Übertragen Sie den Bediener für die iPerbolische Gleichung. Numerische Verfahren zum Lösen von Gleichungen in Teilderivaten des hyperbolischen Typs (im Beispiel der Übertragungsgleichung)

Betrachten Sie die Cauchy-Aufgabe für die Sichtgleichung

in welcher Übertragungsrate v. Kann funktionieren x. Zur Gleichung (6.1), viele Unterschiedsschemata, die sich im Verfahren zur Annäherung unterscheiden, das Verfahren zur Repräsentation von Derivaten usw. Lassen Sie uns zuerst auf offensichtlichen Differenzschemata aufhören, in denen jede Gleichung des Systems nur eine unbekannte Menge enthält) ", mit der Sie die Werte der Lösung konsistent auf einer neuen temporären Schicht berechnen können.

Es ist bekannt, dass explizite Differenzsysteme die wichtigste Immobilie haben müssen, ist die Stabilität der Fähigkeit des Programms, keine rechnerischen Störungen anzunehmen. Stabilität des Schemas Die erforderliche Anforderung, um die Konvergenz der Differenzlösung zu gewährleisten. Bei einer hyperbolischen Gleichung wird üblicherweise eine Nachhaltigkeit der anfänglichen Daten basierend auf dem Spektrum der Eigenwerte des Übergangsbetreibers in eine neue zeitliche Schicht durchgeführt, basierend auf den für Berechnungen akzeptablen Differenzschemata. Also, symmetrisches Unterschiedsschema

es hat einen sehr starren Stabilitätszustand (t 2 VH) und n; ns für praktischer Algorithmus. Unterschiedegelungen

sind bedingt stabil. Um ihre Stabilität zu gewährleisten, ist es zunächst notwendig, die Erfüllung der Klarheit von Friedrichs - Levi (KFL):

und zweitens die Verwendung von Unterschieden in Richtung des Flusses, d. H. Anwendung des Schemas (6.3) wann V. \u003e 0 und (6.4) wann v 0.

Ein explizites Schema mit Unterschieden zur Fluss. Wenn wir selektiv zwei vorherige Systeme anwenden, nämlich wann v\u003e\u003e 0 Schema (6.3) und wann v.

wird der Geschwindigkeitsrichtung gleichgültig und stabil vorgesehen sein v / h ^ 1. Es ist nicht schwer zu bemerken, dass der Einwegunterschied in diesem Schema auf den Bach ergreift wird (sie sagen, dass das Schema eine Eigenschaft hat mpanenopmuenoemu). Schemas) "Eine solche Art rief an anti-Beweis oder schema mit Unterschieden in Richtung des Flusses.

Im Falle einer Gleichung mit einem ständigen Wert des Problems des Übertragens von Problemen mit der Gestaltung des gegenüberliegenden Differenzschemas gibt es keine. Die entsprechende Übertragungsrate der Übertragungsrate wird ausgewählt, die in allen Knoten des berechneten Bereichs verwendet wird. Die Bedingung (6.5) verleiht dem Verhältnis der Einstellungen des Rechennetzes einen Grenzwert. Typischerweise wird in einem bestimmten Schritt in der Relation (6.5) ein zulässiger Zeitschritt T H / V bestimmt.

Wenn jedoch die Übertragungsrate die Funktion der Koordinaten (oder der Zeit) ist, muss die Wahl der Art der Differenznäherungen auf der Grundlage der Analyse des Übertragungsratenzeichens durchgeführt werden, beispielsweise ein bedingter Bediener. Neben Goth mit variabler Übertragungsgeschwindigkeit v \u003d v (x) Die Stabilitätsbedingung muss auf alle Mesh-Knoten und von diesem Satz temporärer Schrittwerte überprüft werden, um das Minimum zu wählen: t min,; h / vj.

Bei der Arbeit einer Gemeinschaft mit Mitautoren (1952) wurde eine interessante Methode zum Erstellen eines Gegenwahnschemas vorgeschlagen, in der der bedingte Betreiber nicht verwendet wurde. Es ist wichtig zu beachten, dass dies nicht nur ein formeller Empfang ist, sondern ein Ansatz, der tiefe Ideen enthält, auf deren Grundlage verglichen werden kann und die Einhaltung von Gegenstrom (asymmetrischen) und symmetrischen Differenzsystemen zu finden ist. Dies ist in der Nähe der Idee, die Betreiber von Differenzsystemen aufzuteilen.

Stellen Sie sich die Übertragungsrate in Form der Summe seiner positiven und negativen Komponenten vor:

Dadurch kann der Transferoperator in Form der Summe von zwei Bedienern ermöglichen:

Jetzt hat jeder der Betreiber einen anzeichenrückgebildeten Koeffizienten, mit dem Sie die Annäherung der Gegengewindedifferenz anwenden können. Es sei angemerkt, dass das Unterschiedsschema in Richtung des Flusses zur Annäherung an konvektiven Elemente in verschiedenen Aufgaben der Rechenhydrodynamik häufig verwendet wird. Der folgende Datensatz des Computeralgorithmus wird häufig gemäß dem Schema (6.6) angewendet:

Wenn wir jetzt im rechten Teil (6.7) sind, führen wir elementare Transformationen durch und markieren das symmetrische Differenzderivat, dieses Schema wird als eingeführt

Es kann geschlossen werden, dass das noch stärkste Unterschiedsschema (6.7) von symmetrisch (6.2) äquivalent ist (6.2), der ein dissipatives Additiv eingeführt hat, das die bedingte Stabilität des Schemas gewährleistet.

LAX-Schema. Dieses Schema wurde in die Praxis der Berechnungen zum Beginn der Entwicklung der Rechengasdynamik eingeführt. II Obwohl der Verweis auf das Schema dieses Typs in den Werken unterschiedlicher Autoren erfüllt wurde, verbindet die öffentliche Meinung mit dem Namen der amerikanischen Mathematik von LAX, PD, der in den 50er Jahren eine Reihe von Werken zu verschiedenen Aspekten der Differenztheorie veröffentlicht wurde Schemas. In Bezug auf die Übertragungsgleichung (6.1) hat dieses Schema das Formular

Das Merkmal des Schemas ist, dass Um seine Stabilität in der Annäherung die Ableitung der Zeit der Wert der Gitterfunktion im Knoten (G, p) Durch die Hälfte der Werte in den benachbarten Knoten derselben temporären Ebene ersetzt. Dieser Vorgang sorgt mit der zentralen Annäherung des räumlichen Ableitungen der bedingten Stabilität des Unterschiedsschemas (bei der Durchführung des Zustands der Kuranta-Friedrichs - Levi v / h ^ 1).

Obwohl hier für h. Präsentiert mit dem zweiten Verfahren zur Annäherung, das Schema aufgrund der spezifischen Darstellung der Timeline des Derivats hat eine erhebliche Dissipation. Dies ist deutlich von der ersten differentiellen Annäherung angesehen:

Der auf der rechten Seite stehende Koeffizient, bevor das zweite Derivat als Koeffizient der Schaltungsviskosität interpretiert werden kann. Nach einfachen Transformationen kann diese Größe als dargestellt werden

wo durchkippen aber Kündigte die Anzahl der Spiele an. Aus der differentiellen Annäherung können viele Eigenschaften dieses Systems identifiziert werden:

• - Das Schema wird durch die Anzahl der Glockenspiele unvollendet, gleich einem;
• - Das Schema ist nicht empfindlich gegenüber der Strömungsrichtung;

mit einer Quarantnummer, einer kleineren Einheit hat eine Schaltungsviskosität eine stabilisierende Wirkung (positiver Diffusionskoeffizient), wobei eine Quarantzahl, größere Einheiten, der Koeffizient der Schaltungsviskosität negativ wird, was zur Verschärfung des Diffusionsprozesses und letztendlich führt zum Verlust der Rechenstabilität des Schemas;

Mit einer Verringerung der Zeit wachsen die dissipativen Eigenschaften der Schaltung.

Unter den aufgelisteten Funktionen gibt es solche, die die Würde des Schemas erheblich reduzieren. Die Einfachheit des Algorithmus ist jedoch häufig die Grundlage für den Einsatz in den ersten (Debugging-Schritten) Schritten von Bauenabrechnungsprogrammen. Darüber hinaus ist das LAX-Schema, wie wir ferner sehen werden, ein integraler Bestandteil effektiver mehrstufiger Algorithmen, in dem er vor dem Schritt (der Prognoseschritt) durchgeführt wird.

Zweite Ordnungspläne. Die zuvor diskutierten Differenzsysteme waren die Vorbestellungsschemata (auf einer räumlichen oder temporären Variablen). Bei der Konstruktion von Systemen der zweiten Ordnung ist es erforderlich, ein erhöhter Verfahren zur Annäherung als räumliches, Gas und eine temporäre Änderung sicherzustellen. Betrachten Sie mehrere Schemata dieses Typs.

Schema "Czechhard". Das zweite Auftragsschema sowohl in der räumlichen Variablen als auch in der Zeit des einfachsten Typs kann als dargestellt werden

Dieses Schema wird als Regelung mit Überrücken bezeichnet, aber mehr ist es genannt "Leapfrog" (Schaltfroschschema). Das Schema ist eine Dreischicht und baut in zwei vorherigen Zeitschichten eine Lösung auf. Wenn es verwendet wird, entstehen also Probleme mit dem Beginn der Berechnungen, die in jeder anderen Methode durchgeführt werden sollten.

LAX - VENDROFF-Schema. Eines der berühmtesten Programme dieses Typs ist das zentrale Schema, das den Namen seiner Autoren, das LAX-Schema - Vendroff, aufgerufen hat. Es rangierte zu einer bestimmten Nische in der Theorie der Differenzsysteme für hyperbolische Gleichungen, viele sehr produktive Ideen sind damit verbunden, aber sein Hauptvorteil ist, dass es leicht zusammengefasst und auf den Fall komplexerer Probleme übertragen wird - die Probleme der Fließen von kompressiblen Gas, das von den Systemen der quasilinearen Gleichungen beschrieben wird, wo sie lange Zeit eines der Hauptverarbeitungswerkzeuge war.

Es ist nützlich, die Merkmale dieses Systems zu erlernen, um es an die Migrationsgleichung (6.1) anzuwenden (6.1). Um ein System mit zweiter Ordnung aufzubauen, wehren wir die Taylor-Formel ab:

dies wird zusammen mit der anfänglichen Gleichung (6.1) in Betracht gezogen. Diese Gleichung wird verwendet, um temporäre Derivate in der Zersetzung mit räumlich zu ersetzen. Dies ist möglich, weil die erste Ableitung, aber die Zeit direkt aus (6.1) ausgedrückt wird: du / dt \u003d -vdu / dx. Das zweite Derivat befindet sich auch problemlos aus der folgenden Beziehungskette:

Beachten Sie, dass diese Darstellung nur bei ständiger Übertragungsgeschwindigkeit genau ist: v \u003d. const. Ansonsten ist es jedoch ungefähr, jedoch, wenn die Übertragungsrate v (x) Genug glatte FunktionEs kann verwendet werden, um Differenzverhältnisse umzuwandeln, die in der Natur in der Natur sind.

Ersetzen der Expression, die unter Verwendung der anfänglichen Differentialgleichung für Derivate in der obigen Formel des Taylors ermittelt wurde, erhalten wir das Verhältnis

und Ersetzen der Derivate im Raum durch die endgültigen Bestellungsverhältnisse, erhalten wir (nach einigen einfachen Transformationen) das Unterschiedsschema

lax VendRoff-Schema genannt. Dieses Schema wurde in die Praxis des Computings zusammen mit einer Reihe von anderen in einer Reihe von Werken, die LAX und VNDFFT in 1960-1964 veröffentlicht haben, eingeführt.

Zweistufige Variante des LAX - VENDROFF-Schemas. Später schlug Richt-Mayer die ursprüngliche zwei mit der Version des Systems vor, die aufgrund von Komfort einer der wichtigsten Rechennadynamik-Algorithmen war. Wir geben diese Option.

Auf der ersten Hemisphanage berechnen wir den Zwischenwert der Lösung auf dem einfachen Schema des ersten Auftrags-LAX. Dieser Zwischenwert wir werden den Top-Index genehmigen p +. 1/2 und wir werden bedenken, dass auch eine halbe Zeit verwendet wird. Anwenden dieses Systems erhalten wir die Lösungswerte an der mittleren temporären Ebene: t \u003d t n + l / 2. Gleichzeitig beachten wir, dass aufgrund der Verwendung des LAX-Schemas, in dem untere Schicht Es gibt keinen zentralen Knoten, die Lösung wird auf der Zwischenschicht auch im Halbheizsystem wiedergegeben.

Wir erstellen die Differenzbeziehungen für zwei angrenzende Intervalle:

Die zweite Hemisphäre besteht darin, die Entscheidung über die neue temporäre Ebene zu berechnen p. + 1 Basierend auf dem Diagramm mit zentralen Unterschieden sowohl im Raum als auch in der Zeit - dem "Cross" -Scheme. Um die räumlichen Derivate zu berechnen, werden die Werte der Lösung auf der Zwischenschicht in dem Sitzsystem verwendet, die Lösung selbst wird in demselben System der Punkte wiederhergestellt, in denen er durch den Beginn des Zeitschritts bestimmt wurde :

Die Beziehungen (6.12) und (6.13) bestimmen zusammen das Zweihaule-Schema von Lax VeidRoff. In seiner ersten Etappe werden Nachhaltigkeitsbedingungen durchgeführt. Diese Phase wird manchmal genannt anzeichen. Die zweite Stufe gewährleistet die Ausführung der erforderlichen Genauigkeit und wird aufgerufen korrektor. Projektorprädiktor-Methoden werden häufig in verwendet berechnung der Mathematik.Gleichzeitig kann die Korrektorstufe einen iterativen Block enthalten.

Es kann leicht gezeigt werden, dass, ohne Zwischenwerte von (6.13), mit Hilfe der Beziehungen (6.12), mit der Haupteinheit, in der Hauptauswahl - die Wahl des Systems, an. Im Sinne der Reihenfolge der Annäherung und der Stabilität sind beide Optionen äquivalent, aber während der Berechnung ist zweiter zweier bequemer, so dass normalerweise der Name dieses Differenzschemas, das normalerweise assoziiert ist. Die zweistufige Variante ist besonders praktisch, um bei der Konstruktionsunterschiede für komplexere Aufgaben, insbesondere für Systeme von quasisilinearen Gleichungen der nicht stationären Gasdynamik, zu verwenden.

Monotonie der Lösungen in den zweiten Ordnung der zweiten Ordnung. Das letzte Mitglied der rechten Seite (6.11) hat ein anderes Formular als die Art der distanzativen Mitglieder der ersten Bestellschemata (6.8) und (6.10). In diesem Fall bietet es einen Fehler, der mit dem ersten Verfahren zur Annäherung an den Zeitableitungen verbunden ist. Somit ist dieses Schema ein zweites Auftragsschema als eine Zeit, ein Gas und eine räumliche Variable. Seine erste differentielle Annäherung enthält kein dissipatives Element mehr, sondern zeigt eine Dispersionskomponente mit einem dritten Derivat, das die Phasenfehler des Schemas verursacht. Es ist zu erwarten, dass dieses Schema die Entscheidung schwach verschmiert wird, aber nicht physische Schwingungen, die durch Dispersionen verursacht werden, können in der Region ihrer starken Änderung auftreten.

Ein Unterschiedsschema, das die Lösung mit einer Ansicht der monotonen Funktion der Längskoordinate in der monotonen Lösung übersetzt, wird aufgerufen monotones Unterschiedsschema. Nach dieser Definition ist das Schema von Lax - VeidRoff nicht monotonisch.

S.k. Godunov wurde den Monotonie-Theorem eingerichtet, der einen der zentralen Orte in der Theorie der Differenzsysteme einnimmt. Nach diesem Theorem für eine lineare Gleichung des Formulars (6.1) gibt es keine monotonischen Schemata mit der Bestellung oberhalb der ersten.

Der Verlust der Monotonalität des Differenzsystems ist für alle Systeme einer erhöhten Reihenfolge der Annäherung charakteristisch für ein oder ein anderes. Um die nicht monotonische numerische Lösung von hohen Bestellschemata zu überwinden, ist das sogenannte hybride Unterschiedsschemata. Sie gehören zur Klasse von nichtlinear, dabei, basierend auf der Analyse des Verhaltens der Lösung, wodurch auf monotonierte Diagramme der ersten Ordnung in Zonen wechseln, wo Phasenfehler besonders stark sind und in den Bereichen zu hohen Reihenfolgen der reibungslosen Änderung der Lösung.

Mac-Feed-Schema. Es ist auch ein Zwei-bestellendes Diagramm mit zwei Reihenfolge, gleichgültig der Strömungsrichtung. Es ist bequemer, auf der konservativen Form der Transfergleichung zu demonstrieren:

Das Schema besteht aus zwei nacheinander folgenden Schritten:

In der ersten Phase (6.15) der vorläufige Wert der Entscheidung sch In den Knoten des Gitters basierend auf einem einseitigen Unterschiedsschema. Gemäß der auf diese Weise gefundenen Lösung werden die vorläufigen Werte der Flüsse / G unterzogen, basierend auf einseitigen Schaltungen mit entgegengesetzten Richtung (6.16), wird die Lösung in der nächsten Zeitschicht bestimmt.

Dieser Algorithmus ermöglicht verschiedene Modifikationen, es ist gut an eine Lösung von quasilinearischen Systemen und mehrdimensionalen hyperbolischen Aufgaben angepasst. In den 1970er Jahren war dieses System eine der Hauptunterschiedssysteme ausländischer (hauptsächlich amerikanischer) Computer, aber derzeit ist es von der modernsten, basierend auf Hybridisierungsideen verdrängt.

Berücksichtigen Sie jetzt die einfachsten Unterschiedsschemata für die HOPF-Gleichung.

Die Verallgemeinerung im Falle der HOPF-Gleichung des P.LAX-Schemas hat das Formular

Natürlich wird der divergente Typ der Gleichung (3.6) natürlich verwendet.

Übungen. Betrachten Sie das Schema von LAX - VendRoff für die HOPF-Gleichung. Lassen Sie die Anfangsbedingungen für das Cauchy-Problem wie folgt geliefert werden: u (x, 0) \u003d CH - 2 (x). Dann hat die HOPF-Gleichung das erste Integral: . Überprüfen Sie, ob das obige Schema ist konservativ. In der Gitterebene wird das gleiche Erhaltungsgesetz automatisch durchgeführt.

Bauen Sie ein ähnliches Schema mit charakteristisches Formular Aufzeichnungen der HOPF-Gleichung (3.9). Wird sie konservativ sein?

Das Schema ist bedingt stabil, wenn der Zustand der Glockenspiele (genauer gesagt, Verallgemeinerungen der Klärbedingungen genauer ist)

Hier und unten, wie zuvor in (3.7), f \u003d 0, 5U 2. Es wird davon ausgegangen, dass der Kurs ziemlich glatt ist, der Moment der Gradientenkatastrophe ist noch nicht gekommen, es gibt keine Stoßwellen und andere Lücken.

KALTA-Schema - Isakson - Reis. Verallgemeinerung von Cyrus-Systemen auf einem quasilinigen Fall (bei Verwendung) divergente Form Gleichungen Rekord) offensichtlich.

Das Schema ist stabil, wenn Sie den Zustand der Glockenspiele durchführen

Verallgemeinerung lAX-Schemata - VendRoff (Prädiktorschema - Korrektor). Für quasilineare Gleichungen (sowie lineare Gleichungen mit variablen Koeffizienten, inhomogenen Gleichungen usw.) wird das LAX - VendRoff-Schema komplexer. Um es aufzubauen, müssen Sie die sogenannten Halbzweckpunkte eingeben (Punkte mit fraktionalen Indizes). In der ersten Stufe (Prädiktor) werden die Werte in den Halbzweckpunkten gemäß der obigen Regelung der Verallgemeinerung auf dem quasilinearen Fall des LAX-Schemas berechnet:

in der zweiten Stufe (Corrector) verwendet das Czechhard-Schema (dreischichtiges Schema auf einem kreuzförmigen Muster, das nicht in der Familie enthalten ist (3.8)):

Laksa-Schema - Vendroff gehört zum sogenannten zentral Schemas. Seine Vorlage ist symmetrisch. In der ersten Stufe werden die Werte der Gitterfunktion in der Auswahl der Vorlage auf der Zwischenschicht (TM - 1/2, XM - 1/2) berechnet (TN + 1/2, XM + 1 / In Fig. 2) wird die Lösung auf der oberen Schicht in der zweiten Stufe berechnet. An der Stelle (tn + 1, xm). Das Schema ist stabil, wenn Sie den Zustand der Glockenspiele durchführen.

In ähnlicher Weise werden die Schemata von LAX - VendRoff für lineare inhomogene Gleichungen gebaut.

NEZENTRAL MAC - KORMAK (Prädiktor-Korrektor).

Wie das obige LAX - VendRoff-Schema besteht das McCormaca-Schema aus zwei Bühnen. Erwägen Sie, ein Makcock-Schema für zu erstellen einheitliche Gleichung (3.7). Die erste Stufe (Prädiktor) hat das Formular

jene. Das Programm "Externer Right Eck" wird verwendet. Die zweite Stufe ist der Korrektor:

Somit die Berechnung in der ersten Stufe gemäß dem "rechten Eckprogramm" auf der zweiten "linken Ecke".

Ein weiterer Schema-Mac - Kormaka hat die Aussicht

Solche Differenzschemata werden aufgerufen nichtzentral. Ihre Vorteile beinhalten das Fehlen von Halbwerkenindizes, eine einfachere Formulierung von Randbedingungen. Im linearen Fall des Mac-Kormak-Schemas stimmt mit dem LAX - VendRoff-System zusammen. Die Schemata haben das zweite Verfahren zur Annäherung an beiden Variablen, das Schema ist stabil, wenn der niedliche Zustand durchgeführt wird.

Rusanova-Schema. (Das zentrale Schema der dritten Reihenfolge der Genauigkeit).

Für den Aufbau des Rusan-Schemas werden nicht nur Halbzweckpunkte eingeführt, sondern auch zwei Schichten von Zwischenpunkten mit fraktionalen Indizes. Die erste Etappe des Rusanov-Systems (Übergang zur Schicht 1/3) hat das Formular

ihre zweite Stufe ist das Schema "Czechhard"

und die dritte Stufe

In der ersten Stufe wird es gemäß dem LAX-Schema an der zweiten - nach dem "Cross" -Scheme ("Czechhard") berechnet. Der letzte Laufzeit der dritten Stufe wird eingeführt, um die Stabilität des Schemas (ein Mitglied, eine Annäherung der Proportionaldifferenz des 4. Derivats) sicherzustellen.

Das Schema ist bedingt stabil, wenn Sie den Zustand der Glocken- und Bedingungen durchführen.

Nichtzentral erwärmungsschema - Cutler - Lomax 3. Reihenfolge der Genauigkeit.

Erste Stufe:

Zweite Phase:

Dritter Abschnitt:

Der letzte Begriff wird der Stabilität des Schemas hinzugefügt, das bei der Durchführung der niedlichen Bedingungen bedingt stabil ist.

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Transkript

2 Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russian Federation Nowosibirsk State University Mechanics und mathematische Fakultät der mathematischen Modellierung G. S. Khakimzyanov, S. G. Black-Methoden der Berechnungen Teil 4. Numerische Methoden zur Lösung von Problemen für die Gleichungen des hyperbolischen Tutorials Nowosibirsk 014

3 BBK B.193 UDC x 16 Aderment Candment. Physische Matte. Sciences A. S. Lebedev Edition, die im Rahmen der Umsetzung des Programms zur Entwicklung der staatlichen Bildungseinrichtung des höheren Staates erstellt wurde berufsbildung. "Nowosibirsk State University" seit Jahren. X 16 Khakimzyanov, G.S. Berechnungsmethoden: um 4 h.: Studien. Zulage / G. S. Khatzyzyanov, S. G. schwarz; Nowosib. Zustand un-t. Nowosibirsk: RIC NSU, 014. Teil 4: Numerische Methoden zur Lösung von Problemen für hyperbolische Gleichungen. 07 p. ISBN-Tutorial entspricht dem Programm der Vorträge "Methoden der Berechnungen", die an der Mechanik- und Mathematik-Fakultät der NSU gelesen wird. In seinem vierten Teil werden die Grundlagen von numerischen Methoden zur Lösung von Initial-Begrenzungs-Wertsproblemen für die Gleichungen des hyperbolischen Typs abgesetzt, Aufgaben werden für Seminare formuliert, die Proben von Testarbeit und Aufgaben für praktische Übungen angegeben sind. Das Handbuch ist für Studierende und Lehrer mathematischer Spezialitäten von höher vorgesehen bildungsinstitutionen. ISBN BBK B.193 UDC C Nowosibirsk State University, 014 C G. S. Khatzynanov, S. G. Schwarz, 014

4 Inhaltsverzeichnis Vorwortschemata für die Linearüder Differenzschemata Aufbau von monotonischen Schemata auf der Grundlage der differentialen Annäherung des Schemas für eine nichtlineare Schemasübertragungsgleichung an einem adaptiven Gitter für die Übertrafür die Oszillationsgleichung der Unterschied Schemata für ein hyperbolisches System von Gleichungen mit dauerhaften Koeffizientendifferenzsystemen für Systeme von nichtlinearen Flachwassergleichungen Unterschiedsschemata für Gasdynamikaufgaben Untersuchung zum Thema "Erforschung von Unterschiedsschemata für die Übertragungsgleichung" Aufgaben für labor arbeit Antworten, Anweisungen, Lösungen Bibliographische Liste

5 Das Vorwort im vierten Teil des Handbuchs legt die Grundlagen von numerischen Methoden zur Lösung von Initial-Grenzwertproblemen für die Gleichungen des hyperbolischen Typs aus, Aufgaben werden auf diesem Thema für Seminare formuliert, die Aufgaben für praktische Übungen auf einem Computer und einem Beispiel. testarbeit. Theoretische Probleme werden kurz genug dargestellt. Für ein tieferes Studium der in Betracht gezogenen Fragen empfehlen wir, das Lehrbuch S. K. Godunova und V. S. Ryabnyk sowie die Bücher von G. I. Marchuk, A. A. Samarsky, A. Samarasky und A. V. Gulina, AA Samarky und Es Nikolaeva, BL Weihnachten und NN Yanenko- und Bildungsleistungen, die in NSU veröffentlicht wurden. Die Vorträge diskutiert theoretische Fragen, die sich auf die Untersuchung nur bestimmter Unterschiedsschemata beziehen. Als Beispiele sind die Schemata für die lineare Übertragungsgleichung, die nichtlineare Skalargleichung der ersten Ordnung, der Gleichung der zweiten Ordnung, die die Schwankungen der Zeichenfolge, das lineare System der Gleichungen der ersten Ordnung beschreibt, das System von nichtlinearem flachen Wasser Gleichungen und die Gasdynamikgleichungen werden berücksichtigt. Jeder Absatz wird von Aufgaben begleitet, die an Seminaren gelöst werden müssen. Viele Aufgaben sind mit Anweisungen und detaillierten Lösungen ausgestattet. Zusätzliche Materialien Für Seminarsitzungen finden Sie in den Aufgaben. Das Handbuch enthält Beispiele für Aufgaben für praktische Klassen in Computerklassen, gegebenenfalls Empfehlungen zur Erfüllung von Aufgaben, Fragen zur Entwicklung von Programmen und der Darstellung der Ergebnisse werden diskutiert. Zusätzliche Aufgaben Sie können herausnehmen methodische Handbücher . Der vierte Teil des Vorteils hat eine unabhängige Pass-Schneid-Nummerierung von Absätzen und Zeichnungen sowie eine unabhängige bibliografische Liste. In den Absätzen für Formeln und Aussagen (Lemmas und Theorems) wurde eine Zwei-Index-Nummerierung verwendet, zum Beispiel 4. Verweise auf Formeln, Lemmas, Theorems aus den vorherigen drei Teilen des Handbuchs werden gegeben, indem die Zahlen zu ihrer Nummer 1 hinzugefügt werden oder 3. B. anstelle von "gemäß der Formel (4.) aus dem Vorteil, schreiben wir" gemäß der Formel (1.4.) "anstelle von" Theorem 8.3 aus dem Handbuch "" von theorem.8.3 ". Die Autoren äußern dem Rezensenten Alexander Stepanovich Lebedev tiefe Wertschätzung für wertvolle Beratung und kritische Kommentaredie zur Verbesserung dessen beigetragen haben lernprogramm. 4

6 1. Schemata für eine lineare Übertragungsgleichung 1.1. Einige Informationen aus der Theorie von hyperbolischen Systemen. Betrachten Sie das cauchy-Problem für ein lineares System mit Differentialgleichungen der ersten Ordnung u t + a u \u003d f (x, t),< x <, 0 < t T, x u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.1) Здесь u = (u 1,..., u m) T m-мерная вектор-функция переменных x, t, A вещественная m m матрица с элементами a i (x, t). Определение. Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точке этой области собственные значения λ 1, λ,..., λ m матрицы A вещественны и различны. Определение. Интегральная кривая x = x k (t) обыкновенного дифференциального уравнения dx dt = λ k(x, t) (1.) называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1). Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λ k. Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t > 0) Überqueren Sie in der Richtung der abnehmenden Zeit t die Ochsenachse in m unterschiedlichen Punkten. Bestellen Sie eigene Werte des hyperbolischen Systems (1.1) (λ 1 (x, t)< λ (x, t) <... < λ m (x, t)) и через обозначим отрезок оси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первой характеристиками. Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системы уравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = x m (t), x = x 1 (t) и отрезком . Область зависимости точки (x, t) изображена на рис. 1, а. Решение u системы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u 0 (x) на 5

7 Segment. Wenn daher die anfänglichen Daten außerhalb des Segments an andere geändert werden, ändert sich die Lösung am Punkt (x, t) nicht. Definition. Der Bereich des Effekts des Punktes (x 0, 0) ist der Satz von Punkten (x, t) der oberen Halbebene, die durch die extremen Eigenschaften des Systems (1.1) begrenzt ist, die sich von (x 0 erstreckt , 0), dh die Eigenschaften, die ihren eigenen Werten λ 1 und λ m entsprechen. Der Einflussbereich des Punkts (x 0, 0) ist in Fig. 4 gezeigt. 1, b. Wenn die anfänglichen Daten nur am Punkt (x 0, 0) geändert werden, ändert sich die Lösung des hyperbolischen Systems nur an Punkten (X, T), die zum Bereich des Effekts des Punkts gehören (x 0, 0 ). Angenommen, wir sind angenommen, dass wir anstelle des Cauchy-Problems (1.1) anstelle des Cauchy-Problems (1.1) sind, um die Initial-Boundary-Task im Segment zu lösen. Zusätzlich zu den anfänglichen Bedingungen ist es dann notwendig, die Randbedingungen einzustellen. Die Anzahl der Randbedingungen an jeder der Grenzen wird durch die Menge der innen ankommenden Eigenschaften bestimmt. Wenn beispielsweise M 0 -Alifikatistiken über den linken Rand x \u003d 0 enthält, sind d. H. M 0 der Eigenwerte λ k bei x \u003d 0 positiv, dann muss an diesem Rand M 0 der Randbedingungen eingestellt werden. Wenn an der Grenze x \u003d l ist, ist die Anzahl der negativen Eigenwerte M l und daher tritt genau die M-L-Eigenschaften in den Bereich durch den rechten Rand ein, dann ist an diesem Rand notwendig, M-Rand-Bedingungen einzustellen. Da Eigenvalues \u200b\u200bvon der Zeit abhängig sind, kann die Anzahl der Randbedingungen an jeder der Grenzen mit der Zeit variieren. t dx dt \u003d m λ m (x, t) dx dt \u003d λ 1 t DX dt \u003d λ 1 dx dt \u003d m λ x l a x r x (x 0,0) b x Abb. 1. Eigenschaften des Gleichungssystems (1.1), das die Abhängigkeit der Abhängigkeit des Punkts (x, t) (a) und der Auswirkungen des Punkts (x 0, 0) (B) 6 einschränkt

8 Wir betrachten nun ein homogenes hyperbolisches System von Gleichungen (1.1) mit konstanten Koeffizienten. Für eine dauerhafte Matrix A sind seine eigenen Vektoren und Eigenwerbungen konstant, d. H. Abhängig von x und t. Lassen Sie l k-ter von der Matrix der Matrix a sein, die dem eigenen Wert entspricht λ K: l k a \u003d λ k l k (k \u003d 1, ..., m). Multiplizieren Sie das System (1.1) links in den Vektor lk: oder wo lkut + l ka ux \u003d 0. Diese Gleichung kann in das folgende Formular geschrieben werden: lkut + λ klkuxkt + λ skkx \u003d 0, \u003d 0, (1.3) sk \u003d Lku, k \u003d 1, ... m. (1.4) Die Lösung SK (X, T) der Gleichung (1,3) wird entlang der Eigenschaften unverändert übertragen, und wird daher bei T\u003e 0 durch den Anfangswert von SK an der Kreuzung des Kreuzes der K-OH-Eigenschaft mit dem Ochsen berechnet Achse: sk (x, t) \u003d sk (x λ kt, 0). (1.5) Die Funktionen S K sind RIEMANN-Invarianten genannt. 1 .. lineares Modell von flachem Wasser. Das einfachste mathematische Modell, in dem man die Bewegung von Fluid mit Oberflächenwellen beschreiben kann, ist ein lineares Modell von flachem Wasser: η t + u 0 \u003d 0, (1.6) xut + g η \u003d 0, (1,7) x η ( x, 0) \u003d η 0 (x), u (x, 0) \u003d u 0 (x), (1,8), wobei η (x, t) Erhebung der Oberfläche der Flüssigkeit über den unper therbierten Niveau (siehe Abb.) , u (x, t) Fluidgeschwindigkeit, η 0 (x) und u 0 (x) Erhebung und Geschwindigkeit beim ersten Moment der Zeit t \u003d 0, 0 \u003d Bonde Tiefe des Pools, G \u003d Const-Beschleunigung des freien Falls . 7.

9 Das System der Gleichungen (1.6), (1,7) kann in Form eines homogenen Systems (1.1) mit einer Matrix A und einem Vektor der Lösung u: a \u003d (0 0 g 0) (η, u \u003d u) geschrieben werden ). (1,9) Matrix A hat zwei verschiedene gültige Eigenwerte λ 1 \u003d C 0, λ \u003d c 0 \u003d g 0, (1.10), daher hat das Gleichungssystem (1.6), (1,7) einen hyperbolischen Typ. Die Eigenschaften der Eigenschaften (1.) nehmen diesen Typ: dx dt \u003d c 0, dx dt \u003d c 0, (1.11) Daher sind die Eigenschaften geraden Linien. Die Eigenschaften, die durch den Punkt (X, T), T\u003e 0 strömt, werden an den Punkten x l und x r gekreuzt, wobei x l \u003d x c 0 t, x r \u003d x + c 0 T. (1.1) Die linken Essvektoren der Matrix A entsprechend ihren eigenen Werten (1.10) werden von den Formeln L 1 \u003d (C 0, 0), L \u003d (C 0, 0) eingestellt. (1.13) y 0 η y \u003d (x, t) lxy \u003d - 0 Reis .. Bezeichnungen im Problem der Verteilung und Umwandlung von Wellen im Pool mit vertikalen Wänden gemäß (1.4) die Beziehung zwischen Riemann-Invarianten R \u003d S 1 , S \u003d s und die anfänglichen abhängigen Variablen werden von den Formeln R \u003d C 0 η 0 u, s \u003d C 0 η + 0 u, (1,14) 8 gegeben

10 von wo η \u003d R + SC 0, U \u003d Sr 0 (1.15) von der Formel (1.5), unter Berücksichtigung von Gleichungen (1.14), erhalten wir Formeln, um das Cauchy-Problem in den Invarianten R (x, t) \u003d r zu lösen (x λ 1 t, 0) \u003d r (x + c 0 t, 0) \u003d c 0 η 0 (xr) 0 u 0 (xr), (1,16) s (x, t) \u003d s (x λ t, 0) \u003d S (XC 0 T, 0) \u003d C 0 η 0 (XL) + 0 u 0 (XL). (1.17) und schließlich mit den Beziehungen (1.15), erhalten wir eine genaue Lösung des Cauchy-Problems (1.6), (1,7), (1.8) η (x, t) \u003d η 0 (XL) + η 0 (XR) + 0 U0 (XL) u 0 (xr), c 0 u (x, t) \u003d u 0 (xl) + u 0 (xr) + c 0 η0 (XL) η 0 (xr). 0 (1.18) Bei der Lösung der initialen Bemühungsaufgabe ist es erforderlich, an jedem der Enden des Segments einen Zustand zu stecken. Wir werden zum Beispiel angenommen, dass die Wände des Beckens für die Flüssigkeit und die Gleichheit Null der Geschwindigkeit des Fluids an diesen Wänden bedeutet: u (0, t) \u003d u (l, t) \u003d 0. (1.19) geben wir eine mathematische Formulierung der Aufgabe in der endgültigen Form auf der Bewegung des Fluids mit Oberflächenwellen in einem begrenzten Pool:, um in einem geschlossenen Bereich d \u003d Lösung η (x, t) u (x , t) des nächsten Anfangsgrenze-Problems η t + u 0 x \u003d 0, ut + g η \u003d 0, 0< x < l, 0 < t T, x u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 t T, η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.0) 1.3. Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана, 9

11 Zur gleichen Zeit hängen die Gleichungen für Riemann-Invarianten nicht voneinander ab, und jeder von ihnen hat das Formular U T + AU X \u003d 0, A \u003d const. (1.1) Diese Gleichung ist die einfachste hyperbolische Gleichung und wird als lineare Übertragungsgleichung bezeichnet. In dieser Gleichung können die Eigenschaften von Differenzschemata zur Lösung von hyperbolischen Gleichungen von Gleichungen untersucht werden. Betrachten Sie eine lineare Übertragungsgleichung (1.1) die Cauchy-Task U T + AU X \u003d 0,< x <, 0 < t T, u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.) Характеристика x = x(t) уравнения (1.1) определяется уравнением dx dt = a, (1.3) т. е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точное решение задачи Коши определяется по формуле u(x, t) = u 0 (x at). (1.4) График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a > 0 und umgekehrt). Für die Übertragungsgleichung mit einem konstanten Koeffizienten A ist es einfach, eine genaue Lösung für die anfängliche Aufgabe zu schreiben. Lassen Sie zum Beispiel a \u003d const\u003e 0. Dann werden die nächste Startaufgabe u t + au x \u003d 0, 0 korrekt sein< x l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.5) Легко проверить, что если u 0 (x) и µ 0 (t) дифференцируемые функции, то решение задачи (1.5) определяется формулой u(x, t) = { u0 (x at) при t x/a, µ 0 (t x/a) при t x/a. (1.6) 1.4. Явная противопоточная схема. Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса. 10

12 Beginnen wir mit einem expliziten Kreislauf mit dem Unterschied gegen den Fluss (Durchflussschema) für den anfänglichen Grenzwertproblem u t + au x \u003d f (x, t), 0< x l, 0 < t T, a = const > 0, u (0, t) \u003d μ 0 (t), 0 t t, u (x, 0) \u003d u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) \u003d μ 0 (0). (1.7) Wir berücksichtigen weiterhin einheitliche Maschen, die den geschlossenen Bereich d \u003d abdecken. Wir erstellen das folgende Differenzsystem UN + A UN-Single 1 \u003d Fn, \u003d 1, ..., N, UN 0 \u003d μ n 0, n \u003d 0, ..., m, u 0 \u003d u 0 (x), \u003d 0, ..., N, (1.8) Annäherung der Aufgabe (1.7) mit der Bestellung o (+). Wie zuvor kann dieses Schema in den Bedienerformular l u \u003d f geschrieben werden. Der Name ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass, wenn wir die Übertragungsgleichung als Modellgleichung für ein System von Gleichungen in Betracht ziehen, das den Fluss von Flüssigkeit oder Gasstrom beschreibt, und den Koeffizienten A mit einer Fluidgeschwindigkeit, dann mit einer positiven Geschwindigkeit, dh Bei A\u003e 0, im Schema die linken Differenzderivate mit Knoten X 1, die sich gegen "Flow" befinden (vorgeschaltet). Wir führen einheitliche Standards im Raum der Gitterfunktionen U und den Raum der richtigen Teile F: wobei ff (\u003d max uu max nun c \u003d max 0 n n, \u003d max n n c, (1,9)) μN 0, (u 0) C, MAX FNN C, (1,30) Fn C \u003d maximal 1 n Fn-Gleichmäßige Standards auf der Ebene T \u003d T N. Mit Hilfe des maximalen Prinzips können Sie die folgende Behauptung nachweisen. Theorem 1.1. Erfüllungsbedingung A 1 (1,31) 11

13 reicht für die Stabilität des gegenüberliegenden Schemas (1,8) in einer einheitlichen Norm aus. D o k a und t e l s t in ungefähr. Sei x ein Knoten des Gitters mit der Nummer 1 n. Ich schreibe die Differenzgleichung der Schaltung in diesem Knoten \u003d (1 r) u n + ru n 1 + f n, wobei r \u003d a /. Aus dem Zustand des Satzs folgt, dass 1 R 0, daher die folgende Schätzung (1 r) UN + RUN 1 + FN (1 r) UN-C + -R-Lauf C + FN C UN C + MFM C ist fair (1 r) UN C + MFM C. Im Grenzknoten haben wir die folgende Bewertung 0 \u003d μ n + 1 0 max m μm 0. Daher kann das Maximum der linken Teile dieser Ungleichheiten das Maximum von zwei Zahlen nicht überschreiten Die richtigen Teile dieser Ungleichheiten: (c max max m) μm 0, UN C + MAX FMM C, und dies ist das maximale Prinzip. Erhalten, dass das Schema (1.8) vorgesehen (1.31), das Schema (1.8) das maximale Prinzip erfüllt. Daher (siehe theorem 3.1.1) ist es in gleichmäßiger Norm gemäß den anfänglichen Daten resistent, regionale Bedingungen Und auf der rechten Seite. Der gleiche Zustand (1.31) ist eine notwendige Bedingung für die Stabilität des Schemas (1.8), das aus dem spektralen Zeichen der Stabilität des Neiman folgt. Wir beweisen es. Nehmen Sie die Harmonische u n \u003d λ n e i iφ (1.3) und ersetzen Sie es in eine homogene Unterschiedsgleichung. Infolgedessen erhalten wir für den Übergangsfaktor die Gleichung folglich λ \u003d 1 r (1 e iφ) \u003d 1 r (1 cos φ) IR SIN φ. λ \u003d 1 R (1 cos φ) + R (1 cos φ) + R Sin φ \u003d 1

14 \u003d 1 R (1 cos φ) [R (1 cos φ) R (1 + cos φ)] \u003d 1 r (1 cos φ) (1 r). Angenommen, in den Schritten der Schema (1.8) und sind mit dem Gesetz des Grenzwertübergangs R \u003d A \u003d const verbunden. (1.33) dann hängen Eigenwerte λ (φ) nicht davon ab, so dass die notwendige Bedingung für die Stabilität des Neiman auf das Anforderungen oder λ (φ) 1, φ R reduziert wird. (1.34) R (1 cos φ) (1 r) 0, φ R. (1.35) Natürlich ist diese Ungleichung an einem Zustand\u003e 0 äquivalent (1,31). So ist der Zustand (1.31) an A\u003e 0 ein notwendiger und ausreichender Zustand für die Stabilität des gegenüberliegenden Schemas in einer einheitlichen Norm. Beachten Sie das, wenn a< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см. задачу 1.1). Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задача u t + au x = f(x, t), 0 x < l, 0 < t T, a = const < 0, u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (l) = µ l (l). (1.36) Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схему u n + a un +1 un = f n, = 0,..., N 1, u n N = µn l, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.37) которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.36) с порядком O(+). Используя принцип максимума и спектральный признак Неймана, можно показать, что схема (1.37) при a < 0 будет устойчива при выполнении условия a 1. С другой стороны, при a > 0 Schema (1.37) ist absolut instabil (siehe Aufgabe 1.). 13.

15 Somit haben wir zwei bedingt stabile explizite Schemata mit den Unterschieden gegen den Fluss auf die Differenz für die Übertragungsgleichung mit einem konstanten Aunun + A UN-Single 1 + A UN + 1 UNI gebaut, sie sind resistent, wenn Sie Ungleichheit aufführen \u003d FN , wenn ein\u003e 0, \u003d fn, wenn A.< 0. (1.38) a 1. (1.39) Во внутренних узлах сетки противопоточную схему (1.38) можно записать в виде одного уравнения u n + a + a u n un 1 + a a u n +1 un = f n. (1.40) Аналогично выглядит явная противопоточная схема и в случае знакопеременного коэффициента a(x, t). Например, если на границах отрезка выполнены условия a(0, t) > 0, a (l, t)< 0, 0 t T, то получим такую противопоточную схему где u n + a + un un 1 + a un +1 un = f n, = 1,..., N 1, u n 0 = µ n 0, u n N = µ n l, n = 0,..., M, (1.41) u 0 = u 0 (x), = 0,..., N, a + = an + a n, a = an a n, (1.4) которая аппроксимирует с порядком O(+) начально-краевую задачу u t + a(x, t)u x = f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.43) 14

16 Mit Hilfe des maximalen Prinzips ist es möglich, sich zu beweisen (siehe Problem 1.10), das für den Widerstand des gegenüberliegenden Schemas (1.41) mit einem variablen Koeffizienten A (x, t) ist, wobei der Zustand max A (x , T) 1. (1.44) x, t 1.5. LAX-Schema. Für die Einfachheit halber werden wir das Anfangskantenproblem (1.7) mit einer homogenen Ith + AU x \u003d 0-Transfergleichung in Betracht ziehen. (1.45) Im LAX-Schema, die Differenzgleichung, die angenähernde Übertragungsgleichung (1.45), ist geschrieben SO 0, 5 (UN +1 +) UN 1 + A UN +1 UN 1 \u003d 0, \u003d 1, ..., N 1. (1.46) Für den lokalen Näherungsfehler haben wir einen Ausdruck ψ n, \u003d u tt u xx + ..., daher at \u003d o () Das LAX-Schema wird daher die Übertragungsgleichung nicht annähern, und mit dem Gesetz des Grenzübergangs R \u003d a \u003d const (1.47) wird mit der Reihenfolge o (+ ). Somit erfolgt die Annäherung nur an einer bestimmten Verbindung zwischen den Schritten und d. H. Das LAX-Schema gehört der Klasse der bedingungslos angenähernden Schemata. Für einen Übergangsmultiplizierer erhalten wir die Formel λ (φ) \u003d cos φ IR Sin φ. Folglich ist mit dem Gesetz des Randübergangs (1.47) der erforderliche Stabilitätszustand des LAX-Schemas, um die Ungleichung R 1 auszuführen, d. H. 1. (1.48) 15

17 1.6. Laksa Vendroff-Schema. Die Differenzgleichungen dieses Schemas sehen aus wie u + 1/0, 5 (UN +1 +) UN + A UN + 1 UN \u003d 0, / UN + AU + 1 / (1,49) U 1 / \u003d 0. Das Schema von LAX VENDROFF bezieht sich auf die Familie von zweistufigen Schemata. In diesem Schema werden zunächst in den Halbluftknoten x + 1 / \u003d x + / gemäß dem LAX-Schema die Hilfswerte u + 1 /, die sich auf die Zeit t n + / beziehen, berechnet. Dann wurden in dem zweiten Schritt die Werte der gewünschten Netzfunktion auf (n + 1) -M-Schicht rechtzeitig berechnet. Für die Untersuchung der Annäherung und der Stabilität von zweistufigen Systemen ist eine Ausnahme aus dem Schema der Hilfswerte u vorbestimmt. Infolge der Ausnahme erhalten wir das einstufige Schema von LAX VendRoff u n + a un +1 un 1 \u003d A UN +1 UN + UN 1, (1,50), das, wie Sie überprüfen, die Übertragungsgleichung annähern (1,45) ) mit der zweiten Reihenfolge der Software und. Für den Übergangsfaktor haben wir einen solchen Ausdruck λ \u003d 1 IR SIN φ R Sin φ. Daher ist der gewünschte Zustand der Stabilität λ 1 der Implementierung der Ungleichung (1 R sin (1 R) + R sin φ 1 oder 1 4R Sin φ + 4R4 sin 4 φ + 4R Sin φ (1 Sin φ) 1 . Die letzte Ungleichung entspricht dem Zustand R 1. Somit stimmt der notwendige Zustand für die Stabilität des LAX VendRoff-Schemas mit einer Voraussetzung (1,48) der Stabilität der LAKS-Diagrammableitung und der Dispersion zusammen. Zusammen mit der Übertragungsgleichung u t + au x \u003d 0, a \u003d const (1,51) 16

18 Betrachten Sie zwei weitere Gleichungen u t + au x \u003d μU xx, μ \u003d const\u003e 0, (1,5) u t + au x + νu xxx \u003d 0, ν \u003d const. (1.53) Lassen Sie die anfängliche Funktion im Cauchy-Problem für diese Gleichungen in Form einer Serie von Fourier U (X, 0) \u003d M B M E IMX erscheinen. (1.54) Wir werden nach der Lösung von jeder dieser Gleichungen suchen, indem wir die Variablen u (x, t) \u003d Bm λ te imx \u003d bmum (x, t), (1,55) mm trennen, wobei (x, t) harmonisch mit Eine Wellennummer MUM (X, T) \u003d λ te IMX, (1,56) λ ist definitionsgemäß. Der eigentliche und imaginäre Teil der Harmonischen sind M-Wellen, deren Länge L von der Wellenzahl der Formel L \u003d π m assoziiert ist. (1.57) Da die Gleichungen (1,51) (1,53) linear sind, kann das Verhalten jeder der Harmonischen unabhängig voneinander betrachtet werden. Ersetzen der Harmonischen mit einer Wellenzahl M an die Übertragungsgleichung (1.51), wir erhalten oder ln (λ) + AIM \u003d 0 λ \u003d E AIM. Wenn daher die Harmonische (1,56) eine Lösung der Übertragungsgleichung ist, hat es die Form, die \u003d x anzeigt, wir erhalten u m (x, t) \u003d E IM (x at). (1.58) u m (x, t) \u003d e imξ \u003d u m (ξ, 0). (1.59) 17

19 Somit wird zu jeder Zeit t\u003e 0 die harmonische U M durch eine Verschiebung der anfänglichen Harmonischen auf einem AT erhalten. Folglich beschreibt die Übertragungsgleichung die M-Wellen-Bewegung, die unabhängig von ihrer Länge mit einer konstanten Geschwindigkeit V M \u003d A ausbreitet, ohne seine Form zu verzerren. Es ist leicht zu überprüfen, ob die Harmonische (1,56) die Lösung der zweiten Gleichung (1,5) ist, wenn ln (λ) + AIM \u003d μm oder λ \u003d E AIM E μm, dh Harmonics in diesem Fall, hat das Formular um (x, t) \u003d e μmt e im (x at). Daher gibt es für alle Harmonischen Dämpfung der Wellenamplitude (Wellenableitung). Da m \u003d π / l, dann befestigen kurze Wellen den schnelleren als langen. Die Geschwindigkeit V M Die Ausbreitung von Wellen hängt nicht von der Wellenlänge ab und ist immer noch a. Zur Abtretung von Wellen ist das Mitglied des μN xx mit der zweiten Ableitung der Lösung verantwortlich. Schließlich gibt die harmonische Substitution zur Gleichung (1.53) LN (λ) + AIM + ν (IM) 3 \u003d 0 oder wo wir das λ \u003d E IM (a νM), um (x, t) \u003d E im (x (a νM) t). Somit beschreibt die dritte Gleichung die Wellenbewegung, ohne ihre Amplitude (ohne Dissipation) zu wechseln. Die Rate seiner Ausbreitung hängt jedoch von der Wellenlänge V M \u003d A νM ab. (1,60) Aus dieser Formel ist ersichtlich, dass Wellen unterschiedlicher Längen auf unterschiedliche Geschwindigkeiten verteilt sind (Wellen dispergiert). Wichtigere Änderungen sind die Rate der Ausbreitung von Kurzwellenstörungen (groß m). Die Dispersion der Wellen wird von einem Element des νu xxx mit der dritten Ableitung der Lösung beantwortet. achtzehn

20 In Anbetracht des Verhaltens der einzelnen Oberwellen können wir nun das qualitative Verhalten der Entscheidung (1,55) der Cauchy-Herausforderungen für diese Gleichungen vorhersagen. Lassen Sie beispielsweise die anfängliche Funktion U (x, 0) die Art der Schritte (1, x 0, u (x, 0) \u003d (1,61) 0, x\u003e 0 und A\u003e 0. Zersetzung einer solchen Funktion aufweisen In einer Fourier-Serie (1.54) enthält sie den gesamten Harmonischensatz. Die Lösung des Cauchy-Problems für die Übertragungsgleichung (1.51) ist in diesem Formular U (X, T) \u003d MBME IM (X at) \u003d MBME IMξ dargestellt \u003d u (ξ, 0), (1.6) dh das Problem der Aufgabe bewegt sich mit einer Geschwindigkeit eines anfänglichen Profils. Lösung u (x, t) \u003d mbme μmt e im (x at) \u003d mbme μmt e imξ ( 1.63) Cauchy-Aufgaben zur Gleichung (1,5) mit einem dissipativen Mitglied, in dem kurze Wellen stark ficken, wird es eine Form eines verschmierten Schritts haben. Schließlich die Lösung u (x, t) \u003d mbme im (x (a νM) t ) (1.64) der Cauchy-Aufgaben zur Gleichung (1.53), in denen Wellen unterschiedlicher Länge mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegt, weist nicht monotonisches, oszillierendes Zeichen auf. Gemäß der Formel (1,60), bei ν\u003e 0, die Wellen der geringen Länge wird die Geschwindigkeit von m.nachy haben als die Wellen einer großen Länge und mit ν< 0 наоборот. Поэтому осцилляции будут отставать от основного решения (описываемого первыми гармониками) при ν > 0 und dementsprechend, wenn ν vorn geht, wenn ν< Дифференциальное приближение разностной схемы. Вернемся к численному решению задачи Коши для уравнения переноса (1.51). В качестве начального профиля возьмем ступеньку { 1, x x0, u(x, 0) = (1.65) 0, x > x 0 19.

21 und wir berechnen auf einem expliziten Antimanströmungsschema UN + A UN-Single 1 \u003d 0, a \u003d const\u003e 0. (1,66). Infolgedessen erhalten wir eine Lösung in Form eines verschmierten Schritts (Fig. 3) , dh die Entscheidung ist qualitativ dieselbe wie und die Lösung der Gleichung (1,5) mit einem dissipativen Element. Was ist los? Immerhin wollten wir die Transfergleichung lösen, in der es kein dissipatives Mitglied gibt. Tatsache ist, dass wir nach numerisch gesucht haben, die Lösung ist nicht die Transfergleichung, sondern die Lösung des Unterschiedsschemas. Somit können die Eigenschaften von Lösungen der angenähten Differenzgleichung und der Näherungsdifferenzgleichung nicht zusammenfallen. Wie prognostizieren Sie in diesem Fall die Eigenschaften der Differenzgleichung? y x 30 Abb. 3. Diagramme der genauen Lösung (Riegelleitungen) und numerische Lösungen (durchgezogene Linien), die mit einem Gegenstromkreislauf (1,66) zu Zeiten T \u003d 1 (1) erhalten werden; T \u003d 8 (); T \u003d 15 (3). a \u003d 1; x 0 \u003d 10; A / \u003d 0, 5 Dies kann mit dem Verfahren der differentiellen Annäherung erfolgen, mit dem wir jetzt zusammenbringen. Die Essenz dieser Methode besteht darin, die anfängliche Differenzgleichung mit einer speziellen Differentialgleichung zu ersetzen, die alle Eigenschaften der untersuchten Unterschiedsgleichung aufweist. Anstatt die Differenzgleichung zu studieren, wird es von dieser Differentialgleichung untersucht, die in vielen Fällen viel einfacher ist. Die Erlangung einer differentiellen Gleichung, die einer Differenzgleichung entspricht, beginnt mit der Aufzeichnung dieser Differenzgleichung in Form eines sogenannten theoretischen Differenzschemas, in dem die Differenzbetreiber in demselben Funktionsraum wie die angenähernden Differentialbetreiber wirken. Zum Beispiel wird die Differenzgleichung (1.66) in Form der folgenden theoretischen Differenz 0 geschrieben

22 Schemata u (x, t +) u (x, t) u (x, t) u (x, t) + a \u003d 0. (1.67) Die Lösung eines solchen Schemas ist die Funktion u (x, t) von kontinuierlichen Argumenten x und t, während die Lösung der Gleichung (1.66) eine Gitterfunktion u ist, die nur in den Gitterknoten definiert ist. Sei eine ziemlich glatte Funktion U (x, t) eine Lösung des theoretischen Unterschiedsschemas (1.67). Wir ersetzen es in dieses Schema und exprimieren u (x, t +) und u (x, t) durch die Werte der Funktion und ihrer Derivate an der Stelle (x, t) mit der Taylor-Formel. Infolgedessen erhalten wir eine differentielle Gleichung, die dem Differenzsystem entspricht (1.67) u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx + ... \u003d 0. (1.68) Definition. Die differentielle Gleichung der unendlichen Ordnung (1.68), die nach der Zersetzung durch die Taylor-Formel der Lösung U (x, t des theoretischen Differenzschemas (1,67) erhalten wird, wird als differentielle Darstellung des Differenzschemas (1,66) bezeichnet. Einige Eigenschaften des Unterschiedsschemas können bereits durch diese Differenzdifferenz untersucht werden, sondern auch für unsere Zwecke ist es bequemer, eine andere Form einer differenziellen Darstellung zu verwenden, die aus einer Ausnahme von (1.68) aller Zeitderivate resultiert, mit der Ausnahme derjenigen, die in die approximierte Gleichung eintreten (1.51) ,. e. Außer u t. Lassen Sie uns zum Beispiel zeigen, wie die Derivate in der Zeit in der Reihenfolge des Ordens ausgeschlossen werden sollen. Um dies zu tun, umschreiben Sie die Gleichung (1.68), unter Berücksichtigung der Komponenten der allein o () und o () ut + au x + u tt + 6 u ttt au xx + a 6 u xxx \u003d o () (1.69) und wir finden mithilfe der erhaltenen Gleichung UT-Derivat: UT \u003d AU XU TT 6 U TTT + AU XX A 6 U XXX + O (1,70) Dieser derivative Ersatz für die Bestimmungen der Gleichungen (1.69) mit Derivaten (UT) t und (ut) tt. In Anbetracht der Reihenfolge der Kleinheit der Koeffizienten an der zweiten und dritten Derivate in der Zeit erhalten wir das in (u t) t 1

23 Es reicht aus, das Derivat (1.70) zu ersetzen (1.70), berechnet mit der Genauigkeit von O (+): UT \u003d AU XU TT + AU XX + O (+), (1,71) und in (UT) TT mit einer Genauigkeit von O ( +): UT \u003d AU X + O (+). (1.7) Als Ergebnis einer solchen Substitution dauert die Gleichung (1.69) das folgende Formular: UT + AU X + (AU XU TT + A) U XX + T 6 (AU X) TT \u003d \u003d AU xx A 6 U XXX + O () oder UT + AU XAU TX 4 U TTT + A 4 U TXX A 6 U TTX \u003d AU XX A 6 U XXX + O (). (1.73) Nach Befolgen von Substitutionen zur Gleichung (1.69) werden weitere Maßnahmen mit Gleichung (1,73) aufgenommen. Nun ist es notwendig, das von Gleichung (1,73) bestimmte UT-Derivat zu ersetzen (1,73), in vier Bestimmungen derselben Gleichung: UT + AU XA (AU X + AU TX + AU XX) x 4 (AU X) TT + + A 4 (AU X) XX A 6 (AU X) TX \u003d AU XX A 6 U XXX + O (). Nachdem wir die Likes gebracht haben, erhalten wir die UT + AU XA-Gleichung 1 u txx + a 4 u ttx \u003d a (a) (1 r) u xx + au xxx + o (), 6 (1,74), in dem im Gegensatz zu (1.69) Keiner zweite Malerivate. Die verbleibenden in (1.74) gemischten Derivaten u txx und u ttx berechnen auf der Grundlage der Gleichheit (1.7): u txx \u003d au xxx + o (+), u ttx \u003d a u xxx + o (+). (1.75)

24 Daher wird die Differentialdarstellung (1.74) das Formular u t + au x \u003d a (1 r) u xx a 6 (R 3R + 1) u xxx + o (). (1.76) Somit haben wir Zeitderivate in Grade entfernt und. Die Derivate auf t haben jedoch im rechten Teil von O () lang lang mit älteren Graden geblieben. Wenn Sie den beschriebenen Verfahren weiter fortsetzen, können Sie in der Ansicht (1.68) die Zeitderivate in eine beliebig hohe Reihenfolge entfernen. Infolgedessen erhalten wir eine differentielle Darstellung des Schemas in Form oder UT + AU x \u003d a (1 r) u xx + a 6 (1 r) (R 1) u xxx + ... (1.77) ut + Au x \u003d k \u003d ckkux k. (1.78) Definition. Die Gleichung der unendlichen Reihenfolge (1.78) wird als Form der differenziellen Darstellung des Unterschiedsschemas bezeichnet. Lassen Sie das Unterschiedsschema er hat die Anordnungen der Näherung γ 1 und γ-Software und dementsprechend. Definition. Die differentielle Gleichung, die aus den P-Formen der Differentialdarstellung erhalten wurde, indem die Elemente der Reihenfolge O (γ1 + 1, γ + 1) und höher, ist höher, die als erste differentielle Annäherung (S.) des Unterschiedsschemas bezeichnet wird. Für das gegenüberliegende Schema (1.66) p. P. Es ist eine Differentialgleichung von zweiter Ordnung ut + au x \u003d μu xx, μ \u003d A (1 r), (1,79), die, wie wir sehen, mit der Gleichung (1,5) zusammenfällt (1.5) mit dissibativem Mitglied. Somit in R 1 ist unser Schema implizit die Viskosität (Dissipation), die in einer angenähernden Übertragungsgleichung als Annäherungs- oder Schaltungsviskosität bezeichnet wird. Das Vorhandensein einer Annäherungsviskosität und führt zur Entladung des anfänglichen Schritts. Definition. Das Eigentum des Unterschiedssystems, das durch die Anwesenheit in ihren Absätzen verursacht wird. N. Derivate der sogar numerischen Dissipation wird bezeichnet. 3.

25 P-Form der Differenzdifferation des Unterschiedsschemas von LAX VendRoff hat das Erscheinungsbild von ut + au x \u003d A 6 (1 r) u xxx A3 8 r (1 r) u xxxx + ... und p. D . UT + AU x + νu xxx \u003d 0, ν \u003d A 6 (1 r) (1,80) fällt mit Gleichung (1,53) mit Dispersionselement zusammen. Infolgedessen führt das LAX-VendRoff-Scheme infolge deshalb implizit die Dispersion in die approximierte Übertragungsgleichung ein, so dass die Differenzschema-Lösung oszillieren kann (Fig. 4). y Abb. 4. Diagramme der genauen Lösung (Riegelleitungen) und numerische Lösungen (durchgezogene Linien), die mit dem LAX VendRoff-Schema zu Zeiten T \u003d 1 (1) erhalten werden; T \u003d 8 (); T \u003d 15 (3). a \u003d 1; x 0 \u003d 10; A / \u003d 0, 5 Definition. Die Eigenschaft des Unterschiedsschemas, das durch die Anwesenheit in S. p. D. Derivate einer ungeraden Reihenfolge wird als numerische Dispersion bezeichnet. Fassen wir unsere Argumentation zusammen. Bei Aufgaben mit einer reibungslos ändernden Lösung ist der Beitrag, zu dem hochfrequente Harmonische klein ist, die Genauigkeit des LAX VendRoff-Schemas höher als die Genauigkeit des Gegenregels. Wenn wir das Problem lösen, in dem die Lösung ein scharf wechselnes Monoton-Profil aufweist, ergibt die Verwendung des Anti-Transaktionsprofils erster Ordnung ein monotones nichtkompamierendes Profil, das jedoch stark geglättet ist. Dies ist das Ergebnis der Wirkung der numerischen Dissipation. Das LAX VendRoff-Schema, das eine numerische Dispersion aufweist, kann nicht monotonische Profile einer numerischen Lösung in der Umgebung einer Pause oder einer starken Änderung der von nicht körperlichen Schwingungen verzerrten Lösungen ergeben. x 4.

26 Z und D und H und 1.1. Zeigen Sie das, wenn ein< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива. 1.. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явная схема для уравнения (1.1) u n + a un +1 un = 0, n = 0,..., M 1, = 0, ±1, ±,... (1.81) при a > 0 absolut instabil mit Hilfe einer Neimane-Spektralmethode, um die notwendige Bedingung für den Widerstand des Drei-Schicht-Schemas "Leap-Frog" abzuleiten (Schema mit Überrandung, Schema "Czechhard") für Gleichung (1.1) UN 1 + A UNE +1 UN 1 \u003d 0, n \u003d 1, ..., m 1, \u003d 0, ± 1, ±, ..., (1.8), wenn das Grenzübergangsgesetz in der Form (1.33) angegeben ist (1.33) Bestimmen Sie die Prozedur für Annäherung an einen expliziten Kreislauf mit einer zentralen Unterschied UN + A UN +1 UN 1 \u003d 0, (1.83), aufgebaut für die Übertragungsgleichung (1.1). Verwenden der Neiman-Spektralmethode zur Untersuchung der Stabilität dieses Systems, wenn das Grenzübergangsgesetz als \u003d const angegeben ist. (1.84) 1.5. Bestimmen Sie das Verfahren zur Annäherung des Majaranschemas U N + A UN +1 UN 1 \u003d A UN +1 UN + UN 1, (1.85), die für die Übertragungsgleichung (1.1) aufgebaut ist. Verwenden der Neiman-Spektralmethode, um die Stabilität dieses Systems zu untersuchen, wenn das Grenzübergangsgesetz in der Form (1.84) angegeben ist. fünf

27 1.6. Bestimmen Sie das Verfahren zur Annäherung der Karte von McForms U UN + A UN +1 UN \u003d 0, 0, 5 (u +) UN / + A U U 1 \u003d 0, (1.86), die für die Übertragungsgleichung (1.1) aufgebaut ist. Unter Verwendung der spektralen Methode von Neuran, um die Stabilität dieses Schemas zu untersuchen, wenn das Grenzübergangsgesetz in Form (1.84) angegeben ist, um das Verfahren zur Annäherung des gegenüberliegenden Schemas mit den Gewichten der UN + σA UN (1 Σ) a UN Single 1 \u003d 0, (1,87), die für die Übertragungsgleichung (1.1) mit einem Koeffizienten A\u003e 0 aufgebaut ist. Verwendung des spektralen Verfahrens von Neikane, ziehen die notwendige Bedingung für die Stabilität der Schaltung (1,87), falls das Grenzübergangsgesetz an ist in der Form (1.84) mit dem maximalen Prinzip angegeben, um die Stabilität in der einheitlichen Norm des impliziten Antimanstromschemas UN + A UN + 1 1 \u003d F n + 1, \u003d 1, ..., N, UNO zu untersuchen 0 \u003d μ n 0, n \u003d 0, ..., m, u 0 \u003d u 0 (x), \u003d 0, ..., n, (1.88), der für das Problem (1.7) mit dem maximalen Prinzip gebaut ist, finden Sie a ausreichender Zustand der Stabilität in der einheitlichen Rate des Gegenregels mit den Waagen der UN + ΣA UN (1 Σ) a un 1 \u003d fn + 1 /, un 0 \u003d μ n 0, n \u003d 0, ..., m, U 0 \u003d u 0 (x), \u003d 0, ..., n, (1.89), aufgebaut für das Problem (1.7). Hier 0 Σ 1. 6

28 1.10. Verwenden des maximalen Prinzips, um nachzuweisen, dass die Implementierung des Zustands (1.44) für die Stabilität des Anti-Flow-Stromkreislaufs (1.41) mit dem variablen Koeffizienten A (x, t) ausreicht, um Absätze (1,80) von Lax VendRoff-Systemen zu erhalten zu finden p. n. implizite Schemata UN + A UN + 1 1 \u003d 0, (1,90), die für die Übertragungsgleichung (1.1) mit einem Koeffizienten A\u003e 0 aufgebaut ist. Erklären Sie eine qualitative Erklärung des Verhaltens der Differenzschema-Lösung bei t \u003e 0, wenn der Schritt beim ersten Moment t \u003d 0 eingestellt ist (der Schritt ist eingestellt (1,61) .. Die Eigenschaft der Monotonie der Differenzschemen.1. Eine der grundlegenden Anforderungen an Unterschiedsschemata ist, dass die Lösung der Differenzgleichung das Verhalten der Entscheidung der angenähten Differentialgleichung übertragen sollte. Betrachten Sie zum Beispiel das Cauchy-Problem für eine lineare Getriebegleichung U T + AU x \u003d 0, a \u003d const\u003e 0,< x <, t > 0, (.1) u (x, 0) \u003d u 0 (x). (.) Wenn u 0 (x) nicht mehr (nicht pulmonale) Funktion der Variablen X ist, dann mit jedem festen T\u003e 0, der Lösung u (x, t) der Aufgaben (.1), (.) wird auch eine nicht brechende (nicht-stufige) Funktion der Variablen x sein. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Lösung jederzeit von der Formel U (x, t) \u003d u 0 (x at) gegeben ist. (.3) Natürlich erfordern, dass die Lösung des Unterschiedsschemas, das angenähernde Problem (.1), (.), Auch eine ähnliche Eigenschaft besaß. Es stellt sich jedoch heraus, dass viele Unterschiedsschemata gegen die Monotonie einer numerischen Lösung verstößt: Anstelle der erwarteten monotonen Profile werden Lösungen, die nicht physikalische Schwingungen enthielten, erhalten (Fig. 4). Der Grund für ihr Ereignis ist die numerische Dispersion der Differenz 7

29 Programme, die im vorherigen Absatz erörtert werden. In diesem Absatz präsentieren wir die Bedingungen bei der Durchführung des Differenzsystems die Monotonie der numerischen Lösung. Betrachten Sie ein beliebiges explizites Differenzschema \u003d α B α u n + α, (.4), wobei α eine ganze Zahl ist, α \u003d α 1, α 1 + 1, ..., α, x + α-Knoten bestimmen das Muster der Schaltkreis. Definition. Das Differenzschema (.4) wird als Diagramm bezeichnet, das die Monotonie einer numerischen Lösung (monotones Diagramm) aufrechterhält, wenn eine Monotonfunktion u n in monotones (n + 1) -M, der zeitlichen Schichtfunktion und mit dem gleichen Wachstum übersetzt Richtung. Beispiel 1. Annäherungsgleichung (.1) an einem einheitlichen Gitter durch das gegenüberliegende Schema u n + a un Single 1 \u003d 0. (.5) Dieses Schema hat das erste Verfahren zur Annäherung an Software und. Lassen Sie die Mesh-Funktion U n auf dem N-Ohm der Zeit der Schicht monoton sein, zum Beispiel durch eine monoton zunehmende Funktion, dh u n UN 1 für willkürlich ist. In diesem Fall, wenn die Bedingung der Stabilität des Schemas mit einer Ansicht Aæ 1 mit einer Ansicht Aæ 1 ist, wo æ \u003d /, wir 1 \u003d (UN-A® (UNUN 1)) (UN 1 Aæ (UN 1 UN)) \u003d \u003d ( 1 Aæ) (UNUN 1) + A® (UN 1 UN) 0. Somit wird die Lösung auf (n + 1) -th-Schicht monoton erhöht. Somit das gegenüberliegende Schema (Dissipation in Aæ< 1) является схемой, сохраняющей монотонность. Пример.. Покажем, что схема Лакса Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (.1) имеет вид (1.61) { 1, при x 0, u 0 (x) = 0, при x > 0. 8

30 ist folglich die anfängliche Gitterfunktion (U 0 1, bei 0, \u003d u 0 (x) \u003d 0, bei\u003e 0 monoton abfallend. Wir schreiben die in Frage als einstufige Kreislauf (1,50) und dann ein Schema (.4) mit den Koeffizienten B 1 \u003d a æ + aæ, b 0 \u003d 1 a æ, b 1 \u003d a æ aæ (.6) ist es nicht schwierig, sicherzustellen, dass die Gleichheit 1 auftritt Die erste Schicht bei 1, u 1 b \u003d 1 + B 0, at \u003d 0, B 1, at \u003d 1, 0, mit. in Aæ< 1 схема устойчива, но b 1 + b 0 > 1, d. H. Die Gitterfunktion U 1 ist nicht monoton abnehmend. Die Monotonie der Schaltkreise für Gleichungen mit konstanten Koeffizienten kann mit dem folgenden Satz untersucht werden. Theorem.1. Um das Differenzschema (.4) mit konstanten Koeffizienten B α, beibehaltenen Monotonie erforderlich, ist es notwendig und eine vollständige Ausführung für alle α-Bedingungen B α 0 (0,7) d O k a und t e l s t in etwa. Notwendigkeit. Angenommen, das Schema (.4) behält die Monotonie, aber es gibt einen negativen Koeffizienten B α0< 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию u n = { 0, < α0, 1, α 0. (.8) Тогда u0 n+1 1 = b α u n α b α u n 1+α = α α = b α b α = b α0 < 0, α α 0 α α

31 d. H. Die Funktion ist nicht monoton nimmt zu, und daher behält das Schema (.4) keine Monotonie bei, was der anfänglichen Annahme widerspricht. Der resultierende Widerspruch erweist sich, dass alle Koeffizienten B α nicht negativ sind. Angemessenheit. Sei b α 0 und u n eine monotone Funktion, zum Beispiel eine monoton zunehmende Funktion. Dann 1 \u003d α b α u n + α α b α u n 1 + α \u003d α b α α (u n + α u n 1 + α) 0, d. H., auch eine monoton zunehmende Funktion. So behält das Schema (.4) die Monotonie bei. Rückkehr wieder in Beispiele.1 und. Und jetzt gehen wir nicht davon aus, dass A\u003e 0 das Antimanstromschema für die Gleichung (.1) mit einem beliebigen Zeichen des Koeffizienten A so aussieht: Wo kann es es in der Form (.4) + A + UNE UN 1 A + \u003d A + A + A UN +1 UN, A \u003d A A. \u003d 0, (.9) Wobei \u003d B 1 u n + b 0 u n + b 1 u n +1, (.10) b 1 \u003d æa +, b 0 \u003d 1 æ a, b 1 \u003d æa. Beim Durchführen des Stabilitätszustands A æ 1 (.11) sind alle diese Koeffizienten nicht negativ. Darüber hinaus sind sie konstant, daher nach Satz.1, das Anti-Schema (.9) behält die Monotonie der Lösung unter dem Zustand (.11). Das LAX VendRoff-Schema ist resistent mit demselben Zustand (.11), als gegensätzliches Schema, und es kann in der Form (0,10) mit Koeffizienten (.6) geschrieben werden, von wo aus klar ist, dass unter dem Zustand ein æ< 1 один из 30

32 Koeffizienten B 1 oder B 1 sind negativ. Gemäß Theorem.1 folgt, dass das Schema von LAX VendRoff, das das zweite Verfahren zur Annäherung an die Annäherung an die Monotonie der Monotonie einer numerischen Lösung hat, aufweist. Es können jedoch andere Systeme der zweiten Reihenfolge der Annäherung antreten, die das Eigentum der Monotonie haben. Es stellt sich heraus, dass es keine solchen Schemata gibt. In diesem Zeitpunkt wird gezeigt, dass für die lineare Übertragungsgleichung (.1) kein monotonisches Schema mit konstanten Koeffizienten der zweiten Reihenfolge der Annäherung anbaut ... berücksichtigen Sie jetzt das Schema (.4) mit variablen Koeffizienten B α . Wird es einen Zustand (0,7) der Nicht-Negativität von Koeffizienten geben, die ausreicht, um die Monotonie einer numerischen Lösung für solche Systeme zu erhalten? Es stellt sich heraus, nein. Wir geben das passende Beispiel. Beispiel.3. Lassen Sie das Cauchy-Problem für die Gleichung u t + a (x) u x \u003d 0, (.1), (x), (.1), wobei a (x), streng steigende positive begrenzte Funktion: 0< a(x) < 1 и a > 0. Bis zum Lösen dieses Problems mit variablen Koeffizienten 0, 5 (u n +1 +) UN 1 + Aun +1 UN 1 \u003d 0, (.13), wobei ein \u003d a (x), x-Knoten eines einheitlichen Netzes . Das entladene Schema ist ein Analogon des LAX-Schemas (1.46), das die Monotonie der numerischen Lösung beibehält (siehe Task.1). Wir werden davon ausgehen, dass für jeden Zustand der Zustand æa< 1, (.14) гарантирующее устойчивость схемы (.13) в равномерной норме по начальным данным: C u 0 C. (.15) Запишем схему (.13) в виде (.4): = b 1, u n 1 + b 1, u n +1, (.16) где b 1, = 1 + æa, b 1, = 1 æa, 31

In diesem Fall sind in diesem Fall die Koeffizienten B α mit einem zusätzlichen Index ausgestattet, da sie variable Koeffizienten und Änderung sind, wenn sie sich von einem Knoten zum anderen bewegen. Aufgrund der Bedingung (.14) sind beide Koeffizienten positiv, aber das Schema (.13) behält nicht die Monotonie der numerischen Lösung bei. In der Tat eine monoton zunehmende Funktion (u n 0,< 0, = 1, 0, убеждаемся, что на (n + 1)-м слое по времени имеет место равенство = 0, при < 1, b 1, 1, при = 1, b 1,0, при = 0, 1, при 1. Но b 1, 1 > B 1.0 nimmt daher die Gitterfunktion zu. Es ist kein monotones, gegebenes Beispiel, dass andere Anzeichen von Monotonie für die Schemata mit variablen Koeffizienten verwendet werden sollten, anstatt unter dem Zeichen (0,7) angegeben. Theorem .. lassen Sie die Koeffizienten des Differenzschemas \u003d B 1, UN 1 + B 0, UN + B 1, UN +1 (.17) in jedem Knoten x den Zustand der Bedingung erfüllen, dann unter allen Bedingungen B 1, + B 0 , + B 1, \u003d 1. (.18) b ± 1, 0, b 1, + b 1, 1 1 (1,19) ist notwendig und ausreichend, so dass das Schema (.17) mit variablen Koeffizienten die Monotonie von beibehalten die numerische Lösung. D o k a und t e l s t in ungefähr. Wir schreiben das Schema (.17) mit variablen Koeffizienten, die den Zustand (.18) erfüllen, in dem folgenden Formular: \u003d u n b 1 (u n u n 1) + b1, (u n +1 u n). (0) 3

34 Dann +1 \u003d UN +1 B 1, + 1 (u n +1 u n) + b1, + 1 (u n + u n +1). Folglich +1 UN + 1 \u003d (UN +1 UN) (1 B 1, + 1 B 1,) + (+ B 1, + 1 UN + UN (+1) + B 1, UNUN) (.1) 1. Die Notwendigkeit. Lassen Sie das Schema (.17) Monotonne. Wir beweisen, dass seine Koeffizienten Ungleichheiten (.19) erfüllen. Angenommen, dies ist nicht so viel von den Bedingungen (.19), die nicht in einigen Knoten X 0, beispielsweise B 1,0 ausgeführt werden< 0. Положим Из (.1) тогда следует u n = { 0, если < 0, 1, если un+1 0 = b 1,0 < 0, т. е. функция не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (.19). Достаточность. Пусть в каждом узле x коэффициенты схемы (.17) удовлетворяют неравенствам (.19) и функция u n является монотонной, например монотонно возрастающей. Тогда из равенства (.1) следует, что функция также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана. Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (.16) не удовлетворяют второму из условий (.19) теоремы.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадим другую формулировку теоремы.. Теорема.3. Для того чтобы конечно-разностная схема u n + C 1/ un x, 1/ C+ +1/ un x,+1/ = 0, (.) сохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех условий где æ = /, u n x,+1/ = un +1 un C ± +1/ 0, C +1/ + C+ +1/ 1 æ, (.3). 33

35 d o k a und t e l t t in ungefähr. Das Schema (.) Sie können in der Form (.17) mit B 1, \u003d æc 1 /, B 1, \u003d æc + 1 /, B 0, \u003d 1 æc 1 / æc + + 1 / abschreiben. Dann wird für die Koeffizienten B α, Gleichheit (.18) durchgeführt, und die Bedingungen (.19) entsprechen den Bedingungen (.3). Kommentar. Es hat sich bewährt, dass die Leistung der Ungleichheiten (.3) ausreicht, um sicherzustellen, dass das Diagramm (.) Ein TVD-Schema (Gesamtvariation Diminising-SCEME), dh das Schema, die Lösung von, wenn nicht mit einem N 0 die Bedingung erfüllt, erfüllt von der Nichtrückzahlung der vollen Variation TV () TV (UN), (.4), wo unter der Gesamtvariation der Netzwerkfunktion der Wert des Wertes den Wert TV (UN) \u003d \u003d UN +1 U N verstanden werden. (.5) Derzeit werden TVD-Systeme und ihre diversen Modifikationen zur Lösung vieler Aufgaben mit diskontinuierlichen Lösungen eingesetzt. Der Grund für eine solche große Beliebtheit dieser Methoden besteht darin, dass sie nicht kompatible Lösungen-Profile, hohe Solvastierbarkeit im Bereich der Pausen ergeben und eine hohe Genauigkeit in den Bereichen der Glätte der Lösung behalten. Moderne TVD-Systeme der hohen Reihenfolge der Annäherung basieren auf bestimmten Verfahren zur Erholung (Rekonstruktion) von Funktionen der Funktionen an den Grenzen von Zellen durch ihre Werte in den Zentren benachbarter Zellen. In diesem Fall ist das Schema-Muster variabel und hängt vom Verhalten der numerischen Lösung ab. Die Rekonstruktionsalgorithmen basieren auf der Verwendung von speziellen Durchflussbegrenzern, die so gebaut sind, dass das Schema mit den Begrenzten TVD (0,4) besaß. 3. Monotonisierung des Schemas von Lax Vendroff. Wenn die anfängliche Funktion bei t \u003d 0 in Form eines Schritts eingestellt ist, werden in den folgenden Schichten rechtzeitig nach der LAX VendRoff-Stufe erhalten, die durch Schwingungen verzerrt ist (siehe Fig. 4). Es stellt sich jedoch heraus, dass das LAX VENDROFF-Schema modifiziert werden kann, um 34 zu werden

36 TVD-Eigenschaft (.4) und daher laut Theorem.3 ein Schema werden, das die Monotonie der numerischen Lösung bewahrt. Die Koeffizienten des modifizierten Schemas sind jedoch nicht dauerhaft, sie können von der Entscheidung überhängen n-M-Schicht, d. H. Das modifizierte Schema wird nichtlinear sein. Betrachten Sie die Übertragungsgleichung (.1) im Fall von A \u003d const\u003e 0. Das Schema von LAX VendRoff (1,50) kann umgeschrieben oder UN + A UN X, + 1 / + UN X, 1 / A () UNX, + 1 / UN X, 1 / \u003d 0, (.6) oder UN + AU NX, 1 / + A (1 Aæ) UN X, + 1 / UN X, 1 / UN \u003d 0, (.7) + AU nx, \u003d a (1 aæ) un xx ,. (.8) S. d. (1.79) Das gegenüberliegende Schema enthält ein dissibierendes Element 0, 5a (1 Aæ) u xx, und in der Ansicht (.8) hat das gleiche dissipative Element in einem Differenzform das entgegengesetzte Zeichen. Somit wird das LAX VendRoff-Schema als ein monotones Diagramm mit einem Unterschied gegen einen Strömungsdurchfluss dargestellt, einem ergänzenden sogenannten Anti-Diffusionselement, der das dissipative Element in den Absätzen eliminiert. Steuerung des Schemas, das in das LAX VendRoff-Schema steuert. Reduzieren eines Anti-Infusion-Mitglieds an den Orten des möglichen Erscheinungsbildes von Schwingungen können Sie versuchen, sie zu verhindern. Passen Sie das antidiffife Mitglied in das LAX VendRoff-Schema (.7) mit der Limiter-Funktion φ (ξ) eines bestimmten Arguments ξ: UN + AU NX, 1 / + A (1 A®) ((φu nx) + 1 / (φu NX) 1 /) \u003d 0.9) Wenn φ 0, dann haben wir ein monotones Antimanstromschema der ersten Reihenfolge der Annäherung. Wenn φ 1, erhalten wir das LAX-VendRoff-Schema der zweiten Reihenfolge der Annäherung an reibungslose Lösungen, aber auf diskontinuierlichen Lösungen oszillieren. 35.

37 in der Differenzschema (.9) φ + 1 / \u003d φ (ξ + 1 /). Als diskretes Argument ξ + 1 / Wählen Sie den Wert von UNX, 1 / + 1 / \u003d UNX, 1/1/0, X, + 1 / (.30) 1 bei UNX, + 1 / \u003d 0. auf einem Oszillierende Lösung Das Verhältnis UNX, 1 / / UN X, + 1 / wird daher negativ, daher bei ξ + 1 /< 0 полагаем, что Φ +1/ = 0. Далее будем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ также принимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, что функция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) 0 при всех ξ 0. Далее рассмотрим случай, когда ξ +1/ > 0. Wir wählen die Limiter-Funktion, damit das System TVD (.3) erfüllt und das zweite Verfahren zur Annäherung an reibungslose Lösungen beibehalten. Um dies zu tun, transformieren wir das modifizierte Schema von LAX VendRoff (.9) in das Formular (.): Oder UN + AU NX, 1/ + A (1 A®) ((φ φ) [+ AA ((φ) ξ ) + 1 / + 1 / φ 1 /) UNX, 1 / \u003d 0, φ 1 /)] UNX, 1 / \u003d 0. Somit werden die in der Form (.) Aufgezeichneten Koeffizienten des Schemas (.9) bestimmt durch die Formeln [c + +1 / \u003d 0, c 1 / \u003d a æ ((φ)] ξ φ 1 /. + 1 / Nach Satz.3, Bedingung 0 C 1/1 æ (.31) sorgt dafür, dass das LAX WendRoff-Schema mit dem eingedrungenen Limiter die Monotonie der numerischen Lösung aufrechterhalten wird. Als nächstes gehen wir davon aus, dass der Stabilitätszustand des Lackschemas 36 ist

38 SA VENDROFF wird durchgeführt, dh Aæ 1. Dann ist es dann, damit die Ungleichung (.31) für alle Aæ 1 fair zu sein ist, ist es notwendig und genug, um eine Ungleichung (φ) ξ + 1 / φ 1 /, und dafür durchzuführen Es reicht aus, um die Ausführung für alle folgenden Ungleichheiten zu erfordern: (φ) 0, 0 φ + 1 /. ξ + 1 / Region in der Ebene der Variablen φ und ξ, in der diese Ungleichheiten durchgeführt werden, in Fig. 2 dargestellt. 5, a. Wenn der Graph der Funktion φ \u003d φ (ξ) in diesem Bereich liegt, wird das modifizierte Schema (.9) die Monotonie der numerischen Lösung beibehalten. Φ \u003d φ φ \u003d φ \u003d ξ \u003d ξ Φ \u003d 1 1 φ \u003d a ξ b ξ. 5. Und in der schattierten Region ist das modifizierte Schema von Lax VendRoff (.9) ein TV-Schema; B In einem Doppel-Schlupfbereich ist das modifizierte Schema von LAX VendRoff das TVD-Schema der zweiten Reihenfolge der Annäherung, also nehmen wir an, dass φ (ξ) \u003d 0 bei ξ 0, 0 φ (ξ) min (, ξ) in ξ\u003e 0. (.3) Untersuchen wir nun die Reihenfolge der Annäherung des modifizierten Schemas, vorausgesetzt, dass die kontinuierliche Funktion φ \u003d φ (ξ) 37 erfüllt

39 Nächste zusätzliche Einschränkungen: φ (1) φ (ξ) L ξ 1 ξ, ξ 1, ξ, (.33) φ (1) \u003d 1, (.34), i. Wir benötigen das, was die Funktion φ \u003d (ξ) erfüllt den Lipschitz-Zustand mit einem dauerhaften L\u003e 0 und der Graph dieser Funktion durch den Punkt (1, 1). Wir schreiben das modifizierte Schema von LAX VendRoff (.9) in Form des ursprünglichen Schemas von Lax VendRoff (.7) mit einem zusätzlichen Mitglied, in dem UN + AU NX, 1/ + A (1 A®) (UNX, + 1 / UN X, 1 /) + + A (1 A®) RN \u003d 0, (.35) R N \u003d (φ + 1/1) UNX, + 1 / (φ 1/1) UNX, 1 /. (.36) Lassen Sie u \u003d u (x, t) eine ziemlich reibungslose Lösung des Cauchy-Problems (.1), (.). Wir werden diese Lösung im Ausdruck (.36) ersetzen, während wir alle vorherigen Bezeichnungen darin halten, aber wenn man bedenkt, dass nun u n x, + 1 / \u003d u (x +1, t n) u (x, t n). (.37) Natürlich, wenn die Funktion u (x, tn) linear ist, u (x, tn) \u003d bx + c, dann r n 0. unter Verwendung von Bedingungen (.33), (. 34), ist es einfach Überprüfen Sie das für. quadratische Funktion U (x, tn) \u003d AX + BX + C (A 0) Die Gleichheit R n \u003d o () erfolgt für alle Knoten eines beliebigen numerischen Spaltes (α, β), der keinen Extrempunkt X \u003d B / enthält ein. Im Allgemeinen ist die folgende Anweisung fair. Lemma.1. Lassen Sie die Bedingungen (.33), (.34) und eine ziemlich reibungslose Lösung des Cauchy-Problems (.1), (.), Erfüllt es den Zustand UX (X, TN) 0 x [α, β] in einem numerischen Segment [α, β]. (.38) Dann R n \u003d o () x (α, β). (.39) 38

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