"Entscheidung von fraktionierten rationalen Gleichungen." Rationale Gleichungen.

T. Kosyakova,
Schule-Nr, 80, Krasnodar

Lösung von quadratischen und fraktionierten rationalen Gleichungen, die Parameter enthalten

Lektion 4.

Themenstunde:

Der Zweck der Lektion:bildung der Fähigkeit, fraktionale rationale Gleichungen zu lösen, die Parameter enthalten.

Art der Lektion: Einführung neues Material.

1. (oral.) Entscheiden Sie Gleichungen:

Beispiel 1.. Entscheidet die Gleichung

Entscheidung.

Ungültige Werte finden. eIN.:

Antworten. Wenn ein wenn ein eIN. = – 19 , Keine Wurzeln.

Beispiel 2.. Entscheidet die Gleichung

Entscheidung.

Finden Sie ungültige Parameterwerte eIN. :

10 – eIN. = 5, eIN. = 5;

10 – eIN. = eIN., eIN. = 5.

Antworten. Wenn ein eIN. = 5 eIN. № 5 T. x \u003d 10- eIN. .

Beispiel 3.. Unter welchen Werten des Parameters b. Die gleichung Es hat:

a) zwei Wurzeln; b) die einzige Wurzel?

Entscheidung.

1) Finden Sie ungültige Parameterwerte b. :

x \u003d. b., b. 2 (b. 2 – 1) – 2b. 3 + b. 2 = 0, b. 4 – 2b. 3 = 0,
b. \u003d 0 oder b. = 2;
x \u003d 2, 4 ( b. 2 – 1) – 4b. 2 + b. 2 = 0, b. 2 – 4 = 0, (b. – 2)(b. + 2) = 0,
b. \u003d 2 oder b. = – 2.

2) Lösungen Gleichung x 2 ( b. 2 – 1) – 2b. 2 x +. b. 2 = 0:

D \u003d 4. b. 4 – 4b. 2 (b. 2 - 1), d \u003d 4 b. 2 .

aber)

Ohne ungültige Parameterwerte b. Wir erhalten, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat, wenn b. № – 2, b. № – 1, b. № 0, b. № 1, b. № 2 .

b) 4b. 2 = 0, b. = 0, dies ist jedoch ein ungültiger Wert des Parameters b. ; wenn ein b. 2 –1=0 , d. H. b.=1 oder.

Antwort: a) wenn b. № –2 , b. № –1, b. № 0, b. № 1, b. № 2 , dann zwei Wurzeln; b) if. b.=1 oder b \u003d -1. , dann die einzige Wurzel.

Selbstständige Arbeit

Variante 1

Entscheiden Sie sich an Gleichungen:

Option 2.

Entscheiden Sie sich an Gleichungen:

Antworten

IN 1. und wenn eIN.=3 , Keine Wurzeln; wenn ein b) wenn wenn eIN. № 2 , Keine Wurzeln.

UM 2. Wenn ein eIN.=2 , Keine Wurzeln; wenn ein eIN.=0 , Keine Wurzeln; wenn ein
b) if. eIN.=– 1 Die Gleichung verliert seine Bedeutung; Wenn es keine Wurzeln gibt;
wenn ein

Aufgabe zu Hause.

Entscheiden Sie sich an Gleichungen:

Antworten: a) wenn eIN. № –2 T. x \u003d. eIN. ; wenn ein eIN.=–2 , dann gibt es keine Lösungen; b) if. eIN. № –2 T. x \u003d 2. ; wenn ein eIN.=–2 , dann gibt es keine Lösungen; c) wenn eIN.=–2 T. x. - Jede Zahl außer 3 ; wenn ein eIN. № –2 T. x \u003d 2. ; d) wenn eIN.=–8 , Keine Wurzeln; wenn ein eIN.=2 , Keine Wurzeln; wenn ein

Lektion 5.

Themenstunde: "Die Lösung von fraktionalen rationalen Gleichungen mit Parametern."

Ziele Lektion:

lernen, Gleichungen mit nicht standardmäßigem Zustand zu lösen;
Assimilieren Sie bewusst Schüler von algebraischen Konzepten und Verbindungen zwischen ihnen.

Art der Lektion: Systematisierung und Verallgemeinerungen.

Überprüfen Sie Ihre Hausaufgaben.

Beispiel 1.. Entscheidet die Gleichung

a) relativ zu x; b) relativ zu y.

Entscheidung.

a) Finden Sie inakzeptable Werte y.: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 -2y,

y \u003d 0. - Ungültiger Wert des Parameters y..

Wenn ein y.№ 0 T. x \u003d y-2 ; wenn ein y \u003d 0. Die Gleichung verliert seine Bedeutung.

b) Wir finden ungültige Parameterwerte x.: y \u003d x, 2x-x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - Ungültiger Wert des Parameters x.; y (2 + x-y) \u003d 0, y \u003d 0 oder y \u003d 2 + x;

y \u003d 0. Erfüllt nicht den Zustand y (y-x)№ 0 .

Antwort: a) wenn y \u003d 0. Die Gleichung verliert seine Bedeutung; wenn ein y.№ 0 T. x \u003d y-2 ; b) if. x \u003d 0. x.№ 0 T. y \u003d 2 + x .

Beispiel 2.. In welchen Werten des Parameters ein Wurzeln der Gleichung zur Lücke gehören

D \u003d (3 eIN. + 2) 2 – 4eIN.(eIN. + 1) · 2 \u003d 9 eIN. 2 + 12eIN. + 4 – 8eIN. 2 – 8eIN.,

D \u003d ( eIN. + 2) 2 .

Wenn ein eIN. № 0 oder eIN. № – 1 T.

Antworten: 5 .

Beispiel 3.. Relativ finden x. Lösungen der Gleichung.

Antworten. Wenn ein y \u003d 0. Die Gleichung macht keinen Sinn; wenn ein y \u003d -1. T. x. - Jede andere Ganzzahl als Null; wenn ein Yst 0, ig - 1Ich habe keine Lösungen.

Beispiel 4. Entscheidet die Gleichung mit Parametern. eIN. und b. .

Wenn ein eIN.№ - B. T.

Antworten. Wenn ein a \u003d.0 oder b \u003d.0 Die Gleichung verliert seine Bedeutung; wenn ein eIN.№ 0, B.№ 0, a \u003d -b T. x. - jede Zahl außer Null; wenn ein eIN.№ 0, B.№ 0, A.№ -B, Das x \u003d -a, x \u003d -b .

Beispiel 5. Beweisen Sie, dass sich mit einem beliebigen Wert des Parameters N von Null, Gleichung unterscheidet Hat die einzige Wurzel gleich - N. .

Entscheidung.

d. H. x \u003d -n. Wie erforderlich, um zu beweisen.

Aufgabe zu Hause.

1. Finden Sie ganze Lösungen der Gleichung

2. In welchen Werten des Parameters c. Die gleichung Es hat:
a) zwei Wurzeln; b) die einzige Wurzel?

3. Finden Sie alle gesamten Wurzeln der Gleichung wenn ein eIN.ÜBER N. .

4. Legen Sie die Gleichung fest 3xy - 5x + 5Y \u003d 7:a) ungefähr. y. ; b) ungefähr. x. .

1. Die Gleichung erfüllt alle ganzzahligen Ganzzahl von X und Y Other als Null.
2. a) wann
b) bei oder
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) wenn die Wurzeln nicht sind; wenn ein
b) Wenn es keine Wurzeln gibt; wenn ein

Prüfung

Variante 1

1. Bestimmen Sie die Art der Gleichung 7c (c + 3) x 2 + (C-2) x-8 \u003d 0 Mit einer) c \u003d -3. ; b) C \u003d 2; im) c \u003d 4. .

2. Entscheiden Sie die Gleichung: a) x 2 -bx \u003d 0; b) cx 2 -6x + 1 \u003d 0 ; im)

3. Legen Sie die Gleichung fest 3x-xy-2Y \u003d 1:

a) ungefähr. x. ;
b) ungefähr. y. .

Nx 2 - 26x + n \u003d 0, Zu wissen, dass der Parameter n nur ganze Werte nimmt.

5. Unter welchen Werten B Gleichung es hat:

a) zwei Wurzeln;
b) die einzige Wurzel?

Option 2.

1. Bestimmen Sie die Art der Gleichung 5c (c + 4) x 2 + (C-7) x + 7 \u003d 0 Mit einer) C \u003d -4; b) C \u003d 7; im) c \u003d 1. .

2. Entscheiden Sie die Gleichung: a) Y 2 + cy \u003d 0; b) NY 2 -8Y + 2 \u003d 0; im)

3. Legen Sie die Gleichung fest 6x-xy + 2y \u003d 5:

a) ungefähr. x. ;
b) ungefähr. y. .

4. Finden Sie ganze Wurzelgleichungen nx 2 -22x + 2n \u003d 0, Zu wissen, dass der Parameter n nur ganze Werte nimmt.

5. In welchen Werten des Parameters eine Gleichung es hat:

a) zwei Wurzeln;
b) die einzige Wurzel?

Antworten

IN 1. 1. a) lineare Gleichung;
b) unvollständige quadratische Gleichung; c) quadratische Gleichung.
2. a) wenn b \u003d 0. T. x \u003d 0. ; wenn ein f№ 0 T. x \u003d 0, x \u003d b;
b) wenn ein cO (9; + ґ) , Keine Wurzeln;
c) wenn eIN.=–4 Die Gleichung verliert seine Bedeutung; wenn ein eIN.№ –4 T. x \u003d - eIN. .
3. a) wenn y \u003d 3. , Keine Wurzeln; wenn ein);
b) eIN.=–3, eIN.=1.

Zusätzliche Aufgaben

Entscheiden Sie sich an Gleichungen:

Literatur

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeyev G.V. Über Parameter von Anfang an. - Tutor, Nr. 2/1991, p. 3-13.
2. Gronostein P.I., Polonsky v.b., Yakir M.s. Voraussetzungen in Aufgaben mit Parametern. - Quant, Nr. 11/1991, p. 44-49.
3. Dorofeyev G.V., Zatakai v.v. Aufgaben lösenParameter enthalten. Teil 2. - M., Perspektive, 1990, p. 2-38.
4. Tynyakin s.a. Fünfhundertfünfzehn Aufgaben mit Parametern. - Wolgograd, 1991.
5. yarstrecky g.a. Aufgaben mit Parametern. - M., Erleuchtung, 1986.

Bruchgleichzeuge. Seltsam

Beachtung!
Dieses Thema hat zusätzliche
Materialien in einem speziellen Abschnitt 555.
Für diejenigen, die stark sind "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr ..." sind)

Wir erforschen weiterhin die Gleichungen. Wir sind uns bewusst, wie Sie mit linearen Gleichungen und Square arbeiten können. Die letzte Ansicht blieb - fraktionale Gleichungen.. Oder sie werden auch als viel fester genannt - fraktionierte rationale Gleichungen.. Das ist das gleiche.

Bruchgleichzeuge.

Wie eindeutig aus dem Namen, sind die Fraktionen in diesen Gleichungen notwendigerweise vorhanden. Aber nicht nur ein Bruchteil und die Kaum, die haben im Nenner unbekannt. Zumindest in einem. Beispielsweise:

Lassen Sie mich Sie erinnern, wenn nur in den Nennern zahlenDies sind lineare Gleichungen.

Wie kann ich entscheiden? fraktionale Gleichungen.? Zunächst - Beseitigen Sie Fraktionen! Danach dreht sich die Gleichung am häufigsten in linear oder quadratisch. Und dann wissen wir, was zu tun ist ... In einigen Fällen kann es in einigen Fällen in Identität werden, Typ 5 \u003d 5 oder einen falschen Ausdruck, Typ 7 \u003d 2. Aber es passiert selten. Unten spreche ich davon.

Aber wie man Fraktionen loswerden kann!? Sehr einfach. Anwenden aller gleichen Identitätsumsätze.

Wir müssen alle Gleichung für denselben Ausdruck multiplizieren. So dass alle Nenner ruhig sind! Alles wird sofort einfacher sein. Ich erkläre im Beispiel. Lassen Sie uns die Gleichung lösen:

Wie haben Sie in Juniorsorten gelernt? Wir tragen alles in einer Richtung, führen zu einem gemeinsamen Nenner usw. Vergiss, wie ein schrecklicher Traum! Sie müssen also tun, wenn Sie fraktionale Ausdrücke falten oder abziehen. Oder mit Ungleichheiten arbeiten. In den Gleichungen multiplizieren wir beide Teile auf dem Ausdruck, der uns die Möglichkeit geben, alle Nenner zu reduzieren (dh im Wesentlichen im allgemeinen Nenner). Und was ist dieser Ausdruck?

Im linken Teil, um den Nenner zu reduzieren, ist Multiplikation erforderlich x + 2. . Und in der rechten erforderlichen Multiplikation um 2. So muss die Gleichung mit multipliziert werden 2 (x + 2). Multiplizieren:

Dies ist die übliche Multiplikation von Fraktionen, aber ich werde ausführlich schreiben:

HINWEIS, ich enthülle die Halterung immer noch nicht (x + 2)Schnitte Also werde ich ganz schreiben:

Auf der linken Seite ist vollständig reduziert (x + 2)und in rechts 2. Was war erforderlich! Nach dem Schneiden kommen wir linear Die gleichung:

Und diese Gleichung wird bereits jemanden entscheiden! x \u003d 2..

Ich entscheide ein anderes Beispiel, ein wenig komplizierter:

Wenn Sie sich an das 3 \u003d 3/1 erinnern, und 2x \u003d 2x /1, Sie können schreiben:

Und wieder werden wir loswerden, was wir nicht wirklich mögen - von Fraktionen.

Wir sehen, dass Sie den Nenner mit der XA reduzieren, müssen Sie den Fraktion auf multiplizieren (X - 2). Und Einheiten, die wir nicht stören. Nun, multiplizieren. Alle Linker Teil I. alle Richtiger Teil:

Über Klammern (X - 2) Ich verrate nicht. Ich arbeite mit einer Halterung insgesamt, als wäre es eine Zahl! Sie sollten also immer tun, sonst wird nichts reduziert.

Mit einem Gefühl der tiefen Zufriedenheit reduzieren (X - 2) Und wir bekommen die Gleichung ohne Fraktionen in LinceHek!

Aber jetzt enthüllen wir bereits die Klammern:

Wir geben diese Dinge, wir transferieren alles nach links und wir bekommen:

Aber bevor wir andere Aufgaben lernen, um zu entscheiden. Prozent. Die mehr Rechen, übrigens!

Wenn Sie diese Seite mögen ...

Übrigens habe ich noch weitere interessante Sehenswürdigkeiten für dich.)

Es kann auf das Lösen von Beispielen zugegriffen werden und erfahren Sie Ihr Niveau. Testen mit Instant-Check. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Derivaten kennenlernen.

"Entscheidung der fraktionalen rationalen Gleichungen"

Ziele Lektion:

Lehrreich:

Bildung des Konzepts der fraktionalen rationalen Gleichung; Betrachten Sie verschiedene Wege, um fraktionierte rationale Gleichungen zu lösen; Betrachten Sie den Algorithmus, um fraktionale rationale Gleichungen zu lösen, einschließlich der Bedingung der Gleichheit der Fraktion von Null; Lösungen von fraktionierten rationalen Gleichungen auf dem Algorithmus bei; Überprüfen Sie das Niveau der Assimilation des Themas, indem Sie die Testarbeit ausführen.

Entwicklung:

Entwicklung der Fähigkeit, das gewonnene Wissen richtig zu betreiben, logisch zu denken; Die Entwicklung von intellektuellen Fähigkeiten und der mentalen Betrieb - Analyse, Synthese, Vergleich und Verallgemeinerung; Entwicklung der Initiative, die Fähigkeit, Entscheidungen zu treffen, nicht auf der Erreichung zu wohnen; Entwicklung des kritischen Denkens; Entwicklung von Forschungsfähigkeiten.

Erziehen:

aufgabe

Art der Lektion: Lektion - Erläuterung des neuen Materials.

Während der Klassen

1. Organisationsmoment.

Hallo Leute! Auf der Tafel schrieben sie die Gleichungen. Sehen Sie sie sorgfältig an. Können Sie all diese Gleichungen lösen? Was nein und warum?

Gleichungen, in denen der linke und rechte Teil fraktionierte rationale Ausdrücke sind, werden als fraktionale rationale Gleichungen bezeichnet. Was denkst du, wir lernen heute in der Lektion? Wort das Thema der Lektion. Also öffnen wir das Notebook und schreiben das Thema der Lektion "Entscheidung von fraktionalen rationalen Gleichungen" auf.

2. Aktualisierung des Wissens. Frontalumfrage, orale Arbeit mit Klasse.

Und jetzt werden wir das Haupttheoretisches Material wiederholen, das Sie studieren müssen neues Thema. Bitte beantworten Sie die folgenden Fragen:

1. Was ist die Gleichung? ( Gleichheit mit Variablen oder Variablen.)

2. Wie heißt die Gleichung Nummer 1? ( Linear.) Ein Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungen. ( Alle mit unbekannt, um auf den linken Teil der Gleichung zu übertragen, sind alle Nummern richtig. Ähnliche Komponenten erstellen. Finden Sie einen unbekannten Multiplikator).

3. Wie heißt die Gleichung Nummer 3? ( Quadrat.) Methoden zum Lösen von quadratischen Gleichungen. ( Auswahl eines vollen Platzes, laut Formeln mit dem Vieta-Satz und seinen Folgen.)

4. Was ist der Anteil? ( Gleichheit von zwei Beziehungen.) Grundlage der Immobilienanteil. ( Wenn der Anteil wahr ist, ist das Produkt seiner extremen Mitglieder dem Produkt von mittleren Mitgliedern gleich.)

5. Welche Eigenschaften werden beim Lösen von Gleichungen verwendet? ( 1. Wenn in der Gleichung den Begriff von einem Teil zur anderen übertragen, wechseln Sie das Zeichen, dann entspricht die Gleichung dies. 2. Wenn beide Teile der Gleichung in einer und derselben unterschiedlichen Zahl von Null multiplizieren oder unterteilt sind, entspricht die Gleichung.)

6. Wenn der Fraktion Null ist? ( Die Fraktion ist Null, wenn der Zähler Null ist, und der Nenner ist nicht null.)

3. Erläuterung des neuen Materials.

Lösen Sie sich in Notebooks und auf der Platine Gleichung Nr. 2.

Antworten: 10.

Welche fraktional rationale Gleichung kann versucht werden, die grundlegende Eigenschaft des Anteils zu entscheiden? (№5).

(x - 2) (x - 4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x2-4x-2x + 8 \u003d x2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x \u003d 6-8

Lösen Sie sich in Notebooks und auf der Platine Gleichung Nr. 4.

Antworten: 1,5.

Welche fraktionale rationale Gleichung kann versucht werden, zu lösen, und multiplizieren Sie beide Teile der Gleichung auf dem Nenner? (№6).

D \u003d 1\u003e 0, x1 \u003d 3, x2 \u003d 4.

Antworten: 3;4.

Versuchen Sie nun, Gleichung Nr. 7 auf einer der Arten zu lösen.


(x2-2x-5) x (x-5) \u003d x (x-5) (x + 5)
(x2-2x-5) x (x-5) -h (x-5) (x + 5) \u003d 0
x (x-5) (x2-2x-5- (x + 5)) \u003d 0			x2-2x-5-x-5 \u003d 0
x (x-5) (x2-3x-10) \u003d 0
x \u003d 0 x-5 \u003d 0 x2-3x-10 \u003d 0
x1 \u003d 0 x2 \u003d 5 d \u003d 49

Antworten: 0;5;-2.			Antworten: 5;-2.

Erklären Sie, warum es passiert ist? Warum in einem Fall drei Wurzeln, in den anderen - zwei? Welche Zahlen sind die Wurzeln dieser fraktionalen rationalen Gleichung?

Bisher treffen sich die Studierenden nicht mit dem Konzept einer Fremdwurzel, sie sind wirklich sehr schwer zu verstehen, warum es passiert ist. Wenn niemand eine klare Erklärung für diese Situation im Klassenzimmer geben kann, bittet der Lehrer führende Fragen.

In Gleichungen Nummer 2 und 4 in der Nennernummer, Nr. 5-7 - Ausdrücke mit einer Variablen

Der Wert der Variablen, in der die Gleichung die richtige Gleichheit anspricht

Einchecken

Bei der Überprüfung stellen einige Schüler fest, dass Sie mit Null teilen müssen. Sie schließen daraus, dass Zahlen 0 und 5 nicht die Wurzeln dieser Gleichung sind. Die Frage stellt sich: Gibt es eine Möglichkeit, fraktionale rationale Gleichungen zu lösen, sodass dieser Fehler ausgeschlossen werden können? Ja, dieses Verfahren basiert auf dem Zustand der Gleichheit der Fraktion Null.

x2-3x-10 \u003d 0, d \u003d 49, x1 \u003d 5, x2 \u003d -2.

Wenn x \u003d 5, x (x-5) \u003d 0, dann eine 5-Fremdwurzel.

Wenn x \u003d -2, dann x (x-5) ≠ 0.

Antworten: -2.

Versuchen wir, den Algorithmus zur Lösung von fraktionalen rationalen Gleichungen durch diese Methode zu formulieren. Kinder selbst formulieren einen Algorithmus.

Algorithmus zur Lösung von fraktionierten rationalen Gleichungen:

1. alles auf die linke Seite übertragen.

2. Erstellen Sie einen Fraktion für einen gemeinsamen Nenner.

3. Machen Sie ein System: Die Fraktion ist Null, wenn der Zähler Null ist, und der Nenner ist nicht Null.

4. Gleichung lösen.

5. Überprüfen Sie die Ungleichheit, um ausländische Wurzeln zu beseitigen.

6. Nehmen Sie die Antwort auf.

Diskussion: Wie man eine Lösung erstellt, wenn die Haupteigenschaft des Anteils und Multiplikation beider Teile der Gleichung auf dem allgemeinen Nenner eingesetzt werden. (Um eine Entscheidung hinzuzufügen: Um von seinen Wurzeln auszuschließen, werden diejenigen, die in Null einen gemeinsamen Nenner verwandeln).

4. Hauptverständnis des neuen Materials.

Partnerarbeit. Die Schüler wählen die Methode zur Lösung der Gleichung selbst in Abhängigkeit von der Art der Gleichung. Aufgaben aus dem Lehrbuch "Algebra 8", 2007: № 000 (B, B und); № 000 (A, D, G). Der Lehrer steuert die Erfüllung der Aufgabe, reagiert auf die auftretenden Themen, unterstützt schwächer Schüler. Selbsttest: Antworten werden auf der Tafel geschrieben.

b) 2 - eine Fremdkörperwurzel. Antwort: 3.

c) 2 - Fremdwurzel. Antwort: 1.5.

a) Antwort: -12.5.

g) Antwort: 1; 1.5.

5. Hausaufgaben behandeln.

2. Um den Algorithmus zum Lösen von fraktionalen rationalen Gleichungen zu lernen.

3. Lösen Sie sich in Notebooks № 000 (A, G, D); № 000 (G, H).

4. Versuchen Sie, № 000 (a) (optional) zu lösen.

6. Führen Sie die Steuerungsaufgabe auf dem untersuchten Thema aus.

Die Arbeit wird auf Blättern durchgeführt.

Ein Beispiel für die Aufgabe:

A) Welche Gleichungen sind fraktioniert rational?

B) Die Fraktion ist Null, wenn der Zähler ______________________ und der Nenner _______________________ ist.

C) ist die Nummer -3-Wurzel der Gleichungszahl 6?

D) Lösen Sie Gleichung Nr. 7.

Aufgabenbewertungskriterien:

"5" wird platziert, wenn der Schüler mehr als 90% der Aufgabe erfüllt hat. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" wird von einem Studenten angehoben, der weniger als 50% der Aufgabe absolviert hat. Bewertung 2 Protokolle wird nicht gesetzt, 3 - at Will.

7. Reflexion.

Auf Blättern mit unabhängiger Arbeit, Platz:

1 - Wenn Sie sich für die Lektion und Verständlichkeit interessieren; 2 - interessant, aber nicht verständlich; 3 - nicht interessant, aber verständlich; 4 - Nicht interessant, es ist nicht klar.

8. Summieren Sie die Lektion.

Also, heute in der Lektion, haben wir uns mit fraktionalen rationalen Gleichungen getroffen, erfuhr, wie diese Gleichungen auf verschiedene Weise gelöst werden können, überprüft unser Wissen mit dem Unterricht unabhängige Arbeit. Die Ergebnisse unabhängiger Arbeiten, die Sie in der nächsten Lektion lernen, haben Sie die Möglichkeit, das gesammelte Wissen zu konsolidieren.

Welche Methode zur Lösung von fraktionalen rationalen Gleichungen ist Ihrer Meinung nach einfacher, erschwinglich, rational? Nicht abhängig von der Methode der Lösung von fraktionalen rationalen Gleichungen, was sollte ich nicht vergessen? Was ist der "List" von fraktionalen rationalen Gleichungen?

Vielen Dank, die Lektion ist vorbei.

Gleichungen mit Fraktionen selbst sind nicht schwierig und sehr interessant. Ansichten berücksichtigen fraktionale Gleichungen. Und wie man sie löst.

So lösen Sie Gleichungen mit Fraktionen - X in einem Zähler

Für den Fall, dass eine fraktionierte Gleichung gegeben wird, in der das Unbekannte sich in einem Zähler befindet, erfordert die Lösung keine zusätzlichen Bedingungen und wird ohne unnötige Probleme gelöst. Generelle Form Eine solche Gleichung ist x / a + b \u003d c, wobei x unbekannte, a, b- und c-gewöhnliche Zahlen ist.

X: X / 5 + 10 \u003d 70 finden.

Um die Gleichung zu lösen, müssen Sie Fraktionen loswerden. Multiplizieren Sie jedes Element der Gleichung um 5: 5x / 5 + 5 × 10 \u003d 70 × 5. 5x und 5 sind reduziert, 10 und 70 werden mit 5 multipliziert und erhalten: x + 50 \u003d 350 \u003d\u003e x \u003d 350 - 50 \u003d 300.

Finden Sie X: X / 5 + X / 10 \u003d 90.

Dieses Beispiel ist eine etwas komplizierte Version des ersten. Es gibt zwei Lösungsmöglichkeiten.

Option 1: Befreien Sie sich von Fraktionen, multiplizieren Sie alle Mitglieder der Gleichung für einen größeren Nenner, dh 10: 10x / 5 + 10x / 10 \u003d 90 × 10 \u003d\u003e 2x + x \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300
Option 2: Wir falten den linken Teil der Gleichung. X / 5 + x / 10 \u003d 90. Gemeinsamer Nenner - 10. 10 Wir teilen uns auf 5, multiplizieren auf X, wir bekommen 2x. 10 Wir teilen uns auf 10, wir multiplizieren auf x, wir erhalten x: 2x + x / 10 \u003d 90. Daher 2x + x \u003d 90 × 10 \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.

Oft gibt es fraktionierte Gleichungen, in denen sich die Xer auf verschiedenen Seiten des Zeichens befinden. In einer solchen Situation ist es notwendig, alle Fraktionen mit Hohlräumen in eine Richtung und die Anzahl zu einem anderen zu übertragen.

Finden Sie x: 3x / 5 \u003d 130 - 2x / 5.
Wir tragen 2x / 5 nach rechts mit dem gegenüberliegenden Zeichen: 3x / 5 + 2x / 5 \u003d 130 \u003d\u003e 5x / 5 \u003d 130.
Reduzieren Sie 5x / 5 und erhalten Sie: x \u003d 130.

So lösen Sie die Gleichung mit Fraktionen - X im Nenner

Diese Art von fraktionalen Gleichungen erfordert die Aufzeichnung zusätzlicher Bedingungen. Die Angabe dieser Bedingungen ist ein obligatorischer und integraler Bestandteil der richtigen Lösung. Ohne sie zuzurechnen, riskieren Sie, da die Antwort (auch wenn es richtig ist) einfach nicht zählen kann.

Die allgemeine Form von fraktionalen Gleichungen, wobei X im Nenner ist, hat das Formular: a / x + b \u003d c, wobei x unbekannt ist, a, b, c - gewöhnliche Zahlen. Bitte beachten Sie, dass das X keine Zahl ist. Beispielsweise kann X nicht Null sein, da es nicht möglich ist, auf 0 zu teilen. Dies ist der zusätzliche Zustand, den wir angeben müssen. Dies wird als Bereich von zulässigen Werten bezeichnet, abgekürzt - Otz.

X: 15 / x + 18 \u003d 21 finden.

Schreiben Sie sofort OTZ für x: x ≠ 0. Nun, da die ODB angegeben ist, lösen Sie die Gleichung gemäß dem Standardschema, um Fraktionen loszuwerden. Multiplizieren Sie alle Mitglieder der Gleichung auf x. 15x / x + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 15/3 \u003d 5.

Es gibt oft Gleichungen, in denen sich im Nenner nicht nur X, sondern auch einige Aktion dabei handelt, wie zum Beispiel Zusatz oder Subtraktion.

Finden Sie x: 15 / (x-3) + 18 \u003d 21.

Wir wissen bereits, dass der Nenner nicht Null sein kann, was x-3 ≠ 0 ist. Transfer -3 auf der rechten Seite, wechseln Sie das Zeichen "-" auf "+" und wir erhalten, dass x ≠ 3. otz angezeigt wird.

Wir lösen die Gleichung, wir multiplizieren alles auf x-3: 15 + 18 × (x - 3) \u003d 21 × (x - 3) \u003d\u003e 15 + 18x - 54 \u003d 21x - 63.

Wir tragen uns auf der rechten Seite, die Nummer links: 24 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 8.

Präsentation und Lektion zum Thema: "Rationale Gleichungen. Algorithmus und Beispiele für die Lösung rationaler Gleichungen"

Zusätzliche Materialien
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Bekanntschaft mit irrationalen Gleichungen

Jungs, wir haben gelernt, sich zu entscheiden quadratische Gleichungen. Die Mathematik sind jedoch nicht auf sie beschränkt. Heute lernen wir, rationale Gleichungen zu lösen. Das Konzept der rationalen Gleichungen ist weitgehend dem Konzept der rationalen Nummern ähnlich. Nur zusätzlich zu Nummern haben wir jetzt eine gewisse variable $ x $. Und so erhalten wir einen Ausdruck, in dem die Operationen von Zusatz, Subtraktion, Multiplikation, Abteilung und der Bau eines ganzen Grades vorhanden sind.

Lass $ r (x) $ sind rationaler Ausdruck. Eine solche Expression kann ein einfaches Polynom von der Variablen von $ X $ oder des Polynomverhältnisses sein (der Divisionsvorgang wird als für rationale Zahlen eingeführt).
Gleichung $ r (x) \u003d 0 $ rationale Gleichung..
Jede Gleichung des Typs $ P (x) \u003d q (x) $, wo $ p (x) $ und $ Q (x) $ $ rational ist, werden auch rationale Ausdrücke sein rationale Gleichung..

Betrachten Sie Beispiele, um rationale Gleichungen zu lösen.

Beispiel 1.
Gleichung der Gleichung: $ \\ frac (5x-3) (x-3) \u003d \\ frac (2x-3) (x) $.

Entscheidung.
Wir übertragen alle Ausdrücke auf die linke Seite: $ \\ frac (5x-3) (x-3) - \\ frac (2x-3) (x) \u003d 0 $.
Wenn auf der linken Seite der Gleichung herkömmliche Zahlen vorgestellt wurden, führten wir zwei Fraktionen an einen gemeinsamen Nenner.
Lassen Sie uns das tun und tun: $ \\ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - \\ frac ((2x-3) * (x-3)) ((x-3) * x) \u003d \\ frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9)) ((x-3) * x) \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((x-3) ) * x) \u003d \\ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) $.
Equation wurde erhalten: $ \\ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) \u003d 0 $.

Die Fraktion ist , dann und nur, wenn der Fraktionsumrichter Null ist, und der Nenner unterscheidet sich von Null. Wählen Sie dann den Zähler, um separat auf Null zu wählen und die Wurzeln des Zählers zu finden.
$ 3 (x ^ 2 + 2x-3) \u003d 0 $ oder $ x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ frac (-2 ± \\ sqrt (4-4 * (3))) (2) \u003d \\ frac (-2 ± 4) (2) \u003d 1; -3 $.
Überprüfen Sie nun den Denomote-Denoter: $ (x-3) * x ≠ $ 0.
Das Produkt von zwei Zahlen ist Null, wenn mindestens eine dieser Zahlen Null ist. Dann: $ x ≠ 0 $ oder $ x-3 ≠ 0 $.
$ x ≠ $ 0 oder $ x $ 3 $ 3.
Die im Zähler- und Nenner erhaltenen Wurzeln stimmen nicht überein. Also als Antwort schreiben wir beide Wurzel des Zählers.
Antwort: $ x \u003d 1 $ oder $ x \u003d -3 $.

Wenn plötzlich einer der Wurzeln des Zählers mit der Wurzel des Nenner zusammenfiel, sollte es ausgeschlossen werden. Solche Wurzeln werden als Außenseiter bezeichnet!

Algorithmus zur Lösung rationaler Gleichungen:

1. Alle in der Gleichung enthaltenen Ausdrücke werden auf die linke Seite des Zeichens übertragen.
2. Verwandeln Sie diesen Teil der Gleichung in algebraic Fraci.: $ \\ Frac (p (x)) (q (x)) \u003d 0 $.
3. Um den resultierenden Zähler auf Null gleichzusetzen, ist das, um die Gleichung $ p (x) \u003d 0 $ zu lösen.
4. Gleiche den Nenner auf Null und lösen Sie die erhaltene Gleichung. Wenn die Wurzeln des Nenner mit den Wurzeln des Zählers zusammenfielen, sollten sie von der Antwort ausgeschlossen werden.

Beispiel 2.
Entscheiden Sie die Gleichung: $ \\ frac (3x) (x - 1) + \\ frac (4) (x + 1) \u003d \\ frac (6) (x ^ 2-1) $.

Entscheidung.
Ich entscheide mich nach den Punkten des Algorithmus.
1. $ \\ frac (3x) (x - 1) + \\ frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) (x ^ 2-1) \u003d 0 $.
2. $ \\ frac (3x) (x - 1) + \\ frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) (x ^ 2-1) \u003d \\ frac (3x) (x - 1) + \\ Frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) ((x - 1) (x + 1)) \u003d \\ frac (3x (x + 1) +4 (x - 1) -6) ((x -1) (x + 1)) \u003d $ $ \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x - 1) (x + 1)) \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 7x- 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ \\ Frac (3x ^ 2 + 7x-10) ((x - 1) (x + 1)) \u003d 0 $.
3. Wir gleichsetzen den Zähler auf Null: $ 3x ^ 2 + 7x-10 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ frac (-7 ± \\ sqrt (49-4 * 3 * (- 10))) (6) \u003d \\ frac (-7 ± 13) (6) \u003d - 3 \\ frac ( 1) (3); $ 1.
4. Wir gleichsetzen den Nenner auf Null:
$ (x - 1) (x + 1) \u003d 0 $.
$ x \u003d 1 $ und $ x \u003d -1 $.
Einer der Wurzeln von $ x \u003d $ 1 fiel mit der Wurzel vom Zähler zusammen, dann schreiben wir es nicht als Antwort.
Antwort: $ x \u003d -1 $.

Es ist zweckmäßig, die rationalen Gleichungen mit der variablen Ersetzungsmethode zu lösen. Lass uns es demonstrieren.

Beispiel 3.
Gleichung der Gleichung: $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 \u003d 0 $.

Entscheidung.
Wir führen einen Ersatz vor: $ t \u003d x ^ 2 $.
Dann wird unsere Gleichung das Formular annehmen:
$ T ^ 2 + 12t-64 \u003d 0 $ ist eine herkömmliche quadratische Gleichung.
$ T_ (1,2) \u003d \\ frac (-12 ± \\ sqrt (12 ^ 2-4 * (64)))) (2) \u003d \\ frac (-12 ± 20) (2) \u003d - 16; $ 4.
Wir führen den umgekehrten Ersatz vor: $ x ^ 2 \u003d 4 $ oder $ x ^ 2 \u003d -16 $.
Die Wurzeln der ersten Gleichung sind ein Paar von Zahlen $ x \u003d ± 2 $. Der zweite - hat keine Wurzeln.
Antwort: $ x \u003d ± $ 2.

Beispiel 4.
Gleichung der Gleichung: $ x ^ 2 + x + 1 \u003d \\ frac (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
Entscheidung.
Wir führen eine neue Variable ein: $ t \u003d x ^ 2 + x + 1 $.
Dann dauert die Gleichung das Formular: $ t \u003d \\ frac (15) (t + 2) $.
Wir werden weiter auf dem Algorithmus handeln.
1. $ t-\\ frac (15) (t + 2) \u003d 0 $.
2. $ \\ frac (t ^ 2 + 2t-15) (t + 2) \u003d 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2t-15 \u003d 0 $.
$ T_ (1,2) \u003d \\ frac (-2 ± \\ sqrt (4-4 * (15))) (2) \u003d \\ frac (-2 ± \\ sqrt (64)) (2) \u003d \\ frac ( -2 ± 8) (2) \u003d - 5; $ 3.
4. $ t ≠ -2 $ - Wurzeln stimmen nicht überein.
Wir führen einen umgekehrten Ersatz ein.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d -5 $.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d $ 3.
Lassen Sie jede Gleichung separat sein:
$ x ^ 2 + x + 6 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ frac (-1 ± \\ sqrt (1-4 * (- 6))) (2) \u003d \\ frac (-1 ± \\ sqrt (-23)) (2) $ - Nein Wurzeln.
Und die zweite Gleichung: $ x ^ 2 + x-2 \u003d 0 $.
Die Wurzeln dieser Gleichung werden Zahlen $ x \u003d -2 $ und $ x \u003d 1 $ sein.
Antwort: $ x \u003d -2 $ und $ x \u003d 1 $.

Beispiel 5
Gleichung der Gleichung: $ x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) + x + \\ frac (1) (x) \u003d $ 4.

Entscheidung.
Wir führen den Austausch ein: $ t \u003d x + \\ frac (1) (x) $.
Dann:
$ T ^ 2 \u003d x ^ 2 + 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) $ oder $ x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) \u003d t ^ 2-2 $.
Erhaltene Gleichung: $ t ^ 2-2 + t \u003d $ 4.
$ t ^ 2 + t-6 \u003d 0 $.
Die Wurzeln dieser Gleichung sind ein Paar:
$ T \u003d -3 $ und $ t \u003d $ 2.
Wir führen den Rückwärtswechsel ein:
$ X + \\ frac (1) (x) \u003d - $ 3.
$ X + \\ frac (1) (x) \u003d $ 2.
Wir entscheiden uns separat.
$ X + \\ frac (1) (x) + 3 \u003d 0 $.
$ \\ Frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ frac (-3 ± \\ sqrt (9-4)) (2) \u003d \\ frac (-3 ± \\ sqrt (5)) (2) $.
Lösung der zweiten Gleichung:
$ X + \\ frac (1) (x) -2 \u003d 0 $.
$ \\ Frac (x ^ 2-2x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ \\ Frac ((x-1) ^ 2) (x) \u003d 0 $.
Die Wurzel dieser Gleichung ist die Zahl von $ x \u003d 1 $.
Antwort: $ x \u003d \\ frac (-3 ± \\ sqrt (5)) (2) $, $ x \u003d 1 $.

Aufgaben für Selbstlösungen

Gleichungen lösen:

1. $ \\ frac (3x + 2) (x) \u003d \\ frac (2x + 3) (x + 2) $.

2. $ \\ frac (5x) (x + 2) - \\ frac (20) (x ^ 2 + 2x) \u003d \\ frac (4) (x) $.
3. $ x ^ 4-7x ^ 2-18 \u003d 0 $.
4. $ 2x ^ 2 + x + 2 \u003d \\ frac (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) \u003d $ 3.