사인, 코사인, 탄젠트: 무엇입니까? 사인, 코사인 및 탄젠트를 찾는 방법은 무엇입니까? 기본 삼각 아이덴티티.
중요 참고 사항!
1. 공식 대신 횡설수설이 보이면 캐시를 청소하십시오. 브라우저에서 수행하는 방법은 다음과 같습니다.
2. 기사를 읽기 전에 내비게이터에 가장 주의를 기울이십시오. 유용한 리소스...에 대한
사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트
사인(), 코사인(), 탄젠트(), 코탄젠트()의 개념은 각도의 개념과 떼려야 뗄 수 없는 관계입니다. 언뜻보기에 복잡한 개념 (많은 학생들에게 공포를 유발)을 잘 이해하고 "악마가 그려진 것처럼 그렇게 끔찍하지 않습니다"라는 것을 확인하기 위해 처음부터 시작하여 이해합시다. 각도의 개념입니다.
각도 개념: 라디안, 도
사진을 한번 볼까요? 벡터는 특정 양만큼 점에 대해 "회전"했습니다. 따라서 초기 위치에 대한 이 회전의 측정값은 다음과 같습니다. 각도.
각도의 개념에 대해 더 알아야 할 사항은 무엇입니까? 음, 물론, 각도 단위입니다!
기하학과 삼각법 모두에서 각도는 도와 라디안으로 측정할 수 있습니다.
각도(1도)는 원의 중심각이라고 하며 원의 일부와 동일한 원호에 놓입니다. 따라서 전체 원은 원호의 "조각"으로 구성되거나 원이 설명하는 각도는 다음과 같습니다.
즉, 위의 그림은 동일한 각도를 보여줍니다. 즉, 이 각도는 원주 크기의 원호에 놓입니다.
라디안 단위의 각도는 길이가 원의 반지름과 같은 원호 위에 놓인 원의 중심각입니다. 글쎄, 그것을 알아 냈어? 그렇지 않은 경우 알아 보겠습니다.
따라서 그림은 라디안과 같은 각도를 보여줍니다. 즉,이 각도는 길이가 원의 반지름과 같은 원호에 있습니다 (길이는 길이와 같거나 반지름은 호의 길이). 따라서 호 길이는 다음 공식으로 계산됩니다.
라디안 단위의 중심각은 어디에 있습니까?
자, 이것을 알면 원으로 묘사된 각이 몇 라디안을 포함하는지 답할 수 있습니까? 예, 이를 위해서는 원주 공식을 기억해야 합니다. 여기 그녀가 있습니다:
자, 이제 이 두 공식을 연관시키고 원이 나타내는 각도가 같다는 것을 알아봅시다. 즉, 도와 라디안 단위의 값을 연관시키면 그 값을 얻습니다. 따라서,. 보시다시피 "도"와 달리 "라디안"이라는 단어는 일반적으로 컨텍스트에서 단위가 명확하기 때문에 생략됩니다.
몇 라디안이 있습니까? 맞아요!
알았다? 그런 다음 앞으로 수정하십시오.
어려움이 있습니까? 그럼 봐 답변:
직각 삼각형: 사인, 코사인, 탄젠트, 각도의 코탄젠트
그래서 우리는 각도의 개념을 알아 냈습니다. 그러나 사인, 코사인, 탄젠트, 각도의 코탄젠트는 결국 무엇입니까? 알아봅시다. 이를 위해 직각 삼각형이 도움이 될 것입니다.
당사자의 이름은 무엇입니까 정삼각형? 맞습니다. 빗변과 다리: 빗변은 직각 반대편에 있는 면입니다(이 예에서는 이것이 면입니다). 다리는 두 개의 나머지 측면이며 (에 인접한 직각) 또한 다리를 각도에 대해 고려하면 다리는 인접한 다리이고 다리는 반대쪽 다리입니다. 이제 질문에 답해 보겠습니다. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 각도의 무엇입니까?
사인각빗변에 대한 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
각도의 코사인빗변에 대한 인접한(가까운) 다리의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
각도 탄젠트반대쪽(먼) 다리와 인접한(가까운) 다리의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
각도 코탄젠트인접한(가까운) 다리와 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
이러한 정의가 필요합니다 생각해 내다! 어떤 다리를 무엇으로 나눌지 기억하기 쉽도록 하려면 접선과 코탄젠스다리만 앉고 빗변은 사인과 코사인... 그런 다음 일련의 연결을 생각해낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
코사인 → 터치 → 터치 → 인접
코탄젠트 → 터치 → 터치 → 인접.
우선, 삼각형의 변의 비율인 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 이러한 변의 길이(한 각도에서)에 의존하지 않는다는 것을 기억할 필요가 있습니다. 믿지마? 그런 다음 그림을 보고 확인하십시오.
예를 들어 각도의 코사인을 고려하십시오. 정의에 따라 삼각형에서:, 그러나 삼각형에서 각도의 코사인을 계산할 수 있습니다. 변의 길이는 다르지만 한 각도의 코사인 값은 같습니다. 따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값은 각도의 크기에만 의존합니다.
정의를 파악했다면 계속해서 수정하십시오!
아래 그림에 표시된 삼각형을 찾으십시오.
알겠어요? 그런 다음 직접 시도하십시오. 모서리에 대해서도 동일하게 계산하십시오.
단위(삼각) 원
도와 라디안의 개념을 이해하면서 반지름이 다음과 같은 원을 고려했습니다. 그런 원을 단일... 삼각법을 배울 때 매우 유용합니다. 따라서 조금 더 자세히 살펴 보겠습니다.
보시다시피 이 원은 데카르트 좌표계로 만들어졌습니다. 원의 반지름은 1이고 원의 중심이 원점에 있는 동안 반지름 벡터의 초기 위치는 축의 양의 방향을 따라 고정됩니다(이 예에서는 반지름).
원의 각 점은 축을 따른 좌표와 축을 따른 좌표의 두 숫자에 해당합니다. 그리고이 숫자 좌표는 무엇입니까? 그리고 일반적으로 고려 중인 주제와 어떤 관련이 있습니까? 이렇게하려면 고려 된 직각 삼각형에 대해 기억해야합니다. 위의 그림에서 두 개의 전체 직각 삼각형을 볼 수 있습니다. 삼각형을 고려하십시오. 축에 수직이기 때문에 직사각형입니다.
삼각형은 무엇과 같습니까? 괜찮습니다. 또한, -는 반경입니다. 단위 원, 즉,. 이 값을 코사인 공식에 대입합니다. 다음과 같은 일이 발생합니다.
그리고 삼각형에서 같음은 무엇입니까? 물론, ! 반경 값을 이 공식에 대입하고 다음을 얻습니다.
그러면 원에 속하는 점의 좌표가 무엇인지 알려주실 수 있습니까? 글쎄, 안 돼? 그리고 당신이 그것을 깨닫고 숫자에 불과하다면? 어떤 좌표에 해당합니까? 음, 물론, 좌표! 그리고 어떤 좌표에 해당합니까? 바로, 코디네이터! 그래서 요점.
그러면 and는 무엇과 같습니까? 맞습니다, 탄젠트와 코탄젠트의 해당 정의를 사용하고 그것을 얻습니다.
각도가 더 크면? 예를 들어 이 그림과 같이
이 예에서 변경된 사항은 무엇입니까? 알아봅시다. 이렇게하려면 다시 직각 삼각형으로 돌리십시오. 직각 삼각형을 고려하십시오: 모서리(모서리에 인접하여). 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값은 얼마입니까? 맞습니다. 우리는 삼각 함수의 해당 정의를 따릅니다.
음, 보시다시피 각도의 사인 값은 여전히 좌표에 해당합니다. 각도의 코사인 값 - 좌표; 해당 비율에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값. 따라서 이러한 관계는 반경 벡터의 모든 회전에 적용됩니다.
반경 벡터의 초기 위치는 축의 양의 방향을 따른다는 것은 이미 언급했습니다. 지금까지 이 벡터를 시계 반대 방향으로 회전했지만 시계 방향으로 회전하면 어떻게 될까요? 특별한 것은 없으며 특정 크기의 각도도 밝혀 지지만 음수 일뿐입니다. 따라서 반지름 벡터를 시계 반대 방향으로 회전하면 양의 각도, 그리고 시계 방향으로 회전할 때 - 부정.
따라서 우리는 원에서 반경 벡터의 전체 회전이 또는임을 압니다. 반경 벡터를 다음만큼 회전할 수 있습니까? 물론 당신은 할 수! 따라서 첫 번째 경우에 반경 벡터는 한 바퀴를 완전히 회전하고 위치 또는 위치에서 멈춥니다.
두 번째 경우, 즉 반경 벡터는 세 번 완전히 회전하고 또는 위치에서 멈춥니다.
따라서 주어진 예에서 또는 (여기서 는 임의의 정수)와 다른 각도는 반경 벡터의 동일한 위치에 해당한다는 결론을 내릴 수 있습니다.
아래 그림은 각도를 보여줍니다. 동일한 이미지가 모서리 등에 해당합니다. 목록은 계속됩니다. 이 모든 각도는 일반 공식 또는 (여기서 는 임의의 정수)로 작성할 수 있습니다.
이제 기본 삼각 함수의 정의를 알고 단위 원을 사용하여 값이 무엇인지 답해보십시오.
다음은 도움이 되는 단위 원입니다.
어려움이 있습니까? 그럼 알아보도록 하겠습니다. 따라서 우리는 다음을 알고 있습니다.
여기에서 특정 각도 측정값에 해당하는 점의 좌표를 결정합니다. 음, 순서대로 시작하겠습니다. 모서리는 좌표가 있는 점에 해당하므로 다음과 같습니다.
존재하지 않는다;
또한 동일한 논리에 따라 의 모서리가 각각 좌표가 있는 점에 해당한다는 것을 알 수 있습니다. 이를 알면 해당 지점에서 삼각 함수의 값을 쉽게 결정할 수 있습니다. 먼저 직접 시도한 다음 답을 확인하십시오.
대답:
따라서 다음 표를 그릴 수 있습니다.
이 모든 의미를 기억할 필요는 없습니다. 단위 원의 점 좌표와 삼각 함수 값의 일치를 기억하는 것으로 충분합니다.
그러나 각도의 삼각 함수 값은 아래 표에 나와 있으며, 기억할 필요가:
두려워하지 마십시오. 이제 예제 중 하나를 보여 드리겠습니다. 해당 값의 아주 간단한 암기:
이 방법을 사용하려면 각도()의 세 가지 측정값 모두에 대한 사인 값과 각도의 탄젠트 값을 기억하는 것이 중요합니다. 이러한 값을 알면 전체 테이블을 전체적으로 복원하는 것이 매우 쉽습니다. 코사인 값은 화살표에 따라 전송됩니다. 즉,
이것을 알면 에 대한 값을 복원할 수 있습니다. 분자 ""가 일치하고 분모 ""가 일치합니다. 코탄젠트 값은 그림에 표시된 화살표에 따라 이월됩니다. 이것을 이해하고 화살표가있는 다이어그램을 기억하면 표의 모든 값을 기억하는 것으로 충분합니다.
원의 점 좌표
원에서 점(좌표)을 찾을 수 있습니까? 원의 중심 좌표, 반지름 및 회전 각도 알기?
물론 할 수 있습니다! 가져 가자 일반식점의 좌표를 찾기 위해.
예를 들어, 우리 앞에는 다음과 같은 원이 있습니다.
그 점이 원의 중심임을 알 수 있습니다. 원의 반지름은 입니다. 점을 각도로 돌려 얻은 점의 좌표를 찾아야합니다.
그림에서 알 수 있듯이 세그먼트의 길이는 점의 좌표에 해당합니다. 세그먼트의 길이는 원의 중심 좌표에 해당합니다. 즉, 동일합니다. 세그먼트의 길이는 코사인 정의를 사용하여 표현할 수 있습니다.
그런 다음 우리는 점 좌표를 가지고 있습니다.
같은 논리를 사용하여 점의 y 좌표 값을 찾습니다. 이런 식으로,
그래서 에 일반보기점의 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
원 중심 좌표,
원 반경,
벡터 반경의 회전 각도입니다.
보시다시피, 우리가 고려하고 있는 단위 원의 경우 중심 좌표가 0이고 반지름이 1이기 때문에 이러한 공식은 크게 줄어듭니다.
자, 원에서 점 찾는 연습을 통해 이 공식을 맛볼까요?
1. 단위원 위의 점을 회전시켜 구한 점의 좌표를 구한다.
2. 단위원 위의 점을 회전시켜 얻은 점의 좌표를 구합니다.
3. 단위원 위의 점을 회전시켜 구한 점의 좌표를 구한다.
4. 점은 원의 중심입니다. 원의 반지름은 입니다. 초기 반경 벡터를 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾을 필요가 있습니다.
5. 점은 원의 중심입니다. 원의 반지름은 입니다. 초기 반경 벡터를 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾을 필요가 있습니다.
원에서 점의 좌표를 찾는 데 문제가 있습니까?
이 5가지 예를 풀면(또는 솔루션을 잘 파악하면) 그것들을 찾는 방법을 배우게 될 것입니다!
요약 및 기본 공식
각도의 사인은 반대쪽(먼) 다리와 빗변의 비율입니다.
각도의 코사인은 빗변에 대한 인접한(가까운) 다리의 비율입니다.
각도의 접선은 반대쪽(먼) 다리와 인접한(가까운) 다리의 비율입니다.
각도의 코탄젠트는 인접한(가까운) 다리와 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.
자, 주제가 끝났습니다. 만약 당신이 이 라인들을 읽고 있다면, 당신은 아주 멋진 것입니다.
5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽으면 당신은 그 5%에 속합니다!
이제 가장 중요한 것이 나옵니다.
이 주제에 대한 이론을 알아냈습니다. 그리고 다시 말하지만 이것은 ... 그냥 최고입니다! 당신은 이미 대다수의 동료들보다 낫습니다.
문제는 이것이 충분하지 않을 수 있다는 것입니다 ...
무엇을 위해?
성공적인 시험에 합격, 예산과 가장 중요한 것은 평생 동안 연구소에 입학하기 위해.
나는 당신에게 아무것도 확신시키지 않을 것이고, 나는 단지 한 가지만 말할 것입니다 ...
받은 사람들 좋은 교육받지 않은 사람보다 훨씬 더 많이 번다. 이것은 통계입니다.
그러나 이것이 중요한 것도 아닙니다.
가장 중요한 것은 그들이 더 행복하다는 것입니다 (그런 연구가 있습니다). 아마도 더 많은 기회가 있고 삶이 더 밝아지기 때문이 아닐까요? 나도 몰라...
그러나 스스로 생각하십시오 ...
시험에서 다른 사람들보다 확실히 더 잘하고 궁극적으로 ... 더 행복하기 위해 필요한 것은 무엇입니까?
이 주제에 대한 문제를 해결하십시오.
시험에서는 이론을 요구하지 않습니다.
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강의: 임의 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트
사인, 임의 각도의 코사인
삼각 함수가 무엇인지 이해하기 위해 단위 반지름이 있는 원으로 돌아가 보겠습니다. 이 원은 좌표 평면의 원점 중심에 있습니다. 주어진 함수를 결정하기 위해 반경 벡터를 사용할 것입니다. 또는원과 점의 중심에서 시작하는 아르 자형원의 포인트입니다. 이 반경 벡터는 축과 알파 각도를 형성합니다. 오... 원의 반지름은 1이므로 OP = R = 1.
점에서라면 아르 자형축에 수직을 낮추다 오, 그러면 빗변이 1인 직각 삼각형을 얻습니다.
반지름 벡터가 시계 방향으로 움직이면 이 방향을 부정, 시계 반대 방향으로 움직이면 - 양.
사인각 또는, 점의 좌표 아르 자형원에 벡터입니다.
즉, 주어진 각도 알파의 사인 값을 얻으려면 좌표를 결정해야 합니다. 있다표면에.
이 값은 어떻게 얻었습니까? 직각 삼각형에서 임의의 각도의 사인이 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율이라는 것을 알고 있기 때문에 다음을 얻습니다.
이후 R = 1그때 죄(α) = y 0 .
단위원에서 세로좌표의 값은 -1보다 작거나 1보다 클 수 없습니다. 즉,
사인은 단위 원의 1/4 및 2/4에서 양수이고 3 및 4/4에서 음수입니다.
코사인 각도반경 벡터에 의해 형성된 주어진 원 또는, 점의 가로 좌표 아르 자형원에 벡터입니다.
즉, 주어진 각도 알파의 코사인 값을 얻으려면 좌표를 결정해야합니다 엑스표면에.
직각 삼각형에서 임의의 각도의 코사인은 비율입니다. 인접한 다리빗변으로, 우리는 그것을 얻습니다
이후 R = 1그때 코사인(α) = x 0 .
단위 원에서 가로 좌표의 값은 -1보다 작거나 1보다 클 수 없습니다.
코사인은 단위 원의 1/4 및 4/4에서 양수이고 2 및 3/4에서 음수입니다.
접선임의의 각도사인 대 코사인의 비율이 고려됩니다.
직각 삼각형을 고려하면 이것은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율입니다. 만약 그것은 온다단위 원에 대해, 이것은 세로 좌표와 가로 좌표의 비율입니다.
이러한 관계로 판단하면 횡축의 값이 0인 경우, 즉 90도 각도에서 접선이 존재할 수 없음을 알 수 있다. 접선은 다른 모든 값을 사용할 수 있습니다.
접선은 단위 원의 첫 번째와 세 번째 사분의 일에서 양수이고 두 번째와 네 번째 사분의 일에서 음수입니다.
이 기사에는 다음이 포함되어 있습니다. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 테이블... 먼저 삼각 함수의 주요 값 표, 즉 사인, 코사인, 탄젠트 및 각도 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360도의 코탄젠트 표를 제공합니다 ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π라디안). 그런 다음 사인 및 코사인 테이블과 VM Bradis의 탄젠트 및 코탄젠트 테이블을 제공하고 삼각 함수 값을 찾을 때 이러한 테이블을 사용하는 방법을 보여줍니다.
페이지 탐색.
각도 0, 30, 45, 60, 90, ...도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 표
서지.
- 대수학:교과서. 9 cl. 수요일 학교 / 유. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; 에드. S. A. Telyakovsky.- M .: 교육, 1990.- 272 p.: ill.- ISBN 5-09-002727-7
- 바쉬마코프 M.I.대수와 분석의 시작: 교과서. 10-11 cl. 수요일 쉬크. - 제3판. - M .: 교육, 1993 .-- 351 p .: 아프다. - ISBN 5-09-004617-4.
- 대수학그리고 분석의 시작: 교과서. 10-11 cl. 일반 교육. 기관 / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn 및 기타; 에드. A. N. Kolmogorov. - 14판 - M .: Education, 2004. - 384 p.: 병 - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G.수학(기술학교 지원자를 위한 매뉴얼): 교과서. 매뉴얼 - M .; 더 높은. shk., 1984.-351 p., ill.
- 브래디스 VM 4자리 수학 표: 일반 교육용. 연구. 기관. - 2판. - M .: Bustard, 1999. - 96 p .: 아프다. ISBN 5-7107-2667-2
A 지점을 중심으로
α는 라디안으로 표시되는 각도입니다.
접선( tg α) 빗변과 직각 삼각형의 다리 사이의 각도 α에 따라 달라지는 삼각 함수는 반대쪽 다리 | BC | 인접한 다리의 길이로 |AB | ...
코탄젠트( CTG α) 빗변과 직각 삼각형의 다리 사이의 각도 α에 따라 달라지는 삼각 함수는 인접한 다리 | AB | 반대쪽 다리의 길이까지 | BC | ...
접선
어디 엔- 전부의.
서양 문학에서 접선은 다음과 같이 표시됩니다.
.
;
;
.
접선 함수의 플롯, y = tg x
코탄젠트
어디 엔- 전부의.
서양 문헌에서 코탄젠트는 다음과 같이 표시됩니다.
.
다음 지정도 채택됩니다.
;
;
.
코탄젠트 함수 그래프, y = ctg x
접선 및 코탄젠트 속성
주기성
함수 y = tg x및 y = 씨티엑스π 주기로 주기적입니다.
동등
접선 및 코탄젠트 함수는 홀수입니다.
도메인과 가치, 증가, 감소
접선 및 코탄젠트 함수는 정의 영역에서 연속적입니다(참조. 연속성 증명). 탄젠트와 코탄젠트의 주요 속성은 표에 나와 있습니다( 엔- 전부의).
| y = tg x | y = 씨티엑스 | |
| 정의 및 연속성의 영역 | ||
| 값 범위 | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| 오름차순 | - | |
| 내림차순 | - | |
| 과격한 수단 | - | - |
| 0, y = 0 | ||
| y축과의 교차점, x = 0 | y = 0 | - |
공식
사인과 코사인에 대한 표현
;
;
;
;
;
합과 차의 탄젠트와 코탄젠트 공식
나머지 공식은 쉽게 구할 수 있습니다. 예를 들면
접선의 곱
접선의 합과 차에 대한 공식
이 표는 인수의 일부 값에 대한 접선 및 코탄젠트 값을 보여줍니다. 
복소수 표현
쌍곡선 함수의 표현
;
;
파생상품
; .
.
함수의 변수 x에 대한 n차 도함수:
.
탄젠트 공식의 유도>>> ; 코탄젠트용>>>
적분
시리즈 확장
x의 거듭제곱에서 접선의 확장을 얻으려면 함수에 대한 거듭제곱 급수의 확장에 대한 여러 항을 취해야 합니다. 죄 x과 코엑스과 이 다항식을 서로 위에 분할,. 이것은 다음 공식을 생성합니다.
언제.
에서.
어디 비앤- 베르누이 수. 다음과 같은 반복 관계에서 결정됩니다.
;
;
어디.
또는 라플라스 공식에 따르면: 
역함수
역함수탄젠트와 코탄젠트는 아크 탄젠트 및 아크 코탄젠트, 각각.
아크탄젠트, arctg
어디 엔- 전부의.
아크코탄젠트, arcctg
어디 엔- 전부의.
참조:
에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 기술 기관의 엔지니어 및 학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.
G. Korn, 과학자 및 엔지니어를 위한 수학 핸드북, 2012.
