Systeme, deren Eingabe- und Ausgabesequenzen durch eine lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten verbunden sind, bilden eine Teilmenge der Klasse der linearen Systeme mit konstanten Parametern. Die Beschreibung von LPP-Systemen durch Differenzengleichungen ist sehr wichtig, da sie oft ermöglicht, effiziente Wege zum Aufbau solcher Systeme zu finden. Darüber hinaus können aus der Differenzengleichung viele Eigenschaften des betrachteten Systems bestimmt werden, darunter Eigenfrequenzen und deren Vielfachheit, Systemordnung, Frequenzen, die einer Nullverstärkung entsprechen usw.

Im allgemeinsten Fall hat eine lineare Differenzengleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten bezogen auf ein physikalisch realisierbares System die Form

(2.18)

wobei die Koeffizienten und ein bestimmtes System beschreiben und . Wie genau die Ordnung des Systems die mathematischen Eigenschaften der Differenzengleichung charakterisiert, wird im Folgenden gezeigt. Gleichung (2.18) ist in einer Form geschrieben, die für die Lösung mit der direkten Substitutionsmethode geeignet ist. Mit einer Reihe von Anfangsbedingungen [z. B. , z ] und der Eingabesequenz kann man mit Formel (2.18) direkt die Ausgabesequenz für berechnen. Zum Beispiel die Differenzengleichung

(2.19)

mit der Anfangsbedingung und kann durch Substitution gelöst werden, was ergibt

Obwohl die Lösung von Differenzengleichungen durch direkte Substitution in manchen Fällen nützlich ist, ist es viel nützlicher, die Lösung der Gleichung in expliziter Form zu erhalten. Methoden zum Finden solcher Lösungen werden in der Literatur zu Differenzengleichungen ausführlich behandelt und hier nur ein kurzer Überblick gegeben. Die Hauptidee besteht darin, zwei Lösungen für die Differenzengleichung zu erhalten: homogen und partiell. Eine homogene Lösung wird erhalten, indem alle Terme, die Elemente der Eingabesequenz enthalten, durch Nullen ersetzt werden und die Antwort bestimmt wird, wenn die Eingabesequenz Null ist. Es ist diese Lösungsklasse, die die Haupteigenschaften des gegebenen Systems beschreibt. Eine bestimmte Lösung erhält man durch Auswahl des Typs der Ausgabesequenz für eine gegebene Eingabesequenz. Anfangsbedingungen werden verwendet, um beliebige Konstanten einer homogenen Lösung zu bestimmen. Als Beispiel lösen wir Gleichung (2.19) mit dieser Methode. Die homogene Gleichung hat die Form

(2.20)

Es ist bekannt, dass die charakteristischen Lösungen homogener Gleichungen, die linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten entsprechen, Lösungen der Form sind. Daher erhalten wir durch Einsetzen in Gleichung (2.20) anstelle von

(2.21)

Wir werden versuchen, eine bestimmte Lösung zu finden, die der Eingabesequenz im Formular entspricht

(2.22)

Aus Gleichung (2.19) erhalten wir

Da die Koeffizienten bei gleichen Potenzen übereinstimmen müssen, müssen B, C und D gleich sein

(2.24)

Auf diese Weise, gemeinsame Entscheidung hat die Form

(2.25)

Der Koeffizient wird bestimmt aus ausgangsbedingung, von wo und

(2.26)

Eine selektive Prüfung der Lösung (2.26) zeigt deren vollständige Übereinstimmung mit der obigen direkten Lösung. Der offensichtliche Vorteil der Lösung (2.26) besteht darin, dass sie die Bestimmung für jedes bestimmte Problem sehr einfach macht.

Feige. 2.7. Schema zur Implementierung einer einfachen Differenzengleichung erster Ordnung.

Die Bedeutung von Differenzengleichungen besteht darin, dass sie direkt die Konstruktionsmethode bestimmen digitales System. Somit handelt es sich um eine Differenzengleichung erster Ordnung allgemeinster Form

kann mit der in Abb. gezeigten Schaltung implementiert werden. 2.7. Der „Delay“-Block verzögert um ein Sample. Die betrachtete Form des Systemaufbaus, bei der separate Verzögerungselemente für die Ein- und Ausgangssequenzen verwendet werden, wird als direkte Form 1 bezeichnet. Im Folgenden werden verschiedene Methoden zum Aufbau dieses und anderer digitaler Systeme besprochen.

Differenzengleichung zweiter Ordnung allgemeinster Form

Feige. 2.8. Schema zur Implementierung der Differenzengleichung zweiter Ordnung.

kann mit der in Abb. gezeigten Schaltung implementiert werden. 2.8. Dieses Schema verwendet auch separate Verzögerungselemente für die Eingabe- und Ausgabesequenzen.

Aus der anschließenden Darstellung des Materials in diesem Kapitel wird deutlich, dass Systeme erster und zweiter Ordnung bei der Implementierung von Systemen höherer Ordnung verwendet werden können, da letztere als in Reihe oder parallel geschaltete Systeme erster und zweiter Ordnung dargestellt werden können.

Lösung gewöhnlicher linearer Differenzengleichungen

mit konstanten Koeffizienten

Die Beziehung zwischen Ausgang und Eingang eines linearen diskreten Systems kann durch eine gewöhnliche lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden

,

Wo y[N]- Ausgangssignal im Moment N,

X[N]- Eingangssignal im Moment N,

ein ich,b k sind konstante Koeffizienten.

Zur Lösung solcher Gleichungen können zwei Methoden verwendet werden.

• direkte Methode,
• Methode Z – Transformationen.

Betrachten wir zunächst die Lösung einer linearen Differenzengleichung mit der direkten Methode.

Die allgemeine Lösung einer inhomogenen (mit einer rechten Seite ungleich Null) linearen Differenzengleichung ist gleich der Summe o Allgemeine Lösung lineare homogene Differenzengleichung und private Entscheidung inhomogene Gleichung

Die allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung ( null-EingangAntwort) y h [N]

definiert als

.

Wenn wir diese Lösung in die homogene Gleichung einsetzen, erhalten wir

Ein solches Polynom heißt charakteristisches Polynom Systeme. Er besitzt N Wurzeln . Wurzeln können real oder komplex sein, und einige Wurzeln können zusammenfallen (mehrere).

Wenn die Wurzeln real und unterschiedlich sind, dann hat die Lösung der homogenen Gleichung die Form

wo Koeffizienten

Wenn zum Beispiel ein Root λ1 hat Vielfältigkeit M, dann nimmt der entsprechende Term der Lösung die Form an

Wenn alle Koeffizienten der homogenen Gleichung bzw. des charakteristischen Polynoms reell sind, dann entsprechen die beiden Terme der Lösung einfachen konjugierten komplexen Wurzeln kann in der Form dargestellt (geschrieben) werden, während die Koeffizienten A,B durch die Anfangsbedingungen bestimmt.

Art der privaten Entscheidung y p [N] Die Gleichung hängt von der rechten Seite (Eingangssignal) ab und wird gemäß der folgenden Tabelle bestimmt

Tabelle 1. Art der jeweiligen Lösung für unterschiedliche Charaktere der rechten Seite

Eingangssignalx[n]	Private Lösungyp[n]
A(Konstante)

Die Lösung einer linearen Differenzengleichung durch die Z-Transformationsmethode besteht in der Anwendung Z– Transformationen der Gleichung unter Verwendung der Eigenschaften Linearität und Zeitverschiebung. Das Ergebnis ist eine lineare algebraische Gleichung bezüglich Z- Bilder der gewünschten Funktion. Umkehren Z– Die Transformation liefert die gewünschte Lösung im Zeitbereich. Um die inverse Z-Transformation zu erhalten, wird am häufigsten die Zerlegung eines rationalen Ausdrucks in einfache (Elementar-)Brüche verwendet, da die Rücktransformation aus einem separaten Elementarbruch eine einfache Form hat.

Beachten Sie, dass auch andere Methoden zur Berechnung der inversen Z-Transformation verwendet werden können, um in den Zeitbereich zu wechseln.

Beispiel. Bestimmen wir die Reaktion (Ausgangssignal) des durch die lineare Differenzgleichung beschriebenen Systems auf das Eingangssignal

Lösung.

1. Direkte Methode zur Lösung der Gleichung.

Homogene Gleichung. Sein charakteristisches Polynom ist.

Polynomwurzeln .

Lösung einer homogenen Gleichung.

Dann definieren wir eine bestimmte Lösung im Formular .

Setze es in die Gleichung ein

Eine Konstante finden ZU akzeptieren n=2. Dann

Oder K=2,33

Daher die besondere Lösung und die allgemeine Lösung der Differenzengleichung (1)

Finden wir Konstanten Ab 1 Und Ab 2. Dafür setzen wir n=0, dann erhalten wir aus der ursprünglichen Differenzengleichung . Für diese Gleichung

Deshalb . Aus Ausdruck (1)

Somit,

.

Aus Ausdruck (1) für n=1 wir haben .
Wir erhalten die folgenden zwei Gleichungen für C 1 und C 2

.

Die Lösung dieses Systems ergibt die folgenden Werte: C 1 = 0,486 und C 2 = -0,816.

Daher die allgemeine Lösung dieser Gleichung

2. Lösung durch die Z-Transformationsmethode.

Nehmen Sie die Z-Transformation aus der ursprünglichen Differenzengleichung unter Berücksichtigung der Eigenschaft (Theorem) der Zeitverschiebung . Wir bekommen

Kontrollfragen:

1. Was ist die Gitterfunktion?

2. Welche Gleichung nennt man Differenzengleichung?

3. Welche Gleichungen nennt man Differenzengleichungen 1. Ordnung?

4. Wie findet man die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung 1. Ordnung?

5. Welche Lösung der Differenzengleichung heißt fundamental?

6. Warum sieht die allgemeine Lösung einer homogenen Gleichung mit konstanten Koeffizienten wie eine geometrische Folge aus?

Aufgaben.

1. Schreiben Sie ein Verfahren zum Lösen einer Differenzengleichung erster Ordnung mit der Anfangsbedingung.

2. Finden Sie für eine gegebene Gleichung die allgemeine und besondere Lösung analytisch.

3. Vergleichen Sie die Ergebnisse der Berechnungen nach der rekursiven Formel mit der analytischen Lösung.

4. Finden Sie heraus, wie sich die Störung der Anfangsbedingung, der Koeffizienten der Gleichung und der rechten Seite auf das Ergebnis auswirkt.

				Richtungen

Finden wir die allgemeine Lösung der Differenzengleichung 1. Ordnung

. (1)

Wir erhalten eine bestimmte Lösung der homogenen Gleichung für die Verwendung der rekursiven Formel: . Da der Wert von Y an jedem nächsten Knoten des Gitters verdoppelt wird, stellt sich heraus geometrischer Verlauf mit Nenner q=2:

Wir finden eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung in der Form: , wobei A ein unbestimmter Koeffizient ist. Dann , , und indem wir den erhaltenen Wert mit der gegebenen rechten Seite gleichsetzen, finden wir den unbestimmten Koeffizienten A=. Zum Schluss die allgemeine Lösung: .

Unter Verwendung der Anfangsbedingung finden wir die Konstante: . Zum Schluss noch eine spezielle Lösung für eine gegebene Anfangsbedingung:

.

Um die Stabilität der Lösung gegenüber einer Störung der Lösung selbst und der Anfangsbedingung zu untersuchen, betrachten Sie die folgende Gleichung:

mit gestörtem Ausgangszustand

(Hier ist das Ausmaß der Störung). Wenn wir die ursprüngliche Gleichung (1) subtrahieren, erhalten wir die Differenzengleichung für die Störung:

mit Anfangsbedingung. Die Lösung dieser Gleichung lautet: , d.h. selbst eine kleine Störung an einem beliebigen Knoten wächst exponentiell mit zunehmender Anzahl der Knoten.

Der Student muss das Obige veranschaulichen: den Einfluss von Störungen der Anfangsbedingung, der rechten Seiten und der Koeffizienten der Gleichung durch Änderung der rekursiven Formel untersuchen.

Die Option muss entsprechend der Nummer des Studierenden auf der Liste im Journal in der Programmiersprache C++ (die Nutzung der Builder-Umgebung ist erlaubt) oder Pascal (die Nutzung der Delphi-Umgebung ist erlaubt) gelöst werden. .

1. Rekursive Formel zum Erhalten einer numerischen Lösung.
2. Analytische Lösung der Differenzengleichung. Allgemeine Lösung und eine bestimmte Lösung, die die gegebenen Anfangsbedingungen erfüllt.
3. Untersuchen Sie die Stabilität der Lösung gegenüber einer Störung des Anfangszustands und der Lösung analytisch.

b) wenn die Koeffizienten der Gleichung gestört sind;

c) wenn die rechte Seite gestört ist.

Thema: Differenzengleichungen 2. Ordnung

Kontrollfragen:

1. Welche Gleichungen werden Differenzengleichungen 2. Ordnung genannt?

2. Was ist eine charakteristische Gleichung?

3. Wie sieht eine bestimmte Lösung einer homogenen Differenzengleichung 2. Ordnung mit reellen Wurzeln der charakteristischen Gleichung aus?

4. Wie sieht eine bestimmte Lösung einer homogenen Differenzengleichung 2. Ordnung mit komplexen Wurzeln der charakteristischen Gleichung aus?

5. Wie findet man die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differenzengleichung 2. Ordnung?

6. Wie lautet die numerische und analytische Lösung der Differenzengleichung 2. Ordnung?

7. Welche Aufgaben werden als gut konditioniert bezeichnet?

Aufgaben

1. Schreiben Sie ein Verfahren zur Lösung eines Differenzrandwertproblems für eine Gleichung zweiter Ordnung mit den Randbedingungen , .

2. Finden Sie für eine gegebene Gleichung analytisch eine allgemeine und eine bestimmte Lösung und überprüfen Sie das Konditionalitätskriterium.

3. Vergleichen Sie die Ergebnisse der Berechnungen nach der rekursiven Formel mit der analytischen Lösung.

4. Finden Sie heraus, wie sich die Störung der Randbedingungen und der rechten Seite auf das Ergebnis auswirkt.

						Finden wir heraus, dass die allgemeine Lösung der Differenzengleichung 2. Ordnung durch die Wahl beliebiger Konstanten gefunden werden kann. Neben den Cauchy-Problemen werden auch Zweipunkt-Randwertprobleme für Gleichungen zweiter Ordnung betrachtet, bei denen die Werte der Gitterfunktion an zwei Knoten angegeben sind, die nicht in einer Reihe, sondern an den Enden einiger endlicher Punkte liegen Segment: (Grenzbedingungen ). Eine analytische Lösung eines solchen Problems kann durch geeignete Wahl beliebiger Konstanten in der allgemeinen Lösung erhalten werden. Im Gegensatz zum Problem mit den Anfangsbedingungen ist das Randwertproblem jedoch nicht unbedingt eindeutig lösbar. Deshalb sehr wichtig erläutert eine Klasse von Randwertproblemen, die eine einzigartige Lösbarkeit und eine geringe Empfindlichkeit gegenüber Störungen (aufgrund von Rundungsfehlern) der rechten Seiten und Randbedingungen aufweisen. Wir werden solche Aufgaben nennen gut konditioniert Betrachten Sie ein Beispiel für ein schlecht konditioniertes Randwertproblem Formulierung des Problems. Anfängliche Differenzengleichung und Randbedingungen. Verfahren zum Erhalten einer numerischen Lösung. Analytische Lösung eines Differenzrandwertproblems. Allgemeine Lösung und eine bestimmte Lösung, die die gegebenen Randbedingungen erfüllt. Überprüfung des Konditionalitätskriteriums. Diagramme der numerischen Lösung und der analytischen Lösung (in den gleichen Achsen). Diagramm des Unterschieds zwischen numerischen und analytischen Lösungen. Diagramme gestört numerische Lösungen und der Unterschied zwischen den gestörten und ungestörten Lösungen: a) wenn der Anfangszustand gestört ist; b) wenn die rechte Seite gestört ist. Fazit zur Konditionalität des Randwertproblems.

Einführung

In den letzten Jahrzehnten mathematische Methoden Sie dringen immer beharrlicher in die Geisteswissenschaften und insbesondere in die Wirtschaft ein. Durch Mathematik und effektive Anwendung Man kann auf Wirtschaftswachstum und Wohlstand des Staates hoffen. Wirksam, optimale Entwicklung ohne den Einsatz von Mathematik unmöglich.

Der Zweck dieser Arbeit besteht darin, die Anwendung von Differenzengleichungen im wirtschaftlichen Bereich der Gesellschaft zu untersuchen.

Vor dieser Arbeit stehen folgende Aufgaben: Definition des Konzepts der Differenzengleichungen; Betrachtung linearer Differenzengleichungen erster und zweiter Ordnung und deren Anwendung in der Wirtschaftswissenschaft.

Bei der Arbeit an einem Kursprojekt wurden die für das Studium verfügbaren Materialien verwendet Lehrmittelüber Wirtschaftswissenschaften, mathematische Analyse, Werke führender Ökonomen und Mathematiker, Referenzpublikationen, wissenschaftliche und analytische Artikel, die in Internetpublikationen veröffentlicht wurden.

Differenzengleichungen

§1. Grundbegriffe und Beispiele für Differenzengleichungen

Differenzengleichungen spielen dabei eine wichtige Rolle Wirtschaftstheorie. Viele Wirtschaftsgesetze werden mit genau diesen Gleichungen bewiesen. Lassen Sie uns die Grundkonzepte von Differenzengleichungen analysieren.

Die Zeit t sei die unabhängige Variable und die abhängige Variable sei für die Zeit t, t-1, t-2 usw. definiert.

Bezeichnen Sie mit dem Wert zum Zeitpunkt t; durch - der Wert der Funktion im Moment, der um eins nach hinten verschoben wurde (z. B. in der vorherigen Stunde, in der vorherigen Woche usw.); durch - der Wert der Funktion y im Moment um zwei Einheiten nach hinten verschoben usw.

Die gleichung

wo Konstanten sind, nennt man eine inhomogene Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Die gleichung

Bei =0 spricht man von einer homogenen Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Eine Differenzengleichung n-ter Ordnung zu lösen bedeutet, eine Funktion zu finden, die diese Gleichung in eine wahre Identität umwandelt.

Eine Lösung, in der es keine beliebige Konstante gibt, wird als besondere Lösung der Differenzengleichung bezeichnet; Enthält die Lösung eine beliebige Konstante, spricht man von einer allgemeinen Lösung. Die folgenden Sätze können bewiesen werden.

Satz 1. Wenn die homogene Differenzengleichung (2) Lösungen und hat, dann ist die Lösung auch die Funktion

wobei und beliebige Konstanten sind.

Satz 2. Wenn eine bestimmte Lösung der inhomogenen Differenzengleichung (1) und die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (2) ist, dann ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung (1) die Funktion

Beliebige Konstanten. Diese Sätze ähneln Sätzen für Differentialgleichungen. Ein System linearer Differenzengleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ein System der Form

wobei ein Vektor unbekannter Funktionen ein Vektor bekannter Funktionen ist.

Es gibt eine Matrix der Größe nn.

Dieses System kann durch Reduktion auf eine Differenzengleichung n-ter Ordnung gelöst werden, analog zur Lösung eines Systems von Differentialgleichungen.

§ 2. Lösung von Differenzengleichungen

Lösung der Differenzengleichung erster Ordnung. Betrachten Sie die inhomogene Differenzengleichung

Die entsprechende homogene Gleichung lautet

Lassen Sie uns überprüfen, ob die Funktion

Lösung von Gleichung (3).

Durch Einsetzen in Gleichung (4) erhalten wir

Daher gibt es eine Lösung für Gleichung (4).

Die allgemeine Lösung von Gleichung (4) ist die Funktion

wobei C eine beliebige Konstante ist.

Sei eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung (3). Dann ist die allgemeine Lösung der Differenzengleichung (3) die Funktion

Finden wir eine bestimmte Lösung der Differenzengleichung (3), wenn f(t)=c, wobei c eine Variable ist.

Wir suchen nach einer Lösung in Form einer Konstante m. Wir haben

Einsetzen dieser Konstanten in die Gleichung

wir bekommen

Daher die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

Beispiel 1. Finden Sie mithilfe der Differenzengleichung die Formel für die Erhöhung der Geldeinlage A bei der Sparkasse, berechnet auf p% pro Jahr.

Lösung. Wenn ein bestimmter Betrag zum Zinseszins p bei der Bank eingezahlt wird, beträgt dieser am Jahresende t

Dies ist eine homogene Differenzengleichung erster Ordnung. Seine Entscheidung

wobei C eine Konstante ist, die aus den Anfangsbedingungen berechnet werden kann.

Wenn akzeptiert, dann C=A, woher

Dies ist eine bekannte Formel zur Berechnung des Wachstums einer Bareinlage bei einer Sparkasse zum Zinseszins.

Lösung einer Differenzengleichung zweiter Ordnung. Betrachten Sie die inhomogene Differenzengleichung zweiter Ordnung

und die entsprechende homogene Gleichung

Wenn k die Wurzel der Gleichung ist

ist eine Lösung der homogenen Gleichung (6).

Tatsächlich erhalten wir durch Einsetzen in die linke Seite der Gleichung (6) und unter Berücksichtigung von (7).

Wenn also k die Wurzel von Gleichung (7) ist, dann ist k die Lösung von Gleichung (6). Gleichung (7) wird als charakteristische Gleichung für Gleichung (6) bezeichnet. Wenn die diskriminante charakteristische Gleichung (7) größer als Null ist, dann hat Gleichung (7) zwei verschiedene reelle Wurzeln und die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (6) hat die folgende Form.

Oftmals bereitet die bloße Erwähnung von Differentialgleichungen bei Schülern ein Unbehagen. Warum passiert das? Am häufigsten, weil beim Studium der Grundlagen des Materials eine Wissenslücke entsteht, aufgrund derer das weitere Studium der Diffusions zur bloßen Qual wird. Es ist nicht klar, was zu tun ist und wie man entscheidet, wo man anfangen soll.

Wir werden jedoch versuchen, Ihnen zu zeigen, dass Diffuses nicht so schwierig sind, wie sie scheinen.

Grundbegriffe der Theorie der Differentialgleichungen

Aus der Schule kennen wir die einfachsten Gleichungen, in denen wir die Unbekannte x finden müssen. In der Tat Differentialgleichung nur geringfügig von ihnen abweichend - statt einer Variablen X Sie müssen eine Funktion finden y(x) , wodurch die Gleichung in eine Identität umgewandelt wird.

Differentialgleichung sind von großer praktischer Bedeutung. Dies ist keine abstrakte Mathematik, die nichts mit der Welt um uns herum zu tun hat. Mit Hilfe von Differentialgleichungen werden viele reale Naturprozesse beschrieben. Beispielsweise ermitteln Saitenschwingungen, die Bewegung eines harmonischen Oszillators, mittels Differentialgleichungen in den Problemen der Mechanik die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers. Auch DU werden häufig in der Biologie, Chemie, Wirtschaft und vielen anderen Wissenschaften verwendet.

Differentialgleichung (DU) ist eine Gleichung, die die Ableitungen der Funktion y(x), die Funktion selbst, unabhängige Variablen und andere Parameter in verschiedenen Kombinationen enthält.

Es gibt viele Arten von Differentialgleichungen: gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare und nichtlineare, homogene und inhomogene Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung, partielle Differentialgleichungen und so weiter.

Die Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion, die sie in eine Identität umwandelt. Es gibt allgemeine und spezielle Lösungen der Fernbedienung.

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist die allgemeine Menge von Lösungen, die die Gleichung in eine Identität umwandeln. Eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung ist eine Lösung, die zusätzliche, anfangs angegebene Bedingungen erfüllt.

Die Ordnung einer Differentialgleichung wird durch die höchste Ordnung der darin enthaltenen Ableitungen bestimmt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine unabhängige Variable enthalten.

Betrachten Sie die einfachste gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Es sieht aus wie:

Diese Gleichung kann durch einfache Integration ihrer rechten Seite gelöst werden.

Beispiele für solche Gleichungen:

Trennbare Variablengleichungen

IN Gesamtansicht Diese Art von Gleichung sieht folgendermaßen aus:

Hier ist ein Beispiel:

Um eine solche Gleichung zu lösen, müssen Sie die Variablen trennen und sie in die folgende Form bringen:

Danach müssen beide Teile integriert und eine Lösung gefunden werden.

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Solche Gleichungen haben die Form:

Hier sind p(x) und q(x) einige Funktionen der unabhängigen Variablen, und y=y(x) ist die erforderliche Funktion. Hier ist ein Beispiel für eine solche Gleichung:

Beim Lösen einer solchen Gleichung verwenden sie meist die Methode der Variation einer beliebigen Konstante oder stellen die gewünschte Funktion als Produkt zweier anderer Funktionen dar y(x)=u(x)v(x).

Um solche Gleichungen zu lösen, ist eine gewisse Vorbereitung erforderlich, und es wird ziemlich schwierig sein, sie „aus einer Laune heraus“ zu lösen.

Ein Beispiel für die Lösung einer DE mit trennbaren Variablen

Deshalb haben wir uns die einfachsten Arten der Fernbedienung angesehen. Werfen wir nun einen Blick auf einen davon. Es sei eine Gleichung mit separierbaren Variablen.

Zuerst schreiben wir die Ableitung in eine bekanntere Form um:

Dann werden wir die Variablen trennen, das heißt, in einem Teil der Gleichung sammeln wir alle „Spiele“ und im anderen die „xes“:

Jetzt müssen noch beide Teile integriert werden:

Wir integrieren und erhalten die allgemeine Lösung dieser Gleichung:

Natürlich ist das Lösen von Differentialgleichungen eine Art Kunst. Sie müssen in der Lage sein, zu verstehen, zu welcher Art eine Gleichung gehört, und auch zu erkennen, welche Transformationen Sie daran vornehmen müssen, um sie in die eine oder andere Form zu bringen, ganz zu schweigen von der Fähigkeit zur Differenzierung und Integration. Und es erfordert Übung (wie bei allem), um DE erfolgreich zu lösen. Und wenn ja dieser Moment Sie haben keine Zeit, sich mit der Lösung von Differentialgleichungen zu befassen, das Cauchy-Problem ist Ihnen wie ein Knochen im Hals stecken geblieben oder Sie wissen nicht, wie man eine Präsentation richtig formatiert, wenden Sie sich an unsere Autoren. Wir liefern Ihnen in kurzer Zeit eine fertige und detaillierte Lösung, deren Einzelheiten Sie jederzeit nachvollziehen können. In der Zwischenzeit empfehlen wir Ihnen, sich ein Video zum Thema „So lösen Sie Differentialgleichungen“ anzusehen: