Прехвърляне на оператора за уравнение на хиперболичното тип. Числени методи за решаване на уравнения в частични производни на хиперболичен тип (при примера на трансферното уравнение)

Помислете за задачата на Cauchy за уравнението на изгледа

в която скоростта на прехвърляне в. Може да бъде функция х. За уравнение (6.1), много схеми за разлика, които се различават по процедурата за сближаване, метода на представяне на деривати и др. Нека първо да спрем на очевидните схеми за разлика, в които всяко уравнение на системата съдържа само едно неизвестни количества) ", което ви позволява последователно да изчислявате стойностите на разтвора на нов временно време.

Известно е, че изричната разлика схемите трябва да имат най-важното свойство, е стабилността на способността на схемата да не натрупва изчислителни смущения. Стабилност на схемата изискваното изискване за осигуряване на конвергенцията на различното решение за точни. За хиперболично уравнение, устойчивост на първоначалните данни обикновено се извършва въз основа на спектъра на собствените оператори на преходния оператор към нов временен слой, въз основа на разликата схеми, приемливи за изчисления. Така че, симетрична разлика схема

той има много твърдо състояние на стабилност (t 2 VH) и NS, използвани за практически алгоритъм. Различни схеми

са условно стабилни. За да се гарантира тяхната стабилност, е необходимо първо, изпълнението на Clariat на Friedrichs - Levi (KFL):

и второ, използването на различия към потока, т.е. Прилагане на схема (6.3) с В. \u003e 0 и (6.4) кога v 0.

Изрична схема с различия към потока. Ако избираме се приложим две предишни схеми, а именно, когато v\u003e\u003e 0 схема (6.3) и кога в.

ще бъде безразличен към посоката на скоростта и стабилната предоставена v / H. ^ 1. Не е трудно да се отбележи, че еднопосочната разлика в тази схема е взета за посрещане на потока (те казват, че схемата има имот mpanenopmuenoemu). Схеми) "Такъв вид се нарича анти-доказателство или схема с различия към потока.

В случай на уравнение с постоянна стойност на проблема с прехвърлянето на проблеми с дизайна на схемата за противопоставяне, няма. Избрана е съответната скорост на предаване на скоростта на прехвърляне, която се използва във всички възли на изчислената област. Условие (6.5) налага ограничение за съотношението на настройките на изчислителната мрежа. Обикновено, при дадена стъпка в пространството от отношението (6.5), се определя допустимо време стъпка t h / v.

Но ако скоростта на прехвърляне е функцията на координата (или времето), изборът на вида на сближаването трябва да се извърши въз основа на анализа на знака за скорост на прехвърляне, например, прилагане на условен оператор. В допълнение към готика, с променлива скорост на трансфер v \u003d v (x) Състоянието на стабилността трябва да бъде проверено за всички мрежи възли и от този набор от временни стъпки за избор на минимум: t min ,; h / VJ.

В работата на общността със съавтори (1952 г.) беше предложен интересен метод за изграждане на схема за противодействие, в който условно се използва условен оператор. Важно е да се отбележи, че това не е просто официално приемане, а подход, съдържащ дълбоки идеи, въз основа на който може да бъде сравнен и да се намери съответствие между контра-потока (асиметрични) и симетрични схеми за разлика. Това е близо до идеята за разделяне на операторите на различия схеми.

Представете си скоростта на прехвърляне под формата на сумата на нейните положителни и отрицателни компоненти:

Това ще позволи на оператора на прехвърляне под формата на сумата на двама оператори:

Сега всеки от операторите има запазен коефициент, който ви позволява да приложите приблизително приближение към него. Имайте предвид, че схемата за разлика към потока за сближаване на конвективни членове е широко използвана в различни задачи на компютърна хидродинамика. Следният запис на изчислителния алгоритъм често се прилага съгласно схема (6.6):

Ако сега сме в дясната част (6.7), ние ще проведем елементарни трансформации и ще подчертаем индекса на симетричната разлика, тази схема ще бъде въведена като

Може да се заключи, че схемата за разлика в неподвижаването (6.7) е еквивалентна на симетрична (6.2), която въвежда дисипативна добавка, която осигурява условна стабилност на схемата.

LAX схема. Тази схема е въведена в практиката на изчисленията на зората на развитието на динамиката на изчислителната газ. Ii, въпреки че позоваването на схемата от този тип е изпълнено в произведенията на различни автори, общественото мнение го свързва с името на американската математика на LAX, PD, публикувана в 50-те години поредица от произведения по различни аспекти на теорията на разликата схеми. Във връзка с уравнението за прехвърляне (6.1) тази схема има формата

Характеристиката на схемата е, че за да се осигури неговата стабилност в сближаването, производителят на времето на функцията на мрежата в възела (G, p) Заменени с половината от стойностите в съседните възли на същия временен слой. Тази операция осигурява централно сближаване на пространственото производно на условната стабилност на схемата за разлика (при извършване на състоянието на Куранта - Фридрихс - Леви v / H. ^ 1).

Въпреки че тук се извлича х. Представен с втората процедура за сближаване, схемата, дължаща се на специфичното представяне на графика на производителя, има значително разсейване. Това ясно се вижда от първото приближение на диференциране:

Коефициентът, който стои в дясната страна преди второто производно, може да се тълкува като коефициент на вискозитет на веригата. След прости трансформации тази величина може да бъде представена като

където през. \\ t но Обяви броя на камбаните. От диференциалното приближение могат да бъдат идентифицирани много свойства на тази схема:

- схемата става недостъпна от броя на камбаните, равни на един;
- схемата не е чувствителна към посоката на потока;

с номер на карантина, по-малка единица, вискозитетът на веригата има стабилизиращ ефект (положителен дифузен коефициент), с номер на каренето, по-големи единици, коефициентът на вискозитет на веригата става отрицателен, което води до обостряне на процеса на дифузия и в крайна сметка до загуба на изчислителна стабилност на схемата;

С намаляването на времето разсипващите свойства на веригата расте.

Сред изброените характеристики има тези, които значително намаляват достойнството на схемата. Въпреки това, простотата на алгоритъма често е основа за използването на първоначалните (отстраняването на грешки) стъпки за изграждане на програми за сетълмент. Освен това, безразсъдната схема, както ще видим по-нататък, е неразделна част от ефективни многоетапни алгоритми, в които се извършва предсрочна (прогнозната стъпка).

Схеми за втори ред. Разгледаните по-рано схеми за разлика бяха схемите за първи ред (при пространствена или временна променлива). При изграждането на схеми втори ред е необходимо да се осигури повишена процедура за сближаване като пространствена, газ и временна промяна. Обмислете няколко схеми от този тип.

Схема "Чезеххард". Схемата за втори ред както в пространствената променлива, така и времето на най-простия тип може да бъде представена като

Тази схема се нарича схема с надплъзване, но е известна наречена "Leapfrog" (Схема за скок-жаба). Схемата е трислойна и изгражда разтвор в две предишни времеви слоеве. Следователно, когато се използва, възникват проблеми с началото на изчисленията, които трябва да се извършват във всеки друг метод.

Схема на LAX - Vendroff. Една от най-известните схеми от този тип е централната схема, призована от името на нейните автори, лакс схемата - Vendroff. Тя класира определена ниша в теорията на различията схеми за хиперболични уравнения, много продуктивни идеи са свързани с него, но основното му предимство е, че той лесно се обобщава и прехвърля в случай на по-сложни проблеми - проблемите на поток от сгъстим газ, описан от системите на квазилинейни уравнения, където тя е един от основните изчислителни инструменти за дълго време.

Полезно е да се научат характеристиките на тази схема върху пример за прилагане към миграционното уравнение (6.1). Да изградим схема за втори ред, ние отблъскваме тейлловата формула:

което ще се разглежда заедно с първоначалното уравнение (6.1), това уравнение ще бъде използвано за замяна на временните производни в разлагането с пространствено. Това е възможно, защото първото производно, но времето се изразява директно от (6.1): du / dt \u003d -Vdu / dx. Втората дериватив също се намира и от следната верига на отношенията:

Имайте предвид, че това представяне е точна само при постоянна скорост на трансфер: v \u003d. Конст. В противен случай обаче е приблизително, ако скоростта на прехвърляне v (x) Достатъчно гладка функцияМоже да се използва за преобразуване на различия, които са локални в природата.

Заместването на експресията, получена като се използва първоначалното диференциално уравнение за производни в горната формула на Тейлър, получаваме съотношението

и замяна на деривати в пространството по окончателните съотношения втори ред, ние получаваме (след някои прости трансформации) разликата

наречена LAX Vendroff схема. Тази схема е въведена в практиката на изчисляване заедно с редица други в поредица от произведения, публикувани от LAX и VNDFFT през 1960-1964.

Двустепенна вариант на схемата на LAX - Vendroff. По-късно Richt-Mayer предложи оригиналната двуетажна версия на схемата, която е една от основните компютърни алгоритми за динамична динамика за дълго време поради удобство. Ние даваме тази опция.

На първото полусфаниране изчисляваме междинната стойност на решението по простата схема на първата поръчка. Тази междинна стойност ще одобрим най-горния индекс p +. 1/2 и ние ще имаме предвид, че се използва и половин време. Прилагайки тази схема, ние получаваме стойностите на разтвора в междинния временния слой: t \u003d t n + l / 2. В същото време отбелязваме, че поради използването на слабата схема, в която по-нисък слой Няма централен възел, разтворът се възпроизвежда върху междинния слой и в полугректорната система.

Ние даваме запис на разликите за два съседни интервали:

Второто полукълбо се състои в изчисляването на решението за новия временен слой пс + 1 въз основа на диаграмата с централни разлики както в пространството, така и във времето - схемата "кръст". За да се изчислят пространствените производни, се използват стойностите на разтвора на междинния слой в системата на седалките, самият разтвор се възстановява в същата система на точките, в които тя е определена в началото на времето стъпка . \\ T

Отношения (6.12) и (6.13) заедно определят двустранната схема на LAX VEIDROFF. На първия си етап се извършват условия за устойчивост. Този етап се нарича понякога предиктор. Вторият етап осигурява изпълнението на необходимата точност и се нарича коректор. Често се използват методи за прожекторите компютърна математикаВ същото време етапът на коректора може да включва итеративен блок.

Може лесно да се покаже, че с изключение на междинните стойности от (6.13) с помощта на отношения (6.12) пристигаме в основния - изборът на схемата. В смисъл на реда на сближаване и стабилност, и двата варианта са еквивалентни, но две е по-удобно по време на изчисление, така че обикновено е името на тази различна схема, която обикновено е свързана. Двуетачният вариант е особено удобен за използване при конструиране на схеми за разлика за по-сложни задачи, по-специално за системи на квазилинейни уравнения на нестационарната газова динамика.

Монотонност на решенията в схеми за втори ред. Последният член в дясната страна (6.11) има форма, различна от вида на разсипващите се членове на схемите от първи ред (6.8) и (6.10). В този случай той предоставя грешка, свързана с първата процедура за сближаване на деривата на времето. Така тази схема е схема за втори ред като време, газ и пространствена променлива. Първото му диференциално приближение вече няма да съдържа разсипващ елемент, но ще представи дисперсионен компонент с трето производно, което причинява фазовите грешки на схемата. Може да се очаква, че тази схема слабо ще намаже решението, но в региона на нейната остър промяна могат да се появят нефизически трептения, причинени от дисперсии.

Схема за разлика, която превежда решението с изглед на монотонната функция на надлъжната координатна координатна координат в монотонното решение монотонна разлика схема. Според това определение, схемата на LAX - VEIDROFF е не-монотонна.

С.к. Годунов е създаден монотонната теорема, която заема едно от централните места в теорията на различията. Според тази теорема, за линейно уравнение на формата (6.1) няма монотонични схеми с поръчка над първата.

Загубата на монотонност на схемата за разлика е характерна от една или друга степен за всички схеми на повишен ред на сближаване. За преодоляване на немононичното числово решение на схемите с висок ред, т.нар хибрид Различни схеми. Те принадлежат към класа на нелинейното, в тях, въз основа на анализа на поведението на решението, преминаване към монотонни графики на първата поръчка в зони, където фазовите грешки са особено силни и се връщат към схеми за висок ред в областите на гладка промяна в решението.

Схема на Mac-Feed. Това е и двупозиционна диаграма с две поръчки, безразлична към посоката на потока. По-удобно е да се демонстрира на консервативната форма на трансферното уравнение:

Схемата се състои от две последователни стъпки:

В първата фаза (6.15), предварителната стойност на решението шлака В възлите на мрежата въз основа на едностранна разлика схема. Според решението, намерено по този начин, предварителните стойности на потоците / G. Освен това, въз основа на едностранни схеми противоположна посока (6.16), разтворът се определя в следващия път.

Този алгоритъм позволява различни модификации, добре се адаптира към разтвор на двете квазилинейни системи и многоизмерни хиперболични задачи. През 70-те години тази схема е една от основните схеми за разлика на чуждестранни (главно американски) компютри, но понастоящем тя е свалена от по-модерни, базирани на хибридизационни идеи.

Обмислете сега най-простите схеми за разлика в уравнението на Hopf.

Обобщение в случай на Hopf уравнение на схемата P.LAX има формата

Тук очевидно се използва различен вид уравнение (3.6).

Упражнения. Разгледайте схемата на LAX - Vendroff за уравнението на Hopf. Нека първоначалните условия за проблема с Cauchy се доставят както следва: u (x, 0) \u003d ch - 2 (x). Тогава уравнението на Hopf има първия интеграл: . Проверете дали горната схема е консервативен. В него, на нивото на мрежата, автоматично се извършва същият закон за опазване.

Изграждане на подобна схема характерна форма. Записи на уравнението на Hopf (3.9). Ще бъде ли консервативна?

Схемата е условно стабилна при извършване на състоянието на камбаните (по-точно, обобщения на условията на Clariat)

Тук и по-долу, както преди в (3.7), F \u003d 0, 5U 2. Предполага се, че курсът е доста гладък, моментът на градиентската катастрофа все още не е дошъл, няма ударни вълни и други пропуски.

Куралста схема - Isakson - ориз. Обобщение на схемите от Цир върху квазилинеен случай (когато се използва различна форма. Записа на уравнения) очевидно.

Схемата е стабилна при извършване на състоянието на камбантите

Обобщение lAX схеми - Vendroff (Схема на предсказване - коректор). За квазилинейни уравнения (както и линейни уравнения с променливи коефициенти, нехомогенни уравнения и т.н.), схемата за лакс - Vendroff става по-сложна. За да го изградите, трябва да въведете така наречените полусферентни точки (точки с фракционни индекси). На първия етап (предиктор) стойностите в полуцерните точки се изчисляват съгласно горната схема - обобщаване на квазилинеен случай на славната схема:

на втория етап (коректор) използва чеххардската схема (трислойна схема на кръстосана форма, която не е включена в семейството (3.8)):

Схема на Лакса - Vendroff принадлежи към така наречените централна Схеми. Неговият шаблон е симетричен. На първия етап стойностите на функцията на мрежата се изчисляват при избора на шаблона върху междинния слой (TM - 1/2, XM - 1/2), (TN + 1/2, XM + 1 / 2), разтворът на горния слой се изчислява на втория етап. В точката (TN + 1, XM). Схемата е стабилна при извършване на състоянието на камбаните.

По същия начин се изграждат схеми на LAX - Vendroff за линейни нехомогенни уравнения.

Nezentral Mac - Kormak (предсказател - коректор).

Като горната схема на LAX - Vendroff, схемата MCCOMMACA се състои от два етапа. Помислете за изграждането на схема на MacCock за равномерно уравнение (3.7). Първият етап (предсказател) има формата

тези. Използва се схемата "Външен десен ъгъл". Вторият етап е коректорът:

По този начин изчислението на първия етап според схемата "десния ъгъл", на втория - "ляв ъгъл".

Друга схема Mac - Kormaka има изглед

Такива схеми за разлика се наричат nonentral.. Техните предимства включват липсата на индекси на полуплоцел, по-проста формулировка на граничните условия. В линейния случай на схемата Mac - Kormak съвпада с схемата за лакс - Vendroff. Схемите имат втора процедура за сближаване както на променливите, схемата е стабилна, когато се извърши сладкото състояние.

Русанова Схема (Централната схема на третия ред на точност).

За изграждането на схемата Русан се въвеждат не само полусамешени точки, но и два слоя междинни точки с частични индекси. Първият етап на схемата Русанов (преход към слой 1/3) има формата

вторият й етап е схемата "Чезеххард"

и третия етап

На първия етап тя се изчислява според славната схема, на второто - според схемата "Cross" ("Czechhard"). Последният срок на третия етап се въвежда, за да се гарантира стабилността на схемата (член, пропорционална разлика сближаване на 4-то производно).

Схемата е условно стабилна при извършване на състоянието на кабелите и условията.

Nonentral. схема за затопляне - Cutler - Lomax 3-ри ред за точност.

Първи етап:

Втора фаза:

Трети етап:

Последният термин се добавя към стабилността на схемата, която е условно стабилна при изпълнението на сладките условия.

Размер: px.

Стартиране на страница:

Препис.

2 Министерство на образованието и науката за Руската федерация Новосибирска държавна университетска механика и математически факултет по математическо моделиране G. S. Khakimzyanov, S. G. Черни методи на изчисления Част 4. Числени методи за решаване на проблеми за уравнения на хиперболичния тип Novosibirsk 014

3 BBK B.193 UDC x 16 брезерв. Физически мат. Науки А. С. Лебедев издание, изготвено като част от изпълнението на програмата за развитие на държавната образователна институция на по-високите професионално образование "Новосибирски държавен университет" от години. X 16 Khakimzyanov, G.S. Методи на изчисления: при 4 часа.: Проучвания. надбавка / G. S. Khatzyzyanov, S. G. Black; Novosib. Държава un-t. Novosibirsk: RIC NSU, 014. Част 4: Числени методи за решаване на проблеми за уравнения на хиперболични тип. 07 стр. ISBN урок отговаря на програмата на лекции "Методи на изчисления", което се чете в Факултета по математика и математика на НСУ. В четвъртата си част основите на цифровите методи за решаване на проблемите на първоначалната стойност се уреждат за хиперболични уравнения, задачите са формулирани за семинари, проби от тестова работа и задачи за практически упражнения. Ръководството е предназначено за студенти и учители по математически специалитети по-високо образователни институции. ISBN BBK B.193 UDC C Novosibirsk Държавен университет, 014 C G. S. Khatzynanov, S. G. Black, 014

4 Съдържание Предговор схеми за линейно трансфер уравнение Собственост на разликата схеми Изграждане на монотонни схеми въз основа на диференциалното сближаване на схемата за нелинейно прехвърляне на схемата на адаптивна мрежа за схемите за разлика в уравнението за прехвърляне Схеми за хиперболична система от уравнения с постоянни схеми за разлика на коефициентите за системи за нелинейни плитки уравнения на водните уравнения за разлика с схеми за газови динамика Изследване на тема "Изследване на различия схеми за задачи за трансферното уравнение" лабораторна работа Отговори, инструкции, решения Библиографски списък

5 Предговорът в четвъртата част на ръководството определя основите на цифровите методи за решаване на проблемите на началната граница за хиперболични уравнения, задачите са формулирани по тази тема за семинари, задачите се дават за практически упражнения на компютър и Пример. тестова работа. Теоретичните въпроси са представени достатъчно късо. За по-задълбочено проучване на разглежданите въпроси препоръчваме да се свържете с учебника S. K. Godunova и V. S. Ryabnyk, както и към книгите на Г. И. Марчак, А. А. Самарски, А. А. Самараски и А. В. Гулина, Аа Самарски и Ис Николаева, Бл Коледа и НН Yanenko и образователни ползи, публикувани в НСУ. Лекциите обсъждат теоретични въпроси, свързани с изследването само на определени схеми за разлика. Като примери, схемите за уравнение на линейното прехвърляне, нелинейното скаларно уравнение на първия ред, уравнението на втория ред, описващ колебанията на низ, линейната система на уравненията на първата поръчка, системата на нелинейна плитка вода Разглеждат се уравнения и уравнения на газовата динамика. Всеки параграф е придружен от задачи, които трябва да бъдат решени в семинари. Много задачи са предоставени с инструкции и подробни решения. Допълнителни материали За семинарни сесии могат да бъдат намерени в задачите. Наръчникът предоставя примери за задачи за практически занятия в компютърни класове, като се се обсъждат препоръки за изпълнение на задачи, се обсъждат въпроси, свързани с разработването на програми и представителство на резултатите. Допълнителни задачи Можете да извадите методически наръчници . Четвъртата част от обезщетението има независим преходно номериране на параграфи и чертежи и независим библиографски списък. Вътре в параграфите за формули и изявления (лемида и теореми) е използван номерирането с две индекси, например 4. Препратки към формули, леми, теореми от предишните три части на ръководството са дадени чрез добавяне на номерата към техния номер 1 или 3. например, вместо "съгласно формулата (4.) от полза, пишем" съгласно формула (1.4.) ", вместо" теорема 8.3 от ръководството "от теорема.8.3". Авторите изразяват дълбоката благодарност към рецензент Александър Степанович Лебедев за ценни съвети и критични коментарикоито допринесоха за подобряването на това ръководител. 4

6 1. Схеми за линейно трансферно уравнение 1.1. Информация от теорията на хиперболичните системи. Разгледайте проблема на Cauchy за линейна система от диференциални уравнения на първата поръчка u t + a u \u003d f (x, t),< x <, 0 < t T, x u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.1) Здесь u = (u 1,..., u m) T m-мерная вектор-функция переменных x, t, A вещественная m m матрица с элементами a i (x, t). Определение. Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точке этой области собственные значения λ 1, λ,..., λ m матрицы A вещественны и различны. Определение. Интегральная кривая x = x k (t) обыкновенного дифференциального уравнения dx dt = λ k(x, t) (1.) называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1). Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λ k. Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t > 0) в посока на намаляване на времето t, пресечете осите на OX в различни точки. Поръчайте собствени стойности на хиперболичната система (1.1) (λ 1 (x, t)< λ (x, t) <... < λ m (x, t)) и через обозначим отрезок оси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первой характеристиками. Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системы уравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = x m (t), x = x 1 (t) и отрезком . Область зависимости точки (x, t) изображена на рис. 1, а. Решение u системы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u 0 (x) на 5

7 сегмент. Следователно, ако първоначалните данни извън сегмента се променят на други, тогава решението в точката (x, t) няма да се промени. Определение. Площта на ефекта на точката (x 0, 0) е набор от точки (x, t) на горната половина-равнина, ограничена от крайните характеристики на системата (1.1), простираща (x 0 , 0), т.е. характеристиките, съответстващи на техните собствени стойности λ и λ m. Областта на влияние на точката (x 0, 0) е показана на фиг. 1, b. Ако първоначалните данни се променят само в точка (x 0, 0), тогава решението на хиперболичната система ще се промени само в точки (x, t), принадлежащи към областта на ефекта от точката (x 0, 0) \\ t ). Да предположим сега, че ние сме вместо проблема с Cauchy (1.1), трябва да решите първоначалната граница на сегмента. След това, в допълнение към първоначалните условия, е необходимо да се определят граничните условия. Броят на граничните условия на всяка от границите се определя от количеството на входящите вътрешни характеристики. Например, ако включва m 0 характеристики чрез лявата граница x \u003d 0, т.е. m 0 от eigenvalues \u200b\u200bλ k са положителни при x \u003d 0, след това m 0 от граничните условия трябва да бъдат зададени на тази граница. Ако на границата X \u003d L, броят на негативните собственици е М аз и следователно точно мл Характеристики влизат в зоната през дясната граница, след това на тази граница е необходимо да се определят m l гранични условия. Тъй като EigenValues \u200b\u200bзависят навреме, броят на граничните условия на всяка от границите може да варира с времето. t dx dt \u003d m λ m (x, t) dx dt \u003d λ 1 t dx dt \u003d λ 1 dx \u003d m λ x l a x R х (х 0,0) В х Фиг. 1. характеристики на системата на уравнения (1.1), ограничаваща зависимостта на зависимостта на точката (x, t) (а) и ефектите на точката (x 0, 0) (b) 6

8 Сега смятаме, че хомогенна хиперболична система на уравнения (1.1) с постоянни коефициенти. За постоянна матрица А, неговите вектори и собствени кораби са постоянни, т.е. не зависи от x и t. Нека л ще бъда вляво от матрицата на матрицата a, съответстваща на собствена стойност λ k: l K a \u003d λ kl k (k \u003d 1, ..., m). Умножете системата (1.1) вляво до вектор lk: или където lkut + l ka ux \u003d 0. Това уравнение може да бъде написано в следната форма: lkut + λ klkuxskt + λ skkx \u003d 0, \u003d 0, (1.3) sk \u003d Lku, k \u003d 1, ... m. (1.4) Разтворът SK (X, T) на уравнение (1.3) се прехвърля по протежение на характеристиките непроменени и следователно се изчислява при Т\u003e 0 чрез начална стойност на SK в точката на пресичане на K-OH характеристика с вол AXIS: SK (x, t) \u003d sk (x λ kt, 0). (1.5) Функциите S се наричат \u200b\u200bRiemann Invarns. 1 .. линеен модел на плитка вода. Най-простият математически модел, в който може да се опише движението на течността с повърхностни вълни, е линеен модел на плитка вода: η t + u 0 \u003d 0, (1.6) xut + g η \u003d 0, (1.7) x η ( x, 0) \u003d η 0 (x), u (x, 0) \u003d u 0 (x), (1.8), където η (x, t) повишаване на повърхността на течността върху неверното ниво (виж фиг.) , u (x, t) скорост на течността, η 0 (x) и u 0 (x) височина и скорост при първоначалния момент на времето t \u003d 0, 0 \u003d const дълбочина на басейна, g \u003d const ускорение на свободното падане . 7.

9 Системата на уравнения (1.6), (1.7) може да бъде написана под формата на хомогенна система (1.1) с матрица А и вектор на разтвор u: a \u003d (0 0 g 0) (η, u \u003d u ). (1.9) Matrix A има две различни валидни Eigenvalues \u200b\u200bλ 1 \u003d C 0, λ \u003d C0 \u003d G 0, (1.10) следователно, системата на уравнения (1.6), (1.7) има хиперболичен тип. Уравненията на характеристиките (1.) приемат този тип: DX DT \u003d C 0, DX DT \u003d C 0, (1.11) следователно, характеристиките са прави линии. Характеристиките, преминаващи през точката (x, t), t\u003e 0, се пресичат от ос OX в точките X L и X R, където X L \u003d X C 0 T, XR \u003d X + C 0 T. (1.1) ляво ядещи вектори на матрицата А, съответстваща на собствените им стойности (1.10), се задават чрез формули L 1 \u003d (C 0, 0), L \u003d (C 0, 0). (1.13) Y 0 η y \u003d (x, t) lxy \u003d - 0 ориз .. обозначения в проблема за разпространение и трансформация на вълни в басейна с вертикални стени съгласно (1.4) връзката между Riemann Invarears R \u003d S 1 , S \u003d s и първоначалните зависими променливи са дадени от формулите r \u003d c 0 η 0 u, s \u003d c 0 η + 0 u, (1.14) 8

10 от където η \u003d r + sc 0, u \u003d sr 0. (1.15) от формула (1.5), като се вземат предвид уравнения (1.14), получаваме формули за решаване на проблема с Cauchy в инварианти R (x, t) \u003d r (x λ 1 t, 0) \u003d r (x + c 0 t, 0) \u003d c 0 η 0 (xR) 0 u 0 (xR), (1.16) s (x, t) \u003d s (x λ t, \\ t 0) \u003d s (xc 0 t, 0) \u003d c 0 η 0 (xL) + 0 u 0 (xL). (1.17) и накрая, използвайки отношения (1.15), получаваме точно решение на проблема с Cauchy (1.6), (1.7), (1.8) η (x, t) \u003d η 0 (xL) + η 0 (xR) + 0 U0 (XL) U 0 (XR), C 0 U (x, t) \u003d U 0 (XL) + U 0 (XR) + C 0 η0 (XL) η 0 (xR). 0 (1.18) При решаването на въпросната първоначална гранична задача е необходимо да се постави едно условие на всеки от краищата на сегмента. Ние, например, ще приемем, че стените на басейна са непроницаеми за течността, което означава равенството нула на скоростта на течността върху тези стени: u (0, t) \u003d u (l, t) \u003d 0. (1.19) Нека дадем математическа формулировка на задачата в крайната форма върху движението на течността с повърхностни вълни в ограничен басейн: да се намери непрекъснато в затворен район D \u003d разтвор η (x, t), u (x , t) от следващия първоначален граничен проблем η t + u 0 x \u003d 0, UT + g η \u003d 0, 0< x < l, 0 < t T, x u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 t T, η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.0) 1.3. Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана, 9

11 В същото време уравненията за инварианти на Риман не зависят един от друг и всеки от тях има формата u t + au x \u003d 0, a \u003d const. (1.1) Това уравнение е най-простото хиперболично уравнение и се нарича линейно предаване уравнение. В това уравнение могат да бъдат проучени свойствата на схемите за разлика, използвани за решаване на хиперболични системи на уравнения. Помислете за линейно трансферно уравнение (1.1) задачата на Cauchy U T + AU X \u003d 0,< x <, 0 < t T, u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.) Характеристика x = x(t) уравнения (1.1) определяется уравнением dx dt = a, (1.3) т. е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точное решение задачи Коши определяется по формуле u(x, t) = u 0 (x at). (1.4) График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a > 0 и обратно). За трансферното уравнение с постоянен коефициент a, лесно е да се напише точно решение за първоначалната обвързана задача. Нека, например, a \u003d const\u003e 0. След това следващата стартираща задача U t + au x \u003d 0, 0 ще бъде правилно< x l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.5) Легко проверить, что если u 0 (x) и µ 0 (t) дифференцируемые функции, то решение задачи (1.5) определяется формулой u(x, t) = { u0 (x at) при t x/a, µ 0 (t x/a) при t x/a. (1.6) 1.4. Явная противопоточная схема. Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса. 10

12 Да започнем с изрична верига с разликата срещу потока (схема против потока) за първоначалната гранична стойност проблем u t + au x \u003d f (x, t), 0< x l, 0 < t T, a = const > 0, u (0, t) \u003d μ 0 (t), 0 t t, u (x, 0) \u003d u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) \u003d μ 0 (0). (1.7) Ние продължаваме да разглеждаме само еднакви мрежи, които покриват затворената област D \u003d. Ние изграждаме следната разлика схема un + a un single 1 \u003d fn, \u003d 1, ..., n, un 0 \u003d μ n 0, n \u003d 0, ..., m, u 0 \u003d u 0 (x), \u003d 0, ..., N, (1.8) сближаване на задачата (1.7) с поръчка O (+). Както и преди, тази схема може да бъде написана в формуляра за оператора L u \u003d f. Името се дължи на факта, че ако разгледаме уравнението на трансфер като модел уравнение за система от уравнения, които описват потока на течност или газ, и идентифициране на коефициента А с скорост на течност, т.е. при положителна скорост, т.е. При\u003e 0, в схемата, левият различен деривати, използващ възел х 1, разположен срещу "поток" (разположен нагоре по течението). Ние въвеждаме единни стандарти в пространството на функциите на мрежата U и пространството на десните части F: където ff (\u003d max uu max nun c \u003d max 0 n un, \u003d max n unc c, (1.9)) μn 0, (u 0) c, max fnn c, (1.30) fn c \u003d max 1 n fn единични стандарти на слоя t \u003d t n. С помощта на максималния принцип можете да докажете следното твърдение. Теорема 1.1. Извършване на състоянието А 1 (1.31) 11

13 е достатъчна за стабилността на противоположната схема (1.8) в еднаква норма. D o k a и t e l s t в около. Нека X е възел на мрежата с номер 1 N. Пренаписвам разликата уравнение на веригата в този възел \u003d (1 R) U N + RU N 1 + F N, където R \u003d A /. От състоянието на теоремата следва, че 1 R 0, следователно следната оценка (1 R) UN + RUN 1 + FN (1R) UN C + RUN C + FN C UN C + MAX MFM C е справедлива (1 r) C + MFM C. В граничния възел имаме следния рейтинг 0 \u003d μ n + 1 0 max m μm 0. Следователно, максимумът на лявата част на тези неравенства не може да надвишава максималния от два номера в Правилните части на тези неравенства: (c max max m) μm 0, un c + max fmm c, и това е максималният принцип. Получено, че, предоставено (1.31), схемата (1.8) отговаря на максималния принцип. Следователно (виж теорема 3.1.1) ще бъде резистентен в еднаква норма в съответствие с първоначалните данни, \\ t регионални условия И от дясната страна. Същото състояние (1.31) е необходимо условие за стабилността на схемата (1.8), която следва от спектралния знак на стабилността на NEIMAN. Доказваме го. Вземете хармоничното U n \u003d λ n e i iφ (1.3) и го заменете в едноогенно уравнение на разликата. В резултат на това, за преходния фактор, ние получаваме уравнението следователно, λ \u003d 1 R (1 e iφ) \u003d 1 R (1 cos φ) IR sin φ. λ \u003d 1 R (1 cos φ) + r (1 cos φ) + r sin φ \u003d 1

14 \u003d 1 R (1 cos φ) [R (1 cos φ) R (1 + cos φ)] \u003d 1 R (1 cos φ) (1 R). Да предположим в стъпките на схемата (1.8) и са свързани със закона на лимитния преход R \u003d A \u003d Const. (1.33) след това eigenvalues \u200b\u200bλ (φ) не зависят, така че необходимото условие за стабилност на NEIMAN се намалява до изискването или λ (φ) 1, φ R. (1.34) R (1 COS φ) (1 R) 0, φ R. (1.35) Очевидно е, че това неравенство е еквивалентно при\u003e 0 условие (1.31). Така, условие (1.31) при\u003e 0 е необходимо и достатъчно условие за стабилността на противоположната схема в еднаква норма. Обърнете внимание, че когато a< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см. задачу 1.1). Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задача u t + au x = f(x, t), 0 x < l, 0 < t T, a = const < 0, u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (l) = µ l (l). (1.36) Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схему u n + a un +1 un = f n, = 0,..., N 1, u n N = µn l, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.37) которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.36) с порядком O(+). Используя принцип максимума и спектральный признак Неймана, можно показать, что схема (1.37) при a < 0 будет устойчива при выполнении условия a 1. С другой стороны, при a > 0 Схема (1.37) ще бъде абсолютно нестабилна (вж. Задача 1.). 13.

15 Така сме изградили две условно стабилни изрични схеми с разликите срещу потока към разликата за трансферното уравнение с постоянен коефициент на Aunun + един единичен 1 + AN +1 UNI, те са резистентни при извършване на неравенство \u003d Fn , ако a\u003e 0, \u003d fn, ако a.< 0. (1.38) a 1. (1.39) Во внутренних узлах сетки противопоточную схему (1.38) можно записать в виде одного уравнения u n + a + a u n un 1 + a a u n +1 un = f n. (1.40) Аналогично выглядит явная противопоточная схема и в случае знакопеременного коэффициента a(x, t). Например, если на границах отрезка выполнены условия a(0, t) > 0, a (l, t)< 0, 0 t T, то получим такую противопоточную схему где u n + a + un un 1 + a un +1 un = f n, = 1,..., N 1, u n 0 = µ n 0, u n N = µ n l, n = 0,..., M, (1.41) u 0 = u 0 (x), = 0,..., N, a + = an + a n, a = an a n, (1.4) которая аппроксимирует с порядком O(+) начально-краевую задачу u t + a(x, t)u x = f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.43) 14

16 С помощта на максималния принцип е възможно да се докаже (вж. Проблем 1.10), което е достатъчно за съпротивлението на противоположната схема (1.41) с променлив коефициент a (x, t), условието максимум a (x , T) 1. (1.44) x, t 1.5. LAX схема. Освен това, за простота, ние ще разгледаме първоначалния проблем (1.7) с хомогенна ITH + AU X \u003d 0 трансферното уравнение. (1.45) в схемата за слаба, различното уравнение, сближаващото се прехвърляне (1.45) е написано SO 0, 5 (UN +1 +) UN 1 + A UN +1 UN 1 \u003d 0, \u003d 1, ..., n 1. (1.46) за локалната апроксимационна грешка, ние имаме израз to n, \u003d u TT U XX + ..., следователно, при \u003d O () безразнната схема няма да приблизи трансферното уравнение и със закона на граничния преход R \u003d A \u003d Const (1.47) ще бъде приблизително с поръчката O (+ ). По този начин приближението се извършва само в определена връзка между стъпките и, т.е., слабата схема принадлежи към класа на условно приближаващите се схеми. За мултипликатор на преход получаваме формулата λ (φ) \u003d cos φ IR SIN φ. Следователно, със законодателството на пределния преход (1.47), изискваното състояние на стабилността на схемата за слабост е да извърши неравенството R1, т.е., 1. (1.48) 15

17 1.6. Схема на Лакса Vendroff. Разликата уравнения на тази схема изглежда като U + 1/0, 5 (UN +1 +) UN + A UN +1 UN \u003d 0, / UN + AU + 1 / (1.49) U 1 / \u003d 0. Схемата на LAX Vendroff се отнася до семейството на двуетажни схеми. В тази схема, първо в полу-въздушни възли X + 1 / \u003d X + / според LAX схема, се изчисляват допълнителните стойности U + 1 /, свързани с времето t N + /, се изчисляват. След това, във втората стъпка, стойностите на желаната функция на мрежата бяха изчислени на (n + 1) -M слой във времето. За проучване на сближаването и стабилността на двустепенни схеми, изключение се предопределя от схемата на спомагателните стойности U. В резултат на изключение, ние получаваме схемата на LAX Vendroff U N + A UN +1 UN 1 \u003d UN +1 UN + UN 1, (1.50), която, как да се провери, доближи за трансферното уравнение (1.45 ) с втори ред на софтуера и. За преходния фактор имаме такъв израз λ \u003d 1 IR SIN φ R SIN φ. Следователно, необходимото условие за стабилност λ 1 ще бъде еквивалентно на прилагането на неравенството (1 r sin φ) + r sin φ 1, или 1 4R sin φ + 4r4 sin 4 φ + 4r sin φ (1 sin φ) 1 , Последното неравенство е еквивалентно на условието R 1. Така необходимото условие за стабилността на схемата за лакс Vendroff съвпада с предпоставка (1.48) на стабилността на разсейването и диспергирането на диаграмата на LAKS. Заедно с трансферното уравнение U T + AU X \u003d 0, A \u003d Const (1.51) 16

18 Помислете за още две уравнения u t + au x \u003d μu xx, μ \u003d const\u003e 0, (1.5) u t + au х + νu xxx \u003d 0, ν \u003d const. (1.53) Нека първоначалната функция в проблема с Cauchy за тези уравнения изглежда под формата на серия от Фурие U (x, 0) \u003d m b m e imx. (1.54) Ще търсим разтвора на всяко от тези уравнения чрез разделяне на променливите U (x, t) \u003d bm λ te imx \u003d bmum (x, t), (1.55) mm, където um (x, t) хармонично с Номер на вълната (x, t) \u003d λ te imx, (1.56) λ подлежи на дефиниция. Действителната и въображаема част от хармониците са М-вълни, дължината на която е свързана с номера на вълната на формулата L \u003d π m. (1.57) Тъй като уравненията (1.51) (1.53) са линейни, тогава поведението на всяка от хармоните може да се счита за независимо. Заместване на хармоничното с вълново число м с уравнението за прехвърляне (1.51), получаваме или LN (λ) + AIM \u003d 0 λ \u003d E AIM. Следователно, ако хармоничният (1.56) е разтвор на уравнението за прехвърляне, той има формата, показваща ξ \u003d x при, получаваме u m (x, t) \u003d e im (x в). (1.58) u m (x, t) \u003d e imξ \u003d u m (ξ, 0). (1.59) 17

19 Така, по всяко време t\u003e 0, хармоничният U m се получава чрез промяна на първоначалната хармоника на AT. Следователно, уравнението на трансфер описва движението на М-вълни, което, независимо от тяхната дължина, се разпространява с постоянна скорост V m \u003d А, без да изкривява неговата форма. Лесно е да се провери дали хармонията (1.56) ще бъде решението на второто уравнение (1.5), ако LN (λ) + AIM \u003d μm или λ \u003d e Aim e μm, т.е., хармоници в този случай има формата (x, t) \u003d e μmt e im (x в). Ето защо, за всички хармоници има затихване на амплитудата на вълните (разсейване на вълната). Тъй като m \u003d π / l, тогава късите вълни закрепват по-бързо от дълго. Скоростта v m размножаването на вълните не зависи от дължината на вълната и все още е. За разсейване на вълните, членът на μu XX е отговорен с второто производно на разтвора. Накрая, хармоничното заместване на уравнението (1.53) дава ln (λ) + AIM + ν (im) 3 \u003d 0 или където получаваме това λ \u003d e im (a νm), um (x, t) \u003d e im (x (a νm) t). По този начин третото уравнение описва движението на вълната, без да променя амплитудата си (без разсейване). Но скоростта на нейното разпространение зависи от дължината на вълната V m \u003d a νm. (1.60) От тази формула може да се види, че вълните с различна дължина се разпространяват при различни скорости (разпръснати вълни). По-значителните промени са степента на размножаване на смущенията в късо вълни (големи m). Дисперсията на вълните се отговаря от член на νu ххх с третото производно на решението. осемнадесет

20 Като се има предвид поведението на индивидуалните хармоници, сега можем да предскажеме качественото поведение на решението (1.55) на предизвикателствата на Cauchy за тези уравнения. Нека например началната функция u (x, 0) има типа стъпки (1, x 0, u (x, 0) \u003d (1.61) 0, x\u003e 0 и a\u003e 0. разлагане на такава функция В серия Фурие (1.54) тя ще съдържа целия набор от хармоници. Решението на проблема с Cauchy за уравнението на трансфер (1.51) е представено в този формуляр U (x, t) \u003d mbme im (x AT) \u003d mbme imξ \u003d u (ξ, 0), (1.6), т.е. проблемът на задачата ще се движи със скорост на първоначалния профил. Решение U (x, t) \u003d mbme μmt e im (x at) \u003d mbme μmt e imξ ( 1.63) Cauchy задачи за уравнение (1.5) с разсипващ елемент, в който късите вълни са силно шибани, тя ще има форма на размазана стъпка. Накрая, разтвор u (x, t) \u003d mbme im (x (x (A inm) t ) (1.64) на Cauchy задачите за уравнение (1.53), при които вълни с различна дължина се движат с различни скорости, има немонотоничен, осцилиращ характер. Съгласно формулата (1.60), при ν\u003e 0, вълните с малка дължина ще има скоростта на m.nachy от вълните с голяма дължина, и с ν< 0 наоборот. Поэтому осцилляции будут отставать от основного решения (описываемого первыми гармониками) при ν > 0 и съответно се движат напред, когато ν< Дифференциальное приближение разностной схемы. Вернемся к численному решению задачи Коши для уравнения переноса (1.51). В качестве начального профиля возьмем ступеньку { 1, x x0, u(x, 0) = (1.65) 0, x > x 0 19.

21 И ще изчислим на изрична анти-актуална схема un + a единична 1 \u003d 0, a \u003d const\u003e 0. (1.66) в резултат на това получаваме разтвор под формата на намазан етап (фиг. 3) , т.е. решението ще бъде качествено същото като и решението на уравнението (1.5) с разсипващ елемент. Какъв е проблема? В края на краищата, ние искахме да разрешим уравнението на трансфер, в което няма разграничителен елемент. Факт е, че търсим числено решение не е уравнението на трансфер, а решението на разликата. Така, свойствата на разтворите на приблизителното диференциално уравнение и приближението на уравнението на разликата не могат да съвпадат. Как, в този случай, предскажете свойствата на уравнението на разликата? Y х 30 фиг. 3. графики на точното решение (бар-линии) и цифрови разтвори (плътни линии), получени като се използва верига за противодействие (1.66) понякога t \u003d 1 (1); t \u003d 8 (); T \u003d 15 (3). А \u003d 1; x 0 \u003d 10; A / \u003d 0, 5 Това може да се направи с помощта на метода на приближение на диференциране, с което сега ще съберем. Същността на този метод е да се замени първоначалното уравнение на разликата със специално диференциално уравнение, което има всички свойства на уравнението на изследваната разлика. Ето защо, вместо да изучава уравнението за разлика, тя се разследва от това диференциално уравнение, което в много случаи се прави много по-лесно. Получаването на диференциално уравнение, съответстващо на уравнението на разликата, започва от записа на това различно уравнение под формата на така наречената теоретична разлика схема, в която операторите на разликата действат в същото функционално пространство като приблизителните диференциални оператори. Например, уравнението на разликата (1.66) е написано под формата на следната теоретична разлика 0

22 схеми u (x, t +) u (x, t) u (x, t) u (x, t) + a \u003d 0. (1.67) решението на такава схема е функцията u (x, t) на непрекъснати аргументи X и T, докато решението на уравнението (1.66) е функция на мрежата U, определена само в решетките. Нека една доста гладка функция U (x, t) е решение на схемата за теоретична разлика (1.67). Ние го заменяме в тази схема и express u (x, t +) и u (x, t) чрез стойностите на функцията и нейните производни в точката (x, t), използвайки формулата Taylor. В резултат на това получаваме различно уравнение, еквивалентно на разликата схема (1.67) U T + AU X + U TT + 6 U TTT A U XX + A 6 U XXX + ... \u003d 0. (1.68) Определение. Диференциалното уравнение на безкрайния ред (1.68), получен след разлагане от Taylor формулата на разтвора u (x, t) на схемата за теоретична разлика (1.67), се нарича диференциално представяне на разликата схема (1.66). Някои свойства на схемата за разлика вече могат да бъдат разследвани от това диференциално представяне, но за нашите цели ще бъде по-удобно да се използва друга форма на диференциално представяне, произтичащо от изключение от (1.68) всички времена на деривати, с изключение на тези, които влизат в приблизителното уравнение (1.51),. Д. С изключение на u t. Нека покажем например как да изключим дериватите във времето в член на поръчката и. За да направите това, пренапишете уравнение (1.68), като се вземат предвид компонентите на O () и O () UT + AU X + U TT + 6 U TTT AU XX + A 6 U XXX \u003d O () (1.69) И ние ще намерим използването на полученото уравнение UT дериват: UT \u003d AU XU TT 6 U TTT + AU XX A 6 U XXX + O (1.70) Този заместител на деривати към условията на уравненията (1.69), съдържащи производни (UT) t и (UT) TT. Като се има предвид редът за малкия коефициенти на втория и третия деривати във времето, ние получаваме това в (u t) t 1

23 е достатъчно да се замени производно (1.70), изчислено с точността на O (+): UT \u003d AU XU TT + AU XX + O (+), (1.71) и в (UT) TT с точност на O ( +): UT \u003d AU X + O (+). (1.7) В резултат на такова заместване уравнението (1.69) ще приеме следната форма: UT + AU X + (AU XU TT + A) U XX + T6 (AU X) TT \u003d \u003d AU XX A 6 U XXX + O (), или UT + AU XAU TX 4 U TTT + A 4 U TXX A 6 U TTX \u003d AU XX A 6 U XXX + O (). (1.73) След като след следващите замествания към уравнение (1.69) се предприемат допълнителни действия с уравнение (1.73). Сега е необходимо да се замени дериват на UT, определено от уравнение (1.73), в четири термина на същото уравнение: UT + AU XA (AU X + AU TX + AU XX) x 4 (AU X) TT + + A 4 (AU X) XX A 6 (AU X) TX \u003d AU XX A 6 U XXX + O (). След като донесете харесва, получаваме UT + AU XA уравнение 1 U TXX + A 4 U TTX \u003d A (A) (1R) U XX + AU XXX + O (), 6 (1.74), в което, за разлика от това (1.69) Няма деривати за втори път. Останалите в (1.74) смесени деривати u txx и u ttx изчисляват въз основа на равенство (1.7): u txx \u003d au xxx + 0 (+), u ttx \u003d a u xxx + 0 (+). (1.75)

24 Следователно диференциалното представяне (1.74) ще вземе формата U T + AU X \u003d A (1R) U XX A 6 (R3R + 1) U XXX + O (). (1.76) По този начин се отървахме от времеви деривати в градуси и. Но дериватите на Т отдавна са останали с по-стари степени в дясната част O (). Ако продължите описаната процедура, след това в изгледа (1.68) можете да премахнете дериватите от време на произволно висок ред. В резултат на това получаваме диференциално представяне на схемата във формата или UT + AU X \u003d A (1R) U XX + A 6 (1 R) (R1) U XXX + ... (1.77) UT + Au x \u003d k \u003d ckkux k. (1.78) Определение. Уравнението на безкрайния ред (1.78) се нарича форма на диференциално представяне на различната схема. Нека разликата схемата има поръчките за сближаване γ 1 и γ софтуер и съответно. Определение. Диференциалното уравнение, получено от P-формите на диференциалното представяне чрез изхвърляне на членовете на поръчката O (γ1 + 1, γ + 1) и е по-високо, наречено първото приближение на диференциране (стр.) От разликата схемата. За противоположна схема (1.66) стр. P. Това е втори ред диференциално уравнение UT + AU X \u003d μu XX, μ \u003d a (1R), (1.79), което, както виждаме, съвпада с уравнението (1.5) с разсипващ елемент. По този начин, при R1, нашата схема имплицитно въвежда вискозитет (разсейване), който се нарича сближаване или верижен вискозитет в приблизително предаване на предаване. Наличието на вискозитет на приближение и води до разреждане на първоначалната стъпка. Определение. Имотът на схемата за разлика, причинена от присъствието в неговите параграфи. N. Деривати от равномерна поръчка се нарича цифрово разсейване. 3.

25 P-форма на диференциалното представяне на разликата схемата на LAX Vendroff има външния вид на UT + AU X \u003d A 6 (1R) U XXX A3 8 R (1R) U XXXX + ... и p. D , UT + AU X + νu xxx \u003d 0, ν \u003d a 6 (1R) (1.80) съвпада с уравнение (1.53) с дисперсионен елемент. Следователно, при R1, схемата на Vendroff схема, имплицитно въвежда дисперсия в приблизителното предаване, така че разтворът на разликата може да осцилира (фиг. 4). y фиг. 4. Графики на точни разтвор (бар-линии) и числени разтвори (плътни линии), получени при използване на схемата на LAX Vendroff понякога t \u003d 1 (1); t \u003d 8 (); T \u003d 15 (3). А \u003d 1; x 0 \u003d 10; A / \u003d 0, 5 дефиниция. Имотът на разликата схема, причинен от присъствието в неговия стр. D. Деривати на нечетен ред се нарича цифрова дисперсия. Нека обобщмем мотиката си. За задачи с плавно променящо се решение, приносът, към който е малък, точността на схемата за лакс Vendroff е по-висока от точността на противоположната схема. Ако решаваме проблема, в който решението има рязко променящ се профил на Monoton, използването на схемата за борба с транзакцията от първа поръчка ще даде монотонен некомпатичен профил, но силно изгладен. Това е резултат от действието на цифровото разсейване. Схемата на LAX Vendroff, която има цифрова дисперсия, може да дава немоционални профили на числен разтвор в околностите на прекъсване или рязко смяна на разтвори, изкривени от нефизични трептения. x 4.

26 Z и D и Н и 1.1. Покажете, че когато a< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива. 1.. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явная схема для уравнения (1.1) u n + a un +1 un = 0, n = 0,..., M 1, = 0, ±1, ±,... (1.81) при a > 0 Абсолютно нестабилна с помощта на спектрален метод Neimane за извличане на необходимото условие за съпротивлението на трислойната схема "Leap-Frog" (схема с обшивка, схема "Czechhard") за уравнение (1.1) ООН 1 + ООН +1 un \u003d 0, n \u003d 1, ..., m 1, \u003d 0, ± 1, ± ..., (1.8) Ако правото на преходното право е посочено във формата (1.33) определя процедурата за \\ t сближаване на изрична верига с централна разлика ООН + A un +1 UN 1 \u003d 0, (1.83), конструирана за уравнението на трансфер (1.1). Използване на NEIMAN спектралния метод за изследване на стабилността на тази схема, ако правото на преходния преход е посочено като a \u003d const. (1.84) 1.5. Определяне на процедурата за сближаване на Majaran схема U N + A UN +1 UN 1 \u003d UN +1 UN + UN 1, (1.85), конструирана за уравнението на трансфер (1.1). Използването на NEIMAN спектрален метод, за да се проучи стабилността на тази схема, ако правото на преходния преход е посочено във формата (1.84). пет

27 1.6. Определете процедурата за сближаване на картата на McForms U UN + A UN +1 UN \u003d 0, 0, 5 (U +) UN / + A U 1 \u003d 0, (1.86), конструирани за трансферното уравнение (1.1). Използване на спектралния метод на Neuran, за да се изследва стабилността на тази схема, ако правото на преходния закон е посочено във формата (1.84), за да се определи процедурата за сближаване на противоположната схема с теглата на ООН + ООН (1 σ) a Единична 1 \u003d 0, (1.87), конструирана за трансферното уравнение (1.1) с коефициент А\u003e 0. Използване на спектралния метод на Neimane, оттегли необходимото условие за стабилността на веригата (1.87), ако правото на преходното право е посочен във формата (1.84), като се използва максималният принцип, за да се изследва стабилността в единната норма на имплицитната схема за борба с текущата un + a un + 1 \u003d f n + 1, \u003d 1, ..., n, un 0 \u003d μ N 0, n \u003d 0, ..., m, u 0 \u003d u 0 (x), \u003d 0, ..., n, (1.88), изграден за проблем (1.7), използвайки максималния принцип, намерете a достатъчно състояние на стабилност в единната скорост на противоположната схема с скалите на un + σa un (1 σ) a un 1 \u003d fn + 1 /, un 0 \u003d μ n 0, n \u003d 0, ..., m, u 0 \u003d u 0 (x), \u003d 0, ..., n, (1.89), конструиран за проблем (1.7). Тук 0 σ 1. 6

28 1.10. Използвайки максималния принцип, за да се докаже, че прилагането на състоянието (1.44) е достатъчно за стабилността на веригата против потока (1.41) с променливия коефициент a (x, t) за получаване на параграфи (1.80) на схемите за лакс Vendroff За да намерите p. n. имплицитни схеми un + a UN + 1 1 \u003d 0, (1.90), конструиран за трансферното уравнение (1.1) с коефициент А\u003e 0. Дайте качествено обяснение на поведението на разтвора на разликата в t \u003e 0, ако стъпката е зададена в първоначалния момент t \u003d 0 (стъпката е зададена (1.61). Имотът на монотонността на разликата схеми.1. Едно от основните изисквания за различия схемите е, че решението на уравнението на разликата следва да предава поведението на решението на приблизителното диференциално уравнение. Да помислят, например, Cauchy проблем за линейно предаване уравнение U t + au x \u003d 0, a \u003d const\u003e 0,< x <, t > 0, (.1) u (x, 0) \u003d u 0 (x). (.) Ако U 0 (x) вече не е (не-белодробна) функция на променливата x, след това с всяко фиксирано t\u003e 0, решението u (x, t) на задачите (.1), (.) също ще бъде не-прекъсваща (не -етажна) функция на променливата x. Това следва от факта, че по всяко време разтворът се дава с формулата U (x, t) \u003d U 0 (x AT). (.3) естествено изискват решението на схемата за разлика, приблизителният проблем (.1), (.), Също притежават подобен имот. Но се оказва, че много различия нарушават монотонността на числено решение: вместо очакваните монотонни профили се получават разтвори, съдържащи нефизични трептения (Фиг. 4). Причината за тяхното възникване е цифровата дисперсия на разликата 7

29 схеми, обсъдени в предишния параграф. В този параграф представяме условията при извършване на разликата схемата ще поддържа монотонността на цифровия разтвор. Помислете за произволна изрична разлика схема \u003d α b α U N + a, (.4) където α е цяло число, α \u003d α 1, α 1 + 1, ..., x + α възли определят модела на верига. Определение. Различната схема (.4) се нарича диаграма, която поддържа монотонността на числено решение (монотонна схема), ако някоя монотонна функция U N се превръща в монотонна (n + 1) -м, функцията за времеви слой и със същия растеж посока. Пример 1.. Приблизително уравнение (.1) върху равномерна мрежа от противоположна схема U N + A Single 1 \u003d 0. (.5) Тази схема има първата процедура за сближаване на софтуера и. Позволете на мрежестта функция U N на N-Ohm на времето на слоя да бъде монотонно, например чрез монотонно нарастваща функция, т.е. UN 1 за произволно. В този случай, при извършване на състоянието на стабилността на схемата с изглед AÆ 1, където Æ \u003d /, получаваме 1 \u003d (un aÆ (unun 1)) (un 1 aÆ (un 1 UN)) \u003d \u003d ( 1 Aæ) (UNUN 1) + AÆ (UN 1 UN) 0. И така, разтворът е монотонно увеличаващ се на (n + 1) -т слой. По този начин, противоположната схема (с разсейване при AÆ< 1) является схемой, сохраняющей монотонность. Пример.. Покажем, что схема Лакса Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (.1) имеет вид (1.61) { 1, при x 0, u 0 (x) = 0, при x > 0. 8

30 Следователно, първоначалната функция на мрежата (U 0 1, при 0, \u003d U 0 (x) \u003d 0, при\u003e 0 е монотонно намалява. Пренаписваме въпросната верига като схема (1.50), и след това като схема (.4) с коефициенти b 1 \u003d a Æ + aæ, b 0 \u003d 1 a æ, b 1 \u003d a Æ aæ. (.6) тогава не е трудно да се уверите, че равенството 1 се извършва на първият слой при 1, u 1 b \u003d 1 + b 0, при \u003d 0, b1, при \u003d 1, 0, с. при a.< 1 схема устойчива, но b 1 + b 0 > 1, т.е., функцията на мрежата U 1 не е монотонно намаляваща. Монотонността на веригите за уравнения с постоянни коефициенти могат да бъдат проучени с помощта на следната теорема. Теорема.1. Заради схемата за разлика (.4) с постоянни коефициенти b α, задържан монотонност, е необходимо и пълно изпълнение за всички α условия b α 0. (.7) d o k a и t e l s t в около. Необходимост. Да предположим, че схемата (.4) запазва монотонността, но има отрицателен коефициент b α0< 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию u n = { 0, < α0, 1, α 0. (.8) Тогда u0 n+1 1 = b α u n α b α u n 1+α = α α = b α b α = b α0 < 0, α α 0 α α

Функцията не е монотонно увеличаваща се и следователно схемата (.4) не запазва монотонността, която противоречи на първоначалното предположение. Полученото противоречие доказва, че всички коефициенти b α са неотрицателни. Адекватност. Нека b α 0 и u n са монотонна функция, например монотолно нарастваща функция. След това 1 \u003d α b α U n + α α b α u n 1 + α \u003d α b α (U n + a u N1 + α) 0, т.е., също едно монотолно нарастваща функция. Така, схемата (.4) запазва монотонността. Върнете се отново към примери. И сега ние няма да приемем, че a\u003e 0. анти-настоящата схема за уравнение (.1) с произволен знак на коефициента a изглежда така: къде може да го пренапише в Форма (.4) + A + UN UN 1 A + \u003d A + A + A UN +1 UN, a \u003d a a. \u003d 0, (.9) където \u003d b 1 U N 1 + B 0 U N + B 1 U N +1, (1) b 1 \u003d æa +, b 0 \u003d 1 Æ a, b 1 \u003d æa. При изпълнение на състоянието на стабилност A 1 (.11) всички тези коефициенти не са отрицателни. В допълнение, те са постоянни, според теорема.1, анти-схемата (.9) запазва монотонността на разтвора при условие (.11). Схемата на LAX Vendroff е устойчива със същото условие (.11), като противоположна схема и може да бъде написана във формата (.10) с коефициенти (.6), откъдето е ясно, че при условието на Æ< 1 один из 30

32 Коефициенти B 1 или B 1 са отрицателни. Според теорема.1, следва, че схемата на LAX Vendroff, която има втора процедура за сближаване според и не запазва монотонността на числено решение. Но може да има и други схеми на втория ред на сближаване, които имат собственост на монотонността. Оказва се, че няма такива схеми. В този документ се показва, че за линейното уравнение на трансфер (.1) е невъзможно да се изгради монотонна схема с постоянни коефициенти на втория ред на сближаване ... разгледайте сега схемата (.4) с променливи коефициенти b α . Ще има ли условие (.7) от негативност на коефициентите, достатъчни за запазване на монотонността на числено решение за такива схеми? Оказва се не. Даваме подходящия пример. Пример.3. Оставете проблема с Cauchy за уравнението u t + a (x) u x \u003d 0, (.1), (x), (1), където (x), строго увеличавайки положителната ограничена функция: 0< a(x) < 1 и a > 0. Вземете за решаване на тази проблемна схема с променливи коефициенти 0, 5 (U N +1 +) UN 1 + AUN +1 UN 1 \u003d 0, (.13) където a \u003d a (x), x възел на еднаква мрежа . Разширената схема е аналог на славната схема (1.46), която запазва монотонността на цифровия разтвор (виж задача 1.). Ние ще приемем, че за всяко състояние, състоянието æa< 1, (.14) гарантирующее устойчивость схемы (.13) в равномерной норме по начальным данным: C u 0 C. (.15) Запишем схему (.13) в виде (.4): = b 1, u n 1 + b 1, u n +1, (.16) где b 1, = 1 + æa, b 1, = 1 æa, 31

33 В този случай коефициентите b α са оборудвани с допълнителен индекс, тъй като те са променливи коефициенти и се променят при преминаване от един възел в друг. Благодарение на състоянието (.14), двата коефициентите са положителни, но схемата (.13) не запазва монотонността на цифровия разтвор. Всъщност, приемайки монотонно нарастваща функция (U N 0,< 0, = 1, 0, убеждаемся, что на (n + 1)-м слое по времени имеет место равенство = 0, при < 1, b 1, 1, при = 1, b 1,0, при = 0, 1, при 1. Но b 1, 1 > B 1.0, следователно, функцията за мрежи се увеличава. Това не е монотомно даден пример, показва, че за схеми трябва да се използват други признаци на монотонност за схеми с променливи коефициенти, а не подпис (.7), посочени в теорема. Теорема. Нека коефициентите на разликата схема \u003d B 1, UN 1 + B 0, UN + B 1, UN +1 (.17) отговарят на всеки възел X състоянието, след което се изпълнява при всички условия B 1, + B 0 , + B 1, \u003d 1. (.18) b ± 1, 0, b1, + В1, 1 (.19) е необходимо и достатъчно, така че схемата (.17) с променливи коефициенти да запази монотонността на цифровия разтвор. D o k a и t e l s t в около. Ние пишем схемата (.17) с променливи коефициенти, отговарящи на състоянието (.18), в следната форма: \u003d U N B 1, (U N U N 1) + B1, (U N +1 U N). (.0) 3

34 Тогава +1 \u003d UN +1 B 1, + 1 (U N +1 U N) + B1, + 1 (U N + U N +1). Следователно, +1 UN + 1 \u003d (UN +1 UN) (1 B 1, + 1 B 1,) + (+ В1, + 1 UN + UN (+1) + B 1, UNUN) (.1) 1. Необходимостта. Нека схемата (.17) Monotonne. Доказваме, че нейните коефициенти отговарят на неравенствата (.19). Да предположим, че това не е толкова от условията (.19) не се извършват в някакъв възел х 0, например b 1.0< 0. Положим Из (.1) тогда следует u n = { 0, если < 0, 1, если un+1 0 = b 1,0 < 0, т. е. функция не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (.19). Достаточность. Пусть в каждом узле x коэффициенты схемы (.17) удовлетворяют неравенствам (.19) и функция u n является монотонной, например монотонно возрастающей. Тогда из равенства (.1) следует, что функция также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана. Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (.16) не удовлетворяют второму из условий (.19) теоремы.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадим другую формулировку теоремы.. Теорема.3. Для того чтобы конечно-разностная схема u n + C 1/ un x, 1/ C+ +1/ un x,+1/ = 0, (.) сохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех условий где æ = /, u n x,+1/ = un +1 un C ± +1/ 0, C +1/ + C+ +1/ 1 æ, (.3). 33

35 d o k a и t e l Схемата (.) Можете да пренапишете във формата (.17), с b 1, \u003d æc 1 /, b 1, \u003d æc + 1 /, b 0, \u003d 1 æc 1 / æc + + 1 /. След това, за коефициентите B α, се извършва равенство (.18) и условията (.19) са еквивалентни на условията (.3). Коментар. Доказано е, че изпълнението на неравенствата (.3) е достатъчно, за да се гарантира, че диаграмата (.) Е схема на TVD (обща разлика на изменение), т.е. схемата, схемата, освен ако с нито един n 0 отговаря на дефиницията на пълната телевизия (un), (un), (.4), където при общия вариант на функцията на мрежата UN разбира стойността на телевизора (UN) \u003d \u003d un +1 u n. (.5) Понастоящем схемите на TVD и техните разнообразни модификации се използват в решаването на много задачи с прекъснати решения. Причината за такава голяма популярност на тези методи е, че те дават несъответстващи решения профили, висока резолюция в областта на почивките и запазват висока точност в областите на гладкост на решението. Съвременните схеми на TVD на високия сближаване се основават на определени методи за възстановяване (реконструкция) на функциите на функциите на границите на клетките чрез техните стойности в центровете на съседните клетки. В този случай моделът на схемата е променлив и зависи от поведението на цифровия разтвор. Алгоритмите за реконструкция се основават на използването на специални ограничители на потока, които са изградени така, че схемата с ограничетелите да притежава TVD (.4) .. 3. Монотонизиране на схемата на LAX Vendroff. Ако първоначалната функция при t \u003d 0 е зададена под формата на стъпка, след това в следващите слоеве във времето ще бъде получено според етапа на LAX Vendroff, изкривен чрез трептения (виж фиг. 4). Но се оказва, че схемата на LAX Vendroff може да бъде променена така, че да стане 34

36 TVD собственост (.4) и следователно според теорема.3 ще се превърне в схема, която запазва монотонността на числото. Коефициентите на модифицираната схема обаче няма да бъдат постоянни, те могат да зависят от решението n-m слой, т.е. модифицираната схема ще бъде нелинейна. Разгледайте уравнението на трансфер (.1) в случай на A \u003d const\u003e 0. Схемата на LAX Vendroff (1.50) може да бъде пренаписана или UN + A X, + 1 / + UN X, 1 / A () UNX, + 1 / un x, 1 / \u003d 0, (.6) или un + au nx, 1 / + a (1 aÆ) @ x, + 1 / un x, 1 / un \u003d 0, (.7) + au nx, \u003d a (1 aæ) un xx ,. (.8) p. d. (1.79) Сходната схема съдържа разсипващ елемент 0, 5A (1 AÆ) u хх, и в изглед (.8) същият разсипващ елемент в различна форма има обратен знак. По този начин схемата на LAX Vendroff е представена като монотонна схема с разлика срещу поток, допълнен т.нар. Анти-дифузиден член, който елиминира разсипващия елемент в параграфи. Схемата за контрол, превръщайки я в схемата за лакс Vendroff. Намаляването на анти-инфузионен елемент в местата на възможното външен вид на трептенията, можете да се опитате да ги предотвратите. Регулирайте антидомните членове в схемата на LAX Vendroff (.7), като използвате функцията на ограничителя φ (ξ) на определен аргумент ξ: UN + AU NX, 1 / + A (1 AÆ) ((φU NX) + 1 / (φU NX) 1 /) \u003d 0. (.9) ако φ 0, тогава имаме монотонна противодейтъчна схема на първия ред на сближаване. Ако φ 1, получаваме схемата на Vendroff на втория ред на сближаване върху плавни решения, но осцилирайки на прекъсващи разтвори. 35.

37 В различната схема (.9) φ + 1 / \u003d φ (ξ + 1 /). Като дискретен аргумент ξ + 1 / изберете стойността на UNX, 1 / ξ + 1 / \u003d UNX, 1/1/0, x, + 1 / (.30) 1 в UNX, + 1 / \u003d 0. върху осцилиращ разтвор съотношението unx, 1 / / un x, + 1 / става отрицателно, следователно при ξ + 1 /< 0 полагаем, что Φ +1/ = 0. Далее будем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ также принимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, что функция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) 0 при всех ξ 0. Далее рассмотрим случай, когда ξ +1/ > 0. Ще изберем функцията на ограничителя, така че схемата да удовлетвори TVD (.3) и да запази втората процедура за сближаване на плавни решения. За да направите това, ние трансформираме модифицираната схема на LAX Vendroff (.9) към формата (.): Или UN + AU NX, 1 / + A (1 AÆ) ((φ) [+ AA ((φ) ξ ) + 1 / + 1 / φ 1 /) unx, 1 / \u003d 0, φ 1 /)] unx, 1 / \u003d 0. Така се определят коефициентите на схемата (.9), записани във формата (.) Чрез формулите [C + +1 / \u003d 0, C 1 / \u003d A AÆ ((())] ξ φ 1 /. + 1 / съгласно теорема.3, условие 0 c 1/1 Æ (.31) ще гарантира, че схемата на LAX WENDROFF с въведената в нея ограничител ще поддържа монотонността на цифровия разтвор. След това приемаме, че състоянието на стабилността на лаковата схема е 36

38 SA Vendroff се изпълнява, т.е. aÆ 1. Тогава за това за неравенството (.31) да бъде справедливо за всички AÆ 1, необходимо е и достатъчно за извършване на неравенство (φ) ξ + 1 / φ 1 /, и за това Достатъчно е да се изисква изпълнение за всички следните неравенства: (φ) 0, 0 φ + 1 /. ξ + 1 / област в равнината на променливи и ξ, в която се извършват тези неравенства, изобразени на фиг. 5, a. Ако графиката на функцията φ \u003d φ (ξ) се намира в тази област, модифицираната схема (.9) ще поддържа монотонността на цифровия разтвор. Φ φ \u003d φ φ \u003d φ \u003d ξ φ \u003d ξ φ \u003d ξ 1 1 φ \u003d a ξ b ξ. 5. и в сенчестата област, модифицираната схема на LAX Vendroff (.9) е схема на TVD; B В двойна зона за люпене, модифицираната схема на LAX Vendroff е TVD схемата на втория ред на сближаване, така че тогава ще приемем, че φ (ξ) \u003d 0 при ξ 0, 0 φ (ξ) min (, ξ) В ξ\u003e 0. (.3) сега проучваме реда на сближаване на модифицираната схема, като приемем, че непрекъснатата функция φ \u003d φ (ξ) удовлетворява 37

39 следващи допълнителни ограничения: φ (ξ 1) φ (ξ) l ξ 1 ξ, ξ 1, ξ, (.33) φ (1) \u003d 1, (.34), i. Ще се нуждаем от функцията φ \u003d φ (ξ) удовлетворено условието на Lipschitz с някаква постоянна L\u003e 0 и графиката на тази функция премина през точката (1, 1). Пренаписваме модифицираната схема на LAX Vendroff (.9) под формата на първоначалната схема на LAX Vendroff (.7) с допълнителен елемент, в който UN + AU NX, 1 / + A (1 AÆ) (UNX, + 1 / un X, 1 /) + + A (1 AÆ) RN \u003d 0, (.35) R N \u003d (φ + 1/1) UNX, + 1 / (1/1) UNX, 1 /. (.36) Нека u \u003d u (x, t) да остави доста гладко решение на проблема с cauchy (.1), (.). Ние ще заменим това решение в изразяването (.36), като същевременно поддържаме всички предишни обозначения в него, но като се има предвид, че сега u n x, + 1 / \u003d u (x +1, t n) u (x, t n). (.37) очевидно, ако функцията u (x, tn) е линейна, u (x, tn) \u003d bx + c, след това R n 0. като се използват условия (.33), (. 34), е лесно Проверете това за квадратична функция U (x, tn) \u003d ax + bx + c (a 0) равенството r n \u003d o () се извършва за всички възли на произволна цифрова меша (α, β), която не съдържа екстремулна точка x \u003d b / а. Като цяло, следното изявление е справедливо. Lemma.1. Нека условията (.33), (.34) и сравнително гладко решение на проблема с Cauchy (.1), (.) Задоволява състоянието UX (x, tn) 0 x [α, β] на някакъв цифров сегмент [α, β]. (.38) след това R n \u003d 0 () x (α, β). (.39) 38

Различни схеми за нелинейни задачи. Уравнение на квазилинеен трансфер. За числено решение на нелинейни задачи в различни ситуации се използват както линейни, така и нелинейни схеми. Стабилност на съответните

Федерална агенция за образование Новосибирска държавна университетска механика и математически факултет на S. Khakimzyanov, S. G. Черни методи на изчисления Част 3. Числени методи за решаване на проблеми

Теорията за стабилността на различията схеми 1 Стабилност на решаването на проблема с Cauchy според първоначалните данни и дясната част на B Banachovo (т.е. пълно нормализирано) пространство на функциите, посочени в някои регион

Основните понятия за теорията на схемите за различия. Примери за конструиране на схеми за разлика за първоначални гранични задачи. Голям брой задачи на физиката и технологиите води до годни за консумация или бозомични задачи за линейни

Диференциални уравнения. 1999. T.35. 6. S.784-792. UDC 517.957 Недвусмислена среда на граничната стойност Проблеми за елиптични уравнения с нелинейност Ю. В. Жернов 1. Въведение. Формулиране на проблема. Повечето

Различно сближаване на проблема с първоначалната граница за уравнението на колебанията. Изричен (схема "кръст") и имплицитни схеми за разлика. Разгледайте няколко варианта на разликата сближаване на уравнението на линейното колебание:

Глава IV. Първите интеграли на ODU системи 1. Първите интегрални системи на автономни системи на обикновени диференциални уравнения в този параграф ще разгледат автономните системи на формуляра F X \u003d F 1 x, F N x C1

Различно сближаване на проблема с първоначалната граница за уравнението на топлопроводимостта. Понятието за изрична и косвена схема. 1 Разликата сближаване на уравнението на топлопроводимостта обмисля различни разлики в разликите

Теорията за стабилността на разликата схеми 1 схеми за разлика в оператора 1.1 Въведение нека B BANACH (т.е. пълно нормализирано) пространство на функции, посочено в някакъв регион G R m и нека U (t) абстрактен

Уравнения за прехвърляне. Схемите на "работещата" сметка считат, че редица най-често използвани схеми за разлика, сближаване на първоначалните гранични задачи за линейното предаване на трансфер: u t + c (x, t) u x \u003d f (x,

Scalo Yuri Ivanovich Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander Wave уравнение Втори ред Уравнението на вълната под формата на уравнението втори ред е написано като 2 U t 2 \u003d C2 2 U x 2 + F Добавя уравнение

Методи за изчисляване на преподаватели: проф. Б. И. Квасов, проф. G. S. Khakimzyanov 5 6 семестъра 1. Математически модели и компютърни експерименти. Класификация на уравненията на математическата физика. Примери за правилни

Различните схеми за уравнението на колебанията в многоизмерния случай за уравнения на многоизмерно колебание могат да бъдат направени аналог на "кръстосаната" схема и имплицитна схема. В този случай изричната схема "кръст", както и в едномерното

Основните методи за измерване на пространствения дискретизация на крайните разлики. Необходимите стойности на стойностите на променливите в някои точки, възли на крайната мрежа. Грешката намалява като N, където стъпката на решетката

Уравненията в алгебрата смятат два вида уравнения на идентичността и уравнението на самоличността е равенство, което се извършва с всички валидни) стойности на буквите на идентичността в нея

Най-простите начини за изучаване на схемите за различия за стабилност припомнете, че разликата схема L HYH (φ h (x), x ω h (x), x ω h, l hyh (х (х), х γ h, приближим ръб или. \\ T Задаване на старт-ядлива работа LU

Ръководителят на стабилността на линейните системи Тази глава изследва стабилността на най-простия клас диференциални системи на линейни системи, по-специално, той се установява, че за линейни системи с постоянна

Сибирско математическо списание Януари февруари, 2001. том 42, 1 UDC 517.929 Методи за изучаване на стабилността на системите с линейно закъснение Б. Г. Гребенхчиков Резюме: Методите за изследване на асимптотичното

Глава 1 Диференциални уравнения 1.1 Концепцията за диференциалното уравнение 1.1.1 от задачите, водещи до диференциални уравнения. В класическата физика всеки физически размер в съответствие

Лекции 8 9 Теорем Хил Йосиди S 3. Определение и елементарни свойства на максималните монононови оператори през тези два лекции символ H, обозначени с Hilbert пространство със скаларно пространство

Федерална агенция за образование Федерална държава образователна институция Висше професионално образование Южен федерален университет R. M. Gavrilova, G. S. KOSTOTSKAYA Метод

Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ãòó moscow state технически университет наречен след n.e. Баумански факултет на отдел "Математическо моделиране" А. Страница, à.ï. Окупиране

Модул Тема Функционални последователности и свойства на серията с еднакво сближаване на последователностите и серия редове Лекция Дефиниция на функционалните последователности и редове равномерно

Диференциалните уравнения на първата поръчка са разрешени по отношение на производителя на теоремата на съществуването и уникалността на решението в общия случай, диференциалното уравнение на първата поръчка има формата f ()

Глава: Методът на крайните различия. Лекция 5: Устойчивост на схемите за разлика (10 слайда, 6 рисунки) Слайд 1: Класификация на RS чрез типове стабилност. Според видовете стабилност се отличава следният РС: абсолютно

Московски държавен Технически университет по гражданска авиация v.m. Любимов, е.А. Жукова, В.А. Уокова, Ю.А. Shurinov ma t E M A T и K A R Изпращаме за изследване на дисциплините и термини

Лекция 9 линеаризация на неуместни уравнения линейни диференциални уравнения на по-високи поръчки хомогенни уравнения на свойствата на техните решения Имотът на разтворите на нехомогенни уравнения Определение 9 линейни

Федерална агенция за образование Московски държавен университет по строителство Университетски институт за фундаментално образование Факултет по неместни отдел - Fock вибрации на безкраен низ. Формулата на даламбера.

Лекция 3 Теорема на съществуването и уникалността на решаването на скаларното уравнение Настройване на проблема Основният резултат Разгледайте задачата на Cauchy D F () d \u003d, () \u003d функция F (,) е дадена в региона G на равнината ( ,

Методи за конструиране на разграничителни схеми за уравнение от второ поръчка с променливи коефициенти при хомогенна различия схеми са разликата, видът, който не зависи

Вариант и екстремум на функционален А. N. Меки интегрални уравнения и вариационна преява на функционалността v \u003d v, y (x) m e. фиксирайте функцията Y (x) M. след това всяка друга функция

Схеми за икономическа разлика за многоизмерни проблеми на математическата физика. Схема на променлива посока за първоначалната гранична стойност на проблема за уравнението на топлопроводимостта в правоъгълника. Както вече е показано

Концепцията на деривативната функция нека да имат функция, дефинирана на зададения х и нека точката x - вътрешната точка на точката, за която има квартал x, да вземе всяка точка и обозначена с името

Hyperbolic тип уравнения. Трептенията на безкраен и полу-безкраен низ. Фурие метод Фурие метод Стоящи вълни 4 Лекция 4.1 Hyperbolic тип уравнения. Колебания на безкрайни и полу-безкрайни

Предварителна информация за теорията на схемите за различия 1 от формулата за сумиране на частите и разликата формули на Грид за функциите на мрежата, които получаваме няколко отношения, които ще продължат да използват в проучването

Лекция 8 4 Задача на Sturm Liouville смятат първоначалния граничен проблем за диференциално уравнение в частичните деривативи втори ред, описващи малки напречни колебания на низ низ

II диференциални уравнения диференциални уравнения на определението за първа поръчка за връзки, при които се наричат \u200b\u200bнеизвестни променливи и техните функции под знака на дериват или диференциал се наричат

Лекция 5 5 Теорема на съществуването и уникалността на решаването на проблема с нормалната система на ODU. Задаване на проблема с проблема на Cauchy за нормалната система на ODE X \u003d F (, X), () се състои в намирането на решение x \u003d

Компилатор Viper 1 Лекция 1 Функция на няколко променливи 1 основни концепции зависимост \u003d f (1, n) променлива от променливи 1, n се нарича функция на n аргументи 1, n ще продължи да обмисля

Глава 4. Числени методи за решаване на обикновени диференциални уравнения и техните системи Тази глава обсъжда основните числени методи за решаване на проблема на Cauchy за обикновените диференциални уравнения.

Методи за решаване на нетни уравнения 1 Директни и итеративни методи в резултат на разликата сближаване на проблемите на граничната стойност на математическата физика се получава наклон, чиито матрици имат следните свойства:

Описание на изчислителния модулатио сек. Схемите за разликата за уравнения на параболичния тип помислете за най-простата топлопроводимост уравнение първо: u, t uxx цена (.) Фиг .. Ние въвеждаме в района

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Държавна образователна институция по висше професионално образование "Национални изследвания Томск политехнически университет"

Проблем с вълновото уравнение. Формулата на dalamber 37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446 .. 37 общо решение Уравнения u tt a xx ..) стъпка. Ние намираме подмяната на променлив метод чрез

Методически насоки за разрешаване на сетълмент в размер на по-висша математика "обикновени диференциални уравнения на серията двойни интеграла" част Ш тема на редиците Съдържание на редовете на числени редове с конвергенция и дивергенция

Катедра по математика и информатика елементи на по-висша математика Образователен и методически комплекс за студенти CPA, студенти, които използват диференциални диференциални дистрибуционни технологии:

Глава. Стабилност на линейните системи 8 градуса с A + знак, от което е следното, че () π се увеличава от до π. Така че, термините φ i () и k () +, т.е. вектор (i) φ monotonically φ увеличава

Ã Ã Ã Ã Ã ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã Ã â € ž. Баумански факултет на отдел "Математическо моделиране" А. ,

Глава 6 Основи на устойчивост Теоретична лекция Настройване на проблема Основните понятия бяха показани преди това, че решението на проблема на Cauchy за нормалната система ODU \u003d F, () непрекъснато зависи от първоначални условия за

Глава 9. Числени методи. Лекция 4. Метод на разликата EULER решаване на проблема с диференциални уравнения. Диференциал и различни задачи на Euler. Определение. Диференциална задача Опелер

Диференциални уравнения Общи понятия Диференциалните уравнения имат многобройни и голямо разнообразие от приложения в механиката на физиката на астрономията и в други секции на най-високата математика (например

Линейни и нелинейни уравнения на физиката Лаплас уравнение в полярната координатна система. Старши преподавател на катедрата по WAMF Levchenko Evgeny Anatolyevich 518 Глава 5. Уравнения на елиптичен тип 25.2. Разделяне

Лекция 3 устойчивост на равновесието и движение на системата при разглеждане на стабилните движения на възмутеното уравнение на възмутеното движение под формата на d, където векторната колона е квадратна матрица на постоянни коефициенти

НОМЕР НА НОМЕР НА НОМЕРА Числена последователност Обадете се на цифров F-зададен, дефиниран на задания естествени числа X - общ член на последователността x \u003d, x \u003d, x \u003d, x \u003d,

5 Редове за захранване 5 Редове за захранване: Определение, Област Област Функционален ред (A + A) + A () + K + A () + K A) (, (5) където, a, a, k, a, k някои номера се наричат \u200b\u200bмощен номер

Министерство на образованието Руска федерация MATI - Руски държавен технологичен университет на съпричастност към е Циолковски отдел по висша математика в Горбацевич до уравнения на Ю ОСИПЕКО