На канал на YouTube нашия сайт сайт, за да бъдете в крак с всички нови уроци по видео.

Първо, нека си спомним основните формули на степените и техните свойства.

Работата на номера а. Самото се случва N пъти, този израз, който можем да записваме като a a ... a \u003d a n

1. A 0 \u003d 1 (a ≠ 0)

3. a n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d nm

5. a n b n \u003d (ab) n

7. N / A m \u003d a n - m

Уравнения или демонстрационни уравнения - Това са уравнения, в които променливите са в градуи (или индикатори), а основата е номерът.

Примери показателни уравнения:

В този пример номер 6 е основата, която винаги стои долу, и променливата х. степен или индикатор.

Нека дадем повече примери за индикативните уравнения.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

Сега ще анализираме как се решават демонстрационните уравнения?

Вземете просто уравнение:

2 x \u003d 2 3

Този пример може да бъде решен дори в ума. Може да се види, че X \u003d 3. В крайна сметка, така че лявата и дясната част трябва да бъде равна на числото 3 вместо x.
Сега да видим как е необходимо да се издаде това решение:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3.

За да се реши такова уравнение, ние премахнахме същите основания (т.е. две) и записани какво остава, тя е степен. Получил желания отговор.

Сега обобщете решението си.

Алгоритъм за решаване на индикативно уравнение:
1. Трябва да проверите същото Фондации на Лий в уравнението отдясно и наляво. Ако основите не са същите като търсите възможности за решаване на този пример.
2. След като основите станат същите, равен степени и решаване на полученото ново уравнение.

Сега пренапишете няколко примера:

Да започнем с прост.

Базите в лявата и дясната част са равни на номер 2, което означава, че можем да отхвърлим и приравняваме техните степени.

x + 2 \u003d 4 Оказа се най-простото уравнение.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2.
Отговор: x \u003d 2

В следващия пример може да се види, че основите са различни. Той е 3 и 9.

3 3X - 9 x + 8 \u003d 0

За да започнем, ние прехвърляме девет на дясната страна, получаваме:

Сега трябва да направите същата основа. Ние знаем, че 9 \u003d 3 2. Ние използваме степента на степен (a n) m \u003d nm.

3 3X \u003d (3 2) x + 8

Получаваме 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16

3 3X \u003d 3 2x + 16 Сега е ясно, че вляво и правилната страна Основите са едни и същи и равни на тройката, тогава можем да ги изхвърлим и да приравняваме степените.

3x \u003d 2x + 16 получи най-простото уравнение
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16.
Отговор: x \u003d 16.

Разглеждаме следния пример:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Първо, погледнем към основата, основите са различни две и четири. И трябва да сме същите. Преобразуваме четирите по формулата (a n) m \u003d nm.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

И използвайте една формула a n a m \u003d a n + m:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

Добавяне към уравнение:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

Ние доведохме пример по същите причини. Но ние се намесваме в други числа 10 и 24. Какво да правя с тях? Ако можете да видите, че е ясно, че имаме 2 2 2, това е отговорът - 2 2, можем да извадим скобите:

2 2x (2 4 - 10) \u003d 24

Изчисляваме израза в скоби:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Всички уравнения Delim до 6:

Представете си 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 2 2 бази са еднакви, изхвърлящи ги и уравняват степените.
2x \u003d 2 Оказа се най-простото уравнение. Разделяме го на 2
x \u003d 1.
Отговор: x \u003d 1.

Разрешаване на уравнението:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

Ние трансформираме:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Получаваме уравнението:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0

Основите, които имаме същото, са равни на трима. В този пример може да се види, че първите три градуса два пъти (2x) са по-големи от тези на втория (просто x). В този случай можете да решите метод за замяна. Броят с най-малка степен замени:

След това 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Ние сменяме при уравнение всички степени с кухини на t:

t2 - 12T + 27 \u003d 0
Получаване квадратно уравнение. Ние решаваме чрез дискриминацията, получаваме:
D \u003d 144-108 \u003d 36
T 1 \u003d 9
T 2 \u003d 3

Връщане към променливата х..

Вземете T 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Това е,

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

Намерен един корен. Търсим втория, от t 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Отговор: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.

На сайта можете да разрешите решението да поискате да зададете въпроси.

Присъединете се към групата

I.Състав н. във фабриката, всеки от които е равен но Наречен н.Сред степента на числото но И обозначава но Н..

Примери. Напишете продукт под формата на степен.

1) mmmm; 2) Aaabb; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · CCC; 4) ppkk + pppk-ppkkk.

Решение.

1) mmmm \u003d m 4тъй като по дефиниция работата на четири фактора, всеки от които е равен м., ще бъде Четвъртата степен на брой m.

2) aaabb \u003d a 3 b2; 3) 5 · 5 · 5,5 · CCC \u003d 5 4С3; 4) ppkk + pppk-ppkkk \u003d p2 k2 + p3 k-p2 k3.

II. Действието, през което има продукт от няколко равни недостатъци, се нарича упражнение. Броят, който е построен в степен, се нарича основата на степента. Номерът, който показва коя степен е основата се нарича индикатор за степента. Така, но Н. - степен но - основата на степента н.- Показател. Например:

2 3 — това е степен. Номер 2 - основата на степента, индикаторът за степента е равен 3 . Стойност на степента 2 3 по равно 8, като 2 3 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 8.

Примери. Напишете следните изрази без индикатор.

5) 4 3; 6) А3 В2С3; 7) a 3 -b3; 8) 2A 4 + 3B 2.

Решение.

5) 4 3 = 4 · 4 · 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 \u003d aaabbccc; 7) 3 -b3 \u003d aAA-BBB; 8) 2A 4 + 3B 2 \u003d 2AAAA + 3BB.

III. a 0 \u003d 1 Всеки номер (с изключение на нула) в нулева степен, равна на една. Например, 25 0 \u003d 1.
IV. A 1 \u003d a Всеки номер в първа степен е равен на себе си.

В. М.∙ н.= м. + Н. Когато се умножават степени със същите бази, базата е оставена за същите и индикатори сгъване.

Примери. Опростете:

9) А · 3 · а 7; 10) B 0 + B 2 · B 3; 11) С2 · C 0 · C · C4.

Решение.

9) a · 3 · a 7\u003d 1 + 3 + 7 \u003d А11; 10) B 0 + B 2 · B 3 \u003d1 + B 2 + 3 \u003d 1 + B 5;

11) C 2 · C 0 · C · C 4 \u003d1 · C 2 · C · C4 \u003d C 2 + 1 + 4 \u003d C7 .

VI. М.: н.= м. - Н. Когато се разделят степените със същите бази, базата е оставена за същото, и от степента на разделяне, степента на разделя се приспада.

Примери. Опростете:

12) a 8: a 3; 13) m 11: m 4; 14) 5 6: 5 4.

12) A 8: a 3\u003d 8-3 \u003d А5; 13) m 11: m 4\u003d M 11-4 \u003d m 7; Четиринадесет ) 5 6:5 4 \u003d 5 2 \u003d 5 · 5 \u003d 25.

VII. (м.) Н.= mn. Ако степента се повиши в степента, основата остава за същото и индикаторите са удължени.

Примери. Опростете:

15) (a 3) 4; 16) (С5) 2.

15) (a 3) 4\u003d 3 · 4 \u003d А 12; 16) (C 5) 2\u003d С 5 · 2 \u003d С 10.

Забележкаче, тъй като работата на множителите не променя работата, че:

15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (С5) 2 \u003d (С2) 5.

В.I. II.. (A ∙ b) n \u003d a n ∙ b n Когато издигате работата, всеки от мултипликателите се издига в тази степен.

Примери. Опростете:

17) (2а 2) 5; 18) 0.2 6 · 5 6; 19) 0.25 2 · 40 2.

Решение.

17) (2A 2) 5\u003d 2 5 · А2 · 5 \u003d 32А 10; 18) 0.2 6 · 5 6\u003d (0.2 · 5) 6 \u003d 1 6 \u003d 1;

19) 0.25 2 · 40 2\u003d (0.25 · 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.

IX. Когато се посадете в степента на фракции, тя се издига в тази степен и числителя и знаменател на фракцията.

Примери. Опростете:

Решение.

Страница 1 от 1 1

Една от основните характеристики в алгебрата и в цялата математика е степента. Разбира се, през 21-ви век, всички изчисления могат да се извършват на онлайн калкулатора, но е по-добре за развитието на мозъка да се научи как да го направи сами.

В тази статия считайте най-много важни въпросиотносно това определение. Именно, ние ще разберем, че това обикновено е такова и какви са основните функции, които са свойства в математиката.

Помислете за примерите как изглежда изчислението е основните формули. Ние ще анализираме основните видове величина и това, което се различават от другите функции.

Ще разберем как да решим с помощта на тази стойност различни задачи. Ние показваме при примерите как да се издигнем до нулева степен, ирационално, отрицателно и т.н.

Онлайн калкулатор на упражнения

Каква е степента на числото

Какво се подразбира под изразяването на датата в степента?

Степента N на номера А е продуктът на множителите на N-веднъж подред.

Математически, изглежда така:

n \u003d a * a * a * ... a n.

Например:

• 2 3 \u003d 2 в третата стъпка. \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 8;
• 4 2 \u003d 4 в стъпката. две \u003d 4 * 4 \u003d 16;
• 5 4 \u003d 5 в стъпката. Четири \u003d 5 * 5 * 5 * 5 \u003d 625;
• 10 5 \u003d 10 V 5 Стъпка. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 100000;
• 10 4 \u003d 10 на 4 стъпки. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 10,000.

По-долу ще бъде масата на квадратите и кубчета от 1 до 10.

Таблица на градуси от 1 до 10

По-долу ще бъдат резултатите от строителството естествени числа Положителни степени - "от 1 до 100".

Гр. Х-Ло.	2-ри st-n	3 STM.
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства на градуси

Какво е характерно за такива математическа функция? Помислете за основните свойства.

Учените са установили следното характеристики на всички степени:

• a n * a m \u003d (а) (n + m);
• n: a m \u003d (а) (n-m);
• (a b) m \u003d (а) (b * m).

Проверете примерите:

2 3 * 2 2 \u003d 8 * 4 \u003d 32. От друга страна 2 5 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32.

По същия начин: 2 3: 2 2 \u003d 8/4 \u003d 2. В противен случай 2 3-2 \u003d 2 1 \u003d 2.

(2 3) 2 \u003d 8 2 \u003d 64. И ако е различно? 2 6 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32 * 2 \u003d 64.

Както можете да видите, правилата работят.

И какво за с добавка и изваждане? Всичко е просто. Първо се извършва изграждането на степента и само след това добавяне и изваждане.

Нека разгледаме примерите:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 \u003d 25 - 9 \u003d 16. Забележка: Правилото няма да бъде изпълнено, ако първо направите изваждането: (5 - 3) 2 \u003d 2 2 \u003d 4.

Но в този случай е необходимо първо да се изчисли първото добавяне, тъй като има действия в скоби: (5 + 3) 3 \u003d 8 3 \u003d 512.

Как да произвеждаме изчисления в по-сложни случаи? Същият ред:

• в присъствието на скоби - трябва да започнете с тях;
• след това упражнението в степента;
• след това изпълнява действията за умножение, разделение;
• след прибавяне, изваждане.

има специфични свойстваХарактеристика не за всички степени:

1. Коренът на N-тия степен от степен М се записва като: m / n.
2. При изграждане на фракция в степен: тази процедура е обект на цифровия и нейния знаменател.
3. Когато издигате продукта с различен брой в степента, изразът ще съответства на продукта от тези числа в дадена степен. Това е: (a * b) n \u003d a n * b n.
4. С емисиите на номера в отрицателната стъпка.
5. Ако деномотерът е отрицателна степен, този израз ще бъде равен на продукта на числителя към знаменателя до положителна степен.
6. Всеки номер до степен 0 \u003d 1, и в стъпката. 1 \u003d себе си.

Тези правила са важни в някои случаи, смятат ги по-подробно по-долу.

Отрицателен

Какво да правите с минус степен, т.е. когато индикаторът е отрицателен?

Въз основа на имоти 4 и 5 (вижте елемента по-горе) оказва се:

A (- N) \u003d 1 / N, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

И обратно:

1 / A (- N) \u003d N, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

И ако фракцията?

(A / B) (- N) \u003d (b / a) n, (3/5) (-2) \u003d (5/3) 2 \u003d 25/9.

Съотношение

Под него разбират степента с индикатори, равни на цели числа.

Какво трябва да запомните:

0 \u003d 1, 1 0 \u003d 1; 2 0 \u003d 1; 3.15 0 \u003d 1; (-4) 0 \u003d 1 ... и т.н.

1 \u003d А, 1 1 \u003d 1; 2 1 \u003d 2; 3 1 \u003d 3 ... и т.н.

В допълнение, ако (-a) 2 n +2, n \u003d 0, 1, 2 ... резултатът ще бъде с "+" знак. Ако отрицателното число е издигнато в нечетна степен, тогава обратно.

Общите свойства и всички специфични функции, описани по-горе, също са характерни за тях.

Фракционна степен

Този вид може да бъде записан със схема: m / n. Четене като: N-Essential корен от сред степен m.

С фракционен индикатор можете да направите всичко: нарязано, да поставите на части, изправени в друга степен и т.н.

Ирационално

Нека α да е ирационален номер и ˃ 0.

Да разбере същността на степента с такъв индикатор, обмислете различни възможни случаи:

• A \u003d 1. Резултатът ще бъде равен на 1. Тъй като има аксиом - 1 във всички степени е равно на един;

И R1 ˂ a α ˂ и R2, R1 ˂ R2 - рационални числа;

• 0˂˂1.

В този случай, напротив: и R2 ˂ a α ˂ R1 при същите условия, както във втория параграф.

Например индикаторът за степента на степента π. Тя е рационална.

r 1 - в този случай е 3;

r2 - ще бъде равен на 4.

След това, при \u003d 1, 1 π \u003d 1.

A \u003d 2, след това 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A \u003d 1/2, след това (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

За такива степени всички математически операции и специфични свойства, описани по-горе, са характерни.

Заключение

Нека обобщете - защо тези количества се нуждаят, какво е предимството на такива функции? Разбира се, на първо място, те опростяват живота на математиците и програмистите при решаването на примери, тъй като ви позволява да минимизирате изчисленията, да намалите алгоритмите, систематизирате данни и много други.

Къде другаде може ли това знание да дойде в удобно? Във всяка работна специалност: медицина, фармакология, стоматология, строителство, технология, инженеринг, дизайн и др.

Изрази, трансформация на изрази

Мощни изрази (изрази с градуси) и тяхното преобразуване

В тази статия ще говорим за трансформиране на изрази с градуси. Първо ще се съсредоточим върху трансформациите, които се изпълняват с изрази на всеки вид, включително мощни изразикато разкриване на скоби, привеждане на подобни термини. И тогава ще анализираме трансформацията, присъща на изрази с градуса: работа с основата и индикатора на степента, използването на свойствата на градуси и др.

Навигация.

Какви са мощните изрази?

Терминът "мощни изрази" на практика не се случва в училищните учебници по математика, но често се появява в колекции от задачи, специално проектирани да се подготвят за EGE и OGE, например,. След анализиране на задачите, в които се изискват всякакви действия с мощностните изрази, става ясно, че под изражението на електрозахранването разбират изразите, съдържащи в техните дистрибутори. Ето защо е възможно да се приеме такава дефиниция за себе си:

Определение.

Електрически изрази - Това са изрази, съдържащи степени.

Тук примери за мощностни изрази. Освен това ще ги изпратим според начина, по който възниква разработването на мнения в степен с естествен индикатор до действителния индикатор.

Както знаете, първо познат със степента на числото с естествена фигура, на този етап първата най-проста мощност експресия от тип 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (-0,1) 4, 3 · 1 се появява -a + a2, x 3-1, (a 2) 3 и т.н.

Малко по-късно се изследва степента на число с цяло число, което води до появата на мощностни изрази с цели отрицателни степени, като следното: 3 -2, , А -2 + 2 · B -3 + С2.

В гимназията отново се върна в градуси. Съществува степен с рационален индикатор, който води до появата на подходящи изрази на енергия: , , и т.н. И накрая, обсъжда степените с ирационални показатели и включващи техните изрази: ,.

Случаят, изброени по изрази на енергия, не се ограничава до: променливата прониква по-нататък по отношение на степента и има такива изрази 2 х 2 +1 или . И след запознанства, изразите с градуси и логаритми започват да се срещат, например, x 2 · lgx -5 · x lgx.

Така че, ние се занимавахме с въпроса, който представлява мощни изрази. Ще продължим да се научаваме да ги превръщаме.

Основните видове трансформации на мощностни изрази

С мощност изрази можете да изпълнявате някоя от основните трансформации на идентичността на изразите. Например, можете да разкриете скоби, да замените числените изрази по техните стойности, донесете подобни термини и т.н. Естествено, трябва да е необходимо да се спазват процедурата за извършване на действия. Даваме примери.

Пример.

Изчислете стойността на експресията на захранването 2 3 · (4 2 -12).

Решение.

Според процедурата за извършване на действия първо извършват действия в скоби. Там, първо, заменим степента 4 2 от неговата стойност 16 (виж дали е необходимо), и второ, изчисляваме разликата 16-12 \u003d 4. . \\ T 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4.

В резултатния израз ние сменим степен 2 3 от стойността си 8, след което изчисляваме продукта 8 · 4 \u003d 32. Това е желаната стойност.

Така, 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4 \u003d 8 · 4 \u003d 32.

Отговор:

2 3 · (4 2 -12) \u003d 32.

Пример.

Опростете изразите с градуси 3 · 4 · B -7 -1 + 2 · А 4 · B -7.

Решение.

Очевидно е, че този израз съдържа подобни термини 3 · 4 · B -7 и 2 · 4 · B -7 и можем да ги водим :. \\ T

Отговор:

3 · 4 · B -7 -1 + 2 · А4 · B -7 \u003d 5 · А4 · B -7 -1.

Пример.

Представят израз със степени под формата на работа.

Решение.

Кредит със задачата позволява представяне на номер 9 под формата на степен 3 2 и последващото използване на формулата на съкратеното умножение. Квадратни разлики:

Отговор:

Има и номер идентични трансформацииприсъщи на изрази на енергия. Тогава ще ги разпознаем.

Работа с основата и индикатора на степента

В основата и / или индикатора на които не са само цифри или променливи, а някои изрази. Като пример, дайте записа (2 + 0.3 · 7) 5-3.7 и (A · (A + 1) -A2) 2 · (X + 1).

Когато работите с подобни изрази, е възможно като експресия в основата на степента и експресията в индикатора се заменя с еднакво равна на експресията върху нечетните променливи. С други думи, ние можем отделено да конвертирате вредането на степен поотделно и поотделно индикатора. Ясно е, че в резултат на тази трансформация изразът ще бъде идентично равен на първоначалния.

Такива трансформации правят възможно опростяване на изразите с градуси или да се достигнат до други цели, от които се нуждаем. Например, в гореспоменатата мощност (2 + 0.3 · 7) 5-3.7 е възможно да се извършат действия с номера в основата и индикатора, които ще ви позволят да преминете към степен 4.1 1.3. И след оповестяванията на скобите и носят подобни термини в основата на степента (A · (A + 1) -а2) 2 · (x + 1), получаваме мощност експресия на по-прост форма 2 · ( X + 1).

Използвайте свойствата на градуси

Един от основните инструменти за трансформиране на изрази с градуси е отразяването на равенството. Припомнете основните от тях. За всички положителни номера А и Б и произволни номера R и S, следните свойства на градуси са валидни:

• r · a s \u003d r + s;
• r: a s \u003d r-s;
• (a · b) r \u003d a r · b r;
• (A: b) r \u003d a r: b r;
• (A r) s \u003d a r.

Обърнете внимание, че с естествени цели числа, както и положителните показатели за степента на ограничаване на броя и Б може да не са толкова строги. Например, за естествени числа m и n, равенството a m · a n \u003d m + n е вярно не само за положително а, но също и за отрицателно, и за a \u003d 0.

В училище фокусът върху трансформацията на изразите на захранването е фокусиран върху способността да се избере подходящо свойство и да го приложи правилно. В същото време основите на градусите обикновено са положителни, което позволява използването на свойствата на градуса без ограничения. Същото се отнася и за трансформацията на изрази, съдържащи променливи в основите на градусите - площта на допустимите стойности на променливите обикновено е, че са взети само положителни стойности, което ви позволява да използвате свободно свойствата на градуси . Като цяло е необходимо непрекъснато да се чудите дали е възможно да се използва всяка собственост от степени в този случай, тъй като в нечленото използване на свойствата може да доведе до стесняване на OTZ и други проблеми. В подробности и примери тези моменти се разглобяват в статията трансформация на изрази, използвайки свойствата на градуси. Тук ще се ограничим до разглеждането на няколко прости примера.

Пример.

Подгответе експресия 2,5 · (А2) -3: А -5.5 като степен с база a.

Решение.

Първо, вторият фактор (A 2) -3 превръща упражнението в степен по степен в степента: (А2) -3 \u003d А2 · (-3) \u003d A -6. Първоначалният израз на мощността приема формата 2.5 · А -6: А -5.5. Очевидно остава да се възползва от свойствата на умножението и разделянето на градуса със същата основа, ние имаме
2.5 · A -6: A -5.5 \u003d
2.5-6: A -5.5 \u003d A -3,5: A -5.5 \u003d
а -3.5 - (- 5.5) \u003d А2.

Отговор:

2.5 · (A 2) -3: A -5.5 \u003d A 2.

Свойствата на градусите при конвертиране на експресии се използват и двете от ляво на дясно, така и отдясно наляво.

Пример.

Намерете стойността на експресия на енергия.

Решение.

Равенство (A · B) R \u003d a r · b r, нанесено вдясно, позволява от първоначалния израз да се премести в продукта и по-нататък. И когато се умножи градуса със същите основи, индикаторите се сгъват: .

Възможно е да се извърши трансформацията на първоначалното изразяване и по друг начин:

Отговор:

.

Пример.

Експресията на захранването A 1.5 -A 0.5 -6, въведете нова променлива t \u003d a 0.5.

Решение.

Степента 1,5 може да бъде представена като 0.5 · 3 и в базата данни на степента на степен към степен (a r) s \u003d a r · s, нанесено вдясно наляво, да го преобразува във формата (0,5) 3. По този начин, 1,5-0,5 -6 \u003d (0,5) 3 -А 0.5 -6. Сега е лесно да въведете нова променлива t \u003d a 0.5, получаваме t3 -t-6.

Отговор:

t 3 -t-6.

Трансформация на фракции, съдържащи градуси

Мощните изрази могат да съдържат фракции с градуси или да представляват такива фракции. Такива фракции са напълно приложими някоя от основните трансформации на фракции, които са присъщи на части от всякакъв вид. Това означава, че фракциите, които съдържат степени, могат да бъдат намалени, да доведат до нов знаменател, да работят отделно с техния числител и поотделно с знаменателя и др. За да илюстрирате думите, помислете за решения от няколко примера.

Пример.

Опростяване на изразяването на властта .

Решение.

Тази мощност е фракция. Ще работим със своя цифров и знаменател. В цифроратора ще разкрием скобите и опростява експресията, получена след това, използвайки свойствата на градуси, и в знаменателя ще дадем подобни термини:

И все още променя знака на знаменателя, поставяйки минус преди фракцията: .

Отговор:

.

Привеждането на степените на фракциите към нов знаменател се извършва подобно на привеждане на рационални фракции до нов знаменател. В същото време се намира и допълнителен фактор и умножаване на числителя и знаменателя на фракцията. Извършване на това действие, си струва да се припомни, че привеждането на нов знаменател може да доведе до стесняване на OTZ. За това не се случва, необходимо е допълнителният фактор да не се прилага за нула, независимо от стойностите на променливите от странните променливи за първоначалния израз.

Пример.

Дайте фракции на нов знаменател: а) към знаменател А, б) към знаменателя.

Решение.

а) В този случай е доста просто да се разбере какъв допълнителен мултипликатор помага да се постигне желания резултат. Това е множител A 0.3, като 0.7 · A 0.3 \u003d A 0.7 + 0.3 \u003d a. Обърнете внимание, че в областта на допустимите стойности на променливата А (това са множество от всички положителни номера) степента a 0.3 не се харесва на нула, следователно имаме право да умножим числителя и знаменателя на Посочена фракция на този допълнителен фактор:

б) изглежда по-тясно до знаменателя, може да се намери това

И умножаването на този израз върху това ще даде количеството кубчета и това е. И това е новият знаменател, на който трябва да донесем първоначалната фракция.

Така намерихме допълнителен фактор. На областта на допустимите стойности на променливите X и Y изразът не се прилага за нула, следователно можем да умножим числителя и знаменателя на фракцията:

Отговор:

но) б) .

Няма нищо ново в намаляването на фракциите, съдържащи градуси, няма нищо ново: числителят и знаменателят са представени като редица мултипликатори и същите множители на числителя и знаменателят са намалени.

Пример.

Намаляване на фракцията: а) б).

Решение.

а) Първо, числителят и знаменателят могат да бъдат намалени до числа 30 и 45, което е равно на 15. Също така, очевидно можете да направите намаление на x 0.5 +1 и . Това е, което имаме:

б) В този случай същите множители в числителя и знаменателя не могат да бъдат незабавно видими. За да ги получите, ще трябва да извършите предварителни трансформации. В този случай те се сключват при разширяването на знаменателя за мултипликатори, използващи формулата на квадратната разлика:

Отговор:

но)

б) .

Принасянето на фракции до нов знаменател и намаляването на фракциите се използват главно за извършване на действия с фракции. Действията се извършват в съответствие с добре познатите правила. При добавяне на (изваждане) фракции, те се дават на общ знаменателСлед това има цифри (приспаднати) цифри, а знаменателят остава същият. В резултат на това се оказва фракция, чийто числителят е продукт на цифри, а знаменателят е продукт на знаменатели. Разделението на фракцията е умножение чрез фракция, обратна го.

Пример.

Следвай стъпките .

Решение.

Първо, ние извършваме изваждането на фракции, разположени в скоби. За да направите това, доведете ги в общ знаменател, който има , след което изваждаме числата:

Сега умножаваме фракциите:

Очевидно е възможно да се намали степента на x 1/2, след което имаме .

Все още можете да опростите изражението на силата в знаменателя, като използвате формулата на квадратната разлика: .

Отговор:

Пример.

Опростяване на изразяването на властта .

Решение.

Очевидно е, че тази фракция може да бъде намалена с (x 2.7 +1) 2, тя дава фракция . Ясно е, че трябва да направите нещо друго с степените на ICA. За да направите това, ние трансформираме получената фракция в работата. Това ни дава възможност да се възползваме от собствеността на степените със същите основания: . И в заключение продължете от последната работа към фракцията.

Отговор:

.

Също така добавям, че е възможно и в много случаи е желателно да се прехвърлят няколко степен на степен от числителя към знаменател или от знаменател към числитетор, като промените знака на индикатора. Такива трансформации често опростяват допълнителни действия. Например, изразяването на енергия може да бъде заменено от.

Трансформация на изрази с корените и степените

Често в изрази, които изискват някои трансформации, заедно с градуси с частични индикатори, има корени. За да конвертирате подобен израз в правилния ум, в повечето случаи е достатъчно просто да отидете на корените или само до степени. Но тъй като е по-удобно да се работи с градуси, обикновено преминават от корените до степени. Препоръчително е обаче да се упражнява такъв преход, когато променливите на OTZ за първоначалния израз позволяват да се замени корените от градуси, без да се налага да се обръщате към модула или да разделите OTZ на няколко пропуски (разглобяваме подробно прехода от корените До степените и обратно след проучване на степента с рационален индикатор се въвежда степента с ирационалния индикатор, която ви позволява да говорите за степента с произволен реален показател. На този етап училището започва да учи експоненциална функция което е анализирано от степента, в която е разположен номерът, и в индикатора - променливата. Така че ние сме изправени пред мощните изрази, съдържащи номера в основата на степента, а в индикатора - изрази с променливи и естествено има нужда да се извършват трансформации на такива изрази.

Трябва да се каже, че трансформацията на изразите на посочените видове обикновено трябва да се извърши при решаване показателни уравнения и индикативни неравенстваИ тези трансформации са доста прости. В огромния брой случаи те се основават на сведелни свойства и са насочени към по-голямата си част, за да влязат в бъдеще нова променлива. Демонстрират, че ще позволят уравнението 5 2 · X + 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x-1 \u003d 0.

Първо, степените в показателите за които има сума от някаква променлива (или изрази с променливи) и числата се заменят с произведенията. Това се отнася за първия и последния терен изрази от лявата страна:
5 2 · X · 5 1 -3 · 5 x · 7 х -14 · 7 2 · x · 7 -1 \u003d 0,
5 · 5 2 · x -3 · 5 x · 7 x -2 · 7 2 · x \u003d 0.

Освен това, разделянето на двете части на равенството се извършва върху експресията 7 2 · X, която само положителните стойности приемат уравнението на източника на уравнението на източника (това е стандартното приемане на уравнения на този тип, не е така \\ t За него сега се съсредоточи върху последващите трансформации на изрази с градуси):

Сега фракциите се намаляват с градуси, което дава .

И накрая, съотношението на градуси със същите показатели се заменя с степени на отношенията, което води до уравнение Това е еквивалентно . Преобразуванията позволяват да се въведе нова променлива, която намалява решението на първоначалното индикативно уравнение за решаване на квадратното уравнение

I. В. Бойков, Л. Д. Романова Събиране на задачи за подготовка за изпита. Част 1. Penza 2003.

Раздели: Математика

Вид на урока: Урок за обобщение и систематизиране на знанията

Цели:

образователен - Повторете определянето на степента, правилата за умножаване и разделение на градусите, изграждането на степен до степента, консолидиране на способността за решаване на примери, съдържащи градуси

разработване - развитие логично мислене ученици, интерес към изследваните материали,

отглеждане - Образование на отговорно отношение към изучаване, култура на комуникация, чувства на колективизъм.

Оборудване: Компютърни, мултимедиен проектор, интерактивен съвет, презентация "Степен" за устна сметка, карти с задачи, разпределителен материал.

План на урока:

Организиране на времето.

Повторение на правилата

Устно преброяване.

Историческа справка.

Работа на борда.

Fizkultminutka.

Работа на интерактивна платка.

Независима работа.

Домашна работа.

Обобщаване на урока.

По време на класовете

I. Организационен момент

Теми и целите на урока.

В предишни уроци, които сте открили за себе си удивителен свят Степените, се научили да умножават и споделят степени, издигнете ги в степен. Днес трябва да консолидираме знанията, придобити в решаването на примери.

II. Повторение на правилата (орално)

1. Дайте дефиницията с естествен индикатор? (Степен на числа но с естествен индикатор, голям 1, наречен произведение н. мултипликатори, всеки от които е равен но.)
2. Как да умножим две степени? (За умножаване на градуси със същите основи е необходимо да се остави основата по същия начин и индикаторите са сгънати.)
3. Как да се раздели степента на степен? (Да се \u200b\u200bразделят степените със същите основи, е необходимо да се остави основата същото, а индикаторите изваждат.)
4. Как да се изгради продукт в степен? (За да се изгради продукт до степен, е необходимо всеки множител до тази степен)
5. Как да се изгради степен в степен? (За да се изгради степен до степен, е необходимо да се остави основанието на същите и умножаващи индикатори)

III. Устно преброяване (Мултимедия)

IV. Исторически справочник

Всички задачи от Папирус Ахмес, който се записва около 1650 г. пр. Хр. д. Свързани с практиката на строителство, поставянето на парцели и др. Задачите са групирани по теми. Предимството е задачата за намиране на площта на триъгълника, четири тригери и кръг, различни дейности с цели числа и фракции, пропорционално разделение, намиране на взаимоотношения, има и изграждане на различни степени, решаване на уравнения на първата и втора степен с едно неизвестно.

Няма обяснение или доказателства. Желаният резултат или се дава пряк или кратък алгоритъм за неговото изчисление. Този метод на представяне, типични за научните страни на изток, предполага, че математиката е разработена от обобщения и предположения, които не образуват никаква обща теория. Въпреки това, в Папирус има редица доказателства, че египетските математици знаеха как да извличат корените и повишават степента, решават уравнения и дори притежаваха атаките на алгебра.

V. Работа на борда

Намерете стойността на изразяването на рационален начин:

Изчислете стойността на израза:



VI. Fizkultminutka.

6. за очите
7. за врата
8. за ръце
9. за факла
10. за крака

VII. Решаване на задачи (с дисплей на интерактивна платка)

Е коренът на уравнението на положително число?

xn - i1abbnckbcl9fb.xn - p1ai

Формулите на градуси и корени.

Формули степени Използва се в процеса на съкращение и опростяване на сложните изрази, при решаването на уравнения и неравенства.

Номер ° С. е н.Малка степен а. кога:



Операции с градуси.

1. Умножаване на степента със същата основа, техните индикатори фолд:

2. В разделителните степени със същата основа техните показатели се приспадат:



3. Степента на работа на 2 или повече мултипликатори е равна на продукта на тези фактори:

(ABC ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. степента на фракция е равна на съотношението на степените на разделението и разделителя:

5. Оберат степента до степента, индикаторите на градуси се удължават:

Всяка по-горе формула е вярна в посоки отляво надясно и обратно.

Коренни операции.

1. Коренът на работата на няколко фактора е равен на продукта на корените на тези фактори:

2. Корен от връзката равно на отношението Разделете и разделите корени:



3. Когато коренът е издигнат, той е доста вграден в тази степен.



4. Ако увеличите степента на корен н. веднъж и в същото време изграждане н.Степента на фуражния номер, стойността на корена няма да се промени:



5. Ако намалите степента на root н. веднъж и в същото време извадете корена н.Степен от подцелен номер, стойността на корена няма да промени:



Степента на определен брой с неоспорим (цяло) индикатор се определя като единица, разделена на степента на същия номер с индикатор, равен на абсолютната стойност на неизискващия индикатор:



Формула м. : n \u003d a m - n може да се използва не само когато м. > н. но също м. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

Към формула м. : n \u003d a m - n станаха справедливи като m \u003d n.Необходимо е наличието на нулева степен.

Степента на произволен брой, който не е равен на нула, с нулевия индикатор е равен на такъв.

За изграждане на валиден номер но в степен m / n.е необходимо да се извлече коренът н.Степен от м.степен на този брой но:



Формули степени.

6. а. — н. = - разделение на градуси;

7. - разделение на градуси;

8. a 1 / n \u003d ;

Степен на действие на действие с градуси

1. Степента на работа на две или няколко утроба е равна на работата на степените на тези фактори (със същия показател):

(ABC ...) n \u003d a n b n c n ...

Пример 1. (7 2 10) 2 \u003d 7 2 2 2 10 2 \u003d 49 4 100 \u003d 19600. Пример 2. (x 2 -А2) 3 \u003d [(X + A) (X - A)] 3 \u003d ( X + A) 3 (x - а) 3

Почти важна обратна трансформация:

a n b n c n ... \u003d (abc ...) n

тези. Продуктът от същите степени на няколко количества е равен на същата степен на продукта на тези стойности.

Пример 3. Пример 4. (A + B) 2 (A 2 - AB + B 2) 2 \u003d [(A + B) (А2 - AB + B 2)] 2 \u003d (A 3 + B 3) 2

2. Степента на частна (фрактура) е равна на частното от разделянето на същата степен, разделена на същата степен на разделителя:

Пример 5. Пример 6.

Обратна трансформация :. Пример 7. . Пример 8. .

3. Когато умножаващи степени със същите основи, степените са сгънати:

Пример 9.2 2 2 5 \u003d 2 2 + 5 \u003d 2 7 \u003d 128. Пример 10. (А - 4С + х) 2 (А - 4С + х) 3 \u003d (А - 4С + х) 5.

4. при разделяне на степени със същите основи, степента на разделител се приспада от степента на разделение

Пример 11. 12 5:12 3 \u003d 12 5-3 \u003d 12 2 \u003d 144. Пример 12. (x-y) 3: (x - y) 2 \u003d x-y.

5. При изграждане на степента до степен, индикаторите на степента са променливи:

Пример 13. (2 3) 2 \u003d 2 6 \u003d 64. Пример 14.

www.maths.yfa1.ru.

Степени и корени

Операции с градуси и корени. Степен с отрицателен ,

нула и дроб индикатор. За изрази, които нямат смисъл.

Операции с градуси.

1. Когато умножават степени със същата база, техните индикатори фолд:

м. · n \u003d m + n.

2. при разделяне на степените със същата основа, техните показатели премахване .



3. Степента на работа на два или няколко зрели е равна на работата на степените на тези фактори.

4. Степента на връзка (фрактура) е равна на съотношението на градуси на разделението (числител) и разделителя (знаменател):

(a / B.) n \u003d n / b n.

5. При издирване на степен до степен техните показатели се умножават:

Всички горепосочени формули се четат и се извършват в двете посоки от ляво на дясно и обратно.

PRI Mers. (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² · 3 ² ² 5 ² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4 .

Коренни операции. Във всички следващи формули, символът означава аритметичен корен (Положително изражение).

1. Коренът на работата на няколко утроби е равен на продукта на корените на тези фактори:

2. Коренът от връзката е равен на отношението на корените на разделението и разделителя:



3. Когато коренът е издигнат, е достатъчно да се изгради тази степен предмет:



4. Ако увеличите степента на корен в m пъти и в същото време изграждане на номер на фураж в m степен, короната няма да се промени:



5. Ако намалите степента на корен в m пъти и в същото време извадете корена на m степента от номера на захранването, стойността на короната няма да се промени:




Разширяване на концепцията за степен. Досега сме смятали степени само с естествен индикатор; Но действията с степени и корените също могат да доведат до отрицателен, нула и фракция Показатели. Всички тези показатели на градуси изискват допълнителна дефиниция.

Степен с отрицателен индикатор. Степента на определен брой с отрицателен (цяло) индикатор се определя като единица, разделена на степента на същия номер с индикатор, равен на абсолютния Veliver на отрицателния индикатор:



T Heathe формула м. : н. = m - n може да се използва не само когато м. повече от н. но също м. по-малко от н. .

PRI Mers. а. 4: а. 7 \u003d А. 4 — 7 \u003d А. — 3 .

Ако искаме формулата м. : н. = м. — н. Беше честно m \u003d n. Трябва да определим нулева степен.

Степента с нулевия индикатор. Степента на всеки ненулев номер с нула е равен на 1.

Pri mers. 2 0 \u003d 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степен с фракционен индикатор. За да се изгради валиден номер А в степен М / п, е необходимо да се извлече коренът на N-степента от M-степен на този номер:



За изрази, които нямат смисъл. Има няколко такива изрази.

където а. ≠ 0 , не съществува.

Всъщност, ако приемем това х. - някакъв брой, след това в съответствие с определението за операцията по разделение, ние имаме: а. = 0· х.. а. \u003d 0, което противоречи на състоянието: а. ≠ 0

— всеки номер.

Всъщност, ако приемем, че този израз е равен на някакъв брой х.Според дефиницията на операцията по разделение имаме: 0 \u003d 0 · х. . Но това равенство се осъществява, когато всеки номер X.Както е необходимо да се докаже.

0 0 — всеки номер.



Разгледайте три основни случая:

1) х. = 0 – Тази стойност не отговаря на това уравнение.

2) за х. \u003e 0 получаваме: x / X. \u003d 1, т.е. 1 \u003d 1, откъдето следва

какво х. - всеки номер; Но като се има предвид това

нашия случай х. \u003e 0, отговор е х. > 0 ;

Свойства на степента

Напомняме ви, че в този урок разбирате свойства на градуси с естествени индикатори и нула. Степените с рационални показатели и техните свойства ще бъдат разгледани в уроци за 8 класа.

Съотношението с естествен индикатор има няколко важни свойства, които ви позволяват да опростявате изчисленията в примери с градуси.

Номер 1.
Работата на степените

Когато се умножават степени със същите основи, основата остава непроменена и индикаторите на градуси са сгънати.

m · n \u003d a m + n, където "a" е всеки номер, и "m", "n" - всички естествени числа.

Това свойство на градуси също действа върху работата на три и повече градуса.

• Опростяване на израза.
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 \u003d b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15
• Представляват под формата на степен.
  6 15 · 36 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 17
• Представляват под формата на степен.
  (0.8) 3 · (0.8) 12 \u003d (0.8) 3 + 12 \u003d (0.8) 15

Имайте предвид, че в определеното свойство е само за умножаване на степените със същите основи. . Тя не се прилага за тяхното допълнение.

Невъзможно е да се замени количеството (3 3 + 3 2) с 3 5. Това е разбираемо, ако
изчислете (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36, 3 5 \u003d 243

Номер на имота 2.
Частна степен

Когато се разделят степените със същите бази, базата остава непроменена и от индикатора на разделянето приспада степента на разделянето.

• Пишете частно под формата на степен
  (2б) 5: (2б) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
• Изчисли.

11 3 - 2 · 4 2 - 1 \u003d 11 · 4 \u003d 44
Пример. Решаване на уравнение. Ние използваме собственост на частни степени.
3 8: t \u003d 3 4

Отговор: t \u003d 3 4 \u003d 81

Използване на имоти № 1 и № 2 можете лесно да опростявате изразите и да направите изчисления.

Пример. Опростяване на израза.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5M + 6 + m + 2: 4 4M + 3 \u003d 4 6M + 8 - 4M - 3 \u003d 4 2m + 5

Пример. Намерете стойността на израза, използвайки свойствата на степента.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Моля, обърнете внимание, че в имота 2 това е само за разделителните степени със същите основи.

Невъзможно е да се замени разликата (4 3 -4 2) с 4 1. Това е разбираемо, ако изчислите (4 3 -4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48, 4 1 \u003d 4

Номер на имота 3.
Ерект

Когато издига степента до степен, основата остава непроменена и индикаторите на градуси са променливи.

(a n) m \u003d a n · m, където "a" е всеки номер и "m", "n" - всички естествени числа.

Пример.
(А 4) 6 \u003d А 4 · 6 \u003d А 24

Пример. Представя 3 20 под формата на степен с база от 3 2.

От областта на упражненията до степен Известно е, че когато степента е повдигната, индикаторите са променливи, това означава:

Свойства 4.
Степен на работа

При издирване на степента в степен на работа, всеки множител е издигнат в тази степен и резултатите се умножават.

(a · b) n \u003d a n · b n, където "а", "б" - всякакви рационални числа; "N" - всяко естествено число.

• Пример 1.
  (6 · А2 · В3 · ° С) 2 \u003d 6 2 · А2 · 2 · B 3 · 2 · C 1 · 2 \u003d 36 A 4 · B 6 · C 2
• Пример 2.
  (-X2 · Y) 6 \u003d ((-1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) \u003d x 12 · y 6

Моля, обърнете внимание, че номер 4, както и други свойства на градуси, се прилагат в обратен ред.

(a n · b n) \u003d (a · b) n

Това е, за да се умножи степените със същите показатели, е възможно да се умножат основите и индикаторът на степента е непроменен.

• Пример. Изчисли.
  2 4 · 5 4 \u003d (2,5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10 000
• Пример. Изчисли.
  0.5 16 · 2 16 \u003d (0,5 · 2) 16 \u003d 1

В по-сложни примери може да има случаи, когато умножението и разделянето трябва да се извършват над градуса с различни основи и различни индикатори. В този случай препоръчваме да действаме както следва.

Например, 4 5,3 2 \u003d 4 3 · 4 2,3 2 \u003d 4 3 · (4,3) 2 \u003d 64 · 12 2 \u003d 64 · 144 \u003d 9216

Пример за десетична фракция.

4 21 · (-0.25) 20 \u003d 4 · 4 20 · (-0.25) 20 \u003d 4 · (4 · (-0.25)) 20 \u003d 4 · (-1) 20 \u003d 4 · 1 \u003d четири

Свойства 5.
Частна степен (фракция)

За да поканите степента на лично, можете да изградите отделен и разделител в тази степен и първият резултат е разделен на втория.

(A: b) n \u003d a n: b n, където "a", "b" - всякакви рационални числа, b ≠ 0, n - всяко естествено число.

• Пример. Представят израз под формата на частни степени.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Припомняме ви, че частният може да бъде представен като фракция. Ето защо, по темата, ще се съсредоточим повече по-подробно на следващата страница.