So berechnen Sie das arithmetische Mittel. So berechnen Sie den Durchschnitt

So berechnen Sie den Durchschnitt von Zahlen in Excel

Finden Sie das Mittel arithmetische Zahlen in Excel können Sie die Funktion verwenden.

Syntax MITTELWERT

= MITTELWERT (Zahl1, [Zahl2], ...) - Russische Version

Argumente MITTELWERT

• Nummer 1- die erste Zahl oder der erste Zahlenbereich zur Berechnung des arithmetischen Mittels;
• Nummer 2(Optional) - die zweite Zahl oder der zweite Zahlenbereich zur Berechnung des arithmetischen Mittels. Die maximale Anzahl von Funktionsargumenten beträgt 255.

Gehen Sie zur Berechnung wie folgt vor:

• Wählen Sie eine beliebige Zelle aus;
• Schreibe die Formel hinein = DURCHSCHNITT (
• Wählen Sie den Zellbereich aus, für den Sie die Berechnung durchführen möchten;
• Drücken Sie die Eingabetaste auf Ihrer Tastatur

Die Funktion berechnet den Durchschnittswert im angegebenen Bereich zwischen den Zellen, die Zahlen enthalten.

So finden Sie den Durchschnitt anhand des Textes

Befinden sich Leerzeilen oder Text im Datenbereich, behandelt die Funktion diese als „Null“. Wenn unter den Daten logische Ausdrücke FALSE oder TRUE, dann nimmt die FALSE-Funktion „Null“ und TRUE als „1“ wahr.

So finden Sie das arithmetische Mittel durch Bedingung

Um den Durchschnitt für eine Bedingung oder ein Kriterium zu berechnen, wird eine Funktion verwendet. Angenommen, wir haben Produktverkaufsdaten:

Unsere Aufgabe ist es, den Durchschnittswert der Stiftverkäufe zu berechnen. Dazu führen wir die folgenden Schritte aus:

• In einer Zelle A13 schreiben Sie den Namen des Produkts "Pens";
• In einer Zelle B13 Wir führen die Formel ein:

= MITTELWERTWENN (A2: A10, A13, B2: B10)

Zellbereich " A2: A10„Gibt die Liste der Produkte an, in denen wir nach dem Wort“ Stifte “ suchen. Streit A13 Dies ist ein Link zu einer Zelle mit dem Text, nach dem wir in der gesamten Produktliste suchen. Zellbereich " B2: B10„Ist ein Sortiment mit Produktverkaufsdaten, unter denen die Funktion „Stifte“ findet und den Durchschnitt berechnet.

In Mathematik und Statistik der Durchschnitt arithmetisch (oder einfach der Durchschnitt) einer Zahlenmenge ist die Summe aller Zahlen dieser Menge geteilt durch ihre Zahl. Das arithmetische Mittel ist eine besonders universelle und häufigste Darstellung des Durchschnitts.

Du wirst brauchen

• Kenntnisse in Mathematik.

Anweisungen

1. Gegeben sei eine Menge von vier Zahlen. Muss entdeckt werden der Durchschnitt Bedeutung dieser Bausatz. Dazu ermitteln wir zunächst die Summe all dieser Zahlen. Diese Zahlen sind möglich 1, 3, 8, 7. Ihre Summe ist gleich S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Die Zahlenmenge sollte aus Zahlen gleichen Vorzeichens bestehen, sonst macht die Berechnung des Mittelwertes Sinn ist verloren.

2. Der Durchschnitt Bedeutung Die Menge der Zahlen ist gleich der Summe der Zahlen S geteilt durch die Anzahl dieser Zahlen. Das heißt, es stellt sich heraus, dass der Durchschnitt Bedeutung gleich: 19/4 = 4,75.

3. Bei einem Set darf auch nicht nur erkannt werden der Durchschnitt Rechnen, aber auch der Durchschnitt geometrisch. Das geometrische Mittel mehrerer regulärer reeller Zahlen ist eine Zahl, die jede dieser Zahlen ersetzen darf, damit sich ihr Produkt nicht ändert. Das geometrische Mittel G wird durch die Formel ermittelt: N-te Wurzel des Produkts einer Menge von Zahlen, wobei N die Anzahl der Zahlen in der Menge ist. Schauen wir uns die gleichen Zahlen an: 1, 3, 8, 7. Finden Sie sie der Durchschnitt geometrisch. Zählen wir dazu das Produkt: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Nun müssen Sie aus der Zahl 168 die Wurzel des 4. Grades ziehen: G = (168) ^ 1/4 = 3,61. Auf diese Weise der Durchschnitt die geometrische Zahlenmenge ist 3,61.

Der Durchschnitt die geometrische Gesamtheit wird seltener verwendet als das arithmetische Mittel, kann jedoch bei der Berechnung des Durchschnittswerts von Indikatoren, die sich im Laufe der Zeit ändern (Gehalt eines einzelnen Mitarbeiters, Dynamik von Leistungsindikatoren usw.), nützlich sein.

Du wirst brauchen

• Engineering-Rechner

Anweisungen

1. Um den geometrischen Mittelwert einer Zahlenreihe zu ermitteln, müssen Sie zunächst alle diese Zahlen multiplizieren. Nehmen wir an, Sie erhalten einen Satz von fünf Indikatoren: 12, 3, 6, 9 und 4. Lassen Sie uns all diese Zahlen multiplizieren: 12x3x6x9x4 = 7776.

2. Nun ist es notwendig, aus der resultierenden Zahl die Wurzel des Grades zu ziehen, der der Anzahl der Elemente der Reihe entspricht. In unserem Fall muss aus der Zahl 7776 die fünfte Wurzel mit extrahiert werden Engineering-Rechner... Die nach dieser Operation erhaltene Zahl ist in dieser Fall Nummer 6 - ist das geometrische Mittel für die anfängliche Zahlengruppe.

3. Wenn Sie keinen Engineering-Rechner zur Hand haben, können Sie mit Unterstützung der SRGEOM-Funktion in Excel oder mit einem der Online-Rechner, die bewusst für die Berechnung von geometrischen Mittelwerten vorbereitet sind, das geometrische Mittel einer Zahlenreihe berechnen.

Beachten Sie!
Wenn Sie das geometrische Mittel jeder Zahl für 2 Zahlen ermitteln müssen, benötigen Sie keinen technischen Taschenrechner: Sie können die Wurzel 2. Grades (Quadratwurzel) jeder Zahl mit dem gewöhnlichsten Taschenrechner extrahieren.

Hilfreicher Rat
Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel wird das geometrische Mittel nicht so stark von großen Abweichungen und Schwankungen zwischen einzelnen Werten im untersuchten Indikatorenset beeinflusst.

Der Durchschnitt Bedeutung ist eine der Kollationen einer Reihe von Zahlen. Stellt eine Zahl dar, die nicht außerhalb des Bereichs liegen darf, der durch die größten und kleinsten Werte in diesem Zahlensatz definiert wird. Der Durchschnitt arithmetische Bedeutung ist eine besonders häufig verwendete Variante von Mittelwerten.

Anweisungen

1. Addiere alle Zahlen in der Menge und dividiere sie durch die Anzahl der Terme, um das arithmetische Mittel zu erhalten. Abhängig von bestimmten Berechnungsbedingungen ist es manchmal einfacher, jede der Zahlen durch die Anzahl der Werte im Set zu dividieren und die Summe zu summieren.

2. Verwenden Sie beispielsweise den Windows-Rechner, wenn die Berechnung des arithmetischen Mittels im Kopf nicht möglich ist. Es ist erlaubt, es mit Unterstützung des Programmstartdialogs zu öffnen. Drücken Sie dazu die "Hotkeys" WIN + R oder klicken Sie auf die Schaltfläche "Start" und wählen Sie im Hauptmenü den Befehl "Ausführen". Geben Sie dann in das Eingabefeld calc ein und drücken Sie die Eingabetaste auf der Tastatur oder klicken Sie auf die Schaltfläche "OK". Das gleiche kann über das Hauptmenü erfolgen - öffnen Sie es, gehen Sie zum Abschnitt "Alle Programme" und zu den Segmenten "Typisch" und wählen Sie die Zeile "Rechner".

3. Geben Sie alle Zahlen des Satzes schrittweise ein, indem Sie die "Plus"-Taste später als alle (außer der letzten) auf der Tastatur drücken oder indem Sie auf die entsprechende Schaltfläche in der Rechneroberfläche klicken. Die Eingabe von Zahlen ist sowohl über die Tastatur als auch durch Anklicken der entsprechenden Schaltflächen auf der Benutzeroberfläche möglich.

4. Drücken Sie die Schrägstrichtaste (Schrägstrich) oder klicken Sie auf dieses Symbol in der Rechneroberfläche, nachdem Sie den letzten Wert des Satzes eingegeben haben, und geben Sie die Anzahl der Zahlen in der Folge ein. Drücken Sie dann das Gleichheitszeichen und der Rechner berechnet und zeigt das arithmetische Mittel an.

5. Es ist erlaubt, den Tabellenkalkulationseditor von Microsoft Excel für den gleichen Zweck zu verwenden. Starten Sie in diesem Fall den Editor und geben Sie alle Werte der Zahlenfolge in die angrenzenden Zellen ein. Wenn Sie nach Eingabe der gesamten Zahl die Eingabetaste oder die Pfeiltaste nach unten oder rechts drücken, verschiebt der Editor den Eingabefokus auf die benachbarte Zelle selbst.

6. Wählen Sie alle eingegebenen Werte aus und in der unteren linken Ecke des Editorfensters (in der Statusleiste) sehen Sie den arithmetischen Mittelwert für die ausgewählten Zellen.

7. Klicken Sie auf die Zelle neben der zuletzt eingegebenen Zahl, wenn Sie nicht nur das arithmetische Mittel sehen möchten. Erweitern Sie die Klappliste mit dem griechischen Buchstaben Sigma (Σ) in der Befehlsgruppe "Bearbeiten" auf der Registerkarte "Main". Wählen Sie die Zeile „ Der Durchschnitt"Und der Editor fügt die notwendige Formel ein, um den Durchschnitt zu berechnen arithmetischer Wert in die markierte Zelle. Drücken Sie die Eingabetaste und der Wert wird berechnet.

Das arithmetische Mittel ist eines der Maße für die zentrale Neigung, das in Mathematik und statistischen Berechnungen weit verbreitet ist. Es ist sehr einfach, das arithmetische Mittel für mehrere Werte zu finden, aber jede Aufgabe hat ihre eigenen Nuancen, die Sie primitiv kennen müssen, um korrekte Berechnungen durchzuführen.

Was ist das arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel bestimmt den Durchschnittswert für jede anfängliche Zahlenreihe. Mit anderen Worten, aus einer bestimmten Zahlenmenge wird ein für alle Elemente universeller Wert ausgewählt, dessen mathematischer Vergleich mit allen Elementen annähernd gleich ist. Das arithmetische Mittel wird vorzugsweise bei der Erstellung von Finanz- und Statistikberichten oder zur Berechnung der quantitativen Ergebnisse ähnlicher Fähigkeiten verwendet.

So finden Sie das arithmetische Mittel

Das Ermitteln des arithmetischen Mittels für ein Array von Zahlen sollte mit der Bestimmung der algebraischen Summe dieser Werte beginnen. Wenn das Array beispielsweise die Zahlen 23, 43, 10, 74 und 34 enthält, ist ihre algebraische Summe 184. Beim Schreiben wird das arithmetische Mittel durch den Buchstaben? (mu) oder x (x mit einem Balken). Außerdem sollte die algebraische Summe durch die Anzahl der Zahlen im Array geteilt werden. Im betrachteten Beispiel gab es fünf Zahlen, sodass das arithmetische Mittel 184/5 und 36,8 beträgt.

Funktionen beim Arbeiten mit negativen Zahlen

Wenn das Array negative Zahlen enthält, wird das arithmetische Mittel mit einem ähnlichen Algorithmus ermittelt. Der Unterschied besteht nur beim Rechnen in der Programmierumgebung oder wenn zusätzliche Daten in der Task enthalten sind. In diesen Fällen reduziert sich die Ermittlung des arithmetischen Mittels von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen auf drei Schritte: 1. Das allgemeine arithmetische Mittel auf übliche Weise ermitteln; 2. Ermitteln des arithmetischen Mittels negativer Zahlen 3. Berechnung des arithmetischen Mittels positiver Zahlen Die Ergebnisse jeder Aktion werden durch Kommas getrennt geschrieben.

Natürliche und dezimale Brüche

Wenn das Zahlenarray dargestellt wird Dezimalbrüche, die Lösung erfolgt nach der Methode der Berechnung des arithmetischen Mittels ganzer Zahlen, aber die Summe wird entsprechend den Anforderungen des Problems an die Genauigkeit des Ergebnisses reduziert.Bei der Arbeit mit natürlichen Brüchen sollten diese auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden , die mit der Anzahl der Zahlen im Array multipliziert wird. Der Zähler des Ergebnisses ist die Summe der gegebenen Zähler der anfänglichen Bruchelemente.

Das geometrische Mittel der Zahlen hängt nicht nur vom absoluten Wert der Zahlen selbst ab, sondern auch von ihrer Zahl. Es ist unmöglich, das geometrische Mittel und das arithmetische Mittel von Zahlen zu verwechseln, da sie nach unterschiedlichen Methoden ermittelt werden. In diesem Fall ist das geometrische Mittel ausnahmslos kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel.

Du wirst brauchen

• Rechner für Ingenieurwissenschaften.

Anweisungen

1. Bedenken Sie, dass im allgemeinen Fall das geometrische Mittel der Zahlen durch Multiplikation dieser Zahlen und das Ziehen der Wurzel der Potenz, die der Zahl der Zahlen entspricht, gefunden wird. Wenn zum Beispiel das geometrische Mittel von fünf Zahlen ermittelt werden muss, muss die fünfte Wurzel aus dem Produkt gezogen werden.

2. Verwenden Sie die Grundregel, um das geometrische Mittel von 2 Zahlen zu finden. Finden Sie ihr Produkt und ziehen Sie daraus die Quadratwurzel aus der Tatsache, dass die Zahl zwei ist, was dem Grad der Wurzel entspricht. Um beispielsweise den geometrischen Mittelwert der Zahlen 16 und 4 zu ermitteln, finden Sie ihr Produkt 16 4 = 64. Ziehen Sie aus der resultierenden Zahl die Quadratwurzel?64 = 8. Dies wird der gewünschte Wert sein. Bitte beachten Sie, dass das arithmetische Mittel dieser 2 Zahlen größer und gleich 10 ist. Wenn die Wurzel nicht vollständig gezogen wird, runden Sie die Summe auf die erforderliche Ordnung.

3. Um den geometrischen Mittelwert von mehr als 2 Zahlen zu ermitteln, verwenden Sie auch die Grundregel. Finden Sie dazu das Produkt aller Zahlen, für die Sie den geometrischen Mittelwert ermitteln müssen. Ziehen Sie aus dem resultierenden Produkt die Wurzel der Potenz gleich der Anzahl der Zahlen. Um zum Beispiel das geometrische Mittel der Zahlen 2, 4 und 64 zu finden, suchen Sie ihr Produkt. 2 4 64 = 512. Aus der Tatsache, dass es notwendig ist, die Summe des geometrischen Mittels von 3 Zahlen zu finden, ziehen Sie die Wurzel des dritten Grades aus dem Produkt. Es ist schwierig, dies mündlich zu tun, also verwenden Sie einen technischen Rechner. Dazu gibt es eine Schaltfläche „x ^ y“. Wählen Sie die Nummer 512, drücken Sie die Taste "x ^ y", dann wählen Sie die Nummer 3 und drücken Sie die Taste "1 / x", um den Wert 1/3 zu finden, drücken Sie die Taste "=". Wir erhalten das Ergebnis, wenn wir 512 mit 1/3 potenzieren, was der Wurzel der dritten Potenz entspricht. Holen Sie sich 512 ^ 1/3 = 8. Dies ist das geometrische Mittel der Zahlen 2,4 und 64.

4. Mit Unterstützung eines Engineering-Rechners ist es möglich, den geometrischen Mittelwert auf eine andere Weise zu ermitteln. Suchen Sie die Protokollschaltfläche auf der Tastatur. Logarithmieren Sie später alle Zahlen, finden Sie ihre Summe und dividieren Sie durch die Anzahl der Zahlen. Bilden Sie den Antilogarithmus aus der resultierenden Zahl. Dies ist das geometrische Mittel der Zahlen. Um beispielsweise das geometrische Mittel der gleichen Zahlen 2, 4 und 64 zu ermitteln, führen Sie eine Reihe von Operationen auf dem Taschenrechner durch. Wählen Sie die Nummer 2, drücken Sie dann die Log-Taste, drücken Sie die „+“-Taste, wählen Sie die Nummer 4 und drücken Sie erneut log und „+“, wählen Sie 64, drücken Sie log und „=“. Das Ergebnis ist eine Zahl gleich der Summe dezimale Logarithmen Zahlen 2, 4 und 64. Teilen Sie die resultierende Zahl durch 3, da dies die Anzahl der Zahlen ist, mit denen das geometrische Mittel gesucht wird. Nehmen Sie aus der Summe den Antilogarithmus, indem Sie den Fallknopf umschalten, und verwenden Sie den gleichen Protokollschlüssel. Das Endergebnis ist die Zahl 8, die das gewünschte geometrische Mittel ist.

Beachten Sie!
Der Durchschnittswert darf nicht größer als die größte Zahl in der Menge und nicht kleiner als die kleinste sein.

Hilfreicher Rat
In der mathematischen Statistik wird der Durchschnittswert als mathematischer Erwartungswert bezeichnet.

Das arithmetische Mittel ist ein statistischer Indikator, der den Durchschnittswert eines bestimmten Datenarrays zeigt. Ein solcher Indikator wird als Bruch berechnet, in dessen Zähler die Summe aller Werte des Arrays und im Nenner ihre Zahl steht. Das arithmetische Mittel ist ein wichtiger Koeffizient, der bei Haushaltsberechnungen verwendet wird.

Die Bedeutung des Koeffizienten

Das arithmetische Mittel ist ein elementarer Indikator, um Daten zu vergleichen und einen akzeptablen Wert zu berechnen. Beispielsweise verkaufen verschiedene Geschäfte eine Dose Bier eines bestimmten Herstellers. Aber in einem Geschäft kostet es 67 Rubel, in einem anderen - 70 Rubel, im dritten - 65 Rubel und im letzten - 62 Rubel. Ein ziemlich großer Preisvorlauf, sodass der Käufer an den durchschnittlichen Kosten der Dose interessiert ist, damit er beim Kauf eines Produkts seine Kosten vergleichen kann. Im Durchschnitt hat eine Dose Bier in der Stadt einen Preis:

Durchschnittspreis = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 Rubel.

Wenn Sie den Durchschnittspreis kennen, können Sie leicht feststellen, wo der Kauf eines Produkts rentabel ist und wo Sie zu viel bezahlen müssen.

Das arithmetische Mittel wird in statistischen Berechnungen ständig verwendet, wenn ein homogener Datensatz analysiert wird. Im obigen Beispiel ist dies der Preis für eine Dose einer Biermarke. Wir können jedoch den Preis von Bier verschiedener Hersteller oder die Preise von Bier und Limonade nicht vergleichen, da in diesem Fall die Wertespanne größer ist, der Durchschnittspreis verschwommen und unzuverlässig ist, und die eigentliche Bedeutung der Berechnungen wird zur Karikatur „Durchschnittstemperatur im Krankenhaus“ verzerrt. Um heterogene Datensätze zu berechnen, wird der arithmetisch gewichtete Durchschnitt verwendet, wenn jeder Wert einen eigenen Gewichtungsfaktor erhält.

Berechnung des arithmetischen Mittels

Die Berechnungsformel ist denkbar einfach:

P = (a1 + a2 + ... an) / n,

wobei an der Wert der Menge ist, n die Gesamtzahl der Werte.

Wofür kann dieser Indikator verwendet werden? Die erste und offensichtlichste Anwendung ist die Statistik. Fast jede statistische Studie verwendet ein arithmetisches Mittel. Dies kann das durchschnittliche Heiratsalter in Russland, die durchschnittliche Note eines Schülers in einem Fach oder die durchschnittlichen Ausgaben für Lebensmittel pro Tag sein. Wie oben besprochen, kann die Berechnung von Durchschnittswerten ohne Gewichte zu seltsamen oder absurden Werten führen.

Zum Beispiel der Präsident Russische Föderation gab eine Erklärung ab, dass das durchschnittliche Gehalt eines Russen laut Statistik 27.000 Rubel beträgt. Für die meisten Einwohner Russlands erschien dieses Gehalt absurd. Es ist nicht verwunderlich, wenn wir bei der Berechnung einerseits die Einkünfte von Oligarchen, Leitern von Industrieunternehmen, Großbankiers und andererseits die Gehälter von Lehrern, Reinigungskräften und Verkäufern berücksichtigen. Sogar die durchschnittlichen Gehälter in einer Fachrichtung, zum Beispiel einem Buchhalter, werden in Moskau, Kostroma und Jekaterinburg gravierende Unterschiede aufweisen.

So berechnen Sie Durchschnittswerte für unterschiedliche Daten

Bei der Gehaltsabrechnung ist es wichtig, die Gewichtung jedes Wertes zu berücksichtigen. Dies bedeutet, dass die Gehälter von Oligarchen und Bankiers ein Gewicht von beispielsweise 0,00001 und die Gehälter von Verkäufern - 0,12 erhalten würden. Dies sind Zahlen von der Decke, aber sie veranschaulichen grob die Prävalenz von Oligarchen und Verkäufern in der russischen Gesellschaft.

Um den Durchschnitt oder den Durchschnittswert in einem heterogenen Datensatz zu berechnen, ist es daher erforderlich, den arithmetisch gewichteten Durchschnitt zu verwenden. Andernfalls erhalten Sie in Russland ein Durchschnittsgehalt von 27.000 Rubel. Wenn Sie Ihre durchschnittliche Punktzahl in Mathematik oder die durchschnittliche Anzahl der vom ausgewählten Eishockeyspieler erzielten Tore wissen möchten, ist der Rechner für den arithmetischen Mittelwert genau das Richtige für Sie.

Unser Programm ist ein einfacher und bequemer Rechner zur Berechnung des arithmetischen Mittels. Um Berechnungen durchzuführen, müssen Sie nur die Parameterwerte eingeben.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an

Berechnung der durchschnittlichen Punktzahl

Viele Lehrer verwenden die Methode des arithmetischen Mittels, um die Jahresnote für ein Fach zu bestimmen. Nehmen wir an, ein Kind bekommt die folgenden mathematischen Viertelnoten: 3, 3, 5, 4. Was ist die Jahresnote des Lehrers? Lassen Sie uns einen Taschenrechner verwenden und das arithmetische Mittel berechnen. Wählen Sie zunächst die entsprechende Anzahl von Feldern aus und geben Sie die Score-Werte in die angezeigten Zellen ein:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Der Lehrer rundet den Wert zugunsten des Schülers, und der Schüler erhält in einem Jahr solide vier.

Berechnung der gegessenen Bonbons

Lassen Sie uns einige der Absurditäten des arithmetischen Mittels veranschaulichen. Stellen wir uns vor, Masha und Vova hätten 10 Süßigkeiten. Mascha aß 8 Bonbons und Vova - nur 2. Wie viele Bonbons hat jedes Kind im Durchschnitt gegessen? Mit einem Taschenrechner lässt sich leicht berechnen, dass Kinder im Durchschnitt 5 Bonbons gegessen haben, was völlig falsch ist und gesunder Menschenverstand... Dieses Beispiel zeigt, dass es wichtig ist, das arithmetische Mittel für aussagekräftige Datensätze zu berechnen.

Abschluss

Die Berechnung des arithmetischen Mittels ist in vielen wissenschaftlichen Bereichen weit verbreitet. Dieser Indikator ist nicht nur in statistischen Berechnungen beliebt, sondern auch in Physik, Mechanik, Wirtschaft, Medizin oder Finanzen. Verwenden Sie unsere Rechner, um Probleme mit dem arithmetischen Mittelwert zu lösen.

Das Thema arithmetisches Mittel und geometrisches Mittel ist im Mathematikprogramm der Klassenstufen 6-7 enthalten. Da der Absatz recht einfach zu verstehen ist, ist er schnell bestanden und fertig Schuljahr Schulkinder vergessen ihn. Aber es sind Kenntnisse in grundlegender Statistik erforderlich, um die Prüfung bestanden sowie für internationale SAT-Prüfungen. Und für Alltagsleben entwickeltes analytisches Denken schadet nie.

So berechnen Sie das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel von Zahlen

Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 11, 4 und 3. Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Zahlen geteilt durch die Anzahl der gegebenen Zahlen. Das heißt, im Fall der Zahlen 11, 4, 3 lautet die Antwort 6. Wie erhält man 6?

Lösung: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Der Nenner muss eine Zahl enthalten, die der Anzahl der Zahlen entspricht, deren Mittelwert ermittelt werden muss. Die Summe wird durch 3 geteilt, da es drei Terme gibt.

Jetzt müssen wir uns mit dem geometrischen Mittel befassen. Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 4, 2 und 8.

Das geometrische Mittel der Zahlen ist das Produkt aller gegebenen Zahlen unter der Wurzel mit einer Potenz gleich der Anzahl dieser Zahlen, dh bei den Zahlen 4, 2 und 8 lautet die Antwort 4. So ist es passiert:

Lösung: ∛ (4 × 2 × 8) = 4

In beiden Fällen wurden ganze Antworten erhalten, da für das Beispiel Sondernummern verwendet wurden. Dies ist nicht immer der Fall. In den meisten Fällen muss die Antwort gerundet oder unter der Wurzel belassen werden. Für die Zahlen 11, 7 und 20 beträgt das arithmetische Mittel beispielsweise ≈ 12,67 und das geometrische Mittel ist ∛ 1540. Und für die Zahlen 6 und 5 lauten die Antworten 5,5 bzw. √30.

Könnte es passieren, dass das arithmetische Mittel gleich dem geometrischen Mittel wird?

Natürlich kann es. Aber nur in zwei Fällen. Wenn es eine Reihe von Zahlen gibt, die entweder nur aus Einsen oder Nullen besteht. Bemerkenswert ist auch, dass die Antwort nicht von ihrer Anzahl abhängt.

Beweis mit Einsen: (1 + 1 + 1) / 3 = 3/3 = 1 (arithmetisches Mittel).

∛ (1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrisches Mittel).

Beweis mit Nullen: (0 + 0) / 2 = 0 (arithmetisches Mittel).

√ (0 × 0) = 0 (geometrisches Mittel).

Es gibt keine andere Möglichkeit und kann nicht sein.

Thema 5. Durchschnitte als statistische Indikatoren

Durchschnittliches Konzept. Die Reichweite von Durchschnittswerten in der statistischen Forschung

Durchschnittswerte werden im Stadium der Verarbeitung und Verallgemeinerung der erhaltenen primären statistischen Daten verwendet. Die Notwendigkeit, die Durchschnittswerte zu bestimmen, hängt damit zusammen, dass für verschiedene Einheiten der untersuchten Populationen die einzelnen Werte desselben Merkmals in der Regel nicht gleich sind.

Durchschnittliche Größe wird als Indikator bezeichnet, der den verallgemeinerten Wert eines Merkmals oder einer Gruppe von Merkmalen in der untersuchten Population charakterisiert.

Wird ein Aggregat mit qualitativ homogenen Eigenschaften untersucht, so erscheint der Mittelwert hier als typischer Durchschnitt... Beispielsweise wird für Arbeitnehmergruppen einer bestimmten Branche mit einem festen Einkommensniveau eine typische durchschnittliche Ausgabe für Grundbedürfnisse ermittelt, d.h. der typische Durchschnitt fasst die qualitativ homogenen Werte des Attributs in einer bestimmten Bevölkerung zusammen, das ist der Anteil der Ausgaben für Arbeitnehmer in dieser Gruppe für lebenswichtige Güter.

Bei der Untersuchung einer Population mit qualitativ heterogenen Merkmalen kann die Atypizität der Durchschnittsindikatoren in den Vordergrund treten. Dies sind zum Beispiel die durchschnittlichen Indikatoren des produzierten Nationaleinkommens pro Kopf (verschiedene Altersgruppen), die durchschnittlichen Indikatoren der Produktivität der Getreidekulturen in ganz Russland (Regionen verschiedener Klimazonen und verschiedene Getreidekulturen), die durchschnittliche Geburtenrate von die Bevölkerung in allen Regionen des Landes, die Durchschnittstemperatur für bestimmten Zeitraum usw. Hier fassen die Mittelwerte die qualitativ heterogenen Werte von Merkmalen oder systemischen räumlichen Aggregaten (internationale Gemeinschaft, Kontinent, Bundesland, Region, Region etc.) oder zeitlich ausgedehnten dynamischen Aggregaten (Jahrhundert, Dekade, Jahr, Jahreszeit etc.) ... Solche Mittelwerte heißen Systemdurchschnitte.

Somit besteht die Bedeutung der Mittelwerte in ihrer verallgemeinernden Funktion. Der Durchschnittswert ersetzt eine große Anzahl einzelner Werte eines Merkmals und zeigt gemeinsame Eigenschaften, die allen Bevölkerungseinheiten innewohnen. Dies wiederum ermöglicht es, zufällige Ursachen zu vermeiden und allgemeine Muster aufgrund gemeinsamer Ursachen zu erkennen.

Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung

Auf der Stufe der statistischen Verarbeitung können verschiedene Forschungsaufgaben gestellt werden, für deren Lösung der geeignete Durchschnitt ausgewählt werden muss. In diesem Fall muss man sich an der folgenden Regel orientieren: Die Werte, die Zähler und Nenner des Durchschnitts darstellen, müssen logisch zusammenhängen.

Leistungsmittelwerte;

strukturelle Durchschnitte.

Lassen Sie uns die folgenden Konventionen einführen:

Die Werte, für die der Durchschnitt berechnet wird;

Durchschnitt, wobei die obige Linie anzeigt, dass eine Mittelung der einzelnen Werte erfolgt;

Häufigkeit (Wiederholbarkeit einzelner Werte eines Merkmals).

Verschiedene Mittelwerte werden abgeleitet von allgemeine Formel Potenzgesetz bedeuten:

(5.1)

für k = 1 - arithmetisches Mittel; k = -1 - durchschnittliche Harmonische; k = 0 - geometrisches Mittel; k = -2 - quadratischer Mittelwert.

Durchschnittswerte sind einfach und gewichtet. Gewichtete Durchschnitte Sie nennen die Werte, die berücksichtigen, dass einige Varianten der Werte des Merkmals unterschiedliche Zahlen haben können, in denen jede Option mit dieser Zahl multipliziert werden muss. Mit anderen Worten, die "Gewichte" sind die Anzahl der Bevölkerungseinheiten in verschiedenen Gruppen, d.h. jede Option wird nach ihrer Häufigkeit "gewichtet". Die Frequenz f heißt statistisches Gewicht oder mittelschwer.

Arithmetisches Mittel- die gebräuchlichste Art von Medium. Es wird verwendet, wenn die Berechnung mit nicht gruppierten statistischen Daten durchgeführt wird, bei denen Sie den durchschnittlichen Term erhalten möchten. Das arithmetische Mittel ist ein solcher Durchschnittswert eines Merkmals, bei dessen Empfang das Gesamtvolumen eines Merkmals im Aggregat unverändert bleibt.

Die Formel für das arithmetische Mittel (einfach) hat die Form

wobei n die Populationsgröße ist.

Als arithmetisches Mittel wird beispielsweise der Durchschnittslohn der Arbeitnehmer eines Unternehmens berechnet:

Die bestimmenden Indikatoren sind hier der Lohn jedes Mitarbeiters und die Anzahl der Mitarbeiter des Unternehmens. Bei der Berechnung des Durchschnitts blieb die Gesamtlöhne gleich, verteilte sich jedoch gleichsam auf alle Arbeiter. Zum Beispiel müssen Sie den Durchschnitt berechnen Löhne Angestellte eines kleinen Unternehmens mit 8 Mitarbeitern:

Bei der Berechnung der Durchschnittswerte können die Einzelwerte des Attributs, das gemittelt wird, wiederholt werden, daher wird der Durchschnittswert nach den gruppierten Daten berechnet. In diesem Fall es kommtüber die Verwendung gewichtetes arithmetisches Mittel die die Form hat

(5.3)

Wir müssen also den durchschnittlichen Aktienkurs einer Aktiengesellschaft am Börsenhandel berechnen. Es ist bekannt, dass Transaktionen innerhalb von 5 Tagen (5 Transaktionen) durchgeführt wurden, die Anzahl der verkauften Aktien zum Verkaufskurs verteilte sich wie folgt:

1 - 800 ac. - 1010 Rubel.

2 - 650 Wechselstrom - 990 Rubel.

3 - 700 ac. - 1015 Rubel.

4 - 550 ac. - 900 Rubel.

5 - 850 ac. - 1150 Rubel.

Das Ausgangsverhältnis zur Bestimmung des durchschnittlichen Aktienkurses ist das Verhältnis Gesamtsumme Transaktionen (OSS) auf die Anzahl der verkauften Aktien (KPA):

= 1010 · 800 + 990 · 650 + 1015 · 700 + 900 · 550 + 1150 · 850 = 3 634 500;

KPA = 800 + 650 + 700 + 550 + 850 = 3550.

In diesem Fall betrug der durchschnittliche Aktienkurs

Es ist notwendig, die Eigenschaften des arithmetischen Mittels zu kennen, was sowohl für seine Verwendung als auch für seine Berechnung sehr wichtig ist. Es gibt drei Haupteigenschaften, die vor allem die weit verbreitete Verwendung des arithmetischen Mittels in statistischen und ökonomischen Berechnungen bestimmt haben.

Die erste Eigenschaft (Null): Die Summe der positiven Abweichungen einzelner Werte eines Merkmals von seinem Mittelwert ist gleich der Summe der negativen Abweichungen. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft, da sie zeigt, dass sich alle Abweichungen (sowohl c + als auch c -) durch zufällige Ursachen gegenseitig aufheben.

Nachweisen:

Die zweite Eigenschaft (Minimum): Die Summe der Quadrate der Abweichungen der Einzelwerte des Attributs vom arithmetischen Mittel ist geringer als von jeder anderen Zahl (a), d. es gibt eine Mindestanzahl.

Nachweisen.

Lassen Sie uns die Summe der Quadrate der Abweichungen von der Variablen a zusammensetzen:

(5.4)

Um das Extremum dieser Funktion zu finden, muss ihre Ableitung nach a mit Null gleichgesetzt werden:

Von hier erhalten wir:

(5.5)

Folglich wird das Extremum der Summe der quadrierten Abweichungen bei erreicht. Dieses Extremum ist ein Minimum, da die Funktion kein Maximum haben kann.

Die dritte Eigenschaft: Das arithmetische Mittel eines konstanten Wertes ist gleich dieser Konstante: at a = const.

Neben diesen drei wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels gibt es die sogenannten Designeigenschaften, die im Zusammenhang mit dem Einsatz elektronischer Rechentechnik nach und nach an Bedeutung verlieren:

wenn der Einzelwert des Attributs jeder Einheit mit einer konstanten Zahl multipliziert oder dividiert wird, erhöht oder verringert sich das arithmetische Mittel um denselben Betrag;

das arithmetische Mittel ändert sich nicht, wenn die Gewichtung (Häufigkeit) jedes Attributwertes durch eine konstante Zahl geteilt wird;

Wenn die einzelnen Werte des Attributs jeder Einheit um den gleichen Betrag verringert oder erhöht werden, wird das arithmetische Mittel um den gleichen Betrag verringert oder erhöht.

Durchschnittliche Harmonische... Dieser Mittelwert wird als inverser arithmetischer Mittelwert bezeichnet, da dieser Wert verwendet wird, wenn k = -1 ist.

Einfache durchschnittliche Harmonische wird verwendet, wenn die Gewichte der Merkmalswerte gleich sind. Seine Formel kann abgeleitet werden aus Grundformel durch Einsetzen von k = -1:

Zum Beispiel müssen wir berechnen Durchschnittsgeschwindigkeit zwei Autos, die den gleichen Weg fuhren, aber mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten: das erste - mit einer Geschwindigkeit von 100 km / h, das zweite - 90 km / h. Mit der Methode des harmonischen Mittels berechnen wir die mittlere Geschwindigkeit:

In der statistischen Praxis wird häufiger harmonisch gewichtet verwendet, dessen Formel die Form . hat

Diese Formel wird in Fällen verwendet, in denen die Gewichte (oder Volumen von Ereignissen) nicht für jedes Attribut gleich sind. Im ursprünglichen Verhältnis zur Berechnung des Mittelwerts ist der Zähler bekannt, der Nenner jedoch unbekannt.