"Decyzja ułamkowych równań racjonalnych". Racjonalne równania

T. Kosyakova,
Szkoła Nrcie 80, Krasnodar

Roztwór kwadratowych i frakcyjnych równań racjonalnych zawierających parametry

Lekcja 4.

Lekcja tematyczna:

Cel lekcji:tworząc zdolność do rozwiązywania frakcyjnych równań racjonalnych zawierających parametry.

Rodzaj lekcji: Wprowadzenie Nowy materiał.

1. (ustnie) podjąć równania:

Przykład 1.. Zdecyduj równanie

Decyzja.

Znajdź nieprawidłowe wartości zA.:

Odpowiedź. Jeśli Jeśli zA. = – 19 , bez korzeni.

Przykład 2.. Zdecyduj równanie

Decyzja.

Znajdź nieprawidłowe wartości parametrów zA. :

10 – zA. = 5, zA. = 5;

10 – zA. = zA., zA. = 5.

Odpowiedź. Jeśli zA. = 5 zA. № 5 T. x \u003d 10- zA. .

Przykład 3.. W jakich wartościach parametru b. równanie To ma:

a) dwa korzenie; b) jedyny root?

Decyzja.

1) Znajdź nieprawidłowe wartości parametrów b. :

x \u003d. b., b. 2 (b. 2 – 1) – 2b. 3 + b. 2 = 0, b. 4 – 2b. 3 = 0,
b. \u003d 0 lub. b. = 2;
x \u003d 2, 4 ( b. 2 – 1) – 4b. 2 + b. 2 = 0, b. 2 – 4 = 0, (b. – 2)(b. + 2) = 0,
b. \u003d 2 lub. b. = – 2.

2) Równanie rozwiązań x 2 ( b. 2 – 1) – 2b. 2 x +. b. 2 = 0:

D \u003d 4. b. 4 – 4b. 2 (b. 2 - 1), D \u003d 4 b. 2 .

ale)

Z wyłączeniem nieprawidłowych wartości parametrów b. , uzyskujemy, że równanie ma dwa korzenie b. № – 2, b. № – 1, b. № 0, b. № 1, b. № 2 .

b) 4b. 2 = 0, b. = 0, ale jest to nieprawidłowa wartość parametru b. ; Jeśli b. 2 –1=0 , tj. b.=1 lub.

Odpowiedź: a) Jeśli b. № –2 , b. № –1, b. № 0, b. № 1, b. № 2 , Potem dwa korzenie; b) If. b.=1 lub b \u003d -1. , potem jedyny root.

Niezależna praca

opcja 1

Zdecyduj równania:

Opcja 2.

Zdecyduj równania:

Odpowiedzi

W 1. co jeśli zA.=3 , bez korzeni; Jeśli b) Jeśli jeśli zA. № 2 , bez korzeni.

O 2. Jeśli zA.=2 , bez korzeni; Jeśli zA.=0 , bez korzeni; Jeśli
b) If. zA.=– 1 , równanie traci znaczenie; Jeśli nie ma korzeni;
Jeśli

Zadanie w domu.

Zdecyduj równania:

Odpowiedzi: a) Jeśli zA. № –2 T. x \u003d. zA. ; Jeśli zA.=–2 , wtedy nie ma rozwiązań; b) If. zA. № –2 T. x \u003d 2. ; Jeśli zA.=–2 , wtedy nie ma rozwiązań; c) jeśli zA.=–2 T. x. - dowolna liczba z wyjątkiem 3 ; Jeśli zA. № –2 T. x \u003d 2. ; d) jeśli zA.=–8 , bez korzeni; Jeśli zA.=2 , bez korzeni; Jeśli

Lekcja 5.

Lekcja tematyczna: "Rozwiązanie frakcyjnych równań racjonalnych zawierających parametry".

Lekcja celów:

uczenie się do rozwiązania równań z niestandardowym warunkiem;
Świadomie przyswajają studentów koncepcji algebraicznych i połączeń między nimi.

Rodzaj lekcji: Systematyzacja i uogólnienia.

Sprawdź swoją pracę domową.

Przykład 1.. Zdecyduj równanie

a) W stosunku do X; b) W stosunku do y.

Decyzja.

a) Znajdź nie do przyjęcia wartości y.: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 -2y,

y \u003d 0. - Nieprawidłowa wartość parametru y..

Jeśli y.№ 0 T. x \u003d y-2 ; Jeśli y \u003d 0. , równanie traci znaczenie.

b) znajdziemy nieprawidłowe wartości parametrów x.: y \u003d x, 2x-x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - Nieprawidłowa wartość parametru x.; y (2 + x-y) \u003d 0, y \u003d 0 lub y \u003d 2 + x;

y \u003d 0. Nie spełnia warunku y (y-x)№ 0 .

Odpowiedź: a) Jeśli y \u003d 0. , równanie traci znaczenie; Jeśli y.№ 0 T. x \u003d y-2 ; b) If. x \u003d 0. x.№ 0 T. y \u003d 2 + x .

Przykład 2.. W jakich wartościach parametru korzeni równania należą do luk

D \u003d (3 zA. + 2) 2 – 4zA.(zA. + 1) · 2 \u003d 9 zA. 2 + 12zA. + 4 – 8zA. 2 – 8zA.,

D \u003d ( zA. + 2) 2 .

Jeśli zA. № 0 lub zA. № – 1 T.

Odpowiedź: 5 .

Przykład 3.. Znajdź stosunkowo. x. Rozwiązania równania

Odpowiedź. Jeśli y \u003d 0. , równanie nie ma sensu; Jeśli y \u003d -1. T. x. - dowolna liczba całkowita inna niż zero; Jeśli Y cia 0, Y, Y - 1, Nie mam rozwiązań.

Przykład 4. Zdecyduj równanie z parametrami. zA. i b. .

Jeśli zA.№ - B. T.

Odpowiedź. Jeśli a \u003d.0 lub b \u003d.0 , równanie traci znaczenie; Jeśli zA.№ 0, B.№ 0, a \u003d -b T. x. - dowolna liczba z wyjątkiem zera; Jeśli zA.№ 0, B.№ 0, A.№ -B, że x \u003d -a, x \u003d -b .

Przykład 5.. Udowodnij, że z dowolną wartością parametru N różni się od zera, równania ma jedyny korzeń równy - N. .

Decyzja.

to znaczy x \u003d -n. Zgodnie z wymaganiami udowodnić.

Zadanie w domu.

1. Znajdź całe rozwiązania równania

2. W jakich wartościach parametru dO. równanie To ma:
a) dwa korzenie; b) jedyny root?

3. Znajdź wszystkie całe korzenie równania Jeśli zA.O N. .

4. Zdecyduj równanie 3xy - 5x + 5Y \u003d 7:a) y. ; b) x. .

1. Równanie spełnia wszelkie liczby całkowite równe wartości x i y inne niż zero.
2. a) kiedy
b) na lub
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Jeśli korzenie nie są; Jeśli
b) Jeśli nie ma korzeni; Jeśli

Test

opcja 1

1. Określ rodzaj równania 7C (C + 3) x 2 + (C-2) X-8 \u003d 0 Z: a) c \u003d -3. ; b) C \u003d 2; w) c \u003d 4. .

2. Zdecyduj równanie: a) x 2-bx \u003d 0; b) cX 2 -6X + 1 \u003d 0 ; w)

3. Zdecyduj równanie 3x-XY-2Y \u003d 1:

a) x. ;
b) y. .

NX 2 - 26x + N \u003d 0, Wiedząc, że parametr N bierze tylko wartości całkowite.

5. W jakich wartościach b to ma:

a) dwa korzenie;
b) jedyny root?

Opcja 2.

1. Określ rodzaj równania 5C (C + 4) x 2 + (C-7) X + 7 \u003d 0 Z: a) C \u003d -4; b) C \u003d 7; w) c \u003d 1. .

2. Zdecyduj równanie: a) Y2 + CY \u003d 0; b) Ny 2 -8y + 2 \u003d 0; w)

3. Zdecyduj równanie 6x-XY + 2Y \u003d 5:

a) x. ;
b) y. .

4. Znajdź równania całe korzenie NX 2 -22x + 2n \u003d 0, Wiedząc, że parametr N bierze tylko wartości całkowite.

5. W jakich wartościach parametru równania to ma:

a) dwa korzenie;
b) jedyny root?

Odpowiedzi

W 1. 1. a) równanie liniowe;
b) niepełne równanie kwadratowe; c) równanie kwadratowe.
2. a) Jeśli b \u003d 0. T. x \u003d 0. ; Jeśli b.0. T. x \u003d 0, x \u003d b;
b) Jeśli cO (9; + ґ) , bez korzeni;
c) jeśli zA.=–4 , równanie traci znaczenie; Jeśli zA.№ –4 T. x \u003d - zA. .
3. a) Jeśli y \u003d 3. , bez korzeni; Jeśli);
b) zA.=–3, zA.=1.

Dodatkowe zadania

Zdecyduj równania:

Literatura

1. Golubev V.I., Goldman A.m., Dorofeyev g.v. O parametrach od samego początku. - Opiekun, nr 2/1991, str. 3-13.
2. Gronostein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Wymagania wstępne w zadaniach z parametrami. - Quant, nr 11/1991, str. 44-49.
3. Dorofeyev g.v., Zatakai v.v. Rozwiązywanie zadańzawierające parametry. Część 2. - M., perspektywa, 1990, s. 2-38.
4. Tynyakin S.a. Pięćset czternaście zadań z parametrami. - Wołgograd, 1991.
5. Yarstresicky G.a. Zadania z parametrami. - M., Oświecenie, 1986.

Równania się ułamkowego. Dziwny

Uwaga!
Ten temat ma dodatkowe
Materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy silnie "nie bardzo ..."
A dla tych, którzy są "bardzo ...")

Nadal odkrywamy równania. Jesteśmy już świadomi, jak pracować z równaniami liniowymi i kwadratami. Ostatni widok pozostał - równania się ułamkowego. Lub nazywane są również znacznie bardziej solidnymi - ułamkowe równania racjonalne. To jest to samo.

Równania się ułamkowego.

Jak wyraźnie z nazwy, frakcje są koniecznie obecne w tych równań. Ale nie tylko frakcja, a fraraty, które mają nieznany w mianowniku.. Przynajmniej w jednym. Na przykład:

Pozwól mi przypomnieć, czy tylko w mianownikach liczbySą to równania liniowe.

Jak zdecydować równania się ułamkowego? Przede wszystkim - pozbyć się frakcji! Po tym równanie najczęściej obraca się w liniowy lub kwadratowy. A potem wiemy, co robić ... W niektórych przypadkach może zmienić tożsamość, wpisz 5 \u003d 5 lub nieprawidłowe wyrażenie, typ 7 \u003d 2. Ale rzadko się dzieje. Poniżej mówię o tym.

Ale jak pozbyć się frakcji!? Bardzo prosta. Stosując wszystkie te same konwersje tożsamości.

Musimy pomnożyć całe równanie na ten sam wyraz. Tak więc wszystkie mianowniki są ciche! Natychmiast wszystko będzie łatwiejsze. Wyjaśniam na przykładzie. Musisz rozwiązać równanie:

Jak nauczyłeś się w górach juniorów? Nosi wszystkie w jednym kierunku, prowadzimy do wspólnego mianownika itp. Zapomnij, jak straszny sen! Więc musisz zrobić, gdy składasz lub odliczasz frakcyjne wyrażenia. Lub pracuj z nierównościami. W równaniu natychmiast pomnujemy obie części na wyrażenie, które dadzą nam możliwość zmniejszenia wszystkich mianowników (w istocie, w istocie ogólnym mianowniku). A jaki jest ten wyraz?

W lewej części, aby zmniejszyć mianownik, wymagane jest mnożenie x + 2. . Iw prawo wymagane mnożenie o 2. tak, równanie musi być pomnożone przez 2 (x + 2). Zwielokrotniać:

Jest to zwykłe mnożenie frakcji, ale piszę szczegółowo:

Uwaga, nadal nie ujawniam wspornika (x + 2)! Więc piszę całkowicie:

Po lewej stronie jest całkowicie zmniejszona (x + 2)i w prawo 2. Co było wymagane! Po cięciu dostajemy liniowy równanie:

A to równanie zdecyduje się już nikogo! x \u003d 2..

Decyduję inny przykład, trochę bardziej skomplikowany:

Jeśli pamiętasz, że 3 \u003d 3/1 i 2x \u003d 2x /1, możesz napisać:

I znowu pozbywamy się tego, czego naprawdę nie lubimy - od frakcji.

Widzimy, aby zmniejszyć mianownik z Xa, musisz pomnożyć frakcję (x - 2). I jednostki, których nie przeszkadzamy. Cóż, pomnóż. Wszystko Lewa część I. wszystko Właściwa część:

Powyższe wsporniki (x - 2) Nie ujawniam. Pracuję z nawiasem jako całość, jak to jest jeden numer! Zawsze powinieneś to zrobić, w przeciwnym razie nic nie zostanie zmniejszone.

Z poczuciem głębokiej redukcji satysfakcji (x - 2) I dostajemy równanie bez żadnych frakcji, w linesku!

Ale teraz ujawniamy już wsporniki:

Dajemy te rzeczy, przenosimy wszystko w lewo i dostajemy:

Ale zanim poznamy inne zadania, aby zdecydować. Procent. Tak przy okazji więcej zgrabiów!

Jeśli podoba Ci się ta strona ...

Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kolejną kilka ciekawych witryn.)

Dostęp do nich można uzyskać w rozwiązywaniu przykładów i znajdź swój poziom. Testowanie z natychmiastową kontrolą. Ucz się - z zainteresowaniem!)

Możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

"Decyzja frakcyjnych równań racjonalnych"

Lekcja celów:

Edukacyjny:

Tworzenie koncepcji frakcyjnych równania racjonalne; Rozważ różne sposoby rozwiązywania frakcyjnych równań racjonalnych; Rozważ algorytm do rozwiązywania frakcyjnych równań racjonalnych, w tym stan równości ułamka zera; Naucz rozwiązania frakcyjnych równań racjonalnych na algorytmie; Sprawdź poziom asymilacji tematu poprzez przeprowadzenie pracy testowej.

Rozwijanie:

Rozwój zdolności do prawidłowej obsługi zdobytych wiedzy, aby myśleć logicznie; Rozwój umiejętności intelektualnych i operacji umysłowych - analiza, synteza, porównania i uogólnienia; Rozwój inicjatywy, zdolność do podejmowania decyzji, nie mieszkać na osiągniętym; rozwój krytycznego myślenia; Rozwój umiejętności badawczych.

Wychowywanie:

zadanie

Rodzaj lekcji: Lekcja - wyjaśnienie nowego materiału.

Podczas zajęć

1. Moment organizacyjny.

Cześć chłopaki! Na pokładzie napisali równania. Spójrz na nich uważnie. Czy jesteś w stanie rozwiązać wszystkie te równania? Co nie i dlaczego?

Równania, w których lewa i prawa część są frakcyjne wyrażenia racjonalne, nazywane są frakcyjne równania racjonalne. Jak myślisz, co dowiemy się dzisiaj w lekcji? Słowo tematu lekcji. Tak więc otwieramy notebook i zapisz temat lekcji "Decyzja o ułamkowym racjonalnym równaniach".

2. Aktualizacja wiedzy. Ankieta czołowa, praca ustna z klasą.

A teraz powtórzymy główny materiał teoretyczny, który musisz się uczyć nowy temat. Proszę odpowiedzieć na następujące pytania:

1. Jakie jest równanie? ( Równość ze zmienną lub zmienną.)

2. Jaka jest nazwa równania numer 1? ( Liniowy.) Metoda rozwiązywania równań liniowych. ( Wszystko z nieznanym przeniesieniem do lewej części równania, wszystkie liczby mają rację. Twórz podobne elementy. Znajdź nieznany mnożnik).

3. Jaka jest nazwa równania numer 3? ( Kwadrat.) Metody rozwiązywania równań kwadratowych. ( Wybór pełnego kwadra, zgodnie z formułami przy użyciu twierdzenia Vieta i jego konsekwencji.)

4. Jaka jest proporcja? ( Równość dwóch relacji.) Podstawowa proporcja właściwości. ( Jeśli proporcja jest prawdziwa, produkt jego ekstremalnych członków jest równy produktowi członków średniego.)

5. Jakie nieruchomości są używane podczas rozwiązywania równań? ( 1. Jeśli w równaniu, aby przenieść termin z jednej części do drugiego, zmieniając jego znak, równanie jest równoważne. 2. Jeśli obie części równania mnożą się lub podzielone na jedną i tę samą różną liczbę z zera, równanie jest równoważne.)

6. Gdy frakcja ma zero? ( Frakcja wynosi zero, gdy cyfrator ma zero, a mianownik nie jest zero.)

3. Wyjaśnienie nowego materiału.

Rozwiązuj w notebookach i na równaniu zarządu Numer 2.

Odpowiedź: 10.

Jakie równanie racjonalne frakcyjnie można próbować zdecydować o podstawowej własności proporcji? (№5).

(x - 2) (x - 4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x2-4x-2x + 8 \u003d x2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x \u003d 6-8

Rozwiązuj w notebookach i na równaniu zarządu Numer 4.

Odpowiedź: 1,5.

Jakie frakcyjne równanie racjonalne można próbować rozwiązać, pomnożyć obie części równania na mianowniku? (№6).

D \u003d 1\u003e 0, x1 \u003d 3, x2 \u003d 4.

Odpowiedź: 3;4.

Teraz spróbuj rozwiązać równania numer 7 w jednym ze sposobów.


(x2-2x-5) x (x-5) \u003d x (x-5) (x + 5)
(x2-2x-5) x (x-5) -m (x-5) (x + 5) \u003d 0
x (x-5) (x2-2x-5- (x + 5)) \u003d 0			x2-2x-5-x-5 \u003d 0
x (x-5) (x2-3x-10) \u003d 0
x \u003d 0 x-5 \u003d 0 x2-3x-10 \u003d 0
x1 \u003d 0 x2 \u003d 5 d \u003d 49

Odpowiedź: 0;5;-2.			Odpowiedź: 5;-2.

Wyjaśnij, dlaczego się stało? Dlaczego w jednym przypadku trzy korzenie, w drugim - dwa? Jakie numery są korzenie tego frakcyjnego racjonalnego równania?

Do tej pory uczniowie nie spotkali się z koncepcją obcych korzenia, są bardzo trudne do zrozumienia, dlaczego to się stało. Jeśli nikt nie może dać jasnego wyjaśnienia tej sytuacji w klasie, nauczyciel prosi o wiodące pytania.

W równaniach Numer 2 i 4 w numerze mianowniku, nr 5-7 - Wyrażenia ze zmienną

Wartość zmiennej, w której równanie odwołuje się do właściwej równości

Sprawdzać się

Podczas sprawdzania niektórzy uczniowie zauważają, że musisz podzielić się zero. Podsumowują, że liczby 0 i 5 nie są korzeniami tego równania. Powstaje pytanie: Czy istnieje sposób na rozwiązanie frakcyjnych równań racjonalnych, umożliwiając wykluczenie tego błędu? Tak, ta metoda opiera się na stanie równości frakcji zero.

x2-3x-10 \u003d 0, D \u003d 49, X1 \u003d 5, x2 \u003d -2.

Jeśli x \u003d 5, x (x-5) \u003d 0, a następnie 5-obok korzenia.

Jeśli x \u003d -2, a następnie x (x-5) ≠ 0.

Odpowiedź: -2.

Spróbujmy sformułować algorytm do rozwiązywania frakcyjnych równania racjonalne według tej metody. Sami dzieci sformulują algorytm.

Algorytm do rozwiązywania frakcyjnych równań racjonalnych:

1. Aby przenieść wszystko na lewą stronę.

2. Utwórz frakcję dla wspólnego mianownika.

3. Zrób system: frakcja wynosi zero, gdy cyfrowy ma zero, a mianownik nie jest zero.

4. Rozwiąż równanie.

5. Sprawdź nierówność, aby wyeliminować obce korzenie.

6. Zapisz odpowiedź.

Dyskusja: Jak utworzyć rozwiązanie, jeżeli stosowana jest główna właściwość proporcji i pomnożenie obu części równania w ogólnym mianowniku. (Aby dodać decyzję: wykluczyć z jego korzeni, które zmieniają się w zero wspólnego mianownika).

4. Pierwsze zrozumienie nowego materiału.

Pracować w parach. Studenci wybierają metodę rozwiązywania równania w zależności od rodzaju równania. Zadania z podręcznika "Algebra 8", 2007: № 000 (B, B i); № 000 (A, D, G). Nauczyciel kontroluje spełnienie zadania, odpowiada na kwestie, które powstały, pomaga słabo mówiących studentów. Samorządny: odpowiedzi są napisane na tablicy.

b) 2 - obok root. Odpowiedź: 3.

c) 2 - obca korzenia. Odpowiedź: 1.5.

a) Odpowiedź: -12.5.

g) Odpowiedź: 1; 1,5.

5. Obsługa pracy domowej.

2. Nauczyć algorytm do rozwiązywania frakcyjnych równań racjonalnych.

3. Rozwiązanie w notebookach № 000 (A, G, D); № 000 (g, h).

4. Spróbuj rozwiązać № 000 (A) (opcjonalnie).

6. Wykonaj zadanie kontrolne na badanym temacie.

Praca jest wykonywana na liściach.

Przykład zadania:

A) Które równania są frakcyjne racjonalne?

B) frakcja wynosi zero, gdy numer ______________________ i mianownik _______________________.

C) Czy numer -3 root równania numer 6?

D) rozwiązać równanie numer 7.

Kryteria oceny zadań:

"5" jest umieszczony, jeśli uczeń spełnił ponad 90% zadania. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" jest podniesiony przez studenta, który ukończył mniej niż 50% zadania. Ocena 2 dzienniki nie jest umieszczane, 3 - woli.

7. Odbicie.

Na liściach z niezależną pracą, miejsce:

1 - Jeśli interesowałeś się lekcją i zrozumiałym; 2 - Ciekawe, ale nie zrozumiałe; 3 - Nie interesujące, ale zrozumiałe; 4 - Nie interesujące, nie jest jasne.

8. Podsumowując lekcję.

Więc dzisiaj na lekcji spotkaliśmy się z ułamkowymi równaniami racjonalnymi, dowiedziałem się, jak rozwiązać te równania na różne sposoby, sprawdzałem naszą wiedzę za pomocą nauczania niezależna praca. Wyniki niezależnej pracy, której nauczysz się w następnej lekcji, będziesz miał okazję skonsolidować zdobytą wiedzę.

Jaką metodą rozwiązywania frakcyjnych równania racjonalne, jest łatwiejsze, niedrogie, racjonalne? Nie w zależności od sposobu rozwiązywania frakcyjnych równań racjonalnych, co powinienem nie zapomnieć? Jakie jest "spryt" frakcyjnych równań racjonalnych?

Dziękuję wszystkim, lekcja się skończyła.

Równania z samymi frakcjami nie są trudne i bardzo interesujące. Rozważ widoki równania się ułamkowego I jak je rozwiązać.

Jak rozwiązać równania z frakcjami - x w liczniku

W przypadku, gdy podano równanie ułamkowe, gdzie nieznany jest w liczniku, rozwiązanie nie wymaga dodatkowych warunków i jest rozwiązany bez niepotrzebnych kłopotów. Ogólny formularz Takie równanie wynosi X / A + B \u003d C, gdzie X jest nieznany, A, B i C - zwykłe liczby.

Znajdź X: X / 5 + 10 \u003d 70.

Aby rozwiązać równanie, musisz pozbyć się frakcji. Pomnóż każdy członek równania przez 5: 5x / 5 + 5 × 10 \u003d 70 × 5. 5x i 5 są zmniejszone, 10 i 70 są mnożone przez 5 i otrzymujemy: x + 50 \u003d 350 \u003d\u003e x \u003d 350 - 50 \u003d 300.

Znajdź X: X / 5 + X / 10 \u003d 90.

Ten przykład jest nieznacznie skomplikowaną wersją pierwszej. Istnieją dwa opcje rozwiązania.

Opcja 1: Pozbyć się frakcji, pomnożyć wszystkich członków równania dla większego mianownika, czyli 10: 10x / 5 + 10x / 10 \u003d 90 × 10 \u003d\u003e 2x + X \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.
Opcja 2: Składamy lewą część równania. X / 5 + X / 10 \u003d 90. Wspólny mianownik - 10. 10 Podzielamy się na 5, pomnożamy X, otrzymujemy 2x. 10 Podzielmy 10, mnożamy X, otrzymujemy x: 2x + x / 10 \u003d 90. Dlatego 2x + X \u003d 90 × 10 \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.

Często istnieją frakcyjne równania, w których XER znajdują się na różnych stronach znaku równego. W takiej sytuacji konieczne jest przeniesienie wszystkich frakcji z ubytkami w jednym kierunku, a numer do drugiego.

Znajdź X: 3x / 5 \u003d 130 - 2x / 5.
Nośmy 2x / 5 w prawo za pomocą przeciwnego znaku: 3x / 5 + 2x / 5 \u003d 130 \u003d\u003e 5x / 5 \u003d 130.
Zmniejsz 5x / 5 i uzyskać: x \u003d 130.

Jak rozwiązać równanie z frakcjami - X w mianowniku

Ten rodzaj równań ułamkowych wymaga nagrywania dodatkowych warunków. Określanie tych warunków jest obowiązkowa i integralna część odpowiedniego rozwiązania. Bez ich przypisywania, ryzykujesz, ponieważ odpowiedź (nawet jeśli jest poprawna) może po prostu się nie liczyć.

Ogólna forma równań ułamkowych, gdzie X jest w mianowniku, ma formularz: A / X + B \u003d C, gdzie X jest nieznany, A, B, C - zwykłe liczby. Należy pamiętać, że X nie jest żadnym numerem. Na przykład X nie może być zero, ponieważ niemożliwe jest podział na 0. Jest to dodatkowy stan, który musimy wskazywać. Nazywa się to obszarem dopuszczalnych wartości, skróconych - OTZ.

Znajdź x: 15 / x + 18 \u003d 21.

Natychmiast napisz OTZ dla X: X ≠ 0. Teraz określono ODB, rozwiązać równanie zgodnie ze standardowym schematem, pozbycie się frakcji. Pomnóż wszystkich członków równania na x. 15x / x + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 15/3 \u003d 5.

Często są równania, w których w mianowniku jest nie tylko x, ale także pewne działania, takie jak dodanie lub odejmowanie.

Znajdź X: 15 / (X-3) + 18 \u003d 21.

Wiemy już, że mianownik nie może być zero, co oznacza X-3 ≠ 0. Transfer -3 do prawej strony, zmieniając znak "-" na "+" i otrzymujemy, że X ≠ 3. OTZ jest wskazany.

Rozwiążymy równanie, mnożymy wszystko na X-3: 15 + 18 × (X - 3) \u003d 21 × (x - 3) \u003d\u003e 15 + 18x - 54 \u003d 21x - 63.

Nosimy sobie prawo, numer po lewej stronie: 24 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 8.

Prezentacja i lekcja na temat: "Racjonalne równania. Algorytm i przykłady rozwiązywania racjonalnych równań"

Dodatkowe materiały
Drodzy Użytkownicy, nie zapomnij opuścić komentarzy, recenzjich, życzeń! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Podręczniki szkoleniowe i symulatory w sklepie internetowym "Integral" dla klasy 8
Podręcznik dla podręcznika MakaryCheva Yu.n. Podręcznik dla podręcznika Mordkovicha A.G.

Znajomy z irracjonalnymi równaniami

Faceci, nauczyliśmy się decydować równania kwadratowe. Ale matematyka nie ogranicza się do nich. Dziś nauczysz się rozwiązywać racjonalne równania. Koncepcja racjonalnego równań jest w dużej mierze podobny do koncepcji liczb racjonalnych. Tylko oprócz liczb mamy teraz pewną zmienną X $ $. Dostajemy wyrażenie, w którym działają operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, podziału i budowy całego stopnia.

Pozwól $ r (x) $ racjonalny wyraz. Taka wyrażenie może być prostym wielomianem z zmiennej $ X $ lub stosunek wielomianu (operacja podziału jest wprowadzana jako dla liczb racjonalnych).
Równanie $ r (x) \u003d 0 $ o nazwie racjonalny równanie.
Wszelkie równanie typu p (x) \u003d q (x) $, gdzie $ p (x) $ i $ Q (x) $ to racjonalna wyrażenia, racjonalny równanie.

Rozważmy przykłady rozwiązywania racjonalnych równań.

Przykład 1.
Rozwiązuj równanie: $ frac (5x-3) (x-3) \u003d frac (2x-3) (x) $.

Decyzja.
Przesyłamy wszystkie wyrażenia po lewej stronie: $ frac (5x-3) (x-3) - frac (2x-3) (x) \u003d 0 $.
Jeśli konwencjonalne numery zostały przedstawione po lewej stronie równania, wtedy poprowadzilibyśmy dwie frakcje do wspólnego mianownika.
Zróbmy to i zrobić: $ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - frac ((2x-3) * (x-3)) ((X-3) * x) \u003d frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9)) ((x-3) * x) \u003d frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((X-3 ) * x) \u003d frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) $.
Równanie uzyskano: $ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) \u003d 0 $.

Frakcję jest zero, a następnie tylko wtedy, gdy cyfrakraka jest zero, a mianownik różni się od zera. Następnie wybierz numer na zero oddzielnie i znajdź korzenie licznika.
3 USD (x ^ 2 + 2x-3) \u003d 0 $ lub $ x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d frac (-2 ± sqrt (4-4 * (- 3))) (2) \u003d frac (-2 ± 4) (2) \u003d 1; -3 $.
Teraz sprawdź denomote Denoter: $ (x-3) * x ≠ 0 $ 0.
Produkt dwóch liczb wynosi zero, gdy co najmniej jedna z tych liczb wynosi zero. Następnie: $ X ≠ 0 $ lub $ X-3 ≠ 0 $.
$ x ≠ 0 lub $ x ≠ 3 USD.
Korzenie uzyskane w liczniku i mianowniku nie pokrywają się. Tak więc w odpowiedzi piszemy zarówno root z numeratora.
Odpowiedź: $ x \u003d 1 $ lub $ x \u003d -3 $.

Jeśli nagle jeden z korzeni cyfrowego zbiegł się z korzeniem mianownika, należy go wykluczyć. Takie korzenie są nazywane Outsiders!

Algorytm do rozwiązywania racjonalnych równań:

1. Wszystkie wyrażenia zawarte w równaniu są przenoszone na lewą stronę znaku równego.
2. Przekształć tę część równania algebraic faci: $ Frac (p (x)) (q (x)) \u003d 0 $.
3. Aby utożsamiać wynikowy numer do zera, czyli, aby rozwiązać równanie $ p (x) \u003d 0 $.
4. Zrównoważyć mianownik do zera i rozwiązać uzyskane równanie. Jeśli korzenie mianownika zbiegły się z korzeniami licznika, powinny być wyłączone z odpowiedzi.

Przykład 2.
Zdecyduj równanie: $ frac (3x) (x - 1) + frac (4) (x + 1) \u003d frac (6) (x ^ 2-1) $.

Decyzja.
Decyduję według punktów algorytmu.
1. $ frac (3x) (x - 1) + frac (4) (x + 1) - frac (6) (x ^ 2-1) \u003d 0 $.
2. $ frac (3x) (x - 1) + frac (4) (x + 1) - frac (6) (x ^ 2-1) \u003d frac (3x) (x - 1) + \\ Frac (4) (x + 1) - frac (6) ((x - 1) (x + 1)) \u003d frac (3x (x + 1) +4 (x - 1) -6) (x -1) (x + 1)) \u003d $ $ \u003d frac (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x - 1) (x + 1)) \u003d frac (3x ^ 2 + 7x- 10) ((X-1) (x + 1)) $.
$ Frac (3x ^ 2 + 7x-10) ((x - 1) (x + 1)) \u003d 0 $.
3. Zrównoważamy liczbę zero: 3x ^ 2 + 7x-10 \u003d 0 $.
$ X_ (1,2) \u003d frac (-7 ± sqrt (49-4 * 3 * (- 10))) (6) \u003d frac (-7 ± 13) (6) \u003d - 3 frac ( 1) (3); 1 USD.
4. Zrównujemy mianownika do zera:
$ (x - 1) (x + 1) \u003d 0 $.
$ x \u003d 1 $ i $ X \u003d -1 $.
Jeden z korzeni w wysokości X \u003d $ 1 zbiegł się z korzeniem z licznika, a następnie nie piszemy w odpowiedzi.
Odpowiedź: $ x \u003d -1 $.

Wygodne jest rozwiązanie racjonalnego równań przy użyciu metody zastępczej zmiennej. Zaznaczmy to.

Przykład 3.
Rozwiązuj równanie: $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 \u003d 0 $.

Decyzja.
Wprowadzamy wymianę: $ t \u003d x ^ 2 $.
Wtedy nasze równanie weźmie formularz:
$ T ^ 2 + 12T-64 \u003d 0 $ to konwencjonalne równanie kwadratowe.
$ T_ (1,2) \u003d frac (-12 ± sqrt (12 ^ 2-4 * (- 64))) (2) \u003d frac (-12 ± 20) (2) \u003d - 16; 4 USD.
Wprowadzamy odwrotną wymianę: $ x ^ 2 \u003d 4 $ lub $ x ^ 2 \u003d -16 $.
Korzenie pierwszego równania są parą liczb X \u003d ± 2 $. Drugi - nie ma korzeni.
Odpowiedź: $ x \u003d ± 2 $.

Przykład 4.
Rozwiązuj równanie: $ x ^ 2 + x + 1 \u003d frac (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
Decyzja.
Wprowadzamy nową zmienną: $ t \u003d x ^ 2 + x + 1 $.
Następnie równanie weźmie formularz: $ t \u003d frac (15) (T + 2) $.
Będziemy działać dalej na algorytmie.
1. $ T- frac (15) (T + 2) \u003d 0 $.
2. $ frac (t ^ 2 + 2T-15) (T + 2) \u003d 0 $.
3. $ T ^ 2 + 2T-15 \u003d 0 $.
$ T_ (1,2) \u003d FRAC (-2 ± SQRRT (4-4 * (- 15))) (2) \u003d frac (-2 ± sqrt (64)) (2) \u003d frac ( -2 ± 8) (2) \u003d - 5; 3 USD.
4. $ T ≠ -2 $ - korzenie nie pasują.
Wprowadzamy odwrotną wymianę.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d -5 $.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d 3 USD.
Niech każdy równanie oddzielnie:
$ x ^ 2 + x + 6 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d frac (-1 ± sqrt (1-4 * (- 6))) (2) \u003d FRAC (-1 ± sqrt (-23) (2) $ - nie korzenie.
I drugie równanie: $ x ^ 2 + X-2 \u003d 0 $.
Korzenie tego równania będą liczbami X \u003d -2 $ i $ X \u003d 1 $.
Odpowiedź: $ x \u003d -2 $ i $ x \u003d 1 $.

Przykład 5.
Rozwiązuj równanie: $ x ^ 2 + frac (1) (x ^ 2) + x + frac (1) (x) \u003d 4 USD.

Decyzja.
Wprowadzamy wymianę: $ t \u003d x + frac (1) (x) $.
Następnie:
$ T ^ 2 \u003d x ^ 2 + 2 + frac (1) (x ^ 2) $ lub $ x ^ 2 + frac (1) (x ^ 2) \u003d t ^ 2-2 $.
Otrzymano równanie: $ T ^ 2-2 + T \u003d 4 USD.
$ t ^ 2 + T-6 \u003d 0 $.
Korzenie tego równania to para:
$ T \u003d -3 $ i $ t \u003d 2 $.
Przedstawiamy odwrotną wymianę:
$ X + frac (1) (x) \u003d - 3 USD.
$ X + frac (1) (x) \u003d 2 $.
Decydujemy oddzielnie.
$ X + frac (1) (x) + 3 \u003d 0 $.
$ Frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ X_ (1,2) \u003d FRAC (-3 ± ± 9-4)) (2) \u003d frac (-3 ± sqrt (5)) (2) $.
Rozwiązywanie drugiego równania:
$ X + frac (1) (x) -2 \u003d 0 $.
$ Frac (x ^ 2-2x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ Frac ((x-1) ^ 2) (x) \u003d 0 $.
Korzeń tego równania jest numer $ X \u003d 1 $.
Odpowiedź: $ x \u003d frac (-3 ± sqrt (5)) (2) $, $ x \u003d 1 $.

Zadania dla samotnych rozwiązań

Rozwiązuj równania:

1. $ frac (3x + 2) (x) \u003d frac (2x + 3) (x + 2) $.

2. $ frac (5x) (x + 2) - frac (20) (x ^ 2 + 2x) \u003d frac (4) (x) $.
3. $ x ^ 4-7x ^ 2-18 \u003d 0 $.
4. $ 2x ^ 2 + X + 2 \u003d FRAC (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) \u003d 3 USD.