مماس، کتانژانت

تعاریف توابع هذلولی، حوزه تعاریف و مقادیر آنها

sh x- سینوس هایپربولیک
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- کسینوس هذلولی
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
ممنون- مماس هذلولی
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- کوتانژانت هذلولی
، x ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

نمودارهای توابع هذلولی

نمودار سینوس هذلولی y = sh x

رسم کسینوس هذلولی y = ch x

رسم مماس هذلولی y= ممنون

نمودار کوتانژانت هذلولی y= cth x

فرمول هایی با توابع هذلولی

رابطه با توابع مثلثاتی

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = من گناه z ; ch iz = cos z
tgiz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
در اینجا i یک واحد خیالی است، i 2 = - 1 .

با اعمال این فرمول ها برای توابع مثلثاتی، فرمول های مربوط به توابع هذلولی را به دست می آوریم.

برابری

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = -امین x; cth(-x) = - cth x.

تابع ch(x)- زوج. کارکرد sh(x), ممنون), cth(x)- فرد.

تفاوت مربع ها

ch 2 x - sh 2 x = 1.

فرمول های مجموع و تفاضل آرگومان ها

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

فرمول های محصولات سینوس و کسینوس هایپربولیک

,
,
,

,
,
.

فرمول های مجموع و تفاضل توابع هذلولی

,
,
,
,
.

رابطه سینوس و کسینوس هذلولی با مماس و کوتانژانت

, ,
, .

مشتقات

,

انتگرال های sh x، ch x، th x، cth x

,
,
.

گسترش به سری

توابع معکوس

منطقه

در - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

آراکوزین

در 1 ≤ x< ∞ و 0 ≤ y< ∞ فرمول هایی وجود دارد:
,
.

شاخه دوم ناحیه کوسینی در واقع شده است 1 ≤ x< ∞ و - ∞< y ≤ 0 :
.

منطقه مماس

در - 1 < x < 1 و - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

معرفی

در ریاضیات و کاربردهای آن در علوم طبیعی و فناوری، توابع نمایی به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرند. این به ویژه با این واقعیت توضیح داده می شود که بسیاری از پدیده های مورد مطالعه در علوم طبیعی جزو فرآیندهای به اصطلاح رشد ارگانیک هستند که در آن نرخ تغییر عملکردهای درگیر در آنها متناسب با مقادیر است. خود توابع

اگر با یک تابع و با یک آرگومان نشان داده شود، قانون دیفرانسیل روند رشد ارگانیک را می توان به شکلی نوشت که مقداری ضریب تناسب ثابت است.

ادغام این معادله منجر به تصمیم مشترکبه عنوان یک تابع نمایی

اگر تنظیم کنید شرایط آغازینهنگامی که، آنگاه می توان یک ثابت دلخواه را تعیین کرد و در نتیجه، راه حل خاصی را یافت که قانون جدایی ناپذیر فرآیند مورد بررسی است.

فرآیندهای رشد ارگانیک، تحت برخی فرضیات ساده‌کننده، شامل پدیده‌هایی مانند، برای مثال، تغییر در فشار اتمسفر بسته به ارتفاع بالای سطح زمین، فروپاشی رادیواکتیو، سرد شدن یا گرم شدن بدن در محیطدمای ثابت، تک مولکولی واکنش شیمیایی(به عنوان مثال، حل شدن یک ماده در آب)، که در آن قانون عمل جرم اتفاق می افتد (سرعت واکنش متناسب با مقدار واکنش دهنده است)، تولید مثل میکروارگانیسم ها، و بسیاری دیگر.

افزایش مقدار پول به دلیل تعلق سود مرکب بر آن (بهره بر بهره) نیز یک فرآیند رشد ارگانیک است.

این نمونه ها را می شد ادامه داد.

در کنار توابع نمایی منفرد در ریاضیات و کاربردهای آن، از ترکیب‌های مختلفی از توابع نمایی استفاده می‌شود که در این میان ترکیب‌های خطی و کسری-خطی توابع و به اصطلاح توابع هذلولی از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. شش مورد از این توابع وجود دارد که نام ها و عناوین ویژه زیر برای آنها معرفی شده است:

(سینوس هایپربولیک)،

(کسینوس هایپربولیک)،

(تانژانت هذلولی)،

(کتانژانت هیپربولیک)،

(سکانت هذلولی)،

(سکانت هذلولی).

این سوال پیش می آید که چرا دقیقاً چنین نام هایی آورده شده است و در اینجا یک هذلولی و نام توابع شناخته شده از مثلثات وجود دارد: سینوس، کسینوس و غیره؟ معلوم می شود که روابط اتصال توابع مثلثاتی با مختصات نقاط یک دایره با شعاع واحد مشابه روابط اتصال توابع هذلولی با مختصات نقاط یک هذلول متساوی الاضلاع با یک نیم محور واحد است. این نام توابع هذلولی را توجیه می کند.

توابع هذلولی

توابع داده شده توسط فرمول ها به ترتیب کسینوس هایپربولیک و سینوس هایپربولیک نامیده می شوند.

این توابع تعریف شده و پیوسته هستند و یک تابع زوج و یک تابع فرد است.

شکل 1.1 - نمودارهای توابع

از تعریف توابع هذلولی چنین است که:

با قیاس با توابع مثلثاتی، مماس هذلولی و کوتانژانت به ترتیب با فرمول ها تعریف می شوند.

یک تابع بر روی مجموعه ای با نقطه سوراخ شده تعریف شده و پیوسته است. هر دو تابع فرد هستند، نمودارهای آنها در شکل های زیر نشان داده شده است.

شکل 1.2 - نمودار تابع

شکل 1.3 - نمودار تابع

می توان نشان داد که توابع و به شدت در حال افزایش هستند، در حالی که تابع به شدت کاهش می یابد. بنابراین، این توابع برگشت پذیر هستند. توابع را به ترتیب معکوس با آنها مشخص کنید.

تابعی را معکوس تابع در نظر بگیرید، یعنی. تابع. ما آن را به صورت ابتدایی بیان می کنیم. با حل معادله با توجه به، پس از آن، از کجا دریافت می کنیم

با جایگزینی و با، فرمول تابع معکوس سینوس هذلولی را پیدا می کنیم.

همراه با ارتباط بین مثلثاتی و توابع نمایی(فرمول های اویلر)

در حوزه پیچیده چنین بسیار وجود دارد اتصال سادهبین توابع مثلثاتی و هذلولی

به یاد بیاورید که طبق تعریف:

اگر در هویت (3) جایگزین کنیم، در سمت راست همان عبارتی را می گیریم که در سمت راست هویت است، که برابری اضلاع چپ از آن به دست می آید. همین امر برای هویت های (4) و (2) صدق می کند.

با تقسیم هر دو بخش هویت (6) به قسمت های مربوط به هویت (5) و بالعکس (5) بر (6) به دست می آید:

جایگزینی مشابه در هویت های (1) و (2) و مقایسه با هویت های (3) و (4) به دست می دهد:

در نهایت، از هویت های (9) و (10) می یابیم:

اگر هویت های (5)-(12) را در جایی قرار دهیم که x یک عدد واقعی است، یعنی آرگومان را کاملاً خیالی در نظر بگیریم، آنگاه هشت هویت دیگر بین توابع مثلثاتی یک آرگومان کاملاً خیالی و توابع هذلولی متناظر یک آرگومان واقعی بدست می آوریم. و همچنین بین توابع هذلولی یک استدلال خیالی صرفاً و توابع مثلثاتی مربوط به آرگومان واقعی:

روابط به دست آمده امکان عبور از توابع مثلثاتیبه هذلولی و از

توابع هذلولی به مثلثاتی با جایگزینی آرگومان خیالی با آرگومان واقعی. آنها را می توان به عنوان قانون زیر فرموله کرد:

برای حرکت از توابع مثلثاتی یک آرگومان فرضی به توابع هذلولی یا برعکس، از توابع هذلولی یک آرگومان فرضی به مثلثاتی، باید واحد خیالی را از علامت تابع برای سینوس و مماس خارج کرد و آن را به طور کلی برای کسینوس

ارتباط برقرار شده قابل توجه است، به ویژه از این جهت که به دست آوردن همه روابط بین توابع هذلولی را از روابط شناخته شده بین توابع مثلثاتی با جایگزینی توابع هذلولی ممکن می سازد.

بیایید نشان دهیم که چگونه است. در حال انجام است.

برای مثال هویت مثلثاتی پایه را در نظر بگیرید

و در آن قرار دهید که در آن x یک عدد واقعی است. ما گرفتیم:

اگر در این هویت سینوس و کسینوس را با سینوس و کسینوس هذلولی با توجه به فرمول ها جایگزین کنیم، آنگاه به یا و این هویت اصلی بین آنچه قبلاً به روشی دیگر مشتق شده است، می گیریم.

به طور مشابه، شما می توانید تمام فرمول های دیگر، از جمله فرمول های توابع هذلولی حاصل از مجموع و تفاضل آرگومان ها، آرگومان های دو و نیم و غیره را استخراج کنید، بنابراین، از مثلثات معمولی، "مثلثات هذلولی" دریافت کنید.