Системи, чиито входни и изходни последователности и са свързани с линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти, образуват подмножество от класа линейни системи с постоянни параметри. Описанието на LPP системи чрез диференциални уравнения е много важно, тъй като често позволява да се намерят ефективни начини за конструиране на такива системи. Освен това, много характеристики на разглежданата система могат да бъдат определени от уравнението на разликата, включително естествени честоти и тяхната множественост, системен ред, честоти, съответстващи на нулево усилване и т.н.

В най-общия случай линейно диференциално уравнение от ти порядък с постоянни коефициенти, свързано с физически осъществима система, има формата

(2.18)

където коефициентите и описват конкретна система, и . Как точно редът на системата характеризира математическите свойства на диференциалното уравнение ще бъде показано по-долу. Уравнение (2.18) е написано във вид, удобен за решаване по метода на директното заместване. Имайки набор от начални условия [например, , за ] и входната последователност , по формула (2.18) може директно да се изчисли изходната последователност за . Например диференциалното уравнение

(2.19)

с началното условие и може да се реши чрез заместване, което дава

Въпреки че решението на диференциални уравнения чрез директно заместване е полезно в някои случаи, много по-полезно е да се получи решението на уравнението в ясна форма. Методите за намиране на такива решения са разгледани подробно в литературата за диференциални уравнения и тук ще бъде даден само кратък преглед. Основната идея е да се получат две решения на диференциалното уравнение: хомогенно и частично. Хомогенно решение се получава чрез заместване на нули за всички членове, съдържащи елементи от входната последователност, и определяне на отговора, когато входната последователност е нула. Именно този клас решения описва основните свойства на дадената система. Конкретно решение се получава чрез избиране на типа изходна последователност за дадена входна последователност. Началните условия се използват за определяне на произволни константи на хомогенно решение. Като пример решаваме уравнение (2.19) по този метод. Еднородното уравнение има формата

(2.20)

Известно е, че характеристичните решения на хомогенни уравнения, съответстващи на линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти, са решения от вида , Следователно, замествайки в уравнение (2.20) вместо , получаваме

(2.21)

Ще се опитаме да намерим конкретно решение, съответстващо на входната последователност във формата

(2.22)

От уравнение (2.19) получаваме

Тъй като коефициентите при равни степени трябва да съвпадат, B, C и D трябва да са равни

(2.24)

По този начин, общо решениеима формата

(2.25)

Коефициентът се определя от начално състояние, от къде и

(2.26)

Селективната проверка на решението (2.26) за показва пълното му съвпадение с горното директно решение. Очевидното предимство на решение (2.26) е, че го прави много лесно да се определи за всяко конкретно .

Фиг. 2.7. Схема за изпълнение на просто диференциално уравнение от първи ред.

Значението на диференциалните уравнения е, че те директно определят метода на конструиране цифрова система. По този начин, диференциално уравнение от първи ред в най-обща форма

може да се реализира с помощта на схемата, показана на фиг. 2.7. Блокът "забавяне" забавя с една проба. Разгледаната форма на изграждане на системата, в която се използват отделни елементи на забавяне за входните и изходните последователности, се нарича директна форма 1. По-долу ще разгледаме различни методи за изграждане на тази и други цифрови системи.

Диференциално уравнение от втори ред от най-общ вид

Фиг. 2.8. Схема за изпълнение на диференциалното уравнение от втори ред.

може да се реализира с помощта на схемата, показана на фиг. 2.8. Тази схема също така използва отделни елементи на забавяне за входните и изходните последователности.

От последващото представяне на материала в тази глава ще стане ясно, че системите от първи и втори ред могат да се използват при реализацията на системи от по-висок ред, тъй като последните могат да бъдат представени като системи от първи и втори ред, свързани последователно или паралелно.

Решение на обикновени линейни диференциални уравнения

с постоянни коефициенти

Връзката между изхода и входа на линейна дискретна система може да се опише с обикновено линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти

,

Където y[н]- изходен сигнал в момента н,

х[н]- входен сигнал в момента н,

а аз,b kса постоянни коефициенти.

Могат да се използват два метода за решаване на такива уравнения.

• директен метод,
• Метод Z - трансформации.

Нека първо разгледаме решението на линейно диференциално уравнение с помощта на директния метод.

Общото решение на нехомогенно (с ненулева дясна страна) линейно диференциално уравнение е равно на сумата o общо решениелинейно хомогенно диференциално уравнение и частно решениенехомогенно уравнение

Общото решение на хомогенното диференциално уравнение ( нула-входотговор) г ч [н]

определен като

.

Замествайки това решение в хомогенното уравнение, получаваме

Такъв полином се нарича характерен полиномсистеми. Той има нкорени . Корените могат да бъдат реални или сложни, а някои корени могат да бъдат съвпадащи (множествени).

Ако корените са реални и различни, то решението на хомогенното уравнение има формата

където коефициентите

Ако някакъв корен, напр. λ1има множественост м, тогава съответният член на решението приема формата

Ако всички коефициенти на хомогенното уравнение и съответно на характеристичния полином са реални, тогава двата члена на решението, съответстващи на прости комплексно спрегнати корени могат да бъдат представени (записани) във формата , докато коефициентите а,бопределени от началните условия.

Вид частно решение y p [н]уравнението зависи от дясната страна (входен сигнал) и се определя съгласно таблицата по-долу

Таблица 1. Тип конкретно решение за различен характер на дясната страна

Входен сигналx[n]	Частно решениеyp[n]
А(постоянен)

Решаването на линейно диференциално уравнение по метода на Z-трансформацията се състои в прилагане З– трансформации на уравнението, използвайки свойствата на линейността и времевия отместък. Резултатът е линейно алгебрично уравнение по отношение на З- изображения на необходимата функция. Обратен З– трансформацията дава желаното решение във времевата област. За получаване на обратната Z-трансформация най-често се използва разлагането на рационален израз на прости (елементарни) дроби, тъй като обратната трансформация от отделна елементарна фракция има проста форма.

Имайте предвид, че други методи за изчисляване на обратната Z-трансформация също могат да се използват за преминаване към времевата област.

Пример. Нека определим реакцията (изходния сигнал) на системата, описана от уравнението на линейната разлика, към входния сигнал

Решение.

1. Директен метод за решаване на уравнението.

Хомогенно уравнение. Неговият характерен полином е .

Полиномни корени .

Решение на еднородно уравнение.

Тъй като тогава дефинираме конкретно решение във формата .

Заместете го в уравнението

Да се ​​намери константа ДА СЕприемам n=2. Тогава

Или К=2,33

Оттук и конкретното решение и общото решение на диференциалното уравнение (1)

Нека намерим константи от 1И От 2. За това поставяме n=0, тогава от първоначалното уравнение на разликата получаваме . За това уравнение

Ето защо . От израз (1)

следователно

.

От израз (1) за n=1ние имаме .
Получаваме следните две уравнения за C1 и C2

.

Решението на тази система дава следните стойности: C 1 =0,486 и C 2 = -0,816.

Следователно, общото решение на това уравнение

2. Решение по метода на Z-трансформацията.

Вземете Z - трансформация от първоначалното уравнение на разликата, като вземете предвид свойството (теоремата) на времевото изместване . Получаваме

Контролни въпроси:

1. Какво представлява функцията на мрежата?

2. Кое уравнение се нарича диференциално уравнение?

3. Какви уравнения се наричат ​​диференциални уравнения от 1-ви ред?

4. Как се намира общото решение на нехомогенното диференциално уравнение от 1-ви ред?

5. Кое решение на диференциалното уравнение се нарича основно?

6. Защо общото решение на хомогенно уравнение с постоянни коефициенти изглежда като геометрична прогресия?

Задачи.

1. Напишете процедура за решаване на диференциално уравнение от първи ред с начално условие .

2. За дадено уравнение намерете аналитично общите и частните решения.

3. Сравнете резултатите от изчисленията по рекурсивната формула с аналитичното решение.

4. Разберете как смущението на първоначалното условие, коефициентите на уравнението, дясната страна влияе върху резултата.

				Упътвания

Нека намерим общото решение на диференциалното уравнение от 1-ви ред

. (1)

Получаваме конкретно решение на хомогенното уравнение за използване на рекурсивната формула: . Тъй като стойността на Y във всеки следващ възел на мрежата се удвоява, се оказва геометрична прогресиясъс знаменател q=2:

Намираме конкретно решение на нехомогенното уравнение във формата: , където A е неопределен коефициент. Тогава , , и приравнявайки получената стойност към дадената дясна страна, намираме неопределения коефициент A=. И накрая, общото решение: .

Използвайки началното условие , намираме константата: . И накрая, конкретно решение за дадено начално условие:

.

За да изследвате устойчивостта на решението към смущение на самото решение и първоначалното условие, разгледайте следното уравнение:

с нарушено начално състояние

(тук е големината на смущението). Изваждайки първоначалното уравнение (1), получаваме уравнението на разликата за смущението:

с начално състояние. Решението на това уравнение е: , т.е. дори малко смущение във всеки възел нараства експоненциално с увеличаване на броя на възела.

Студентът трябва да илюстрира горното: да изследва влиянието на смущенията на първоначалното условие, десните части и коефициентите на уравнението чрез промяна на рекурсивната формула.

Вариантът, в съответствие с номера на студента в списъка в дневника, трябва да бъде решен на езика за програмиране C ++ (разрешено е използването на среда Builder) или Pascal (разрешено е използването на среда Delphi) .

1. Рекурсивна формула за получаване на числено решение.
2. Аналитично решение на диференциалното уравнение. Общо решение и частно решение, което удовлетворява зададените начални условия.
3. Изследвайте устойчивостта на решението към смущение на първоначалното условие и решението аналитично.

б) при смущение на коефициентите на уравнението;

в) при смущения в дясната страна.

Тема: Разностни уравнения от 2-ри ред

Контролни въпроси:

1. Какви уравнения се наричат ​​разностни уравнения от 2-ри ред?

2. Какво е характеристично уравнение?

3. Как изглежда конкретно решение на хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с реални корени на характеристичното уравнение?

4. Как изглежда конкретно решение на хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с комплексни корени на характеристичното уравнение?

5. Как се намира общото решение на нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред?

6. Какво е численото и аналитичното решение на диференциалното уравнение от 2-ри ред?

7. Какви задачи се наричат ​​добре обусловени?

Задачи

1. Напишете процедура за решаване на разностна гранична задача за уравнение от втори ред с гранични условия , .

2. За дадено уравнение намерете аналитично общо и частно решение и проверете критерия за условност.

3. Сравнете резултатите от изчисленията по рекурсивната формула с аналитичното решение.

4. Разберете как смущението на граничните условия и дясната страна се отразява на резултата.

						Нека намерим общото решение на диференциалното уравнение от 2-ри ред, което може да бъде намерено чрез избиране на произволни константи. Наред с проблемите на Коши се разглеждат и двуточкови гранични проблеми за уравнения от втори ред, в които стойностите на мрежовата функция са дадени в два възела, разположени не в ред, а в краищата на някои крайни сегмент: (гранични условия ). Аналитично решение на такъв проблем може да се получи чрез подходящ избор на произволни константи в общото решение. Въпреки това, за разлика от проблема с началните условия, проблемът с граничните стойности няма да бъде непременно еднозначно разрешим. Ето защо голямо значениеима изясняване на клас проблеми с гранични стойности, които имат уникална разрешимост и слаба чувствителност към смущения (поради грешки при закръгляване) на десните страни и граничните условия. Ще наричаме такива задачи добре кондициониран Помислете за пример за лошо обусловена гранична задача Формулиране на проблема. Начално диференциално уравнение и гранични условия. Процедура за получаване на числено решение. Аналитично решение на разностна гранична задача. Общо решение и частно решение, което удовлетворява дадените гранични условия. Проверка на критерия за условност. Графики на численото решение и аналитичното решение (в едни и същи оси). Графика на разликата между числените и аналитични решения. Разстроени графики числени решенияи разликата между възмутените и невъзмутимите решения: а) когато първоначалното състояние е нарушено; б) при смущение на дясната страна. Извод за условността на граничната задача.

Въведение

През последните десетилетия математически методивсе по-настойчиво проникват в хуманитарни наукии в частност икономиката. Чрез математиката и ефективно приложениеможе да се надяваме на икономически растеж и просперитет на държавата. ефективен, оптимално развитиеневъзможно без използването на математика.

Целта на тази работа е да се проучи приложението на диференциалните уравнения в икономическата сфера на обществото.

Пред тази работа се поставят следните задачи: дефиниране на понятието диференциални уравнения; разглеждане на линейни диференциални уравнения от първи и втори ред и приложението им в икономиката.

При работа по курсов проект са използвани материали, достъпни за изучаване учебни помагалапо икономика, математически анализи, трудове на водещи икономисти и математици, справочни публикации, научни и аналитични статии, публикувани в интернет издания.

Разностни уравнения

§1. Основни понятия и примери за диференциални уравнения

Разностните уравнения играят важна роля в икономическа теория. Много икономически закони се доказват с помощта именно на тези уравнения. Нека анализираме основните понятия на диференциалните уравнения.

Нека времето t е независимата променлива и нека зависимата променлива е дефинирана за времето t, t-1, t-2 и т.н.

Означаваме със стойността в момент t; чрез - стойността на функцията в момента, изместена с единица назад (например в предишния час, в предходната седмица и т.н.); чрез - стойността на функцията y в момента, изместена назад с две единици и т.н.

Уравнението

където са константи, се нарича разностно нехомогенно уравнение от n-ти ред с постоянни коефициенти.

Уравнението

При което =0, се нарича разностно хомогенно уравнение от n-ти ред с постоянни коефициенти. Да се ​​реши разликово уравнение от n-ти ред означава да се намери функция, която превръща това уравнение в истинска идентичност.

Решение, в което няма произволна константа, се нарича частно решение на диференциалното уравнение; ако решението съдържа произволна константа, то се нарича общо решение. Могат да се докажат следните теореми.

Теорема 1.Ако хомогенното диференциално уравнение (2) има решения и, тогава решението също ще бъде функцията

където и са произволни константи.

Теорема 2.Ако е конкретно решение на нехомогенното диференциално уравнение (1) и е общото решение на хомогенното уравнение (2), тогава общото решение на нехомогенното уравнение (1) ще бъде функцията

Произволни константи. Тези теореми са подобни на теоремите за диференциални уравнения. Система от линейни диференциални уравнения от първи ред с постоянни коефициенти е система от формата

където е вектор от неизвестни функции, е вектор от известни функции.

Има матрица с размер nn.

Тази система може да бъде решена чрез редуциране до диференциално уравнение от n-ти ред по аналогия с решаването на система от диференциални уравнения.

§ 2. Решаване на разностни уравнения

Решение на диференциалното уравнение от първи ред.Разгледайте уравнението на нехомогенната разлика

Съответното хомогенно уравнение е

Нека проверим дали функцията

решение на уравнение (3).

Замествайки в уравнение (4), получаваме

Следователно има решение на уравнение (4).

Общото решение на уравнение (4) е функцията

където C е произволна константа.

Нека е частно решение на нехомогенното уравнение (3). Тогава общото решение на диференциалното уравнение (3) е функцията

Нека намерим конкретно решение на диференциалното уравнение (3), ако f(t)=c, където c е някаква променлива.

Ще търсим решение под формата на константа m. Ние имаме

Заместване на тези константи в уравнението

получаваме

Следователно общото решение на диференциалното уравнение

Пример1. Използвайки уравнението на разликата, намерете формулата за увеличението на паричния депозит A ​​в спестовната банка, поставен на p% годишно.

Решение. Ако определена сума е депозирана в банката при сложна лихва p, то до края на годината размерът й ще бъде

Това е хомогенно диференциално уравнение от първи ред. Неговото решение

където C е някаква константа, която може да се изчисли от началните условия.

Ако се приеме, тогава C=A, откъдето

Това е добре позната формула за изчисляване на нарастването на паричен депозит, поставен в спестовна банка при сложна лихва.

Решение на диференциално уравнение от втори ред.Разгледайте нехомогенното диференциално уравнение от втори ред

и съответното хомогенно уравнение

Ако k е коренът на уравнението

е решение на хомогенното уравнение (6).

Наистина, замествайки в лявата страна на уравнение (6) и вземайки предвид (7), получаваме

Така, ако k е коренът на уравнение (7), тогава е решението на уравнение (6). Уравнение (7) се нарича характеристично уравнение за уравнение (6). Ако дискриминантното характеристично уравнение (7) е по-голямо от нула, тогава уравнение (7) има два различни реални корена и общото решение на хомогенното уравнение (6) има следната форма.

Често самото споменаване на диференциални уравнения кара учениците да се чувстват неудобно. Защо се случва това? Най-често, защото при изучаване на основите на материала възниква празнина в знанията, поради което по-нататъшното изучаване на разликите става просто мъчение. Нищо не е ясно какво да правя, как да реша откъде да започна?

Ние обаче ще се опитаме да ви покажем, че дифузите не са толкова трудни, колкото изглеждат.

Основни понятия от теорията на диференциалните уравнения

От училище знаем най-простите уравнения, в които трябва да намерим неизвестното x. Всъщност диференциални уравнениясамо малко по-различен от тях - вместо променлива х те трябва да намерят функция y(x) , което ще превърне уравнението в идентичност.

Диференциални уравненияимат голямо практическо значение. Това не е абстрактна математика, която няма нищо общо със света около нас. С помощта на диференциални уравнения се описват много реални природни процеси. Например вибрациите на струните, движението на хармоничен осцилатор, с помощта на диференциални уравнения в задачите на механиката намират скоростта и ускорението на тялото. Също DUнамират широко приложение в биологията, химията, икономиката и много други науки.

Диференциално уравнение (DU) е уравнение, съдържащо производните на функцията y(x), самата функция, независими променливи и други параметри в различни комбинации.

Има много видове диференциални уравнения: обикновени диференциални уравнения, линейни и нелинейни, хомогенни и нехомогенни, диференциални уравнения от първи и по-висок ред, частични диференциални уравнения и т.н.

Решението на диференциално уравнение е функция, която го превръща в идентичност. Има общи и специални решения за дистанционно управление.

Общото решение на диференциалното уравнение е общото множество от решения, които превръщат уравнението в идентичност. Конкретно решение на диференциално уравнение е решение, което отговаря на допълнителни условия, определени първоначално.

Редът на диференциалното уравнение се определя от най-високия ред на производните, включени в него.

Обикновени диференциални уравнения

Обикновени диференциални уравненияса уравнения, съдържащи една независима променлива.

Разгледайте най-простото обикновено диференциално уравнение от първи ред. Изглежда като:

Това уравнение може да бъде решено чрез просто интегриране на дясната му страна.

Примери за такива уравнения:

Уравнения с разделими променливи

IN общ изгледтози тип уравнение изглежда така:

Ето един пример:

Решавайки такова уравнение, трябва да разделите променливите, като ги приведете във формата:

След това остава да интегрираме двете части и да получим решение.

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Такива уравнения приемат формата:

Тук p(x) и q(x) са някои функции на независимата променлива, а y=y(x) е търсената функция. Ето пример за такова уравнение:

Решавайки такова уравнение, най-често използват метода на вариация на произволна константа или представят желаната функция като произведение на две други функции y(x)=u(x)v(x).

За решаването на такива уравнения е необходима определена подготовка и ще бъде доста трудно да ги вземете „на прищявка“.

Пример за решаване на DE с разделими променливи

Така че разгледахме най-простите видове дистанционно управление. Сега нека да разгледаме един от тях. Нека е уравнение с разделими променливи.

Първо, пренаписваме производната в по-позната форма:

След това ще разделим променливите, тоест в едната част на уравнението ще съберем всички „игри“, а в другата - „xes“:

Сега остава да интегрираме и двете части:

Ние интегрираме и получаваме общото решение на това уравнение:

Разбира се, решаването на диференциални уравнения е вид изкуство. Трябва да можете да разберете към какъв тип принадлежи дадено уравнение и също така да се научите да виждате какви трансформации трябва да направите с него, за да го доведете до една или друга форма, да не говорим само за способността да диференцирате и интегрирате. И е необходима практика (както с всичко), за да успеете да решите DE. И ако имате този моментняма време да се занимавате с това как се решават диференциалните уравнения или проблемът на Коши се е надигнал като кост в гърлото или не знаете как правилно да форматирате презентация, свържете се с нашите автори. В кратки срокове ще Ви предоставим готово и детайлно решение, с чиито подробности можете да се запознаете по всяко удобно за Вас време. Междувременно предлагаме да гледате видеоклип на тема "Как да решаваме диференциални уравнения":