Metody dowodzenia tożsamości. Tożsamość

Czym jest tożsamość i jak to udowodnić? i otrzymałem najlepszą odpowiedź

Odpowiedź od Yovetlana Bezrukikha [aktywne]

Metody udowadniania tożsamości:

Tak więc przekształcamy:

-36=-36.
Tożsamość jest potwierdzona!

Odpowiedz od na Kichak[aktywny]
Jesteś bystry! Czy wiesz, czym jest tożsamość? Algebra 7 stopnia. Oświadczenie tożsamości wymagające dowodu. I łatwo to udowodnić, uprościć.

Odpowiedz od Alija Frolowa[guru]
Tożsamość - równość, która obowiązuje dla dowolnych wartości zmiennej.
x do kwadratu + 8x-5x-40 do kwadratu + x - 4x + 4 = - 36
-36=-36

Odpowiedz od Andriej Szadrow[Nowicjusz]
Tożsamość to równanie, które jest spełnione identycznie, to znaczy obowiązuje dla dowolnych dopuszczalnych wartości zawartych w nim zmiennych. Udowodnić tożsamość oznacza ustalić, że dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych jej lewa i prawa strona są równe.
Metody udowadniania tożsamości:
1. Wykonaj transformacje po lewej stronie i uzyskaj w rezultacie prawą stronę.
2. Wykonuj transformacje po prawej stronie, a na koniec wejdź po lewej stronie.
3. Oddzielnie przekształć prawą i lewą część i uzyskaj to samo wyrażenie w pierwszym i drugim przypadku.
4. Uzupełnij różnicę między lewą a prawą stroną i uzyskaj zero w wyniku jej przekształceń.
Ponieważ nie możemy przekształcić prawej strony, przekształcimy lewą. (Ponieważ nie mogę zapisać liczby podniesionej do drugiej potęgi, na przykład liczby x do kwadratu, napiszę tak: x pomnożone przez x, w skrócie x pomnożone przez x)
Tak więc przekształcamy:
x mądry na x + 8x - 5x - 40 - x inteligentny. na x + x - 4x + 4 = -36,
(Możemy wzajemnie zniszczyć wiele liczb! Są to x w stopniach kwadratowych, ponieważ jedna z nich jest dodatnia, druga ujemna, a podobne liczby to 8x; -5x; x; -4x. Ponieważ 8x - 5x + x - 4x = 0) ...
W rezultacie otrzymaliśmy -40 + 4 = -36.
Wykonując prostą operację matematyczną 4-40, otrzymujemy -36.
-36=-36.
Tożsamość jest potwierdzona!

Odpowiedz od Aleksander Czernyszow[Nowicjusz]
aaaaa

WYKŁAD №3 Dowód tożsamości

Cel: 1. Przegląd definicji tożsamości i identycznie równych wyrażeń.

2. Wprowadzić pojęcie identycznej transformacji wyrażeń.

3. Mnożenie wielomianu przez wielomian.

4. Rozkład wielomianu na czynniki metodą grupowania.

Może codziennie i co godzinę

dostaniemy coś nowego,

Niech nasz umysł będzie miły,

A serce będzie mądre!

W matematyce jest wiele pojęć. Jednym z nich jest tożsamość.

Tożsamość to równość, która obowiązuje dla wszystkich wartości zawartych w niej zmiennych. Niektóre tożsamości już znamy.

Na przykład wszystkie skrócone wzory mnożenia są tożsamościami.

Skrócone wzory mnożenia

1. (a ± b)2 = a 2 ± 2 ab + b 2,

2. (a ± b)3 = a 3 ± 3 a 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b),

4. a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ab + b 2).

Udowodnij tożsamość- oznacza to ustalenie, że dla dowolnej dopuszczalnej wartości zmiennej jej lewa strona jest równa stronie prawej.

W algebrze istnieje kilka różnych sposobów potwierdzania tożsamości.

Metody potwierdzania tożsamości

lewa strona tożsamości.

prawą stronę tożsamości.

lewa i prawa strona tożsamości.

Odejmij lewą stronę od prawej strony tożsamości.

Prawa strona jest odejmowana od lewej strony tożsamości.

Należy również pamiętać, że tożsamość jest ważna tylko dla dopuszczalnych wartości zmiennych.

Jak widać, sposobów jest wiele. Wybór metody w tym konkretnym przypadku zależy od tożsamości, którą musisz udowodnić. Kiedy będziesz udowadniać różne tożsamości, pojawi się doświadczenie w wyborze metody dowodu.

Tożsamość to równanie, które jest spełnione identycznie, to znaczy obowiązuje dla dowolnych dopuszczalnych wartości zawartych w nim zmiennych. Udowodnienie tożsamości oznacza ustalenie, że dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych jej lewa i prawa strona są równe.
Metody udowadniania tożsamości:
1. Wykonaj transformacje po lewej stronie i uzyskaj w rezultacie prawą stronę.
2. Wykonuj transformacje po prawej stronie, a na koniec wejdź po lewej stronie.
3. Oddzielnie przekształć prawą i lewą część i uzyskaj to samo wyrażenie w pierwszym i drugim przypadku.
4. Uzupełnij różnicę między lewą a prawą stroną i uzyskaj zero w wyniku jej przekształceń.
Spójrzmy na kilka prostych przykładów

Przykład 1. Udowodnij tożsamość x (a + b) + a (b-x) = b (a + x).

Rozwiązanie.

Ponieważ po prawej stronie znajduje się małe wyrażenie, spróbujmy przekształcić lewą stronę równości.

x (a + b) + a (b-x) = x a + x b + a b - a x.

Przedstawiamy podobne terminy i wyjmujemy wspólny czynnik z nawiasu.

x a + x b + a b - a x = x b + a b = b (a + x).

Doszliśmy do tego, że lewa strona po przekształceniach stała się taka sama jak prawa strona. Dlatego ta równość jest tożsamością.

Przykład 2. Udowodnij tożsamość: a² + 7a + 10 = (a+5) (a+2).

Rozwiązanie:

V ten przykład możesz postępować w następujący sposób. Rozwińmy nawiasy po prawej stronie równości.

(a + 5) (a + 2) = (a²) + 5 a + 2 a +10 = a² + 7 a + 10.

Widzimy, że po przekształceniach prawa strona równości stała się tym samym, co lewa strona równości. Dlatego ta równość jest tożsamością.

„Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie mu równym, nazywa się identyczna transformacja wyrażenia "

Dowiedz się, która równość jest tożsamością:

1. - (a - b) = - a - b;

2. 2 (x + 4) = 2x - 4;

3. (x - 5) (-3) = - 3x + 15.

4. pxy (- p2 x2 y) = - p3 x3 y3.

„Aby udowodnić, że jakaś równość jest tożsamością lub, jak mówią inaczej, udowodnić tożsamość, użyj identycznych przekształceń wyrażeń”

Równość jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, zwanych tożsamość. Udowodnić, że jakaś równość jest tożsamością lub, jak mówią inaczej, udowodnić tożsamość, użyj identycznych przekształceń wyrażeń.
Udowodnijmy tożsamość:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3) (y - 5) + 1 Przepisz lewą stronę tej równości:
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y (x - 3) - 5 (x -3) +1 = (y - 5) (x - 3) + 1 W rezultacie transformacja tożsamości lewą stronę wielomianu, otrzymaliśmy jego prawą stronę i w ten sposób udowodniliśmy, że ta równość jest tożsamość.
Do dowód tożsamości przekształć jego lewą stronę w prawą lub prawą stronę w lewą lub pokaż, że lewa i prawa strona pierwotnej równości są identyczne z tym samym wyrażeniem.

Mnożenie wielomianu przez wielomian

Pomnóż wielomian a + b przez wielomian c + d... Skomponujmy iloczyn tych wielomianów:
(a + b) (c + d).
Oznaczamy dwumian a + b list x i przekształcić otrzymany iloczyn zgodnie z zasadą mnożenia jednomianu przez wielomian:
(a + b) (c + d) = x (c + d) = xc + xd.
W ekspresję xc + xd. zamiennik dla x wielomian a + b i ponownie zastosuj zasadę mnożenia jednomianu przez wielomian:
xc + xd = (a + b) c + (a + b) d = ac + bc + ad + bd.
Więc: (a + b) (c + d) = ac + bc + ad + bd.
Iloczyn wielomianów a + b oraz c + d przedstawiliśmy jako wielomian ac + bc + reklama + bd... Ten wielomian jest sumą wszystkich jednomianów otrzymanych przez pomnożenie każdego wyrazu wielomianu a + b dla każdego członu wielomianu c + d.
Wyjście: iloczyn dowolnych dwóch wielomianów można przedstawić jako wielomian.
Zasada: aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy składnik jednego wielomianu przez każdy składnik innego wielomianu i dodać otrzymane iloczyny.
Zauważ, że podczas mnożenia wielomianu zawierającego m wyrazy wielomianem zawierającym n członków w pracy, przed sprowadzeniem takich członków powinno się okazać mni członków. Może to służyć do kontroli.

Rozkład wielomianu na czynniki metodą grupowania:

Wcześniej zaznajomiliśmy się z rozkładaniem wielomianu na czynniki, wyciągając czynnik wspólny poza nawiasy. Czasami możliwe jest wydzielenie wielomianu w inny sposób - zgrupowanie jej członków.
Rozkład wielomianu na czynniki
ab - 2b + 3a - 6 Pogrupuj je tak, aby terminy w każdej grupie miały wspólny czynnik i wyjmij ten czynnik z nawiasów:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b (a - 2) + 3 (a - 2) Każdy wyraz w wyrażeniu wynikowym ma wspólny czynnik (a - 2). Wyjmijmy ten wspólny czynnik z nawiasów:
b (a - 2) + 3 (a - 2) = (b +3) (a - 2) W rezultacie dokonaliśmy faktoryzacji oryginalnego wielomianu:
ab - 2b + 3a - 6 = (b +3) (a - 2) Metoda, której użyliśmy do faktoryzacji wielomianu, nazywa się sposób grupowania.
Rozkład wielomianowy ab - 2b + 3a - 6 mnożniki można wykonać, grupując jego członków w inny sposób:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a (b + 3) -2 (b + 3) = (a - 2) (b + 3)

Powtarzać:

1. Metody dowodzenia tożsamości.

2. To, co nazywa się transformacją tożsamościową wyrażenia.

3. Mnożenie wielomianu przez wielomian.

4. Rozkładanie wielomianu na czynniki metodą grupowania

W procesie uczenia się uczniowie muszą rozwijać umiejętności dowodzenia tożsamości w następujący sposób.

Jeśli konieczne jest udowodnienie, że A = B, to możemy

1.udowodnić, że A - B = O,

2. udowodnić, że A / B = 1,

3. przekonwertuj A na B,

4.konwertuj B na typ A,

5. przekonwertuj A i B na ten sam typ C.

Własności operacji arytmetycznych służą jako podstawa, na której budowane są dowody tożsamości. Czasami w dowodzie zaangażowane są pojęcia i metody geometryczne. Dowody geometryczne są nie tylko pouczające i ilustracyjne, ale także przyczyniają się do wzmocnienia powiązań międzyprzedmiotowych.

Dowody tożsamości można podzielić na trzy typy w zależności od tego, jak dobrze spełniają rygorystyczne wymagania:

a) Nie do końca rygorystyczne rozumowanie, wymagające użycia metody indukcji matematycznej dla nadania im pełnego rygoru. Dowody te służą do wyprowadzenia zasady działania z wielomianami, własności stopni z wykładnikami naturalnymi. Na przykład,

a k a p = (a a a) (a a a) = a a a a = a k + p

k razy p razy k + p razy

b) Całkowicie rygorystyczne rozumowanie, oparte na podstawowych własnościach działań arytmetycznych i niekorzystające z innych własności systemu liczbowego. Głównym obszarem zastosowania takich dowodów są skrócone tożsamości mnożenia. Wiele zdań wyrażonych skróconymi wzorami mnożenia można zilustrować geometrycznie.

Przykład Dla tożsamości nauczyciel może zaproponować następującą ilustrację:

c) Całkowicie rygorystyczne rozumowanie z wykorzystaniem warunków rozwiązywania równań postaci (x) = a, gdzie Ψ jest badaną funkcją elementarną. Takie dowody są typowe dla wyprowadzania własności stopnia z wykładnikiem wymiernym i funkcją logarytmiczną. Na przykład podczas udowadniania właściwości pierwiastka arytmetycznego

(1)

będziemy polegać na przeformułowaniu definicji arytmetyki pierwiastek kwadratowy: dla liczb nieujemnych x i y, równość y =
oraz

y 2 = x są równoważne, zatem (1) jest równoważne (
) 2 = (
) 2 (2). Skąd wynika, i w = (
) 2 (
) 2 = w.

Zastosowana tutaj metoda dowodu jest stosowana dość rzadko, niemniej jednak należy podkreślić, że główną ideą dowodu jest porównanie dwóch operacji (lub funkcji) – bezpośredniej i odwrotnej do niej, które znajdą zastosowanie już w liceum.

Łańcuch technologiczny do tworzenia algorytmów i technik

identyczne przekształcenia wyrażeń w szkole podstawowej

Algorytm i techniki obliczeniowe

Wyrażenia liczb całkowitych

Rodzaje wyrażeń całkowitych (jednomianowy, wielomianowy), ich stopień, postać standardowa, przypadki szczególne, skrócone wzory mnożenia. Działania na wyrażeniach całkowitych: faktoryzacja wielomianu; wybór pełnego kwadratu w trójmianu.

1. Algorytmy wykonywania podstawowych czynności z wyrażeniami całkowitymi.

2. Techniki rozkładania na czynniki wielomianu.

3. Specjalna technika doboru pełnego kwadratu w trójmianu.

4. Uogólniona metoda upraszczania całego wyrażenia.

5. Techniki udowadniania tożsamości.

Wyrażenia racjonalne

Główna właściwość wyrażenia ułamkowego i jego konsekwencje. Zmniejszanie wyrażeń ułamkowych. Działania z racjonalnym

wyrażenia.

6. Techniki rejestrowania przekształceń wyrażeń wymiernych.

7. Techniki posługiwania się analogią z operacjami na liczbach wymiernych w przypadkach ogólnych i specjalnych.

8. Uogólnienie technik 4 i 5.

Irracjonalny

wyrażenia

Główna właściwość korzenia, najprostsze przekształcenia korzeni. Operacje z pierwiastkami, podnoszenie wyrażenia do potęgi z wykładnikiem ułamkowym.

9. Specjalne techniki podstawowych przekształceń pierwiastków arytmetycznych.

10. Techniki przekształcania wyrażeń potęgowych z wykładnikiem wymiernym.

11. Odbiór dowodu nierówności.

12. Uogólnienie technik 2, 4, 5 i 11.

Przypisanie wykładu

Po przeanalizowaniu podręczników szkolnych sporządź tabelę identycznych równości, wskazując zbiór, na którym jest wykonywana.

Przykład
, М 1 - te x, dla których f (x) ma sens.

Wstecz do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie do celów informacyjnych i mogą nie przedstawiać wszystkich opcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele:

Przejrzyj definicje tożsamości i identycznie równych wyrażeń.
Przedstaw koncepcję identycznej transformacji wyrażeń.
Rozwijanie umiejętności udowadniania tożsamości metodą identycznej transformacji wyrażeń.
Wspieranie kultury komunikacyjnej studentów.

Podczas zajęć

Przed rozpoczęciem lekcji uczniowie w klasie są podzieleni na sześć grup badawczych o mieszanym składzie.

i

Nauczyciel: Witam, proponuję zamienić gabinet w Laboratorium badawcze, a ty i ja w naukowcy-mistrzowie nauk matematycznych.

Ale każdy szanujący się naukowiec nieustannie decyduje o niektórych bardzo ważny problem, więc przede wszystkim musimy się dowiedzieć: nad jakim problemem będziemy dzisiaj pracować?

Aby to zrobić, musimy rozwiązać dwa problemy: (Slajd 1)

Rozkład wyrażenia 4x - 8x.(Po wykonaniu zadania na slajdzie pojawia się słowo „Dowód”)
Wyobraź sobie wyrażenie -5 lat (rok - 2) jako wielomian. (Po wykonaniu zadania na slajdzie pojawia się słowo „Tożsamości”)

Nauczyciel: Dzisiaj będziemy pracować nad „Dowód tożsamości” i proponuję przyjąć te wspaniałe słowa jako motto naszej pracy: (Slajd 2)

Może codziennie i co godzinę
dostaniemy coś nowego,
Niech nasz umysł będzie miły,
A serce będzie mądre!

II

Nauczyciel: Panowie naukowcy, zanim rozwiążemy problem, musimy wzmocnić naszą bazę teoretyczną, ponieważ pojęcie tożsamości jest już Wam znane. A zatem w nagłówku (slajd 3) „Powtarzanie jest matką nauki” Proponuję wykonać następującą pracę:

Każda grupa naukowa zawiera sformułowania trzech pojęć na karcie 1, wśród nich należy znaleźć dwie definicje: 1) Definicja tożsamości, 2) Definicja identycznie równych wyrażeń.

(Uczniowie studiują te definicje przez 2-3 minuty, pytani są przedstawiciele tych grup, które wykonały zadanie najszybciej, pozostali uczestnicy z innych grup wykazują zgodę lub sprzeciw za pomocą zielonych i czerwonych kart sygnałowych)

Karta 1

Gdy uczniowie podadzą prawidłową definicję, zostanie ona wyświetlona na ekranie.

Nauczyciel: Dobra, teraz sprawdźmy sami. Na ekranie pojawią się równe, jeśli ta równość jest tożsamością, sugeruję wstać, jeśli nie, to dalej siedzieć: (Slajd 4)

- (a - b) = - a + b
a (b + c) = ab - ac
a - (b + c) = a - b + c
(a + b) - c = a - c + b
- (a + b) = - b - a

III

Nauczyciel: No dobra, a teraz nadszedł czas, abyśmy zmienili się z teoretyków w praktycznych naukowców, ale do tego musimy się nauczyć, czego potrzebujemy do udowodnić tożsamość, a tutaj nie możemy obejść się bez literatury naukowej, odpowiedź na to pytanie znajdziemy na stronie… twojego podręcznika. Uczniowie znajdują odpowiedź w podręczniku: „Aby udowodnić, że jakaś równość jest tożsamością lub, jak mówią inaczej, udowodnić tożsamość, użyj identycznych przekształceń wyrażeń”. Uczestnicy pozostałych grup wyrażają zgodę lub sprzeciw na specjalne sygnały, o których była mowa powyżej. (Slajd 5)

Nauczyciel: Dobra robota, ale teraz pojawia się kolejne pytanie, co to jest konwersja tożsamościowa wyrażeń? Odpowiedź można znaleźć na karta 1, to jest druga trzecia definicja.

„Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie mu równym, nazywa się identyczną transformacją wyrażenia” (nauczyciel sugeruje, aby jeden z uczestników dowolnej grupy odpowiedział na to pytanie) (slajd 6)

Teraz jesteśmy już „dojrzali” do praktyczna praca i proszę o zwrócenie uwagi na karta 2... Zadanie: „Udowodnij tożsamość”, każda grupa naukowców otrzymała przykład, który musi rozwiązać samodzielnie, jeśli pojawią się trudności, na ratunek przyjdą karty konsultantów.

Karta 2

Teraz musimy chronić naszą pracę. (Prezentacja wykonanej pracy przy tablicy, przemawiają chętni członkowie grupy)

Nauczyciel: Świetnie, a teraz czas, drodzy koledzy, podsumować, co trzeba zrobić, aby udowodnić, że równość to tożsamość? Szacunkowe odpowiedzi uczniów: (slajd 7)

Napisz lewą stronę równości, przekształć ją i upewnij się, że jest równa prawej stronie.
lub
Napisz prawą stronę równości, przekształć ją i upewnij się, że jest równa lewej.
lub
Przekształć lewą i prawą stronę równości i upewnij się, że są one równe temu samemu wyrażeniu.

Nauczyciel: Jaki wniosek można wyciągnąć w przypadku, gdy wszystko, co przed chwilą powiedzieliśmy, nie spełni się? Szacunkowa odpowiedź ucznia: Równość nie będzie tożsamością.

IV

Nauczyciel: Aby zdobyta wiedza była solidna, będziemy kontynuować tę pracę w domu:

Zadanie domowe: s. 30, 773, * Sporządź równość, która będzie tożsamością.

V

Nauczyciel: A teraz nadszedł czas na kreatywność: W wierszu, który widzisz, wstaw brakujące słowa: (Slajdy 8-9)

Są różne rodzaje równości, bracia,
I oczywiście wszyscy o tym wiedzą.
Tak - ze zmiennymi, tak - (numerycznie),
Bardzo, bardzo złożony (prosty),
Ale wśród równości jest szczególna klasa,
Poprowadzimy teraz naszą opowieść o nim.
(Tożsamość) nazywa się to równością.
Ale wciąż musimy to udowodnić.
Do tego musimy tylko wziąć
A równość jest (przemiana)
Nie jest to oczywiście trudne, dowiemy się
Jaką część będziemy musieli zmienić,
A może oboje musimy się zmienić,
Przez równość forma nie jest trudna (do zrozumienia)
Hurra! Udało nam się zastosować naszą wiedzę,
Ukończono konwersję równości.
I śmiało już odpowiadamy:
Czyli (tożsamość) jest czy nie!

Przykład 2. Udowodnij tożsamość

Udowodnimy tę tożsamość, przekształcając wyrażenie po prawej stronie.

Metoda 1.

Dlatego

Metoda 2.

Przede wszystkim zauważ, że ctg α = / = 0; w przeciwnym razie wyrażenie tg α = 1 / ctg α ... Ale jeśli ctg α = / = 0, to licznik i mianownik wyrażenia radykalnego można pomnożyć przez ctg α bez zmiany wartości ułamka. Stąd,

Korzystanie z tożsamości tg α ctg α = 1 i 1+ ctg 2 α = cosek 2 α , dostajemy

Dlatego co było do okazania

Komentarz. Należy zauważyć, że lewa strona udowodnionej tożsamości (sin α ) jest zdefiniowany dla wszystkich wartości α , a właściwy tylko w α =/= π / 2 n.

Dlatego tylko wtedy, gdy wszystko dozwolone znaczenia α Ogólnie rzecz biorąc, wyrażenia te nie są sobie równoważne.

Przykład 3. Udowodnij tożsamość

grzech (3/2 π + α ) + co ( π - α ) = cos (2 π + α ) - 3sin ( π / 2 - α )

Przekształcamy lewą i prawą stronę tej tożsamości za pomocą formuł redukcyjnych:

grzech (3/2 π + α ) + co ( π - α ) = - cos α - cos α = - 2 cos α ;

cos (2 π + α ) - 3sin ( π / 2 - α ) = cos α - 3 cos α = - 2 cos α .

Tak więc wyrażenia w obu częściach tej tożsamości są zredukowane do tej samej formy. To potwierdza tożsamość.

Przykład 4. Udowodnij tożsamość

grzech 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 grzech 2 α bo 2 α .

Pokażmy, że różnica między lewą i prawą stroną. tej tożsamości jest równa zeru.

(grzech 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 grzech 2 α bo 2 α ) = (grzech 4 α + 2sin 2 α bo 2 α + cos 4 α ) - 1 =

= (grzech 2 α + cos 2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

To potwierdza tożsamość.

Przykład 5. Udowodnij tożsamość

Ta tożsamość może być postrzegana jako proporcja. Ale aby udowodnić słuszność proporcji a / b = c / d, wystarczy wykazać, że iloczyn jej skrajnych warunków ogłoszenie jest równy iloczynowi jej przeciętnych członków pne... Oto, co zrobimy w ta sprawa... Pokażmy, że (1 - grzech α ) (1+ grzech α ) = cos α sałata α .

Rzeczywiście (1 - grzech α ) (1 + grzech α ) = 1 -sin 2 α = cos 2 α .