Jak najít průměrnou hodnotu. Zábavné matematiky
Známky jednotek statistických agregátů se liší v jejich významu, například mzdy pracovníků jedné povolání jakéhokoliv podniku nejsou stejné ve stejném časovém období, ceny trhu se liší ve stejném produktu, výnos plodin na farmách okresu atd. Proto určit hodnotu atributu charakteristické pro celou sadu jednotek vypočítat průměrné hodnoty.
průměrná hodnota –
jedná se o zobecnění charakteristiku souboru jednotlivých hodnot určité kvantitativní funkce.
Kombinace studená kvantitativní základem se skládá z individuálních hodnot; Mají dopad běžných příčin a individuálních podmínek. V průměrné hodnotě odchylek jsou splacena charakteristika jednotlivých hodnot. Průměrný, který je funkcí množství jednotlivých hodnot, představuje celou sadu všech souborů a odráží to, že je inherentní na všech svých jednotkách.
Průměr, vypočítaný pro agregáty sestávající z kvalitativně homogenních jednotek, se nazývá typický průměr. Můžete například vypočítat průměrný měsíční plat pracovního pracovníka odborné skupiny (horník, lékařský knihovník). Samozřejmě, úrovně měsíčního platu horníků na základě rozdílu v jejich kvalifikaci, zkušenost práce vynaložené v průběhu měsíce a mnoho dalších faktorů se od sebe liší a na úrovni průměrných mezd. Nicméně, na střední úrovni, hlavní faktory, které ovlivňují úroveň mzdy, se odrážejí a rozdíly, které vznikají v důsledku jednotlivých charakteristik zaměstnance jsou vzájemně splaceny. Průměrný plat odráží typickou úroveň mzdy pro tento typ pracovníků. Získání typického průměru musí předcházet analýze, kolik sady vysoce homogenních. Pokud se totalita skládá z jejich jednotlivých částí, mělo by být rozděleno do typických skupin (průměrná teplota v nemocnici).
Průměrné hodnoty použité jako vlastnosti nehomogenních agregátů se nazývají systémová média. Například průměrná hodnota hrubého domácího produktu (HDP) na obyvatele, průměrná spotřeba různých skupin zboží na osobu a další podobné množství představující zobecnění vlastnosti státu jako jediného ekonomického systému.
Průměr musí být vypočítán pro agregáty sestávající z dostatečně velkého počtu jednotek. Dodržování této podmínky je nezbytné k tomu, aby vstoupily v platnost zákonem velkých čísel, v důsledku čehož jsou vzájemně splaceny náhodné odchylky jednotlivých hodnot z obecného trendu.
Typy středních a metod pro výpočet
Volba formy průměru je určena ekonomickým obsahem určitého ukazatele a zdrojových dat. Průměrná hodnota by však měla být vypočtena tak, aby při jeho výměně, každá možnosti zprůměrovaného atributu nezměnila finální, zobecnění, nebo jak je obvyklé, indikátorkterý je spojen s průměrným indikátorem. Například při nahrazení aktuálních rychlostí na samostatných částech jejich cest průměrná rychlost Nezměnit celkovou cestou vzdálenosti vozidlo ve stejný čas; Při nahrazení skutečných mezd jednotlivých zaměstnanců by průměrná mzda společnosti neměla měnit mzdovou základnu. V důsledku toho v každém konkrétním případě v závislosti na povaze dostupných údajů existuje pouze jedna skutečná průměrná hodnota ukazatele, odpovídající vlastnosti a podstatu základního socioekonomického fenoménu.
Nejčastěji aplikovanou průměrnou aritmetickou, průměrnou harmonickou, střední geometrickou, střední kvadratickou a střední kubickou.
Uvedené průměry jsou klasifikovány napájenístřední a kombinované s obecným vzorcem:
,
kde - průměrný význam studovaného prvku;
m - ukazatel stupně průměru;
- aktuální hodnota (volba) zprůměrné funkce;
N je počet znaků.
V závislosti na hodnotě indikátoru M rozlišujte následující typy napájení média:
v m \u003d -1 - průměrný harmonický;
v m \u003d 0 - střední geometrické;
v m \u003d 1 - průměrná aritmetika;
v m \u003d 2 - střední kvadratické;
S m \u003d 3 - střední kubický.
Při použití stejných zdrojových dat, tím větší je indikátor M ve výše uvedeném vzorci, tím větší je hodnota průměrné velikosti:
.
Tato vlastnost Výkonových průměrů se zvyšuje se zvýšením stupně určující funkce médium MAJOREUANCE.
Každý z označených průměrů může získat dvě formy: snadnýa vážený.
Jednoduchý střední formapoužívá se, když je průměr vypočítán primárním (nesmyslným) datem. Vážená forma- Při výpočtu průměru podle sekundárních (seskupených) dat.
Střední aritmetika
Průměrná aritmetika se používá, když je celková sada součtem všech individuálních hodnot různé funkce. Je třeba poznamenat, že pokud není specifikován typ střední velikosti, průměrný aritmetika se rozumí. Jeho logický vzorec má formulář: 
Průměrný aritmetický jednoduchý vypočítaný podle významných dat
Podle vzorce: 
nebo,
kde - jednotlivé hodnoty funkce;
J je pořadové číslo pozorovací jednotky, která je charakterizována hodnotou;
N je počet pozorovacích jednotek (celkem celkovým celkem).
Příklad. Přednáška "Shrnutí a seskupení statistických údajů" zvažovalo výsledky pozorování pracovních zkušeností s brigády 10 osob. Vypočítejte průměrnou pracovní sílu práce s brigády. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
Podle vzorce střední aritmetika Jednoduché vypočítané také médium v \u200b\u200bchronologické řaděPokud jsou časové intervaly, pro které jsou prezentovány hodnoty znamení, jsou stejné.
Příklad. Objem produktů prodaných pro první čtvrtletí byl 47 den. un., pro druhý 54, pro třetí 65 a čtvrté 58 den. Jednotky. Střední obrat je (47 + 54 + 65 + 58) / 4 \u003d 56 den. Jednotky.
Pokud chronologická řada ukazuje ukazatele točivého momentu, pak při výpočtu průměru jsou nahrazeny polovičními hodnotami na začátku a na konci období.
Pokud jsou momenty více než dva a intervaly mezi nimi jsou stejné, pak je průměr vypočítán středním chronologickým vzorcem
,
kde n- počet okamžiků
V případě, kdy jsou data seskupena znaky
(tj. Diskrétní variační rozsah distribuce) s vzácný aritmetický váženývypočteno buď pomocí frekvencí nebo frekvencí pozorování specifických hodnot vlastnosti, z nichž počet (k) významně méně číslo Pozorování (n).
,
,
kde k je počet skupin série variací,
I je počet variací série.
Vzhledem k tomu, a získáme vzorce použité pro praktické výpočty:
a
Příklad. Vypočítejte průměrné pracovní sborové brigády na seskupené řadě.
a) pomocí frekvencí:
b) pomocí frekvencí:
V případě, kdy jsou data seskupena intervaly
. Ve formě intervalové distribuční řady, při výpočtu průměrného aritmetika, znamení označení trvá uprostřed intervalu, založeného na předpokladu o rovnoměrném rozložení kombinovaných jednotek v tomto intervalu. Výpočet se provádí vzorce:
a
Kde je uprostřed intervalu:
kde a spodní a horní hranice intervalů (za předpokladu, že horní hranice tohoto intervalu se shoduje s dolní hranicí dalšího intervalu).
Příklad. Vypočítejte průměrný aritmetický interval varienční série, postavený podle výsledků studia roční mzdy 30 pracovníků (viz přednáška "shrnutí a seskupení statistických údajů").
Tabulka 1 - interval variační distribuční řady.
Intervaly, UAH. |
Frekvence, lidé |
Frekvence |
Střední interval |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
uah. nebo 
uah.
Průměrná aritmetika vypočtená na základě zdrojových dat a intervalových variací se nemusí shodovat v důsledku nerovnoměrné distribuce hodnot atributu uvnitř intervalů. V tomto případě, pro přesnější výpočet průměrného aritmetického váženého, \u200b\u200bnení nutné použít uprostřed intervalů, ale průměrný aritmetický jednoduchý, vypočítaný pro každou skupinu ( skupina uprostřed). Průměr vypočítaný průměrem skupiny za použití váženého vzorce výpočtu se nazývá obecný průměr.
Průměrná aritmetika má řadu vlastností.
1. Množství odchylek od průměru je nula:
.
2. Pokud se hodnota všech hodnot zvýší nebo sníží o hodnotu A, pak se průměrná hodnota zvyšuje nebo snižuje na stejnou hodnotu A: 
3. Pokud je každá volba zvýšit nebo snížit v čase, průměrná hodnota se také zvýší nebo sníží o stejný čas:
nebo 
4. Výše \u200b\u200bmožnosti práce na frekvencích se rovná produktu průměrné hodnoty ve výši frekvencí: 
5. Pokud jsou všechny frekvence rozděleny nebo vynásobeny na libovolné číslo, pak se průměrný aritmetika nezmění: 
6) Pokud se ve všech frekvenčních intervalech rovnají navzájem, pak průměrný aritmetický vážený je roven jednoduchým středním aritmetickým: 
,
kde K je počet skupin série variací.
Použití vlastností průměru vám umožní zjednodušit jeho výpočet.
Předpokládejme, že všechny varianty (x) jsou nejprve sníženy stejným číslem A a občas se sníží. Největší zjednodušení je dosaženo, když je zvolen význam středu intervalu s nejvyšší frekvencí a jako ve velikosti intervalu (pro sérii se stejnými intervaly). Hodnota se nazývá začátek odkazu, takže se tato metoda výpočtu průměru nazývá sposo.b. oM odkaz z podmíněné nuly nebo metoda momentu.
Po takové transformaci získáváme nový variační rozsah distribuce, možnosti, pro které jsou stejné. Jejich průměrné aritmetiky okamžik první objednávka,
je vyjádřena ve vzorci a podle druhé a třetí vlastnosti průměrné aritmetiky rovné v průměru počáteční varianty, snížena jako první na A, a pak najednou, tj.
Pro získání platný průměr(Střední počáteční rychlost) potřebují okamžik nejprve vynásobit a přidat A: 
Výpočet středního aritmetika podle způsobu momentů je znázorněn datovou tabulkou. 2.
Tabulka 2 - Distribuce zaměstnanců workshopu podniku
Zkušenosti pracovníků, let |
Množství pracovníků |
Střední interval |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
Najdeme okamžik první objednávky 
. Poté s vědomím, že A \u003d 17,5, a B \u003d 5 vypočítáme průměrnou pracovní zkušenost pracovních pracovníků:
roky
Střední harmonický
Jak je ukázáno výše, průměrný aritmetika se používá k výpočtu průměrné charakteristické hodnoty v případech, kdy jeho varianty x a jejich frekvence f jsou známy.
Pokud statistické informace neobsahují frekvence F podle určitých variant X množiny, a je reprezentován jako jejich práce, vzorec je aplikován střední harmonická pozastavena. Pro výpočet průměru označujeme, odkud. Nahrazení těchto výrazů ve střední aritmetickém vzorci vážení, získáme vzorec průměrného harmonického zavěšeného: 
,
kde - objem (hmotnost) znaků indikátoru v intervalu s číslem i (i \u003d 1,2, ..., k).
Průměrný harmonický platí tedy v případech, kdy sčítání podléhá ne samotným možnostem, ale inverzní hodnoty: 
.
V případech, kdy je hmotnost každé možnosti rovna jedné, tj. Jednotlivé reverzní značky se nacházejí jednou, platí průměrný harmonický Simple.:
,
Kde - individuální možnosti pro zpětné znamení, které se vyskytují;
N - možnost čísla.
Pokud ve dvou částech sady čísel a existují střední harmonická, celkový průměr se vypočítá vzorec: 
a zavolal zavěšený harmonický průměr průměru skupiny.
Příklad. V průběhu obchodování na výměně měny za první hodinu práce byly uzavřeny tři transakce. Údaje o výši prodeje hřivny a průběhu hřivny směrem k americkému dolaru jsou uvedeny v tabulce. 3 (sloupce 2 a 3). Určete střední kurz hřivny ve vztahu k americkému dolaru za první hodinu obchodování.
Tabulka 3 - Údaje o obchodování na směnárnu
Průměrná míra dolaru je určena poměrem prodaných částek při všech transakcích hřivny na množství dolarů získaných v důsledku stejných transakcí. Celková výše prodeje hřivny je známa ze sloupce 2 tabulek a počet dolarů zakoupených v každé transakci je určen dělením množství prodeje hřivny k jeho průběhu (graf 4). Celkem bylo během tří transakcí zakoupeno 22 milionů dolarů. Takže, střední hřber hřivny za jeden dolar byl 
.
Získaná hodnota je skutečná, protože Nahrazení skutečných kurzů hřivny v transakcích nezmění souhrn prodeje hřivny, která slouží jako určení: miliony UAH.
Pokud byl průměrný aritmetika použit k výpočtu, tj. 
hřivny, pak směnný kurz pro nákup 22 milionů dolarů. Bylo by nutné strávit 110,66 milionu UAH, což není pravda.
Střední geometrie
Průměrná geometrie se používá k analýze dynamiky jevů a umožňuje určit průměrný koeficient růstu. Při výpočtu průměrné geometrie jsou individuální charakteristické hodnoty relativní indikátory reproduktorů postavených ve formě hodnot řetězce jako vztah každé úrovně na předchozí.
Průměrný geometrický jednoduchý vypočítaný vzorcem: 
,
Kde je značka práce,
N je počet průměrných hodnot.
Příklad.Počet registrovaných trestných činů za 4 roky se zvýšil o 1,57 krát, včetně 1,08 krát, pro 2. - 1,1 krát, pro 3. - v 1,18 a pro 4. - 1,12 krát. Průměrný roční tempo růstu počtu trestných činů je:, tj. Počet registrovaných trestných činů ročně vzrostl o 12%.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Pro výpočet průměrného kvadratického váženého váženého, \u200b\u200burčujeme a zadáváme stůl a. Průměrná hodnota odchylek délky výrobků ze stanovené normy je: 
Průměrný aritmetika v tomto případě by nebyla nevhodná, protože V důsledku toho bychom dostali nulovou odchylku.
Použití středního kvadratického bude projednáno dále v indikátorech variability.
Nejčastější formou statistických ukazatelů používaných v sociálně-ekonomických studiích je průměrná hodnota, která je zobecněná kvantitativní charakteristika známku statistického agregátu. Průměrné hodnoty jsou jako "zástupci" celého počtu pozorování. Průměr je možné určit v mnoha případech počátečním poměrem průměrného (ECH) nebo jeho logického vzorce :. Například pro výpočet průměrné mzdy zaměstnanců podniku je vyžadován generální mzdový fond pro rozdělení počtu zaměstnanců: numerátor počátečního poměru průměru představuje jeho určení indikátor. Pro průměrnou mzdu je tento definující indikátor mzdové základy. Pro každý indikátor použitý v socioekonomické analýze je možné kompilovat pouze jeden opravdový počáteční vztah k výpočtu průměru. Mělo by být také dodáno, že aby bylo možné přesně odhadnout standardní odchylku pro malé vzorky (s počtem prvků menších než 30), v denominátoru exprese pod kořenem je nutné použít n., ale n-1.
Koncepce a typy průměrných hodnot
Průměrná hodnota - Jedná se o zobecňující ukazatel statistického agregátu, který splňuje jednotlivé rozdíly v hodnotách statistických veličin, což vám umožní porovnat různé agregáty mezi sebou. Existuje Třída 2. Průměrné hodnoty: napájení a strukturální. Strukturální průměry zahrnují móda a medián ale nejobvyklejší průměrný průměrrůzné druhy.Průměrné hodnoty napájení
Napájecí médium může být jednoduchý a vážený.
Jednoduchá průměrná hodnota se vypočítá v přítomnosti dvou a více obchodních statistických hodnot, které se nachází v libovolném pořadí na následujícím obecný vzorec Střední výkon (v různých typech k (m)):
Vážená průměrná hodnota se vypočítá na seskupených statistických hodnotách pomocí následujícího obecného vzorce:
Kde x. - průměrná hodnota studovaného jevu; X I - i -i možnost zprůměrného symptomu;
f i - hmotnost volby i -to.
Kde x jsou hodnoty jednotlivých statistických hodnot nebo skupiny intervalů seskupení;
M je ukazatel stupně, ze kterého závisí následující typy průměru napájení:
v m \u003d -1 průměrné harmonické;
v m \u003d 0 průměrné geometrické;
v m \u003d 1 průměrné aritmetice;
v m \u003d 2 střední kvadratické;
S m \u003d 3 střední kubický.
Pomocí obecných vzorců pro jednoduché a vážené průměry při různých ukazatelích stupně m, získáme soukromé vzorce každého typu, které budou dále zvažovány podrobně.
Střední aritmetika
Průměrný aritmetika - počáteční okamžik prvního řádu, matematické očekávání hodnot náhodné proměnné s velkým počtem testů;
Průměrná aritmetika je nejčastěji používaná průměrná hodnota, která se získá, pokud je substituovaná do obecného vzorce m \u003d 1. Střední aritmetika jednoduchý Má následující formulář:
nebo 
Kde x je hodnoty, pro které musí být průměrná hodnota vypočtena; N je celkový počet hodnot X (počet jednotek ve studovaném agregátu).
Například student složil 4 zkoušku a přijal následující hodnocení: 3, 4, 4 a 5. Vypočítat střední skóre Podle vzorce středního aritmetika jednoduchý: (3 + 4 + 4 + 5) / 4 \u003d 16/4 \u003d 4. Střední aritmetika vážený Má následující formulář:
Kde f je počet hodnot se stejnou hodnotou x (frekvence). \u003e Například student prošel 4 zkouškou a přijal následující ratingy: 3, 4, 4 a 5. Vypočítejte průměrné skóre podle středního aritmetického vzorce váženého: (3 * 1 + 4 * 2 + 5 * 1) / 4 \u003d 16/4 \u003d 4. Pokud jsou hodnoty x specifikovány ve formě intervalů, použije se pro výpočty středních intervalů X, které jsou definovány jako polovina asamentu horních a dolních hranic intervalu. A pokud interval X nemá nižší nebo horní hranici (otevřený interval), pak se používá k nalezení sklonu (rozdíl mezi horní a dolní hranicí) sousedního intervalu X. Například v podnikatelích podniku 10 s pracovními zkušenostmi do 3 let, 20 - se zkušenostmi ze 3 až 5 let, 5 zaměstnanců - se zkušenostmi více než 5 let. Pak vypočítáme průměrné zkušenosti s pracovníky pomocí vzorce průměrného aritmetického váženého, \u200b\u200bpřijímání jako x uprostřed intervalů zkušeností (2, 4 a 6 let): (2 * 10 + 4 * 20 + 6 * 5) / (10 + 20 + 5) \u003d 3,71 let.
Funkce Srnav.
Tato funkce vypočítává průměr (aritmetika) jeho argumentů.
Srvnov (číslo1; číslo2;)
Číslo1, číslo2, ... je od 1 do 30 argumentů, pro které se průměr vypočítá.
Argumenty musí být čísla nebo jména, pole nebo odkazy obsahující čísla. Pokud argument, který je pole nebo odkaz obsahuje texty, logické hodnoty nebo prázdné buňky, pak tyto hodnoty jsou ignorovány; Buňky, které obsahují nulové hodnoty, jsou však zohledněny.
Funkce Srdedcha.
Vypočítá průměr aritmetické hodnotyv seznamu argumentů. Kromě čísel, textových a logických hodnot, jako je pravda a lži, se mohou účastnit výpočtu.
Srdedcha (hodnota1, hodnota2, ...)
Význam1, hodnota2, ... je od 1 do 30 buněk, intervaly buněk nebo hodnoty, pro které se průměr vypočítá.
Argumenty musí být čísla, jména, pole nebo odkazy. Pole a odkazy obsahující text jsou interpretovány jako 0 (nula). Prázdný text ("") je interpretován jako 0 (nula). Argumenty obsahující hodnotu pravdy jsou interpretovány jako 1, argumenty obsahující hodnotu lež jsou interpretovány jako 0 (nula).
Průměrná aritmetika je nejčastěji aplikována, ale existují případy, kdy je nutné použít jiné typy průměrných hodnot. Zvážit takové případy dále.
Střední harmonický
Průměrný harmonický pro stanovení průměrného množství zpětných hodnot;
Střední harmonický Používá se, když počáteční data neobsahují frekvence f v samostatných hodnotách x a jsou prezentovány jako jejich produkt XF. Určení XF \u003d W, budeme exprimovat f \u003d w / x, a nahrazujeme tyto označení ve vzorci středního aritmetického váženého, \u200b\u200bzískáme vzorec průměrného harmonického pozastavení:
Průměrný harmonický vážený je tedy používán, když frekvence F není známa, a W \u003d XF je známo. V případech, kdy je vše w \u003d 1, to znamená, že jednotlivé hodnoty x se nacházejí v 1 čase, použije se vzorec pro střední harmonické jednoduché: 
nebo 
Například, auto jede z bodu A do bodu B rychlostí 90 km / h a zpět - rychlostí 110 km / h. Pro stanovení průměrné rychlosti jsme použili vzorec průměrného harmonického jednoduchého, protože příklad W 1 \u003d W 2 je uveden (vzdálenost od bodu A do bodu B je, stejně jako od BCA), která se rovná výrobku (x) po dobu (f). Průměrná rychlost \u003d (1 + 1) / (1/90 + 1/110) \u003d 99 km / h.
Funkce SRGARM.
Vrátí průměrnou harmonickou sadu dat. Průměrná harmonická je hodnota inverzní na průměrné aritmetické návratové hodnoty.
SRGRAM (číslo1; číslo2;)
Číslo1, číslo2, ... je od 1 do 30 argumentů, pro které se průměr vypočítá. Můžete použít pole nebo odkaz na pole namísto argumentů oddělených středníkem.
Průměrná harmonická je vždy menší než průměrná geometrická, která je vždy menší než průměrná aritmetika.
Střední geometrie
Průměrná geometrická geometrie pro odhad průměrných míra zvyšování náhodných proměnných, nalezení hodnoty funkce odpovídá z minimální a maximální hodnoty;
Střední geometrie Používá se při určování středních relativních změn. Geometrická průměrná hodnota dává nejvíce přesný výsledek V průměru, pokud je úkolem najít takovou hodnotu X, což by bylo ekvidistantní z maximální i minimální hodnoty X. Například v období od roku 2005 do roku 2008 Inflační index V Rusku činil: v roce 2005 - 1,109; V roce 2006 - 1.090; V roce 2007 - 1 119; V roce 2008 - 1,133. Vzhledem k tomu, že index inflace je relativní změna (index dynamika), pak je nutné vypočítat průměrnou hodnotu podle průměrné geometrie: (1,109 * 1,090 * 1,119 * 1,133) ^ (1/4) \u003d 1 1126, to Od roku 2005 do roku 2008 vzrostly každý rok v průměru o 11,26%. Chybný výpočet průměrné aritmetiky by poskytl nesprávný výsledek 11,28%.Funkce Srgeom.
Vrátí průměrné geometrické hodnoty pole nebo interval kladných čísel. Funkce SRGEOM lze například použít k výpočtu průměrných rychlost růstu, pokud je zadán kompozitní příjmy s proměnlivými sazbami.
Srgeom (číslo1, číslo2;)
Číslo1, číslo2, ... je od 1 do 30 argumentů, pro které se vypočítá průměrná geometrická geometrie. Můžete použít pole nebo odkaz na pole namísto argumentů oddělených středníkem.
Střední kvadratický
Průměrný kvadratický je počáteční okamžik druhého řádu.
Střední kvadratický Používá se v případech, kdy počáteční hodnoty x mohou být jak pozitivní, tak negativní, například při výpočtu středních odchylek.
Hlavní sféra používání kvadratického průměru je měření variace x hodnot. Střední kubický
Střední kubický - počáteční okamžik třetího řádu.
Střední kubický Je extrémně vzácný, například při výpočtu indexů chudoby obyvatelstva pro rozvojové země (Inn-1) a pro vyvinuté (Inn-2) navržené a vypočítané OSN.
Začínáme se hádat o průměrné hodnoty, nejčastěji si pamatují, jak dokončit školu a zapisovat vzdělávací instituce. Pak se na certifikát vypočítal střední skóre: Všechny odhady (a dobré, a ne příliš) byly složeny, výsledná částka byla rozdělena jejich číslem. To je nejjednodušší typ média, který se nazývá průměrný aritmetický jednoduchý. V praxi se používají různé typy středních velikostí v statistice: aritmetické, harmonické, geometrické, kvadratické, konstrukční médium. To nebo že jejich druh se používá v závislosti na povaze údajů a cílů studie.
průměrná hodnota Jedná se o nejběžnější statistický ukazatel, s nimiž se zobecnit charakteristiky sady jedním typovým jevem je uveden podle jednoho z variací značek. Ukazuje úroveň charakteristiky na jednotku agregátu. S pomocí médií je porovnáno porovnání různých souborů různých znaků, jsou studovány vzory vývoje fenoménů a veřejných životních procesů.
Ve statistice se používají dvě třídy média: výkon (analytické) a strukturální. Ten se používají k charakterizaci struktury variací série a bude projednána později v CH. osm.
Skupina výkonových průměrů se týká průměrné aritmetiky, harmonické, geometrické, kvadratické. Jednotlivé vzorce pro jejich výpočet lze přivést na mysl, společný pro všechny mocenské průměry, konkrétně
kde m je indikátorem průměru výkonu: v m \u003d 1 získáme vzorec pro výpočet středního aritmetiky, v m \u003d 0 - střední geometrické, m \u003d -1 - průměrný harmonický, v m \u003d 2 - střední kvadratické;
x I - Možnosti (hodnoty, které přijaly);
f I - frekvence.
Hlavním podmínkou, ve kterém může být použitý silný průměr ve statistické analýze, je jednotnost souboru, která by neměla obsahovat zdrojové údaje, ostře se liší v jejich kvantitativní hodnotě (nazývají anomální pozorování v literatuře).
Vykazujeme význam této podmínky následujícím příkladem.
Příklad 6.1. Vypočítávám průměrný plat zaměstnanců malého podniku.
| Č. P / p | Plat, otřete. | Č. P / p | Plat, otřete. |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 950 | 11 | 7 000 |
| 2 | 6 790 | 12 | 5 950 |
| 3 | 6 790 | 13 | 6 790 |
| 4 | 5 950 | 14 | 5 950 |
| 5 | 7 000 | 5 | 6 790 |
| 6 | 6 790 | 16 | 7 000 |
| 7 | 5 950 | 17 | 6 790 |
| 8 | 7 000 | 18 | 7 000 |
| 9 | 6 790 | 19 | 7 000 |
| 10 | 6 790 | 20 | 5 950 |
Pro výpočet průměrné velikosti mzdy je nutné shrnout mzdy, které naplynulo všem zaměstnancům podniku (tj. Najít mzdový fond) a dělí se počtem zaměstnanců:
A teď přidám pouze jednu osobu do našeho totality (ředitel tohoto podniku), ale s platem 50 000 rublů. V tomto případě bude vypočítaný průměr zcela odlišný:
Jak vidíte, překračuje 7000 rublů., Atd. Je to více než všechny známky znamení s výjimkou jednorázového pozorování.
Aby takové případy by došlo v praxi a průměr by neztratil svůj význam (v příkladu 6.1, již nesplňuje úlohu zobecňujících charakteristik souhrnného agregátu, který by měl být při výpočtu průměru) Abnormální, ostře rozlišují pozorování nebo vyloučit z analýzy a tématu nejvíce spojené s homogenní, nebo rozbít agregát pro homogenní skupiny a vypočítat střední hodnoty pro každou skupinu a analyzovat ne celkový průměr, ale průměrné průměry skupiny.
6.1. Průměrné aritmetické a jeho vlastnosti
Průměrná aritmetika se vypočítá buď jako jednoduchá nebo jako vážená hodnota.
Při výpočtu průměrné mzdy podle tabulky z příkladu 6.1 jsme složili všechny znakové hodnoty a rozdělili je. Průběh našich výpočtů bude psát ve formě vzorce středního aritmetického jednoduchého
kde x i je možnosti (individuální hodnoty funkce);
p je počet jednotek v agregátu.
Příklad 6.2. Nyní seskupil naše data z tabulky z příkladu 6.1 atd. Budeme konstruovat diskrétní variační rozsah distribuce mzdy působící z hlediska úrovně. Výsledky seskupení jsou uvedeny v tabulce.
Výraz píšeme pro výpočet průměrné úrovně platu v kompaktnějším formuláři:
V příkladu 6.2 byl aplikován průměrný aritmetik-vážený vzorec
kde f i - frekvence ukazují, kolikrát se setkává se charakterizace x i y jednotek agregátu.
Výpočet průměrného aritmetického váženého je vhodně prováděn v tabulce, jak je uvedeno níže (tabulka 6.3):
| Počáteční data | Odhadovaný indikátor | |
| plat, otřete. | počet zaměstnanců, lidí. | mzdový fond, otřít. |
| x I. | f i. | x i f i |
| 5 950 | 6 | 35 760 |
| 6 790 | 8 | 54 320 |
| 7 000 | 6 | 42 000 |
| CELKOVÝ | 20 | 132 080 |
Je třeba poznamenat, že průměrná aritmetika se používá v případech, kdy data nejsou seskupena nebo seskupena, ale všechny frekvence se rovnou navzájem.
Výsledky pozorování jsou často reprezentovány ve formě intervalu distribuce (viz tabulka v příkladu 6.4). Pak při výpočtu průměrně jako X jsem vezmu uprostřed intervalů. Pokud jsou první a poslední intervaly otevřeny (nemají jeden z hranic), jsou podmíněně "uzavřeny", převzaty hodnoty tohoto intervalu velikosti sousedního intervalu atd. První je uzavřena na základě druhé hodnoty a poslední je největší z předposlední hodnoty.
Příklad 6.3. Podle výsledků selektivního posouzení jedné ze skupin obyvatelstva vypočítáme velikost průměrného příjmu peněz na obyvatele.
Zadaná tabulka středu prvního intervalu je 500. Opravdu, hodnota druhého intervalu je 1000 (2000-1000); pak spodní řádek První je 0 (1000-1000) a jeho střed - 500. Podobně děláme s posledním intervalem. Pro jeho středem užíváme 25 000: Velikost předposledního intervalu 10 000 (20 000-10,000), pak jeho horní hranice - 30 000 (20 000 + 10 000) a uprostřed, resp.
| Měna peněžní příjmy, otřít. za měsíc | Populace obyvatelstva,% f i | Mid-intervaly x I | x i f i |
|---|---|---|---|
| Až 1 000. | 4,1 | 500 | 2 050 |
| 1 000-2 000 | 8,6 | 1 500 | 12 900 |
| 2 000-4 000 | 12,9 | 3 000 | 38 700 |
| 4 000-6 000 | 13,0 | 5 000 | 65 000 |
| 6 000-8 000 | 10,5 | 7 000 | 73 500 |
| 8 000-10 000 | 27,8 | 9 000 | 250 200 |
| 10 000-20 000 | 12,7 | 15 000 | 190 500 |
| 20 000 a vyšší | 10,4 | 25 000 | 260 000 |
| CELKOVÝ | 100,0 | - | 892 850 |
Průměrný trvalý měsíční příjem bude
Nejběžnějším typem média je průměrná aritmetika.
Průměrný aritmetický jednoduchý
Jednoduchá hodnota střední média je průměrný termín, při určování, který celkový objem této funkce v těchto funkcích je rovnoměrně distribuován mezi všemi jednotkami obsaženými v této sadě. Průměrná roční produkce výrobků na práci je tedy taková velikost množství výrobků, které by zaznamenaly každý zaměstnanec, pokud celý objem produktů vydaných ve stejném rozsahu byl distribuován mezi všemi zaměstnanci organizace. Střední průmyslová jednoduchá hodnota je vypočtena vzorcem:
Příklad 1. . Brigáda 6 pracovníků dostane za měsíc 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3,1 tisíc rublů.Jednoduchý střední aritmetika - rovnající se poměru součtu jednotlivých hodnot znamení k počtu funkcí v agregátu
Najít průměrný plat
Řešení: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 \u003d 3,32 tisíc rublů.
Střední aritmetika vážený
Pokud je množství celkových údajů velká a představuje řadu distribuce, pak se vypočítá vážená středně středně metová hodnota. To je způsob, jak je stanovena vážená průměrná cena za jednotku výroby: celkové náklady na výrobky (množství prací jeho počtu na cenu jednotky výrobků) je rozdělena na celkovou částku výrobků.
Představte si to ve formě následujícího vzorce:
Příklad 2. . Najít průměrný mzdový dílen za měsícVážený průměr aritmetika - rovnající se poměru (množství rozsahu hodnoty znakové hodnoty k četnosti opakování této funkce) k (součet frekvencí všech značek). Používá se, když se vyskytnou varianty ve studii podle studie počet časů.
Průměrný plat lze získat rozdělením celkového množství mezd pro celkový počet pracovníků:
Odpověď: 3,35 tisíc rublů.
Střední aritmetika pro interval řádek
Při výpočtu průměrné aritmetiky pro číslo intervalu variace nejprve určují průměr pro každý interval, jako polovina asfeumum horních a dolních hranic a pak - průměrný celkový řádek. V případě otevřených intervalů se hodnota dolního nebo horního intervalu stanoví velikost intervalů sousedních s nimi.
Průměr vypočtený z řad intervalu je přibližný.
Příklad 3.. Určete průměrný věk studentů večerní větve.
Průměr vypočtený z řad intervalu je přibližný. Stupeň jejich aproximace závisí na rozsahu, v jakém se přiblíží skutečné rozložení jednotek souboru uvnitř intervalu.
Při výpočtu média jako závaží, nejen absolutní, ale také relativní hodnoty (frekvence):
Průměrný aritmetika má řadu vlastností, které plně odhalují svou podstatu a zjednodušte výpočet:
1. Výrobek průměru na součet frekvencí se vždy rovná množství varianty frekvence, tj.
2. vyšší aritmetické množství Různé hodnoty se rovnou součtem průměrné aritmetiky těchto veličin:
3. Algebraické množství odchylek jednotlivých hodnot funkce z průměru je nula:
4. Sdělení čtverců odchylek odchylek z průměrného menšího než součet čtverců odchylek od jakékoli jiné libovolné hodnoty, tj.
Statistiky používají různé typy průměrných hodnot, které jsou rozděleny do dvou velkých tříd:
Elektrické médium (průměrná harmonická, střední geometrická, průměrná aritmetika, střední čtyřkolka, střední krychlový);
Strukturální médium (móda, medián).
Pro výpočet mocenské médiummusíte použít všechny dostupné hodnoty funkce. Módaa mediánje určena pouze distribuční struktura, takže se nazývají strukturní, polohové průměry. Medián a móda jsou často používány jako průměrná charakteristika v těchto agregátech, kde výpočet středního výkonu je nemožný nebo nehodný.
Nejběžnějším typem střední velikosti je průměrná aritmetika. Pod střední aritmetikarozumí se jako význam znamení, které by mělo každou jednotku agregátu, pokud celkový výsledek všech známek označení byl rovnoměrně rozdělen mezi všemi jednotkami agregátu. Výpočet této hodnoty se sníží na součet všech hodnot změny a rozdělení celkové částky celkového počtu jednotek shody. Například pět pracovníků provedlo objednávku pro výrobu detailů, zatímco první vyrobené 5 dílů, druhý - 7, třetí - 4, čtvrté - 10, pět - 12. Vzhledem k zdrojových datech, hodnota každého Možnost byla nalezena pouze jednou, pro určení
průměrná výroba jednoho pracovního pracovníka by měla aplikovat vzorec jednoduchého středního aritmetika:
i.e. V našem příkladu je průměrná generace jedné workshopu stejná
Spolu s jednoduchou střední aritmetickou studií střední aritmetické vážené.Například vypočítáme průměrný věk studentů ve skupině 20 lidí, jehož věk, který se liší od 18 do 22 let, kde xi. - možnosti průměrného znamení, fi. - Frekvence, která ukazuje, kolikrát je nalezen tJ.hodnota v souhrnu (tabulka 5.1).
Tabulka 5.1.1.1.1
Studenti středního věku
Pomocí vzorce středního aritmetického váženého, \u200b\u200bdostaneme:
Chcete-li vybrat průměrný aritmetický vážený, existuje specifické pravidlo: Pokud existuje řada dat na dvou indikátorech, z nichž jeden je nutné vypočítat
střední hodnotaA zároveň známy numerické hodnoty jmenovatele jeho logického vzorce a hodnoty numerátoru nejsou známy, ale lze nalézt jako produkt těchto ukazatelů, průměrná hodnota by měla být vypočtena středním aritmetickým vzorcem.
V některých případech je povaha původních statistických údajů taková, že výpočet průměrné aritmetiky ztrácí svůj význam a pouze jeden typ střední velikosti může sloužit jako jediný generalizační indikátor - střední harmonický.V současné době, výpočetní vlastnosti průměrného aritmetiky ztratily svůj význam při výpočtu zobecnění statistických ukazatelů z důvodu rozšířeného zavedení elektronických počítačů. Skvělý praktická hodnota Získaná průměrná harmonická hodnota, která je také jednoduchá a vážená. Pokud jsou známy číselné hodnoty logického čísla vzorce vzorce, a hodnoty jmenovatele nejsou neznámé, ale lze nalézt jako soukromé rozdělení jednoho indikátoru na druhé straně, průměrná hodnota se vypočítá vzorecem průměrný harmonický vážený.
Například, informujte to vědět, že auto prošel prvním 210 km rychlostí 70 km / h a zbývajících 150 km při rychlosti 75 km / h. Určete průměrnou rychlost vozidla po celé cestě 360 km za použití středního aritmetického vzorce, je nemožné. Takže možnosti jsou rychlosti v samostatných oblastech xJ.\u003d 70 km / h a X2.\u003d 75 km / h a vážení (FI) jsou považovány za odpovídající segmenty cesty, pak práce závaží nebude mít fyzikální ani ekonomický význam. V tomto případě je význam získán soukromými sekcemi segmentů cest do odpovídajících rychlostí (možnosti XI), tj. Čas na čas pro průchod jednotlivých částí cesty (FI) / xI). Pokud se segmenty cesty označují přes fi, pak celou cestu k vyjádření jak? FI a čas strávený na celé cestě - jak? fi. / xi. , Průměrná rychlost pak lze nalézt jako soukromý od dělení celé cesty k celkovým časovým nákladům:
V našem příkladu dostaneme:
Pokud používáte průměrnou harmonickou hmotnost všech variant (F), jsou stejné, pak lze použít váhu jednoduchý (neuvěřitelný) průměrný harmonický:
kde xi jsou samostatné možnosti; n. - počet podmínek průměrné funkce. V příkladu, s rychlostí, jednoduché vysoké harmonické by mohly být aplikovány, pokud se rovná segmentům cesty pocházejících s různými rychlostmi.
Jakýkoliv průměr musí být vypočítán tak, aby při výměně každé verze zprůměrované funkce, velikost určitého konečného generálního indikátoru, který je spojen s průměrným indikátorem, se nezměnil. Takže při výměně skutečných rychlostí na samostatných segmentech cest své průměrné velikosti (průměrná rychlost) by neměla být změněna celková vzdálenost.
Vzorec (vzorec) průměrné hodnoty je určen povahou (mechanismem) vztahu tohoto konečného ukazatele s průměrem, takže konečný indikátor, jejichž hodnota by neměla být změněna, když se volají možnosti jejich průměrné hodnoty určení indikátoru.Pro výstup vzorce musí být průměr sestaven a vyřešen rovnicí pomocí vztahu průměrného indikátoru s rozhodujícím. Tato rovnice je postavena nahrazením variant zprůměrné funkce (indikátoru) jejich průměrné hodnoty.
Kromě středního aritmetického a středního harmonického v statistice se používají jiné typy (formuláře) průměrné hodnoty. Jsou to zvláštní případy průměr.Pokud vypočítáte všechny typy výkonových průměrů pro stejná data, pak hodnoty
budou stejné, tady je pravidlo mAJO-JARENSE.střední. S nárůstem průměrného průměru se průměrná hodnota sama zvyšuje. Nejčastěji používané vzorce pro výpočet různých typů výkonových průměrů je uveden v tabulce. 5.2.
Tabulka 5.2.
Typy elektrického média
Průměrná geometrická geometrie platí, když je n.koeficienty růstu, zatímco jednotlivé hodnoty funkce jsou zpravidla relativní hodnoty reproduktorů vytvořené ve formě hodnot řetězce jako vztah k předchozí úrovni každé úrovně v řadě reproduktorů . Průměrný průměrný koeficient růstu. Průměrná geometrická jednoduchávypočteno vzorcem
Vzorec střední geometrický pozastavenmá následující formulář:
Výše uvedené vzorce jsou identické, ale jeden se používá při současných koeficientech nebo rychlostech růstu a druhý - s absolutními hodnotami hladin řádků.
Střední kvadratickýpoužívá se při výpočtu s hodnotami čtvercových funkcí, používá se k měření stupně množství jednotlivých hodnot vlastnosti kolem průměrné aritmetiky v řadách distribuce a vypočítá se vzorcem
Střední kvadratický váženývypočteno pro jiný vzorec:
Střední kubickýpoužívá se při výpočtu s hodnotami krychlových funkcí a vypočítá se vzorcem
střední kubický vážený:
Všechny výše uvedené průměry mohou být reprezentovány jako obecný vzorec:
kde je průměrná hodnota; - individuální hodnota; n. - počet jednotek běžného agregátu; k. - Indikátor, který určuje typ média.
Při použití stejných zdrojových dat než více k.v obecném vzorci, energetické médium, tím větší je průměrná hodnota. Z toho vyplývá, že mezi hodnotami průměru výkonu je pravidelný poměr:
Průměrné hodnoty popsané výše poskytují generalizované zastoupení společného souhrnu az tohoto hlediska je jejich teoretický, aplikovaný a kognitivní význam nepochybně. Stává se však, že hodnota průměru se neshoduje s žádným z vlastních stávajících možností, takže kromě významů zvažovaných ve statistické analýze je vhodné použít hodnoty specifických možností, které zabírají v objednávce (hodnocené) znamení známek velmi specifické polohy. Mezi tyto hodnoty jsou nejčastěji používány strukturálnínebo popisný, průměr - Móda (MO) a medián (mě).
Móda - Hodnota znamení, která je nejčastěji nalezená v tomto celku. S ohledem na variační sérii módy je nejčastější hodnota řady řady, tj. Možnost s nejvyšší frekvencí. Móda lze použít při určování obchodů, které jsou častěji navštíveny nejčastější cenou pro každý produkt. Ukazuje velikost znamení, která je charakteristická pro významnou část celku, je určena vzorcem
kde x0 je dolní hranice intervalu; h. - velikost intervalu; fM. - četnost intervalu; fm_1 - Frekvence předchozího intervalu; fM +.1 - Frekvence dalšího intervalu.
Mediánvolaná možnost umístěná v centru řady. Medián rozděluje číslo do dvou stejných částí takovým způsobem, že na obou stranách je stejný počet jednotek agregátu. Současně, na jedné polovině jednotek agregátu, hodnota proměnlivého znamení je menší než medián, druhá je více. Medián se používá při studiu prvku, jehož hodnota je větší nebo rovna nebo ve stejné době menší nebo rovna polovině prvků řady distribuce. Mediana dává obecnou představu o tom, kde jsou hodnoty znamení zaměřeny, jinými slovy, kde se nachází jejich centrum.
Popisná povaha mediánu se projevuje v tom, že charakterizuje kvantitativní hranici hodnot charakteristiky variace, která má polovinu jednotek agregátu. Úkolem nalezení mediánů pro diskrétní rozsah variací je jednoduše vyřešen. Pokud jsou všechny jednotky řady pořadových čísel, sekvenční číslo střední varianty je definováno jako (P +1) / 2 s lichým počtem členů p. Pokud je počet členů řádků dokonce i číslo, pak bude mediánem Průměrná hodnota dvou možností, které mají sekvenční čísla n./ 2 I. n./ 2 + 1.
Při určování mediánu v řadách intervalu variace se stanoví interval, ve kterém je (střední interval) určen. Tento interval je charakterizován skutečností, že jeho akumulované množství frekvencí se rovná nebo překračuje hemishamm všech frekvencí řady. Výpočet mediánů čísla intervalu variace je proveden vzorcem
kde X0. - dolní hranice intervalu; h. - velikost intervalu; fM. - četnost intervalu; f.- počet členů série;
M. -1 - Součet akumulovaných členů série předcházejícím.
Spolu s mediánem plné vlastnosti Struktury běžného agregátu jsou používány jinými hodnotami možností, které zabírají zcela určitou pozici v řadě. Tyto zahrnují čtvrtinya decil.Jídlo sdílejí řadu frekvencí ve 4 rovných částech a Decil - na 10 stejných částech. Tři čtvrtiny jsou tři a decile - devět.
Medián a móda, na rozdíl od průměrného aritmetika, neplatí jednotlivé rozdíly v hodnotách různé funkce, a proto jsou další a velmi důležité vlastnosti statistického agregátu. V praxi se často používají místo průměru nebo spolu s ním. Je zvláště vhodné vypočítat medián a módu v případech, kdy celková sada obsahuje určitý počet jednotek s velmi velkou nebo velmi malou hodnotou variací. Tyto, ne příliš charakteristické pro stanovenou hodnotu možností, ovlivňující hodnoty průměrné aritmetiky, neovlivňují medián a módní hodnoty, což činí nejnovější velmi cennou pro ekonomickou a statistickou analýzu.
