkala kasrning maxrajlarining eng kichik umumiy karrali bilan ko'paytiring. Bu ikkala qismdagi fraksiyalardan xalos bo'ladi. 2 va 3 ning eng kichik umumiy karrali 6 ga teng. Keyin biz olamiz:
Olingan tenglamada ikkala qismdagi qavslarni oching:
Keling, barcha shartlarni o'ng tomondan chap tomonga o'tkazamiz, ularning belgilarini o'zgartiramiz. 0 o'ng tomonda qoladi
Chap tomonda shunga o'xshash atamalar mavjud:
Olingan tenglamada biz diskriminantni topamiz:
Diskriminant noldan katta. Demak, tenglamaning ikkita ildizi bor. Kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan foydalanamiz:
Shunday qilib, tenglamaning ildizlari raqamlar va 2.
Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar
1-misol. tenglamani yeching x 2 = 81
Bu eng oddiy kvadrat tenglama bo'lib, unda kvadrati 81 bo'lgan sonni aniqlash kerak. Bular 3 va -3 raqamlari. Ularni olish uchun kvadrat ildizdan foydalanamiz:
Javob: 9, −9 .
2-misol. tenglamani yeching x 2 − 9 = 0
Bu toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglama. Uni hal qilish uchun belgini o'zgartirib, -9 atamasini o'ng tomonga o'tkazish kerak. Keyin biz olamiz:
Javob: 3, −3.
3-misol. tenglamani yeching x 2 − 9x= 0
Bu toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglama. Buni hal qilish uchun avval siz olib tashlashingiz kerak x qavslar uchun:
Tenglamaning chap tomoni mahsulotdir. Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng.
Agar alohida bo'lsa, chap tomon nolga teng bo'ladi x nolga teng yoki ifoda bo'lsa x− 9 nolga teng. Siz ikkita tenglama olasiz, ulardan biri allaqachon echilgan:
Javob: 0, 9 .
4-misol. tenglamani yeching x 2 + 4x− 5 = 0
Bu to'liq kvadrat tenglama. Uni toʻliq kvadrat usuli yoki kvadrat tenglamaning ildizlari formulalari yordamida yechish mumkin.
Bu tenglamani formulalar yordamida yechamiz. Avval diskriminantni topamiz:
D= b 2 − 4ac= 4 2 - 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36
Diskriminant noldan katta. Demak, tenglamaning ikkita ildizi bor. Keling, ularni hisoblaylik:
Javob: 1, −5 .
5-misol. tenglamani yeching 
Keling, ikkala qismni 5, 3 va 6 ga ko'paytiramiz. Bu ikkala qismdagi kasrlardan xalos bo'ladi:
Olingan tenglamada barcha shartlarni belgini o'zgartirib, o'ng tomondan chap tomonga o'tkazamiz. Nol o'ng tomonda qoladi:
Mana shunga o'xshash a'zolar:
Javob: 5 , .
6-misol. tenglamani yeching x 2 = 6
Ushbu misolda kvadrat ildizdan foydalanishingiz kerak bo'lganidek:
Biroq, 6 ning kvadrat ildizi olinmaydi. U faqat taxminan olinadi. Ildizni ma'lum bir aniqlik bilan olish mumkin. Keling, uni eng yaqin yuzdan biriga chiqaramiz:
Ammo ko'pincha ildiz radikal sifatida qoldiriladi:
Javob:
7-misol. tenglamani yeching (2x+ 3) 2 + (x− 2) 2 = 13
Keling, tenglamaning chap tomonidagi qavslarni ochamiz:
Olingan tenglamada biz 13 ni o'ng tomondan chap tomonga o'tkazamiz, belgini o'zgartiramiz. Keyin shunga o'xshash a'zolarni beramiz:
Biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani oldik. Keling, buni hal qilaylik:
Javob: 0 , −1,6 .
8-misol. tenglamani yeching (5 + 7x)(4 − 3x) = 0
Bu tenglamani ikki usulda yechish mumkin. Keling, ularning har birini ko'rib chiqaylik.
Birinchi yo'l. Qavslarni kengaytiring va kvadrat tenglamaning normal shaklini oling.
Qavslarni kengaytiramiz:
Mana shunga o'xshash a'zolar:
Olingan tenglamani shunday yozamizki, eng yuqori koeffitsientga ega bo'lgan atama birinchi, ikkinchi koeffitsientga ega bo'lgan atama ikkinchi va erkin atama uchinchi bo'ladi:
Boshlovchi atamani musbat qilish uchun tenglamaning ikkala tomonini -1 ga ko'paytiramiz. Keyin tenglamaning barcha shartlari o'z belgilarini teskarisiga o'zgartiradi:
Olingan tenglamani kvadrat tenglamaning ildizlari formulalari yordamida yechamiz:
Ikkinchi yo'l. Qiymatlarni toping x, buning uchun tenglamaning chap tomonidagi omillar nolga teng. Bu usul qulayroq va ancha qisqaroq.
Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu holda tenglamadagi tenglik (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 ifodasi (5 + 7.) bo'lsa erishiladi x) nolga teng yoki ifoda (4 − 3 x) nolga teng. Bizning vazifamiz nima ostida ekanligini aniqlashdir x bo'lib turadi:
Muammoni hal qilishga misollar
Tasavvur qiling, 8 m 2 maydonga ega kichik xonani qurish zarurati tug'ildi. Bunday holda, xonaning uzunligi ikki barobar kengligi bo'lishi kerak. Bunday xonaning uzunligi va kengligini qanday aniqlash mumkin?
Keling, ushbu xonaning yuqori ko'rinishini aks ettiruvchi taxminiy rasmini tuzamiz:
Xonaning kengligini belgilang x. Va 2 dan keyin xonaning uzunligi x, chunki muammoning shartiga ko'ra, uzunligi ikki barobar kengligi bo'lishi kerak. Ko'paytiruvchi 2 ga teng va bu talabni bajaradi:
Xonaning yuzasi (uning qavati) to'rtburchaklardir. To'rtburchakning maydonini hisoblash uchun to'rtburchakning uzunligini kengligi bilan ko'paytiring. Keling buni bajaramiz:
2x × x
Muammoning holatiga ko'ra, maydon 8 m 2 bo'lishi kerak. Shunday qilib, ifoda 2 x× x 8 ga tenglashtirilishi kerak
2x × x = 8
Tenglama bor. Agar siz uni hal qilsangiz, xonaning uzunligi va kengligini topishingiz mumkin.
Siz qilishingiz mumkin bo'lgan birinchi narsa tenglamaning chap tomonidagi ko'paytirishni bajarishdir:
2x 2 = 8
Ushbu transformatsiya natijasida o'zgaruvchi x ikkinchi darajaga o'tdi. Va biz aytdikki, agar tenglamaga kiritilgan o'zgaruvchi ikkinchi darajaga (kvadratga) ko'tarilsa, unda bunday tenglama ikkinchi darajali tenglama yoki kvadrat tenglamadir.
Kvadrat tenglamamizni yechish uchun avval o‘rganilgan bir xil o‘zgarishlardan foydalanamiz. Bunday holda, siz ikkala qismni 2 ga bo'lishingiz mumkin
Endi kvadrat ildizdan foydalanamiz. Agar a x 2 = 4, keyin. Bu yerdan x= 2 va x= −2 .
orqali x xonaning kengligi ko'rsatilgan. Kenglik salbiy bo'lmasligi kerak, shuning uchun faqat 2 qiymati hisobga olinadi. Bu ko'pincha kvadrat tenglama qo'llaniladigan muammolarni hal qilishda sodir bo'ladi. Javobda ikkita ildiz olinadi, lekin ulardan faqat bittasi masala shartini qanoatlantiradi.
Va uzunlik 2 bilan ko'rsatilgan x. Ma'nosi x hozir ma'lum, uni 2-iboraga almashtiring x va uzunligini hisoblang:
2x= 2 × 2 = 4
Shunday qilib, uzunligi 4 m, kengligi esa 2 m. Ushbu yechim muammoning holatini qondiradi, chunki xonaning maydoni 8 m 2 ni tashkil qiladi.
4 × 2 = 8 m 2
Javob: Xonaning uzunligi 4m, kengligi esa 2m.
2-misol. Bir tomoni boshqasidan 10 m uzunroq bo'lgan to'rtburchaklar shaklidagi bog 'uchastkasi panjara bilan o'ralgan bo'lishi kerak. Agar saytning maydoni 1200 m 2 ekanligi ma'lum bo'lsa, panjara uzunligini aniqlang.
Yechim
To'rtburchakning uzunligi odatda kengligidan kattaroqdir. Uchastka kengligi bo'lsin x metr va uzunligi ( x+ 10) metr. Uchastka maydoni 1200 m 2 ni tashkil qiladi. Bo'limning uzunligini uning kengligi bilan ko'paytiring va 1200 ga tenglashtiring, biz tenglamani olamiz:
x(x+ 10) = 1200
Keling, bu tenglamani yechamiz. Birinchidan, chap tomondagi qavslarni oching:
Belgini o'zgartirib, 1200 ni o'ng tomondan chap tomonga o'tkazamiz. 0 o'ng tomonda qoladi
Olingan tenglamani formulalar yordamida yechamiz:
Kvadrat tenglama ikkita ildizga ega bo'lishiga qaramay, biz faqat 30 qiymatini hisobga olamiz. Chunki kenglikni manfiy son sifatida ifodalab bo'lmaydi.
Shunday qilib x maydonning kengligi belgilandi. Bu o'ttiz metrga teng. Va uzunlik ifoda orqali ko'rsatilgan x+ 10. Topilgan qiymatni unga almashtiring x va uzunligini hisoblang:
x
Dars sizga yoqdimi?
Bizning yangi Vkontakte guruhimizga qo'shiling va yangi darslar haqida bildirishnomalarni olishni boshlang
