So subtrahieren Sie zwei Fraktionen mit unterschiedlichem. Addition und Subtraktion von algebraischen Fraktionen: Regeln, Beispiele

Zu verstehen, wie man einen Bruchteil mit klappt unterschiedlicher NennerZuerst studieren wir die Regel und berücksichtigen dann bestimmte Beispiele.

Umfraktionen mit unterschiedlichen Nennern zu falten oder zu subtrahieren, ist es notwendig:

1) Find (Nase) Datenfraktionen.

2) Finden Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Fraktion. Dazu muss ein neuer Nenner in Alt eingeteilt werden.

3) Multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner jeder Fraktion mit einem zusätzlichen Faktor und falten oder subtrahieren Sie Fraktionen mit denselben Nennern.

4) Prüfen Sie, ob der resultierende Fraktion korrekt ist und nicht aufgebaut ist.

In den folgenden Beispielen ist es notwendig, Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern hinzuzufügen oder zu subtrahieren:

1) Um Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, suchen wir zuerst nach dem kleinsten gemeinsamen Nenner dieser Fraktionen. Wir wählen mehr von Zahlen und prüfen, ob es in weniger unterteilt ist. 25 auf 20 ist nicht aufgeteilt. Wir multiplizieren 25 um 2, 50 bis 20 sind nicht aufgeteilt. Wir multiplizieren 25 um 3. 75 um 20, es ist nicht geteilt. Multiplizieren Sie 25 um 4, 100 bis 20 ist geteilt. Der kleinste Gesamtnichtator ist also 100.

2) Um jedem Fraktion einen zusätzlichen Faktor zu finden, benötigen Sie einen neuen Nenner, um auf dem alten zu teilen. 100: 25 \u003d 4, 100: 20 \u003d 5. Dementsprechend ist die erste Fraktion ein zusätzlicher Faktor 4 bis zum zweiten - 5.

3) Multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner jeder Fraktion mit einem zusätzlichen Faktor und subtrahieren Sie den Fraktion gemäß den Regeln, um Fraktionen mit den gleichen Nennern subtrahierenden Nennern zu subtrahieren.

4) Die resultierende Fraktion ist korrekt und untröstlich. Das ist also die Antwort.

1) Um die Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern zu falten, suchen wir zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner. 16 an 12 ist nicht teilbar. 16 ∙ 2 \u003d 32 bis 12 ist nicht aufgeteilt. 16 ∙ 3 \u003d 48 auf 12 ist aufgeteilt. Also, 48 - Nos.

2) 48: 16 \u003d 3, 48: 12 \u003d 4. Dies sind zusätzliche Faktoren für jeden Fraktion.

3) Multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner jeder Fraktion mit einem zusätzlichen Faktor und falten Sie neue Fraktionen.

4) Die resultierende Fraktion ist korrekt und unauffällig.

1) 30 ist nicht in 20 unterteilt. 30 ∙ 2 \u003d 60 bis 20 ist geteilt. SO 60 ist der kleinste gemeinsame Nenner dieser Fellen.

2) Um jedem Fraktion einen zusätzlichen Multiplizierer zu finden, benötigen Sie einen neuen Nenner, um alt zu teilen: 60: 20 \u003d 3, 60: 30 \u003d 2.

3) Multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner jeder Fraktion mit einem zusätzlichen Faktor und subtrahieren Sie neue Fraktionen.

4) der resultierende Schuss 5.

1) 8 ist nicht in 6 unterteilt. 8 ∙ 2 \u003d 16 bis 6 ist nicht aufgeteilt. 8 ∙ 3 \u003d 24 ist in 4 unterteilt, und auf 6. SO 24 ist Nase.

2) Um jedem Bruchzeiger einen zusätzlichen Multiplizierer zu finden, benötigen Sie einen neuen Nenner, um auf dem alten Teilen zu teilen. 24: 8 \u003d 3, 24: 4 \u003d 6, 24: 6 \u003d 4. So sind 3, 6 und 4 zusätzliche Fehler an der ersten, zweiten und dritten Fraktion.

3) Multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner jedes Dolby auf einem zusätzlichen Faktor. Wir falten und abziehen. Die resultierende Fraktion ist falsch, daher ist es notwendig, das gesamte Teil zuzuteilen.

Dieser Artikel beginnt mit der Untersuchung von Aktionen mit algebraischen Fraktionen: Betrachten Sie detailliert solche Aktionen als Addition und Subtraktion algebraische Fraktionen.. Wir werden das Ergänzungssystem analysieren und algebraische Fraktionen wie bei denselben Nennern und mit unterschiedlichem Subtrahieren analysieren. Wir studieren, wie Sie den algebraischen Fraktion mit dem Polynom klappen und wie sie abziehen können. In bestimmten Beispielen erklären wir jeden Schritt, um Probleme zu lösen.

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Ergänzung und Subtraktion mit denselben Nennern

Das Schema der Zugabe von gewöhnlichen Fraktionen gilt für Algebraic. Wir wissen, dass es beim Hinzufügen oder Subtrahieren von gewöhnlichen Fraktionen mit denselben Denominanten erforderlich ist, um ihre Ziffern hinzuzufügen oder abzusenden, und der Nenner bleibt der ursprüngliche.

Beispiel: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 und 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.

Dementsprechend wird die Bildung und Subtraktion von algebraischen Fraktionen mit denselben Denominsiven auf ähnliche Weise aufgezeichnet:

Definition 1.

Um algebraische Fraktionen mit den gleichen Nennern zu additionieren oder subtrahieren, ist es erforderlich, entsprechend zu kompilieren oder die Quellfraktionszahlen zu subtrahieren, und der Nenner wird unverändert aufgezeichnet.

Diese Regel ermöglicht es, zu dem Schluss zu ziehen, dass das Ergebnis der Zugabe oder der Subtraktion von algebraischen Fraktionen eine neue algebraische Fraktion ist (im speziellen Fall: Polynom, Single oder Anzahl).

Geben Sie ein Beispiel an, das die formulierte Regel anwendet.

Beispiel 1.

Algebraische Fraktionen sind gegeben: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 und 3 - x · y x 2 · y - 2. Es ist notwendig, sie zusätzlich zu machen.

Entscheidung

Die anfänglichen Fraktionen enthalten die gleichen Nenner. Laut der Regel führen wir die Zugabe von Zahlen durch Fraktionen durch, und der Nenner bleibt unverändert.

Nach dem Falten der Polynome, die Zähler der Quellfraktionen sind, erhalten wir: x 2 + 2 · x · y - 5 + 3 - x · y \u003d x 2 + (2 · x · y - y y y) - 5 + 3 \u003d x 2 + x · y - 2.

Dann wird der gewünschte Betrag aufgenommen als: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

In der Praxis wird wie in vielen Fällen die Lösung von einer Gleichheitskette gebracht, die visuell alle Stufen der Lösung zeigt:

x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · yx 2 · y - 2 \u003d x 2 + 2 · x · y - 5 + 3 - x · yx 2 · y - 2 \u003d x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2

Antworten: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 \u003d x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

Das Ergebnis der Zugabe oder der Subtraktion kann in diesem Fall eine verringerte Fraktion sein, in diesem Fall ist es optimal reduziert.

Beispiel 2.

Es ist notwendig, von der algebraischen Fraktion X x 2 bis 4 y 2 Fraktion 2 y x 2 - 4 y 2 zu subtrahieren.

Entscheidung

Rannel der anfänglichen Fraktionen sind gleich. Wir werden Maßnahmen mit Zähler machen, nämlich: wird vom Nizer des ersten Bruchteils des zweiten subtrahiert, danach werde ich das Ergebnis schreibe, wodurch der Nenner unverändert bleibt:

x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 · y x 2 - 4 · y 2

Wir sehen, dass die resultierende Fraktion reduziert wird. Wir führen ihre Reduktion durch und konvertieren einen Nenner mit der Quadratdifferenzformel:

x - 2 · y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 · y (x - 2 · y) · (x + 2 · y) \u003d 1 x + 2 · y

Antworten: x x 2 - 4 · y 2 - 2 y x 2 - 4 · y 2 \u003d 1 x + 2 · y.

Für das gleiche Prinzip werden drei und mehr algebraische Fraktionen mit den gleichen Nennern abgezogen oder subtrahiert. Z.B:

1 x 5 + 2 · x 3 - 1 + 3 · x - x 4 x 5 + 2 · x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 · x 3 - 1 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1 \u003d 1 + 3 · x - x 4 - x 2 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1

Ergänzung und Subtraktion an verschiedenen Nennern

Wenden Sie sich wieder an das Aktionsschema mit gewöhnlichen Fraktionen: Ergänzungen oder subtrahierende gewöhnliche Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern, ist es notwendig, sie dazu zu bringen gemeinsamer NennerUnd dann die resultierenden Fraktionen mit den gleichen Nennern zusammengefaltet.

Beispielsweise 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 oder 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.

Auch in Analogie formulieren wir die Ergänzungsregel und Subtraktion von algebraischen Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern:

Definition 2.

Um algebraische Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern zu erhalten oder subtrahieren, ist es notwendig:

quellfraktionen führen zu einem gemeinsamen Nenner;
ergänzung oder Subtraktion von Fraktionen durchführen, die mit den gleichen Nennern erhalten werden.

Offensichtlich ist der Schlüssel hier die Fähigkeit, algebraische Fraktionen in den allgemeinen Nenner zu bringen. Wir werden mehr analysieren.

Algebraische Fraktionen in einen gemeinsamen Nenner bringen

Um algebraische Fraktionen an einen gemeinsamen Nenner zu bringen, ist es notwendig, umzusetzen identische Konvertierung. Definierte Fraktionen, dadurch, dass die Nenner der anfänglichen Fraktionen gleich werden. Es ist optimal, hier auf folgendem Algorithmus für algebraische Fraktionen zu einem gemeinsamen Nenner zu handeln:

erstens bestimmen wir den gesamten Nenner von algebraischen Fraktionen;
dann finden wir zusätzliche Fehler für jede der Fraktionen und teilen den allgemeinen Nenner auf die Anzeichen der anfänglichen Fraktionen;
die letztere Wirkung, die Ziffern und die Nenner der angegebenen algebraischen Fraktionen werden mit den entsprechenden zusätzlichen Fehlern multipliziert.

Beispiel 3.

Algebraische Fraktionen sind gegeben: A + 2 2 · A 3 - 4 · A 2, A + 3 3 · A 2 - 6 · A und A + 1 4 · A 5 - 16 · A 3. Es ist notwendig, sie in den allgemeinen Nenner zu bringen.

Entscheidung

Wir handeln nach dem obigen Algorithmus. Wir definieren den gesamten Nenner der anfänglichen Fraktionen. Zu diesem Zweck werden wir die Nenner der Fraktionen der Fehlern zersetzen: 2 · A 3 - 4 · a 2 \u003d 2 · a 2 · (A - 2), 3 · a 2 - 6 · a \u003d 3 · a · (A - 2) und 4 · A 5 - 16 · A 3 \u003d 4 · A 3 · (A - 2) · (A + 2). Von hier aus können wir einen gemeinsamen Nenner schreiben: 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2).

Jetzt müssen wir zusätzliche Multiplizierer finden. Wir teilen nach dem Algorithmus den allgemeinen Nenner an den Nenner der anfänglichen Fraktionen fest:

für den ersten Fraktion: 12 · a 3 · (A - 2) · (A + 2): (2 · A 2 · (A - 2)) \u003d 6 · A · (A + 2);
für den zweiten Fraktion: 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2): (3 · A · (A - 2)) \u003d 4 · A 2 · (A + 2);
für den dritten Bruchteil: 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2): (4 · A 3 · (A - 2) · (A + 2)) \u003d 3 .

Der nächste Schritt ist die Multiplikation von Zähler und Nennern der angegebenen Fraktionen für die gefundenen zusätzlichen Faktoren:

a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 \u003d (a + 2) · 6 · a · a · (a + 2) (2 · a 3 - 4 · a 2) · 6 · a · (a + 2) \u003d 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) a + 3 3 · a 2 - 6 · a \u003d (a + 3) · 4 · a 2 · ( a + 2) 3 · a 2 - 6 · a · 4 · a 2 · (a + 2) \u003d 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (A + 2) A + 1 4 · A 5 - 16 · A 3 \u003d (A + 1) · 3 (4 · A 5 - 16 · A 3) · 3 \u003d 3 · (A + 1) 12 · a 3 · (A - 2) · (A + 2)

Antworten: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 \u003d 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (A-2) · (A + 2); A + 3 3 · A 2 - 6 · A \u003d 4 · a 2 · (A + 3) · (A + 2) 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2); A + 1 4 · A 5 - 16 · A 3 \u003d 3 · (A + 1) 12 · A 3 · (A - 2) · (A + 2).

Also haben wir den Quellfraktion an den allgemeinen Nenner geführt. Bei Bedarf können Sie das Ergebnis weiterhin in die Art der algebraischen Fraktionen umwandeln, um Polynome und Universitionen in Zähler und Nennern multiplizieren.

Wir klären auch einen solchen Moment: Der fundierte Gesamtnenner ist optimal in Form einer Arbeit, um die endgültige Fraktion zu reduzieren.

Wir überprüften das detaillierte System, um die anfänglichen algebraischen Fraktionen in einen gemeinsamen Nenner zu bringen, jetzt können wir nun mit der Analyse von Beispielen für Zugabe und Subtraktion von Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern fortfahren.

Beispiel 4.

Algebraische Fraktionen sind gegeben: 1 - 2 · x x 2 + x und 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2. Es ist notwendig, die Wirkung ihrer Zugabe vorzunehmen.

Entscheidung

Die anfänglichen Fraktionen haben unterschiedliche Nenner, also geben wir ihnen zunächst einem gemeinsamen Nenner. Abgespielte Nenner für Multiplikatoren: x 2 + x \u003d x · (x + 1) und x 2 + 3 · x + 2 \u003d (x + 1) · (x + 2),weil Roots quadratische Drei-Schüsse x 2 + 3 · x + 2 Dies sind Zahlen: - 1 und - 2. Bestimmen Sie den allgemeinen Nenner: x · (x + 1) · (x + 2), dann werden zusätzliche Fehler sein: X + 2.und - X.für die erste bzw. zweite Fraktion.

Somit: 1 - 2 · xx 2 + x \u003d 1 - 2 · xx · (x + 1) \u003d (1 - 2 · x) · (x + 2) x · (x + 1) · (x + 2) \u003d x + 2 - 2 · x 2 - 4 · xx · (x + 1) · x + 2 \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) und 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x \u003d 2 · X 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2)

Jetzt legen Sie die Fraktionen, die wir zu einem gemeinsamen Nenner geführt haben:

2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · 2 · xx · (x + 1) · (x + 2)

Der resultierende Fraktion ist möglich, um den gesamten Multiplizierer zu reduzieren x + 1:

2 + 2 · x x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · (x + 1) x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 x · (x + 2)

Und schließlich wird das resultierende Ergebnis in Form einer algebraischen Fraktion aufgezeichnet, wodurch die Arbeit in den Nenner des Polynoms ersetzt wird:

2 x · (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 · x

Wir schreiben die Entscheidung der Entscheidung kurz als Gleichheitskette an:

1 - 2 · xx 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 1 - 2 · xx · (x + 1) + 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2) ) \u003d \u003d 1 - 2 · x · (x + 2) x · x + 1 · x + 2 + 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · x + 1 x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 x · (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 · x

Antworten: 1 - 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 · x

Achten Sie auf dieses Detail: Bevor der algebraischen FraktionAsas falten oder abzieht, ist es wünschenswert, sie umzuwandeln, um sie zu vereinfachen.

Beispiel 5

Es ist notwendig, die Subtraktion von Fraktionen durchzuführen: 2 1 1 3 · x - 2 21 und 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Entscheidung

Wir verwandeln Quellalgebra-Fraktionen, um die weitere Lösung zu vereinfachen. Ich werde die Anzahl der variablen Koeffizienten im Nenner übertragen:

2 1 1 3 · x - 2 21 \u003d 2 4 3 · x - 2 21 \u003d 2 4 3 · x - 1 14 und 3 · x - 1 1 1 7 - 2 · x \u003d 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14.

Diese Transformation gab uns eindeutig Vorteile: Wir sehen offensichtlich das Vorhandensein eines gemeinsamen Faktors.

Ich werde numerische Koeffizienten in den Nennern loswerden. Dazu verwenden wir das Grundeigentum von algebraischen Fraktionen: Der Zähler und der Nenner der ersten Fraktion werden mit 3 4 und dem zweiten auf - 1 2 multipliziert, dann erhalten wir:

2 4 3 · x - 1 14 \u003d 3 4 · 2 3 4 · 4 3 · x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 und 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14 \u003d - 1 2 · 3 · x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 \u003d - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14.

Wir werden die Aktion durchführen, die es uns ermöglicht, Fraktionierkoeffizienten loszuwerden: Multiplizieren Sie die resultierenden Fraktionen an 14:

3 2 x - 1 14 \u003d 14 · 3 2 14 · x - 1 14 \u003d 21 14 · x - 1 und - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 · 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 · x + 7 14 · x - 1.

Führen Sie schließlich die in der Bedingung erforderliche Aktion aus - Subtraktion:

2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x \u003d 21 14 · x - 1 - - 21 · x + 7 14 · x - 1 \u003d 21 - - 21 · x + 7 14 · X - 1 \u003d 21 · x + 14 14 · x - 1

Antworten: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x \u003d 21 · x + 14 14 · x - 1.

Addition und Subtraktion von algebraischen Fraktionen und Polynomen

Diese Aktion wird auch auf das Hinzufügen oder Subtrahieren von algebraischen Fraktionen reduziert: Es ist notwendig, das ursprüngliche Polynom als Fraktion mit dem Nenner 1 einzureichen.

Beispiel 6.

Es ist notwendig, ein Polynom herzustellen x 2 - 3 mit algebraischen Fraktion 3 · x x + 2.

Entscheidung

Wir schreiben ein Polynom als algebraische Fraktion mit einem Nenner 1: x 2 - 3 1

Jetzt können wir den Zugriff durch die Regel des Bruchteils von Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern durchführen:

x 2 - 3 + 3 · xx + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 · xx + 2 \u003d x 2 - 3 · (x + 2) 1 · x + 2 + 3 · xx + 2 \u003d x 3 + 2 · X 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · xx + 2 \u003d x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · xx + 2 \u003d x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2 .

Antworten: x 2 - 3 + 3 · x x + 2 \u003d x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, wählen Sie es aus und drücken Sie STRG + ENTER

Beachten Sie! Bevor Sie eine endgültige Antwort schreiben, sehen Sie, können Sie den von Ihnen erhaltenen Fraktion abschneiden.

Bruchteile mit den gleichen Nennern subtrahieren, Beispiele:

Den richtigen Fraktion von einem subtrahieren.

Wenn es notwendig ist, vom Gerät abzugleichen, was korrekt ist, wird das Gerät in den Kopf der falschen Fraktion übertragen, es ist gleich dem Nenner der resultierenden Fraktion.

Ein Beispiel für die Subtraktion der richtigen Fraktion von einem:

Nenner subtrahierte Fraci. = 7 , d. H. Das Gerät präsentiert sich in Form einer falschen Fraktion 7/7, und wir reichen nach der Regel der Subtraktion von Fraktionen mit denselben Nennern ein.

Die korrekte Fraktion von einer Ganzzahl subtrahieren.

Regeln für Subtraktionsfraktionen - korrigieren von einer Ganzzahl (Natürliche Zahl):

Wir übersetzen die angegebenen Fraktionen, die einen ganzen Teil enthalten, im Falschen. Wir erhalten normale Bedingungen (es spielt keine Rolle, ob sie mit unterschiedlichen Nennern sind), die wir je nach den oben angegebenen Regeln betrachten;
Berechnen Sie als nächstes den Unterschied der Fraktionen, die wir erhalten haben. Infolgedessen werden wir fast die Antwort finden;
Wir führen die entgegengesetzte Transformation durch, dh wir werden den falschen Fraktion loswerden - wir ordieren den Fraktion als Ganzes Teil.

Die richtige Fraktion wird von einer Ganzzahl abgezogen: Stellen Sie eine natürliche Zahl in Form einer gemischten Zahl dar. Jene. Wir besetzen eine Einheit in einer natürlichen Zahl und übersetzen sie auf die Art der falschen Fraktion, der Nenner ist derselbe wie die der abgezogenen Fraktion.

Beispiel für Subtraktionsfraktionen:

In dem Beispiel ersetzten wir die Einheit der Einheit von 7/7 und anstelle von 3 wurde eine gemischte Zahl und eine Fraktion vom fraktionierten Teil weggenommen.

Subtrahieren Sie Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern.

Oder, wenn Sie mit anderen Worten sagen, subtraktion verschiedener Fraktionen.

Die Abzugsregel von Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern.Um Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern abzugleichen, ist es notwendig, diese Fraktionen an den kleinsten gemeinsamen Nenner (Nase) zu führen, und erst nach der Zeit, wenn es sowohl mit Fraktionen mit den gleichen Nennern subtrahiert wird.

Der allgemeine Nenner mehrerer Fraktionen ist NOK (das kleinste Gesamtmultil) Natürliche Zahlen, die Nenner dieser Fellen sind.

Beachtung! Wenn in der endgültigen Fraktion im Zähler und der Nenner allgemeiner Multiplikatoren vorhanden sind, muss der Fraktion reduziert werden. Die falsche Fraktion ist besser, sich in Form einer gemischten Fraktion vorzustellen. Lassen Sie das Ergebnis der Subtraktion, ohne den Fraktion zu verringern, wo es eine Gelegenheit gibt - dies ist eine unfertige Lösung des Beispiels!

Das Verfahren für subtrahierende Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern.

finden Sie NOC für alle Nenner;
setzen Sie zusätzliche Multiplikatoren für alle Fraktionen ein;
multiplizieren Sie alle Ziffern für einen zusätzlichen Faktor;
die erhaltenen Werke werden in den Zähler geschrieben, wobei der Gesamtnetz unter allen Fraktionen unterzeichnet wird;
bestimmung der Bruchzähler, unterzeichnet einen gemeinsamen Nenner unter dem Unterschied.

Auf dieselbe Weise werden die Zugabe und Subtraktion von Fraktionen in Gegenwart von Buchstaben im Zähler durchgeführt.

Subtraktionsfraktionen, Beispiele:

Vermischte Fraktionen subtrahieren.

Zum mischfraktionen subtrahieren (Zahlen) Separat wird es von dem ganzzahligen Teil abgezogen, und der fraktionierte Teil wird vom fraktionalen Teil abgezogen.

Die erste Version der Subtraktion von Mischfraktionen.

Wenn fraktionierte Teile das gleiche Rannels und ein Zähler des fraktionierten Teils des reduzierten (subtrahieren Sie davon) ≥ Numerator des fraktionierten Teils des subtrahierbaren (Abzugs).

Beispielsweise:

Die zweite Version der Subtraktion von Mischfraktionen.

Wenn in fraktionalen Teilen anders Rannels. Für einen Start bringen wir fraktionale Teile in den allgemeinen Nenner, und dann führen wir die Subtraktion des gesamten Teils des Ganzen und des fraktionierten Fraktionen durch.

Beispielsweise:

Dritte Version der Subtraktion von Mischfraktionen.

Der fraktionierte Teil des verringerten weniger fraktionierten Teils wird subtrahiert.

Beispiel:

weil In fraktionellen Teilen, unterschiedliche Nenner, was heißt, wie bei der zweiten Ausführungsform, geben dem allgemeinen Nenner zunächst gewöhnliche Fraktionen.

Der Zähler des fraktionierten Teils von einem verringerten weniger als der fraktionierte Teil des subtrahierbaren.3 < 14. So nehmen wir eine Einheit aus dem ganzen Teil ein und geben dieses Gerät der Art der falschen Fraktion mit demselben Nenner und dem Zähler = 18.

Im Zähler auf der rechten Seite schreiben wir die Summe der Ziffern, dann zeigen wir die Klammern im Zähler von der rechten Seite, dh wir multiplizieren alles und geben dergleichen. Geben Sie im Nenner keine Klammern offenlegen. In der Denominar ist es üblich, die Arbeit zu verlassen. Wir bekommen:

Fraktionale Ausdrücke sind komplex, um das Kind zu verstehen. Die meisten haben Schwierigkeiten, mit denen man verbunden ist. Wenn das Thema "Zugabe von Fraktionen mit ganzen Zahlen" studiert, fließt das Kind in eine Stupor, es ist schwierig, die Aufgabe zu lösen. In vielen Beispielen, bevor Sie eine Aktion ausführen, müssen Sie eine Reihe von Berechnungen vornehmen. Umwandeln Sie beispielsweise Fraktionen oder übersetzen unregelmäßige Fraktion. In der rechten.

Erklären Sie das Kind eindeutig. Nehmen Sie drei Äpfel, von denen zwei intenger sind, und der dritte, das wir in 4 Teile schneiden. Aus dem geschnittenen Apfel trennte sich ein Schneiden, und die restlichen drei steckten neben zwei ganzen Früchten. Wir bekommen einen Apfel auf einer Seite und 2 ¾ zur anderen. Wenn wir sie verbinden, erhalten wir bis zu drei Äpfel. Versuchen wir, 2 ¾ Äpfel auf ¼ zu reduzieren, dh wir werden einen weiteren Schneiden entfernen, wir erhalten 2 2/4 Äpfel.

Betrachten Sie detaillierter die Aktion mit Fraktionen, die Ganzzahlen enthält:

Erinnern Sie sich an die Berechnungsregel für fraktionale Ausdrücke mit einem gemeinsamen Nenner:

Auf den ersten Blick ist alles einfach und einfach. Dies betrifft jedoch nur Ausdrücke, die keine Konvertierung erfordern.

So finden Sie einen Ausdruckswert, in dem die Nenner unterschiedlich sind

In einigen Aufgaben ist es notwendig, den Wert des Ausdrucks zu finden, in dem sich die Nenner unterscheiden. Betrachten Sie einen bestimmten Fall:
3 2/7+6 1/3

Finden Sie den Wert dieses Ausdrucks, denn dies finden wir einen gemeinsamen Nenner für zwei Fraktionen.

Für die Zahlen 7 und 3 ist dies 21. Ganze Teile bleiben gleich, und fraktional - Blei zu 21, dafür wird der erste Fraktion mit 3 multipliziert, der zweite von 7, wir bekommen:
6/21 + 7/21, Vergessen Sie nicht, dass die gesamten Teile nicht der Transformation unterliegen. Infolgedessen erhalten wir zwei Fraktionen mit einem Nenner und berechnen ihre Summe:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Was ist, wenn infolge der Zugabe die falsche Fraktion erhalten wird, was bereits ein ganzes Teil hat:
2 1/3+3 2/3
In diesem Fall falten wir ganze Teile und fraktional, wir bekommen:
5 3/3, wie bekannt ist, 3/3 ist eine Einheit, was 2 1/3 + 3 2/3 \u003d 5 3/3 \u003d 5 + 1 \u003d 6 bedeutet

Mit dem folgenden Betrag ist alles klar, wir analysieren die Subtraktion:

Von all den oben genannten, folgt er der Handlungsregel über gemischte Zahlen, die nach diesem klingt:

Wenn die gesamte Zahl aus dem fraktionalen Ausdruck erforderlich ist, ist es nicht erforderlich, die zweite Zahl in Form einer Fraktion darzustellen, sondern genügt, um eine Aktion nur über ganzzahlige Teile zu erstellen.

Lassen Sie uns versuchen, den Wert der Ausdrücke unabhängig zu berechnen:

Wundern wir uns lesen Sie mehr Beispiel Unter dem Buchstaben "M":

4 5/11-2 8/11, der Zähler der ersten Fraktion ist weniger als der zweite. Dazu gehören wir eine Ganzzahl bei der ersten Fraktion, wir bekommen
3 5/11 + 11/11 \u003d 3 Bis zu 16/11 nehmen wir den zweiten Fraktion weg:
3 16/11-2 8/11 \u003d 1 ganz 8/11

Seien Sie vorsichtig, wenn Sie eine Aufgabe ausführen, vergessen Sie nicht, falsche Fraktionen in gemischt umzuwandeln, und markieren Sie den gesamten Teil. Dazu benötigen Sie einen Zählerwert, um den Wert des Nenner zu teilen, was passiert ist, es fällt in Position des gesamten Teils, der Rückstand ist ein Zähler, zum Beispiel:

19/4 \u003d 4 ¾, Prüfen: 4 * 4 + 3 \u003d 19, im Nenner 4 bleibt unverändert.

Zusammenfassen:

Bevor Sie mit der mit Fraktionen verbundenen Aufgabe fortfahren, müssen Sie analysieren, welche Art von Ausdruck, welche Transformationen an der Fraktion durchgeführt werden müssen, so dass die Lösung korrekt ist. Auf der Suche nach einer rationaleren Lösung. Gehen Sie nicht anspruchsvolle Wege. Legen Sie alle Aktionen, entscheiden Sie zunächst in der Entwurfs-Version, dann übertragen Sie dann in das Schulnotizbuch.

Um beim Lösen von fraktionalen Ausdrücken nicht zu verwirren, ist es notwendig, durch die Regel der Reihenfolge geführt zu werden. Entscheide alles sorgfältig, ohne zu eilen.

Wie aus der Mathematik bekannt ist, besteht die Fractions-Nummer aus einem Zähler und Nenner. Der Zähler befindet sich oben und der Nenner unten.

Mathematische Aktionen gemacht, indem sie fraktionale Werte mit demselben Nenner einfach genug hinzufügen oder subtrahieren. Sie müssen nur in der Lage sein, die Zahlen in der Zähler (von oben) untereinander hinzufügen oder abzusetzen, und dieselbe niedrigere Zahl bleibt unverändert.

Zum Beispiel nehmen wir eine fraktionale Nummer 7/9, hier:

die Zahl "Seven" von oben ist ein Zähler;
die Ziffer "neun" von unten ist der Nenner.

Fraktionale Zahlen und Aktionen mit ihnen

Beispiel 1.. Zusatz:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Beispiel 2.. Subtraktion:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Subtraktion von einfachen fraktionalen Werten mit einem anderen Nenner

Um eine mathematische Aktion auszuführen, um die Werte mit einem anderen Nenner zu subtrahieren, müssen Sie sie zuerst zu einem einzigen Nenner führen. Wenn diese Aufgabe ausgeführt wird, ist es notwendig, diese Regel einzuhalten, dass dieser gemeinsame Nenner weniger von allen möglichen Optionen sein muss.

Beispiel 3.

Zwei einfache Werte mit unterschiedlichen Nennern sind (niedrigere Ziffern): 7/8 und 2/9 angegeben.

Es ist notwendig, von der ersten Größe des zweiten zu ziehen.

Die Lösung besteht aus mehreren Aktionen:

1. Finden der allgemeinen niedrigeren Zahl, d. H. Was ist sowohl auf die untere Größe der ersten Fraktion und der zweiten geteilt. Es wird eine Abbildung 72 sein, da es sich um ein Vielfaches der "acht" und "neun" Figuren handelt.

2. Die niedrigere Ziffer jedes Bruchteils erhöhte sich:

die Figur "acht" in der Fraktion 7/8 um neun Mal erhöht - 8 * 9 \u003d 72;
die Ziffer "neun" in der Drehung 2/9 ist achtmal erhöht - 9 * 8 \u003d 72.

3. Wenn sich der Nenner (niedrigere Ziffer) geändert hat, bedeutet dies, dass sich der Zähler (obere Ziffer) ändern muss. Gemäß der bestehenden mathematischen Regel sollte die obere Ziffer genau auf dieselbe Weise wie der untere Weise erhöht werden. Also:

der "Seven" -Werator in der ersten Fraktion (7/8) multiplizieren sich an der Zahl "neun" - 7 * 9 \u003d 63;
der "Zwei" -Werator in der zweiten Fraktion (2/9) multiplizieren sich auf den "acht" - 2 * 8 \u003d 16.

4. Als Ergebnis von Aktionen hatten wir zwei neue Mengen, die jedoch identisch sind.

zunächst: 7/8 \u003d 7 * 9/8 * 9 \u003d 63/72;
zweitens: 2/9 \u003d 2 * 8/9 * 8 \u003d 16/72.

5. Nun dürfen es eine Fraktionierzahl von der anderen abziehen:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Durchführen dieser Aktion kehren wir zum Thema subtrahierenden Fraktionen mit den gleichen niedrigeren Zahlen (Nenner) zurück. Dies bedeutet, dass von oben in einem Zähler eine Subtraktion durchgeführt wird, und die niedrigere Ziffer wird unverändert übertragen.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Beispiel 4.

Füllen Sie die Aufgabe aus und nehmen Sie einige Fraktionen mit unterschiedlichen, aber mehreren Zahlen unten.

Werte sind angegeben: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Es ist notwendig, sie in dieser Reihenfolge voneinander wegzunehmen.

1. Geben Sie dem obigen Verfahren Fraktionen an einen gemeinsamen Nenner, der die Zahl "24" sein wird:

5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - Dieser letzte Betrag bleibt unverändert, weil der Nenner ist gesamtzahl "24".

2. Tupfen aller Werte durchführen:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Da der Zähler und der Nenner der resultierenden Fraktion in eine Zahl unterteilt sind, können sie durch Teilen von "drei" auf die Abbildung reduziert werden:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Antwort schreiben Folgendes:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Beispiel 5

Es gibt drei Fraktionen mit nicht rotierenden Nennern: 3/4; 2/7; 1/13.

Es ist erforderlich, den Unterschied zu finden.

1. Wir bringen die ersten ersten Zahlen in den allgemeinen Nenner, sie werden die Nummer "28" sein:

¾ \u003d 3 * 7/4 * 7 \u003d 21/28;
2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Entfernen Sie die ersten beiden Fraktionen zwischen sich:

¾-2/7 \u003d 21/28-8 / 28 \u003d (21-8) / 28 \u003d 13/28.

3. Entfernen Sie den dritten angegebenen Fraktion aus dem resultierenden Wert:

4. Erstellen Sie eine Nummer an einen gemeinsamen Nenner. Wenn es nicht möglich ist, denselben Nenner zu wählen, mehr einfache WeiseSie müssen nur Aktionen ausführen, alle Nenner aneinander multiplizieren, nicht vergessen, den Zählerwert auf dieselbe Figur zu erhöhen. Tun Sie dies in diesem Beispiel:

13/28 \u003d 13 * 13/28 * 13 \u003d 169/364, wobei 13 die niedrigere Ziffer von 5/13 ist;
5/13 \u003d 5 * 28/13 * 28 \u003d 140/364, wobei 28 die niedrigere Ziffer von 13/28 ist.

5. Nehmen Sie die resultierenden Fraktionen an:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Antwort: ¾-2 / 7-5 / 13 \u003d 29/364.

Gemischte fraktionale Zahlen

In den oben genannten Beispielen wurden nur die richtigen Fraktionen angewendet.

Als Beispiel:

8/9 ist der richtige Fraktion;
9/8 - Falsch.

Falsche Fraktion, um sich in den richtigen zu verwandeln, aber es besteht die Möglichkeit, es zu drehen gemischt. Für die die obere Zahl (Zähler) in den unteren (Nenner) unterteilt ist und eine Ziffer mit dem Rückstand erhält. Die Ganzzahl erhielt die gesamte Anzahl und notiert, der Rückstand wird an der Spitze in den Zähler geschrieben, und der untenstehende Nenner bleibt gleich. Um es klarer zu machen, berücksichtigen Sie ein bestimmtes Beispiel:

Beispiel 6.

Übertragen Sie falsche Fraktion 9/8 in der richtigen.

Dazu tätigt die Zahl "neun" auf "acht", wir erhalten einen gemischten Fraktion mit einer Ganzzahl und Rückstände:

9: 8 \u003d 1 und 1/8 (anders kann es wie 1 + 1/8), wobei:

abbildung 1 - die für die Abteilung vorgesehene Ganzzahl;
eine andere Nummer 1 - der Rückstand;
abbildung 8 - der Nenner bleibt unverändert.

Eine Ganzzahl wird sogar natürlich genannt.

Der Rückstand und der Nenner sind ein neuer, aber der richtige Fraktion ist bereits.

Bei der Aufzeichnungsnummern 1 wird es vor dem korrekten Fraktion von 1/8 geschrieben.

Subtraktion von gemischten Zahlen mit unterschiedlichem Nenner

Ab dem Vorstehenden geben wir die Definition einer gemischten Fraktion an: "Gemischte Zahl - Dies ist ein solcher Wert, der der Summe der Ganzzahl und der korrekten gewöhnlichen Fraktion entspricht. In diesem Fall wird das gesamte Teil genannt natürliche Zahl und dann die Zahl, die im Rückstand, es bruchteil».

Beispiel 7.

Danar: Zwei gemischte fraktionale Werte, bestehend aus einer ganzen Zahl und einem ordnungsgemäßen Fraktion:

der erste Wert ist 9 und 4/7, dh (9 + 4/7);
der zweite Wert ist 3 und 5/21, dh (3 + 5/2 21).

Es ist erforderlich, einen Unterschied zwischen diesen Werten zu finden.

1. Um 3 + 5/21 von 9 + 4/7 zu subtrahieren, müssen Sie zunächst alle Werte voneinander subtrahieren:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Das daraus resultierende Ergebnis der Differenz der zwei gemischten Nummern besteht aus natürlichem (Ganz) Nr. 6 und der richtigen Fraktion 7/21 \u003d 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Die Mathematik aller Länder stimmte zu, dass das Zeichen des "+" -Schildes beim Schreiben von gemischten Werten weggelassen und nur eine ganze Zahl vor dem Fraktion ohne Schild hinterlassen kann.

Das ist alles.

Video

Dieses Video hilft Ihnen, selbständig zu verstehen, wie Sie die Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern bestimmen können.