این درجه برای ساده سازی ضبط تعداد خودشان استفاده می شود. به عنوان مثال، به جای ضبط شما می توانید بنویسید 4 5 (\\ displayStyle 4 ^ (5)) (توضیح این انتقال در بخش اول این مقاله داده شده است). درجه به شما این امکان را می دهد که ساده یا پیچیده عبارات یا معادلات را ساده کنید؛ همچنین، درجه ها به راحتی بسته بندی شده و کم می شوند، که منجر به ساده سازی بیان یا معادله می شود (به عنوان مثال، 4 2 * 4 3 \u003d 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

توجه داشته باشید: اگر شما نیاز به حل معادله نشانگر (در این معادله، ناشناخته در یک شاخص درجه)، خواندن.

مراحل

راه حل ساده ترین وظایف با درجه

ضرب و شتم پایه درجه خود را با تعداد بار برابر با شاخص. اگر شما نیاز به حل این کار با درجه به صورت دستی، درجه را به صورت یک عمل ضرب، جایی که پایه و اساس درجه خود را به دست می آورید، بازنویسی کنید. به عنوان مثال، با توجه به مدرک 3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4)). در این مورد، پایه درجه 3 باید خود را 4 بار ضرب شود: 3 * 3 * 3 * 3 (\\ displaystyle 3 * 3 * 3 * 3). در اینجا نمونه های دیگر وجود دارد:

برای شروع، دو عدد اول را چند برابر کنید. مثلا، 4 5 (\\ displayStyle 4 ^ (5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displayStyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4). نگران نباشید - فرآیند محاسبه به همان اندازه پیچیده نیست، زیرا به نظر می رسد در نگاه اول به نظر می رسد. اول، دو گل اول را چند برابر کنید و سپس آنها را با نتیجه جایگزین کنید. مثل این:

• 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 * 4 \u003d 16 (\\ displaystyle 4 * 4 \u003d 16)

1. نتیجه را (به عنوان مثال 16) به شماره بعدی تقسیم کنید. هر نتیجه بعدی نسبت به آن افزایش می یابد. در مثال ما، ضرب 16 تا 4.

   • 4 5 \u003d 16 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 * 4 \u003d 64 (\\ displaystyle 16 * 4 \u003d 64)
   • 4 5 \u003d 64 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     • 64 * 4 \u003d 256 (\\ displayStyle 64 * 4 \u003d 256)
   • 4 5 \u003d 256 * 4 (\\ displayStyle 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     • 256 * 4 \u003d 1024 (\\ displayStyle 256 * 4 \u003d 1024)
   • ادامه ضربان نتیجه ضرب دو عدد اول را به شماره بعدی ادامه دهید تا پاسخ نهایی را دریافت کنید. برای انجام این کار، دو عدد اول را تغییر دهید، و سپس نتیجه با شماره بعدی در دنباله ضرب می شود. این روش برای هر درجه معتبر است. در مثال ما باید دریافت کنید: 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2. وظایف زیر را انتخاب کنید. پاسخ را با استفاده از ماشین حساب بررسی کنید.

   • 8 2 (\\ displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (\\ displayStyle 10 ^ (7))

3. در ماشین حساب، کلید نشان داده شده به عنوان "exp"، یا " x n (\\ displaystyle x ^ (n))"، یا" ^ ". با استفاده از این کلید، شما تعداد را در درجه بالا خواهید برد. محاسبه میزان با شاخص بزرگ به صورت دستی غیر ممکن (به عنوان مثال، درجه 9 15 (\\ displayStyle 9 ^ (15)))، اما ماشین حساب به راحتی می تواند با این کار مقابله کند. در ویندوز 7، ماشین حساب استاندارد را می توان به حالت مهندسی تبدیل کرد. برای انجام این کار، روی «نمایش» کلیک کنید -\u003e "مهندسی". برای تغییر به حالت عادی، روی "نمایش" کلیک کنید -\u003e "Normal".

   • پاسخ به موتور جستجو (Google یا Yandex) را بررسی کنید. با استفاده از کلید "^" در صفحه کلید کامپیوتر، بیانگر موتور جستجو را وارد کنید، که بلافاصله پاسخ صحیح را نمایش می دهد (و ممکن است عبارات مشابهی را برای مطالعه ارائه دهد).

   علاوه بر این، تفریق، ضرب درجه

   1. شما می توانید درجه را اضافه و کسر کنید تنها اگر آنها دارای پایگاه های مشابه هستند. اگر شما نیاز به اضافه کردن درجه با همان پایگاه ها و شاخص ها، شما می توانید عملیات اضافه کردن ضرب را جایگزین کنید. به عنوان مثال، بیان داده شده است 4 5 + 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). به یاد داشته باشید که درجه 4 5 (\\ displayStyle 4 ^ (5)) می تواند به عنوان نشان داده شود 1 * 4 5 (\\ displaystyle 1 * 4 ^ (5))؛ به این ترتیب، 4 5 + 4 5 \u003d 1 * 4 5 + 1 * 4 5 \u003d 2 * 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (جایی که 1 +1 \u003d 2). به عبارت دیگر، تعداد درجه های مشابه را در نظر بگیرید، و سپس چنین درجه ای را چند برابر کنید و این عدد است. در مثال ما، 4 را در درجه پنجم بسازیم، و سپس نتیجه نتیجه ضرب شده توسط 2. به یاد داشته باشید که عملیات افزودن را می توان با عملیات ضرب جایگزین کرد، به عنوان مثال، 3 + 3 \u003d 2 * 3 (\\ displaystyle 3 + 3 \u003d 2 * 3). در اینجا نمونه های دیگر وجود دارد:

      • 3 2 + 3 2 \u003d 2 * 3 2 (\\ displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 * 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (\\ displayStyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (\\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2. هنگامی که ضرب درجه ها با همان پایه، شاخص های آنها بسته می شوند (پایه تغییر نمی کند). به عنوان مثال، بیان داده شده است x 2 * x 5 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5)). در این مورد، شما فقط باید شاخص ها را از بین ببرید، بر اساس مبنای بدون تغییر. به این ترتیب، x 2 * x 5 \u003d x 7 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7)). در اینجا یک توضیح بصری از این قانون است:

      هنگام نصب درجه، شاخص ها ضرب می شوند. به عنوان مثال، با توجه به مدرک. از آنجا که شاخص های درجه متغیر هستند، سپس (x 2) 5 \u003d x 2 * 5 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10)). معنای این قانون این است که شما درجه را چند برابر می کنید (x 2) (\\ displayStyle (x ^ (2))) خود را برای خود پنج بار. مثل این:

      • (x 2) 5 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5)) ^ (5))
      • (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * X ^ (2) * x ^ (2))
      • از آنجا که پایه یکسان است، شاخص های درجه به سادگی اضافه کردن: (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3. درجه با یک شاخص منفی باید به یک کسر تبدیل شود (به درجه معکوس). نه مشکل، اگر شما نمی دانید درجه بازگشت چیست. اگر شما یک درجه با یک شاخص منفی داده می شود، به عنوان مثال، 3 - 2 (\\ displaystyle 3 ^ (- 2))، این درجه را به مخزن شلوار بنویسید (در عددی، محل 1)، و شاخص مثبت را ایجاد کنید. در مثال ما: 1 3 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (3 ^ (2))). در اینجا نمونه های دیگر وجود دارد:

      هنگامی که تقسیم درجه با همان پایه، شاخص های آنها کسر می شود (مبنای تغییر نمی کند). عملیات تقسیم مخالف عملیات ضرب است. به عنوان مثال، بیان داده شده است 4 4 4 2 (\\ displayStyle (\\ frac (4 ^ 4 ^ (4)) (4 ^ (2)))). دفع درجه در مخزن، از نشانگر درجه ای که دارای عددی است (پایه را تغییر ندهید) را حذف کنید. به این ترتیب، 4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • در این فرم، درجه ای که در آن قرار دارد، می تواند در این فرم نوشته شود: 1 4 2 (\\ displayStyle (\\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\\ displaystyle 4 ^ (- 2)). به یاد داشته باشید که کسری یک عدد (درجه، بیان) با شاخص منفی درجه است.

   4. در زیر برخی از عباراتی است که به شما کمک می کند تا یاد بگیرید که وظایف را با درجه ها حل کنید. این عبارات مواد موجود در این بخش را پوشش می دهند. به منظور دیدن پاسخ، به سادگی فضای خالی را پس از علامت برابری برجسته کنید.

   وظایف حل شده با شاخص های کسری

   درجه با شاخص کسر (به عنوان مثال،) به عمل استخراج ریشه تبدیل می شود. در مثال ما: x 1 2 (\\ displayStyle X ^ (\\ frac (1) (2))) = x (\\ displaystyle (\\ sqrt (x))). مهم نیست که کدام عدد در نامزدی از شاخص کسری باشد. مثلا، x 1 4 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (4))) - این ریشه درجه چهارم از "X" است، یعنی x 4 (\\ displaystyle (\\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. اگر شاخص درجه است کسر نامنظم، پس از آن چنین درجه ای می تواند برای دو درجه تجزیه شود تا راه حل مشکل را ساده کند. در این مورد هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد - فقط به یاد داشته باشید حاکمیت ضرب توسط درجه. به عنوان مثال، با توجه به مدرک. این درجه را به ریشه تبدیل کنید، درجه ای که برابر با پروترسن شاخص کسر می شود، و سپس این ریشه را به درجه برابر با عددی از شاخص کسری می پردازد. برای انجام این کار، به یاد داشته باشید 5 3 (\\ displayStyle (\\ frac (5) (3)) = (1 3) * 5 (\\ displaystyle ((\\ frac (1) (3))) * 5). در مثال ما:

      • x 5 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3))
      • x 1 3 \u003d x 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (3)) \u003d (\\ sqrt [(3)] (x)))
      • x 5 3 \u003d x 5 * x 1 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (\\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\\ displaystyle ((\\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
   2. در برخی از ماشین حساب ها یک دکمه برای محاسبه درجه وجود دارد (برای اولین بار باید به پایه وارد شوید، سپس دکمه را فشار دهید و سپس نشانگر را وارد کنید). این به عنوان ^ یا x ^ y نشان داده شده است.
   3. به یاد داشته باشید که هر عدد در درجه اول به همان اندازه به خود، به عنوان مثال، 4 1 \u003d 4. (\\ displayStyle 4 ^ (1) \u003d 4.) علاوه بر این، هر تعداد ضرب یا تقسیم شده توسط یکی برابر با خود، به عنوان مثال، 5 * 1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5 * 1 \u003d 5) و 5/1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5/1 \u003d 5).
   4. بدانید که درجه 0 0 وجود ندارد (چنین درجه ای هیچ راه حل ندارد). هنگامی که شما سعی می کنید چنین درجه ای را در ماشین حساب یا کامپیوتر حل کنید، یک خطا دریافت خواهید کرد. اما به یاد داشته باشید که هر عدد در درجه صفر 1، به عنوان مثال، 4 0 \u003d 1. (\\ displaystyle 4 ^ (0) \u003d 1
   5. در بالاترین ریاضیات، که با اعداد خیالی عمل می کند: E a x \u003d c o s a x + i s i n a x (\\ displaystyle e ^ (a) ix \u003d cosax + isinax)جایی که I \u003d (- 1) (\\ displayStyle I \u003d (\\ sqrt ((((((((((((((((((((()) - 1))؛ E - ثابت، تقریبا برابر با 2.7؛ A - دائمی دلخواه. اثبات این برابری را می توان در هر کتاب درسی در ریاضیات بالاتر یافت.

   هشدارها

   • با افزایش شاخص درجه، ارزش آن بسیار افزایش می یابد. بنابراین، اگر پاسخ به نظر شما اشتباه است، در واقع او ممکن است وفادار باشد. شما می توانید آن را با ساخت یک برنامه از هر یک چک کنید تابع نشانگر، به عنوان مثال، 2 x.

موضوع مبدل عبارات را با درجه ها در نظر بگیرید، اما ابتدا بگذارید در تعدادی از تحولات که می تواند با هر گونه بیان، از جمله قدرت انجام شود، متوقف شود. ما یاد خواهیم گرفت که براکت ها را آشکار کنیم، شرایط مشابهی را انجام دهیم، با پایه و شاخص درجه کار، از خواص درجه استفاده کنیم.

Yandex.rtb R-A-339285-1

عبارات قدرتمند چیست؟

که در دوره مدرسه چند استفاده از عبارت "عبارات قدرتمند"، اما این اصطلاح به طور مداوم در مجموعه برای آماده شدن برای امتحان است. در اغلب موارد، عبارات توسط عباراتی که حاوی سوابق درجه آنها هستند، نشان داده شده است. این ما در تعریف ما بازتاب می کنیم.

تعریف 1

بیان قدرت - این بیان است که حاوی درجه است.

اجازه دهید ما چند نمونه از عبارات قدرت را، با شروع درجه با شاخص طبیعی و پایان دادن به شاخص واقعی.

ساده ترین عبارات قدرت را می توان درجه شماره را با شاخص طبیعی در نظر گرفت: 3 2، 7 5 + 1، (2 + 1) 5، (- 0، 1) 4، 2 3 3، 3 · A 2 - A + A 2، X 3 - 1، (A 2) 3. و همچنین درجه با صفر نشانگر: 5 0، (A + 1) 0، 3 + 5 2 - 3، 2 0. و درجه با درجه کامل منفی: (0، 5) 2 + (0، 5) - 2 2.

به راحتی سخت تر برای کار با درجه ای با شاخص های منطقی و غیر منطقی: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2، 2 3، 5 · 2 - 2 2 - 1، 5، 1 A 1 4 · A 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2، x π · x 1 - π، 2 3 3 + 5.

به عنوان یک شاخص، متغیر 3 x - 54 - 7 · 3 x - 58 یا لگاریتم می تواند باشد x 2 · l g x - 5 · x l g x.

با سوال از آنچه عبارات قدرت هستند، ما متوجه شدیم. حالا ما با تبدیل آنها مقابله خواهیم کرد.

انواع اصلی تحولات عبارات قدرت

اول از همه، ما تغییرات هویت پایه ای از عبارات را که می توان با عبارات قدرت انجام داد، در نظر خواهیم گرفت.

مثال 1

مقدار بیان قدرت را محاسبه کنید 2 3 · (4 2 - 12).

تصمیم

تمام تحولات ما در مطابقت با روش انجام اقدامات انجام می شود. در این مورد، ما با اجرای اقدامات در براکت شروع می کنیم: درجه ارزش دیجیتال را جایگزین کنید و تفاوت دو عدد را محاسبه کنید. دارند 2 3 · (4 2 - 12) \u003d 2 3 · (16 - 12) \u003d 2 3 · 4.

ما هنوز باید درجه را جایگزین کنیم 2 3 معنی او 8 و محاسبه کار 8 · 4 \u003d 32. در اینجا پاسخ ماست.

پاسخ: 2 3 · (4 2 - 12) \u003d 32.

مثال 2

ساده سازی بیان با درجه 3 · 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7.

تصمیم

بیانیه ای که به ما داده شده از لحاظ کار شامل شرایط مشابهی است که ما می توانیم منجر شود: 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7 \u003d 5 · a 4 · b - 7 - 1.

پاسخ: 3 · 4 · B - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7 \u003d 5 · a 4 · b - 7 - 1.

مثال 3

بیان را با درجه 9 - B 3 · π - 1 2 آماده کنید.

تصمیم

تصور کنید شماره 9 به عنوان مدرک 3 2 و فرمول ضریب اختصار را اعمال کنید:

9 - B 3 · π - 1 2 \u003d 3 2 - B 3 · π - 1 2 \u003d 3 - B 3 · π - 1 3 + B 3 · π - 1

پاسخ: 9 - b 3 · π - 1 2 \u003d 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1.

و حالا ما به فاجعه تبدیل می شویم تغییرات یکسانکه می تواند دقیقا در ارتباط با عبارات قدرت استفاده شود.

با پایه و شاخص درجه کار کنید

درجه پایه یا شاخص ممکن است اعداد، متغیرها و برخی عبارات نیز داشته باشد. مثلا، (2 + 0، 3 · 7) 5 - 3، 7 و . کار با چنین نوشته ها دشوار است. این بیان بسیار ساده تر است که بیان را در پایه درجه یا بیان در نشانگر یکسان برابر با بیان بیان کنید.

تغییرات درجه و شاخص بر اساس قوانین شناخته شده به ما به طور جداگانه از یکدیگر انجام می شود. مهمترین چیز این است که به عنوان یک نتیجه از تحول، بیان یکسان است با یک اولیه.

هدف از تحول ها ساده سازی بیان اولیه یا راه حل مشکل است. به عنوان مثال، در مثال، که ما در بالا ذکر کردیم، (2 + 0، 3 · 7) 5 - 3، 7، شما می توانید اقدامات را به انتقال به درجه انجام دهید 4 , 1 1 , 3 . براکت های باز، ما می توانیم شرایط مشابه را در پایین هدایت کنیم (A · (A + 1) - A 2) 2 · (X + 1) و بیان قدرتمند یک نوع ساده تر را دریافت کنید A 2 · (X + 1).

از خواص درجه استفاده کنید

خواص درجه ثبت شده در قالب مساوی، یکی از ابزارهای اصلی تبدیل عبارات با درجه است. در اینجا، اصلی آنها هستند، با توجه به این آ. و ب - اینها اعداد مثبت هستند و R. و S. - اعداد معتبر دلخواه:

تعریف 2

• r · a s \u003d a r + s؛
• a R: S \u003d a r-s؛
• (a · b) r \u003d a r · b r؛
• (a: b) r \u003d a r: b r؛
• (a r) s \u003d a r · s.

در مواردی که ما با شاخص های طبیعی، عدد صحیح، شاخص های مثبت درجه رسیدگی می کنیم، محدودیت های تعداد A و B ممکن است بسیار سخت باشد. بنابراین، به عنوان مثال، اگر ما برابری را در نظر بگیریم a m · a n \u003d a m + nجایی که M. و n. - اعداد طبیعی، آن را برای هر مقدار از یک، هر دو مثبت و منفی، و همچنین برای a \u003d 0.

ممکن است خواص درجه بدون محدودیت ها را بدون محدودیت در مواردی که پایه های درجه مثبت یا حاوی متغیرها هستند، اعمال می شود، مساحت مقادیر مجاز آن به گونه ای است که تنها مقادیر مثبت بر آن گرفته شده است. در واقع، در داخل برنامه مدرسه در ریاضیات، وظیفه دانش آموز این است که یک اموال مناسب و برنامه صحیح آن را انتخاب کنید.

هنگام آماده سازی برای پذیرش به دانشگاه ها، وظایف ممکن است رخ دهد که در آن استفاده غیر قابل استفاده از خواص منجر به محدود شدن OTZ و سایر مشکلات با راه حل خواهد شد. در این بخش، ما تنها دو مورد را تحلیل خواهیم کرد. اطلاعات بیشتر در مورد این موضوع را می توان در موضوع "تبدیل عبارات با استفاده از خواص درجه" یافت.

مثال 4

تصور کنید یک عبارت A 2، 5 · (A 2) - 3: A - 5، 5 به صورت مدرک آ..

تصمیم

برای شروع، ما از اموال ورزش استفاده می کنیم و عامل دوم آن را تغییر می دهیم. (A 2) - 3 . سپس از خواص ضرب و تقسیم سطوح با همان پایه استفاده کنید:

a 2، 5 · A - 6: A - 5، 5 \u003d A 2، 5 - 6: A - 5، 5 \u003d A - 3، 5: A - 5، 5 \u003d A - 3، 5 - (- 5، 5) \u003d A 2.

پاسخ: A 2، 5 · (A 2) - 3: A - 5، 5 \u003d A 2.

تبدیل عبارات قدرت با توجه به اموال درجه می تواند هر دو از چپ به راست و در جهت مخالف ساخته شده است.

مثال 5

مقدار قدرت را پیدا کنید 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3.

تصمیم

اگر ما برابری را اعمال کنیم (a · b) r \u003d a r · b r، راست به سمت چپ، پس از آن ما یک محصول از فرم 3 · 7 1 3 · 21 2 3 و بیشتر 21 1 3 · 21 2 3. حرکت دادن شاخص ها هنگام ضرب درجه با همان پایگاه ها: 21 1 3 · 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

راه دیگری برای انجام آن وجود دارد:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 \u003d 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 \u003d 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 \u003d 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 \u003d 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 \u003d 3 1 · 7 1 \u003d 21

پاسخ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 \u003d 3 1 · 7 1 \u003d 21

مثال 6

بیان قدرت داده شده است A 1، 5 - A 0، 5 - 6یک متغیر جدید را وارد کنید t \u003d a 0، 5.

تصمیم

تصور کنید مدرک 1، 5 مانند 0، 5 · 3 . از اموال درجه به درجه استفاده کنید (a r) s \u003d a r · s در سمت راست سمت چپ و به دست آوردن (0، 5) 3: A 1، 5 - A 0، 5 - 6 \u003d (0، 5) 3 - 0، 5 - 6. در بیان نتیجه، شما به راحتی می توانید یک متغیر جدید را وارد کنید. t \u003d a 0، 5: دريافت كردن T 3 - T - 6.

پاسخ: T 3 - T - 6.

تبدیل فراکسیون های حاوی درجه

ما معمولا با دو نوع از عبارات قدرت با کسری برخورد می کنیم: بیان یک کسری است که دارای یک درجه یا شامل چنین کسری است. این اصطلاحات تمام تغییرات عمده از کسری را بدون محدودیت اعمال می کند. آنها می توانند کاهش یابد، منجر به یک نام جدید، به طور جداگانه با یک شخص و نام دهنده کار می کنند. ما این را با مثال ها نشان می دهیم.

مثال 7

ساده بیان قدرت 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2.

تصمیم

ما با یک کسر برخورد می کنیم، بنابراین ما تحولات را در عددی انجام می دهیم، و در نامزدی:

3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · X 2 - 3 - 3 · X 2 \u003d 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 3 · 5 2 3 · 5 - 2 3 - 5 - x 2 \u003d \u003d 3 · 5 2 3 + 1 3 - 3 · 5 2 3 + - 2 3 - 2 - X 2 \u003d 3 · 5 1 - 3 · 5 0 - 2 - X 2

موقعیت منهای قبل از کسری به منظور تغییر نشانه ای از جانباز: 12 - 2 - x 2 \u003d - 12 2 + x 2

پاسخ: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · X 2 - 3 - 3 · X 2 \u003d - 12 2 + X 2

تقسیمات حاوی درجه ها به معنای جدید به طور دقیق و همچنین کسرهای منطقی داده می شود. برای انجام این کار، شما باید یک ضریب اضافی را پیدا کنید و عددی و عددی را از کسری ضرب کنید. لازم است یک عامل اضافی را انتخاب کنید به طوری که آن را به صفر تحت هیچ گونه مقادیر متغیرها از متغیرهای عجیب و غریب برای بیان اولیه اعمال نمی شود.

مثال 8

به بخش های جدید اختصاص دهید: الف) A + 1 A 0، 7 به معنی آ.، ب) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 به dentinator x + 8 · y 1 2.

تصمیم

الف) ما چند برابر را انتخاب خواهیم کرد که به ما اجازه می دهد که به یک نام جدید تبدیل شود. 0، 7 · a 0، 3 \u003d a 0، 7 + 0، 3 \u003d a،بنابراین، به عنوان یک ضریب اضافی ما خواهد شد 0، 3. مساحت مقادیر مجاز متغیر A شامل بسیاری از همه شماره های معتبر معتبر است. در این منطقه 0، 3 به صفر دسترسی نداشته باشید

تکثیر عددی و نامزدی از کسری را انجام دهید 0، 3:

a + 1 A 0، 7 \u003d a + 1 · a 0، 3 a 0، 7 · a 0، 3 \u003d a + 1 · a 0، 3 a

ب) توجه به جانباز:

x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 2 - x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

این عبارت را در x 1 3 + 2 · y 1 6 ضرب کنید، مجموع مکعب های x 1 3 و 2 · y 1 6، I.E. x + 8 · y 1 2. این نامی جدید ما است که ما باید کسر اصلی را به ارمغان بیاوریم.

بنابراین ما یک ضریب اضافی x 1 3 + 2 · y 1 6 را پیدا کردیم. در زمینه مقادیر مجاز متغیرها ایکس. و y بیان x 1 3 + 2 · y 1 6 به صفر نمی رسد، بنابراین ما می توانیم عددی و عددی از کسری را ضرب کنیم:
1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 · 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 \u003d x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

پاسخ: a) a + 1 a 0، 7 \u003d a + 1 · a 0، 3 a، b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 · y 1 1 6 x + 8 · y 1 2.

مثال 9

کاهش کسری: a) 30 · x 3 · (x 0، 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0، 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3، ب) 1 4 - B 1 4 A 1 2 - B 1 2.

تصمیم

الف) ما از بزرگترین متداول مشترک (گره) استفاده می کنیم که عددی و عددی را می توان کاهش داد. برای شماره های 30 و 45، این 15 است. ما همچنین می توانیم کاهش دهیم x 0، 5 + 1 و در X + 2 · X 1 1 3 - 5 3.

ما گرفتیم:

30 · X 3 · (X 0، 5 + 1) · X + 2 · X 1 1 3 - 5 3 45 · X 0، 5 + 1 2 · X + 2 · X 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 · X 3 3 · (X 0، 5 + 1)

ب) در اینجا حضور چند ضامنی آشکار نیست. شما باید برخی از تبدیل ها را انجام دهید تا چند ضلعی را در یک عددی و نامزدی بدست آورید. برای انجام این کار، یک نام دهنده را با استفاده از فرمول تفاوت مربع قرار دهید:

a 1 4 - B 1 4 A 1 2 - B 1 2 \u003d A 1 4 - B 1 4 A 1 4 2 - B 1 2 2 2 \u003d A 1 4 - B 1 4 A 1 4 + B 1 4 · A 1 4 - B 1 4 \u003d 1 A 1 4 + B 1 4

پاسخ:a) 30 · x 3 · (x 0، 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0، 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 · X 3 3 · (X 0، 5 + 1)، ب) 1 4 - B 1 4 A 1 2 - B 1 2 \u003d 1 A 1 4 + B 1 4.

اقدامات اساسی با فراکسیون ها شامل آوردن یک عنصر جدید و برش های برش است. هر دو اقدام در مطابقت با تعدادی از قوانین انجام می شود. هنگام اضافه کردن و کم کردن کسرها، بخش ها به آنها داده می شود مخرج مشترک، پس از آن اقدامات انجام می شود (اضافه یا تفریق) با عددی. نامزدی باقی می ماند. نتیجه اقدامات ما یک کسر جدید است، عددی که محصول عددی است و نامزدی محصول نامزدی است.

مثال 10

انجام اقدامات x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2.

تصمیم

بیایید با تفریق فراکسیون هایی که در براکت ها قرار دارند، شروع کنیم. ما آنها را به معکوس عمومی می دهیم:

x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1

اعداد مشترک:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 · x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 - 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d \u003d 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

در حال حاضر ما کسرها را چند برابر می کنیم:

4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

ما به درجه کاهش می دهیم x 1 2.، ما 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 به دست می آوریم.

علاوه بر این، می توان بیان قدرت را در نامزدی ساده ترسیم کرد، با استفاده از فرمول اختلاف مربع: مربع ها: 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 \u003d 4 x 1 2 2 - 1 2 \u003d 4 x - 1.

پاسخ: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d 4 x - 1

مثال 11

ساده سازی بیان قدرت x 3 4 · x 2، 7 + 1 2 x - 5 8 × x 2، 7 + 1 3.
تصمیم

ما می توانیم کسری را کاهش دهیم (x 2، 7 + 1) 2. ما کسری x 3 4 x - 5 8 · x 2، 7 + 1 را به دست می آوریم.

ما همچنان به تبدیل درجهای X 3 4 X - 5 8 · 1 x 2، 7 + 1 ادامه می دهیم. حالا شما می توانید از دفاع از درجه با همان پایگاه ها استفاده کنید: x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2، 7 + 1 \u003d x 3 4 - - 5 8 · 1 x 2، 7 + 1 \u003d x 1 1 8 · 1 x 2، 7 + 1.

از آخرین کار به کسر x 1 3 8 x 2، 7 + 1 بروید.

پاسخ: x 3 4 · x 2، 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2، 7 + 1 3 \u003d x 1 3 8 x 2، 7 + 1.

چند ضلعی با شاخص های منفی در اکثر موارد راحت تر برای انتقال از عددی به نام دهنده و برگشت، تغییر علامت نشانگر. این عمل به شما امکان می دهد راه حل بیشتر را ساده کنید. به ما یک مثال بدهید: یک عبارت قدرت (x + 1) - 0، 2 3 · x - 1 را می توان با x 3 جایگزین کرد (x + 1) 0، 2.

تحول عبارات با ریشه ها و درجه ها

عبارات قابل توجهی در وظایف وجود دارد که حاوی نه تنها درجه با شاخص های کسری، بلکه ریشه ها نیز وجود دارد. چنین عباراتی مطلوب است که تنها به ریشه ها یا تنها به درجه ها برسد. انتقال به درجه ترجیح داده می شود، از آنجایی که آنها با آنها راحت تر کار می کنند. چنین انتقال به ویژه ترجیح داده می شود زمانی که متغیرهای OTZ برای بیان اصلی، امکان جایگزینی ریشه های درجه را بدون نیاز به تبدیل شدن به ماژول یا تقسیم OTZ به چند شکاف، جایگزین می کند.

مثال 12

بیان X 1 9 · x · x 3 6 را به عنوان درجه آماده کنید.

تصمیم

محدوده مقادیر متغیر مجاز ایکس. تعیین شده توسط دو نابرابری x ≥ 0. و x · x 3 ≥ 0، که بسیاری را تنظیم می کند [ 0 , + ∞) .

در این مجموعه ما حق داریم از ریشه ها به درجه حرکت کنیم:

x 1 9 · x · x 3 6 \u003d x 1 9 · x · x 1 3 1 6

با استفاده از خواص درجه، بیان قدرت حاصل از آن را ساده تر می کند.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 \u003d x 1 9 + 1 6 + 1 18 \u003d x 1 3

پاسخ: x 1 9 · x · x 3 6 \u003d x 1 3.

تحول درجه با متغیرها در شاخص

داده های تبدیل به سادگی به سادگی تولید می شود اگر به طور صحیح از خواص درجه استفاده می کنند. مثلا، 5 2 · x + 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x - 1 \u003d 0.

ما می توانیم درجه ای را در شاخص های آن جایگزین کنیم که مجموع یک متغیر و تعداد آن وجود دارد. در سمت چپ، این را می توان با اولین و آخرین دوره سمت چپ بیان انجام داد:

5 2 · x · 5 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x · 7 - 1 \u003d 0، 5 · 5 2 · x - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x \u003d 0

در حال حاضر هر دو بخش از برابری را به اشتراک بگذارید 7 2 · x. این عبارت در متغیر OTZ X فقط مقادیر مثبت را دریافت می کند:

5 · 5 - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0 7 2 · x، 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0، 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0

ما کسری را با درجه کاهش می دهیم، ما دریافت می کنیم: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 \u003d 0.

در نهایت، نسبت درجه با شاخص های مشابه با درجه های روابط جایگزین می شود، که منجر به معادله 5/5 7 2 · X - 3 · 5 7 x - 2 \u003d 0، که معادل 5/5 7 x 2 است - 3 · 5 7 x - 2 \u003d 0.

ما یک متغیر جدید t \u003d 5 7 x را معرفی می کنیم که راه حل معادله اولیه اولیه را به محلول معادله مربع 5 · t 2 - 3 · t - 2 \u003d 0 کاهش می دهد.

تحول عبارات با درجه و لگاریتم

عبارات حاوی درجه و ضبط لگاریتم نیز در وظایف یافت می شود. یک مثال از چنین عباراتی می تواند باشد: 1 4 1 - 5 · log 2 3 یا log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. تحول چنین عباراتی با استفاده از رویکردهای فوق و خواص لگاریتم ها انجام می شود که ما جزئیات را در موضوع "تبدیل عبارات لگاریتمی" حذف کردیم.

اگر اشتباه در متن را متوجه شوید، لطفا آن را انتخاب کنید و Ctrl + Enter را فشار دهید

فرمول درجه در فرآیند اختصار استفاده می شود و ساده سازی عبارات پیچیده، در حل معادلات و نابرابری ها را ساده می کند.

عدد c. هست یک n.درجه کوچک آ. چه زمانی:

عملیات با درجه.

1. ضرب درجه با همان مبنای، شاخص های آنها برابر:

صبح.· n \u003d a m + n.

2. در تقسیم مقادیر با همان مبنای، شاخص های آنها کسر می شوند:

3. درجه کار 2 یا بیشتر ضیافت برابر با محصول این عوامل است:

(abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. درجه کسری برابر با نسبت درجه تقسیم و تقسیم بندی است:

(a / b) n \u003d a n / b n.

5. گوش دادن به درجه، شاخص های درجه طولانی مدت است:

(a m) n \u003d a m n.

هر فرمول بالا در جهت چپ به راست و بالعکس درست است.

مثلا. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 22 · 3² · 5² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4.

عملیات ریشه

1. ریشه کار عوامل متعددی برابر با محصول ریشه این عوامل است:

2. ریشه از رابطه برابر با رابطه ریشه های تقسیم و تقسیم:

3. هنگامی که ریشه نصب شده است، آن را به اندازه کافی ساخته شده است.

4. اگر درجه ریشه را افزایش دهید n. یک بار و در همان زمان ساخت n.درجه شماره خوراک، مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

5. اگر درجه ریشه را در آن کاهش دهید n. یک بار و در عین حال ریشه را استخراج کنید n.درجه از یک عدد ناچیز، مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

درجه با شاخص منفی.درجه یک عدد مشخص با شاخص غیر قابل انکار (کل) به عنوان یک واحد تقسیم شده توسط درجه یک عدد با شاخص برابر با ارزش مطلق شاخص غیر مثبت تعیین می شود:

فرمول صبح.: a n \u003d a m - n می تواند نه تنها در m.> n. اما همچنین m.< n..

مثلا. آ. 4: 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

به فرمول صبح.: a n \u003d a m - n منصفانه شد m \u003d n.حضور یک درجه صفر مورد نیاز است.

درجه با شاخص صفر.درجه ای از هر عدد که برابر صفر نیست، با نشانگر صفر برابر با یک است.

مثلا. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجه با شاخص کسریبرای ساخت یک شماره معتبر ولی در درجه m / n.، لازم است که ریشه را استخراج کنید n.درجه از m.درجه این شماره ولی.

در کانال در سایت YouTube سایت ما برای نگه داشتن از همه درس های ویدئویی جدید.

اول، اجازه دهید فرمول های اساسی درجه ها و خواص آنها را به یاد داشته باشیم.

کار تعداد آ. خود را به صورت تصادفی رخ می دهد، این عبارت ما می توانیم به عنوان یک ... a \u003d a n بنویسیم

1. 0 \u003d 1 (a ≠ 0)

3. a n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d a nm

5. n b n \u003d (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

قدرت یا معادلات نشان دهنده - اینها معادلات هستند که در آن متغیرها در درجه ها (یا شاخص ها) قرار دارند و اساس آن تعداد است.

نمونه هایی از معادلات شاخصی:

در این مثال، شماره 6 پایه ای است که همیشه در طبقه پایین قرار دارد و متغیر است ایکس. درجه یا شاخص

بگذارید نمونه های بیشتری از معادلات نشانگر را ارائه دهیم.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

حالا ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که چگونه معادلات تظاهرات حل می شوند؟

یک معادله ساده بگیرید:

2 x \u003d 2 3

این مثال را می توان حتی در ذهن حل کرد. این را می توان دید که x \u003d 3. پس از همه، به طوری که بخش چپ و راست باید برابر با شماره 3 به جای X باشد.
حالا بیایید ببینیم چگونه این تصمیم را صادر می کند:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3

به منظور حل چنین معادله، ما حذف کردیم زمینه های مشابه (I.E. دو) و ثبت نام آنچه باقی مانده است، درجه است. پاسخ دلخواه را دریافت کرد.

حالا تصمیم ما را خلاصه کنید.

الگوریتم برای حل معادله نشانگر:
1. نیاز به بررسی همان پایه های لی در معادله در سمت راست و چپ. اگر پایه ها همانند به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال نیستند.
2. پس از پایه ها تبدیل به یکسان شد برابر درجه و معادله جدید را حل می کند.

حالا چند مثال را بازنویسی کنید:

بیایید با ساده شروع کنیم.

پایه ها در قسمت چپ و راست برابر با شماره 2 هستند، به این معنی که ما می توانیم درجه های خود را رد و معادل کنیم.

x + 2 \u003d 4 ساده ترین معادله معلوم شد.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2
پاسخ: x \u003d 2

در مثال زیر، می توان دید که پایگاه ها متفاوت هستند. این 3 و 9 است.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0

برای شروع، ما نه به سمت راست انتقال می دهیم، ما دریافت می کنیم:

حالا شما باید همان بنیاد را بسازید. ما می دانیم که 9 \u003d 3 2. ما از فرمول درجه (a n) m \u003d a nm استفاده می کنیم.

3 3x \u003d (3 2) X + 8

ما 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 \u003d 3 2x + 16 به دست می آوریم

3 3x \u003d 3 2X + 16 اکنون روشن است که در سمت چپ و سمت راست پایه ها یکسان هستند و برابر با Troika هستند، پس ما می توانیم آنها را از بین ببریم و درجه بندی کنیم.

3x \u003d 2x + 16 ساده ترین معادله را دریافت کرد
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16
پاسخ: x \u003d 16.

ما به مثال زیر نگاه می کنیم:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

اول، ما به پایه نگاه می کنیم، پایه ها دو و چهار نفر متفاوت هستند. و ما باید یکسان باشیم. ما چهار را با فرمول (a n) m \u003d a nm تبدیل می کنیم.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

و همچنین از یک فرمول a n a m \u003d a n + m استفاده کنید:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

اضافه کردن به معادله:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

ما نمونه ای را به دلایل مشابهی هدایت کردیم. اما ما با اعداد دیگر 10 و 24 تداخل داریم. با آنها چه کار میکنید؟ اگر می بینید که روشن است که ما 2 2 2 داریم، این پاسخ است - 2 2، ما می توانیم براکت ها را از بین ببریم:

2 2X (2 4 - 10) \u003d 24

ما بیان را در براکت محاسبه می کنیم:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

تمام معادله ها به 6:

تصور کنید 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 22 پایه ها یکسان هستند، آنها را پرتاب می کنند و درجه ها را معادل می کنند.
2X \u003d 2 ساده ترین معادله معلوم شد. ما آن را در 2 تقسیم می کنیم
x \u003d 1
پاسخ: x \u003d 1.

حل معادله:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

ما تبدیل می کنیم:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

ما معادله را دریافت می کنیم:
3 2X - 12 3 X +27 \u003d 0

پایه های ما همانند سه برابر هستند. در این مثال، می توان دید که سه درجه اول دو بار (2x) بیشتر از دوم (به سادگی X) است. در این مورد، شما می توانید حل کنید روش جایگزینی. شماره با کوچکترین درجه جایگزین:

سپس 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

ما در معادله همه درجه ها با حفره ها در T:

t 2 - 12T + 27 \u003d 0
دريافت كردن معادله درجه دوم. ما از طریق تبعیض تصمیم می گیریم، ما دریافت می کنیم:
d \u003d 144-108 \u003d 36
t 1 \u003d 9
t 2 \u003d 3

بازگشت به متغیر ایکس..

T 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

به این معنا که،

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

یک ریشه یافت شد ما به دنبال دوم هستیم، از T 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
پاسخ: x 1 \u003d 2؛ x 2 \u003d 1.

در سایت شما می توانید در کمک به تصمیم گیری تصمیم به درخواست شما بپرسید. ما پاسخ خواهیم داد.

به گروه ملحق بشید

سطح اول

درجه و خواص. راهنمای جامع (2019)

چرا شما نیاز دارید؟ آنها کجا خواهند آمد؟ چرا باید وقت خود را صرف مطالعه خود کنید؟

برای پیدا کردن همه چیز در مورد درجه، آنچه آنها نیاز به آنچه که آنها نیاز به نحوه استفاده از دانش خود را در زندگی روزمره این مقاله را بخوانید.

و البته، دانش درجه ها به شما نزدیک تر می شود دست زدن به آتش یا امتحان و ورود به دانشگاه رویاهای خود.

اجازه دهید برو ... (سوار!)

سخنان مهم! اگر به جای فرمول ها، Abracadabra را ببینید، حافظه پنهان را تمیز کنید. برای انجام این کار، روی Ctrl + F5 (روی ویندوز) یا CMD + R (در Mac) کلیک کنید.

سطح اول

ورزش یک عملیات ریاضی همانند علاوه بر این، تفریق، ضرب یا تقسیم است.

در حال حاضر من تمام زبان انسانی را در نمونه های بسیار ساده توضیح خواهم داد. توجه داشته باشید نمونه هایی از ابتدایی، اما توضیح دادن چیزهای مهم.

بیایید با افزودن شروع کنیم.

هیچ چیز برای توضیح اینجا وجود ندارد. همه شما همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کس دارای دو بطری کولا است. کولا چقدر است؟ راست - 16 بطری

در حال حاضر ضرب

همان مثال با کولا را می توان به صورت متفاوت ثبت کرد :. ریاضیات - مردم حیله گری و تنبل. آنها برای اولین بار برخی از الگوها را متوجه می شوند و پس از آن نحوه "شمارش" آنها را سریعتر اختراع می کنند. در مورد ما، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر دارای تعداد مشابهی از بطری های کولا بوده و با پذیرش به نام ضرب به دست آمد. موافقم، آن را ساده تر و سریعتر از آن در نظر گرفته شده است.

بنابراین، برای خواندن سریع تر، ساده تر و بدون اشتباه، شما فقط باید به یاد داشته باشید ضرب میز. البته، شما می توانید همه چیز را به آرامی، سخت تر و اشتباه انجام دهید! ولی…

در اینجا جدول ضرب است. تکرار.

و دیگری، زیبا تر:

و چه ترفندهای دیگر با ریاضیدانان تنبل آمد؟ درست - نعوظ.

نعوظ

اگر شما باید پنج بار تعداد خود را برای خودتان چند برابر کنید، ریاضیات می گویند که شما باید این شماره را در درجه پنجم بسازید. مثلا، . ریاضیات به یاد داشته باشید که دو در درجه پنجم است. و آنها چنین وظایفی را در ذهن حل می کنند - سریع تر، ساده تر و بدون خطا.

برای این شما فقط نیاز دارید به یاد داشته باشید آنچه در رنگ در جدول مقادیر اعداد برجسته شده است. باور کنید، این امر تا حد زیادی زندگی شما را تسهیل می کند.

به هر حال، چرا درجه دوم نامیده می شود مربع اعداد، و سوم - کوبا؟ چه مفهومی داره؟ سوال بسیار خوبی است در حال حاضر به شما و مربع ها و کوبا وجود دارد.

مثال از شماره زندگی 1

بیایید با یک مربع یا از درجه دوم شماره شروع کنیم.

تصور کنید یک استخر مربع از اندازه متر بر روی یک متر. استخر در Dacha شما است. گرما و واقعا می خواهید شنا کنید. اما ... استخر بدون پایین! شما باید پایین کاشی های استخر را ذخیره کنید. چقدر کاشی دارید؟ به منظور تعیین این، شما نیاز به پیدا کردن منطقه پایین استخر.

شما می توانید به سادگی محاسبه کنید، با یک انگشت، که پایین استخر شامل یک مکعب متر در هر متر است. اگر شما یک کاشی متر برای متر دارید، باید به قطعات نیاز داشته باشید. این آسان است ... اما کجا چنین کاشی را دیدید؟ کاشی بیشتر احتمال دارد که ببینید و سپس "انگشت خود را برای شمارش" شکنجه کنید. سپس شما باید چند برابر کنید. بنابراین، در یک طرف پایین استخر، ما کاشی های (قطعات) و در دیگر کاشی ها را مناسب می کنیم. ضرب آن، شما کاشی () دریافت خواهید کرد.

آیا متوجه شدید که به منظور تعیین منطقه پایین استخر، آیا ما همان تعداد خود را چند برابر افزایش دادیم؟ چه مفهومی داره؟ این با همان تعداد ضرب شده است، ما می توانیم از "نعوظ از نابودی" استفاده کنیم. (البته، زمانی که شما فقط دو عدد دارید، آنها را چند برابر کنید یا آنها را به درجه بالا ببرید. اما اگر شما تعداد زیادی از آنها داشته باشید، آنها را بسیار ساده تر می کند تا آنها را از لحاظ محاسبات، بیش از حد کمتر افزایش یابد. برای امتحان، آن خیلی مهم است).
بنابراین سی تا درجه دوم () خواهد بود. یا ما می توانیم بگوییم که سی سی در میدان خواهد بود. به عبارت دیگر، درجه دوم شماره دوم همیشه می تواند به عنوان یک مربع نمایش داده شود. و برعکس، اگر یک مربع را ببینید - همیشه درجه دوم برخی از تعداد است. مربع تصویر از شماره درجه دوم است.

مثال از شماره زندگی 2

در اینجا این کار، شمارش تعداد مربعات بر روی یک شطرنج با یک مربع از تعداد ... در یک طرف سلول ها و از سوی دیگر نیز. برای محاسبه مقدار آنها، شما باید هشت یا ... اگر شما توجه داشته باشید که شطرنج یک مربع از طرف است، پس شما می توانید هشت در هر مربع ساخت. این سلول ها را تبدیل می کند. () بنابراین؟

مثال از شماره زندگی 3

در حال حاضر یک مکعب یا درجه سوم شماره. همان استخر اما اکنون شما باید بدانید که چقدر آب باید این استخر را پر کنید. شما باید حجم را حساب کنید. (حجم و مایع، به هر حال، اندازه گیری می شود متر مکعب. ناگهان، درست؟) قرعه کشی یک استخر: پایین اندازه متر و عمق متر و سعی کنید به شمارش اندازه متر مکعب متر در هر متر وارد استخر خود را وارد کنید.

راست نشان دادن انگشت خود و شمارش! یک بار، دو، سه، چهار ... بیست و دو، بیست و سه ... چقدر این اتفاق افتاد؟ پایین نبود؟ دشوار برای شمارش انگشت خود را؟ به طوری که! یک مثال را با ریاضیدانان بیاورید. آنها تنبل هستند، بنابراین متوجه شده اند که برای محاسبه حجم استخر، لازم است هر یک از دیگر طول، عرض و ارتفاع را افزایش دهید. در مورد ما، حجم استخر برابر با مکعب است ... این حقیقت ساده تر است؟

و اکنون تصور کنید، تا آنجا که ریاضیات تنبل و حیله گر هستند، اگر آنها ساده شوند. همه را به یک اقدام آورده است. آنها متوجه شدند که طول، عرض و ارتفاع برابر است و همان تعداد خود را در خود خود را ... و این به این معنی است؟ این به این معنی است که شما می توانید از درجه استفاده کنید. بنابراین، با انگشت خود چه فکر کردید، آنها در یک اقدام عمل می کنند: سه نفر در کوبا برابر است. این نوشته شده است :.

فقط باقی می ماند به یاد داشته باشید جدول درجه. اگر شما، البته، همان تنبل و حیله گر به عنوان ریاضیات. اگر دوست دارید خیلی کار کنید و اشتباه کنید - می توانید انگشت خود را حساب کنید.

خوب، در نهایت شما را متقاعد می کند که درجه ها با طوطی ها و Cunnies برای حل آنها آمد مشکلات زندگی، نه برای ایجاد مشکلات شما، در اینجا چند نمونه دیگر از زندگی وجود دارد.

مثال از شماره زندگی 4

شما یک میلیون روبل دارید در ابتدای هر سال هر میلیون میلیون نفر دیگر را کسب می کنید. به عبارت دیگر، هر میلیون در ابتدای هر سال دو برابر خواهد شد. چقدر پول در سالها دارید؟ اگر شما در حال نشستن هستید و "انگشت خود را فکر می کنید"، پس شما یک فرد بسیار سختگیرانه هستید و. احمقانه. اما به احتمال زیاد شما در چند ثانیه پاسخ خواهید داد، زیرا شما هوشمند هستید! بنابراین، در سال اول - دو ضرب دو ... در سال دوم - چه اتفاقی افتاد، دو نفر دیگر، در سال سوم ... توقف! شما متوجه شدید که این تعداد خود را افزایش می دهد. بنابراین، دو در درجه پنجم - یک میلیون! و اکنون تصور کنید که شما یک رقابت دارید و این میلیون نفر کسی را دریافت خواهید کرد که سریعتر پیدا خواهد کرد ... ارزش یادآوری درجه اعداد را دارد، چه فکر می کنید؟

مثال از شماره زندگی 5

شما یک میلیون دارید در ابتدای هر سال، هر میلیون نفر را کسب می کنید. حقیقت بزرگ هر میلیون سه برابر پس از یک سال چقدر پول دارید؟ بیا بشماریم. سال اول آن است که ضرب شود، پس نتیجه هنوز هم در ... در حال حاضر خسته کننده است، زیرا شما قبلا همه چیز را درک کرده اید: سه نفر به خودی خود ضرب می شود. بنابراین، درجه چهارم برابر با یک میلیون است. فقط لازم است به یاد داشته باشید که سه در درجه چهارم یا.

حالا شما می دانید که با کمک نعوظ تعداد، شما تا حد زیادی زندگی خود را تسهیل می کنید. بیایید بعدا به آنچه که می توانید با درجه ها انجام دهید و آنچه را که باید در مورد آنها بدانید انجام دهید.

شرایط و مفاهیم ... به طوری که اشتباه نگیرید

بنابراین، برای شروع، اجازه دهید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، شاخص درجه چیست؟؟ این بسیار ساده است - این شماره ای است که "در بالای" درجه شماره است. نه علمی، اما روشن و آسان به یاد داشته باشید ...

خوب، در همان زمان که چنین درجه پایه ای؟ حتی ساده تر - این شماره ای است که در زیر قرار دارد.

در اینجا یک نقاشی برای وفاداری است.

خوب، ب عمومیبه طور خلاصه و بهتر به یاد داشته باشید ... درجه ای با پایه "" و شاخص "" به عنوان "به درجه" خوانده می شود و به شرح زیر نوشته شده است:

درجه شماره با شاخص طبیعی

شما قبلا احتمالا حدس زده اید: از آنجا که شاخص است عدد طبیعی. بله، اما چه چیزی است عدد طبیعی؟ ابتدایی! طبیعی این اعداد هستند که در هنگام لیست مورد استفاده قرار می گیرند: یک، دو، سه ... ما، زمانی که ما موارد را در نظر می گیریم، نمی گویند: "منهای پنج"، "منهای شش"، "منهای هفت". ما همچنین نمی گویم: "یک سوم"، یا "صفر کل، پنج دهم". اینها اعداد طبیعی نیستند. و چه این اعداد فکر می کنید؟

اعداد مانند "منهای پنج"، "منهای شش"، "منهای هفت" متعلق به تمام اعداد. به طور کلی، به طور کلی، به طور کامل شامل تمام اعداد طبیعی، اعداد مخالف طبیعی (یعنی، گرفته شده با علامت منفی)، و تعداد. صفر به راحتی درک می شود - این زمانی است که هیچ چیز نیست. و آنها به معنی منفی ("منهای") اعداد منفی است؟ اما آنها به طور عمده برای تعیین بدهی ها اختراع شدند: اگر تعادل در شماره تلفن دارید، به این معنی است که شما باید اپراتور روبل.

تمام انواع کسرها اعداد منطقی هستند. چگونه آنها بوجود می آیند، چه فکر می کنید؟ بسیار ساده. چند هزار سال پیش، اجداد ما دریافتند که آنها دارای اعداد طبیعی برای اندازه گیری طولانی، وزن، مربع و غیره هستند. و آنها اختراع کردند اعداد گویا... من تعجب می کنم که آیا درست است؟

تعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این شماره چیست؟ اگر کوتاه باشد، سپس یک قطعه دهدهی بی نهایت. به عنوان مثال، اگر طول دور به قطر آن تقسیم شود، تعداد غیر منطقی خواهد بود.

خلاصه:

ما مفهوم درجه را تعریف می کنیم، نشانگر آن یک عدد طبیعی است (به عنوان مثال، یک کل و مثبت).

1. هر عدد به درجه اول به همان اندازه به خود:
2. شماره را در مربع ارزیابی کنید - این بدان معنی است که آن را به تنهایی افزایش دهید:
3. شماره را در مکعب ارزیابی کنید - این بدان معنی است که سه بار آن را چند برابر کنید:

تعریف. این تعداد را به صورت طبیعی ارزیابی کنید - این بدان معنی است که تعداد تمام وقت را برای خودتان چند برابر کنید:
.

خواص درجه

این خواص از کجا آمده است؟ من الان به شما نشان خواهم داد.

بیایید ببینیم: چه چیزی است و ?

a-priory:

چند ضرب کننده در اینجا وجود دارد؟

بسیار ساده: ما چند ضلعی را به چند ضلعی تکمیل کردیم، این عوامل را معلوم کردیم.

اما با تعریف، این درجه یک عدد با شاخص است، یعنی این، این لازم بود ثابت شود.

مثال: ساده بیان کنید.

تصمیم گیری:

مثال: بیان را ساده کنید

تصمیم گیری: مهم است که متوجه شوید که در حکومت ما قبل از باید همان بنیاد باشد!
بنابراین، ما درجه را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک ضریب جداگانه باقی می ماند:

فقط برای کار درجه!

در هیچ موردی نمی تواند آن را بنویسد.

2. این است درجه شماره

همانطور که با اموال قبلی، ما به تعریف درجه تبدیل می شویم:

به نظر می رسد که بیان خود را یک بار ضرب می شود، یعنی، با توجه به تعریف، این است، تعدادی تعداد وجود دارد:

در حقیقت، این می تواند "شاخص براکت" نامیده شود. اما هرگز نمی تواند آن را در مقدار انجام دهد:

به یاد بیاورید فرمول لغات اختصاری: چند بار ما می خواهیم بنویسیم؟

اما نادرست است، زیرا.

منفی

تا این نقطه، ما فقط بحث کردیم که شاخص باید باشد.

اما چه باید بکنم؟

در درجه های S. شاخص طبیعی پایه می تواند باشد هر عدد. و حقیقت، ما می توانیم هر یک از هر عدد را چند برابر کنیم، چه مثبت، منفی یا حتی.

بیایید فکر کنیم که چه نشانه هایی ("یا" ") دارای درجه های مثبت و منفی هستند؟

به عنوان مثال، تعداد مثبت یا منفی؟ ولی؟ ؟ با اول، همه چیز روشن است: چند عدد مثبت ما با یکدیگر ضرب نمی شوند، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما با کمی کمی جالب تر است. پس از همه، ما یک قانون اساسی درجه 6 را به یاد می آوریم: "منهای منهای منفی به علاوه. یعنی، یا. اما اگر ما آن را چند برابر کنیم، کار خواهد کرد.

به طور مستقل تعیین کنید، چه علامت های زیر را امضا کنید:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

مقابله

در اینجا پاسخ ها وجود دارد: در چهار نمونه اول، امیدوارم همه چیز قابل درک باشد؟ فقط به پایه و شاخص نگاه کنید و قانون مناسب را اعمال کنید.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

به عنوان مثال 5)، همه چیز نیز به اندازه ترسناک نیست، به نظر می رسد: مهم نیست که چه چیزی برابر با پایه است - درجه ای است که به این معنی است که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود.

خوب، به استثنای مورد زمانی که پایه صفر است. دلیل آن برابر نیست؟ بدیهی است نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر خیلی ساده نیست!

6 نمونه برای آموزش

راه حل های 6 نمونه

اگر به درجه هشتم توجه نکنید، ما اینجا را می بینیم؟ به یاد داشته باشید برنامه کلاس 7. بنابراین، به یاد داشته باشید؟ این فرمول برای ضرب اختصاصی است، یعنی تفاوت مربعات! ما گرفتیم:

به دقت به نام دهنده نگاه کنید. او بسیار شبیه به یکی از ضرب کننده های عددی است، اما اشتباه است؟ نه روش شرایط. اگر آنها را در مکان ها تغییر دهند، ممکن است قانون را اعمال کنید.

اما چگونه این کار را انجام دهید؟ به نظر می رسد بسیار آسان است: درجه حتی از نامزدی به ما کمک می کند.

جادویی، اجزای تغییر در مکان ها. این "پدیده" برای هر گونه بیان به درجه ای قابل استفاده است: ما می توانیم نشانه ها را در براکت ها تغییر دهیم.

اما مهم است به یاد داشته باشید: تمام نشانه ها در همان زمان تغییر می کنند.!

بیایید به عنوان مثال به عقب برگردیم:

و دوباره فرمول:

عدد صحیح ما شماره های طبیعی را در مقابل آنها تماس می گیریم (یعنی با علامت "" و شماره.

تعداد کل مثبت، و آن را از طبیعت متفاوت نیست، پس همه چیز به نظر می رسد دقیقا همانطور که در بخش قبلی است.

و اکنون اجازه دهید موارد جدید را در نظر بگیریم. بیایید با یک شاخص برابر با آن شروع کنیم.

هر عدد به صفر برابر است:

همانطور که همیشه، ما از من می خواهیم: چرا اینطور است؟

هر درجه را با پایه ای در نظر بگیرید. به عنوان مثال، و سلطه بر روی:

بنابراین، ما تعداد را افزایش دادیم و همینطور بود. و برای چه تعداد باید ضرب شود به طوری که هیچ چیز تغییر نکرده است؟ درست است بنابراین.

ما می توانیم همان را با یک عدد دلخواه انجام دهیم:

قانون را تکرار کنید:

هر عدد به صفر برابر است.

اما از بسیاری از قوانین، استثنائات وجود دارد. و در اینجا نیز یک عدد وجود دارد (به عنوان پایه).

از یک طرف، باید به هر اندازه برابر باشد - چقدر صفر خود را نه ضرب، هنوز صفر، روشن است. اما از سوی دیگر، مانند هر تعداد به درجه صفر، باید برابر باشد. پس حقیقت چیست؟ ریاضیات تصمیم گرفتند به صفر برسند تا صفر را به صفر برسانند. یعنی، در حال حاضر ما نه تنها می توانیم به صفر تقسیم شود، بلکه همچنین آن را به صفر ساخت.

بیایید بیشتر برویم علاوه بر اعداد طبیعی و اعداد شامل اعداد منفی است. برای درک آنچه که درجه منفی، ما به عنوان آخرین بار انجام خواهیم داد: به طوری که به طور معمول برخی از تعداد عادی بر روی یک درجه منفی:

از اینجا این است که در حال حاضر آسان است برای بیان مورد نظر:

در حال حاضر ما قانون نتیجه را به درجه دلخواه گسترش می دهیم:

بنابراین، ما قانون را تشکیل می دهیم:

این تعداد یک درجه منفی به همان تعداد به درجه مثبت است. اما در همان زمان پایه نمی تواند صفر باشد: (از آنجا که تقسیم غیرممکن است).

بیایید خلاصه کنیم:

I. بیان در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.

دوم هر عدد صفر برابر با یک است :.

III یک عدد که برابر صفر نیست، به درجه منفی بازگشت به همان تعداد به درجه مثبت :.

وظایف برای راه حل های خود:

خوب، به طور معمول، نمونه هایی برای راه حل های خود:

تجزیه و تحلیل وظیفه برای راه حل های خود:

من می دانم، من می دانم، اعداد وحشتناک هستند، اما امتحان باید برای همه چیز آماده باشد! این مثال ها را به اشتراک بگذارید یا تصمیم خود را پراکنده کنید، اگر من نمی توانم تصمیم بگیرم و یاد بگیرید که به راحتی با آنها در امتحان مقابله کنید!

ادامه دایره اعداد را ادامه دهید، "مناسب" به عنوان شاخصی از درجه.

در حال حاضر در نظر گرفتن اعداد گویا. چه اعداد منطقی نامیده می شود؟

پاسخ: همه چیز را می توان به صورت فراکسیون، جایی که و - عدد صحیح و.

برای درک آنچه که هست "درجه حمل و نقل"، کسری را در نظر بگیرید:

هر دو بخش از معادله را به درجه برسانید:

حالا قانون را به یاد داشته باشید "درجه به درجه":

چه تعداد باید به درجه ای برسد؟

این فرمول تعریف درجه ریشه است.

اجازه دهید به شما یادآوری کنم: ریشه شماره () شماره ای است که در نابودی برابر است.

به این ترتیب، درجه ریشه یک عمل است، تمرین را به درجه معکوس می کند :.

معلوم می شود که بدیهی است، این مورد خاص می تواند گسترش یابد :.

حالا یک عدد را اضافه کنید: چه چیزی است؟ پاسخ آسان است با کمک "درجه به درجه درجه" قانون:

اما می تواند دلیل هر عدد باشد؟ پس از همه، ریشه را نمی توان از تمام اعداد استخراج کرد.

هیچکس!

به یاد داشته باشید قانون: هر شماره ای که به درجه حقیقی تنظیم شده است، تعداد مثبت است. به عبارت دیگر، برای استخراج ریشه های یک درجه حتی از اعداد منفی غیر ممکن است!

این به این معنی است که این تعداد غیرممکن است که چنین اعداد را به یک درجه کسری تبدیل کنیم، یعنی بیان، این بیان منطقی نیست.

درباره بیان چیست؟

اما یک مشکل وجود دارد.

این تعداد را می توان در فرم DRGIH نشان داد، به عنوان مثال، کاهش بخش ها، یا.

و معلوم می شود که وجود دارد، اما وجود ندارد، اما این فقط دو سوابق مختلف از همان شماره است.

یا مثال دیگری: یک بار، پس شما می توانید بنویسید. اما ارزشمند است که به شیوه ای متفاوت به ما بنویسیم، و دوباره یک مزاحمت دریافت می کنیم: (یعنی، آنها یک نتیجه کاملا متفاوت دریافت کردند!).

برای جلوگیری از پارادوکس های مشابه، ما در نظر داریم تنها پایه مثبت درجه با شاخص کسری است.

بنابراین، اگر:

• - عدد طبیعی؛
• - عدد صحیح؛

مثال ها:

درجه با شاخص عقلانی برای تبدیل عبارات با ریشه بسیار مفید است، به عنوان مثال:

5 نمونه برای آموزش

تجزیه و تحلیل 5 نمونه برای آموزش

خوب، در حال حاضر - سخت ترین. حالا ما درک خواهیم کرد غیر منطقی.

تمام قوانین و خواص درجه در اینجا دقیقا همانند یک درجه با یک شاخص منطقی، با استثنا هستند

پس از همه، با تعریف، اعداد غیر منطقی اعداد هستند که نمی توانند به صورت کسری نشان داده شوند، جایی که و - اعداد صحیح (یعنی اعداد غیر منطقی همه اعداد معتبر به جز منطقی) هستند.

هنگام مطالعه درجه با شاخص طبیعی، کل و عقلانی، هر بار یک "تصویر" خاص، "آنالوگ" یا یک توصیف را در شرایط آشنا تر تشکیل می دهیم.

به عنوان مثال، یک شکل طبیعی یک عدد است، چندین بار به تنهایی ضرب شده است؛

...صفر - این همان چیزی است که تعداد آن یک بار ضرب شده توسط خود یک بار، یعنی آن، هنوز شروع به ضربات، به این معنی است که تعداد خود را حتی ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه تنها یک "شماره بیل" خاص، یعنی شماره؛

...درجه با یک شاخص کلی منفی "به نظر می رسید که یک" فرآیند معکوس "خاصی رخ داده است، یعنی این تعداد توسط خود ضرب نشد، اما Deli.

به هر حال، در علم اغلب با یک شاخص پیچیده استفاده می شود، یعنی این نشانگر حتی یک شماره معتبر نیست.

اما در مدرسه ما در مورد چنین مشکلات فکر نمی کنیم، شما فرصتی برای درک این مفاهیم جدید در موسسه خواهید داشت.

ما مطمئن هستیم که شما انجام می دهید! (اگر یاد بگیرید برای حل این نمونه ها :))

مثلا:

سلیل خودت:

باقی مانده:

1. بیایید با قوانین معمول برای قوانین ورزش برای ما شروع کنیم:

در حال حاضر به شاخص نگاه کنید. آیا او به شما چیزی را یادآوری نمی کند؟ به یاد داشته باشید فرمول ضعف ضمیمه. تفاوت های میدان:

در این مورد،

معلوم می شود که:

پاسخ: .

2. ما کسری را در شاخص های درجه به همان فرم به ارمغان می آوریم: هر دو اعشاری یا هر دو عادی. ما به دست می آوریم، به عنوان مثال:

پاسخ: 16

3. هیچ چیز خاصی، ما از خواص معمول درجه استفاده می کنیم:

سطح پیشرفته

تعیین درجه

درجه بیان فرم نامیده می شود: جایی که:

• — مبنای درجه؛
• - شاخص

درجه با شاخص طبیعی (n \u003d 1، 2، 3، ...)

یک درجه طبیعی N را بسازید - این بدان معنی است که تعداد خود را برای خودتان چند برابر کنید:

درجه ای با عدد صحیح (0، ± 1، ± 2، ...)

اگر شاخصی از درجه باشد نرم افزار مثبت عدد:

ساخت و ساز در درجه صفر:

بیان نامحدود است، زیرا، از یک طرف، به هر حد، آن است، و از سوی دیگر - هر تعداد از درجه است.

اگر شاخصی از درجه باشد یک کل منفی عدد:

(از آنجا که تقسیم غیرممکن است).

بار دیگر در مورد Zeros: بیان در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.

مثال ها:

گویا

• - عدد طبیعی؛
• - عدد صحیح؛

مثال ها:

خواص درجه

برای حل مشکلات آسان تر، سعی کنید درک کنید: این خواص از کجا آمده است؟ ما آنها را ثابت می کنیم.

بیایید ببینیم: چه چیزی چیست؟

a-priory:

بنابراین، در قسمت راست این عبارت، چنین کاری به دست می آید:

اما با تعریف، این درجه یک عدد با یک شاخص است، یعنی:

Q.E.D.

مثال : ساده بیان کنید.

تصمیم : .

مثال : ساده بیان کنید.

تصمیم : مهم است که متوجه شوید که در حکومت ما قبل ازباید همان پایگاه ها وجود داشته باشد. بنابراین، ما درجه را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک ضریب جداگانه باقی می ماند:

یکی دیگر از نکات مهم: این یک قانون است - فقط برای کار درجه!

در هیچ مورد به عصب برای نوشتن آن.

همانطور که با اموال قبلی، ما به تعریف درجه تبدیل می شویم:

ما این کار را مانند این کار می کنیم:

به نظر می رسد که این بیان یک بار ضرب می شود، یعنی، با توجه به تعریف، این است - توسط درجه شماره:

در حقیقت، این می تواند "شاخص براکت" نامیده شود. اما هرگز نمی تواند این کار را در مقدار انجام دهد:!

به یاد بیاورید فرمول لغات اختصاری: چند بار ما می خواهیم بنویسیم؟ اما نادرست است، زیرا.

درجه با پایه منفی.

تا این نقطه، ما فقط بحث کردیم که چه باید باشد شاخص درجه. اما چه باید بکنم؟ در درجه های S. طبیعی شاخص پایه می تواند باشد هر عدد .

و حقیقت، ما می توانیم هر یک از هر عدد را چند برابر کنیم، چه مثبت، منفی یا حتی. بیایید فکر کنیم که چه نشانه هایی ("یا" ") دارای درجه های مثبت و منفی هستند؟

به عنوان مثال، تعداد مثبت یا منفی؟ ولی؟ ؟

با اول، همه چیز روشن است: چند عدد مثبت ما با یکدیگر ضرب نمی شوند، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما با کمی کمی جالب تر است. پس از همه، ما یک قانون اساسی درجه 6 را به یاد می آوریم: "منهای منهای منفی به علاوه. یعنی، یا. اما اگر ما در () ضرب شود، معلوم می شود.

و به همین ترتیب به بی نهایت: هر بار ضرب بعدی علامت را تغییر خواهد داد. قوانین ساده را می توان فرموله کرد:

1. زوج درجه - شماره مثبت.
2. تعداد منفی نصب شده است فرد درجه - شماره منفی.
3. تعداد مثبت به هر دو درجه، تعداد مثبت است.
4. صفر به هر درجه صفر است.

به طور مستقل تعیین کنید، چه علامت های زیر را امضا کنید:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

مقابله در اینجا پاسخ ها هستند:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در چهار نمونه اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ فقط به پایه و شاخص نگاه کنید و قانون مناسب را اعمال کنید.

به عنوان مثال 5)، همه چیز نیز به اندازه ترسناک نیست، به نظر می رسد: مهم نیست که چه چیزی برابر با پایه است - درجه ای است که به این معنی است که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود. خوب، به استثنای مورد زمانی که پایه صفر است. دلیل آن برابر نیست؟ بدیهی است نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر ساده نیست. در اینجا شما باید بدانید که کمتر: یا؟ اگر به یاد داشته باشید که روشن می شود، و بنابراین پایه کمتر از صفر است. به این ترتیب، ما قانون را اعمال می کنیم 2: نتیجه منفی خواهد بود.

و دوباره از درجه درجه استفاده می کنیم:

همه به طور معمول - تعریف تعریف درجه را بنویسید و آنها را به یکدیگر تقسیم کنید، در جفت ها تقسیم کنید و دریافت کنید:

قبل از اینکه آخرین قاعده را از بین ببرید، چند نمونه را حل می کنیم.

عبارات محاسبه شده:

راه حل های :

اگر به درجه هشتم توجه نکنید، ما اینجا را می بینیم؟ به یاد داشته باشید برنامه کلاس 7. بنابراین، به یاد داشته باشید؟ این فرمول برای ضرب اختصاصی است، یعنی تفاوت مربعات!

ما گرفتیم:

به دقت به نام دهنده نگاه کنید. او بسیار شبیه به یکی از ضرب کننده های عددی است، اما اشتباه است؟ نه روش شرایط. اگر آنها در مکان ها مبادله شدند، ممکن است قانون را اعمال کنید. 3. اما چگونه آن را انجام دهید؟ به نظر می رسد بسیار آسان است: درجه حتی از نامزدی به ما کمک می کند.

اگر شما آن را بکشید، هیچ چیز تغییر نخواهد کرد، درست است؟ اما اکنون معلوم می شود:

جادویی، اجزای تغییر در مکان ها. این "پدیده" برای هر گونه بیان به درجه ای قابل استفاده است: ما می توانیم نشانه ها را در براکت ها تغییر دهیم. اما مهم است به یاد داشته باشید: همه نشانه ها در همان زمان تغییر می کنند!شما نمیتوانید جایگزین کنید، تنها یک منهای ناراضی را تغییر دهید!

بیایید به عنوان مثال به عقب برگردیم:

و دوباره فرمول:

بنابراین حالا آخرین قاعده:

چگونه ما ثابت خواهیم کرد؟ البته، به طور معمول: من مفهوم درجه را نشان می دهم و ساده تر می شود:

خوب، حالا من براکت را آشکار خواهم کرد. نامه ها چقدر خواهد بود؟ یک بار در چندگانگی - چه چیزی یادآوری می کند؟ این چیزی جز تعریف عملیات نیست ضرب: در مجموع عوامل وجود دارد. به عبارت دیگر، با تعریف، درجه شماره با شاخص:

مثال:

غیر منطقی

علاوه بر اطلاعات مربوط به درجه برای سطح متوسط، ما درجه را با شاخص غیر منطقی تحلیل خواهیم کرد. تمام قوانین و خواص درجه در اینجا دقیقا همانند یک درجه با یک شاخص منطقی است، با استثناء - پس از همه، با تعریف، اعداد غیر منطقی اعداد هستند که نمی توانند به صورت کسری ارسال شوند، جایی که - عدد صحیح (به عنوان مثال، اعداد غیر منطقی همه اعداد معتبر علاوه بر عقلانیت هستند).

هنگام مطالعه درجه با شاخص طبیعی، کل و عقلانی، هر بار یک "تصویر" خاص، "آنالوگ" یا یک توصیف را در شرایط آشنا تر تشکیل می دهیم. به عنوان مثال، یک شکل طبیعی یک عدد است، چندین بار به تنهایی ضرب شده است؛ شماره صفر درجه به نحوی به نحوی تعداد ضرب شده توسط خود یک بار، یعنی، هنوز شروع به ضرب، به این معنی است که تعداد خود را حتی ظاهر نشده است - بنابراین، تنها یک "Billet" خاص، یعنی نتیجه است ؛ درجه ای با یک شاخص کل منفی به این معنی است که یک "فرآیند معکوس" مشخص شده است، یعنی این تعداد توسط خود ضرب نشد، بلکه تقسیم شد.

تصور کنید که درجه ای با یک شاخص غیر منطقی بسیار دشوار است (درست همانطور که یک فضای 4 بعدی را ارائه می دهید). این تمیز است شیء ریاضیکدام ریاضیات ایجاد شده برای گسترش مفهوم درجه به کل تعداد اعداد.

به هر حال، در علم اغلب با یک شاخص پیچیده استفاده می شود، یعنی این نشانگر حتی یک شماره معتبر نیست. اما در مدرسه ما در مورد چنین مشکلات فکر نمی کنیم، شما فرصتی برای درک این مفاهیم جدید در موسسه خواهید داشت.

پس اگر ما یک نرخ غیر منطقی را ببینیم چه کاری انجام می دهیم؟ ما در حال تلاش برای خلاص شدن از شر آن با تمام ممکن است! :)

مثلا:

سلیل خودت:

1)

2)

3)

پاسخ ها:

1. ما فرمول تفاوت مربعات را به یاد می آوریم. پاسخ:.
2. ما به همان فرم تقسیم می کنیم: هر دو اعشاری یا هر دو عادی. به عنوان مثال، ما دریافت می کنیم:
3. هیچ چیز خاصی، ما از خواص معمول درجه استفاده می کنیم:

خلاصه بخش و فرمول های پایه

درجه بیان فرم فرم: جایی که:

عدد صحیح

درجه، نشانگر آن یک عدد طبیعی است (به عنوان مثال، یک کل و مثبت).

گویا

درجه، شاخص آن اعداد منفی و کسری است.

غیر منطقی

درجه، شاخص آن یک قطعه یا ریشه اعشاری بی نهایت است.

خواص درجه

ویژگی های درجه

• تعداد منفی نصب شده است زوج درجه - شماره مثبت.
• تعداد منفی نصب شده است فرد درجه - شماره منفی.
• تعداد مثبت به هر دو درجه، تعداد مثبت است.
• صفر به هر درجه برابر است.
• هر عدد به صفر برابر است.

حالا شما نیاز به یک کلمه ...

چگونه به یک مقاله نیاز دارید؟ نوشتن در نظرات مانند یا نه.

در مورد تجربه خود در استفاده از خواص درجه به من بگویید.

شاید سوالی دارید یا پیشنهادات

نوشتن در نظرات

و موفق باشید در امتحانات!