모든 덧셈 공식. 기본 삼각법 공식

덧셈 공식은 각도 a와 b의 사인과 코사인을 통해 함수 cos(a + b), cos(a-b), sin(a + b), sin(a-b)의 값을 표현하는 데 사용됩니다.

사인과 코사인의 덧셈 공식

정리: 임의의 a와 b에 대해 다음 등식은 참입니다. cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b).

이 정리를 증명합시다. 다음 그림을 고려하십시오.

그 위에 점 Ma, M-b, M(a + b)은 Mo 점을 각각 a, -b 및 a + b만큼 회전하여 얻습니다. 사인 및 코사인의 정의에서 이러한 점의 좌표는 다음과 같습니다. Ma(cos(a), sin(a)), Mb(cos(-b), sin(-b)), M(a + b) (cos (a + b); 죄 (a + b)). AngleMoOM(a + b) = angleM-bOMa이므로 삼각형 MoOM(a + b)과 M-bOMa는 동일하며 이등변입니다. 이것은 MoM(a-b)과 M-bMa의 염기가 같다는 것을 의미합니다. 따라서 (MoM(a-b)) ^ 2 = (M-bMa) ^ 2입니다. 두 점 사이의 거리 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

(1 - cos(a + b)) ^ 2 + (sin(a + b)) ^ 2 = (cos(-b) - cos(a)) ^ 2 + (sin(-b) - sin(a) ) ^ 2.

죄(-a) = -죄(a) 및 cos(-a) = cos(a). 다음 공식과 합과 차의 제곱을 고려하여 평등을 변환합니다.

1 -2 * cos (a + b) + (cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (b)) ^ 2 - 2 * cos (b) * cos (a) + (cos (a) ^ 2 + (sin (b)) ^ 2 + 2 * sin (b) * sin (a) + (sin (a)) ^ 2.

이제 기본 삼각법을 적용해 보겠습니다.

2 - 2 * cos (a + b) = 2 - 2 * cos (a) * cos (b) + 2 * 죄 (a) * 죄 (b).

비슷한 것을 주고 -2로 줄이자:

cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - 죄 (a) * 죄 (b). Q.E.D.

다음 공식도 유효합니다.

cos (a-b) = cos (a) * cos (b) + sin (a) * sin (b);
죄 (a + b) = 죄 (a) * cos (b) + cos (a) * 죄 (b);
죄 (a-b) = 죄 (a) * cos (b) - cos (a) * 죄 (b).

이 공식은 주조 공식을 사용하고 b를 -b로 대체하여 위에서 증명된 공식에서 얻을 수 있습니다. 접선 및 코탄젠트의 경우 덧셈 공식도 존재하지만 모든 인수에 유효하지는 않습니다.

접선 및 코탄젠트 추가 공식

어떠한 것도 각도, b a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n 및 a + b = pi / 2 + pi * m을 제외하고, 정수 k, n, m다음 공식이 유효합니다.

tg (a + b) = (tg (a) + tg (b)) / (1-tg (a) * tg (b)).

a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n 및 ab = pi / 2 + pi * m을 제외한 모든 각도 a, b에 대해 임의의 정수 k, n, m에 대해 다음 공식은 다음과 같습니다. 유효한:

tg (a-b) = (tg (a) -tg (b)) / (1 + tg (a) * tg (b)).

a = pi * k, b = pi * n, a + b = pi * m 및 정수 k, n, m을 제외한 모든 각도 a, b에 대해 다음 공식이 유효합니다.

ctg(a + b) = (ctg(a) * ctg(b) -1) / (ctg(b) + ctg(a)).

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 주요 삼각 함수 간의 관계가 설정됩니다. 삼각 공식... 그리고 삼각함수 사이에는 많은 연결이 있기 때문에 삼각함수 공식의 풍부함을 설명합니다. 일부 공식은 동일한 각도의 삼각 함수를 연결하고 다른 공식은 여러 각도의 함수를 연결하고 다른 공식은 각도를 낮출 수 있으며 네 번째는 반각의 접선 등을 통해 모든 함수를 표현할 수 있습니다.

이 기사에서는 대부분의 삼각법 문제를 해결하기에 충분한 모든 기본 삼각법 공식을 순서대로 나열합니다. 암기하고 사용하기 쉽도록 목적별로 그룹화하여 표에 입력합니다.

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기본 삼각 아이덴티티

메인 삼각 아이덴티티 한 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 간의 관계를 설정합니다. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 단위 원의 개념을 따릅니다. 그것들을 사용하면 하나의 삼각 함수를 다른 함수로 표현할 수 있습니다.

이러한 삼각법 공식, 파생 및 적용 예에 대한 자세한 설명은 기사를 참조하십시오.

주조 공식

주조 공식사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 특성, 즉 삼각 함수의 주기성 특성, 대칭 특성 및 주어진 각도만큼 이동하는 특성을 반영합니다. 이러한 삼각 공식을 사용하면 임의의 각도에서 0도에서 90도 범위의 각도로 작업할 수 있습니다.

이 수식의 근거, 암기하기 위한 니모닉 규칙 및 적용 예는 기사에서 연구할 수 있습니다.

덧셈 공식

삼각법 덧셈 공식두 각도의 합 또는 차이의 삼각 함수가 이러한 각도의 삼각 함수로 표현되는 방법을 보여줍니다. 이러한 공식은 다음과 같은 삼각 공식을 유도하기 위한 기초 역할을 합니다.

이중, 삼중 등의 공식 모서리

이중, 삼중 등의 공식 각도(다중 각도 공식이라고도 함)는 이중, 삼중 등의 삼각 함수가 어떻게 작동하는지 보여줍니다. 각도()는 단일 각도의 삼각 함수로 표현됩니다. 이들의 파생은 덧셈 공식을 기반으로 합니다.

더 자세한 정보는 이중, 삼중 등에 대한 기사 공식에서 수집됩니다. 모서리.

반각 공식

반각 공식반각의 삼각 함수가 정수 각도의 코사인으로 표현되는 방법을 보여줍니다. 이러한 삼각 공식은 이중 각도 공식을 따릅니다.

그들의 결론과 적용 사례는 기사에서 찾을 수 있습니다.

도 감소 공식

삼각도 감소 공식삼각 함수의 자연 도에서 사인 및 코사인으로의 전환을 용이하게 하도록 설계되었지만 여러 각도에서 1도입니다. 즉, 삼각 함수의 정도를 첫 번째로 낮출 수 있습니다.

삼각 함수의 합과 차 공식

주요 목적 삼각 함수의 합과 차에 대한 공식삼각함수 식을 단순화할 때 매우 유용한 함수의 곱으로 이동하는 것입니다. 이 공식은 또한 문제를 해결하는 데 널리 사용됩니다. 삼각 방정식, 사인과 코사인의 합과 차를 인수분해할 수 있기 때문입니다.

사인, 코사인 및 사인을 코사인으로 곱한 공식

삼각 함수의 곱에서 합 또는 차이로의 전환은 사인, 코사인 및 사인을 코사인으로 곱한 공식을 사용하여 수행됩니다.

일반 삼각 치환

삼각함수를 반각의 탄젠트로 표현하는 공식으로 삼각함수의 기본 공식에 대한 복습을 마치겠습니다. 이 교체 이름은 범용 삼각 치환... 그 편리함은 모든 삼각 함수가 루트 없이 합리적으로 반각의 탄젠트로 표현된다는 사실에 있습니다.

서지.

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영리한 학생의 저작권

나는 당신이 치트 시트를 쓰지 말라고 설득하지 않을 것입니다. 쓰다! 삼각법에 대한 치트 시트 포함. 나중에 치트 시트가 필요한 이유와 치트 시트가 유용한 이유에 대해 설명할 예정입니다. 그리고 여기에 - 배우지 않는 방법에 대한 정보가 있지만 삼각법 공식을 기억하십시오. 그래서 - 치트 시트가 없는 삼각법! 우리는 암기를 위해 연관을 사용합니다.

1. 덧셈 공식:

코사인은 항상 "쌍으로 이동": 코사인-코사인, 사인-사인. 그리고 한 가지 더: 코사인이 "부적절"합니다. 그것들은 "그렇지 않다", 그래서 기호를 "-"에서 "+"로, 또는 그 반대로 바꿉니다.

부비동 - "혼합": 사인 코사인, 코사인 사인.

2. 합과 차에 대한 공식:

코사인은 항상 "쌍으로 이동"합니다. "koloboks"라는 두 개의 코사인을 추가하면 "koloboks"라는 한 쌍의 코사인이 생성됩니다. 그리고 빼면 우리는 확실히 kolobok을 얻지 못할 것입니다. 우리는 한 쌍의 사인을 얻습니다. 또한 마이너스가 앞에 있습니다.

부비동 - "혼합" :

3. 곱과 차를 곱하기 위한 공식.

코사인 쌍은 언제 얻습니까? 코사인을 더할 때. 그래서

한 쌍의 부비동은 언제 발생합니까? 코사인을 뺄 때. 따라서:

"혼합"은 사인을 더하고 뺄 때 모두 얻습니다. 더하기 또는 빼기 중 어느 것이 더 낫습니까? 맞습니다, 접습니다. 그리고 공식에 대해 다음을 더합니다.

첫 번째 및 세 번째 공식에서 합계는 괄호 안에 있습니다. 합계는 용어의 위치를 재배열해도 변경되지 않습니다. 순서는 두 번째 공식에만 기본입니다. 그러나 혼동하지 않도록 암기의 편의를 위해 첫 번째 괄호의 세 공식 모두에서 차이를 취합니다.

그리고 두 번째로 금액

주머니에 있는 치트 시트는 마음의 평화를 가져다줍니다. 공식을 잊어버린 경우에는 잊어버릴 수 있습니다. 그리고 그들은 당신에게 자신감을 줍니다. 치트 시트를 사용하는 데 성공하지 못하면 공식을 쉽게 기억할 수 있습니다.

삼각법에서 가장 많이 사용되는 공식에 대한 대화를 계속합니다. 이들 중 가장 중요한 것은 덧셈 공식입니다.

정의 1

덧셈 공식을 사용하면 이러한 각도의 삼각 함수를 사용하여 두 각도의 차이 또는 합에 대한 함수를 표현할 수 있습니다.

우선 덧셈 공식의 전체 목록을 제공한 다음 이를 증명하고 몇 가지 예시적인 예를 분석합니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

삼각법의 기본 덧셈 공식

8개의 기본 공식이 구별됩니다: 합과 차의 사인, 합과 차의 코사인, 합과 차의 탄젠트와 코탄젠트 각각. 다음은 표준 공식 및 계산입니다.

1. 두 각의 합 사인은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

첫 번째 각도의 사인과 두 번째 각도의 코사인을 곱한 값을 계산합니다.

첫 번째 각도의 코사인에 첫 번째 각도의 사인을 곱합니다.

결과 값을 더하십시오.

공식의 그래픽 작성은 다음과 같습니다. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. 차이의 사인은 거의 같은 방식으로 계산되며 결과 제품만 더할 필요가 없고 서로 뺄 필요가 있습니다. 따라서 우리는 두 번째 코사인으로 첫 번째 각도의 사인과 두 번째 사인으로 첫 번째 각도의 코사인을 계산하고 그 차이를 찾습니다. 공식은 다음과 같이 작성됩니다. sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. 합계의 코사인. 이를 위해 첫 번째 각도의 코사인을 두 번째 코사인으로, 첫 번째 각도의 사인을 두 번째 사인으로 곱한 값을 각각 찾고 그 차이를 찾습니다. cos (α + β) = cos α cos β - 죄 α 죄 β

4. 차이의 코사인: 이전과 같이 주어진 각도의 사인과 코사인의 곱을 계산하고 더합니다. 공식: cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. 합계의 탄젠트. 이 공식은 분수로 표시되며 분자는 원하는 각도의 접선의 합이고 분모는 원하는 각도의 접선의 곱을 뺀 단위입니다. 그래픽 표기법에서 모든 것이 명확합니다. t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. 차이의 탄젠트. 우리는 차이의 값과 이러한 각도의 탄젠트의 곱을 계산하고 그들과 동일하게 수행합니다. 분모에서 우리는 1에 더하고 그 반대는 아닙니다. t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. 합계의 코탄젠트. 이 공식을 사용하여 계산하려면 이러한 각도의 코탄젠트의 곱과 합이 필요하며, 이를 사용하여 다음과 같이 진행합니다. c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. 차분 코탄젠트 . 공식은 이전 공식과 유사하지만 분자와 분모에는 플러스가 아닌 마이너스가 있습니다. c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

이 공식이 쌍으로 유사하다는 것을 눈치채셨을 것입니다. ±(더하기-빼기) 및 ∓(빼기-더하기) 기호를 사용하여 쓰기의 편의를 위해 그룹화할 수 있습니다.

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan (α ± β) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β ctg(α ± β) = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β

따라서 우리는 각 값의 합과 차에 대한 하나의 기록 공식을 가지고 있습니다. 한 경우에는 위쪽 기호에주의를 기울이고 다른 하나는 아래쪽 기호에주의를 기울입니다.

정의 2

우리는 모든 각도 α와 β를 취할 수 있으며 코사인과 사인에 대한 덧셈 공식이 작동합니다. 이 각도의 접선 및 코탄젠트 값을 올바르게 결정할 수 있다면 접선 및 코탄젠트에 대한 추가 공식도 유효합니다.

대수학의 대부분의 개념과 마찬가지로 덧셈 공식도 증명할 수 있습니다. 우리가 증명할 첫 번째 공식은 차분 코사인 공식입니다. 그런 다음 나머지 증거를 쉽게 추론할 수 있습니다.

기본 개념을 명확히 합시다. 우리는 필요 단위 원... 특정 점 A를 취하고 중심(점 O)을 중심으로 각도 α와 β를 회전시키면 밝혀집니다. 그러면 벡터 O A 1 → 와 O A → 2 사이의 각도는 (α - β) + 2 π z 또는 2 π - (α - β) + 2 π z(z는 임의의 정수)가 됩니다. 결과 벡터는 α - β 또는 2 π - (α - β)와 같은 각도를 형성하거나 전체 회전의 정수만큼 이러한 값과 다를 수 있습니다. 사진을 보세요:

감소 공식을 사용하여 다음과 같은 결과를 얻었습니다.

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

결론: 벡터 O A 1 → 및 O A 2 → 사이의 각도 코사인은 각도 α - β의 코사인과 같으므로 cos(O A 1 → O A 2 →) = cos(α - β)입니다.

사인과 코사인의 정의를 상기해 보겠습니다. 사인은 각도의 함수로 빗변에 대한 반대 각도의 다리 비율과 동일하며 코사인은 추가 각도의 사인입니다. 따라서 포인트 1그리고 2좌표(cos α, sin α) 및 (cos β, sin β)가 있습니다.

우리는 다음을 얻습니다.

O A 1 → = (cos α, sin α) 및 O A 2 → = (cos β, sin β)

명확하지 않다면 벡터의 시작과 끝에 위치한 점들의 좌표를 살펴보자.

벡터의 길이는 1과 같습니다. 우리는 단위 원이 있습니다.

이제 분석해보자 스칼라 곱벡터 O A 1 → 및 O A 2 →. 좌표에서 다음과 같이 보입니다.

(O A 1 →, O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

이것으로부터 우리는 평등을 추론할 수 있습니다:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

따라서 차이의 코사인 공식이 증명됩니다.

이제 우리는 합계의 코사인 공식을 증명할 것입니다. 이것은 이전 계산을 사용할 수 있기 때문에 더 쉽습니다. 표현 α + β = α - (- β)를 취하십시오. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

이것은 합계의 코사인 공식의 증명입니다. 마지막 줄은 반대 각도의 사인과 코사인 속성을 사용합니다.

합계의 사인 공식은 차분 코사인 공식에서 파생될 수 있습니다. 이를 위해 우리는 감소 공식을 취합니다.

죄 (α + β) = cos (π 2 (α + β)). 그래서
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

사인 차이 공식의 증명은 다음과 같습니다.

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
마지막 계산에서 반대 각도의 사인 및 코사인 속성 사용에 유의하십시오.

다음으로 탄젠트와 코탄젠트에 대한 덧셈 공식의 증명이 필요합니다. 기본 정의(탄젠트는 사인 대 코사인의 비율, 코탄젠트 - 그 반대)를 상기하고 이미 도출된 공식을 취하겠습니다. 우리는 그것을 만들었습니다:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

복잡한 분수가 있습니다. 다음으로 cos α ≠ 0 및 cos β ≠ 0을 고려하여 분자와 분모를 cos α · cos β로 나누어야 합니다.
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β

이제 분수를 취소하고 다음 형식의 공식을 얻습니다. sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
우리는 t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β를 얻었습니다. 이것은 접선 덧셈 공식의 증명입니다.

우리가 증명할 다음 공식은 차이의 탄젠트에 대한 공식입니다. 모든 것이 계산에 명확하게 표시됩니다.

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

코탄젠트 공식은 비슷한 방식으로 증명됩니다.
ctg (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + ctg α ctg β ctg α + ctg β
더 나아가:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β