3 Erhaltungssätze von Impuls und Energie. Moskauer Staatliche Universität für Druckkunst
Energie und Impuls sind die wichtigsten Begriffe der Physik. Es stellt sich heraus, dass Naturschutzgesetze generell eine wichtige Rolle spielen. Die Suche nach Erhaltungsgrößen und den Gesetzmäßigkeiten, aus denen sie gewonnen werden können, ist Gegenstand der Forschung in vielen Bereichen der Physik. Lassen Sie uns diese Gesetze am einfachsten aus dem zweiten Newtonschen Gesetz ableiten.
Impulserhaltungssatz.Impuls, oder Menge an BewegungP als Produkt der Masse definiert m Materialpunkt pro Geschwindigkeit v: P= mv. Newtons zweites Gesetz, das die Definition des Impulses verwendet, wird geschrieben als
= DP= F, (1.3.1)
Hier F ist die Resultierende der auf den Körper wirkenden Kräfte.
geschlossenes System wird ein System genannt, bei dem die Summe der auf den Körper wirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist:
F= å Fich= 0 . (1.3.2)
Dann ist die Änderung des Impulses des Körpers in einem abgeschlossenen System nach Newtons zweitem Gesetz (1.3.1), (1.3.2).
DP= 0 . (1.3.3)
In diesem Fall bleibt der Impuls des Teilchensystems konstant:
P= å Pich= konstant . (1.3.4)
Dieser Ausdruck ist Gesetz der Impulserhaltung, die wie folgt formuliert wird: Wenn die Summe der auf einen Körper oder Körpersystem wirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, ist der Impuls des Körpers oder Körpersystems ein konstanter Wert.
Gesetz der Energieeinsparung. Im Alltag verstehen wir unter dem Begriff „Arbeit“ jede nützliche Arbeit eines Menschen. In der Physik wird es studiert mechanische Arbeit, die nur auftritt, wenn sich der Körper unter Einwirkung einer Kraft bewegt. Die mechanische Arbeit ∆A ist definiert als das Skalarprodukt der Kraft F auf den Körper aufgebracht, und Körperverschiebung Δ R als Ergebnis dieser Kraft:
EIN EIN= (F, Δ R) = F EIN R cosα. (1.3.5)
In Formel (1.3.5) wird das Vorzeichen der Arbeit durch das Vorzeichen von cos α bestimmt.
Wenn wir den Schrank bewegen wollen, drücken wir mit Kraft darauf, aber wenn er sich nicht gleichzeitig bewegt, dann mechanische Arbeit wir tun es nicht. Man kann sich den Fall vorstellen, wenn sich der Körper ohne Beteiligung von Kräften (durch Trägheit) bewegt,
in diesem Fall wird auch keine mechanische Arbeit geleistet. Wenn ein Körpersystem Arbeit verrichten kann, dann hat es Energie.
Energie ist einer der wichtigsten Begriffe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in anderen Bereichen der Physik: Thermodynamik und Molekülphysik, Elektrizität, Optik, Atom-, Kern- und Teilchenphysik.
In jedem System, das zur physischen Welt gehört, wird bei jedem Prozess Energie gespart. Nur die Form, in die sie übergeht, kann sich ändern. Zum Beispiel, wenn eine Kugel einen Ziegelstein trifft, Teil kinetische Energie(überdies ein größerer) wird zu Wärme. Der Grund dafür ist das Vorhandensein einer Reibungskraft zwischen der Kugel und dem Ziegel, in der sie sich mit großer Reibung bewegt. Wenn sich der Turbinenrotor dreht, wird mechanische Energie in elektrische Energie umgewandelt und gleichzeitig tritt in einem geschlossenen Stromkreis ein Strom auf. Die bei der Verbrennung chemischer Brennstoffe freigesetzte Energie, d.h. die Energie molekularer Bindungen wird in thermische Energie umgewandelt. Die Natur der chemischen Energie ist die Energie intermolekularer und interatomarer Bindungen, die im Wesentlichen molekulare oder atomare Energie darstellt.
Energie ist eine skalare Größe, die die Fähigkeit eines Körpers charakterisiert, Arbeit zu verrichten:
E2-E1= ∆A. (1.3.6)
Wenn mechanische Arbeit verrichtet wird, ändert sich die Energie eines Körpers von einer Form in eine andere. Die Energie eines Körpers kann in Form von kinetischer oder potentieller Energie vorliegen.
Energie mechanische Bewegung
W Verwandte = .
namens kinetische Energie Vorwärtsbewegung des Körpers. Arbeit und Energie werden im SI-Einheitensystem in Joule (J) gemessen.
Energie kann nicht nur durch die Bewegung von Körpern bestimmt werden, sondern auch durch deren gegenseitige Übereinkunft und formen. Diese Energie heißt Potenzial.
Potenzielle Energie besitzen relativ zueinander zwei Lasten, die durch eine Feder verbunden sind, oder ein Körper, der sich in einer bestimmten Höhe über der Erde befindet. Dies letztes Beispiel bezieht sich auf die Gravitationspotentialenergie, wenn sich ein Körper von einer Höhe über der Erde zu einer anderen bewegt. Er wird nach der Formel berechnet
Die Abbildung zeigt Diagramme der Abhängigkeit des Impulses von der Bewegungsgeschwindigkeit zweier Körper. Welcher Körper hat die größere Masse und um wie viel?
1) Die Massen der Körper sind gleich
2) Körpergewicht 1 ist 3,5-mal höher
3) Körpergewicht 2 mehr
4) Laut den Diagrammen ist es unmöglich
Körpermasse vergleichen
Plastilin-Kugelmasse T, sich mit Geschwindigkeit bewegen v , trifft auf eine ruhende Plastilin-Massekugel 2t. Nach dem Aufprall kleben die Kugeln zusammen und bewegen sich gemeinsam. Wie groß ist ihre Bewegungsgeschwindigkeit?
1) v /3
3) v /2
4) Nicht genügend Daten, um zu antworten
Waggons wiegen m = 30 Tonnen und m= 20 t bewegen sich entlang einer geraden Eisenbahnstrecke mit Geschwindigkeiten, deren zeitliche Abhängigkeit der Projektionen auf eine Achse parallel zu den Gleisen in der Abbildung dargestellt ist. Nach 20 Sekunden erfolgte eine automatische Kopplung zwischen den Autos. Mit welcher Geschwindigkeit und in welche Richtung sollen die gekuppelten Waggons fahren?
1) 1,4 m/s, in Richtung der Anfangsbewegung 1.
2) 0,2 m/s, in Richtung der Anfangsbewegung 1.
3) 1,4 m/s, in Richtung Anfangsbewegung 2 .
4) 0,2 m/s, in Richtung der Anfangsbewegung 2 .
Energie (E) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viel Arbeit ein Körper verrichten kann
Perfekte Arbeit ist gleichbedeutend mit der Veränderung der Energie des Körpers
Die Körperkoordinate ändert sich entsprechend der Gleichung x : = 2 + 30 T - 2 T 2 in SI geschrieben. Körpergewicht 5 kg. Wie groß ist die kinetische Energie des Körpers 3 Sekunden nach Beginn der Bewegung?
1) 810 J
2) 1440 J
3) 3240 J
4) 4410J
Die Feder wird um 2cm gedehnt . Gleichzeitig wird gearbeitet 2 J. Wie viel Arbeit muss aufgewendet werden, um die Feder um weitere 4 cm zu dehnen?
1) 16 J
2) 4J
3) 8J
4) 2J
Mit welcher der Formeln lässt sich die kinetische Energie E k bestimmen, die der Körper am Scheitelpunkt der Bahn hat (siehe Abbildung)?
2) E K \u003d m (V 0) 2 / 2 + mgh-mgH
4) E K \u003d m (V 0) 2 / 2 + mgH
Der Ball wird dreimal mit der gleichen Anfangsgeschwindigkeit vom Balkon geworfen. Das erste Mal war der Geschwindigkeitsvektor des Balls vertikal nach unten gerichtet, das zweite Mal – vertikal nach oben, das dritte Mal – horizontal. Luftwiderstand ignorieren. Der Geschwindigkeitsmodul des Balls bei Annäherung an den Boden ist:
1) mehr im ersten Fall
2) mehr im zweiten Fall
3) mehr im dritten Fall
4) in allen Fällen gleich
Der Fallschirmspringer steigt gleichmäßig von Punkt 1 ab zu Punkt 3 (Abb.). An welchem Punkt der Flugbahn hat seine kinetische Energie den größten Wert?
1) Bei Punkt 1.
2) Bei Punkt 2 .
3) Bei Punkt 3.
4) An allen Wertstellen
Energien sind gleich.
Nachdem der Schlitten den Hang der Schlucht verlassen hat, steigt er entlang des gegenüberliegenden Hanges auf eine Höhe von 2 m (bis zur Spitze 2 in der Abbildung) und stoppen. Das Gewicht des Schlittens beträgt 5 kg. Ihre Geschwindigkeit am Grund der Schlucht betrug 10 m/s. Wie hat sich die mechanische Gesamtenergie des Schlittens bei der Bewegung von Punkt 1 verändert? zu Punkt 2?
1) Hat sich nicht geändert.
2) Erhöht um 100 J.
3) Um 100 J verringert.
4) Um 150 J verringert.
8.3. Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses. Momentengleichung
Es ist bekannt, dass Drehimpuls(Impuls) eines materiellen Punktes ist eine vektorielle physikalische Größe, numerisch gleich dem Produkt seines Impulses (Impuls) durch die Schulter, d.h. der kürzeste Abstand von der Richtung des Impulses zur Drehachse (oder Drehmittelpunkt):
L ich = m ich v ich r ich = m ich ω ich r ich r ich = m ich r ich 2 ω ich = ich ich ω, (8.22)
wobei I i das Trägheitsmoment des Materialpunktes relativ zur ausgewählten Rotationsachse (ausgewähltes Zentrum) ist;
ω - Winkelgeschwindigkeit eines materiellen Punktes.
In Vektorform
L ich= ich ich ω oder L = [R P]. (8.23)
Impuls eines starren Körpers(System) relativ zur ausgewählten Rotationsachse (oder Zentrum) ist gleich der Summe des Drehimpulses der einzelnen materiellen Punkte des Körpers (Körper des Systems) relativ zur gleichen Achse (gleichen Zentrum) der Rotation. Dabei
L= ich ω , (8.24)
wo ist das Trägheitsmoment des Körpers (Systems);
ω - Winkelgeschwindigkeit.
Die Grundgleichung für die Dynamik der Drehbewegung eines materiellen Punktes hat die Form
,
(8.25)
wo L i - Drehimpuls eines materiellen Punktes relativ zum Ursprung;
- auf den i-ten Materialpunkt wirkendes Gesamtdrehmoment;
- das resultierende Moment aller auf einen materiellen Punkt wirkenden Schnittgrößen;
- das resultierende Moment aller auf einen materiellen Punkt wirkenden äußeren Kräfte.
Für einen Körper, der aus n materiellen Punkten besteht (ein System von n Körpern):
.
(8.26)
Als 
- Moment von allem interne Kräfte ist dann gleich null
oder 
,
(8.27)
wo L 0 - Drehimpuls des Körpers (Systems) relativ zum Ursprung;
m vn - das Gesamtdrehmoment der auf den Körper (System) einwirkenden äußeren Kräfte.
Aus (8.27) folgt, dass sich der Drehimpuls eines Körpers (Systems) unter Einwirkung des Moments äußerer Kräfte ändern kann und die Geschwindigkeit seiner Änderung gleich dem Gesamtdrehmoment der auf den Körper (System) wirkenden äußeren Kräfte ist .
Wenn m ext = 0, dann
, ein L 0 = konstant. (8.28)
Wirkt also auf einen Körper (ein geschlossenes System) kein äußeres Drehmoment, so bleibt sein Drehimpuls konstant. Diese Aussage heißt Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses.
Für reale Systeme kann das Drehimpulserhaltungsgesetz geschrieben werden als
, und L 0 x = konst. (8.29)
Aus dem Drehimpulserhaltungssatz folgt: wenn sich der Körper nicht dreht
(ω = 0), dann wird es für M = 0 nicht in Rotation kommen; Wenn der Körper eine Rotationsbewegung ausführt, dann macht er bei M = 0 eine Uniform Drehbewegung.
Gleichungen 
,
namens Momentengleichungen, jeweils für einen Körper (System) oder einen materiellen Punkt.
Die Momentengleichung gibt an, wie sich der Drehimpuls unter Einwirkung von Kräften ändert. Seit d L 0 = m∙dt, dann erhöht das Kraftmoment, das in Richtung mit dem Drehimpuls zusammenfällt, diesen. Wenn das Moment der Kräfte auf das Moment des Impulses gerichtet ist, nimmt dieses ab.
Die Momentengleichung gilt für jede beliebige feststehende Drehachse.
Hier sind einige Beispiele:
ein ) Wenn eine Katze unerwartet aus großer Höhe fällt, dreht sie ihren Schwanz energisch in die eine oder andere Richtung und erreicht so die optimale Drehung ihres Körpers für eine günstige Landung.
B )
eine Person bewegt sich am Rand einer runden, frei drehbaren Plattform entlang: Die Impulsmomente der Plattform und der Person seien jeweils gleich 
und 
, dann erhalten wir unter der Annahme, dass das System geschlossen ist
,
,
.
Jene. Winkelrotationsgeschwindigkeiten dieser Körper um sie herum gemeinsame Achse wird im Vorzeichen und in der Größe entgegengesetzt sein - umgekehrt proportional zu ihren Trägheitsmomenten;
v ) Erfahrung mit Schukowskis Bank. Eine Person, die sich in der Mitte der Bank befindet und sich mit der Plattform dreht, zieht Lasten an sich. Unter Vernachlässigung der Reibung in den Stützlagern betrachten wir das Kraftmoment gleich Null:
,
,
.
,
.
Beim 
,
, wenn 
, dann 
;
d) beim Eiskunstlauf entwickelt und beschleunigt ein Athlet, der eine Rotation ausführt, gleichzeitig seine Rotation;
D )
Gyroskope
- Geräte, deren Funktionsprinzip auf dem Erhaltungssatz des Drehimpulses des Körpers beruht: 
. Entwickelt, um die anfänglich vorgegebene Richtung im Raum auf einem Objekt festzulegen, das sich in eine beliebige Richtung und ungleichmäßig bewegt (Weltraumraketen, Panzer usw.).
Die Bewegung eines Körpers mit konstanter Geschwindigkeit, wie aus den Newtonschen Gesetzen hervorgeht, kann auf zwei Arten erfolgen: entweder ohne Einwirkung von Kräften auf einen gegebenen Körper oder mit Einwirkung von Kräften, deren geometrische Summe Null ist. Zwischen ihnen gibt es grundlegender Unterschied. Im ersten Fall wird keine Arbeit verrichtet, im zweiten Fall wird Arbeit durch Kräfte verrichtet.
Der Begriff „Arbeit“ wird in zwei Bedeutungen verwendet: zur Bezeichnung eines Prozesses und zur Bezeichnung einer skalaren physikalischen Größe, die sich als Produkt der Projektion der Kraft auf die Bewegungsrichtung mit der Länge der Verschiebungsvektorformel „src ="http://hi-edu.ru/e-books/ xbook787/files/f150.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:
In der Mathematik wird das Skalarprodukt zweier Vektoren und der Kosinus des Winkels zwischen ihnen genannt Skalarprodukt Vektoren, also ist die Arbeit gleich dem Skalarprodukt des Kraftvektors F und der Formel des Verschiebungsvektors" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f152.gif" border="0 " align="absmiddle" alt ="(!LANG:
Ist der Winkel zwischen Kraftrichtung und Bewegungsrichtung spitz, verrichtet die Kraft positive Arbeit, ist er stumpf, so ist die Kraftarbeit negativ.
Im allgemeinen Fall, wenn sich die Kraft willkürlich ändert und die Flugbahn des Körpers willkürlich ist, ist die Berechnung der Arbeit nicht so einfach. Der gesamte Weg des Körpers ist in so kleine Abschnitte unterteilt, dass die Kraft auf jeden von ihnen als konstant angesehen werden kann. In jedem dieser Bereiche elementare Arbeit Formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f154.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:
Die Gesamtarbeit, die beim Bewegen des Körpers von Punkt 1 nach Punkt 2 verrichtet wird, entspricht der Fläche der Abbildung unter dem Diagramm F(r), Abb. achtzehn 
.
In der Praxis ist es wichtig, die Arbeitsgeschwindigkeit zu kennen. Die Größe, die die Arbeitsgeschwindigkeit charakterisiert, wird als Leistung bezeichnet.
Die Leistung ist numerisch gleich dem Verhältnis der Arbeitsformelfür die es durchgeführt wird:
definieren e"> durchschnittliche Leistung und die Grenze dieses Verhältnisses, wenn definiert"> Momentanleistung:
Beispiel "> dA = definiert"> Kraft wird durch das Skalarprodukt der Vektoren der wirkenden Kraft und der Geschwindigkeit des Körpers bestimmt:
Beispiel "> v ist unterschiedlich in Bezug auf zwei Bezugssysteme, die sich relativ zueinander bewegen.
Die Fähigkeit eines bestimmten Körpers, Arbeit zu verrichten, wird durch Energie gekennzeichnet.
Im Allgemeinen erscheint Energie in der Physik als einziges und universelles Maß verschiedene Formen Bewegung der Materie und ihre entsprechenden Wechselwirkungen.
Da Bewegung eine integrale Eigenschaft der Materie ist, hat jeder Körper, jedes System von Körpern oder Feldern Energie. Daher charakterisiert die Energie eines Systems dieses System quantitativ in Bezug auf die möglichen Bewegungstransformationen in ihm. Es ist klar, dass diese Transformationen als Ergebnis von Wechselwirkungen zwischen Teilen des Systems sowie zwischen dem System und auftreten Außenumgebung. Für verschiedene Bewegungsformen und die ihnen entsprechenden Wechselwirkungen führt man ein Verschiedene Arten Energie- mechanisch, intern, elektromagnetisch, nuklear usw.
Wir überlegen mechanische Energie. Eine Änderung der mechanischen Bewegung eines Körpers wird durch Kräfte verursacht, die von anderen Körpern auf ihn einwirken. Um den Prozess des Energieaustausches zwischen wechselwirkenden Körpern in der Mechanik quantitativ zu charakterisieren, wird der Begriff der Kraftarbeit verwendet. In der Mechanik wird zwischen kinetischer und potentieller Energie unterschieden.
Kinetische Energie Ein sich bewegender materieller Punkt wird als Wert bezeichnet, der als das halbe Produkt aus der Masse des Punktes und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit definiert ist:
Beispiel "> m, vorwärts bewegt mit einer Geschwindigkeit v, ist auch gleich Beispiel"> F wirkt auf einen ruhenden Körper und bewirkt, dass er sich mit einer Geschwindigkeit v bewegt, dann funktioniert es, und die Energie des sich bewegenden Körpers steigt um die Menge der aufgewendeten Arbeit. Das Inkrement der kinetischen Energie des betrachteten Körpers ist gleich der Gesamtarbeit aller auf den Körper wirkenden Kräfte:
Formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f165.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:- die Differenz zwischen End- und Anfangswert der kinetischen Energie.
Anweisung (3.1) wird aufgerufen Satz über die Änderung der kinetischen Energie.
Die auf einen Körper wirkenden Kräfte können sich in ihrer Natur und ihren Eigenschaften unterscheiden. In der Mechanik eine Aufteilung der Kräfte in konservative und nicht konservativ.
Konservative (potentielle) Kräfte werden genannt, deren Arbeit nicht von der Bahn des Körpers abhängt, sondern nur von seiner Anfangs- und Endposition bestimmt wird, daher ist die Arbeit entlang einer geschlossenen Bahn immer gleich Null. Solche Kräfte sind beispielsweise die Schwerkraft und die Elastizitätskraft.
Kräfte heißen nichtkonservativ (dissipativ), dessen Arbeit von der Form der Flugbahn und der zurückgelegten Strecke abhängt. Nicht konservativ sind beispielsweise die Gleitreibungskraft, die Luftkraft oder der Flüssigkeitswiderstand.
Im allgemeinen Fall kann die Arbeit aller konservativen Kräfte als Abnahme eines bestimmten Werts P dargestellt werden, der als bezeichnet wird potenzielle Energie Körper:
definiert-e "> Die Wertminderung unterscheidet sich von der Erhöhung durch das Vorzeichen definiert-e"> Potentielle Energie ist Teil der mechanischen Energie des Systems, bestimmt durch die relative Position der Körper und die Art der Wechselwirkung zwischen ihnen.
Potenzielle Energie wird durch die Arbeit bestimmt, die die wirkenden konservativen Kräfte leisten würden, um den Körper aus dem Ausgangszustand, in dem durch geeignete Koordinatenwahl angenommen werden kann, dass die potentielle Energie P1 gleich Null ist, in eine gegebene Position zu bringen.
Ausdruck (3.2) kann geschrieben werden als:
Formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f169.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:
Ist also die Funktion P bekannt, so bestimmt (3.3) die Kraft F vollständig in Betrag und Richtung:
Formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f171.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:
Der in (3.4) rechts in eckige Klammern gesetzte und mit der Skalarfunktion P konstruierte Vektor wird aufgerufen FunktionsgradientП und wird mit gradП bezeichnet. Bezeichnung Beispiel "> P in Richtung x, bzw. Beispiel"> y, und Beispiel"> z.
Dann können wir sagen, dass die auf einen materiellen Punkt in einem Potentialfeld wirkende Kraft gleich dem Gradienten der potentiellen Energie dieses Punktes mit umgekehrtem Vorzeichen ist:
Beispiel"> x von Startzustand 1 bis Endzustand 2:
definiert "> Potenzielle Energie kann eine andere physikalische Natur haben und die spezifische Form der Funktion P hängt von der Art des Kraftfeldes ab. Zum Beispiel die potentielle Energie eines Körpers der Masse m, der sich in einer Höhe h über der Erdoberfläche befindet , ist P \u003d mgh, wenn es herkömmlicherweise als Nullniveau der Erdoberfläche genommen wird Da der Ursprung willkürlich gewählt wird, kann die potentielle Energie einen negativen Wert haben.
Die potentielle Energie eines Körpers unter Einwirkung der elastischen Kraft einer verformten Feder ist gleich Beispiel "\u003e x - der Wert der Verformung der Feder, k - die Steifigkeit der Feder.
Sie finden Arbeit gegen elastische Kräfte. Wenden wir eine Kraft F = -kx auf den elastischen Körper an, dann die Arbeit mit Dehnung aus der Formel absmiddle" alt="(!LANG::
definiert durch "> Systemzustandsfunktion. Sie hängt nur von der Konfiguration des Systems und seiner Position in Bezug auf externe Stellen ab.
Die Arbeit der Reibungskraft hängt vom Weg und damit von der Form der Bahn ab. Daher ist die Reibungskraft nicht konservativ.
Eine physikalische Größe, die der Summe der kinetischen und potentiellen Energien des Körpers entspricht, wird als es bezeichnet mechanische Energie E = Beispiel">P .
Es kann gezeigt werden, dass das Inkrement der mechanischen Energie gleich der Gesamtarbeitsformel (!LANG:
Somit, Wenn nichtkonservative Kräfte fehlen oder so sind, dass sie während der für uns interessanten Zeit keine Arbeit am Körper verrichten, bleibt die mechanische Energie des Körpers während dieser Zeit konstant: E \u003d const. Diese Aussage ist bekannt als Gesetz der Erhaltung der mechanischen Energie.
Betrachten Sie ein System von N Teilchen, zwischen denen nur konservative Kräfte wirken: die Formel "(!LANG:.
Wir schreiben Newtons zweites Gesetz für alle N Teilchen des Systems:
Formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f187.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:), ihre Summe ist Null..gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:ist der Impuls des gesamten Systems.
Als Ergebnis der Addition der Gleichungen erhalten wir
definiere "> das Gesetz der Änderung im Impuls des Systems.
Für ein Teilchensystem wird oft die eine oder andere Mittelung verwendet. Das ist viel bequemer, als jedes einzelne Teilchen im Auge zu behalten. Eine solche Mittelung ist der Massenmittelpunkt - ein Punkt, dessen Radiusvektor durch den Ausdruck bestimmt wird:
Formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f192.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:- die Masse eines Teilchens mit einem Radius-Vektor-Beispiel "> m - die Masse des Systems, gleich der Summe der Massen aller seiner Teilchen.
Da die Masse ein Maß für die Trägheit ist, wird der Schwerpunkt genannt Trägheitszentrum des Systems. Manchmal wird er auch als Schwerpunkt bezeichnet, was bedeutet, dass an dieser Stelle die Resultierende der Gravitationskräfte aller Teilchen des Systems angesetzt wird.
Wenn sich das System bewegt, ändert sich der Massenschwerpunkt mit einer Geschwindigkeit
Formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f195.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:- der Impuls des Systems, gleich der Vektorsumme der Impulse aller seiner Teilchen.
Basierend auf (3.8) kann Ausdruck (3.6) dargestellt werden als:
Formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f197.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:- Beschleunigung des Trägheitszentrums des Systems.
Somit bewegt sich das Trägheitszentrum des Systems unter Einwirkung äußerer Kräfte, wie z materieller Punkt mit einer Masse gleich der Masse des gesamten Systems.
Die rechte Seite von (3.6) kann in zwei Fällen gleich Null sein: wenn das System geschlossen ist oder wenn äußere Kräfte sich gegenseitig kompensieren. In diesen Fällen erhalten wir:
definiert "> Wenn die Summe der äußeren Kräfte Null ist (das System ist geschlossen), bleibt der Impuls des Körpersystems für alle darin ablaufenden Prozesse konstant (Impulserhaltungssatz).
Gleichung (3.9) - das Gesetz der Impulserhaltung eines geschlossenen Systems - eines der wichtigsten Naturgesetze. Wie das Energieerhaltungsgesetz gilt es immer und überall – im Makrokosmos, Mikrokosmos und auf der Skala von Weltraumobjekten.
Besondere Rolle physikalische Quantitäten Energie und Impuls wird dadurch erklärt, dass Energie charakterisiert die Eigenschaften der Zeit, und Impuls charakterisiert die Eigenschaften des Raums: ihre Homogenität und Symmetrie.
Einheitlichkeit der Zeit bedeutet, dass alle Phänomene zu verschiedenen Zeitpunkten genau gleich ablaufen.
Homogenität des Raumes bedeutet, dass es keine Orientierungspunkte, keine Merkmale hat. Daher ist es unmöglich, die Position eines Teilchens "relativ zum Raum" zu bestimmen, sie kann nur relativ zu einem anderen Teilchen bestimmt werden. Alle physikalischen Phänomene an allen Punkten im Raum verlaufen genau gleich.
Definiere „e“ > absolut elastisch (oder einfach elastisch), so dass wir beispielsweise den zentralen Stoß zweier Stahlkugeln als absolut elastisch betrachten können.
definiert "> unelastisch. Die Änderung der mechanischen Energie bei solchen Stößen ist in der Regel durch eine Abnahme gekennzeichnet und geht beispielsweise mit der Freisetzung von Wärme einher. Bewegen sich die Körper nach dem Stoß als Ganzes, so nennt man einen solchen Stoß absolut unelastisch.
Unelastischer Aufprall. Die oben betrachteten Kugeln sollen sich nach dem Aufprall als Ganzes mit einer Geschwindigkeit u bewegen. Wir verwenden den Impulserhaltungssatz:
Formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f222.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:
Die mechanische Energie des Systems beim inelastischen Stoß bleibt nicht erhalten, weil Es gibt nichtkonservative Kräfte. Finden wir die Abnahme der kinetischen Energie der Kugeln. Vor dem Aufprall ist ihre Energie gleich der Summe der Energien beider Kugeln:
Formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f224.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:
Energiewandel
Definition "> Ein Beispiel für die Anwendung der Erhaltungssätze von Impuls und mechanischer Energie
AUFGABE. Ein horizontal mit der Geschwindigkeit v fliegendes Geschoss der Masse m trifft auf eine an einem Faden aufgehängte Kugel der Masse M und bleibt darin stecken. Bestimmen Sie die Höhe h, auf die die Kugel mit dem Geschoss aufsteigen wird.
def">LÖSUNG
Der Zusammenstoß einer Kugel mit einer Kugel ist unelastisch. Nach dem Gesetz der Impulserhaltung für ein geschlossenes System Kugel - Kugel kann geschrieben werden:
Beispiel">u ist die Geschwindigkeit des Balls und der Kugel.
Nach dem Erhaltungssatz der mechanischen Energie gilt:
Formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f229.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(!LANG:
Kontrollfragen und Aufgaben
1. Was ist die Arbeit einer Kraft? Wie kann man die Arbeit einer Kraft grafisch bestimmen?
2. Definieren Sie die kinetische Energie eines Körpers.
3. Wie lautet der Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines Körpers?
4. Was charakterisiert potentielle Energie?
5. Wie bestimmt man die spezifische Art der potentiellen Energie des Körpers in einem bestimmten Kraftfeld?
6. Wie ändert sich die potentielle Energie einer Feder mit der Steifigkeit k, wenn sie um gedehnt wird?
7. Was ist die gesamte mechanische Energie?
8. Formulieren Sie das Erhaltungsgesetz der mechanischen Energie des Körpers.
9. Was ist Macht? Wovon hängt es ab?
10. Wie wird der Impulserhaltungssatz mathematisch geschrieben?
11. Welche besonderen Fälle des Impulserhaltungssatzes kennen Sie?
12. Welche Gleichungen können einen absolut elastischen und einen absolut unelastischen Stoß zweier Körper beschreiben?
E voll \u003d E kin + U
E kin \u003d mv 2 / 2 + Jw 2 / 2 - kinetische Energie der Translations- und Rotationsbewegung,
U = mgh ist die potentielle Energie eines Körpers der Masse m in einer Höhe h über der Erdoberfläche.
F tr \u003d kN - Gleitreibungskraft, N - Normaldruckkraft, k - Reibungskoeffizient.
Bei einem außermittigen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz
S p ich= const wird in Projektionen auf die Koordinatenachsen geschrieben.
Das Gesetz der Drehimpulserhaltung und das Gesetz der Dynamik der Rotationsbewegung
S L ich= const ist das Gesetz der Drehimpulserhaltung,
L OS \u003d Jw - axialer Drehimpuls,
L Kugel = [ Rp] ist der Bahndrehimpuls,
dL/dt=SM ext - das Gesetz der Drehbewegungsdynamik,
m= [Rf] = rFsina – Kraftmoment, F – Kraft, a – Winkel zwischen Radius-Vektor und Kraft.
A \u003d òMdj - Arbeit während der Drehbewegung.
Abschnitt Mechanik
Kinematik
Aufgabe
Aufgabe. Die Abhängigkeit des vom Körper zurückgelegten Weges von der Zeit ist durch die Gleichung s = A–Bt+Ct 2 gegeben. Finden Sie die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers zum Zeitpunkt t.
Lösungsbeispiel
v \u003d ds / dt \u003d -B + 2Ct, a \u003d dv / dt \u003d ds 2 / dt 2 \u003d 2C.
Optionen
1.1. Die Abhängigkeit des vom Körper zurückgelegten Weges von der Zeit ist gegeben durch
die Gleichung s \u003d A + Bt + Ct 2, wobei A \u003d 3m, B \u003d 2 m / s, C \u003d 1 m / s 2.
Finden Sie die Geschwindigkeit in der dritten Sekunde.
2.1. Die Abhängigkeit des vom Körper zurückgelegten Weges von der Zeit ist gegeben durch
die Gleichung s \u003d A + Bt + Ct 2 + Dt 3, wobei C \u003d 0,14 m / s 2 und D \u003d 0,01 v / c 3.
Nach wie viel Zeit nach Bewegungsbeginn erfolgt die Beschleunigung des Körpers
wird gleich 1 m / s 2 sein.
3.1 Das gleichmäßig beschleunigt drehende Rad hat die Winkelgeschwindigkeit erreicht
20 rad/s durch N = 10 Umdrehungen nach Bewegungsbeginn. Finden
Winkelbeschleunigung des Rades.
4.1 Ein Rad mit einem Radius von 0,1 m dreht sich so, dass die Abhängigkeit vom Winkel
j \u003d A + Bt + Ct 3, wobei B \u003d 2 rad / s und C \u003d 1 rad / s 3. Für Punkte liegen
am Radkranz, finden Sie nach 2 s nach Bewegungsbeginn:
1) Winkelgeschwindigkeit, 2) Lineargeschwindigkeit, 3) Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung, 4) Tangentialbeschleunigung.
5.1 Ein Rad mit einem Radius von 5 cm dreht sich so, dass die Winkelabhängigkeit
Die Drehung des Radradius gegenüber der Zeit ist durch die Gleichung gegeben
j \u003d A + Bt + Ct 2 + Dt 3, wobei D \u003d 1 rad / s 3. Finden Sie nach liegenden Punkten
am Radkranz die Änderung der Tangentialbeschleunigung z
jede Sekunde der Bewegung.
6.1 Ein Rad mit einem Radius von 10 cm dreht sich so, dass die Abhängigkeit
Lineargeschwindigkeit der auf dem Radkranz liegenden Punkte, aus
Die Zeit ergibt sich aus der Gleichung v \u003d At + Bt 2, wobei A \u003d 3 cm / s 2 und
B \u003d 1 cm / s 3. Finden Sie den Winkel, der durch den Vektor des Vollständigen gebildet wird
Beschleunigung mit Radradius zum Zeitpunkt t = 5s nach
Beginn der Bewegung.
7.1 Das Rad dreht sich damit die Abhängigkeit des Drehwinkels vom Radius
Rad über der Zeit ist durch die Gleichung j = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 gegeben, wobei gilt:
B \u003d 1 rad / s, C \u003d 1 rad / s 2, D \u003d 1 rad / s 3. Finden Sie den Radius des Rades,
wenn bekannt ist, dass bis zum Ende der zweiten Bewegungssekunde
die Normalbeschleunigung der auf dem Radkranz liegenden Punkte ist
und n \u003d 346 m / s 2.
8.1 Der Radiusvektor eines materiellen Punktes ändert sich mit der Zeit gem
Gesetz R=t 3 ich+ t2 J. Bestimmen Sie für den Zeitpunkt t = 1 s:
Geschwindigkeitsmodul und Beschleunigungsmodul.
9.1 Der Radiusvektor eines materiellen Punktes ändert sich mit der Zeit gem
Gesetz R=4t2 ich+ 3t J+2Zu. Schreiben Sie einen Ausdruck für einen Vektor
Geschwindigkeit und Beschleunigung. Bestimmen Sie für die Zeit t = 2 s
Geschwindigkeitsmodul.
10.1 Ein Punkt bewegt sich in der xy-Ebene von einer Position mit Koordinaten
x 1 = y 1 = 0 mit Geschwindigkeit v= A ich+Bx J. Gleichung definieren
die Bahn des Punktes y(x) und die Form der Bahn.
Trägheitsmoment
Abstand L/3 vom Stangenanfang.
Lösungsbeispiel.
M - Stangenmasse J = J st + J gr
L - Stangenlänge J st1 \u003d ml 2 / 12 - Trägheitsmoment der Stange
2m ist das Gewicht des Gewichts relativ zu seinem Mittelpunkt. Nach Satz
Steiner findet das Trägheitsmoment
J=? Stab relativ zur o-Achse, beabstandet von der Mitte durch einen Abstand a = L/2 - L/3 = L/6.
J st \u003d ml 2/12 + m (L / 6) 2 \u003d ml 2/9.
Nach dem Superpositionsprinzip
J \u003d ml 2 / 9 + 2m (2L / 3) 2 \u003d ml 2.
Optionen
1.2. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment eines Stabes mit einer Masse von 2 m relativ zu einer Achse, die vom Anfang des Stabes um den Abstand L/4 entfernt ist. Am Ende des Stabes befindet sich die konzentrierte Masse m.
2.2 Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des Stabes mit der Masse m relativ zu
Achse vom Beginn der Stange in einem Abstand L / 5 beabstandet. Am Ende
Stab konzentrierte Masse 2m.
3.2. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment eines Stabes mit einer Masse von 2 m um eine Achse, die vom Anfang des Stabes um den Abstand L/6 entfernt ist. Am Ende des Stabes befindet sich die konzentrierte Masse m.
4.2. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment einer Stange mit einer Masse von 3 m um eine Achse, die vom Anfang der Stange um einen Abstand L/8 entfernt ist. Am Ende der Stange beträgt die konzentrierte Masse 2 m.
5.2. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment eines Stabes mit einer Masse von 2m um die durch den Stabanfang verlaufende Achse. Am Ende und in der Mitte des Stabes sind konzentrierte Massen m angebracht.
6.2. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment eines Stabes mit einer Masse von 2m um die durch den Stabanfang verlaufende Achse. Am Ende des Stabes ist ein 2m großes konzentriertes Gewicht und in der Mitte ein 2m großes konzentriertes Gewicht angebracht.
7.2. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des Stabes mit der Masse m um die Achse, das L/4 vom Anfang des Stabes ist. Am Ende und in der Mitte des Stabes sind konzentrierte Massen m angebracht.
8.2. Finden Sie das Trägheitsmoment eines dünnen homogenen Rings der Masse m und des Radius r um eine Achse, die in der Ebene des Rings liegt und von seinem Mittelpunkt um r/2 beabstandet ist.
9.2. Finden Sie das Trägheitsmoment einer dünnen homogenen Scheibe der Masse m und des Radius r um eine Achse, die in der Ebene der Scheibe liegt und von ihrem Mittelpunkt um r/2 beabstandet ist.
10.2. Finden Sie das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel mit Masse m und Radius
r relativ zu der Achse, die von ihrem Mittelpunkt um r/2 beabstandet ist.
