تعریف متوازی الاضلاع ترسیم عناصر اصلی ویژگی. تعریف متوازی الاضلاع و خواص آن

بله ، بله: پیشرفت حساب برای شما اسباب بازی نیست :)

خوب ، دوستان ، اگر در حال خواندن این متن هستید ، واضح بودن کلاه داخلی به من می گوید که شما هنوز نمی دانید پیشرفت حسابی چیست ، اما واقعاً (نه ، مانند: SOOOOO!) می خواهید بدانید. بنابراین ، من شما را با مقدمه های طولانی عذاب نمی دهم و مستقیماً سر اصل مطلب می روم.

بیایید با چند مثال شروع کنیم. چندین مجموعه اعداد را در نظر بگیرید:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$ \ sqrt (2)؛ \ 2 \ sqrt (2)؛ \ 3 \ sqrt (2)؛ ... $

همه این مجموعه ها چه ویژگی مشترکی دارند؟ در نگاه اول ، هیچ. اما در واقع چیزی وجود دارد. برای مثال: هر عنصر بعدی با همان تعداد با عنصر قبلی تفاوت دارد.

خودتان قضاوت کنید. مجموعه اول به سادگی اعداد متوالی است ، هر کدام بعدی بیشتر از مجموعه قبلی است. در حالت دوم ، تفاوت بین اعداد مجاور برابر پنج است ، اما این تفاوت هنوز ثابت است. در مورد سوم ، ریشه ها به طور کلی. با این حال ، $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ ، و $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ ، یعنی و در این مورد ، هر عنصر بعدی به سادگی $ \ sqrt (2) $ افزایش می یابد (و نترسید که این عدد غیرمنطقی است).

بنابراین: همه این توالی ها پیشرفت های حسابی نامیده می شوند. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم:

تعریف. دنباله ای از اعداد که در آنها هر بعدی دقیقاً به همان مقدار با قبلی متفاوت است ، نامیده می شود پیشرفت حسابی... مقدار تفاوت اعداد را تفاوت پیشرفت می نامند و بیشتر اوقات با حرف $ d $ نشان داده می شود.

تعیین: $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ - پیشرفت خود ، $ d $ - تفاوت آن.

و فقط چند نکته مهم. اول ، فقط منظمدنباله اعداد: آنها مجاز به خواندن دقیق به ترتیب نوشتن هستند - و هیچ چیز دیگر. شما نمی توانید اعداد را مرتب کنید یا عوض کنید.

ثانیاً ، خود دنباله می تواند محدود یا نامتناهی باشد. به عنوان مثال ، مجموعه (1 ؛ 2 ؛ 3) بدیهی است که یک پیشرفت حساب محدود است. اما اگر چیزی را با روح بنویسید (1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ؛ ...) - این در حال حاضر یک پیشرفت بی پایان است. بیضوی بعد از چهار ، به این معنا ، نشان می دهد که هنوز تعداد کمی ادامه دارد. برای مثال بی نهایت. :)

من همچنین می خواهم توجه داشته باشم که پیشرفت ها در حال افزایش و کاهش است. ما قبلاً شاهد افزایش آن ها بودیم - همان مجموعه (1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ؛ ...). و در اینجا نمونه هایی از کاهش پیشرفت ها وجود دارد:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$ \ sqrt (5)؛ \ \ sqrt (5) -1؛ \ \ sqrt (5) -2؛ \ \ sqrt (5) -3؛ ... $

باشه باشه: آخرین مثالممکن است بیش از حد پیچیده به نظر برسد اما بقیه ، فکر می کنم شما متوجه شده اید. بنابراین ، ما تعاریف جدیدی را معرفی می کنیم:

تعریف. یک پیشرفت حسابی نامیده می شود:

اگر هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی باشد ، افزایش می یابد.

اگر برعکس ، هر عنصر بعدی کمتر از عنصر قبلی باشد ، کاهش می یابد.

علاوه بر این ، دنباله های به اصطلاح "ثابت" وجود دارد - آنها از یک شماره تکراری یکسان تشکیل شده اند. به عنوان مثال ، (3 ؛ 3 ؛ 3 ؛ ...).

تنها یک س remainsال باقی می ماند: چگونه می توان پیشرفت فزاینده را از کاهش یافته تشخیص داد؟ خوشبختانه ، همه چیز به علامت عدد $ d $ بستگی دارد ، یعنی پیشرفت تفاوت:

اگر $ d \ gt 0 $ باشد ، پیشرفت در حال افزایش است.
اگر $ d \ lt 0 $ باشد ، بدیهی است که پیشرفت کاهش می یابد.
در نهایت ، مورد $ d = 0 $ وجود دارد - در این حالت کل پیشرفت به دنباله ای ثابت از اعداد یکسان کاهش می یابد: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...) و غیره.

بیایید سعی کنیم تفاوت $ d $ را برای سه پیشرفت کاهش یافته در بالا محاسبه کنیم. برای انجام این کار ، کافی است هر دو عنصر مجاور (برای مثال ، اول و دوم) را گرفته و عدد سمت چپ را از عدد سمت راست کم کنید. شبیه این خواهد شد:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

همانطور که می بینید ، در هر سه مورد ، تفاوت واقعاً منفی بود. و اکنون که ما کم و بیش تعاریف را فهمیده ایم ، وقت آن است که بفهمیم پیشرفت ها چگونه توصیف می شوند و ویژگی های آنها چیست.

اعضای پیشرفت و فرمول مکرر

از آنجا که عناصر دنباله های ما قابل تعویض نیستند ، می توان آنها را شماره گذاری کرد:

\ [\ left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (((a) _ (1)) ، \ ((a) _ (2)) ، ((a) _ (3 ))، ... \ درست \) \]

عناصر جداگانه این مجموعه را اعضای پیشرفت می نامند. آنها با یک عدد نشان داده می شوند: عبارت اول ، دوره دوم و غیره.

علاوه بر این ، همانطور که قبلاً می دانیم ، اعضای مجاور پیشرفت با فرمول مرتبط هستند:

\ [((a) _ (n))-((a) _ (n-1)) = d \ Rightarrow ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

به طور خلاصه ، برای یافتن عبارت $ n $ th در پیشرفت ، باید عبارت $ n-1 $ th و تفاوت $ d $ را بدانید. چنین فرمولی مکرر نامیده می شود ، زیرا با کمک آن می توانید هر عددی را بیابید ، فقط آن قبلی را بدانید (و در واقع - همه موارد قبلی). این بسیار ناخوشایند است ، بنابراین یک فرمول پیچیده تر وجود دارد که هرگونه محاسبه را به ترم اول و تفاوت کاهش می دهد:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \]

مطمئناً شما قبلاً با این فرمول آشنا شده اید. آنها دوست دارند آن را در انواع کتابهای مرجع و رزبنیک ها ارائه دهند. و در هر کتاب درسی منطقی در زمینه ریاضیات ، او یکی از اولین کتاب ها است.

با این وجود ، من پیشنهاد می کنم کمی تمرین کنیم.

مشکل شماره 1 سه عبارت اول پیشرفت حساب $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ if $ ((a) _ (1)) = 8 ، d = -5 $ را بنویسید.

راه حل. بنابراین ، ما اولین عبارت $ ((a) _ (1)) = 8 $ و تفاوت پیشرفت $ d = -5 $ را می دانیم. بیایید از فرمول تازه داده شده استفاده کنیم و $ n = 1 $ ، $ n = 2 $ و $ n = 3 $ را جایگزین کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d؛ \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ left (1-1 \ right) d = ((a) _ (1)) = 8؛ \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ left (2-1 \ right) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3؛ \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ left (3-1 \ right) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2 \\ \ پایان (تراز کردن) \]

پاسخ: (8 ؛ 3 ؛ −2)

فقط همین! لطفا توجه داشته باشید: پیشرفت ما در حال کاهش است.

البته ، $ n = 1 $ نمی تواند جایگزین شود - اولین عبارت در حال حاضر برای ما شناخته شده است. با این حال ، با جایگزینی یکی ، مطمئن شدیم که فرمول ما حتی برای اولین ترم کار می کند. در موارد دیگر ، همه چیز به حساب پیش پا افتاده خلاصه می شود.

مشکل شماره 2 سه عبارت اول پیشرفت محاسباتی را بنویسید اگر هفتمین عبارت آن 40- و اصطلاح هفدهم 50- باشد.

راه حل. اجازه دهید شرایط مشکل را با عبارات معمول بنویسیم:

\ [((a) _ (7)) = - 40 ؛ \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ چپ \ (\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (تراز) \ راست. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (تراز کردن) \ درست. \]

من علامت سیستم را گذاشتم زیرا این الزامات باید به طور همزمان برآورده شوند. و اکنون توجه داشته باشید که اگر معادله اول را از معادله دوم کم کنیم (ما این حق را داریم ، زیرا یک سیستم داریم) ، این را بدست می آوریم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) =- 50- \ left (-40 \ right)؛ \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40 ؛ \\ & 10d = -10؛ \\ & d = -1. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

به همین راحتی تفاوت در پیشرفت را پیدا کردیم! باقی مانده است که عدد پیدا شده را در هر یک از معادلات سیستم جایگزین کنید. به عنوان مثال ، در مورد اول:

\ [\ شروع (ماتریس) ((a) _ (1)) + 6d = -40 ؛ \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) -6 = -40 ؛ \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ پایان (ماتریس) \]

اکنون ، با دانستن عبارت اول و تفاوت ، باید اصطلاحات دوم و سوم را بیابید:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35؛ \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

آماده! مشکل حل شده است.

پاسخ: (-34 ؛ -35 ؛ -36)

به ویژگی جالب پیشرفتی که کشف کردیم توجه کنید: اگر عبارتهای $ n $ th و $ m $ th را گرفته و آنها را از یکدیگر کم کنیم ، تفاوت پیشرفت را در عدد $ n-m $ ضرب می کنیم:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ left (n -m \ right) \]

ساده اما بسیار خاصیت مفید، که مطمئناً باید بدانید - با کمک آن ، می توانید به طور قابل توجهی حل بسیاری از مشکلات در حال پیشرفت را تسریع کنید. در اینجا یک مثال برجسته وجود دارد:

مشکل شماره 3 پنجمین دوره پیشرفت حساب 4/8 و دهمین دوره آن 14/4 است. پانزدهمین دوره این پیشرفت را بیابید.

راه حل. از آنجا که $ ((a) _ (5)) = 8.4 $ ، $ ((a) _ (10)) = 14.4 $ ، و شما باید $ ((a) _ (15)) $ را پیدا کنید ، پس به موارد زیر توجه داشته باشید :

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d؛ \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d \\ \ پایان (تراز کردن) \]

اما به شرط $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = 6 $ ، بنابراین $ 5d = 6 $ ، از آنجا که داریم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (15)) - 14.4 = 6؛ \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

پاسخ: 20.4

فقط همین! ما نیازی به ترکیب برخی از سیستم معادلات و محاسبه عبارت اول و تفاوت نداریم - همه چیز فقط در چند خط حل شد.

حال بیایید نوع دیگری از وظایف را در نظر بگیریم - برای یافتن اعضای منفی و مثبت پیشرفت. بر هیچ کس پوشیده نیست که اگر پیشرفت افزایش یابد ، در حالی که اولین عبارت منفی است ، دیر یا زود اصطلاحات مثبت در آن ظاهر می شود. و برعکس: اعضای پیشرفت رو به کاهش دیر یا زود منفی خواهند شد.

در عین حال ، از همیشه امکان پذیر نیست که این لحظه را "رو به رو" بچرخانیم و به طور متوالی عناصر را مرور کنیم. اغلب ، مشکلات به گونه ای طراحی شده اند که بدون اطلاع از فرمول ها ، محاسبات چندین برگ طول می کشد - ما در حالی که به جواب می رسیدیم ، فقط به خواب می رفتیم. بنابراین ، ما سعی خواهیم کرد این مشکلات را با روشی سریعتر حل کنیم.

مشکل شماره 4 چند عبارت منفی در پیشرفت حسابی -38.5 وجود دارد. 35.8 − ؛ ...؟

راه حل. بنابراین ، $ ((a) _ (1)) = - 38.5 $ ، $ ((a) _ (2)) = - 35.8 $ ، از جایی که ما بلافاصله تفاوت را پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید که تفاوت مثبت است ، بنابراین پیشرفت افزایش می یابد. عبارت اول منفی است ، بنابراین در برخی موارد ما واقعاً با اعداد مثبت برخورد می کنیم. تنها س isال این است که چه زمانی این اتفاق می افتد.

بیایید سعی کنیم دریابیم: تا چه مدت (یعنی تا چه عدد طبیعی $ n $) منفی بودن اصطلاحات حفظ می شود:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0؛ \\ & -38.5+ \ left (n -1 \ right) \ cdot 2.7 \ lt 0؛ \ quad \ left | \ cdot 10 \ راست. \\ & -385 + 27 \ cdot \ چپ (n -1 \ راست) \ lt 0؛ \\ & -385 + 27n -27 \ lt 0؛ \\ & 27n \ lt 412؛ \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

آخرین خط نیاز به توضیح دارد. بنابراین ، ما می دانیم که $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. از طرف دیگر ، ما فقط به مقادیر صحیح عدد راضی خواهیم بود (علاوه بر این: $ n \ in \ mathbb (N) $) ، بنابراین بزرگترین عدد مجاز دقیقاً $ n = 15 $ است و به هیچ وجه 16

مسئله شماره 5 در پیشرفت حساب $ (() _ (5)) = - 150 ، (() _ (6)) = - 147 $. عدد اولین عبارت مثبت این پیشرفت را بیابید.

این دقیقاً همان مشکل قبلی است ، اما ما $ ((a) _ (1)) $ را نمی دانیم. اما اصطلاحات مجاور شناخته شده است: $ ((a) _ (5)) $ و $ ((a) _ (6)) $ ، بنابراین ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

علاوه بر این ، ما سعی خواهیم کرد که عبارت پنجم را از نظر اولین و تفاوت با توجه به فرمول استاندارد بیان کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d؛ \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d ؛ \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3؛ \\ & ((a) _ (1)) = -150-12 = -162. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

اکنون ما به صورت قیاس با کار قبلی عمل می کنیم. ما متوجه می شویم که در کدام نقطه از دنباله ما اعداد مثبت وجود خواهد داشت:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ چپ (n -1 \ راست) \ cdot 3 \ gt 0؛ \\ & -162 + 3n -3 \ gt 0 ؛ \\ & 3n \ gt 165؛ \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

کوچکترین راه حل صحیح برای این نابرابری 56 است.

لطفا توجه داشته باشید: در آخرین کار ، همه چیز به یک نابرابری شدید کاهش یافت ، بنابراین گزینه $ n = 55 $ برای ما مناسب نیست.

اکنون که نحوه حل مسائل ساده را آموخته ایم ، به سراغ مسائل پیچیده تر برویم. اما ابتدا ، بیایید یک ویژگی بسیار مفید دیگر از پیشرفتهای حساب را مطالعه کنیم ، که در آینده زمان و سلولهای نابرابر زیادی را برای ما ذخیره می کند. :)

میانگین حسابی و خطوط برابر

چندین عضو پیاپی در حال افزایش پیشرفت حساب $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ را در نظر بگیرید. بیایید سعی کنیم آنها را در خط شماره نشان دهیم:

اعضای پیشرفت حساب در یک خط عددی

من به طور خاص به شرایط دلخواه $ ((a) _ (n-3)) ، ... ، ((a) _ (n + 3)) $ اشاره کردم ، هیچ $ ((a) _ (1)) ، \ ( (a) _ (2)) ، \ ((a) _ (3)) $ و غیره زیرا این قاعده ، که اکنون در مورد آن صحبت خواهم کرد ، برای هر "بخش" یکسان عمل می کند.

و قانون بسیار ساده است. بیایید فرمول تکرار را به خاطر بسپاریم و آن را برای همه اعضای مشخص شده بنویسیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d؛ \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d؛ \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d؛ \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d؛ \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d ؛ \\ \ پایان (تراز کردن) \]

با این حال ، این برابری ها می توانند متفاوت بازنویسی شوند:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n -1)) = ((a) _ (n)) - d ؛ \\ & ((a) _ (n -2)) = ((a) _ (n)) - 2d ؛ \\ & ((a) _ (n -3)) = ((a) _ (n)) - 3d ؛ \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d؛ \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d ؛ \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d ؛ \\ \ پایان (تراز کردن) \]

خوب ، پس چی؟ و این که اصطلاحات $ ((a) _ (n-1)) $ و $ ((a) _ (n + 1)) $ در یک فاصله از $ ((a) _ (n)) $ قرار دارد به و این فاصله معادل $ d $ $ است. همین را می توان در مورد اعضای $ ((a) _ (n -2)) $ و $ ((a) _ (n + 2)) $ - آنها نیز از $ ((a) _ (n) حذف شده اند) ) $ همان فاصله معادل $ 2d $. می توانید به طور نامحدود ادامه دهید ، اما معنی به خوبی توسط تصویر نشان داده شده است.

اعضای پیشرفت در فاصله یکسانی از مرکز قرار دارند

معنی این برای ما چیست؟ این بدان معناست که اگر اعداد مجاور مشخص هستند ، می توانید $ ((a) _ (n)) $ را بیابید:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

ما به یک جمله عالی دست یافتیم: هر یک از اعضای پیشرفت حساب برابر با میانگین حساب اصطلاحات همسایه است! علاوه بر این: ما می توانیم $ ((a) _ (n)) $ خود را از چپ و راست نه یک قدم ، بلکه $ k $ قدم برداریم - و همچنان فرمول درست خواهد بود:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

آن ها اگر $ ((a) _ (100)) $ و $ ((a) _ (200)) $ را بدانیم ، به راحتی می توانیم $ ((a) _ (150)) $ پیدا کنیم ، زیرا $ ((a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. در نگاه اول ، ممکن است به نظر برسد که این واقعیت چیز مفیدی به ما نمی دهد. با این حال ، در عمل ، بسیاری از مشکلات به ویژه برای استفاده از میانگین حساب "تیز" می شوند. نگاهی بیاندازید:

مسئله شماره 6 همه مقادیر $ x $ را پیدا کنید که اعداد $ -6 ((x) ^ (2)) $ ، $ x + 1 $ و $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ اعضای متوالی برای آنها هستند از پیشرفت حسابی (به ترتیب).

راه حل. از آنجا که اعداد نشان داده شده اعضای پیشرفت هستند ، شرط میانگین حساب برای آنها برآورده می شود: عنصر مرکزی $ x + 1 $ را می توان بر اساس عناصر مجاور بیان کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2)؛ \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2) ؛ \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)) ؛ \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

نتیجه یک معادله درجه دوم کلاسیک است. ریشه های آن: $ x = 2 $ و $ x = -3 $ - اینها پاسخ ها هستند.

پاسخ: −3 ؛ 2

مشکل شماره 7 مقادیر $ $ را پیدا کنید که اعداد برای آنها $ -1 ؛ 4-3 ؛ (() ^ (2)) + 1 $ یک پیشرفت حسابی (به ترتیب نشان داده شده) ایجاد می کند.

راه حل. باز هم ، ما عبارت میانی را بر حسب میانگین حسابی اصطلاحات همسایه بیان می کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2)؛ \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2)؛ \ quad \ left | \ cdot 2 \ right.؛ \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x ؛ \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

دوباره معادله درجه دوم. و دوباره دو ریشه وجود دارد: $ x = 6 $ و $ x = 1 $.

پاسخ 1؛ 6

اگر در حین حل یک مشکل از برخی اعداد وحشیانه استفاده می کنید یا از صحت پاسخ های یافت شده کاملاً مطمئن نیستید ، یک تکنیک فوق العاده وجود دارد که به شما امکان می دهد بررسی کنید: آیا ما مشکل را به درستی حل کردیم؟

به عنوان مثال ، در مسئله شماره 6 ما پاسخ های 3 و 2 را دریافت کردیم. چگونه می توان صحت این پاسخ ها را بررسی کرد؟ بگذارید آنها را به حالت اولیه وصل کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ما سه عدد ($ -6 (() ^ (2)) $ ، $ + 1 $ و $ 14 + 4 (() ^ (2)) $) داریم که باید یک پیشرفت حساب را تشکیل دهند. جایگزین $ x = -3 $:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = -54؛ \\ & x + 1 = -2؛ \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ پایان (تراز کردن) \]

شماره های دریافت شده -54 ؛ −2 ؛ 50 ، که 52 تفاوت دارد ، بدون شک یک پیشرفت حسابی است. همین مورد برای $ x = 2 $ اتفاق می افتد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24؛ \\ & x + 1 = 3؛ \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30 \ پایان (تراز کردن) \]

دوباره یک پیشرفت ، اما با تفاوت 27. بنابراین ، مشکل به درستی حل می شود. علاقمندان می توانند مشکل دوم را به تنهایی بررسی کنند ، اما من فوراً می گویم: همه چیز در آنجا نیز درست است.

به طور کلی ، هنگام حل آخرین مشکلات ، به یک مورد دیگر برخورد کردیم حقیقت جالب، که همچنین باید به خاطر داشته باشید:

اگر سه عدد به گونه ای باشد که دومی میانگین حساب اول و آخر باشد ، این اعداد یک پیشرفت حساب را تشکیل می دهند.

در آینده ، درک این گزاره به ما امکان می دهد تا بر اساس شرایط مشکل ، پیشرفت های لازم را به معنای واقعی کلمه "بسازیم". اما قبل از اینکه به چنین "ساخت و ساز" بپردازیم ، باید به یک واقعیت دیگر توجه کنیم ، که مستقیماً از آنچه قبلاً مورد توجه قرار گرفته است ناشی می شود.

گروه بندی و مجموع عناصر

بیایید دوباره به محور اعداد برگردیم. اجازه دهید چندین عضو پیشرفت را در آنجا ذکر کنیم ، که شاید بین آنها. تعداد زیادی از اعضای دیگر وجود دارد:

خط عددی دارای 6 عنصر مشخص شده است

بیایید سعی کنیم "دم چپ" را بر حسب $ ((a) _ (n)) $ و $ d $ و "دم راست" را بر حسب $ ((a) _ (k)) $ و $ d $ بیان کنیم. به خیلی ساده است:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d؛ \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d ؛ \\ & ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (k)) - d ؛ \\ & ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (k)) - 2d \\ \ پایان (تراز کردن) \]

اکنون توجه داشته باشید که مبالغ زیر برابر است:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S ؛ \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S ؛ \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ پایان (تراز کردن) \]

به عبارت ساده تر ، اگر دو عنصر پیشرفت را در ابتدا در نظر بگیریم ، که در مجموع برابر با تعدادی $ S $ است ، و سپس از این عناصر در جهت مخالف حرکت می کنیم (به سمت یکدیگر یا برعکس برای دور شدن) ، سپس مجموع عناصری که به آنها برخورد می کنیم نیز برابر خواهد بود$ S $. این را می توان به وضوح به صورت گرافیکی نشان داد:

تورفتگی مساوی مقادیر مساوی می دهد

فهم این حقیقتبه ما امکان می دهد مشکلات را به طور اساسی بیشتر حل کنیم سطح بالامشکلات از مواردی که در بالا در نظر گرفتیم. به عنوان مثال ، چنین مواردی:

مشکل شماره 8 تفاوت پیشرفت پیشرفت حسابی را که در آن عبارت اول 66 است و حاصلضرب اصطلاحات دوم و دوازدهم کوچکترین ممکن است را تعیین کنید.

راه حل. بیایید همه چیزهایی را که می دانیم بنویسیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (1)) = 66؛ \\ & d =؟ \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ دقیقه \ پایان (تراز کردن) \]

بنابراین ، ما تفاوت پیشرفت $ d $ را نمی دانیم. در واقع ، کل راه حل بر اساس تفاوت ایجاد می شود ، زیرا محصول $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ را می توان به شرح زیر بازنویسی کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d؛ \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d ؛ \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ left (66 + d \ right) \ cdot \ left (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right). \ پایان (تراز کردن) \]

برای کسانی که در مخزن هستند: من عامل مشترک 11 را از پرانتز دوم بیرون آوردم. بنابراین ، محصول مورد نظر با توجه به متغیر $ d $ یک تابع درجه دو است. بنابراین ، تابع $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ را در نظر بگیرید - نمودار آن یک سهمی با شاخه های بالا خواهد بود ، زیرا اگر براکت ها را گسترش دهیم ، به دست می آوریم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & f \ چپ (d \ راست) = 11 \ چپ (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ راست) = \\ & = 11 (( د) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ پایان (تراز) \]

همانطور که می بینید ، ضریب در دوره اصلی 11 است - این یک عدد مثبت است ، بنابراین ما واقعاً با یک سهمی با شاخه های بالا سروکار داریم:

برنامه تابع درجه دوم- سهمی
لطفاً توجه داشته باشید: این سهمی حداقل مقدار خود را در انتهای آن با آبسیسه $ ((d) _ (0)) $ می گیرد. البته ، ما می توانیم این آبسه را مطابق طرح استاندارد محاسبه کنیم (فرمول $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \؛ $) نیز وجود دارد ، اما بسیار منطقی تر خواهد بود توجه داشته باشید که راس مورد نظر در تقارن محور سهمی قرار دارد ، بنابراین نقطه $ ((d) _ (0)) $ از ریشه های معادله $ f \ left (d \ right) = 0 $ برابر است:

\ [\ شروع (تراز کردن) & f \ چپ (d \ راست) = 0؛ \\ & 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right) = 0؛ \\ & ((d) _ (1)) = - 66؛ \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

به همین دلیل من برای باز کردن براکت ها عجله ای نداشتم: در شکل اصلی ، ریشه ها بسیار بسیار آسان یافت می شوند. بنابراین ، آبسیسه برابر با میانگین است اعداد حسابی−66 و −6:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) =-36 \]

عدد کشف شده به ما چه می دهد؟ با استفاده از آن ، محصول مورد نیاز کوچکترین ارزش را به خود می گیرد (به هر حال ، ما $ ((y) _ (\ min)) $ را حساب نکرده ایم - این از ما لازم نیست). در عین حال ، این عدد تفاوت بین پیشرفت اولیه است ، یعنی جواب را پیدا کردیم. :)

پاسخ: 36

مشکل شماره 9 بین اعداد $ - \ frac (1) (2) $ و $ - \ frac (1) (6) $ سه عدد وارد کنید تا به همراه اعداد داده شده یک پیشرفت حسابی تشکیل دهند.

راه حل. اساساً ، ما باید دنباله ای از پنج عدد بسازیم ، که اولین و آخرین اعداد از قبل شناخته شده اند. بیایید اعداد گم شده را با متغیرهای $ x $ ، $ y $ و $ z $ نشان دهیم:

\ [\ left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ ( - \ frac (1) (2)؛ x؛ y؛ z؛ - \ frac (1) (6) \ right \ ) \]

توجه داشته باشید که عدد $ y $ "وسط" دنباله ما است - از هر دو عدد $ x $ و $ z $ ، و از اعداد $ - \ frac (1) (2) $ و $ - \ فاصله دارد. frac (1) (6) $. و اگر از اعداد $ x $ و $ z $ $ در آن قرار داریم این لحظهنمی تواند $ y $ دریافت کند ، در این صورت وضعیت در انتهای پیشرفت متفاوت است. به خاطر سپردن میانگین حسابی:

اکنون ، با دانستن $ y $ ، اعداد باقی مانده را پیدا می کنیم. توجه داشته باشید که $ x $ بین اعداد $ - \ frac (1) (2) $ و $ y = - \ frac (1) (3) $ که تازه پیدا شده است قرار دارد. از این رو

با استدلال مشابه ، تعداد باقی مانده را پیدا می کنیم:

آماده! هر سه عدد را پیدا کردیم. بیایید آنها را در پاسخ به ترتیب قرار دادن آنها بین اعداد اصلی بنویسیم.

پاسخ: $ - \ frac (5) (12)؛ \ - \ frac (1) (3)؛ \ - \ frac (1) (4) $

مشکل شماره 10 اگر می دانید که مجموع اول ، دوم و آخر اعداد درج شده 56 است ، بین اعداد 2 و 42 که همراه با این اعداد یک پیشرفت حساب را تشکیل می دهند ، چندین عدد وارد کنید.

راه حل. یک کار حتی دشوارتر ، که با این حال ، طبق همان طرح قبلی - از طریق میانگین حساب حل می شود. مشکل این است که ما دقیقاً نمی دانیم چند عدد وارد کنیم. بنابراین ، برای قطعیت ، فرض می کنیم که پس از وارد کردن همه چیز ، دقیقاً $ n $ اعداد وجود خواهد داشت ، و اولین آنها 2 و آخرین آن 42 است. در این حالت ، پیشرفت محاسباتی مورد نظر را می توان به صورت زیر نشان داد:

\ [\ left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (2؛ ((a) _ (2))؛ ((a) _ (3))؛ ...؛ (( a) _ (n-1))؛ 42 \ راست \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

اما توجه داشته باشید که اعداد $ ((a) _ (2)) $ و $ ((a) _ (n-1)) $ از اعداد 2 و 42 در لبه ها یک قدم به طرف یکدیگر بدست می آیند ، یعنی ... به مرکز دنباله این بدان معناست که

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

اما سپس عبارت نوشته شده در بالا را می توان به شرح زیر بازنویسی کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 ؛ \\ & \ چپ (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ راست) + ((a) _ (3)) = 56 ؛ \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56 ؛ \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

با دانستن $ ((a) _ (3)) $ و $ ((a) _ (1)) $ ، به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10؛ \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ چپ (3-1 \ راست) \ cdot d = 2d؛ \\ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

باقی مانده است که بقیه اعضا را پیدا کنید:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (1)) = 2؛ \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7؛ \\ & ((a) _ (3)) = 12؛ \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17؛ \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22؛ \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27؛ \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32؛ \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37؛ \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42؛ \\ \ پایان (تراز کردن) \]

بنابراین ، در مرحله نهم به انتهای سمت چپ دنباله - شماره 42 می رسیم. در کل ، فقط 7 عدد لازم بود وارد شود: 7؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37

پاسخ: 7 ؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37

مشکلات کلمه ای با پیشرفت ها

در خاتمه ، من می خواهم چند مورد نسبتاً را در نظر بگیرم کارهای ساده... خوب ، چقدر ساده: برای اکثر دانش آموزانی که در مدرسه ریاضیات می خوانند و مطالبی را که در بالا نوشته شده است نخوانده اند ، ممکن است این وظایف یک قلع به نظر برسند. با این وجود ، دقیقاً چنین مشکلاتی در OGE و USE در ریاضیات وجود دارد ، بنابراین توصیه می کنم خود را با آنها آشنا کنید.

مسئله شماره 11 این تیپ در ماه ژانویه 62 قسمت تولید کرد و در هر ماه آینده 14 قسمت بیشتر از قسمت قبلی تولید کرد. تیم در ماه نوامبر چند قسمت تشکیل داد؟

راه حل. بدیهی است ، تعداد قطعات ، برنامه ریزی شده بر اساس ماه ، نشان دهنده پیشرفت رو به افزایش حسابی است. علاوه بر این:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) _ (1)) = 62؛ \ quad d = 14؛ \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 14. \\ \ end (تراز) \]

نوامبر یازدهمین ماه سال است ، بنابراین ما باید $ ((a) _ (11)) $ را پیدا کنیم:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

در نتیجه ، 202 قطعه در ماه نوامبر تولید می شود.

مسئله شماره 12 کارگاه صحافی در ژانویه 216 کتاب را محدود کرد و هر ماه آینده 4 کتاب بیشتر از کتاب قبلی محدود کرد. این کارگاه در ماه دسامبر چند کتاب صحافی کرد؟

راه حل. همه یکسان:

$ \ begin (تراز کردن) & ((a) _ (1)) = 216؛ \ quad d = 4؛ \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 4. \\ \ end (تراز) $

دسامبر آخرین ، دوازدهمین ماه سال است ، بنابراین ما به دنبال $ ((a) _ (12)) $ هستیم:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

این پاسخ است - 260 کتاب در ماه دسامبر به چاپ می رسد.

خوب ، اگر تا اینجا خوانده اید ، من به شما تبریک می گویم: شما "دوره جنگنده جوان" را در پیشرفت های حساب با موفقیت گذرانده اید. می توانید با خیال راحت به درس بعدی بروید ، جایی که ما فرمول مجموع پیشرفت و همچنین پیامدهای مهم و بسیار مفید آن را مطالعه می کنیم.

ریاضیات نیز مانند نقاشی و شعر زیبایی خاص خود را دارد.

دانشمند روسی ، مکانیک N.E. ژوکوفسکی

کارهای بسیار متداول در آزمون های ورودیدر ریاضیات مشکلات مربوط به مفهوم پیشرفت حساب است. برای حل موفقیت آمیز چنین مشکلاتی ، باید خواص پیشرفت حساب را خوب بشناسید و مهارتهای خاصی در کاربرد آنها داشته باشید.

ابتدا خواص اصلی پیشرفت حساب را به خاطر می آوریم و مهمترین فرمول ها را ارائه می دهیم, مربوط به این مفهوم

تعریف. دنباله اعداد, که در آن هر اصطلاح بعدی با همان عدد قبلی متفاوت است, پیشرفت حسابی نامیده می شود. علاوه بر این ، تعدادتفاوت پیشرفت نامیده می شود.

برای پیشرفت حسابی ، فرمول های زیر معتبر هستند

, (1)

جایی که . فرمول (1) فرمول اصطلاح کلی پیشرفت حساب است و فرمول (2) ویژگی اصلی پیشرفت حساب است: هر عبارت پیشرفت با میانگین حسابی اصطلاحات همسایه آن و.

توجه داشته باشید که دقیقاً به دلیل همین ویژگی است که پیشرفت در نظر گرفته شده "حساب" نامیده می شود.

فرمولهای بالا (1) و (2) به شرح زیر تعمیم داده می شوند:

(3)

برای محاسبه مقداراولین اعضای پیشرفت حسابمعمولا فرمول اعمال می شود

(5) کجا و کجا

با در نظر گرفتن فرمول (1), سپس فرمول (5) دلالت می کند

اگر نشان دهیم ، پس

جایی که . از آنجا که ، پس فرمولهای (7) و (8) تعمیم فرمولهای مربوطه (5) و (6) هستند.

به خصوص ، از فرمول (5) به شرح زیر است، چی

ویژگی پیشرفت محاسباتی ، که با استفاده از قضیه زیر تدوین شده است ، در میان دانش آموزان کمی شناخته شده است.

قضیهاگر پس از آن

اثباتاگر پس از آن

قضیه اثبات شده است.

مثلا ، با استفاده از قضیه، می توان نشان داد که

بیایید به بررسی نمونه های معمولی حل مسائل در موضوع "پیشرفت حسابی" بپردازیم.

مثال 1اجازه دهید و. برای پیدا کردن.

راه حل.با استفاده از فرمول (6) ، به دست می آوریم. از آنجا که ، و سپس یا.

مثال 2اجازه دهید سه برابر بیشتر شود و هنگام تقسیم بر ضریب ، 2 و باقی مانده 8 را بدست می آوریم. تعیین و.

راه حل.شرایط مثال حاکی از سیستم معادلات است

از آنجا که ،، و ، سپس از سیستم معادلات (10) بدست می آوریم

راه حل این سیستم معادلات است و.

مثال 3پیدا کنید اگر و.

راه حل.طبق فرمول (5) ، ما یا. با این حال ، با استفاده از ویژگی (9) ، به دست می آوریم.

از آنجا و پس از برابری معادله زیر استیا .

مثال 4پیدا کنید اگر.

راه حل.با فرمول (5) ، داریم

با این حال ، با استفاده از قضیه ، می توان نوشت

از این و فرمول (11) بدست می آوریم.

مثال 5. داده شده:. برای پیدا کردن.

راه حل.از آن به بعد. با این حال ، بنابراین.

مثال 6اجازه دهید ، و. برای پیدا کردن.

راه حل.با استفاده از فرمول (9) ، به دست می آوریم. بنابراین ، اگر ، پس یا.

از آنجا که ، سپس در اینجا سیستم معادلات را داریم

حل آن ، ما دریافت می کنیم و.

ریشه طبیعی معادلههست یک .

مثال 7پیدا کنید اگر و.

راه حل.از آنجا که در فرمول (3) ما آن را داریم ، پس مسئله مسئله به معنی سیستم معادلات است

اگر عبارت را جایگزین کنیدوارد معادله دوم سیستم می شود، سپس دریافت می کنیم یا.

ریشه ها معادله درجه دومهستندو

بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1. بگذارید ، پس. از آن زمان و بعد ،

در این حالت ، طبق فرمول (6) ، داریم

2. اگر ، پس ، و

پاسخ: و.

مثال 8معلوم است که و. برای پیدا کردن.

راه حل.با در نظر گرفتن فرمول (5) و شرایط مثال ، ما و.

از این رو سیستم معادلات را دنبال می کند

اگر معادله اول سیستم را در 2 ضرب کرده و سپس به معادله دوم اضافه کنیم ، بدست می آوریم

طبق فرمول (9) ، داریم... در این رابطه ، از (12) به شرح زیر استیا .

از آن زمان و بعد ،

پاسخ: .

مثال 9پیدا کنید اگر و.

راه حل.از آنجا که ، و به شرط ، سپس یا.

از فرمول (5) مشخص است، چی . از آن به بعد.

در نتیجه ، در اینجا ما یک سیستم معادلات خطی داریم

از این رو دریافت می کنیم و. با در نظر گرفتن فرمول (8) ، می نویسیم.

مثال 10معادله را حل کنید.

راه حل.از معادله داده شده نتیجه می گیرد که. فرض کنید که ،، و. در این مورد .

طبق فرمول (1) ، می توانید یا بنویسید.

از آن زمان ، معادله (13) دارای یک ریشه مناسب است.

مثال 11حداکثر مقدار ارائه شده به شرط آن و.

راه حل.از آنجا که ، پیشرفت حساب شده در حال کاهش است. در این رابطه ، این عبارت زمانی حداکثر مقدار را به خود اختصاص می دهد که تعداد حداقل عبارت مثبت پیشرفت باشد.

ما از فرمول (1) و واقعیت استفاده می کنیم، مانند. سپس آن یا.

از آنجا ، پس یا ... با این حال ، در این نابرابریبزرگترین عدد طبیعی، بنابراین .

اگر مقادیر ، و در فرمول (6) جایگزین شده باشند ، بدست می آوریم.

پاسخ: .

مثال 12مجموع همه دو رقمی را تعیین کنید اعداد طبیعی، که با تقسیم بر 6 ، باقی مانده 5 را می دهد.

راه حل.اجازه دهید با مجموعه همه اعداد طبیعی دو رقمی ، یعنی ... در مرحله بعد ، ما یک زیرمجموعه متشکل از آن عناصر (اعداد) مجموعه ایجاد می کنیم که با تقسیم بر 6 ، بقیه 5 را می دهیم.

استقرار آن دشوار نیست، چی . به طور مشخص ، که عناصر مجموعهیک پیشرفت حسابی تشکیل می دهند، که در آن و.

برای اثبات اصل بودن (تعداد عناصر) یک مجموعه ، فرض می کنیم که. از آنجا که ، و سپس از فرمول (1) به شرح زیر است یا. با در نظر گرفتن فرمول (5) ، بدست می آوریم.

مثالهای بالا برای حل مسئله به هیچ وجه نمی توانند ادعا کنند که جامع هستند. این مقاله بر اساس تجزیه و تحلیل نوشته شده است روشهای مدرنحل وظایف معمولی در یک موضوع معین برای مطالعه عمیق تر روش ها برای حل مشکلات مرتبط با پیشرفت حساب ، توصیه می شود به فهرست منابع توصیه شده مراجعه کنید.

1. مجموعه مشکلات ریاضی برای متقاضیان دانشکده های فنی / ویرایش. M.I. اسکانوی. - م .: صلح و آموزش، 2013 .-- 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه آموزشی مدرسه... - M: Lenand / URSS، 2014 .-- 216 ص.

3. مدینسکی M.M. دوره کامل ریاضیات ابتدایی در مسائل و تمرینات. کتاب 2: دنباله های شمارهو پیشرفت - م .: ادیتوس، 2015 .-- 208 ص.

هنوز سوالی دارید؟

برای کمک از معلم - ثبت نام کنید.

سایت ، با کپی کامل یا جزئی از مطالب ، پیوند به منبع مورد نیاز است.