Se știe că în matematică nu este de a face fără simplificarea expresiilor. Acest lucru este necesar pentru soluționarea corectă și rapidă a unei mari varietăți de sarcini, precum și a diferitelor tipuri de ecuații. Simplificarea discutată implică o scădere a numărului de acțiuni necesare pentru atingerea obiectivului. Ca rezultat, calculul este atenuat vizibil, iar timpul este salvat semnificativ. Dar cum să simplificați expresia? Aceasta utilizează relații matematice stabilite, adesea denumite formule sau legile care permit expresia mult mai scurtă, simplificând astfel calculele.

Nu este un secret că astăzi nu este dificil să simplificați expresia online. Dăm referințe la unele dintre cele mai populare dintre ele:

Cu toate acestea, este posibil să se facă cu fiecare expresie. Prin urmare, luăm în considerare mai multe metode tradiționale.

Luând un divizor comun

În cazul în care într-o singură expresie sunt prezente, posedând aceiași multiplicatori, puteți găsi cantitatea de coeficienți cu ele și apoi multiplicați multiplicatorul pentru ei. Această operație este numită și "Efectuarea unui divider general". Se utilizează serios aceasta metoda, uneori puteți simplifica semnificativ expresia. Algebra, după toate, în general, în general, construită pe gruparea și regruparea multiplicatorilor și a divizorilor.

Cele mai simple formule de multiplicare abreviată

O consecință a metodei descrise anterior este formulele multiplicării abreviare. Cum să simplificați expresiile cu ajutorul lor este mult mai clar celor care nici măcar nu au eliminat aceste formule de inimă, dar el știe că sunt derivați, adică de unde provin, și, în consecință, natura lor matematică. În principiu, declarația anterioară își păstrează puterea în toate matematicii moderne, începând de la prima clasă și sfârșitul cursuri de top Mecanică și facultăți matematice. Diferența de pătrate, pătratul diferenței și suma, cantitatea și diferența de cuburi - toate aceste formule sunt utilizate peste tot în matematică elementară, precum și cea mai înaltă matematică în cazurile în care este necesar să simplificați expresia pentru a rezolva sarcinile . Exemple de astfel de transformări pot fi găsite cu ușurință în orice manual școlar pe algebră sau, care este chiar mai ușor, pe expansiunea rețelei mondiale.

Roots de gradul

Matematică elementară, dacă te uiți la ea în general, înarmați nu așa și în multe feluri, cu care puteți simplifica expresia. Diplomele și acțiunile cu ele sunt de obicei gestionate de majoritatea studenților sunt relativ ușor. Numai, mulți școlari moderni și studenți au dificultăți considerabile atunci când este necesar să se simplifice expresia cu rădăcini. Și este complet nefondată. Deoarece natura matematică a rădăcinilor nu este diferită de natura aceluiași grade cu care, de regulă, dificultățile sunt mult mai mici. Se știe că rădăcină pătrată Din numărul, variabila sau expresia nu este nimic mai mult decât același număr, o variabilă sau o expresie la gradul de "o secundă", rădăcina cubică este aceeași în gradul de "o treime" și așa mai departe în funcție de corespondență.

Simplificați expresii cu fracțiuni

Luați în considerare, de asemenea, un exemplu comun despre modul de simplificare a expresiei cu fracțiunile. În cazurile în care expresiile sunt fracții naturale, un multiplicator comun de la numitor și numărător și apoi a tăiat fracția pe ea. Atunci când sunt desființate cu aceleași defecțiuni, ridicate la grade, este necesar să se monitorizeze când sunt rezumate pentru egalitatea de grade.

Simplificați cele mai simple expresii trigonometrice

Un anumit conac este o conversație despre modul de simplificare a expresiei trigonometrice. Cea mai largă secțiune a trigonometriei este, probabil, prima etapă în care studiul matematicii va trebui să se confrunte cu mai multe concepte abstracte, sarcini și metode ale soluției lor. Aici există formulele lor respective, prima dintre acestea fiind principala identitate trigonometrică. Având o depozit matematică suficientă a minții, puteți urmări excreția sistematică din această identitate a tuturor principalelor identități trigonometrice și formulele, printre care formulele diferenței și suma argumentelor, argumentele duble, triple, formulele de aducere și multe altele. Desigur, nu merită uitat aici primele metode, cum ar fi multiplicatorul total, care este complet folosit împreună cu noi metode și formule.

Pentru a rezuma rezultatele, furnizați cititorului câteva sfaturi generale:

• Polinoamele trebuie așezate pe multiplicatori, adică să le reprezinte sub forma unui produs de un anumit număr de factori - o singură aripă și polinomii. Dacă există o astfel de oportunitate, trebuie să suporți factorul general pentru paranteze.
• Este mai bine să înveți toată formula pentru multiplicarea abreviată fără excepție. Ele nu sunt atât de mult, dar ele reprezintă baza simplificării expresiilor matematice. De asemenea, nu uitați de metoda de alocare a pătratelor complete în trei stări, ceea ce este acțiune inversă La una dintre formulele de multiplicare abreviată.
• Toate fracțiunile existente în expresie ar trebui reduse cât mai des posibil. În același timp, nu uitați că numai multiplicatorii sunt reduse. În cazul în care denominatorul și număratorul fracțiuni algebrice Același număr este înmulțit cu același număr care diferă de zero, valorile fracțiunilor nu se schimbă.
• În general, toate expresiile pot fi transformate prin acțiuni sau un lanț. Prima metodă este mai preferabilă, deoarece Rezultatele acțiunilor intermediare sunt verificate mai ușor.
• Destul de des în expresii matematice trebuie să extragă rădăcini. Trebuie amintit că rădăcinile chiar de grade pot fi îndepărtate numai dintr-un număr sau o expresie non-negativă, iar rădăcinile de grade ciudate sunt complet din orice expresie sau numere.

Sperăm că articolul nostru vă va ajuta, în continuare, să înțelegeți formulele matematice și să le învățați să le aplice în practică.

Primul nivel

Transformarea expresiilor. Teoria detaliată (2019)

Transformarea expresiilor

Adesea amzim această frază neplăcută: "Simplificați expresia". De obicei, în plus, avem un fel de înfricoșător de acest tip:

"Da, mult mai ușor" - spunem, dar acest răspuns nu se rotește de obicei.

Acum vă voi învăța să nu vă fie frică de astfel de sarcini. Mai mult decât atât, la sfârșitul lecției veți simplifica acest exemplu înainte (doar!) Număr obișnuit (da, în iad cu aceste scrisori).

Dar, înainte de a trece la această lecție, trebuie să puteți gestiona fracțiunile și să puneți polinomii la multiplicatori. Prin urmare, mai întâi, dacă nu ați făcut acest lucru înainte, în mod necesar subiectul "" și "".

Citit? Dacă da, acum sunteți gata.

Operațiuni de simplificare de bază

Acum vom analiza principalele tehnici utilizate în simplificarea expresiilor.

Cel mai simplu dintre ei este

1. Aducerea similară

Care sunt altele? Ați trecut-o în clasa 7, de îndată ce literele au apărut în matematică în loc de numere. Sunt elementele similare (single) cu aceeași parte alfabetică. De exemplu, în cantitatea de astfel de componente - aceasta este.

Amintit?

Anumite lucruri similare - înseamnă să pliați mai mulți termeni similari între ele și să obțineți un termen.

Dar cum ne pliam cu alte scrisori? - Te întrebi.

Este foarte ușor să înțelegeți dacă vă imaginați că scrisorile sunt câteva elemente. De exemplu, litera este un scaun. Atunci care este expresia? Două scaune plus trei scaune, cât de mult va fi? Așa este, scaune :.

Și acum încercați o astfel de expresie :.

Pentru a nu fi confuz, permiteți diferitelor litere să indice elemente diferite. De exemplu, este (ca de obicei) un scaun și este un tabel. Atunci:

Scaun scaune scaune scaune la scaune scaune

Numere pentru care sunt numite litere înmulțiți în astfel de termeni coeficienți. De exemplu, în coeficientul cu o singură aripă este egal. Și în ea este egală.

Deci, regula de aducere similare:

Exemple:

Dați similar:

Răspunsuri:

2. (și similar, de aceea, acești termeni au aceeași parte a scrisorii).

2. Descompunerea multiplicatorilor

Acesta este, de obicei, cel mai important rol în simplificarea expresiilor. După ce ați condus, cel mai adesea, expresia rezultată ar trebui să fie descompusă pe multiplicatori, adică să ne imaginăm sub forma unei lucrări. Acest lucru este deosebit de important în fraudă: la urma urmei, astfel încât să puteți tăia fracțiunea, număratorul și numitorul trebuie să fie reprezentați ca o lucrare.

În detaliu, modalități de a descompune expresii asupra multiplicatorilor, ați trecut în subiectul "", deci aici vă puteți aminti doar învățați. Pentru a face acest lucru, rezolvați mai multe exemple (Trebuie să se descompune pe multiplicatori):

Soluții:

3. Reducerea fracțiunii.

Ei bine, ceea ce poate fi mai plăcut decât să traverseze o parte a numărătorului și a numitorului și să le arunce departe de viața ta?

Acesta este tot farmecul de reducere.

Totul este simplu:

Dacă număratorul și numitorul conțin aceleași multiplicatori, ele pot fi tăiate, adică scoase din fracțiune.

Această regulă rezultă din proprietatea principală a FRACI:

Adică esența operațiunii de reducere este aceea numărul și numitorul de fracție se împart pe același număr (sau pe aceeași expresie).

Pentru a scurta fracțiunea, aveți nevoie de:

1) Numerator și numitor descompune multiplicatorii

2) Dacă există un numitor și numitor multiplicatori comuniEle pot fi șterse.

Principiu, cred, este clar?

Vreau să fiu atenți la unul greseala tipică Cu o reducere. Deși acest subiect este simplu, dar foarte mulți fac totul greșit, nu înțelege acest lucru a tăia - inseamna divide Numărător și numitor pe și același număr.

Nu există abrevieri, dacă într-un numitor sau o sumă de denominator.

De exemplu: este necesar să se simplifică.

Unii fac acest lucru: ceea ce este absolut greșit.

Un alt exemplu: tăiat.

"Cel mai deștept" va face acest lucru :.

Spune-mi ce e în neregulă aici? Ar părea: - Acesta este un multiplicator, înseamnă că poți tăia.

Dar nu: - acesta este multiplicatorul unui singur termen în numărător, dar numeralul în sine nu este pus pe multiplicatori.

Iată un alt exemplu :.

Această expresie este descompusă pe multiplicatori, înseamnă că puteți tăia, adică să împărți numitorul și numitorul pe și apoi pe:

Puteți să împărtășiți imediat:

Pentru a preveni astfel de greșeli, amintiți-vă calea ușoarăCum se determină dacă expresia pe multiplicatori este refuzată:

Acțiunea aritmetică care este efectuată de ultima la calcularea valorilor expresiei este "principala". Aceasta este, dacă înlocuiți orice numere (oricare) în loc de litere și veți încerca să calculați valoarea expresiei, dacă ultima acțiune este multiplicarea - înseamnă că avem o lucrare (expresia este descompusă pe multiplicatori). Dacă aceasta din urmă acțiunea este adăugarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este descompusă asupra factorilor (și, prin urmare, nu poate fi redusă).

Pentru consolidare, decidem asupra propriilor dvs. mai multe exemple:

Răspunsuri:

1. Sper că nu s-ați grăbit să reduceți imediat și? Nu este suficient "tăiat" astfel de astfel de astfel:

Prima acțiune ar trebui să fie o descompunere a multiplicatorilor:

4. Adăugarea și scăderea fracțiunilor. Aducând fracțiuni unui numitor comun.

Adăugarea și scăderea fracțiunilor obișnuite - Operația este bine familiară: Căutăm un numitor comun, suntem dominanți la fiecare fracție pe multiplicatorul lipsă și pliabil / deducem cifrele. Să ne amintim:

Răspunsuri:

1. Denomorii sunt simpli, adică, nu au multiplicatori comuni. În consecință, NOC din aceste numere este egală cu munca lor. Acesta va fi un numitor comun:

2. Aici, denominatorul general este:

3. Iată primul lucru care face ca fracțiunile mixte să se transforme în schema obișnuită incorectă și apoi - de către schema obișnuită:

Este un alt lucru dacă fracțiunile conțin litere, de exemplu:

Să începem cu Simplu:

a) Denominatorii nu conțin litere

Aici este același lucru ca și în cazul fracțiilor numerice convenționale: găsim un numitor comun, suntem dominanți la fiecare fracțiune pe multiplicatorul lipsă și pliabil / deduce cifrele:

acum, în numărator puteți da similare, dacă există și la dispoziție pe multiplicatori:

Incearca-l tu insuti:

b) Denomorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

· În primul rând, definim factori generali;

· Apoi scriem toți factorii generali o singură dată;

· Și sunt dominante tuturor celorlalți multiplicatori, nu sunt comune.

Pentru a determina multiplicatorii generali ai denominatorilor, le puneți mai întâi pe factori simpli:

Subliniem factorii generali:

Acum vom scrie factorii generali pentru o singură dată și vom adăuga toate opțiunile (nu subliniate) multiplicatori:

Acesta este un numitor comun.

Să ne întoarcem la litere. Dannelurile sunt date de exact aceeași schemă:

· Decideți denominatorii pentru multiplicatori;

· Determinați multiplicatorii generali (identici);

· Scriem toți factorii generali o singură dată;

· Suntem dominanți tuturor celorlalți multiplicatori, nu frecvenți.

Deci, în ordine:

1) Extindeți denominatorii pentru multiplicatori:

2) Determinați multiplicatorii generali (identici):

3) Noi scriem toți factorii generali o singură dată și dominanții cu privire la toate celelalte (inextricate) multiplicatori:

Deci, denominatorul general este aici. Prima fracțiune trebuie să se înmulțească, al doilea - pe:

Apropo, există un truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași multiplicatori din numitor, tocmai cu indicatori diferiți. În generalul general va merge:

în grad

în grad

în grad

în grad.

Complicați sarcina:

Cum se face același numitor?

Să ne amintim principala proprietate a FRACI:

Nicăieri nu este spus că fracția poate fi scăzută din numărător și denominator) (sau adaugă) același număr. Pentru că este incorectă!

Curățați-vă: luați orice fracțiune, de exemplu și adăugați numărător și numitor un număr, de exemplu,. Ce ați spus?

Deci, următoarea regulă neclintită:

Când aduceți o fracțiune numitor comun, utilizați numai operațiunea de multiplicare!

Dar ce aveți nevoie pentru a multiplica pentru a obține?

Iată și Dominat. Și Domanki pe:

Expresiile care nu pot fi descompuse pe înmulțirea vor fi numite "multiplicatori elementari". De exemplu, este un multiplicator elementar. - de asemenea. Dar nu: este descompus pe multiplicatori.

Ce spui despre expresie? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi descompus pe multiplicatori:

(Despre descompunerea multiplicatorilor, deja citiți în subiectul "").

Deci, multiplicatorii elementari la care refuzați expresia cu litere sunt un analog al multiplicatorilor simpli la care răspândiți numerele. Și vom acționa cu ei în același mod.

Vedem că în ambele denominatorii există un multiplicator. El va merge la un numitor comun într-o măsură (amintiți de ce?).

Multiplicatorul este elementar și nu au una generală, ceea ce înseamnă prima fracțiune pe ea va trebui să tragă pur și simplu:

Alt exemplu:

Decizie:

Expiră decât într-o panică multiplicați aceste denominatori, trebuie să vă gândiți cum să le descompun pentru multiplicatori? Ambii reprezintă:

Excelent! Atunci:

Alt exemplu:

Decizie:

Ca de obicei, descompune denominatorii pentru multiplicatori. În primul numitor, noi îndurăm în spatele parantezelor; În al doilea - diferența de pătrate:

Se pare că nu există factori generali. Dar dacă te uiți, atunci sunt similare ... și adevărul:

Deci, scrieți:

Asta este, sa dovedit ca aceasta: în interiorul suportului, am schimbat locurile în locuri și, în același timp, semnul a fost schimbat înainte de opus. Luați notă, deci va trebui să facă adesea.

Acum oferim un numitor comun:

Ajutor? Acum verificați.

Sarcini pentru soluții de sine:

Răspunsuri:

Aici este necesar să ne amintim de altul - diferența de cuburi:

Acordați atenție faptului că în numitor, a doua fracțiune nu este formula "suma pătrată"! Suma pătrată ar arăta astfel:

Și - acesta este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea mandat în ea este lucrarea primului și ultima și nu și-a dublat munca. Piața incompletă a sumei este una dintre multiplicatorii în descompunerea diferenței de cuburi:

Ce trebuie să faceți dacă fracțiunile sunt deja trei piese?

Și același lucru! În primul rând, facem astfel că numărul maxim de multiplicatori din numitori a fost același:

Acordați atenție: Dacă schimbați semnele din interiorul unui suport, semnul înainte de fracțiune se schimbă în opusul. Când schimbăm semnele din cel de-al doilea suport, semnul înaintea fracției se schimbă din nou la opusul. Ca rezultat, el (semnul înainte de fracțiune) nu sa schimbat.

În numitorul general, primul numitor al numitorului este descărcat și apoi adăugați toți factorii care nu sunt scrise, de la al doilea, și apoi de la al treilea (și așa mai departe, dacă fermele sunt mai mult). Adică, se pare că:

Hmm ... Cu fracțiuni, este clar ce să faceți. Dar cum să fii cu două?

Totul este simplu: știi cum să pună o fracțiune? Deci, trebuie să faceți acest lucru că de două ori devine o fracțiune! Ne amintim: Fracțiunea este o operațiune de divizare (numitorul împărtășește numitorul dacă ați uitat brusc). Și nu este nimic mai ușor decât împărțit numărul. În același timp, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracțiune:

Exact ceea ce este necesar!

5. Înmulțirea și divizarea fracțiunilor.

Ei bine, cel mai dificil acum în urmă. Și avem cel mai simplu, dar cel mai important lucru este:

Procedură

Care este procedura de numărare a unei expresii numerice? Amintiți-vă, având în vedere importanța unei astfel de expresii:

Calculat?

Trebuie să se întâmple.

Deci, îmi amintesc.

Primul lucru este calculat grad.

Al doilea este multiplicarea și diviziunea. Dacă înmulțirea și diviziunile sunt simultan mai multe, le puteți face în orice ordine.

Și, în cele din urmă, efectuăm adăugarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia în paranteze este calculată din turn!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărtășite unul pe celălalt, calculează mai întâi expresia în fiecare dintre paranteze și apoi se înmulțesc sau le-am livrat.

Și dacă există încă niște paranteze în interiorul parantezelor? Ei bine, să ne gândim: o anumită expresie este scrisă în interiorul parantezelor. Și când se calculează expresia, mai întâi de toate, trebuie să faci ce? Asta e drept, calculați paranteze. Ei bine, așa că a dat seama: mai întâi calculăm parantezele interne, apoi orice altceva.

Deci, procedura pentru expresie este mai mare decât aceasta (valorile curente sunt alocate roșu, adică acțiunea pe care o interpretez acum):

Ei bine, este simplu.

Dar acest lucru nu este același cu expresia cu litere?

Nu, este același! Numai în loc de acțiuni aritmetice ar trebui să fie făcute algebrice, adică acțiunile descrise în secțiunea anterioară: aducerea similară, Reglarea fracțiilor, fracțiunile de tăiere și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea descompunerii polinomilor asupra multiplicatorilor (adesea o aplicăm atunci când lucrați cu fracțiuni). Cel mai adesea, pentru descompunere pe multiplicatori, trebuie să aplic sau pur și simplu să scot un factor comun pentru paranteze.

De obicei, scopul nostru este de a depune o expresie sub forma unei lucrări sau private.

De exemplu:

Simplificăm expresia.

1) Mai întâi simplificăm expresia în paranteze. Acolo avem o fracțiune de diferență, iar scopul nostru este să-l prezentăm ca o lucrare sau privată. Deci, oferim o fracțiune pentru un numitor comun și o îndoială:

Mai mult Această expresie este ușor de simplificat, toți factorii aici sunt elementari (încă mai amintesc ce înseamnă?).

2) Obținem:

Înmulțirea fracțiunilor: ceea ce ar putea fi mai ușor.

3) Acum puteți reduce:

Asta este. Nimic dificil, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi încercați să mă rezolvați și numai apoi să vedeți decizia.

În primul rând, definim procedura de acțiune. În primul rând, vom efectua adăugarea de fracțiuni în paranteze, se pare că se află în loc de două fracțiuni. Apoi vom realiza fracțiuni de divizare. Ei bine, rezultatul se va descurca cu ultima fracție. Numărul schematic Acțiuni:

Acum voi arăta procesul de știri, atingând acțiunea curentă în roșu:

În cele din urmă, vă veți da două sfaturi utile:

1. Dacă există similare, ele trebuie aduse imediat. În orice moment, avem similare similare, este recomandabil să le aducem imediat.

2. Același lucru este valabil și pentru reducerea fracțiunilor: de îndată ce abilitatea de a reduce, trebuie utilizată. Excepția este fracțiunile pe care le pliați sau deduceți: dacă au aceiași denominatori acum, atunci abrevierea trebuie lăsată mai târziu.

Iată sarcinile dvs. pentru soluții de sine:

Și a promis la început:

Soluții (scurt):

Dacă ați confruntat cel puțin cu primele trei exemple, atunci vă gândiți, stăpâniți.

Acum, înainte de a învăța!

Transformarea expresiilor. Rezumatul și formulele de bază

Operațiuni de simplificare de bază:

• Aducerea similară: Pentru a plia (plumb) componente similare, este necesar să se plieze coeficienții lor și să atribuie partea de scrisori.
• Factorizare:luând un factor comun pentru paranteze, aplicații etc.
• Reducerea fracțiunilor: Numeratorul și numitorul fracției pot fi înmulțite sau împărțite în același număr non-zero, din care fracția nu este schimbată.
  1) Numerator și numitor descompune multiplicatorii
  2) Dacă există multiplicatori generali într-un numitor și numitor, ele pot fi șterse.

  IMPORTANT: Numai multiplicatorii pot fi tăiați!

• Adăugarea și scăderea fracțiunilor:
  ;
• Înmulțirea și divizarea fracțiunilor:
  ;

I. Expresii în care, împreună cu litere, numerele, marcajele acțiunii aritmetice și paranteze pot fi utilizate, se numesc expresii algebrice.

Exemple de expresii algebrice:

2M -N; 3. · (2a + b); 0,24x; 0,3A -B. · (4a + 2b); un 2 - 2ab;

Deoarece scrisoarea din expresia algebrică poate fi înlocuită cu câteva numere diferite, atunci litera este numită o variabilă și ea însăși expresie algebrica - Exprimarea cu o variabilă.

II. Dacă în scrisori de expresie algebrică (variabile), înlocuiți-le cu valori și efectuați aceste acțiuni, atunci numărul rezultat se numește o valoare a expresiei algebrice.

Exemple. Găsiți valoarea expresiei:

1) A + 2B -C la A \u003d -2; b \u003d 10; C \u003d -3.5.

2) | x | + | Y | - Z | la x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6.

Decizie.

1) A + 2B -C la A \u003d -2; b \u003d 10; C \u003d -3.5. În loc de variabile, înlocuim valorile lor. Primim:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | Y | - Z | la x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6. Înlocuim valorile. Amintiți-vă că modulul numeric negativ este egal cu numărul opus, iar modulul unui număr pozitiv este egal cu cel foarte important. Primim:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Valorile literei (variabilei), sub care are sens algebrică, se numește valorile admisibile ale literei (variabilei).

Exemple. În ce valori ale expresiei variabile nu are sens?

Decizie. Știm că este imposibil să se împartă la zero, prin urmare, fiecare dintre aceste expresii nu va avea sens în valoarea literei (variabilei), care atrage denomotantul fracției în zero!

În Exemplul 1) Această valoare este a \u003d 0. Într-adevăr, dacă în schimb și înlocuiți 0, atunci trebuie să împărtășiți numărul 6 la 0 și acest lucru nu se poate face. Răspuns: Expresia 1) nu are sens la a \u003d 0.

În Exemplul 2) Denumimatorul X - 4 \u003d 0 la x \u003d 4, prin urmare, această valoare x \u003d 4 și nu poate fi luată. Răspuns: Expresia 2) nu are sens la x \u003d 4.

În Exemplul 3) Denominator x + 2 \u003d 0 la x \u003d -2. Răspuns: Expresia 3) nu are sens la x \u003d -2.

În Exemplul 4) Denominator 5 - | x | \u003d 0 cu | x | \u003d 5. Și din moment ce | 5 | \u003d 5 și | -5 | \u003d 5, atunci este imposibil să luați x \u003d 5 și x \u003d -5. Răspuns: Expresia 4) nu are sens la x \u003d -5 și la x \u003d 5.
IV. Două expresii sunt identice egale, dacă cu orice valori valide ale variabilelor, valorile corespunzătoare ale acestor expresii sunt egale.

Exemplu: 5 (A - B) și 5a - 5b sunt curate egale, deoarece egalitatea 5 (A - B) \u003d 5a - 5b va fi credincioasă la orice valoare a A și B. Egalitatea 5 (a-b) \u003d 5a - 5b Există o identitate.

Identitate - Aceasta este egalitatea, doar cu toate valorile admise ale variabilelor incluse în acesta. Exemple de identități deja cunoscute de dvs. sunt, de exemplu, proprietățile de adăugare și multiplicare, proprietatea de distribuție.

Înlocuirea unei expresii la altul, identică egală cu ea, se numește conversie identică sau pur și simplu prin transformarea expresiei. Transformări identice Extinderea cu variabile sunt efectuate pe baza proprietăților acțiunilor de deasupra numerelor.

Exemple.

a) Convertiți expresia la egală identică, utilizând proprietatea de distribuție a multiplicării:

1) 10 · (1,2x + 2,3,); 2) 1,5 · (A -2b + 4C); 3) A · (6m -2n + k).

Decizie. Amintiți-vă proprietatea distribuției (legea) de multiplicare:

(A + B) · C \u003d A · C + C · C (Legea de distribuție a multiplicării în raport cu adăugarea: Pentru a multiplica cantitatea de două numere la al treilea număr, puteți multiplica fiecare componentă la acest număr și ați pliat rezultatele).
(A-B) · C \u003d A · C-B · C (Dreptul de distribuție al multiplicării în raport cu scăderea: Pentru a multiplica diferența dintre două numere pentru a multiplica cu al treilea număr, puteți multiplica de acest număr este redus și subtrababil separat și de la primul rezultat al scăderii celui de al doilea).

1) 10 · (1,2x + 2,31) \u003d 10,1,2x + 10,2,3U \u003d 12x + 23W.

2) 1,5 · (A -2B + 4C) \u003d 1,5A -3B + 6C.

3) A · (6m -2n + k) \u003d 6am -2an + AK.

b) Conversia expresiei la egală identică, folosind proprietățile fără mișcare și de modă (legi) de adăugare:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5.4C -3 -2,5 -2.3C.

Decizie. Aplicați legile (proprietățile) de adiție:

a + B \u003d B + A (Mișcarea: Suma nu se schimbă de la rearanjarea termenilor).
(A + B) + C \u003d A + (B + C) (Combinând: Pentru a adăuga un al treilea număr la suma celor două componente, puteți adăuga a doua și a treia cantitate la primul număr).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 \u003d (x + 2x) + (4,5 + 6,5) \u003d 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 \u003d 3A + (2.1 + 7.8) \u003d 3A + 9.9.

6) 6) 5.4C -3 -2,5 -2.3C \u003d (5.4C -2.3C) + (-3 -2.5) \u003d 3.1C -5.5.

în) Conversia expresiei la egală identică, folosind multiplicarea multiplicării: multiplicare:

7) 4 · H. · (-2,5); 8) -3,5 · 2OW. · (-unu); 9) 3a. · (-3) · 2c.

Decizie. Aplicați legile (proprietățile) multiplicării:

a · b \u003d b · a (Mișcarea: Din permutarea multiplicatorilor, lucrarea nu se schimbă).
(A · b) · C \u003d A · (B · C) (Combinând: Pentru a multiplica activitatea a două numere la al treilea număr, puteți multiplica primul număr la locul al doilea și al treilea).

7) 4 · H. · (-2,5) = -4 · 2,5 · x \u003d -10x.

8) -3,5 · 2OW. · (-1) \u003d 7U.

9) 3a. · (-3) · 2C \u003d -18AS.

Dacă expresia algebrică este dată sub forma unei fracțiuni reduse, apoi utilizând regula de concasare, aceasta poate fi simplificată, adică. Înlocuiți identic egal cu o expresie mai simplă.

Exemple. Simplificați utilizând reducerea fracțiunilor.

Decizie. Reduceți fracțiunea - aceasta înseamnă împărțirea numărătorului și a numitorului la același număr (expresie), diferit de zero. Fracțiunea 10) va reduce 3b.; Fracțiunea 11) va reduce dar și fracțiunea 12) va reduce 7n.. Primim:

Expresiile algebrice sunt utilizate pentru compilarea formulelor.

Formula este o expresie algebrică înregistrată sub formă de egalitate și exprimând relația dintre două sau mai multe variabile. Exemplu: Formula Formula Știți s \u003d V · T (S este calea parcursă, v este viteza, t-time). Amintiți-vă ce alte formule știți.

Pagina 1 din 1 1

Printre diferitele expresii, care sunt considerate în algebră, cantitatea de homorali ocupă un loc important. Dăm exemple de astfel de expresii:
\\ (5A ^ 4 - 2A ^ 3 + 0,3A ^ 2 - 4,6A + 8 \\)
\\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7Y ^ 2 + 6x + 5Y - 2 \\)

Cantitatea de homorali se numește polinom. Componentele din polinom sunt numite membri ai polinomului. De asemenea, suntem neintenvent la polinoame, numărarea este neintenționată de un polinom constând dintr-un membru.

De exemplu, polinomul
\\ (8B ^ 5 - 2B \\ CDOT 7B ^ 4 + 3B ^ 2 - 8B + 0.25B \\ CDOT (-12) B + 16 \\)
Puteți simplifica.

Imaginați-vă toate componentele sub formă de specii standard:
\\ (8B ^ 5 - 2B \\ CDOT 7B ^ 4 + 3B ^ 2 - 8B + 0.25B \\ CDOT (-12) B + 16 \u003d \\)
\\ (\u003d 8B ^ 5 - 14B ^ 5 + 3B ^ 2 -8B -3B ^ 2 + 16 \\)

Oferim astfel de membri în polinomul rezultat:
\\ (8B ^ 5 -14B ^ 5 + 3B ^ 2 -8B -3B ^ 2 + 16 \u003d -6B ^ 5 -8B + 16 \\)
Sa dovedit un polinom, al cărui membri sunt specii unilaterale și nu există nici o similară între ele. Astfel de polinomi sunt numiți polinoame de specii standard.

Pe gradul de polinom Speciile standard iau cel mai mare grade ale membrilor săi. Astfel, Bicked \\ (12a ^ 2b - 7b \\) are un grad al treilea și trei etape \\ (2b ^ 2 -7b + 6 \\) - al doilea.

În mod tipic, membrii polinomilor unei forme standard care conțin o variabilă sunt plasate în ordinea scăderii gradului său. De exemplu:
\\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 \u003d x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \\)

Suma mai multor polinomi poate fi convertită (simplifică) într-un polinom al unei specii standard.

Uneori membrii polinomului trebuie împărțiți în grupuri introducând în fiecare grup în paranteze. Deoarece concluzia în paranteze este o transformare, divulgarea inversă a parantezelor, este ușor de formulat reguli pentru dezvăluirea parantezelor:

Dacă semnul "+" este setat în fața parantezelor, elementele închise în paranteze sunt înregistrate cu aceleași semne.

Dacă semnul "-" este instalat în fața parantezelor, membrii încheiați în paranteze sunt înregistrate cu semne opuse.

Transformare (simplificare) de lucrări de o singură aripă și polinomial

Folosind proprietățile de distribuție ale multiplicării, puteți converti (simplifica) într-un polinom, produsul este neoblatat și polinomial. De exemplu:
\\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 9A ^ 2B \\ CDOT 7A ^ 2 + 9A ^ 2B \\ CDOT (-5AB) + 9A ^ 2B \\ CDOT (-4B ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \\)

Lucrarea este neobordată, iar polinomul este identic egal cu cantitatea de lucrări ale acestui singur și fiecare dintre membrii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca regulă.

Pentru a multiplica necurate a unui polinom, trebuie să multiplicați acest lucru este necunoscut pentru fiecare dintre membrii polinomului.

Am folosit în mod repetat această regulă pentru multiplicare prin sumă.

Produsul polinomilor. Transformarea (simplificarea) lucrărilor a două polinomiale

În general, produsul a două polinomi este identic egal cu cantitatea de lucru a fiecărui membru al unui polinom și fiecare membru al celuilalt.

De obicei, bucurați-vă de următoarea regulă.

Pentru a multiplica polinomul la polinom, fiecare membru al unui polinom este înmulțit de fiecare membru al celuilalt și pliat lucrările obținute.

Formule de multiplicare abreviată. Pătrate ale cantității, diferenței și diferenței de pătrate

Cu unele expresii în transformări algebrice, este necesar să se ocupe mai des decât cu alții. Probabil cele mai frecvente expresii \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) și \\ (a ^ 2 - 2 \\), adică suma sumei, pătratul de diferențele și diferențele pătrate. Ați observat că numele expresiilor specificate nu se termină, deci, de exemplu, \\ ((a + b) ^ 2 \\) este, desigur, nu doar pătratul sumei și pătratul sumei A și B. Cu toate acestea, pătratul cantității A și B nu este atât de des, de regulă, în loc de litere A și B, se dovedește a fi diferite, uneori destul de complexe expresii.

Expresii \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) Nu este dificil să se convertească (simplifică) în polinomii unei specii standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când Multiplicarea polinomilor:
\\ ((a + b) ^ 2 \u003d (A + B) (A + B) \u003d A ^ 2 + AB + BA + B ^ 2 \u003d \\)
\\ (\u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \\)

Identitățile obținute sunt utile pentru a vă aminti și aplicarea fără calcule intermediare. O scurtă formulă verbală ajută la acest lucru.

\\ ((a + b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + 2Ab \\) - Suma sumei este egală cu suma pătratelor și de munca dublă.

\\ ((a-b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \\) - Piața diferenței este egală cu suma pătratelor fără un produs dublu.

\\ (A ^ 2 - B ^ 2 \u003d (A - B) (A + B) \\) - Diferența de pătrate este egală cu produsul diferenței în sumă.

Aceste trei identități permit transformări pentru a înlocui părțile stângi cu părțile dreapta și spate stânga. Cel mai dificil în același timp - a se vedea expresiile adecvate și înțelegeți modul în care variabilele A și B sunt înlocuite. Luați în considerare câteva exemple de utilizare a formulelor de multiplicare abreviată.

Folosind orice limbă, puteți exprima aceleași informații. cuvinte diferite și se întoarce. Nu excepție și limbă matematică. Dar aceeași expresie poate fi înregistrată echivalent în moduri diferite. Și în unele situații, una dintre înregistrări este mai simplă. Vom vorbi despre simplificarea expresiilor în această lecție.

Oamenii comunică limbi diferite. Pentru noi, o comparație importantă este o pereche de "limbă rusă - limbă matematică". Aceleași informații pot fi raportate în diferite limbi. Dar, în plus, poate pronunța și într-o singură limbă în moduri diferite.

De exemplu: "PTYA este prieten cu Vasya", "Vasya este prieten cu Petya", "Pete cu prietenii Vay". Spuse diferit, dar același lucru. Pentru oricare dintre aceste fraze, am înțelege despre ce vorbim.

Să ne uităm la această frază: "Petya's Boy and Boy Vasya sunt prieteni." Am înțeles ce acesta este vorba de vorbire. Cu toate acestea, nu ne place cum sună această frază. Putem să-l simplificăm, să spunem același lucru, dar mai ușor? "Boy and Boy" - puteți spune încă o dată: "Petya și Vasya Boys sunt prieteni."

"Băieții" ... nu sunt numele pe care nu sunt fete. Îndepărtăm "băieții": "Petya și Vasya sunt prieteni". Și cuvântul "Prietenii" pot fi înlocuiți cu "Prieteni": "Peter și Vasya - prieteni." Ca rezultat, prima frază urâtă lungă a fost înlocuită cu o declarație echivalentă, care este mai ușor de spus și mai ușor de înțeles. Am simplificat această frază. Simplificați - înseamnă a spune mai ușor, dar nu să pierdeți, nu distorsionați sensul.

Într-o limbă matematică, aproximativ același lucru se întâmplă. Un lucru se poate spune că scrie altfel. Ce înseamnă să simplificați expresia? Aceasta înseamnă că există multe expresii echivalente pentru expresia inițială, adică cele care înseamnă același lucru. Și din tot acest set, trebuie să alegem cel mai simplu, în opinia noastră sau cel mai potrivit pentru obiectivele noastre viitoare.

De exemplu, luați în considerare o expresie numerică. Va fi echivalent.

De asemenea, va fi echivalent cu primele două: .

Se pare că am simplificat expresiile noastre și am găsit cea mai scurtă expresie echivalentă.

Pentru expresii numerice, este întotdeauna necesar să se efectueze toate acțiunile și să primească o expresie echivalentă sub forma unui număr.

Luați în considerare un exemplu de expresie alfabetică. . Evident, va fi mai simplu.

Când simplificați expresii alfabetice, trebuie să efectuați toate acțiunile care sunt posibile.

Aveți întotdeauna nevoie să simplificați expresia? Nu, uneori va fi mai convenabil pentru echivalentul american, dar o înregistrare mai lungă.

Exemplu: Din numărul de care trebuie să luați numărul.

Este posibil să se calculeze, dar dacă primul număr a fost reprezentat de înregistrarea sa echivalentă:, atunci calculele ar fi instantanee :.

Adică, o expresie simplificată nu este întotdeauna profitabilă pentru calcularea ulterioară.

Cu toate acestea, foarte des ne confruntăm cu o sarcină pe care o sună "să simplifice expresia".

Simplificați expresia :.

Decizie

1) Efectuați acțiuni în prima și a doua paranteze :.

2) Calculați lucrările: .

Evident, ultima expresie este o vedere mai simplă decât cea inițială. Am simplificat-o.

Pentru a simplifica expresia, acesta trebuie înlocuit cu un echivalent (egal).

Pentru a determina expresia echivalentă, este necesar:

1) Efectuați toate acțiunile posibile

2) Utilizați proprietățile de adăugare, scădere, multiplicare și diviziuni pentru simplificarea calculelor.

Proprietăți de adăugare și scădere:

1. Deplasați proprietatea de adiție: suma nu se schimbă de la rearanjarea termenilor.

2. Proprietatea combinată a adăugării: Pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea număr la primul număr.

3. Proprietatea scăderii sumei dintre: Pentru a scădea suma de la număr, puteți deduce separat fiecare termen.

Proprietățile multiplicării și divizării

1. Proprietatea de mișcare a multiplicării: Produsul nu se schimbă de la permutarea multiplicatorilor.

2. Proprietatea la modă: Pentru a multiplica numărul de lucrări de două numere, îl puteți înmulți mai întâi la primul factor, iar apoi lucrarea rezultată este înmulțită cu al doilea factor.

3. Proprietatea de distribuție a multiplicării: Pentru a multiplica numărul la suma, trebuie să îl înmulțiți fiecărui singur separat.

Să vedem cum facem de fapt calcule în minte.

Calculati:

Decizie

1) Imaginați-vă cum

2) Imaginați-vă primul factor ca suma termenilor de descărcare și efectuarea multiplicării:

3) Vă puteți imagina cum să efectuați multiplicarea:

4) Înlocuiți primul factor al cantității echivalente:

Legea distribuției poate fi utilizată în direcția opusă :.

Efectuați următoarele:

1) 2)

Decizie

1) Pentru confort, puteți utiliza legea distributară, doar pentru ao folosi în direcția opusă - pentru a face un factor general pentru paranteze.

2) Voi aduce un multiplicator general pentru paranteze.

Este necesar să cumpărați linoleum în bucătărie și o sală de intrare. Bucătărie pătrată -, hol -. Există trei tipuri de linoleume: software și ruble pentru. Cât de mult va costa fiecare dintre cele trei tipuri de linoleum? (Figura 1)

Smochin. 1. Ilustrație față de starea problemei

Decizie

Metoda 1. Puteți găsi individual cât de mulți bani vor avea nevoie pentru a cumpăra un linoleum în bucătărie și apoi adăugați la hol și lucrările obținute.