Przykład funkcji odwrotnej proporcjonalnej. Praktyczne zastosowanie bezpośrednio i odwrotnej zależności proporcjonalnej

Wykonane: Chapkasov Rodion

student 6 "B"

Mbou "Sosh nr 53"

g. Barnaul.

Lider: bojkina og

nauczyciel matematyczny

Mbou "Sosh nr 53"

g. Barnaul.

Wprowadzenie jeden

Relacje i proporcje. 3.

Bezpośrednie i odwrotne proporcjonalne zależności. cztery

Zastosowanie bezpośredniego i odwrotnego proporcjonalnego 6

zależności w rozwiązywaniu różnych zadań.

Wniosek. jedenaście

Literatura. 12.

Wprowadzenie

Proporcja słów pochodzi z proporcji słów łacińskiej, co oznacza ogólnie proporcjonalność, wyrównanie części (określony stosunek części między sobą). W czasach starożytnych doktryna proporcji była dużym zaszczytem w Pitagorach. Z proporcjami powiązali myśli na temat zamówienia i piękna w przyrodzie, o spółgłoskich akordach w muzyce i harmonii we wszechświecie. Niektóre rodzaje proporcji o nazwie muzyczne lub harmoniczne.

Nawet w czasach starożytnych, osoba stwierdzono, że wszystkie zjawiska w naturze są związane ze sobą, że wszystko znajduje się w ciągłym ruchu, zmianie i, wyrażony przez liczbę, ujawnia niesamowite wzory.

Pythagoreans i ich zwolennicy wszystkiego na świecie szukali wyrażenia numerycznego. Zostały odkryte; Jakie proporcje matematyczne podkładają muzykę (stosunek długości łańcucha do wysokości tonu, relacji między odstępami, stosunek dźwięków w akordach, które dają dźwięk harmoniczny). Pitagoreans próbowali matematycznie uzasadniać ideę jedności świata, twierdził, że podstawa wszechświata jest symetryczna formy geometryczne.. Pitagoreans szukali matematycznego uzasadnienia dla piękna.

Po Pitagorach, średniowieczny naukowiec Augustyna nazwał piękno "równości numerycznej". Filozof Scholast Bonawenture napisał: "Piękno i radość nie jest bez proporcjonalności, proporcjonalność najpierw istnieje w liczbach. Konieczne jest, aby wszystko jest uważane za rozważane". W sprawie korzystania z proporcji w dziedzinie Leonardo da Vinci napisał w swoim traktacie o malarstwie: "Malarz ucieleśnia w postaci proporcji tych samych wzorów w naturze, co w formie prawa numerycznego zna naukowiec".

Użyliśmy proporcji podczas rozwiązywania różnych problemów i starożytności i w średniowieczu. Szczególne typy zadań są teraz łatwo i szybko rozwiązane przy użyciu proporcji. Proporcje i proporcjonalność zastosowano i stosowano nie tylko w matematyce, ale także w architekturze, sztuce. Proporcjonalność w architekturze i sztuce oznacza zgodność z pewnymi relacjami między rozmiarami różne części Budynki, figury, rzeźby lub inne dzieła sztuki. Proporcjonalność w takich przypadkach jest warunkami właściwej i pięknej konstrukcji i wizerunku

W mojej pracy starałem się rozważyć wykorzystanie bezpośrednich i odwrotnych proporcjonalnych zależności w różnych dziedzinach okolicznych życia, śledzić połączenie z przedmiotami szkoleniowymi za pośrednictwem zadań.

Relacje i proporcje.

Prywatne dwie liczby zwane relacjate liczby.

Postawa pokazujeChociaż ile razy pierwsza liczba jest większa niż lub jaka część jest pierwszą liczbą od drugiego.

Zadanie.

Sklep przyniósł 2,4 ton gruszek i 3,6 ton jabłek. Jaka część przyniosła gruszki?

Decyzja . Znajdź, ile owoców zostało przyniesionych: 2,4 + 3,6 \u003d 6 (t). Aby znaleźć część przyniósł owoców makijaż, osiągniemy stosunek 2.4: 6 \u003d Odpowiedź może być również napisana w postaci ułamka dziesiętnego lub w procentach: \u003d 0,4 \u003d 40%.

Wzajemnie wstecz Połączenie liczbyktórych prace są 1. Dlatego relacje nazywane są odwrotną.

Rozważ dwa równy związek: 4.5: 3 i 6: 4. Umieściamy znak równości między nimi i uzyskamy proporcję: 4,5: 3 \u003d 6: 4.

Proporcja - Jest to równość dwóch relacji: A: B \u003d C: D lub \u003d gdzie a i d ekstremowie członkowie proporcji, C i b - Średnie członkowie (Wszyscy członkowie proporcji różni się od zera).

Podstawowa proporcja właściwości:

w prawidłowej proporcji produkt ekstremalnych członków jest równy produktowi średnich członków.

Stosując właściwość mnożenia, uzyskujemy, że we właściwej proporcji można zmienić ekstremalnych członków lub średnich członków. Uzyskane proporcje będą również lojalne.

Korzystając z głównej właściwości proporcji, możesz znaleźć jego nieznany członek, jeśli znani są wszyscy inni członkowie.

Aby znaleźć nieznanego ekstremalnego członka proporcji, konieczne jest pomnożenie członków średnich i podzielonych na znanego ekstremalnego członka. X: B \u003d C: D, X \u003d

Aby znaleźć nieznanego średniego członka proporcji, musisz pomnożyć ekstremalnych członków i podzielił się na znanego przeciętnego członka. A: B \u003d X: D, X \u003d .

Bezpośrednie i odwrotne proporcjonalne zależności.

Wartości dwóch różnych ilości można wzajemnie zależą od siebie. W ten sposób kwadrat kwadratowy zależy od długości jej boku, a tył - długość części kwadratu określa z jego obszaru.

Dwie wartości nazywane są proporcjonalne, jeśli ze wzrastaniem

(malejący) jeden z nich kilka razy, drugi wzrasta (maleje) w tym samym czasie.

Jeśli dwie wartości są bezpośrednio proporcjonalne, stosunek odpowiednich wartości tych wartości jest równy.

Przykład bezpośrednia zależność proporcjonalna .

Na stacji benzynowej2 litry benzyny waży 1,6 kg. Ile będzie ważyć5 l benzyna?

Decyzja:

Waga nafta jest proporcjonalna do jego objętości.

2l - 1,6 kg

5L - X kg

2: 5 \u003d 1,6: x,

x \u003d 5 * 1,6 x \u003d 4

Odpowiedź: 4 kg.

Tutaj stosunek wagowy do objętości pozostaje niezmieniony.

Dwie wartości nazywane są odwrotnie proporcjonalne, jeżeli ze wzrostem (zmniejszania) jednego z nich kilka razy, drugi zmniejsza się (wzrasta) w tym samym czasie.

Jeśli wartości są odwrotnie proporcjonalne, stosunek wartości tej samej wartości jest równy współczynnik odwrotnych odpowiednich wartości innej wartości.

P. riemer.odwróć zależność proporcjonalna.

Dwa prostokąty mają ten sam obszar. Długość pierwszego prostokąta wynosi 3,6 m, a szerokość wynosi 2,4 m. Długość drugiego prostokąta wynosi 4,8 m. Znajdź szerokość drugiego prostokąta.

Decyzja:

1 prostokąt 3,6 m 2,4 m

2 prostokąt 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 m 2,4 m

x \u003d 3,6 * 2.4 \u003d 1,8 m

Odpowiedź: 1,8 m.

Jak widać, zadania wartości proporcjonalnych można rozwiązać za pomocą proporcji.

Nie wszystkie rodzaje dwóch wartości są bezpośrednio proporcjonalne lub odwrotnie proporcjonalne. Na przykład wzrost dziecka wzrasta wraz ze wzrostem w swoim wieku, ale wartości te nie są proporcjonalne, ponieważ podczas podwojenia wieku, wzrost dziecka nie podwoi się.

Praktyczne użycie Bezpośrednia i odwrotna zależność proporcjonalna.

Numer zadania 1.

W bibliotece szkolnej 210 Podręczniki matematyczne, które wynoszą 15% całego funduszu bibliotecznego. Ile książek w Fundacji Biblioteki?

Decyzja:

Całkowite podręczniki? - 100%

Matematyka - 210 -15%

15% 210 UCH.

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 podręczników

100% x UCH. piętnaście

Odpowiedź: 1400 podręczników.

Zadanie numer 2.

Rowerzysta przechodzi 75 km w 3 godziny. Jak długo rowerzysta porusza się 125 km z tej samej prędkości?

Decyzja:

3 h - 75 km

H - 125 km

Czas i odległość są bezpośrednio proporcjonalne do wartości, więc

3: x \u003d 75: 125,

x \u003d.
,

x \u003d 5.

Odpowiedź: przez 5 godzin

Numer zadania 3.

8 identycznych rur wypełnia basen w 25 minut. Ile minut wypełnia pulę 10 takich rur?

Decyzja:

8 rur - 25 minut

10 rur? minuty

Liczba rur jest odwrotnie proporcjonalna do czasu

8: 10 \u003d X: 25,

x \u003d.

x \u003d 20.

Odpowiedź: w 20 minut.

Numer zadania 4.

Brygada 8 pracowników wykonuje zadanie na 15 dni. Ilu pracowników będzie w stanie zadać w ciągu 10 dni, pracując z taką samą wydajnością?

Decyzja:

8 pracowników - 15 dni

Pracownicy - 10 dni

Liczba pracowników jest odwrotnie proporcjonalna do liczby dni, tak

x: 8 \u003d 15: 10,

x \u003d.
,

x \u003d 12.

Odpowiedź: 12 pracowników.

Numer zadania 5.

5,6 kg pomidorów otrzymuje się 2 litry sosów. Ile litrów sosu można uzyskać od 54 kg pomidorów?

Decyzja:

5,6 kg - 2 l

54 kg -? L.

Liczba cylinogramów pomidorów jest bezpośrednio proporcjonalna do liczby uzyskanych sosów

5.6: 54 \u003d 2: x,

x \u003d.
,

x \u003d 19.

Odpowiedź: 19 litrów.

Numer zadania 6.

Do ogrzewania budynku szkolnego węgiel zebrał 180 dni w tempie kosztów

0,6 ton węgla dziennie. Jak długo jest to zapas, jeśli jest spożywany codziennie na 0,5 tony?

Decyzja:

Liczba dni

Szybkość konsumpcji

Liczba dni jest odwrotnie proporcjonalna do szybkości konsumpcji węgla, tak

180: x \u003d 0,5: 0,6,

x \u003d 180 * 0,6: 0,5,

x \u003d 216.

Odpowiedź: 216 dni.

Numer zadania 7.

W Żelazny rud. 7 części żelaza odpowiada za 3 części zanieczyszczeń. Ile ton zanieczyszczeń w rudzy, który zawiera 73,5 ton żelaza?

Decyzja:

Pluć

Waga

Żelazo

73,5

Zanieczyszczenia

Liczba części jest bezpośrednio proporcjonalna do masy, tak

7: 73,5 \u003d 3: x.

x \u003d 73,5 * 3: 7,

x \u003d 31.5.

Odpowiedź: 31,5 tony

Zadanie numer 8.

Samochód jeździł 500 km, istiving 35 L benzyny. Ile litrów benzyny będzie musiał jechać 420 km?

Decyzja:

Odległość, km.

Benzyna, L.

Odległość jest bezpośrednio proporcjonalna do wydatków benzyny, więc

500: 35 \u003d 420: x,

x \u003d 35 * 420: 500,

x \u003d 29.4.

Odpowiedź: 29,4 L

Zadanie numer 9.

Za 2 godziny złowione 12 caras. Ile Karas złapie za 3 godziny?

Decyzja:

Liczba kruci nie zależy od czasu. Wartości te nie są ani bezpośrednio proporcjonalne lub odwrotnie proporcjonalne.

Odpowiedź: Nie ma odpowiedzi.

Numer zadania 10.

Przedsiębiorstwo górnicze jest zobowiązane do zakupu na określoną kwotę 5 nowych samochodów w cenie 12 tysięcy rubli na jedną. Ile takich samochodów będzie mogło kupić przedsiębiorstwo, jeśli cena jednego samochodu będzie 15 tysięcy rubli?

Decyzja:

Liczba samochodów, komputerów.

Cena, tysiąc rubli.

Liczba samochodów jest odwrotnie proporcjonalna do kosztów

5: x \u003d 15: 12,

x \u003d 5 * 12: 15,

x \u003d 4.

Odpowiedź: 4 samochody.

Zadanie numer 11.

W miasteczku N na placu P jest sklepem, którego właściciel jest tak surowy, że odlicza 70 rubli z wynagrodzenia za 1 późno w ciągu dnia. W jednym działu znajdują się dwie dziewczyny Julia i Natasha. Ich wynagrodzenie zależy od liczby dni roboczych. Julia otrzymała 4100 rubli w ciągu 20 dni, a Natasha przez 21 dni, aby uzyskać więcej, ale była późna przez 3 dni z rzędu. Ile rubli otrzyma Natasha?

Decyzja:

Dni robocze

Wynagrodzenie, RUB.

Julia.

4100

Natasha.

Wynagrodzenie jest bezpośrednio proporcjonalne do liczby dni roboczych

20: 21 \u003d 4100: x,

x \u003d 4305.

4305 RUB. powinien mieć Natasha.

4305 - 3 * 70 \u003d 4095 (RUB)

Odpowiedź: Natasha otrzyma 4095 rubli.

Zadanie numer 12.

Odległość między dwoma miastami na mapie wynosi 6 cm. Znajdź odległość między tymi miastami na ziemi, jeśli skala karty wynosi 1: 250000.

Decyzja:

Oznacz odległość między miastami na ziemi przez X (w centymetrach) i znajdź stosunek długości segmentu na mapie na odległość na ziemi, która będzie równa skali karty: 6: x \u003d 1 : 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x \u003d 1500000.

1500000 cm \u003d 15 km

Odpowiedź: 15 km.

Numer zadania 13.

W 4000 g roztworu zawiera 80 g soli. Jakie jest stężenie soli w tym rozwiązaniu?

Decyzja:

Msza, G.

Stężenie,%

Rozwiązanie

4000

Sól

4000: 80 \u003d 100: x,

x \u003d.
,

x \u003d 2.

Odpowiedź: stężenie soli wynosi 2%.

Numer zadania 14.

Bank daje pożyczkę poniżej 10% rocznie. Otrzymałeś pożyczkę 50 000 rubli. Ile powinieneś zwrócić słoik w ciągu roku?

Decyzja:

50 000 rubli.

100%

x ruble.

50000: x \u003d 100: 10,

x \u003d 50000 * 10: 100,

x \u003d 5000.

5000 RUB. wynosi 10%.

50 000 + 5000 \u003d 55 000 (RUB)

Odpowiedź: Rok później Bank zostanie zwrócony 55 000 rubli.

Wniosek.

Jak widzimy z powyższych przykładów, bezpośrednie i odwrotne proporcjonalne zależności mają zastosowanie w różnych dziedzinach życia:

Gospodarka

Handel

W produkcji i przemyśle,

Życie szkolne

Gotowanie,

Budowa i architektura.

Sport

Hodowla zwierząt,

Topografia,

Fizyka

Chemia itp.

W języku rosyjskim znajdują się również przysłowia i powiedzenia ustalone również bezpośrednie i odwrotne zależność:

Jak się stanie, odpowie.

Im wyższy kikut, tym wyższy cień.

Większy ludzie, mniej tlenu.

I gotowy, tak bestwkovo.

Matematyka - jeden z starożytne naukPochodziło na podstawie potrzeb i potrzeb ludzkości. Przeszedł historię stania się nadal Starożytna Grecja, nadal pozostaje istotne i konieczne Życie codzienne jakakolwiek osoba. Koncepcja bezpośredniego i odwrotnej zależności proporcjonalnej jest znana od czasów starożytnych, ponieważ prawa proporcji przeniósł się przez architektów o każdej konstrukcji lub tworząc każdą rzeźbę.

Znajomość proporcji jest szeroko stosowana we wszystkich sferach życia i działalności człowieka - bez nich nie może zrobić podczas pisania obrazów (krajobrazy, trwania życia, portretów, etc.) są również szeroko rozpowszechniane wśród architektów i inżynierów, - w ogóle, ogólnie trudno wyobrazić sobie stworzenie nawet bez użycia wiedzy na temat proporcji i ich stosunku.

Literatura.

Matematyka-6, N.ya. Vilenkin i in.

Algebra -7, g.v. Dorofeev itp.

Matematyka-9, GIA-9, edytowany przez f.f. Lysenko, S.yu. Kulabukhova.

Matematyka-6, materiały dydaktyczne, P.v. Chulkov, A.B. Oyans.

Zadania Matematyki dla 4-5 klas, I.V. Baranova itp., M. "Edukacja" 1988

Zbiór zadań i przykładów w matematyce 5-6 klasy, N.A. Tereshin,

Tak zwana Tereshina, M. "Aquarium" 1997

Podstawowe cele:

wprowadzić koncepcję bezpośrednich i odwrotnych proporcjonalnych uzależnienia od wartości;
uczyć, aby rozwiązać problemy za pomocą tych zależności;
przyczynić się do rozwoju zdolności do rozwiązywania problemów;
skonsolidować równania dotyczące rozwiązywania umiejętności poprzez proporcję;
powtórz działanie ze zwykłym i frakcje dziesiętne;
rozwijać logiczne myślenie Uczniowie.

Podczas zajęć

JA. Samostanowienie do działań(Czas organizujący)

- Faceci! Dziś w lekcji zapoznamy się z zadaniami rozwiązanych przy użyciu proporcji.

II. Aktualizacja wiedzy i utrwalania trudności w działaniach

2.1. Praca ustna (3 min)

- Znajdź wartość wyrażeń i dowiedz się, że słowo zaszyfrowane w odpowiedzi.

14 - C; 0,1 - i; 7 - L; 0,2 - A; 17 - w; 25 - K.

- Okazało się słowo - władza. Dobra robota!
- Motto naszej lekcji dzisiaj: siła - wiedza! Szukam - to znaczy, że się uczę!
- Wprowadź proporcję wynikowych numerów. (14: 7 \u003d 0,2: 0,1 itp.)

2.2. Rozważ zależność między znanymi nam wartościami (7 min)

- samochodem podróżował ze stałą prędkością, a czas jego ruchu: s \u003d v · t (z rosnącą prędkością (czas) zwiększa ścieżkę);
- Prędkość pojazdu i czas spędzony czas: v \u003d s: t(ze wzrostem czasu, aby przejść ścieżkę, prędkość zmniejsza się);
– koszt towarów zakupionych w jednej cenie i jego numer: C \u003d A · N (ze wzrostem (spadek) ceny, zwiększa się (zmniejsza) koszt zakupu);
- ceny towarów i jego numer: a \u003d c: n (ze wzrostem ilości, cena jest zmniejszona)
- obszar prostokąta i jego długości (szerokości): S \u003d A · B (ze wzrostem powierzchni (szerokość) wzrasta;
- długości i szerokości prostokąta: A \u003d S: B (z rosnącą długością, szerokość jest zmniejszona;
- liczba pracowników wykonujących tę samą wydajność pewnej pracy, a czas wykonania tej pracy: T \u003d A: N (ze wzrostem liczby czasu pracy, spędzony na pracę), itd.

Uzyskaliśmy zależności, w których kilka razy wraz ze wzrostem jednej wartości, drugi (pokazują strzałki) i zależności, w których przykłady, w których przykłady, ze wzrostem jednej wartości kilka razy, druga wartość zmniejsza się w takiej samej ilości czasu.
Takie zależności nazywane są bezpośrednimi i odwrotnymi proporcjami.
Zależność prawidłowa-proporcjonalna - zależność, w której wraz ze wzrostem (zmniejszenia) jednej wartości kilkakrotnie, zwiększa (zmniejsza się) druga wartość w tym samym czasie.
Zależność z back-proporcjonalna - zależność, w której wraz ze wzrostem (zmniejszania) jednej wartości kilka razy, zmniejsza się (zwiększa) druga wartość w tym samym czasie.

III. Inscenizacja zadanie

- Jaki problem wstał przed nami? (Naucz się odróżnić bezpośrednie i odwrotne zależności)
- To - celnasza lekcja. Teraz formułować. motyw lekcja. (Bezpośrednia i odwrotna zależność proporcjonalna).
- Dobra robota! Zapisz temat Lekcji w notebookach. (Nauczyciel pisze temat na pokładzie.)

IV. "Otwarcie" nowej wiedzy(10 minut)

Przeanalizujemy zadania nr 199.

1. Drukarka drukuje 27 stron w 4,5 min. Jak długo drukuje 300 stron?

27 s. - 4,5 min.
300 p. X?

2. W pudełku z 48 opakowań herbaty 250 g każdy. Ile dostanie z tych pakietów herbaty do 150g?

48 opakowań - 250 g
x? - 150 G.

3. Samochód jeździł 310 km, istiving 25 litrów benzyny. Jaką odległość może samochodem w pełnym zbiorniku, zakwaterowanie 40l?

310 km - 25 l
x? - 40 L.

4. Na jednym z narzędzi sprzęgła 32 zębów, a na drugim - 40. Ile zakrętów spowoduje, że drugi bieg, podczas gdy pierwsza zrobi 215 obrotów?

32 zęby - 315 o.
40 zębów - x?

Aby skompilować proporcję, jeden kierunek strzał jest konieczny, dla tego w odwrotnej proporcjonalności, jedna postawa zostanie zastąpiona przez odwrót.

W zarządzie uczniowie znajdują znaczenie wielkości, w tej dziedzinie uczniowie rozwiązują jednego, aby wybrać zadanie.

- Słowo zasada rozwiązywania problemów z bezpośrednią i odwrotną zależnością proporcjonalnej.

Na pokładzie pojawia się stół:

V. Podstawowa konsolidacja w mowie zewnętrznej(10 minut)

Zadania na arkuszach:

5,1 kg oleju otrzymanego z 21 kg nasion bawełny. Ile oleju wyjdzie z 7 kg nasion bawełny?
W przypadku konstrukcji stadionu 5 buldożerów usuwały platformę przez 210 minut. Po godzinie 7 buldożerów usunąłby tę platformę?

Vi. Niezależna praca Z autotestem w normie(5 minut)

Dwóch studentów wykonuje zadania nr 225 na własną rękę na ukrytych deskach, a reszta znajdują się w notebookach. Następnie sprawdzają pracę na algorytmie i porównują się z rozwiązaniem na tablicy. Błędy są skorygowane, dowiedzą ich przyczyny. Jeśli zadanie zostanie zakończone, prawda, liczba uczniów umieścić znak "+".
Studenci, którzy pozwalali na błędy w niezależnej pracy, mogą korzystać z konsultantów.

Vii. Włączenie wiedzy i powtórzeń№ 271, № 270.

Sześć osób pracuje w zarządzie. Po 3-4 minutach studenci, którzy pracowali w zarządzie reprezentują swoje decyzje, a reszta - sprawdzają zadania i uczestniczą w dyskusji.

Viii. Odbicie aktywności (lekcja)

- Co nowego nauczyłeś się w klasie?
- Co się powtórzyło?
- Jaki jest algorytm do rozwiązywania problemów dla proporcji?
- Osiągnęliśmy cel?
- Jak oceniasz swoją pracę?

I. Wartości proporcjonalne.

Niech wartość y. Zależy od wartości h.. Jeśli ze wzrastaniem h. kilka razy wielkość w. wzrasta w tym samym czasie, to takie wartości h. i W. Zadzwonił bezpośrednio proporcjonalny.

Przykłady.

1 . Liczba zakupionych towarów i koszt zakupu (w stałej cenie jednej jednostki towarów - 1 sztuk lub 1 kg itp.) Ile razy kupiło więcej towarów, za tyle razy więcej i płatne.

2 . Czas minął, a czas spędzony na nim (przy ciągłej prędkości). Który czas jest dłuższy, spędza czas na tyle razy, aby przejść przez niego.

3 . Objętość dowolnego ciała i jego masy. ( Jeśli jeden arbuz ma 2 razy więcej niż drugi, wtedy masa będzie 2 razy więcej)

II. Właściwość bezpośredniej proporcjonalności wartości.

Jeśli dwie wartości są bezpośrednio proporcjonalne, stosunek dwóch dowolnie przyjmowanych wartości pierwszej wartości jest równe stosunku dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.

Zadanie 1. W przypadku dżemu malinowego 12 kg. Malina I. 8 kg. Sahara. Ile cukru będzie potrzebować, jeśli wzięli 9 kg. maliny?

Decyzja.

Kłócimy się tak: niech to x kg. Sahara 9 kg. maliny. Masa malin i masa cukru są bezpośrednio proporcjonalne do: Ile razy mniej malin, na tym samym czasie potrzebujesz mniej cukru. W konsekwencji stosunek podjęty (masowy) malin ( 12:9 ) będzie równa postawie cukru podjętego ( 8: H.). Otrzymujemy proporcję:

12: 9=8: x;

x \u003d 9. · 8: 12;

x \u003d 6. Odpowiedź: na 9 kg. Maliny muszą wziąć 6 kg. Sahara.

Rozwiązanie problemu Możliwe było zorganizowanie i tak:

Przepuszczać 9 kg. Maliny muszą wziąć x kg. Sahara.

(Strzałki na rysunku są kierowane w jednym kierunku i w górę lub w dół - nie ma znaczenia. Znaczenie: w którym czasie liczba 12 Więcej liczb 9 , na tym samym czasie liczba 8 Więcej liczb h., tj. Oto bezpośrednia zależność).

Odpowiedź: na 9 kg. Maliny muszą wziąć 6 kg. Sahara.

Zadanie 2.Samochód 3 godziny Pojechał odległość 264 km.. Na jakim czasie przejdzie 440 km.Jeśli pójdziesz na tę samą prędkość?

Decyzja.

Wypuszczaj x godziny Samochód przejdzie odległość 440 km.

Odpowiedź: Samochód przejdzie 440 km w 5 godzin.

Dwie wartości są nazywane wprost proporcjonalnaJeśli ze wzrostem jednego z nich kilka razy więcej wzrasta w tym samym czasie. W związku z tym, ze spadkiem jednym z nich kilka razy, drugi zmniejsza się w tym samym czasie.

Związek między takimi wartościami jest bezpośrednią zależnością proporcjonalną. Przykłady bezpośredniej zależności proporcjonalnej:

1) Po stałej prędkości ścieżka przeszła bezpośrednio proporcjonalnie zależy od czasu;

2) obwód kwadratu i jego boku jest bezpośrednio proporcjonalny;

3) Koszt towarów zakupionych w jednej cenie jest bezpośrednio proporcjonalny do jego ilości.

Aby odróżnić bezpośrednią zależność proporcjonalną na odwrocie, można użyć przysłowie: "Dalej w lesie, tym więcej drewna opałowego".

Zadania na bezpośrednich wartościach proporcjonalnych są dogodnie rozwiązane przez proporcję.

1) W przypadku produkcji 10 części potrzebujesz 3,5 kg metalu. Ile metali pójdzie do produkcji 12 takich szczegółów?

(Kłóciłem się tak:

1. W kolumnie wypełnionej umieść strzałkę w kierunku z większej liczby do mniejszej.

2. Więcej szczegółów, tym więcej metalu jest potrzebny do produkcji. Oznacza to, że jest bezpośrednio proporcjonalny do zależności.

Niech X kg metalowej potrzeby wytwarzania 12 części. Stosujemy proporcję (w kierunku od początku strzał do końca):

12: 10 \u003d X: 3.5

Aby znaleźć, konieczne jest podzielenie pracy ekstremalnych członków do znanego przeciętnego członka:

Tak więc zajmie 4,2 kg metalu.

Odpowiedź: 4,2 kg.

2) przez 15 metrów tkanek płatniczych rubli 1680. Ile wynosi 12 metrów takiej tkaniny?

(1. W wypełnionej kolumnie umieść strzałkę w kierunku z większej liczby do mniejszej.

2. Mniejsza tkanina jest kupowana, tym mniej musisz za to zapłacić. Oznacza to, że jest bezpośrednio proporcjonalny do zależności.

3. Dlatego druga strzałka jest równie skierowana od pierwszego).

Niech x rubli stoi 12 metrów tkankowych. Robimy proporcję (od początku strzałek do końca):

15: 12 \u003d 1680: x

Aby znaleźć nieznanego ekstremalnego członka proporcji, produkt średniego członków rozlicza się ze znanym ekstremalnym członkiem proporcji:

Tak więc 12 metrów to 1344 rubli.

Odpowiedź: 1344 rubli.

Dziś przyjrzymy się, jakie wartości są nazywane odwrotnie, ponieważ wygląda wykres odwrotnej proporcjonalności i jak może być przydatna nie tylko w lekcjach matematycznych, ale także poza ścianami szkolnymi.

Taka różna proporcjonalność

Proporcjonalność Zadzwoń do dwóch wartości, które są wzajemnie zależne od siebie.

Zależność może być bezpośrednia i odwrotna. W związku z tym związek między wartościami opisuje proporcjonalność bezpośrednią i odwrotną.

Bezpośrednia proporcjonalność - Jest to zależność dwóch wartości, w których wzrost lub spadek jednego z nich prowadzi do wzrostu spadku drugiego. Te. Ich postawa się nie zmienia.

Na przykład, tym więcej wysiłków, do których dołączasz, aby przygotować się do egzaminów, tym wyższe szacunki. Albo im więcej rzeczy, które bierzesz z tobą, najtrudniejsze do noszenia plecaka. Te. Liczba wysiłków na przygotowanie się do egzaminów jest bezpośrednio proporcjonalna do szacowanych szacunków. A liczba rzeczy pakowanych w plecaku jest bezpośrednio proporcjonalna do swojej wagi.

Odwrotna proporcjonalność - Jest to zależność funkcjonalna, w której spadek lub wzrost kilku razy niezależną wartość (nazywany jest argumentem) powoduje, że proporcjonalne (to jest w tym samym czasie) zwiększenie zmniejszenia wartości zależnej (jest nazywany funkcjonować).

Zilustrujemy prosty przykład. Chcesz kupić na rynku jabłek. Jabłka na ladzie i ilość pieniędzy w portfelu znajdują się w odwrotnej proporcjonalności. Te. Im więcej kupujesz jabłka, mniej pieniędzy.

Funkcja i jego harmonogram

Funkcja odwrotnej proporcjonalności można określić jako y \u003d k / x. W którym x.≠ 0 I. k.≠ 0.

Ta funkcja ma następujące właściwości:

Obszar swojej definicji jest zestaw wszystkich ważnych liczb, z wyjątkiem x. = 0. RE.(y.): (-∞; 0) U (0; + ∞).
Obszar wartości to wszystkie ważne numery z wyjątkiem y.= 0. E (y): (-∞; 0) U. (0; +∞) .
Nie ma największych i najmniejszych wartości.
Jest to dziwny, a jego harmonogram jest symetryczny na początku współrzędnych.
Nieuzasadniona.
Jego wykres nie przekracza osi współrzędnych.
Nie zerule.
Jeśli k.\u003e 0 (tj. Argument wzrasta), funkcja jest proporcjonalnie malejąca w każdym z jego interwałów. Jeśli k.< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Ze wzrostem argumentu ( k.\u003e 0) Ujemne wartości funkcji są w przedziale (-∞; 0) i pozytywne - (0; + ∞). Kiedy schodzący argument ( k.< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Wykres funkcji odwrotnej proporcjonalności nazywa się hiperbola. Przedstawione w następujący sposób:

Zadania dotyczące odwrotnej proporcjonalności

Aby stać się jaśniejszym, zrozumiemy kilka zadań. Nie są zbyt skomplikowane, a ich rozwiązanie pomoże Ci wyraźnie sobie wyobrazić, co jest odwrotną proporcjonalność i jak ta wiedza może być przydatna w zwykłym życiu.

Numer zadania 1. Samochód porusza się z prędkością 60 km / h. Aby dostać się do miejsca docelowego, zajęło mu 6 godzin. Ile czasu potrzebuje przezwyciężyć tę samą odległość, jeśli przejdzie z prędkością 2 razy wyższą?

Możemy zacząć od faktu, że zapiszymy formułę, która opisuje stosunek czasu, odległości i prędkości: T \u003d S / V. Zgadzam się, bardzo przypomina nam o odwrotnej proporcjonalności. I wskazuje, że czas wydawany jest na drodze, a prędkość, z którą się porusza, jest w odwrotnej proporcjonalności.

Aby upewnić się, znaleźć V2, który według stanu powyżej, 2 razy: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Następnie obliczamy odległość o wzorze S \u003d V * T \u003d 60 * 6 \u003d 360 km. Teraz nie jest trudno znaleźć czas T2, który jest wymagany od nas pod warunkiem problemu: t 2 \u003d 360/120 \u003d 3 godziny.

Jak widać czas na drodze, a szybkość ruchu jest naprawdę odwrotnie proporcjonalna: z prędkością 2 razy wyższa, początkowo samochód spędzi 2 razy mniej czasu na drodze.

Rozwiązanie tego zadania można odnotować w formie proporcji. Dla których najpierw dokonują takiego schematu:

↓ 60 km / h - 6 h

↓ 120 km / CH - X

Strzałki wskazują odwrotnie proporcjonalną zależność. A także sugeruje, że podczas sporządzania proporcji prawa strona rekordu powinna zostać przekroczona: 60/120 \u003d X / 6. Gdzie otrzymujemy x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 godziny.

Zadanie numer 2. W warsztacie, 6 pracowników pracujących, co z daną pracą, radzi sobie w ciągu 4 godzin. Jeśli liczba pracowników zostanie zmniejszona o 2 razy, jak długo pozostała potrzeba wykonania takiej samej pracy?

Piszemy warunki problemu w formie programu wizualnego:

↓ 6 pracowników - 4 godziny

↓ 3 pracowników

Piszemy to w postaci proporcji: 6/3 \u003d x / 4. I otrzymujemy x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 godzin. Jeśli pracownicy stają się 2 razy mniej, pozostałe zostaną wydane na spełnienie wszystkich prac 2 razy dłużej.

Numer zadania 3. Dwie rury prowadzą do basenu. Dzięki jednej rurze woda jest pobierana prędkością 2 l / s i wypełnia basen w 45 minut. Poprzez inną rurę pula zostanie wypełniona w 75 minut. Jaką prędkość woda wchodzi do basenu przez tę rurę?

Na początek przedstawiamy wszystkie dane przez nas pod warunkiem problemu wartości do tych samych jednostek pomiarowych. Aby to zrobić, wyrażamy szybkość napełniania basenu w litrach na minutę: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 L / min.

Ponieważ wynika z warunku, że przez drugą rurę basen jest wypełniony wolniej, oznacza to, że natężenie przepływu wody jest niższy. Twarz jest odwrotną proporcjonalność. Nieznana prędkość wyraża je przez x i dokonać takiego schematu:

↓ 120 l / min - 45 min

↓ x l / min - 75 min

A następnie wykonaj proporcję: 120 / x \u003d 75/45, gdzie X \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 L / min.

W zadaniu, szybkość napełniania basenu jest wyrażona w litrach na sekundę, podajemy odpowiedź, którą otrzymaliśmy do tego samego typu: 72/60 \u003d 1,2 l / s.

Numer zadania 4. W małym prywatnym domu drukarni drukowane są wizytówki. Oficer typograficzny działa z prędkością 42 wizytówek na godzinę i martwi się w pełnym wymiarze godzin - 8 godzin. Jeśli pracował szybciej i drukował 48 wizytówek w ciągu godziny, ile wrócił do domu?

Idziemy na sprawdzoną ścieżkę i stanowią schemat pod warunkiem, oznaczający pożądaną wartość jako X:

↓ 42 wizytówki / H - 8 h

↓ 48 wizytówek / CH - X

Jesteśmy odwrotnie proporcjonalnie do zależności: Ile razy więcej wizytówek wydrukuje pracownika z drukarni, na ten sam czas mniejszy niż czas, aby wykonać tę samą pracę. Wiedząc o tym, uzupełnij proporcję:

42/48 \u003d X / 8, X \u003d 42 * 8/48 \u003d 7H.

Tak więc, radzenie sobie z pracą w ciągu 7 godzin, oficer drukarski byłby w stanie wrócić do domu na godzinę wcześniej.

Wniosek

Wydaje nam się, że te zadania dotyczące odwrotnej proporcjonalności są naprawdę nieskomplikowane. Mamy nadzieję, że teraz je rozważysz. A co najważniejsze, znajomość proporcjonalnych wartości uzależnionych z powrotem może być rzeczywiście przydatna dla Ciebie więcej niż raz.

Nie tylko w lekcjach matematyki i egzaminów. Ale wtedy, kiedy zamierzasz jeździć w podróż, pójdziesz na zakupy, zdecyduj się trochę pracować na wakacjach itp.

Opowiedz nam w komentarzach, jakie przykłady odwrotnej i bezpośredniej proporcjonalnej zależności zauważasz wokół siebie. Niech będzie taka gra. Tutaj zobaczysz, jak go ekscytujące. Nie zapomnij "zmniejszyć" tego artykułu portale społecznościoweWięc twoi przyjaciele i koledzy z klasy mogą również grać.

blog. Wymagany jest pełny lub częściowy kopiowanie odniesienia materiału do oryginalnego źródła.