Beispiele reduzieren den algebraischen Fraktion. Transformation von Ausdrücken

Bevor Sie mit der Studie fortfahren algebraische Fraktionen. Wir empfehlen, sich daran zu erinnern, wie man mit gewöhnlichen Fraktionen zusammenarbeitet.

Jede Fraktion, in der ein alphabetischer Faktor besteht, wird als algebraische Fraktion bezeichnet.

Beispiele algebraische Fraktionen..

Wie bei der gewöhnlichen Fraktion gibt es in der algebraischen Fraktion ein Zähler (Obergeschoss) und Nenner (unten).

Reduzier von algebraischen Fraktionen

Algebraische Fraktion kann reduziert werden. Verwenden Sie mit der Reduzierung die Regeln zur Reduzierung von gewöhnlichen Fraktionen.

Wir erinnern Sie daran, dass wir mit einer Verringerung der gewöhnlichen Fraktion auch den Zähler unterteilt haben, und den Nenner für dieselbe Nummer.

Die algebraische Fraktion wird auf dieselbe Weise reduziert, aber nur der Zähler und der Nenner sind in das gleiche Polynom unterteilt.

Erwägen ein Beispiel für eine Verringerung der algebraischen Fraktion.

Wir definieren den kleinsten Grad, in dem der "A" -Standständer steht. Der kleinste Grad für Single-Wing "A" ist im Nenner - dies ist der zweite Grad.

Wir teilen und den Zähler und den Nenner auf "A 2". Verwenden Sie beim Aufteilen von Homoralen die Eigenschaft des privaten Grads.

Wir erinnern Sie daran, dass jeder Buchstabe oder eine Zahl in einem Null-Grad eine Einheit ist.

Sie müssen nicht jedes Mal ausführlich schreiben, an den die algebraische Fraktion reduziert wurde. Es reicht aus, um den Grad zu berücksichtigen, in dem wir nur das Ergebnis reduziert und aufzeichnen.

Eine Zusammenfassung der Reduzierung der algebraischen Fraktion sieht so aus.

Nur die gleichen Buchstabenfaktoren können geschnitten werden.

Kann nicht schneiden

Kann geschnitten werden

Andere Beispiele für die Reduzierung von algebraischen Fraktionen.

Wie man den Bruchteil mit Polynomen schneidet

Betrachten Sie ein anderes Beispiel für algebraische Fraktion. Es ist erforderlich, die algebraische Fraktion zu reduzieren, die im Zähler ein Polynom wert ist.

Reduzieren Sie das Polynom in Klammern nur mit genau demselben Polynom in Klammern!

Auf keinen Fall sie können den Teil nicht abschneiden Das Polynom in den Klammern!

Falsch

Bestimmen Sie, wo die Polynomenden sehr einfach sind. Es kann nur ein Anzeichen von Multiplikation zwischen Polynomen geben. Das gesamte Polynom ist in den Klammern.

Nachdem wir Polynome von algebraischen Fraktionen identifiziert haben, reduzieren Sie das Polynom "(M - N)" in einem Zähler mit einem Polynom "(M - N)" im Nenner.

Beispiele für die Reduzierung von algebraischen Fraktionen mit Polynomen.

Erreichen eines gemeinsamen Faktors beim Schneiden von Fraktionen

Um in algebraischen Fraktionen, müssen die gleichen Polynome manchmal einen gemeinsamen Faktor für Klammern vornehmen.

In dieser Form ist es unmöglich, den algebraischen Fraktion, da das Polynomial
(3f + k) "kann nur mit einem Polynom reduziert werden" (3f + k) ".

Daher, um "(3f + k) im Zähler zu erhalten," fasste ich den Multiplizierer "5" zusammen.

Verringerung von Fraktionen mit den Formeln der abgekürzten Multiplikation

In anderen Beispielen, um algebraische Fraktionen zu reduzieren
anwenden von Formeln der abgekürzten Multiplikation.

In der anfänglichen Form ist es unmöglich, den algebraischen Fraktion zu reduzieren, da es keine identischen Polynome gibt.

Wenn Sie jedoch die Formel für den Unterschied in den Quadraten für das Polynom (A 2 - B 2) anbringen, werden die gleichen Polynome angezeigt.

Andere Beispiele für die Verringerung der algebraischen Fraktionen mit den Formeln der abgekürzten Multiplikation.

Die Reduzierung der algebraischen (rationalen) Fraktionen basiert auf ihrer Haupteigenschaft: Wenn der Zähler und der Nenner in das gleiche Null-Polynom ungleich Null aufgeteilt sind, dann der ihm gleiche Fraktion.

Nur Multiplikatoren können geschnitten werden!

Mitglieder der Polynome können nicht geschnitten werden!

Um die algebraische Fraktion zu reduzieren, müssen die in dem Zähler stehenden Polynomen und der Nenner zunächst auf Multiplikatoren zersetzen.

Betrachten Sie die Beispiele für die Verringerung der Fraktionen.

Im Zähler und den Nenner werden die Ratheratoren klassifiziert. Sie repräsentieren komposition (Zahlen, Variablen und ihre Abschlüsse), multiplikatoren Wir können schneiden.

Die Zahlen reduzieren ihren größten gemeinsamen Divisor, dh die größte Zahl, an der jede dieser Zahlen unterteilt ist. Für 24 und 36 ist es 12. Nach der Reduktion von 24 bleibt 2 von 36 - 3.

Grad reduzieren Sie den Grad mit dem kleinsten Indikator. Reduzieren Sie die Fraktionsmittel, um den Zähler und den Nenner mit demselben Teiler zu teilen, und wenn wir den Grad angingen, subtrahieren wir die Indikatoren.

a² und A⁷ Reduzieren von A². Gleichzeitig bleibt eine Einheit in einem Zähler von A² (nur 1 schreibt nur in den Fall, wenn er nach der Reduzierung anderer Faktoren übrig bleibt, blieb es blieben. Von 24 blieb 2, deshalb 1 Rest von A², nicht schreiben ). Von A⁷ nach der Reduktion bleibt ein⁵.

b und B, die auf B reduziert, schreiben die resultierenden Einheiten nicht.

c³º und Schlinge auf S⁵. Von c³º bleibt C² ⁵, von C⁵ - One (nicht schreiben). Auf diese Weise,

Zähler und Nenner dieser algebraischen Fraktion - Polynome. Schneiden Sie die Mitglieder der Polynome nicht! (Kann zum Beispiel nicht 8x² und 2x schneiden!). Um diese Fraktion zu reduzieren, ist es notwendig, die Polynome auf Multiplikatoren zu zersetzen. Der Zähler hat einen Gesamtmultiplizierer 4x. Wir tragen es für Klammern aus:

Sowohl im Zähler als auch im Nenner gibt es den gleichen Multiplikator (2x-3). Reduzieren Sie den Fraktion in diesem Multiplikator. In dem Zähler erhielt 4x in dem Nenner - 1. Gemäß 1 Eigentum von algebraischen Fraktionen ist der Fraktion 4x.

Nur Multiplikatoren können geschnitten werden (es ist unmöglich, diese Fraktion auf 25x² zu reduzieren!). Daher sollten die in dem Zähler stehenden Polynomialen und der Denomotor der Fraktion an Multiplikatoren zersetzt werden.

Im Zähler - das volle Quadrat der Menge, in dem Nenner - der Unterschied von Quadraten. Nach der Zersetzung nach den Formeln der abgekürzten Multiplikation erhalten wir:

Wir reduzieren den Fraktion auf (5x + 1) (dafür, in dem Zähler, überqueren Sie die Deuce in der Anzeige, von (5x + 1) ² bleiben (5x + 1)):

Im Zähler gibt es einen allgemeinen Multiplizierer 2, ich bringe es aus Klammern. In der Nenner - Würfeldifferenzformel:

Infolge der Zersetzung in dem Zähler und dem Nenner wurde derselbe Multiplizierer erhalten (9 + 3A + A²). Reduzieren Sie den Fraktion darauf:

Das Polynom im Zähler besteht aus 4 Begriffen. Wir gruppieren den ersten Begriff mit dem zweiten, dem dritten - mit dem vierten und ertragen von den ersten Klammern, dem Gesamtmultiplikator X². Der Nenner wächst nach der Formel der Würfel:

Im Zähler legen wir einen allgemeinen Multiplizierer für Klammern (x + 2):

Wir reduzieren den Fraktion auf (x + 2):

Nur Multiplikatoren können schneiden! Um diese Fraktion zu reduzieren, müssen Sie Polynomialde im Zähler und den Nenner zersetzen. Im Zähler, der Gesamtmultiplizierer A³, im Nenner - A⁵. Lass uns sie für Klammern bringen:

Multiplikatoren - Grad mit derselben Basis A³ und A⁵ - Reduzieren auf A³. Von A³ bleibt 1, wir schreiben es nicht, von einem ⁵ bleibt Aqui. Im Zähler kann der Ausdruck in Klammern als Differenz der Quadrate zersetzt werden:

Wir reduzieren den Fraktion auf dem allgemeinen Teiler (1 + A):

Und wie man den Bruchteil der Art schneiden

in dem der Ausdruck im Zähler und der Nenner nur auf Zeichen unterscheiden?

Beispiele für die Reduzierung solcher Fraktionen Wir werden das nächste Mal in Betracht ziehen.

2 Kommentare

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Reduzierende algebraische Figurenregel

Reduzier von algebraischen Fraktionen

Ein neues Konzept in der Mathematik entsteht selten von nichts "," an einem leeren Ort. " Es erscheint, wenn es sich um eine objektive Notwendigkeit anfühlt. So erschienen negative Zahlen in Mathematik, so gewöhnlich und dezimal algebraic Fraci..

Voraussetzungen für die Einführung eines neuen Konzepts "Algebraic Fraktion" haben wir. Lassen Sie uns nach § 12 verleihen. Die Diskussion der Division gibt es ein einmaliges Unlogramm, wir haben eine Reihe von Beispielen überprüft. Wir zeigen zwei von ihnen.

1. Um den Einflügel 36A 3 B 5 pro Single-Wing-4AB 2 (siehe Beispiel 1b) von §12) zu teilen.
Wir lösen es so. Anstelle der Aufnahme 36A 3 B 5: 4AB 2 verwendete Fraktionen:

Dies erlaubte anstelle der Aufzeichnungen 36: 4 und 3: A, B 5: B 2 auch das Merkmal der Fraktion, die die Lösung des Beispiels mehr visuell machte:

2. Teilen der einzelnen 4x 3 pro Single 2h (siehe Beispiel 1 d) von § 12). Wir auf das gleiche Muster handeln, haben wir:

In § 12 haben wir festgestellt, dass 4x 3 unbeeindlich waren. Es war nicht möglich, an einmal 2h teilzunehmen, damit er sich herausstellte monom. Aber mathematische Modelle Reale Situationen können den Betrieb des Teilens eines einzelnen Flügels enthalten, nicht unbedingt so, dass man in einen anderen unterteilt ist. Die Erwartung dieses, Mathematik führte ein neues Konzept ein - das Konzept der algebraischen Fraktion. Insbesondere der algebraische Fraktion. Nun gehen wir zurück in § 18. Diskutieren Sie dort den Betrieb der Aufteilung des Polynoms auf dem Unrochene, wir haben festgestellt, dass es nicht immer getan ist. In Beispiel 2 von § 18 dauerte es also darum, zwanzigste 6x 3 - 24x 2 auf einmal 6 × 2 zu teilen. Diese Operation stellte sich heraus, um ausgeführt zu werden, und als Ergebnis erhielten wir verdreht x - 4. Mit anderen Worten, ein algebraischer Ausdruck gelang es, einen einfacheren Ausdruck zu ersetzen - ein Polynom X-4.

Gleichzeitig wurde in Beispiel 3 von § 18 das Polynom 8a 3 + BA 2B - B in 2A 2 unterteilt, d. H. Die Expression konnte nicht durch einen einfacheren Ausdruck ersetzt werden, es war notwendig, ihn als algebraische Fraktion zu verlassen.

Wie für den Betrieb der Polynome polynomWir haben eigentlich nichts über sie getan. Das einzige, was wir jetzt sagen können, ist: Ein Polynom kann in einen anderen unterteilt werden, wenn dieses andere Polynom einer der Multiplizierer bei der Zersetzung des ersten Polynoms an Multiplikatoren ist.

Beispielsweise x 3 - 1 \u003d (x - 1) (x 2 + x + 1). So kann x 3 - 1 durch x 2 + x + 1 geteilt werden, er dreht sich aus x - 1; x 3 - 1 kann durch x - 1 geteilt werden,

es stellt sich x 2 + x + 1 heraus.
polynome P und Q. Verwenden Sie gleichzeitig Aufnahme
wobei p ein Zähler ist, Q - Nenner der algebraischen Fraktion.
Beispiele für algebraische Fraktionen:

Manchmal kann eine algebraische Fraktion durch ein Polynom ersetzt werden. Zum Beispiel, wie wir bereits früher installiert haben,

(Polynom 6x 3 - 24x 2 gelangt, um 6 × 2 zu teilen, während sie insbesondere X-4 herausschaltet; Das haben wir auch bemerkt

Aber es ist relativ selten.

Eine ähnliche Situation hat sich jedoch bereits getroffen - beim Studium der ordentlichen Fraktionen. Zum Beispiel kann die Fraktion mit einer Ganzzahl 4 ersetzt werden, und die Fraktion ist eine Ganzzahl. der gesamte Multiplizierer des Zählers und des Nenner:
In gleicher Weise können Sie die algebraischen Fraktionen verkürzen und den Zähler und den Nenner der Fraktion auf ihre Gemeinsamkeiten teilen miauen. Dafür müssen Sie und den Zähler und den Denomotor der Faktoren zersetzen. Hier brauchen wir alles, was wir in diesem Kapitel so lange diskutiert haben.

Beispiel. Reduzieren Sie algebraische Fraktion:

Lösung, a) Wir finden einen allgemeinen Faktor für Homoralen
12x 3 in 4 und 8x 2 in 5 wie in § 20. Wir erhalten 4x 2 in 4. Dann 12x 3 y 4 \u003d 4x 2 y 4 sq; 8x 2 y 5 \u003d 4x 2 y 4 2Y.
Es bedeutet

Zähler I. nenner Die gegebene algebraische Fraktion hat den gesamten Multiplizierer von 4 × 2 in 4 reduziert.
Die Lösung dieses Beispiels kann anders aufgezeichnet werden:

b) Um die Fraktion zu verkürzen, verbreiten Sie den Zähler und den Nenner für Multiplikatoren. Wir bekommen:

(Die Fraktion wurde auf den allgemeinen Faktor A + B reduziert.

Und nun kehren Sie zur Bemerkung 2 von § 1 zurück, wir haben dieses Versprechen endlich dort geschafft.
c) Wir haben:

(reduzierte den Fraktion auf den allgemeinen Faktor des Zählers und des Nenners, d. H. AUF X (X - Y))

Um das Algebraic an den Fraktion zu reduzieren, ist es zunächst notwendig, seinen Zähler und den Nenner zu zersetzen. Ihr Erfolg in diesem neuen Geschäft (Reduktion von algebraischen Fraktionen) hängt also hauptsächlich davon ab, wie Sie das Material der vorherigen Absätze dieses Kapitels gelernt haben.

A. V. POGORELOV, GEOMETRIE FÜR 7-11 Klassen, Lehrbuch für Allgemeinbildungsinstitutionen

Wenn Sie Korrekturen oder Anregungen für diese Lektion haben, schreiben Sie uns.

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Reduzierende algebraische Fraktionen: Regel, Beispiele.

Wir studieren weiterhin das Thema der Transformation algebraischer Fraktionen. In diesem Artikel konzentrieren wir uns ausführlich an reduzier von algebraischen Fraktionen. Erstens werden wir verstehen, was sie verstehen, den Begriff "Reduzieren von algebraischen Fraktionen" und herauszufinden, ob die algebraische Fraktion immer reduziert ist. Als nächstes geben wir die Regel, um diese Konvertierung zuzulassen. Schließlich berücksichtigen wir Lösungen von charakteristischen Beispielen, die es ermöglichen, alle Feinheiten des Prozesses zu verstehen.

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Was bedeutet es, algebraische Fraktion zu reduzieren?

Studium gewöhnliche FraktionenWir haben über ihre Reduktion gesprochen. Mit einer Verringerung der gewöhnlichen Fraktion nannten wir die Division seiner Anzahl und den Nenner in die allgemeine Fabrik. Beispielsweise kann ein gewöhnlicher Bruchteil von 30/54 um 6 reduziert werden (dh in 6 seinen Numerator und den Nenner), der uns zur Fraktion 5/9 führt.

Unter der Reduktion von algebraischen Fraktionen verstehen Sie einen ähnlichen Effekt. Algebraische Fraktion reduzieren. - Es bedeutet, seinen Zähler und den Nenner auf einen allgemeinen Faktor zu spalten. Wenn jedoch die gemeinsame Fabrik des Zählers und des Nenners der gewöhnlichen Fraktion nur eine Zahl sein kann, kann der allgemeine Faktor des Zählers und des Nenners der algebraischen Fraktion insbesondere einzeln oder von der Zahl Polynom sein.

Zum Beispiel algebraische Fraktion kann um Nummer 3 reduziert werden, die einen Bruchteil ergibt . Sie können auch die Variable X reduzieren, die zum Ausdruck führen wird . Die anfängliche algebraische Fraktion kann auf ein Flügel 3 · x sowie auf einem der Polynomialen x + 2 y, 3 · x + 6 y, x 2 + 2 · y y oder 3 · x 2 reduziert werden + 6 · x · y.

Das ultimative Ziel der Reduktion der algebraischen Fraktion besteht darin, einen Fraktion einer einfacheren Sicht, bestenfalls zu einem instabilen Fraktion zu erhalten.

Ist eine algebraische Fraktion reduziert?

Wir wissen, dass gewöhnliche Fraktionen in verkürzte und nicht aufgebaute Fraktionen unterteilt sind. Instabile Fraktionen haben sich nicht von der Einheit der gemeinsamen Multiplizierer in einem Zähler und dem Nenner unterscheiden, daher unterliegen daher keine Verringerung.

Algebraische Fraktionen können auch gemeinsame Multiplizierer des Zählers und den Nenner haben und nicht haben. Wenn es allgemeine Faktoren gibt, gibt es eine Reduzierung der algebraischen Fraktion. Wenn es keine allgemeinen Faktoren gibt, ist die Vereinfachung der algebraischen Fraktion durch seine Reduktion unmöglich.

Im Allgemeinen ist es gemäß dem Erscheinungsbild der algebraischen Fraktion eher schwierig, festzustellen, ob es möglich ist, sie anzunehmen. Zweifellos sind in einigen Fällen die allgemeinen Multiplizierer des Zählers und des Nenners offensichtlich. Beispielsweise ist eindeutig ersichtlich, dass der Zähler und der Nenner der algebraischen Fraktion einen allgemeinen Multiplizierer 3 aufweisen. Es ist auch einfach, dass die algebraische Fraktion von x, auf y oder unmittelbar auf y y y reduziert werden kann. Aber viel öfter als der allgemeine Faktor des Zählers und der algebraische Fraktion der Nenner ist nicht sofort sichtbar, und öfter ist es einfach nicht. Zum Beispiel kann die Fraktion um X-1 reduziert werden, aber dieser gemeinsame Faktor ist eindeutig nicht in der Datensatz vorhanden. Und algebraische Fraktion. es ist unmöglich zu reduzieren, da der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Multiplikatoren haben.

Im Allgemeinen ist die Frage der Reduktion der algebraischen Fraktion sehr schwierig. Und manchmal ist es einfacher, die Aufgabe zu lösen, mit einer algebraischen Fraktion in seiner ursprünglichen Form zu arbeiten, als herauszufinden, ob diese Fraktion vorab reduziert werden kann. Es gibt jedoch immer noch Transformationen, die in einigen Fällen mit relativ geringfügigen Bemühungen, gemeinsame Multiplizierer des Zählers und des Nenner zu ermöglichen, falls vorhanden, falls vorhanden oder die Inkonsistenz der anfänglichen algebraischen Fraktion abschließen. Diese Informationen werden im nächsten Absatz offengelegt.

Die Regel der Reduktion von algebraischen Fraktionen

Informationen zu früheren Absätzen ermöglichen es Ihnen, das Folgende natürlich wahrzunehmen die Regel der Reduktion von algebraischen Fraktionendas besteht aus zwei Schritten:

• zuerst gibt es allgemeine Multiplizierer des Zählers und den Nenner der ursprünglichen Fraktion;
• wenn ja, dann besteht eine Verringerung dieser Multiplizierer.

Diese Schritte der stimmhaften Regel benötigen Klarstellung.

Die bequemste Art, den General zu finden, besteht darin, die Multi-Polynome in dem Zähler und den Nenner der ursprünglichen algebraischen Fraktion zu zersetzen. Gleichzeitig werden die allgemeinen Multiplizierer des Zählers und der Nenner sichtbar, oder es wird klar, dass es keine allgemeinen Faktoren gibt.

Wenn es keine allgemeinen Multiplikatoren gibt, können wir abschließen, dass die algebraische Fraktion nicht aufgebaut ist. Wenn die allgemeinen Faktoren gefunden werden, werden sie in dem zweiten Schritt reduziert. Infolgedessen wird ein neuer Bruchteil einer einfacheren Ansicht erhalten.

Die Regel der Reduktion von algebraischen Fraktionen basiert auf der Grundeigenschaft der algebraischen Fraktion, die durch Gleichheit ausgedrückt wird, wobei A, B und C einige Polynome sind, mit B und C - ungleich Null. Im ersten Schritt ist die anfängliche algebraische Fraktion in die Form gegeben, von der der allgemeine Multiplizierer C sichtbar wird, und in dem zweiten Schritt wird die Reduktion durchgeführt - der Übergang zum Bruchteil.

Gehen Sie dazu, Beispiele mit dieser Regel zu lösen. Wir werden alle möglichen Nuancen analysieren, die beim Zersetzen des Zählers und den Nenner von algebraischen Fraktionen auf Multiplizierer und anschließender Reduktion entstehen.

Charakteristische Beispiele

Zuerst müssen Sie über die Reduktion von algebraischen Fraktionen sagen, wobei der Zähler und der Nenner gleich sind. Solche Fraktionen sind identisch gleich einem der gesamten EDD der darin enthaltenen Variablen, zum Beispiel,
usw.

Jetzt wird es nicht schaden, sich daran zu erinnern, wie die Reduzierung der gewöhnlichen Fraktionen durchgeführt wird - doch ein besonderer Fall von algebraischen Fraktionen. Natürliche Zahlen in einem Zähler und einem Nenner gewöhnlicher Fraci sind auf einfache Multiplikatoren farbenfroht, wonach die Gesamtmultiplikatoren reduziert sind (falls verfügbar). Beispielsweise, . Das Produkt der gleichen einfachen Multiplizierer kann in Form von Grad aufgenommen werden, und reduzieren Sie die Eigenschaft des Grades in Grad mit den gleichen Basen. In diesem Fall würde die Lösung so aussehen: Hier sind wir ein Zähler und ein Nenner, der in einen allgemeinen Multiplizierer 2 2 · 3 unterteilt ist. Oder für mehr Klarheit auf der Grundlage der Eigenschaften der Multiplikation und des Abteils ist die Lösung in der Form dargestellt.

In absolut ähnlichen Prinzipien werden die algebraischen Fraktionen in dem Zähler und dem Nenner reduziert, deren mit ganzzahligen Koeffizienten unbekannt sind.

Algebraische Fraktion reduzieren. .

Es ist möglich, den Zähler und den Nenner der ursprünglichen algebraischen Fraktion als Produkt von einfachen Multiplizierern und Variablen darzustellen, wonach er reduziert wird:

Die Lösung ist jedoch rational in Form von Ausdrücke mit Grad:

.

Wie bei der Verringerung der algebraischen Fraktionen mit fraktionalen numerischen Koeffizienten in einem Zähler und Nenner, ist es möglich, zwei zu fließen: Entweder separat die Aufteilung dieser fraktionierten Koeffizienten durchführen oder fraktionierte Koeffizienten vorzunehmen, um den Zähler und den Nenner zu multiplizieren etwas natürliche Zahl. Wir sprachen über die letzte Transformation des Artikels, wodurch algebraische Fraktionen einem neuen Nenner brachten, er kann aufgrund der Grundeigenschaften der algebraischen Fraktion durchgeführt werden. Wir werden das im Beispiel damit umgehen.

Führen Sie ein Schneiden der Fraktion durch.

Sie können den Fraktion wie folgt abschneiden: .

Und es war möglich, fraktionierte Koeffizienten vorzunehmen, den Zähler und den Nenner mit dem kleinsten allgemeinen allgemeinen Nenner dieser Koeffizienten zu multiplizieren, dh auf dem NOC (5, 10) \u003d 10. In diesem Fall haben wir .

.

Sie können zu algebraischen Fraktionen gehen allgemeine Ansichtin dem in dem Zähler und dem Nenner sowohl Zahlen als auch Einzel- und Polynoms sein können.

Mit einer Verringerung solcher Fraktionen ist das Hauptproblem, dass der gesamte Multiplizierer des Zählers und der Nenner nicht immer sichtbar ist. Außerdem gibt es nicht immer. Um einen allgemeinen Multiplikator zu finden oder sicherzustellen, dass der Zähler und den Nenner der algebraischen Fraktion nicht notwendig ist, um sich an Multiplikatoren zu zersetzen.

Reduzieren Sie den rationalen Fraktion .

Dazu werden wir Polynomen in einem Zähler und Nenner zersetzen. Beginnen wir mit der Einreichung der Klammern :. Natürlich können die Ausdrücke in Klammern mit den Formeln der abgekürzten Multiplikation umgewandelt werden: . Es ist nun deutlich zu erkennen, dass es möglich ist, den Fraktion an einem gemeinsamen Faktor B 2 · (A + 7) zu reduzieren. Machen wir das .

Eine kurze Lösung ohne Erklärung wird in der Regel in Form einer Gleichbarkeitskette geschrieben:

.

Manchmal können allgemeine Multiplikatoren durch numerische Koeffizienten verborgen werden. Daher werden mit einer Verringerung der rationalen Fraktionen numerische Multiplizierer mit älteren Graden des Zählers und des Nenners für Zahnspangen herausgenommen.

Fraktion reduzieren. , wenn möglich.

Auf den ersten Blick haben der Zähler und der Nenner keinen gemeinsamen Faktor. Aber trotzdem versuchen wir, Konvertierungen auszuführen. Erstens ist es möglich, einen Multiplizierer x in einem Zähler herzustellen: .

Jetzt werden einige Ähnlichkeit von Ausdrücken in Klammern und Ausdrücke im Nenner aufgrund von x 2 y blockiert. Ich werde numerische Koeffizienten für die Halterung mit älteren Abschlüssen dieser Polynome bringen:

Nach der Transformation ist die allgemeine Fabrik sichtbar, auf die wir eine Verringerung durchführen. Haben

.

Erschließung des Gesprächs über die Reduzierung der rationalen Fraktionen beachten wir, dass der Erfolg von der Fähigkeit abhängt, Polynome an Multiplikatoren zu verbreiten.

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Reduzier von algebraischen Fraktionen

Wir können auf das obige Anwesen angewiesen, können wir algebraische Fraktionen vereinfachen und mit arithmetischen Fraktionen erfolgen, wodurch sie reduziert werden.

Die Reduzierung von Fraktionen ist, dass der Zähler und der Nenner der Fraktion in dieselbe Anzahl unterteilt werden sollen.

Wenn die algebraische Fraktion unbekannt ist, scheinen der Zähler und der Nenner in Form eines Produkts mehrerer Faktoren zu sein, der sofort gesehen werden kann, in dem dieselben Zahlen unterteilt werden können:

Die gleiche Fraktion, die wir mehr Details schreiben können: Wir sehen, dass Sie konsequent teilen und den Zähler und den Nenner viermal auf A, d. H. Teilen Sie am Ende 4 Mal, teilen Sie jeden von ihnen auf eine 4. Deshalb ; Auch so weiter. Wenn es also Multiplizierer im Zähler und den Nenner gibt, gibt es mehrere Grad desselben Buchstabens, Sie können diesen Bruchteil in einem kleineren Grad dieses Buchstabens reduzieren.

Wenn der Fraktion ein Polynomialist ist, müssen Sie zunächst diese Polynome, wenn möglich, für Multiplikatoren, und dann die Gelegenheit, zu sehen, was die gleichen Multiplizierer in einen Zähler und den Nenner unterteilt werden können.

.... Der Zähler ist leicht auf den Faktoren "entsprechend der Formel" falten - er stellt das Quadrat der Differenz von zwei Zahlen dar, nämlich (x - 3) 2. Der Nenner ist nicht für Formeln geeignet und muss es mit einem Empfang mit einem Empfang für quadratische drei deklariert erklären: Anheben von 2 Zahlen, so dass ihre Summe -1 und ihr Produkt \u003d -6 ist, - diese Zahlen sind -3 und + 2; Dann x 2 - x - 6 \u003d x 2 - 3x + 2x - 6 \u003d x (x - 3) + 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 2).

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In diesem Artikel werden wir detailliert analysieren, wie er gehalten wird bruchteile reduzieren.. Erstens werden wir diskutieren, was der Fraktion als Verringerung bezeichnet wird. Danach sprechen wir darüber, dass Sie einen reduzierten Bruch an einen unvergleichlichen Geist bringen. Darüber hinaus werden wir eine Regel zur Verringerung der Fraktionen bekommen und schließlich Beispiele für die Anwenden dieser Regel berücksichtigen.

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Was bedeutet der Bruchkürzen?

Wir wissen, dass gewöhnliche Fraktionen in reduzierte und nicht errichtete Fraktionen unterteilt sind. Nach Namen ist es möglich, zu erraten, dass die reduzierte Fraktion verringert werden kann, und Nichtkonscipt - es ist unmöglich.

Was bedeutet der Bruchkürzen? Fraktion reduzieren. - Es bedeutet, seinen Zähler und einen Nenner auf ihre positive und andere von einem zu spalten. Es ist klar, dass infolge der Verringerung der Fraktion eine neue Fraktion mit einer geringeren Anzahl und Nenner erhalten wird, und aufgrund der Grundeigenschaften der Fraktion ist die resultierende Fraktion gleich der Quelle.

Zum Beispiel reduzieren wir die gewöhnliche Fraktion 8/24, die ihren Zähler und den Nenner auf 2 trennen. Mit anderen Worten, wir reduzieren den Fraktion 8/24 bis 2. Da 8: 2 \u003d 4 und 24: 2 \u003d 12 infolge einer solchen Verringerung, ertönt er eine Fraktion 4/12 heraus, die gleich der anfänglichen Fraktion 8/24 ist (siehe gleiche und ungleiche Fraktionen). Am Ende haben wir.

Gewöhnliche Fraktionen in den Nutsturm bringen

Normalerweise besteht das ultimative Ziel der Reduktion der Fraktion darin, eine nicht interpretierbare Fraktion zu erhalten, die dem anfänglichen reduzierten Fraktion entspricht. Dieses Ziel kann erreicht werden, wenn sie durch den anfänglichen reduzierten Bruchteil an seinem Zähler und dem Nenner reduziert wird. Infolge einer solchen Reduktion wird immer eine instabile Fraktion erhalten. In der Tat, Fraktion. ist nicht getragen, da davon das bekannt ist und -. Sagen wir hier, dass der größte gemeinsame Divisor des Zählers und der Nenner der Fraktion die größte Zahl ist, die durch diese Fraktion reduziert werden kann.

So, gewöhnliche Fraktionen in eine incomprogensive Form bringen Es ist, den Zähler und den Nenner der anfänglichen reduzierten Fraktion auf ihrem Knoten zu teilen.

Wir werden ein Beispiel analysieren, für den wir in den Fraktion 8/24 zurückkehren und auf den größten gemeinsamen Divisor der Zahlen 8 und 24 reduzieren, der 8 ist. Seit 8: 8 \u003d 1 und 24: 8 \u003d 3 kommen wir an der nicht interpretierbaren Fraktion 1/3 an. So, .

Beachten Sie, dass unter dem Phrasen "Cut eine Fraktion" häufig die Führung des anfänglichen Fraktionen, der genau zu einer unbekannten Form ist, impliziert. Mit anderen Worten, das Schneiden der Fraktion wird sehr oft als Division des Zählers und des Nenners auf ihrem größten gemeinsamen Divisor (und nicht in einem ihrer gemeinsamen Divisor) bezeichnet.

Wie kann man einen Bruch schneiden? Beispiele für Regeln und Fraktion

Es bleibt nur, den Mangel an Fraktionen zu zerlegen, was erklärt, wie diese Fraktion reduziert wird.

Die Reduktionsregel von Fraktionen Besteht aus zwei Schritten:

• erstens gibt es einen Knoten des Zählers und des Nenners der Fraktion;
• zweitens wird die Aufteilung des Zählers und der Nenner der Fraktion an ihren Knoten durchgeführt, was einen unverkömmlichen Fraktion entspricht, der dem anfänglichen entspricht.

Wir werden verstehen ein Beispiel für eine Verringerung der Fraci Entsprechend der stimmhaften Regel.

Beispiel.

Fraktion 182/195 reduzieren.

Entscheidung.

Wir führen beide Schritte aus, die von den Regeln des Schneidens des Fraktionen vorgeschrieben sind.

Zuerst finden wir Nicken (182, 195). Es ist am bequemsten, den Euclide-Algorithmus zu verwenden (siehe): 195 \u003d 182 · 1 + 13, 182 \u003d 13 · 14, d. H. Node (182, 195) \u003d 13.

Jetzt teilen wir den Zähler und den Nenner der Fraktion 182/195 um 13, während wir eine incompreherale Fraktion 14/15 erhalten, die der anfänglichen Fraktion entspricht. Bei diesem Schneiden der Fraktion ist abgeschlossen.

Kurz gesagt kann die Lösung so geschrieben werden :.

Antworten:

Darauf mit einer Verringerung der Fraktionen ist es möglich, abzuschließen. Berücksichtigen Sie jedoch für die Vollständigkeit des Bildes zwei weitere Möglichkeiten, Fraktionen zu reduzieren, die normalerweise in einfachen Fällen angewendet werden.

Manchmal ist der Zähler und der Nenner der Schneidfraktion einfach. Reduzieren Sie den Fraktion in diesem Fall sehr einfach: Sie müssen nur alle gängigen Multiplizierer vom Zähler und den Nenner entfernen.

Es ist erwähnenswert, dass diese Methode direkt von der Regel der Verringerung der Fraktionen folgt, da das Produkt aller gemeinsamen einfachen Multiplizierer des Zählers und des Nenners ihrem größten allgemeinen Divisor entspricht.

Wir werden die Lösung des Beispiels analysieren.

Beispiel.

Fraktion 360/2 940 reduzieren.

Entscheidung.

Verbreiten Sie den Nippel und den Nenner für einfache Multiplikatoren: 360 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 und 2 940 \u003d 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7. Auf diese Weise, .

Nun werden wir allgemeine Multiplikatoren im Zähler und den Nenner loswerden, denn der Bequemlichkeit schreien einfach: .

Schließlich erziehe ich die restlichen Multiplizierer:, und die Reduktion der Fraktion ist abgeschlossen.

Hier ist ein kurzer Aufzeichnungen der Entscheidung: .

Antworten:

Betrachten Sie einen anderen Weg, um die Fraktion zu reduzieren, die in einer konsistenten Reduktion besteht. Hier gibt es in jedem Schritt eine Verringerung der Fraktion auf einem gemeinsamen Divisor des Zählers und des Nenner, der entweder offensichtlich oder leicht von

Dieser Artikel setzt das Thema Transformation von algebraischen Fraktionen fort: Betrachten Sie eine solche Aktion als Verringerung der algebraischen Fraktionen. Lassen Sie uns die Definition des Begriffs selbst angeben, wir formulieren die Reduktionsregel und analysieren praktische Beispiele.

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Die Bedeutung der Reduktion der algebraischen Fraktion

In den Materialien auf gewöhnlicher Fraktion betrachteten wir ihre Reduktion. Wir haben die Verringerung der gewöhnlichen Fraktion als Division seiner Anzahl und den Nenner für einen gemeinsamen Faktor festgelegt.

Die Reduzierung der algebraischen Fraktion ist eine ähnliche Aktion.

Definition 1.

Reduzier von algebraischen Fraktionen - Dies ist die Division seines Zählers und den Nenner für einen allgemeinen Faktor. Gleichzeitig kann im Gegensatz zur Reduzierung einer gewöhnlichen Fraktion (der Gesamtnetzer nur eine Zahl nur eine Zahl), der Gesamtmultiplikator des Zählers und des Nenners der algebraischen Fraktion als Polynom, insbesondere oder eine Zahl dienen kann.

Beispielsweise kann die algebraische Fraktion 3 · × 2 + 6 · x · y 6 · x 3 y + 12 · x 2 y 2 um die Nummer 3 reduziert werden, dadurch erhalten wir: x 2 + 2 · x · Y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. Wir können den gleichen Fraktion auf die Variable X schneiden, und es gibt uns den Ausdruck 3 · x + 6 · y 6 · x 2 y + 12 · x · y 2. Auch eine gegebene Fraktion kann um einseitig reduziert werden 3 · X.oder eines der Polynome X + 2 · y, 3 · x + 6 · y, x 2 + 2 · x · y oder 3 · x 2 + 6 · x · y.

Das ultimative Ziel der Reduzierung der algebraischen Fraktion ist der Bruchteil eines einfacheren Punkts, bestenfalls zu einem instabilen Fraktion.

Sind alle algebraischen Fraktionen der Reduktion?

Wieder von Materialien auf gewöhnlichen Fraktionen wissen wir, dass es Schnitte und nicht interpretierbare Fraktionen gibt. Instabil ist ein Fraktion, der keinen gemeinsamen Multiplizierer des Zählers und den Nenner aufweist, der sich von 1 unterscheidet.

Mit algebraischen Fraktionen ist alles gleich: Sie können gemeinsame Multiplizierer des Zählers und den Nenner haben, haben möglicherweise nicht. Das Vorhandensein allgemeiner Faktoren ermöglicht es, den anfänglichen Fraktion durch Verringern zu vereinfachen. Wenn es keine allgemeinen Multiplizierer gibt, ist es unmöglich, den angegebenen Bruchteil der Reduktion zu optimieren.

In den allgemeinen Fällen ist der Fraktion gemäß dem angegebenen Typ ziemlich schwierig zu verstehen, ob es einer Verringerung unterliegt. In einigen Fällen ist natürlich die Anwesenheit eines gemeinsamen Multiplizierers des Zählers und des Nenner offensichtlich. Beispielsweise ist es in algebraischen Fraktionen 3 · x 2 3 y y absolut klar, dass der Gesamtfaktor die Zahl 3 ist.

In der Fraktion - x · y 5 · x · · z 3 Wir verstehen auch sofort, dass es möglich ist, es auf x, oder y oder auf x y y zu reduzieren. Und dennoch sind es viel häufiger Beispiele für algebraische Fraktionen, wenn der allgemeine Multiplizierer des Zählers und der Nenner nicht so leicht zu sehen ist, und noch öfter - er ist einfach nicht fehlend.

Zum Beispiel kann der Fraktion von x 3 - 1 x 2 - 1 auf X-1 schneiden, während der angegebene allgemeine Multiplizierer im Datensatz fehlt. Die Fraktion x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ist nicht möglich, die Reduktion freizulegen, da der Zähler und der Nenner keinen gemeinsamen Faktor haben.

Somit ist die Frage des Findens der Reduzierung der algebraischen Fraktion nicht so einfach, und es ist oft einfacher, mit dem Bruchteil einer bestimmten Art zu arbeiten, als zu versuchen, herauszufinden, ob es reduziert wird. Gleichzeitig gibt es solche Transformationen, in denen insbesondere Fälle es Ihnen ermöglichen, den gesamten Multiplizierer des Zählers und des Nenner zu bestimmen oder die Zerbrechlichkeit der Fraktion abzuschließen. Wir werden diese Frage in dem nächsten Absatz des Artikels detailliert analysieren.

Die Regel der Reduktion von algebraischen Fraktionen

Die Regel der Reduktion von algebraischen Fraktionen besteht aus zwei aufeinander folgenden Aktionen:

• finden von gemeinsamen Multiplizierern des Numerators und des Nenner;
• wenn dies der Fall ist, ist die Umsetzung der Schneidwirkung der Fraktion direkt.

Die bequemste Methode zum Finden von gemeinsamen Nennern ist die Zersetzung von Polynomen, die im Zähler und den Nenner einer bestimmten algebraischen Fraktion vorhanden sind. Auf diese Weise können Sie sofort das Vorhandensein oder Fehlen allgemeiner Multiplikatoren sehen.

Die Wirkung der Reduktion der algebraischen Fraktion basiert auf der Haupteigenschaft einer algebraischen Fraktion, ausgedrückt durch die Gleichheit undefinierte Gleichheit, wobei A, B, C einige Polynome und B und C - nicht Null ist. Der erste Schritt, die Fraktion ist dem Formular A · C b · c gegeben, in dem wir den allgemeinen Faktor c sofort bemerken. Der zweite Schritt besteht darin, zu reduzieren, d. H. Übergang zum Fraktion des Formulars a b.

Charakteristische Beispiele

Trotz einiger Beweise klären wir über einen bestimmten Fall, wenn der Zähler und der Nenner der algebraischen Fraktion gleich sind. Ähnliche Fraktionen sind in der gesamten ungeraden Variablen dieser Fraktion identisch gleich 1:

5 5 \u003d 1; - 2 3 - 2 3 \u003d 1; x x \u003d 1; - 3, 2 · x 3 - 3, 2 · x 3 \u003d 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Da gewöhnliche Fraktionen ein Sonderfall von algebraischen Fraktionen sind, erinnern wir Sie daran, wie Sie sie reduzieren können. Die in einem Zähler- und Nenner aufgezeichneten natürlichen Zahlen sind auf einfache Multiplikatoren angelegt, dann werden allgemeine Faktoren reduziert (falls vorhanden).

Beispielsweise 24 1260 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 \u003d 2 3 · 5 · 7 \u003d 2 105

Die Arbeit von einfachen identischen Faktoren kann als Grad geschrieben werden, und dabei, die Fraktion zu reduzieren, um die Eigenschaft des Grades in Grad mit den gleichen Basen zu verwenden. Dann wäre die obige Entscheidung:

24 1260 \u003d 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 \u003d 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 \u003d 2 105

(Zähler und Nenner sind in einen gemeinsamen Faktor unterteilt 2 2 · 3). Oder für die Klarheit, die sich auf die Eigenschaften von Multiplikation und Division verlassen, werden wir diese Art von Entscheidung geben:

24 1260 \u003d 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 \u003d 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 \u003d 2 1 · 1 3 · 1 35 \u003d 2 105

Analogie werden die algebraischen Fraktionen reduziert, in denen die numerische und der Nenner mit ganzzahligen Koeffizienten universell sind.

Beispiel 1.

Die algebraische Fraktion ist gegeben - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · Z. Es ist notwendig, es reduziert zu machen.

Entscheidung

Es ist möglich, einen Zähler und den Nenner einer bestimmten Fraktion als Produkt von einfachen Multiplizierern und Variablen zu schreiben, wonach die Reduktion:

27 · A 5 · B 2 · C · Z 6 · A 2 · B 2 · C 7 · Z \u003d - 3 · 3 · 3 · A · A · A · A · B · B · C · Z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · c · c · z \u003d \u003d - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c · c \u003d - 9 · A 3 2 · C 6

Eine rationalere Weise nimmt jedoch eine Lösung in Form von Ausdrücken mit Grad auf:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z \u003d - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · Z \u003d - 3 3 2 · 3 · A 5 A 2 · B 2 B 2 · cc 7 · Zz \u003d \u003d - 3 3 - 1 2 · A 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 \u003d · - 3 2 · A 3 2 · C 6 \u003d · · 9 · A 3 2 · C 6.

Antworten: - 27 · A 5 · B 2 · C · Z 6 · A 2 · B 2 · C 7 · Z \u003d - 9 · A 3 2 · C 6

Bei algebraischen Fraktion im Zähler und den Nenner gibt es fraktionale numerische Koeffizienten, es gibt zwei Wege weiterer Maßnahmen: oder teilen diese fraktionalen Koeffizienten separat auf, oder um fraktionierte Koeffizienten vorzunehmen, multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner für eine Art natürlicher Nummer. Die letzte Transformation erfolgt aufgrund der grundlegenden Eigenschaften der algebraischen Fraktion (es ist möglich, darüber in dem Artikel "eine algebraische Fraktion für einen neuen Nenner" gelesen zu haben).

Beispiel 2.

Die Fraktion 2 5 · x 0, 3 · x 3 ist gegeben. Es ist notwendig, es zu reduzieren.

Entscheidung

Es ist möglich, den Fraktion auf diese Weise zu reduzieren:

2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 2 5 3 10 · X x 3 \u003d 4 3 · 1 x 2 \u003d 4 3 · x 2

Lassen Sie uns versuchen, das Problem ansonsten zu lösen, sonst fraktionierter Koeffizienten vorzunehmen - multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner mit den kleinsten allgemeinen nennenden Nennern dieser Koeffizienten, d. H. auf NOC (5, 10) \u003d 10. Dann bekommen wir:

2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 10 · 2 5 · x 10 · 0, 3 · x 3 \u003d 4 · x 3 · x 3 \u003d 4 3 · x 2.

Antwort: 2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 4 3 · x 2

Wenn wir den algebraischen Fraktion eines gemeinsam genutzten Formulars reduzieren, in dem die Ziffern und Nenner sowohl universell als auch Polynome sein können, ist ein Problem möglich, wenn der allgemeine Faktor nicht sofort sichtbar ist. Oder außerdem existiert er einfach nicht. Um den allgemeinen Faktor zu bestimmen oder die Tatsache über seine Abwesenheit zu fixieren, legen den Zähler und der Nenner der algebraischen Fraktion auf Multiplikatoren aus.

Beispiel 3.

Die rationale Fraktion 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 ist gegeben. Es ist notwendig, es zu schneiden.

Entscheidung

Wir werden Polynomen in einem Zähler und Nenner zersetzen. Implementieren Sie für Zahnspangen:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 \u003d 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Wir sehen, dass der Ausdruck in Klammern mit den Formeln der abgekürzten Multiplikation umgewandelt werden kann:

2 · B 2 · (A 2 + 14 · A + 49) B 3 · (A 2 - 49) \u003d 2 · B 2 · (A + 7) 2 B 3 · (A - 7) · (A + 7)

Es ist eindeutig wahrnehmbar, dass es möglich ist, den Fraktion auf der allgemeinen Fabrik zu reduzieren B 2 · (A + 7). Wir werden reduzieren:

2 · B 2 · (A + 7) 2 B 3 · (A - 7) · (A + 7) \u003d 2 · (A + 7) B · (A - 7) \u003d 2 · A + 14 A · B - 7 · B.

Eine kurze Entscheidung ohne Erklärung schreiben wir als Gleichheitskette:

2 · A 2 · B 2 + 28 · A · B 2 + 98 · B 2 A 2 · B 3 - 49 · B 3 \u003d 2 · B 2 · (A 2 + 14 A + 49) B 3 · (A 2 - 49) \u003d \u003d 2 · B 2 · (A + 7) 2 B 3 · (A - 7) · (A + 7) \u003d 2 · (A + 7) B · (A - 7) \u003d 2 · A + 14 A · B - 7 · B

Antworten: 2 · A 2 · B 2 + 28 · A · B 2 + 98 · B 2 A 2 · B 3 - 49 · B 3 \u003d 2 · A + 14 A · B - 7 · b.

Es passiert, dass gemeinsame Faktoren durch numerische Koeffizienten verborgen sind. Beim Schneiden von Fraktionen, die optimalen numerischen Faktoren mit den älteren Graden des Zählers und des Nenners, um hinter den Klammern zu erfolgen.

Beispiel 4.

Dana Algebraische Fraktion 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2. Es ist, wenn möglich, seine Reduktion erforderlich.

Entscheidung

Der Zähler und der Nenner existieren auf den ersten Blick nicht allgemeiner Nenner. Versuchen wir jedoch, einen bestimmten Fraktion umzuwandeln. Ich werde einen Multiplizierer x in einen Zähler bringen:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 \u003d x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Nun eine gewisse Ähnlichkeit von Ausdrücken in Klammern und Ausdrücke im Nenner aufgrund von x 2 y . Ich werde numerische Koeffizienten für die Halterung mit älteren Abschlüssen dieser Polynome bringen:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 \u003d x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 \u003d - - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Nun wird der allgemeine Multiplizierer sichtbar, wir führen eine Reduktion durch:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 \u003d - 2 7 · x 5 \u003d - 2 35 · x

Antworten: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 \u003d - 2 35 · x.

Lassen Sie den Betonung auf die Tatsache, dass die Fähigkeit der Verringerung rationaler Fraktionen von der Fähigkeit abhängt, Polynome bis zu Multiplikatoren zu verbreiten.

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Auf den ersten Blick scheinen algebraische Fraktionen sehr schwierig zu sein, und ein unvorbereiteter Student könnte denken, dass es unmöglich ist, etwas mit ihnen zu tun. Die Reise von Variablen, Zahlen und sogar Grade erhebt Angst. Um das übliche (z. B. 15/25) und algebraische Fraktionen zu reduzieren, werden jedoch die gleichen Regeln verwendet.

Schritte

Bruchteile reduzieren.

Überprüfen Sie die Aktionen mit einfachen Fraktionen. Operationen mit herkömmlichen und algebraischen Fraktionen sind ähnlich. Zum Beispiel nehmen wir einen Schuss 15/35. Nachdem Sie diese Fraktion vereinfachen, folgen Sie einen gemeinsamen Teiler finden. Beide Nummern sind durch fünf geteilt, sodass wir 5 im Zähler und den Nenner hervorheben können:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Jetzt kannst du generalvervielfältiger reduzieren.Das heißt, 5 im Zähler und den Nenner löschen. Infolgedessen erhalten wir einen vereinfachten Bruchteil 3/7 . IM algebraische Ausdrücke. Häufige Multiplikatoren zeichnen sich auf dieselbe Weise wie im gewöhnlichen. In dem vorherigen Beispiel konnten wir 5 von 15 problemlos unterscheiden - das gleiche Prinzip gilt für komplexere Ausdrücke wie 15x - 5. Wir werden einen allgemeinen Faktor finden. In diesem Fall wird es 5 sein, da beide Mitglieder (15x und -5) durch 5 geteilt werden. Wie zuvor werden wir einen gemeinsamen Multiplikator hervorheben und ihn übertragen links.

15x - 5 \u003d 5 * (3x - 1)

Um zu überprüfen, ob alles korrekt ist, um sich zu multiplizieren, um 5 in Klammern in Klammern zu multiplizieren. Infolgedessen werden die gleichen Nummern zunächst sein. Komplexe Elemente können auf dieselbe Weise wie einfach zugeteilt werden. Für algebraische Fraktionen gelten die gleichen Prinzipien wie für gewöhnliche. Dies ist der einfachste Weg, um den Fraktion zu reduzieren. Betrachten Sie den folgenden Fraktion:

(x + 2) (x-3)(x + 2) (x + 10)

Beachten Sie, dass in dem Zähler (von oben) und in dem Nenner (unten) ein Element (x + 2) vorhanden ist, so dass er auf dieselbe Weise wie der Gesamtmultiplizierer 5 in der Fraktion 15/35 reduziert werden kann:

(x + 2) (x-3) → (X-3) (x + 2) (x + 10) → (x + 10)

Infolgedessen erhalten wir einen vereinfachten Ausdruck: (x-3) / (x + 10)

Reduzier von algebraischen Fraktionen

Finden Sie einen gemeinsamen Multiplizierer in einem Zähler, das heißt im oberen Teil der Fraktion. Mit der Reduzierung von algebraischen Fraktionen sollte das erste, was er beide Teile vereinfachen. Beginnen Sie vom Zähler und versuchen Sie, es so viele Faktoren wie möglich zu zersetzen. Betrachten Sie in diesem Abschnitt den folgenden Fraktion:

9x-3.15x + 6.

Beginnen wir mit dem Zähler: 9x - 3. Für 9x und -3 ist der Gesamtfaktor die Nummer 3. Ich fasse 3 pro Klammern zusammen, wie er mit herkömmlichen Zahlen erfolgt: 3 * (3x-1). Infolge dieser Transformation wird der nächste Fraktion herausstellen:

3 (3x-1)15x + 6.

Finden Sie einen gemeinsamen Multiplizierer im Zähler. Wir werden das obige Beispiel weiter ausführen und den Nenner getrunken: 15x + 6. Wie zuvor finden wir, welche Zahl beide Teile unterteilt sind. In diesem Fall ist der allgemeine Faktor 3, so dass Sie schreiben können: 3 * (5 × +2). Lassen Sie uns den Fraktion in folgendem Formular umschreiben:

3 (3x-1)3 (5x + 2)

Reduzieren Sie dieselben Mitglieder. In diesem Schritt können Sie den Bruchteil vereinfachen. Reduzieren Sie die gleichen Mitglieder in einem Zähler und Nenner. In unserem Beispiel ist dies die Nummer 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5 × + 2) → (5x + 2)

Bestimmen Sie, dass die Fraktion die einfachste Ansicht hat. Die Fraktion ist in dem Fall vollständig vereinfacht, wenn es keine allgemeinen Multiplizierer im Zähler und den Nenner gibt. Beachten Sie, dass es nicht möglich ist, diese Mitglieder, die in den Klammern stehen, nicht zu reduzieren. Somit gibt der Fraktion die weitere Vereinfachung nicht weiter, und die endgültige Antwort lautet wie folgt:

(3x-1)(5x + 2)

Wiederholen Sie die Fraktionen selbst. Der beste Weg, um die Methode zu assimilieren, ist unabhängige Entscheidung Aufgaben. Unter Beispielen werden korrekte Antworten gegeben.

4 (x + 2) (x-13)(4x + 8)

Antworten: (x \u003d 13)

2x 2 -x.5x.

Antworten:(2x-1) / 5

Spezielle Techniken

Nehmen Sie ein negatives Zeichen über den Fraktion hinaus. Angenommen, der nächste Fraktion wird gegeben:

3 (x-4)5 (4-x)

Beachten Sie, dass (X-4) und (4-×) "fast" identisch, aber sie können nicht sofort reduziert werden, da sie "umgedreht" sind. (X - 4) kann jedoch als -1 * (4 - x) geschrieben werden, genau wie (4 + 2x) kann als 2 * (2 + x) neu geschrieben werden. Dies wird als "Zeichenwechsel" bezeichnet.

-1 * 3 (4-x)5 (4-x)

Jetzt können Sie dieselben Mitglieder reduzieren (4-x):

-1 * 3 (4-x)5 (4-x)

Also bekommen wir die endgültige Antwort: -3/5 . Lernen Sie, den Unterschied in den Quadraten zu erkennen. Der Unterschied in Quadraten ist, wenn das Quadrat einer Zahl von dem Quadrat einer anderen Zahl, wie in der Expression (a 2 - B 2), abgezogen wird. Der Unterschied in vollen Quadraten kann immer in zwei Teile zerlegt werden - der Betrag und den Unterschied der entsprechenden quadratwurzeln. Dann wird der Ausdruck das folgende Formular annehmen:

A 2 - B 2 \u003d (A + B) (A-B)

Diese Technik ist bei der Suche nach allgemeinen Mitgliedern in algebraischen Fraktionen sehr nützlich.

• Prüfen Sie, ob Sie den richtigen Ausdruck in Multiplikatoren gelegt haben. Um dies zu tun, multiplizieren Sie Multiplikatoren - dadurch sollte derselbe Ausdruck erhalten werden.
• Um die Fraktion voll zu vereinfachen, ordnen Sie immer den größten Multiplikatoren zu.

Gegenstand:Depaction von Polynomen für Multiplizierer

Lektion:Algebraische Fraktionen. Reduzier von algebraischen Fraktionen in komplexeren Fällen

Erinnern Sie sich daran, dass Algebraic die Haltung von Polynomen ist:

In der vorherigen Lektion haben wir eine Analogie zwischen der algebraischen Fraktion und der arithmetischen Fraktion durchgeführt. Erinnern:

Das Ergebnis der Zersetzung an den Multiplizierern des Zählers und des Nenners ist etwas Fraktion;

Insbesondere war es ein Bruchteil

Sperate den angegebenen Ausdruck:

Wir ersetzen die Anzahl der Änderungen in X, Y, Z, wir erhalten:

Erinnern Sie sich daran, dass die Hauptaufgabe beim Arbeiten mit algebraischen Fraktionen den Zähler und den Nenner für Multiplikatoren zersetzt, und wenn eine solche Gelegenheit, um allgemeine Multiplizierer zu reduzieren.

Beispiele in Betracht ziehen:

Wir konvertieren den Zähler mit der Quadratdifferenzformel:

Sperate den aufstrebenden allgemeinen Multiplikator:

Als Ergebnis der Division von Bouquets wurden zwei Köpfe erhalten, die wir die Formel der Würfeldifferenz bemalt und seine Diskontinuität auf Multiplikatoren erhielten;

Verbreiten Sie den Zähler und den Nenner auf Multiplikatoren. Der Nenner ist explizit die Formel des Quadrats der Summe, und in dem Zähler unter dem Quadrat gibt es einen Unterschied in Quadraten:

Wir zeigen das Quadrat im Zähler, dafür wird jeder Multiplizierer auf dem Platz errichtet:

Verermene die allgemeine Fabrik:

Beispiel 3 - Vereinfachen Sie den Fraktion und berechnen Sie seinen Wert, wenn:

Verbreiten Sie den Zähler und den Nenner auf Multiplikatoren:

Verermene die allgemeine Fabrik:

Wir werden den Wert ersetzen und den Wert des Fraci berechnen:

Beispiel 4 - Vereinfachen Sie den Fraktion und berechnen Sie seinen Wert, wenn:

Auf den Zähler der Formel der Felderdifferenz und dem Nenner der Summe der Summe des Quadrats auftragen:

Wir werden den Wert ersetzen und berechnen:

Beispiel 5 - Zerlegen Sie sich auf Multiplikatoren:

Wenden Sie die Gruppierungsmethode an, um die Anzahl und den Nenner zu zersetzen:

Verermene die allgemeine Fabrik:

Ausgabe: In dieser Lektion erinnerten wir uns an das, was ein algebraischer Fraktion ist und was die Grundlagen der Arbeiten damit arbeiten. Wir haben gelernt, komplexe Beispiele zu lösen und die Fähigkeiten zur Lösung von Aufgaben mit algebraischen Fraktionen sicherzustellen.

1. DoroFeyev G.V., SUVOROVA S.B., Baynovich E.A. Und andere. Algebra 7. 6 Edition. M.: Erleuchtung. 2010.

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3. Kolyagin yu.m., Tkachev M.V., Fedorova n.e. und andere. Algebra 7 .m.: Erleuchtung. 2006.

1. Alle Elementarmathematik ().

Aufgabe 1: Kolyagin yu.m., Tkachev M.V., Fedorova n.e. und andere. Algebra 7, Nr. 446, Art.152;

Aufgabe 2: Kolyagin yu.m., Tkachev M.V., Fedorova n.e. und andere. Algebra 7, Nr. 447, Art.152;

Aufgabe 3: Kolyagin yu.m., Tkachev M.V., Fedorova n.e. et al. Algebra 7, Nr. 448, Art.152;