Степента се използва за опростяване на записа на умножаването на броя на себе си. Например, вместо да записвате, можете да пишете 4 5 (DisplaySyle 4 ^ (5)) (Обяснение на този преход е дадено в първия раздел на настоящия член). Градусите ви позволяват да опростите писането на дълги или сложни изрази или уравнения; Също така, степените лесно се сгъват и изваждат, което води до опростяване на експресията или уравнението (например, 4 2 * 4 3 \u003d 4 5 (DisplaySyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

Забележка: Ако трябва да решите индикативното уравнение (в това уравнение, неизвестното е в индикатор на степента), прочетете.

Стъпка

Решение на най-простите задачи с градуси

Умножете основата на самата степен по броя пъти, равен на индикатора. Ако трябва да решите задачата с градуса ръчно, пренапишете степента под формата на операция за умножение, където основата на степента се умножава сама по себе си. Например, като се има предвид степен 3 4 (DisplaySyle 3 ^ (4)). В този случай основата на степен 3 трябва да се умножи сама по себе си 4 пъти: 3 * 3 * 3 * 3 (DisplaySyle 3 * 3 * 3 * 3). Ето и други примери:

За да започнете, умножете първите две числа. Например, 4 5 (DisplaySyle 4 ^ (5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (DisplaySyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4). Не се притеснявайте - процесът на изчисление не е толкова сложен, колкото изглежда на пръв поглед. Първо, умножете първите две четири крака и след това ги заменете с резултата. Като този:

• 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (DisplaySyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 * 4 \u003d 16 (DisplaySyle 4 * 4 \u003d 16)

1. Умножете резултата (в нашия пример 16) към следващия номер. Всеки следващ резултат ще се увеличи пропорционално на. В нашия пример, умножете 16 от 4. Така:

   • 4 5 \u003d 16 * 4 * 4 * 4 (DisplaySyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 * 4 \u003d 64 (DisplaySyle 16 * 4 \u003d 64)
   • 4 5 \u003d 64 * 4 * 4 (DisplaySyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     • 64 * 4 \u003d 256 (DisplaySyle 64 * 4 \u003d 256)
   • 4 5 \u003d 256 * 4 (DisplaySyle 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     • 256 * 4 \u003d 1024 (DisplaySyle 256 * 4 \u003d 1024)
   • Продължете да умножите резултата от умножаването на първите две номера към следващия номер, докато получите окончателния отговор. За да направите това, променете първите две числа, след което резултатът се умножава по следващия номер в последователността. Този метод е валиден за всяка степен. В нашия пример трябва да получите: 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024 (DisplaySyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2. Решават следните задачи. Проверете отговора с помощта на калкулатора.

   • 8 2 (DisplaySyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (DisplaySyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (DisplaySyle 10 ^ (7))

3. На калкулатора намерете ключа, посочен като "exp", или " x n (displaySyle x ^ (n))", Или" ^ ". С този ключ ще повишите номера в степента. Изчислете степента с голям показател ръчно невъзможен (например степен 9 15 (DisplaySyle 9 ^ (15))), Но калкулаторът може лесно да се справи с тази задача. В Windows 7 стандартният калкулатор може да бъде включен в инженерния режим; За да направите това, кликнете върху "Изглед" -\u003e "Инженеринг". За да превключите в нормален режим, щракнете върху "Изглед" -\u003e "Нормално".

   • Проверете отговора на търсачката (Google или Yandex). Използвайки клавиша "^" на клавиатурата на компютъра, въведете експресията на търсачката, която незабавно показва правилния отговор (и може да предложи подобни изрази за обучение).

   Добавяне, изваждане, умножение на градуси

   1. Можете да добавяте и приспадате степени само ако имат същите основи. Ако трябва да добавите градуси със същите основи и индикатори, можете да замените работата на добавянето на умножение. Например изразът е даден 4 5 + 4 5 (DisplaySyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). Не забравяйте, че степента 4 5 (DisplaySyle 4 ^ (5)) може да бъде представен като 1 * 4 5 (DisplaySyle 1 * 4 ^ (5))Шпакловка по този начин, 4 5 + 4 5 \u003d 1 * 4 5 + 1 * 4 5 \u003d 2 * 4 5 (DisplaySyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (където 1 +1 \u003d 2). Това е, помислете за броя на подобни степени и след това умножете такава степен и това е номерът. В нашия пример, изграждане на 4 в петата степен, а след това полученият резултат се умножават с 2. Не забравяйте, че операцията с добавяне може да бъде заменена с функция за умножение, например, 3 + 3 \u003d 2 * 3 (DisplaySyle 3 + 3 \u003d 2 * 3). Ето и други примери:

      • 3 2 + 3 2 \u003d 2 * 3 2 (DisplaySyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 * 4 5 (DisplaySyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (DisplaySyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (displaySyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2. Когато се умножават степени със същата база, техните индикатори са сгънати (основата не се променя). Например изразът е даден x 2 * x 5 (DisplaySyle x ^ (2) * x ^ (5)). В този случай просто трябва да сгънете индикаторите, оставяйки основата непроменена. По този начин, x 2 * x 5 \u003d x 7 (displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7)). Ето визуално обяснение на това правило:

      При издигане на степен индикаторите се умножават. Например, дадена степен. Тъй като показателите на степента са променливи, тогава (x 2) 5 \u003d x 2 * 5 \u003d x 10 (displaySyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 х 5) \u003d x ^ (10)). Значението на това правило е, че умножете степента (x 2) (displaySyle (x ^ (2))) Себе си за себе си пет пъти. Като този:

      • (x 2) 5 (DisplaySyle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 (displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Тъй като основата е еднаква, индикаторите на степента просто се получават: (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 \u003d x 10 (displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3. Степента с отрицателен индикатор трябва да се преобразува в фракция (към обратната степен). Не е проблем, ако не знаете каква е степента на връщане. Ако ви бъде дадена степен с отрицателен индикатор, например, 3 - 2 (DisplaySyle 3 ^ (- 2)), Напишете тази степен в знаменател на панталоните (в числителя, място 1) и направете показателя положителен. В нашия пример: 1 3 2 (DisplaySyle (Frac (1) (3 ^ (2))). Ето и други примери:

      Когато се разделят степените със същата база, техните показатели се приспадат (основата не се променя). Работата с разделянето е обратното на операцията по умножение. Например изразът е даден 4 4 4 2 (DisplaySleyle (Frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))). Изтрийте степента на знаменателя, от индикатора на степента, обърната към числителя (не променяйте основата). По този начин, 4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (DisplaySyle (Frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2)) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • Степента, обърната към знаменателя, може да бъде написана в този формуляр: 1 4 2 (DisplaySyle (Frac (1) (4 ^ (2))) = 4 - 2 (DisplaySyle 4 ^ (- 2)). Не забравяйте, че фракцията е число (степен, изразяване) с отрицателен индикатор на степента.

   4. По-долу са някои изрази, които ще ви помогнат да се научите да решавате задачи с градуси. Тези изрази покриват материала, посочен в този раздел. За да видите отговора, просто маркирайте празното пространство след знака за равенство.

   Решаване на задачи с частични показатели

   Степента с фракционен индикатор (например) се превръща в експлоатацията на извличането на главите. В нашия пример: x 1 2 (DisplaySyle x ^ (frac (1) (2))) = X (displessstyle (sqrt (x))). Няма значение какъв е номерът в знаменателя на фракционния индикатор. Например, x 1 4 (displessstyle x ^ (frac (1) (4))) - Това е коренът на четвъртата степен от "X", т.е. x 4 (displessstyle (sqrt [(4)] (x))) .

   1. Ако индикаторът за степента е неправилна фракция, след това такава степен може да бъде разложена за две степени, за да се опрости решението на проблема. В това няма нищо сложно - просто помнете правилото за умножение по степени. Например, дадена степен. Обърнете такава степен в корена, степента на която ще бъде равна на протусатора на фракционния индикатор и след това вземете този корен до степен, равна на числителя на фракционния индикатор. Да го направя, не забравяйте това 5 3 (displessstyle (frac (5) (3))) = (1 3) * 5 (DisplaySyle ((FRAC (1) (3))) * 5). В нашия пример:

      • x 5 3 (displessstyle x ^ (frac (5) (3)))
      • x 1 3 \u003d x 3 (displessstyle x ^ (frac (1) (3)) \u003d (sqrt [(3)] (X)))
      • x 5 3 \u003d x 5 * x 1 3 (displaySyle x ^ (frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (frac (1) (3))) = (x 3) 5 (displaystyle ((sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
   2. На някои калкулатори има бутон за изчисляване на градуса (първо трябва да влезете в основата, след това натиснете бутона и след това въведете индикатора). Той се обозначава като ^ или x ^ y.
   3. Не забравяйте, че всеки номер в първа степен е еднакво за себе си, например, 4 1 \u003d 4. (DisplaySyle 4 ^ (1) \u003d 4.) Освен това всеки число, умножено или разделено на един, е равно на себе си, например, 5 * 1 \u003d 5 (DisplaySyle 5 * 1 \u003d 5) и 5/1 \u003d 5 (DisplaySyle 5/1 \u003d 5).
   4. Знайте, че градуса 0 0 не съществува (такава степен няма решение). Когато се опитате да решите такава степен на калкулатора или на компютъра, ще получите грешка. Но не забравяйте, че всеки номер в нулева степен е 1, например, 4 0 \u003d 1. (DisplaySyle 4 ^ (0) \u003d 1.)
   5. В най-висшата математика, която работи с въображаеми числа: e a i x \u003d c o s a x + i s i n a x (displaySyle e ^ (a) ix \u003d cosax + Isinax)където i \u003d (- 1) (displaySyle i \u003d (sqrt (()) - 1))Шпакловка e - постоянен, приблизително равен на 2.7; А - произволна константа. Доказателството за това равенство може да бъде намерено във всеки учебник по висша математика.

   Предупреждения

   • С увеличаване на индикатора на степента, нейната стойност се увеличава много. Ето защо, ако отговорът ви е грешен, всъщност той може да бъде верен. Можете да го проверите, като изградите график на всеки индикативна функция, например, 2 х.

Помислете за темата за трансформиране на изрази с градуси, но първо нека спрем на редица трансформации, които могат да бъдат извършени с всякакви изрази, включително със сила. Ще се научим да разкриваме скоби, да донесем подобни термини, да работим с основата и индикатора на степента, използвайте свойствата на градуси.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Какви са мощните изрази?

В курс за училище Малко употреби на фразата "мощни изрази", но този термин непрекъснато се среща в колекции, за да се подготви за изпита. В повечето случаи фразите са обозначени с изрази, които съдържат в техните записи. Това отразяваме в нашата дефиниция.

Определение 1.

Изразяване на властта - Това е израз, който съдържа степени.

Нека дадем няколко примера за мощност изрази, започвайки със степен с естествен индикатор и завършващ с реалния индикатор.

Най-простите изрази на мощност могат да се считат за степента на номера с естествения индикатор: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 33, 3 · А2 - A + A 2, X 3 - 1, (А2) 3. Както и градуса с нулев индикатор: 5 0, (A + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. И степени с цели отрицателни степени: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Лесно е по-трудно да се работи със степен с рационални и ирационални показатели: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2, 23, 5,2 - 2 2 - 1, 5, 1 А 1 4 · А 1 2 - 2 · А - 1 6 · B 1 2, x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Като индикатор, може да бъде променлива 3 x - 54 - 7,3 х - 58 или логаритъм x 2 · l g x - 5 · x l g x.

С въпроса какви са изразите на мощността, ние сме разбрали. Сега ще се справим с тяхното обръщане.

Основните видове трансформации на мощностни изрази

На първо място, ние ще разгледаме основните трансформации на идентичността на изразите, които могат да бъдат изпълнени с мощностни изрази.

Пример 1.

Изчислете стойността на енергийния израз 2 3 · (4 2 - 12).

Решение

Всички трансформации ще се извършват в съответствие с процедурата за извършване на действия. В този случай започваме с изпълнението на действия в скоби: замени степента на цифрова стойност и изчисляване на разликата от две числа. . \\ T 2 3 · (4 2 - 12) \u003d 2 3 · (16 - 12) \u003d 2 3 · 4.

Все още трябва да заменим степента 2 3 Негово значение 8 и изчисляване на работата 8 · 4 \u003d 32. Ето нашият отговор.

Отговор: 2 3 · (4 2 - 12) \u003d 32.

Пример 2.

Опростете експресията с градуси 3 · А 4 · B - 7 - 1 + 2 · А 4 · B - 7.

Решение

Изражението, дадено на нас по отношение на задачата, съдържа подобни условия, които можем да водим: 3 · 4 · B - 7 - 1 + 2 · А 4 · B - 7 \u003d 5 · А 4 · B - 7 - 1.

Отговор: 3 · А 4 · B - 7 - 1 + 2 · А4 · B - 7 \u003d 5 · А 4 · B - 7 - 1.

Пример 3.

Подгответе експресия с градуси 9 - B 3 · π - 1 2 като парче.

Решение

Представете си номер 9 като степен 3 2 и прилагайте формулата на съкратеното умножение:

9 - B 3 · π - 1 2 \u003d 3 2 - b 3 · π - 1 2 \u003d \u003d 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1

Отговор: 9 - B 3 · π - 1 2 \u003d 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1.

И сега се обръщаме към бедствието идентични трансформациикоито могат да се използват именно във връзка с мощността.

Работа с основата и индикатора на степента

Степента в основата или индикатора може да има и цифри, променливи и някои изрази. Например, (2 + 0, 3 · 7) 5 - 3, 7 и . Работата с такива записи е трудно. Много по-лесно е да се замени експресията в основата на степента или експресията в индикатора, идентично равен на експресията.

Степента и индикаторните трансформации се извършват съгласно правилата, известни поотделно един от друг. Най-важното е, че в резултат на трансформацията израз е идентичен с първоначалния.

Целта на трансформациите е да се опрости първоначалното изразяване или да получи решението на проблема. Например, в примера, който водим по-горе, (2 + 0, 3 · 7) 5 - 3, 7, можете да извършвате действия за преход към степен 4 , 1 1 , 3 . Отворени скоби, можем да водим подобни термини на дъното (A · (A + 1) - A 2) 2 · (X + 1) и да получите мощен израз на по-прост тип А2 · (x + 1).

Използвайте свойствата на градуси

Свойствата на градусите, записани под формата на равенство, са един от основните инструменти за трансформиране на изрази с градуси. Тук са основните от тях, като се има предвид това А. и Б. - Това са положителни числа и R. и С. - Арбитрични валидни номера:

Определение 2.

• r · a s \u003d r + s;
• r: a s \u003d a r - s;
• (a · b) r \u003d a r · b r;
• (A: b) r \u003d a r: b r;
• (a r) s \u003d a r.

В случаите, когато се занимаваме с естествено, цяло число, положителни показатели за степента, ограниченията на броя и Б могат да бъдат много по-малко строги. Така че, например, ако разгледаме равенството m · n \u003d a m + nкъдето М. и Н. - естествени числа, това ще бъде вярно за всякакви стойности на А, както положителни, така и отрицателни, както и за A \u003d 0..

Възможно е да се прилагат свойствата на градуса без ограничения в случаите, когато основите на градусите са положителни или съдържат променливи, площта на допустимите стойности е такава, че са взети само положителни стойности върху него. Всъщност, вътре училищна програма По математика задачата на ученика е да избере подходящо имущество и правилно приложение.

При подготовката за допускане до университети могат да възникнат задачи, при които в нечленото използване на свойствата ще доведе до стесняване на OTZ и други трудности при решението. В този раздел ще анализираме само два такива случая. Повече информация за проблема можете да намерите в темата "Трансформация на изрази, използвайки свойствата на градуса".

Пример 4.

Представете си израз А2, 5 · (А2) - 3: А - 5, 5 под формата на степен А..

Решение

За да започнем, ние използваме имота за упражнения и трансформираме втория фактор върху него. (А 2) - 3 . След това използвайте свойствата на умножение и разделяне на градуси със същата база:

а2, 5 · А - 6: А - 5, 5 \u003d А2, 5 - 6: А - 5, 5 \u003d А - 3, 5: А - 5, 5 \u003d А-3, 5 - (- 5, \\ t 5) \u003d a 2.

Отговор: А2, 5 · (А2) - 3: А - 5, 5 \u003d А2.

Трансформацията на мощностни изрази според свойството на градуси може да се направи и двете от ляво на дясно и в обратна посока.

Пример 5.

Намерете стойността на експресията на захранването 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3.

Решение

Ако прилагаме равенство (A · b) r \u003d a r · b r, дясно на ляво, след това получаваме продукт от форма 3,7 1 3 · 21 2 3 и още 21 1 3 · 21 2 3. Преместване на индикаторите при умножаване на градуси със същите основи: 21 1 3 · 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Има и друг начин за извършване на преобразуване:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 \u003d 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 \u003d 3 1 3 · 7 1 3 \u003d 3 2 3 · 7 2 3 \u003d 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 \u003d 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 \u003d 3 1 · 7 1 \u003d 21

Отговор: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 \u003d 3 1 · 7 1 \u003d 21

Пример 6.

Дадена е експресията А 1, 5 - A 0, 5 - 6Въведете нова променлива T \u003d a 0, 5.

Решение

Представете си степен А 1, 5 като 0, 5 · 3 . Използвайте степента на степен към степента (a r) s \u003d a r · s Отдясно наляво и получете (0, 5) 3: a 1, 5 - A 0, 5 - 6 \u003d (0, 5) 3 - A 0, 5 - 6. В резултатния израз можете лесно да въведете нова променлива. T \u003d a 0, 5: Получаване T 3 - t - 6.

Отговор: Т3 - Т - 6.

Трансформация на фракции, съдържащи градуси

Обикновено се занимаваме с два варианта на мощностни изрази с фракции: изразът е фракция със степен или съдържа такава фракция. Тези изрази прилагат всички основни трансформации на фракции без ограничения. Те могат да бъдат намалени, да доведат до нов знаменател, да работят отделно с числа и знаменател. Илюстрираме това с примери.

Пример 7.

Опростете експресията на мощността 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · х 2 - 3 - 3 · х 2.

Решение

Ние се занимаваме с фракция, така че ние извършваме трансформации в числителя и в знаменателя:

3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · х 2 \u003d 3,5 2 3 · 5 1 3 - 3 · 5 2 3 · 5 - 2 3 - 2 - X 2 \u003d \u003d 3,5 2 3 + 1 3 - 3 · 5 2 3 + - 2 3 - 2 - х 2 \u003d 3,5 1 - 3 · 5 0 - 2 - x 2

Позиция минус преди фракцията, за да промените знака на знаменателя: 12 - 2 - x 2 \u003d - 12 2 + x 2

Отговор: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 \u003d - 12 2 + x 2

Фракциите, съдържащи градуси, се дават на новия знаменател в точно както и рационалните фракции. За да направите това, трябва да намерите допълнителен мултипликатор и да умножите числителя и знаменателя на фракцията. Необходимо е да се избере допълнителен фактор по такъв начин, че да не се прилага за нула при всякакви стойности на променливите от странните променливи за първоначалния израз.

Пример 8.

Дайте фракции на нов знаменател: а) A + 1 A 0, 7 към знаменателя А., b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 до знаменател x + 8 y 12.

Решение

а) Ще изберем множител, който ще ни позволи да донесем нов знаменател. A 0, 7 · A 0, 3 \u003d A 0, 7 + 0, 3 \u003d A,следователно, като допълнителен мултипликатор ще вземем A 0, 3. Областта на допустимите стойности на променливата А включва много от всички положителни валидни числа. В тази област A 0, 3 Не са достъпни до нула.

Извършване на умножение на числителя и знаменателя на фракцията A 0, 3:

a + 1 A 0, 7 \u003d A + 1 · A 0, 3 A 0, 7 · A 0, 3 \u003d A + 1 · A 0, 3 A

б) Обърнете внимание на знаменателя:

x 2 3 - 2 · X 1 3 · Y 1 6 + 4 · Y 1 3 \u003d X 1 32 - X 1 3 · 2 · Y 1 6 + 2 · Y 1 6 2

Умножете този израз върху x 1 3 + 2 y 1 6, получаваме сумата от кубчета X 1 3 и 2 · y 1 6, т.е. X + 8 y 1 2. Това е нашият нов знаменател, към който трябва да донесем първоначалната фракция.

Така че открихме допълнителен мултипликатор X 1 3 + 2 y 1 6. Върху областта на допустимите стойности на променливите Х. и Y. Изразът X 1 3 + 2 · Y 1 6 не се обръща към нула, така че можем да умножим цифровия и знаменател на фракцията:
1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 · x 1 3 y y 1 6 + 4 · Y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 · Y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 \u003d x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 y 1 2

Отговор: а) A + 1 A 0, 7 \u003d A + 1 · A 0, 3 A, B) 1 x 23 - 2 · x 1 3 y 1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 y y 1 6 x + 8 · y 1 2.

Пример 9.

Намаляване на фракцията: а) 30 · x 3 · (x 0, 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3, b) А 1 4 - B 1 4 A 1 2 - B 1 2.

Решение

а) използваме най-големия общ знаменател (възел), към който могат да бъдат намалени числителят и знаменателят могат да бъдат намалени. За числа 30 и 45, това е 15. Можем също да намалим x 0, 5 + 1 и на x + 2 · x 1 1 3 - 5 3.

Получаваме:

30 · x 3 · (x 0, 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1)

б) Тук присъствието на същите мултипликатори не е очевидно. Ще трябва да извършите някои преобразувания, за да получите същите мултипликатори в числа и знаменател. За да направите това, поставете знаменател, използвайки формулата за квадратна разлика:

a 1 4 - B 1 4 A 1 2 - B 1 2 \u003d A 1 4 - B 1 4 A 1 42 - В122 \u003d А14 - В1 4 А1 4 + В14 · А 1 4 - B 1 4 \u003d 1 A 1 4 + B 1 4

Отговор:а) 30 · x 3 · (x 0, 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · х + 2 · x 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 · X 3 3 · (x 0, 5 + 1), b) А14 - В1 4 А12 - В12 \u003d 1 А1 4 + В14.

Основните действия с фракции включват въвеждане на нов знаменател и рязане на фракции. И двете действия се извършват в съответствие с редица правила. При добавяне и изваждане на фракции първо, фракциите се дават на общ знаменател, след което се извършват действия (добавяне или изваждане) с числа. Знаменателят остава същият. Резултатът от нашите действия е нова фракция, чийто числителят е продукт на числите вещества, а знаменателят е продукт на знаменатели.

Пример 10.

Извършване на действия X 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 х 12.

Решение

Да започнем с изваждането на фракции, които са разположени в скоби. Ние ги даваме на общия знаменател:

x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1

Абонаментни номера:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1,1 х 1 2 \u003d x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 - X 1 2 - 1 · X 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 - 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 + 1 2 - х 12 - 1 2 х 12 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d \u003d 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

Сега умножаваме фракциите:

4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

Ще намалим до степен x 1 2., получаваме 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1.

Освен това е възможно да се опрости експресията на захранването в знаменателя, като се използва квадратна разлика формула: квадрати: 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 \u003d 4 x 1 2 2 - 1 2 \u003d 4 x - 1.

Отговор: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d 4 x - 1

Пример 11.

Опростете експресията на захранването X 3 4 · X 2, 7 + 1 2 x - 5 8 · х 2, 7 + 1 3.
Решение

Можем да намалим фракцията (x 2, 7 + 1) 2. Получаваме фракцията x 3 4 x - 5 8 · x 2, 7 + 1.

Продължаваме да трансформираме степента на x 3 4 x - 5 8 · 1 х 2, 7 + 1. Сега можете да използвате защитата на градуси със същите основи: x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 \u003d x 3 4 - - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 \u003d x 1 1 8 · 1 x 2, 7 + 1.

Отидете от последната работа до фракцията x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Отговор: X 3 4 · x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 · х 2, 7 + 1 3 \u003d x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Мултипликатори с отрицателни показатели в повечето случаи са по-удобни за прехвърляне от числителя към знаменателя и обратно, промяна на индикаторния знак. Това действие ви позволява да опростите допълнителното решение. Нека дадем пример: експресия на захранването (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 може да бъде заменен с x 3 · (x + 1) 0, 2.

Трансформация на изрази с корените и степените

Съществуват значителни изрази в задачите, които съдържат не само степени с частични индикатори, но и корените. Такива изрази са желателни само за корените или само до степени. Преходът към градуси е за предпочитане, тъй като те са по-лесни за работа с тях. Такъв преход е особено предпочитан, когато променливите на OTZ за оригиналния израз позволяват да се замени корените по градуси, без да е необходимо да се обръщате към модула или да разделите OTZ на няколко пропуски.

Пример 12.

Пригответе експресията X 1 9 · X · x 36 като степен.

Решение

Област на допустимите променливи стойности Х. Определени от две неравенства x ≥ 0. и x · x 3 ≥ 0, което зададоха много [ 0 , + ∞) .

На този комплект имаме правото да се движим от корените до степените:

x 1 9 · x · x 3 6 \u003d x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Използването на свойствата на градусите опростява получената мощност.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · х 1 · 1 3 · 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · X 1 18 \u003d x 1 9 + 1 6 + 1 18 \u003d x 1 3

Отговор: x 1 9 · x · x 3 6 \u003d x 1 3.

Трансформация на градуси с променливи в индикатора

Данните за преобразуване просто просто произвеждат, ако компетентно използват степента на степента. Например, 5 2 · X + 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x - 1 \u003d 0.

Можем да заменим степента на показателите, за които има сума от някаква променлива и номера. В лявата страна може да се направи с първия и последния срок на лявата част на изразяването:

5 2 · X · 5 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x · 7 - 1 \u003d 0, 5 · 5 2 · x - 3 · 5 x · 7 х - 2 · 7 2 · x \u003d 0.

Сега споделяйте двете части на равенството 7 2 · x. Този израз на променливата OTZ X получава само положителни стойности:

5 - 5 - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0 7 2 · x, 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 2 · X - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0, 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0.

Ние ще намалим фракциите с градуси, получаваме: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 \u003d 0.

И накрая, съотношението на градуси със същите показатели се заменя с градуси на отношенията, което води до уравнение 5 · 5 7 2 · X - 3,5 7 x - 2 \u003d 0, което е еквивалентно на 5 · 5 7 х 2 - 3 · 5 7 x - 2 \u003d 0.

Въвеждаме нова променлива t \u003d 5 7 x, която намалява разтвора на първоначалното индикативно уравнение към разтвора на квадратното уравнение 5 · t2 - 3 · t - 2 \u003d 0.

Трансформация на изрази с градуси и логаритми

Изрази, съдържащи степента и записването на логаритъма, също се срещат в задачите. Пример за такива изрази може да бъде: 1 4 1 - 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Преобразуването на такива изрази се извършва, като се използват горните подходи и свойствата на логаритмите, които разглобявали подробно в темата "трансформация на логаритмични изрази".

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Формули степени Използва се в процеса на съкращение и опростяване на сложните изрази, при решаването на уравнения и неравенства.

Номер ° С. е н.Малка степен а. кога:

Операции с градуси.

1. Умножаване на степента със същата основа, техните индикатори фолд:

м.· N \u003d m + n.

2. В разделителните степени със същата основа техните показатели се приспадат:

3. Степента на работа на 2 или повече мултипликатори е равна на продукта на тези фактори:

(ABC ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. степента на фракция е равна на съотношението на степените на разделението и разделителя:

(A / b) n \u003d a n / b n.

5. Оберат степента до степента, индикаторите на градуси се удължават:

(A m) n \u003d a m n.

Всяка по-горе формула е вярна в посоки отляво надясно и обратно.

например. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4.

Коренни операции.

1. Коренът на работата на няколко фактора е равен на продукта на корените на тези фактори:

2. Корен от връзката равно на отношението Разделете и разделите корени:

3. Когато коренът е издигнат, той е доста вграден в тази степен.

4. Ако увеличите степента на корен н. веднъж и в същото време изграждане н.Степента на фуражния номер, стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на root н. веднъж и в същото време извадете корена н.Степен от подцелен номер, стойността на корена няма да промени:

Степен с отрицателен индикатор.Степента на определен брой с неоспорим (цяло) индикатор се определя като единица, разделена на степента на същия номер с индикатор, равен на абсолютната стойност на неизискващия индикатор:

Формула м.: n \u003d a m - n може да се използва не само в м.> н. но също м.< н..

например. а. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

Към формула м.: n \u003d a m - n станаха справедливи като m \u003d n.Необходимо е наличието на нулева степен.

Степента с нулевия индикатор.Степента на произволен брой, който не е равен на нула, с нулевия индикатор е равен на такъв.

например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с фракционен индикатор.За изграждане на валиден номер но в степен m / n.е необходимо да се извлече коренът н.степен от м.степен на този брой но.

На канал на YouTube нашия сайт сайт, за да бъдете в крак с всички нови уроци по видео.

Първо, нека си спомним основните формули на степените и техните свойства.

Работата на номера а. Самото се случва N пъти, този израз, който можем да записваме като a a ... a \u003d a n

1. A 0 \u003d 1 (a ≠ 0)

3. a n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d nm

5. a n b n \u003d (ab) n

7. N / A m \u003d a n - m

Власт или индикативни уравнения - Това са уравнения, в които променливите са в градуи (или индикатори), а основата е номерът.

Примери за индикативни уравнения:

В този пример номер 6 е основата, която винаги стои долу, и променливата х. степен или индикатор.

Нека дадем повече примери за индикативните уравнения.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

Сега ще анализираме как се решават демонстрационните уравнения?

Вземете просто уравнение:

2 x \u003d 2 3

Този пример може да бъде решен дори в ума. Може да се види, че X \u003d 3. В крайна сметка, така че лявата и дясната част трябва да бъде равна на числото 3 вместо x.
Сега да видим как е необходимо да се издаде това решение:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3.

За да се реши такова уравнение, ние премахнахме същите основания (т.е. две) и записани какво остава, тя е степен. Получил желания отговор.

Сега обобщете решението си.

Алгоритъм за решаване на индикативно уравнение:
1. Трябва да проверите същото Фондации на Лий в уравнението отдясно и наляво. Ако основите не са същите като търсите възможности за решаване на този пример.
2. След като основите станат същите, равен степени и решаване на полученото ново уравнение.

Сега пренапишете няколко примера:

Да започнем с прост.

Базите в лявата и дясната част са равни на номер 2, което означава, че можем да отхвърлим и приравняваме техните степени.

x + 2 \u003d 4 Оказа се най-простото уравнение.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2.
Отговор: x \u003d 2

В следващия пример може да се види, че основите са различни. Той е 3 и 9.

3 3X - 9 x + 8 \u003d 0

За да започнем, ние прехвърляме девет на дясната страна, получаваме:

Сега трябва да направите същата основа. Ние знаем, че 9 \u003d 3 2. Ние използваме степента на степен (a n) m \u003d nm.

3 3X \u003d (3 2) x + 8

Получаваме 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16

3 3X \u003d 3 2x + 16 Сега е ясно, че вляво и правилната страна Основите са едни и същи и равни на тройката, тогава можем да ги изхвърлим и да приравняваме степените.

3x \u003d 2x + 16 получи най-простото уравнение
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16.
Отговор: x \u003d 16.

Разглеждаме следния пример:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Първо, погледнем към основата, основите са различни две и четири. И трябва да сме същите. Преобразуваме четирите по формулата (a n) m \u003d nm.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

И използвайте една формула a n a m \u003d a n + m:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

Добавяне към уравнение:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

Ние доведохме пример по същите причини. Но ние се намесваме в други числа 10 и 24. Какво да правя с тях? Ако можете да видите, че е ясно, че имаме 2 2 2, това е отговорът - 2 2, можем да извадим скобите:

2 2x (2 4 - 10) \u003d 24

Изчисляваме израза в скоби:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Всички уравнения Delim до 6:

Представете си 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 2 2 бази са еднакви, изхвърлящи ги и уравняват степените.
2x \u003d 2 Оказа се най-простото уравнение. Разделяме го на 2
x \u003d 1.
Отговор: x \u003d 1.

Разрешаване на уравнението:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

Ние трансформираме:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Получаваме уравнението:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0

Основите, които имаме същото, са равни на трима. В този пример може да се види, че първите три градуса два пъти (2x) са по-големи от тези на втория (просто x). В този случай можете да решите метод за замяна. Броят с най-малка степен замени:

След това 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Ние сменяме при уравнение всички степени с кухини на t:

t2 - 12T + 27 \u003d 0
Получаване квадратно уравнение. Ние решаваме чрез дискриминацията, получаваме:
D \u003d 144-108 \u003d 36
T 1 \u003d 9
T 2 \u003d 3

Връщане към променливата х..

Вземете T 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Това е,

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

Намерен един корен. Търсим втория, от t 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Отговор: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.

На сайта можете да разрешите решението да поискате да зададете въпроси. Ще отговорим.

Присъединете се към групата

Първо ниво

Степента и свойствата. Изчерпателен справочник (2019)

Защо си необходим? Къде ще дойдат при вас? Защо трябва да прекарвате времето си в тяхното обучение?

За да разберете всичко за степените, какво се нуждаят от това, което се нуждаят от това как да използват знанията си в ежедневието Прочетете тази статия.

И, разбира се, знанието на градуси ще ви доближи до успешни ръка над огъня или изпита и да влезете в университета в мечтите си.

Нека да отидем ... (карах!)

Важна забележка! Ако вместо формули виждате Абракадабра, почистете кеша. За да направите това, щракнете върху Ctrl + F5 (на Windows) или CMD + R (на Mac).

Първо ниво

Упражнението е същата математическа операция като добавка, изваждане, умножение или разделяне.

Сега ще обясня целия човешки език на много прости примери. Обърни внимание. Примери за елементарни, но обяснява важни неща.

Нека започнем с добавянето.

Няма какво да се обясни тук. Вие всички знаете всичко: ние сме осем души. Всеки има две бутилки кола. Колко е кола? Право - 16 бутилки.

Сега умножение.

Същият пример с COLA може да бъде записан по различен начин :. Математика - Хората хитрост и мързелив. Първо забелязват някои модели, а след това измислят пътя как да ги "преброяват" по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души има същия брой бутилки на Кола и измисли рецепция, наречена умножение. Съгласен, той се счита за по-лесен и по-бърз от.

Така че, да четем по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблично умножение. Разбира се, можете да направите всичко по-бавно, по-трудно и грешки! Но…

Ето таблицата за умножение. Повторете.

А другият, по-красив:

И какви други трикове дойдоха с мързеливи математици? Право - ерекция.

Ерекция

Ако трябва да умножите номера за себе си пет пъти, тогава математиката казват, че трябва да изградите този номер в петата степен. Например, . Математиката помнете, че две в петата степен са. И те решават такива задачи в ума - по-бързи, по-лесни и без грешки.

За това ви трябва само не забравяйте какво се подчертава в цвят в таблицата на градуси на числа. Вярвам, че тя значително ще улесни живота ви.

Между другото, защо се нарича втора степен квадрат номера, а третата - куба? Какво означава? Много добър въпрос. Сега ще има за вас и квадрати и Куба.

Пример от живота номер 1

Да започнем с квадрат или от втора степен на число.

Представете си квадратен басейн с размер на метър на метър. Басейнът е на вашата дача. Топлина и наистина искат да плуват. Но ... Басейн без дъното! Трябва да съхраните дъното на плочките за басейна. Колко ви трябват плочки? За да определите това, трябва да разберете площта на дъното на басейна.

Можете просто да изчислите с пръст, че дъното на басейна се състои от метър кубчета на метър. Ако имате плочка за измерване на метър, ще трябва да парчета. Лесно е ... но къде виждате такава плочка? По-вероятно е плочката да видим и след това "пръст да преброи" мъчения. След това трябва да се размножавате. Така че, от едната страна на дъното на басейна, ние се вписваме плочки (парчета) и от другия твърде плочки. Умножаване, ще получите плочки ().

Забелязахте ли, че за да се определи площта на дъното на басейна, се умножи ли сам от себе си? Какво означава? Това се умножава по същия брой, можем да се възползваме от "ерекцията на унищожението". (Разбира се, когато имате само две числа, умножете ги или ги повдигнете в степента. Но ако имате много от тях, е много по-лесно да ги повдигнете по отношение на изчисленията, твърде много по-малко. За изпита, той много е важно).
Толкова тридесет до втората степен (). Или можем да кажем, че тридесет на площада ще бъдат. С други думи, втората степен на числото винаги може да бъде представена като квадрат. А напротив, ако видите квадрат - винаги е втората степен на някакъв брой. Квадрат е изображението на втора степен.

Пример от живота номер 2

Ето задачата, пребройте колко квадратчета на шахматна дъска с квадрат на броя ... от едната страна на клетките и от другата. За да изчислите тяхното количество, трябва да се размножавате осем или ... Ако забележите, че шахматната дъска е квадрат отстрани, тогава можете да построите осем на квадрат. Оказва се клетки. () Така?

Пример от живота номер 3

Сега куб или трета степен на брой. Същия басейн. Но сега трябва да знаете колко вода ще трябва да попълните този басейн. Трябва да преброите силата на звука. (Обем и течност, между другото, се измерват в кубични метри. Изведнъж, нали?) Начертайте басейн: отдолу на размера на измервателния уред и дълбочина на измервателния метър и се опитайте да преброите колко кубчета метър размер на метър ще влезе в басейна.

Дясно покажете пръста си и пребройте! Веднъж, две, три, четири ... двадесет и две, двадесет и три ... Колко се случи? Не слезе? Трудно да преброите пръста си? Така че! Вземете пример от математиците. Затова те са мързеливи, затова забелязаха, че за да се изчисли обемът на басейна, е необходимо да се умножи един друг по дължина, ширина и височина. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчетата ... е по-лесно за истината?

И сега си представете, доколкото математиката е мързелива и хитър, ако са опростени. Донесе всичко до едно действие. Те забелязали, че дължината, ширината и височината е равна на и че един и същ номер сам по себе си ... и какво означава това? Това означава, че можете да се възползвате от степента. И така, какво мислите с пръста си, те правят в едно действие: три в Куба са равни. Това е написано така :.

Остава само не забравяйте градуса на масата. Ако сте, разбира се, същите мързеливи и хитър като математика. Ако обичате да работите много и да правите грешки - можете да продължите да преброите пръста си.

Е, най-накрая да ви убедим, че степените измислиха с лодки и букви, за да решат техните животни проблеми, да не ви създават проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример от живота номер 4

Имате един милион рубли. В началото на всяка година печелите всеки милион още един милион. Това означава, че всеки милион ще се удвои в началото на всяка година. Колко пари ще имате в годините? Ако седите сега и "мислите си пръст", тогава вие сте много трудолюбив човек и .. глупак. Но най-вероятно ще отговорите за няколко секунди, защото сте умни! Така че през първата година - две умножени две ... през втората година - какво се е случило, още две, на третата година ... спрете! Забелязахте, че броят им се умножава. Така че, две в петата степен - един милион! И сега си представете, че имате състезание и тези милиони ще получат този, който ще намери по-бързо ... Струва си да си спомняте степента на числа, какво мислите?

Пример от живота номер 5

Имате милион. В началото на всяка година печелите всеки милион още два. Голяма истина? Всеки милион тройни. Колко пари ще имате след една година? Да преброим. Първата година е да се размножават, тогава резултатът все още е на ... вече скучно, защото вече сте разбрали всичко: три се умножават сама по себе си. Следователно четвъртата степен е равна на един милион. Необходимо е само да се помни, че три в четвъртата степен е или.

Сега знаете, че с помощта на ерекцията на номера, вие значително ще улесните живота си. Нека да погледнем до това, което можете да направите с степените и това, което трябва да знаете за тях.

Условия и концепции ... За да не се обърка

Така че, за начало, нека дефинираме концепциите. Какво мислиш, какъв е индикаторът за степента? Това е много просто - това е номерът, който е "в горната част" на степента на числото. Не научно, но е ясно и лесно да се помни ...

Добре, в същото време такава степен на основаване? Още по-лесно - това е номерът, който е по-долу, в основата.

Ето чертеж за лоялност.

Добре, Б. общДа обобщим и по-добре да помните ... степента на основата "и индикатор" "се чете като" до степен "и е написана, както следва:

Степента на числото с естествен индикатор

Вероятно вероятно сте се досетили: защото индикаторът е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествени това са номерата, които се използват в сметката при изброяване на елементи: една, две, три ... ние, когато смятаме, че не казваме: "минус пет", "минус шест", "минус седем". Ние също не казваме: "една трета", или "нула от цял, пет десети". Това не са естествени числа. И какви номера мислите?

Номерата като "минус пет", "минус шест", "минус седем" принадлежат цели числа. Като цяло, до цели числа включват всички естествени числа, числата са противоположни на естествените (това е, взето с минус знак) и номера. Zero Разберете лесно - това е, когато нищо. И какво означават те отрицателни ("минус") номера? Но те бяха измислени предимно за определяне на дългове: Ако имате баланс на телефонния номер, това означава, че трябва да останете рубли.

Всички видове фракции са рационални числа. Как възникват, какво мислиш? Много просто. Преди няколко хиляди години, нашите предци откриха, че им липсват естествени числа, за да измерват дълги, тегло, квадрат и др. И те са измислили рационални числа... Чудя се дали е вярно?

Има и ирационални номера. Какво е този номер? Ако кратко, тогава безкрайна десетична фракция. Например, ако дължината на обиколката е разделена на нейния диаметър, тогава ще бъде ирационалното число.

Резюме:

Определяме концепцията за степен, чийто индикатор е естествен номер (т.е. цял и положителен).

1. Всеки номер в първа степен еднакво за себе си:
2. Оценете номера на площада - това означава да го умножите сама по себе си:
3. Оценете номера в куба - това означава да го умножите сама по себе си три пъти:

Определение. Оценете номера в естествена степен - това означава да се умножи броя на всички времена за себе си:
.

Свойства на градуси

Откъде идват тези имоти? Ще ви покажа сега.

Да видим: Какво е и ?

A-Priory:

Колко мултипликатори са тук?

Много просто: завършихме мултипликатори до множителите, оказахме факторите.

Но по дефиниция, това е степента на число с индикатор, т.е. това е необходимо да се докаже.

Пример: Опростяване на израза.

Решение:

Пример: Опростяване на израза.

Решение: Важно е да забележите, че в нашето правило преди Трябва да е същата основа!
Ето защо съчетаваме степени с основата, но остава отделен множител:

само за работата на степените!

В никакъв случай не може да се напише това.

2. Това е Степен на брой

Точно както при предишния имот, ние се обръщаме към дефиницията на степента:

Оказва се, че изразът се умножава сам по себе си веднъж, т.е. според дефиницията, това е, има редица числа:

Всъщност това може да се нарече "индикатор за скоби". Но никога не може да го направи в сумата:

Спомнете си формулата на съкратеното умножение: колко пъти искахме да пишем?

Но това е неправилно, защото.

Отрицателен

До този момент обсъдихме само това, което трябва да бъде индикаторът.

Но какво трябва да бъде основата?

В степените на S. естествен индикатор Базата може да бъде който и да е номер. И истината, ние можем да умножим един друг каквито и да било числа, независимо дали са положителни, отрицателни или дори.

Нека помислим за това какви знаци ("или" ") ще имат степените на положителни и отрицателни числа?

Например, положително или отрицателно число? НО? ? С първото, всичко е ясно: колко положителни цифри не се умножаваме един от друг, резултатът ще бъде положителен.

Но с отрицателен малко по-интересен. В края на краищата, ние си спомняме едно просто правило от степен 6: "минус за минус дава плюс." Или. Но ако се размножим, тя ще работи.

Определете самостоятелно, какъв знак ще има следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Cope?

Ето отговорите: в първите четири примера, надявам се, че всичко е разбираемо? Просто погледнете основата и индикатора и приложите подходящото правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, както изглежда: няма значение какво е равно на базата - степента е дори, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.

Е, с изключение на случая, когато основата е нула. Причината не е еднаква? Очевидно не, защото (защото).

Пример 6) вече не е толкова просто!

6 примера за обучение

Решения от 6 примера

Ако не обръщате внимание на осмата степен, какво виждаме тук? Помнете програмата от 7 клас. Така че, си спомни си? Това е формула за съкратено умножение, а именно - разликата в квадратите! Получаваме:

Внимателно погледнете знаменателя. Той е много подобен на един от мултипликателите на числителя, но какво не е наред? Не процедурата на термините. Ако те ще ги променят на места, би било възможно да се прилага правилото.

Но как да го направим? Оказва се много лесно: четната степен на знаменател ни помага.

Магически компонентите се променят на места. Това "феномен" е приложимо за всяко изразяване в една дори степен: можем свободно да променяме знаците в скоби.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно.!

Нека се върнем например:

И отново формулата:

Цялостен Ние наричаме естествени числа, противоположни на тях (това е, взето със знака "") и номера.

цялото положително числоИ тя не се различава от естествено, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

И сега нека разгледаме нови случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всеки номер до нула, равен на един:

Както винаги, ще ме попитаме: Защо е така?

Разгледайте всяка степен с основата. Вземете например и доминиране на:

Така че, умножихме номера и получихме същото, както беше. И за какъв номер трябва да се умножи така, че нищо да се е променило? Това е правилно. Така.

Можем да направим същото с произволен номер:

Повторете правилото:

Всеки номер до нула, равен на един.

Но от много правила има изключения. И тук също има номер (като база).

От една страна, тя трябва да бъде равна на всякакъв начин - колко нула не се умножава, все още получава нула, ясно е. Но от друга страна, както всеки номер до нула, трябва да бъде равен. И така, каква е истината? Математиката реши да не се свързва и отказа да издигне нула до нула. Това е, сега можем не само да бъдем разделени на нула, но и да го изградим до нула.

Нека продължим. В допълнение към естествените номера и номерата включват отрицателни числа. За да разберем каква отрицателна степен ще направим като последен път: сотделно нормален номер на същото до отрицателна степен:

Оттук вече е лесно да се изразява желаното:

Сега ние разпространяваме това правило до произволна степен:

Така че, ние формулираме правилото:

Номерът е отрицателна степен обратно към същия номер в положителна степен. Но в същото време базата не може да бъде нула: (Защото е невъзможно да се разделим).

Да обобщим:

I. Изразът не е дефиниран в случая. Ако тогава.

II. Всеки номер до нула е равен на един :.

III. Номер, който не е равен на нула, до отрицателна степен обратно към същия номер в положителна степен :.

Задачи за саморешения:

Е, както обикновено, примери за саморешения:

Анализ на задачите за саморешения:

Знам, знам, числата са ужасни, но изпитът трябва да е готов за всичко! Споделете тези примери или разпръснете решението си, ако не мога да реша и ще се научите лесно да се справяте с тях на изпита!

Продължете да разширявате кръга от числа, "подходящ" като индикатор за степента.

Сега разгледайте рационални числа. Какви числа се наричат \u200b\u200bрационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено под формата на фракции, където и - цели числа, и.

Да разберем какво е "Степен на товари", Помислете за фракцията:

Изградени и двете части на уравнението до степен:

Сега помнете правилото "Степен до степен":

Какъв номер трябва да се вземе до степента, за да се получи?

Тази формулировка е определението за root степен.

Позволете ми да ви напомня: коренът на номера () се нарича номер, който е равен в унищожението.

Това означава, че root степен е операция, обърнете упражнението в степента :.

Се оказва това. Очевидно е, че този конкретен случай може да бъде разширен :.

Сега добавете число: какво е? Отговорът е лесно да се получи с помощта на правилото за "степента до степен":

Но може ли причината да бъде всеки номер? В края на краищата, коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Никой!

Запомнете правилото: всеки номер, издигнат в равномерна степен, е номерът положителен. Това е, за да извлечете корените на дори степен от отрицателни числа, това е невъзможно!

Това означава, че е невъзможно да се изгради такива числа в частична степен с черен деноминатор, т.е. изразът няма смисъл.

Какво ще кажете за изразяване?

Но има проблем.

Номерът може да бъде представен под формата на DRGIH, например намалени фракции, или.

И се оказва, че има, но не съществува, но това са само две различни записи от един и същ номер.

Или друг пример: веднъж, тогава можете да пишете. Но за полезно е да ни пишат по различен начин и отново получаваме неудобство: (т.е. те са получили съвсем различен резултат!).

За да избегнете подобни парадокси, ние обмисляме само положителна основа на степен с фракционен индикатор.

Така че, ако:

• - естествен брой;
• - цяло число;

Примери:

Схемите с рационалния индикатор са много полезни за превръщане на изрази с корени, например:

5 примера за обучение

Анализ на 5 примера за обучение

Е, сега - най-трудното. Сега ще разберем ирационално.

Всички правила и свойства на градуси тук са същите като за степен с рационален индикатор, с изключение

В крайна сметка, по дефиниция, ирационалните номера са числа, които не могат да бъдат представени под формата на фракция, където и - цели числа (т.е. ирационалните номера са валидни номера, освен рационални).

Когато изучавате степени с естествен, цялостен и рационален индикатор, ние сме създали определен "изображение", "аналогия" или описание в по-познати условия.

Например, естествена фигура е число, няколко пъти се умножават сама по себе си;

...нула - Така броят им се умножи само по себе си, т.е. все още не е започнал да се размножава, това означава, че самият номер дори не се е появил - следователно резултатът е само определен "номер на заготовката", а именно номера;

...степен с цял отрицателен индикатор - Изглежда, че е настъпил определен "обратен процес", т.е. броят им не се умножава сам по себе си, но деликатен.

Между другото, в науката често се използва със сложен индикатор, т.е. индикаторът дори не е валиден номер.

Но в училище ние не мислим за такива трудности, ще имате възможност да разберете тези нови концепции в Института.

Къде сме сигурни, че ще го направите! (Ако се научите да решавате такива примери :))

Например:

Себе си:

Отломки:

1. Да започнем с обичайните правила за правилата за упражняване на нас:

Сега погледнете индикатора. Не ви напомня ли за нещо? Запомнете формулата на съкратеното умножение. Квадратни разлики:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Принасяме фракцията в показателите на степени към една и съща форма: или двете десетични или обикновени. Получаваме, например:

Отговор: 16.

3. Нищо специално, ние използваме обичайните свойства на градуса:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определяне на степента

Степента се нарича израз на формуляра: където:

• — степен;
• - Показател.

Степента с естествения индикатор (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Изграждане на естествена степен n - означава умножаване на номера за себе си веднъж:

Степента с цяло число (0, ± 1, ± 2, ...)

Ако е показател за степента софтуер положителен номер:

Строителство в нулева степен:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, до каквато и да е степен, и от друга - произволен брой в степен.

Ако е показател за степента цял негатив номер:

(Защото е невъзможно да се разделим).

Още веднъж за нули: изразът не е дефиниран в случая. Ако тогава.

Примери:

Рационално

• - естествен брой;
• - цяло число;

Примери:

Свойства на градуси

За да улесните проблемите, нека се опитаме да разберем: Откъде идват тези имоти? Доказваме ги.

Да видим: Какво е какво?

A-Priory:

Така че в дясната част на този израз се получава такава работа:

Но по дефиниция, това е степента на номер с индикатор, т.е.

Q.E.D.

Пример : Опростяване на израза.

Решение : .

Пример : Опростяване на израза.

Решение : Важно е да забележите, че в нашето правило предитрябва да има същите основи. Ето защо съчетаваме степени с основата, но остава отделен множител:

Друга важна забележка: това е правило - само за работата на градуси!

В никакъв случай на нервите да го напишат.

Точно както при предишния имот, ние се обръщаме към дефиницията на степента:

Ние се прегрупираме тази работа по следния начин:

Оказва се, че изразът се умножи сам по себе си, т.е. според определението, това е - по степен на брой:

Всъщност това може да се нарече "индикатор за скоби". Но никога не може да направи това в сумата :!

Спомнете си формулата на съкратеното умножение: колко пъти искахме да пишем? Но това е неправилно, защото.

Степен с отрицателна основа.

До този момент обсъдихме това, което трябва да бъде показател степен. Но какво трябва да бъде основата? В степените на S. естествено показател Базата може да бъде който и да е номер .

И истината, ние можем да умножим един друг каквито и да било числа, независимо дали са положителни, отрицателни или дори. Нека помислим за това какви знаци ("или" ") ще имат степените на положителни и отрицателни числа?

Например, положително или отрицателно число? НО? ?

С първото, всичко е ясно: колко положителни цифри не се умножаваме един от друг, резултатът ще бъде положителен.

Но с отрицателен малко по-интересен. В края на краищата, ние си спомняме едно просто правило от степен 6: "минус за минус дава плюс." Или. Но ако ще се размножим (), тя се оказва.

И така, за безкрайност: всеки път следващото умножение ще промени знака. Могат да бъдат формулирани прости правила:

1. дори степен - номер положителен.
2. Отрицателен брой, издигнат в нечетно степен - номер отрицателен.
3. Положителният номер на всеки от тях е броят положителен.
4. Нула до всяка степен е нула.

Определете самостоятелно, какъв знак ще има следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Cope? Ето отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се, че всичко е ясно? Просто погледнете основата и индикатора и приложите подходящото правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, както изглежда: няма значение какво е равно на базата - степента е дори, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, с изключение на случая, когато основата е нула. Причината не е еднаква? Очевидно не, защото (защото).

Пример 6) вече не е толкова просто. Тук трябва да знаете, че по-малко: или? Ако помните, че става ясно, че и следователно базата е по-малка от нула. Това означава, че прилагаме правилото 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме степента на степен:

Както обикновено - запишете дефиницията на градуси и ги разделете един на друг, разделете се на двойките и получете:

Преди да разглобите последното правило, ние решаваме няколко примера.

Изчислени изрази:

Решения :

Ако не обръщате внимание на осмата степен, какво виждаме тук? Помнете програмата от 7 клас. Така че, си спомни си? Това е формула за съкратено умножение, а именно - разликата в квадратите!

Получаваме:

Внимателно погледнете знаменателя. Той е много подобен на един от мултипликателите на числителя, но какво не е наред? Не процедурата на термините. Ако бяха разменени на места, би било възможно да се приложи правилото 3. Но как да го направите? Оказва се много лесно: четната степен на знаменател ни помага.

Ако го нарисувате, нищо няма да се промени, нали? Но сега се оказва следното:

Магически компонентите се променят на места. Това "феномен" е приложимо за всяко изразяване в една дори степен: можем свободно да променяме знаците в скоби. Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!Не можете да замените, като промените само една неприятна минус!

Нека се върнем например:

И отново формулата:

Така че сега последното правило:

Как ще докажем? Разбира се, както обикновено: ще разкрия концепцията за степен и опростява:

Е, сега ще разкривам скоби. Колко ще получат буквите? Веднъж на множителите - какво напомня? Това е нищо друго освен определението за операцията умножение: Общо имаше фактори. Това означава, по дефиниция, степента на числото с индикатора:

Пример:

Ирационално

В допълнение към информацията за градуса за средното ниво, ние ще анализираме степента с ирационалния индикатор. Всички правила и свойства на градуси тук са същите като за степен с рационален индикатор, с изключение - след всичко по дефиниция, ирационалните номера са числа, които не могат да бъдат представени под формата на фракция, където - цели числа (т.е. ирационалните номера са валидни числа освен рационално).

Когато изучавате степени с естествен, цялостен и рационален индикатор, ние сме създали определен "изображение", "аналогия" или описание в по-познати условия. Например, естествена фигура е число, няколко пъти се умножават сама по себе си; Броят в нулева степен е някак си броят, умножено сам по себе си, тоест, това все още не е започнало да се размножава, това означава, че самият номер дори не се е появил - следователно, само определена "заготовката", а именно, е резултатът Шпакловка Степента с цял негативен индикатор е сякаш е настъпил определен "обратен процес", т.е. броят не се умножава сам по себе си, а разделен.

Представете си, че степента с ирационален индикатор е изключително трудна (точно както е трудно да се представи 4-меро пространство). Тя е доста чиста математически обекткоя математика създава, за да разшири концепцията за степен по целия брой числа.

Между другото, в науката често се използва със сложен индикатор, т.е. индикаторът дори не е валиден номер. Но в училище ние не мислим за такива трудности, ще имате възможност да разберете тези нови концепции в Института.

И така, какво правим, ако видим ирационална скорост? Опитваме се да се отървем от това с цялата си мощ! :)

Например:

Себе си:

1)

2)

3)

Отговори:

1. Спомням си формулата разликата в квадратите. Отговор:.
2. Даваме фракцията към една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме, например :.
3. Нищо специално, ние използваме обичайните свойства на градуса:

Обобщение на секцията и основните формули

Степен Наречен е израз на формуляра: където:

Цялостен

степента, чийто индикатор е естествен номер (т.е., цяло и положителен).

Рационално

степента, индикаторът е отрицателен и частичен брой.

Ирационално

степента, индикаторът е безкрайна десетична фракция или корен.

Свойства на градуси

Характеристики на градуси.

• Отрицателен брой, издигнат в дори степен - номер положителен.
• Отрицателен брой, издигнат в нечетно степен - номер отрицателен.
• Положителният номер на всеки от тях е броят положителен.
• Нула до всяка степен е равни.
• Всеки номер до нула равен.

Сега се нуждаете от дума ...

Как се нуждаете от статия? Запишете в коментарите като или не.

Разкажете ми за опита си в използването на свойствата на градуси.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Напишете в коментарите.

И късмет на изпитите!