Formule cu rădăcină pătrată împărțire scădere înmulțire adunare. Operația cu rădăcini: adunare și scădere

Rădăcina pătrată a unui număr x este un număr a, care, înmulțit cu el însuși, dă numărul x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Ca și în cazul oricărui număr, puteți efectua operații aritmetice de adunare și scădere cu rădăcini pătrate.

Instrucțiuni

1. În primul rând, când adăugați rădăcini pătrateîncercați să extrageți aceste rădăcini. Acest lucru va fi acceptabil dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. Să presupunem că expresia dată este ?4 + ?9. Primul număr 4 este pătratul numărului 2. Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3. Astfel, rezultă că: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Dacă nu există pătrate complete sub semnul rădăcinii, atunci încercați să mutați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. Să spunem, să presupunem că este dată expresia?24 +?54. Factorizează numerele: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Numărul 24 are un factor de 4, cel care poate fi transferat de sub semn rădăcină pătrată. În numărul 54 există un factor de 9. Astfel, rezultă că: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6. În acest exemplu, ca urmare a eliminării multiplicatorului de sub semnul rădăcinii, a fost posibilă simplificarea expresiei date.

3. Fie suma a 2 rădăcini pătrate să fie numitorul unei fracții, să spunem A / (?a + ?b). Și lasă ca sarcina ta să fie „să scapi de iraționalitatea din numitor”. Apoi puteți utiliza următoarea metodă. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia ?a – ?b. Astfel, numitorul va conține formula de înmulțire prescurtată: (?a + ?b) * (?a – ?b) = a – b. Prin analogie, dacă numitorul conține diferența dintre rădăcini: ?a – ?b, atunci numărătorul și numitorul fracției trebuie înmulțite cu expresia ?a + ?b. De exemplu, fie fracția 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 – ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 – ?5)) = 4 * (?3 – ?5) / (-2) = 2 * (?5 – ?3).

4. Luați în considerare un exemplu mai complex de a scăpa de iraționalitate în numitor. Să fie dată fracția 12 / (?2 + ?3 + ?5). Trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia?2 + ?3 – ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 – ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 – ?5)) = 12 * (?2 + ?3 – ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 – ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 – ?30.

5. Și, în sfârșit, dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, puteți calcula rădăcinile pătrate folosind un calculator. Calculați separat valorile pentru întregul număr și scrieți-l cu precizia necesară (să zicem, două zecimale). Și după aceea, efectuați operațiile aritmetice necesare, ca și cu numere obișnuite. Să presupunem, să presupunem că trebuie să aflați valoarea aproximativă a expresiei ?7 + ?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Video pe tema

Notă!
În niciun caz nu pot fi adăugate rădăcini pătrate ca numere primitive, adică. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Sfaturi utile
Dacă factorizați un număr pentru a muta pătratul de sub semnul rădăcinii, atunci faceți verificare inversă– înmulțiți toți factorii rezultați și obțineți numărul inițial.

Rădăcina pătrată a unui număr X numărul apelat A, care în procesul de înmulțire de la sine ( A*A) poate da un număr X.
Acestea. A * A = A 2 = X, Și √X = A.

Deasupra rădăcinilor pătrate ( √x), ca și alte numere, puteți efectua operații aritmetice precum scăderea și adunarea. Pentru a scădea și a adăuga rădăcini, acestea trebuie conectate folosind semne corespunzătoare acestor acțiuni (de exemplu √x - √y ).
Și apoi aduceți rădăcinile la forma lor cea mai simplă - dacă există altele similare între ele, este necesar să faceți o reducere. Constă în luarea coeficienților termenilor similari cu semnele termenilor corespunzători, apoi punerea lor între paranteze și deducerea rădăcină comunăîn afara parantezelor multiplicatorului. Coeficientul pe care l-am obținut este simplificat conform regulilor uzuale.

Pasul 1: Extragerea rădăcinilor pătrate

În primul rând, pentru a adăuga rădăcini pătrate, mai întâi trebuie să extrageți aceste rădăcini. Acest lucru se poate face dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. De exemplu, luați expresia dată √4 + √9 . Primul număr 4 este pătratul numărului 2 . Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3 . Astfel, putem obține următoarea egalitate: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Gata, exemplul este rezolvat. Dar nu se întâmplă întotdeauna atât de ușor.

Pasul 2. Scoaterea multiplicatorului numărului de sub rădăcină

Dacă nu există pătrate perfecte sub semnul rădăcinii, puteți încerca să eliminați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. De exemplu, să luăm expresia √24 + √54 .

Factorizați numerele:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Printre 24 avem un multiplicator 4 , poate fi scos de sub semnul rădăcinii pătrate. Printre 54 avem un multiplicator 9 .

Obținem egalitate:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Luand in considerare acest exemplu, obținem factorul de sub semnul rădăcinii, simplificând astfel expresia dată.

Pasul 3: Reducerea Numitorului

Luați în considerare următoarea situație: suma a două rădăcini pătrate este numitorul fracției, de exemplu, A/(√a + √b).
Acum ne confruntăm cu sarcina de a „scăpa de iraționalitatea din numitor”.
Să folosim următoarea metodă: înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia √a - √b.

Acum obținem formula de înmulțire prescurtată la numitor:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

În mod similar, dacă numitorul are o diferență de rădăcină: √a - √b, numărătorul și numitorul fracției se înmulțesc cu expresia √a + √b.

Să luăm fracția ca exemplu:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Exemplu de reducere a numitorului complex

Acum vom lua în considerare un exemplu destul de complex de a scăpa de iraționalitate în numitor.

De exemplu, să luăm o fracție: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebuie să luați numărătorul și numitorul și să înmulțiți cu expresia √2 + √3 - √5 .

Primim:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Pasul 4. Calculați valoarea aproximativă pe calculator

Dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, aceasta se poate face pe un calculator calculând valoarea rădăcinilor pătrate. Valoarea se calculează separat pentru fiecare număr și se notează cu precizia necesară, care este determinată de numărul de zecimale. În continuare, sunt efectuate toate operațiunile necesare, ca în cazul numerelor obișnuite.

Exemplu de calcul al unei valori aproximative

Este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a acestei expresii √7 + √5 .

Ca rezultat obținem:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să adăugați rădăcini pătrate ca numere prime; acest lucru este complet inacceptabil. Adică, dacă adunăm rădăcina pătrată a lui cinci și rădăcina pătrată a lui trei, nu putem obține rădăcina pătrată a lui opt.

Sfat util: dacă decideți să factorizați un număr, pentru a deriva pătratul de sub semnul rădăcinii, trebuie să faceți o verificare inversă, adică să înmulțiți toți factorii care au rezultat din calcule și rezultat final Acest calcul matematic ar trebui să aibă ca rezultat numărul care ne-a fost dat inițial.

În matematică, orice acțiune are perechea sa opusă - în esență, aceasta este una dintre manifestările legii hegeliene a dialecticii: „unitatea și lupta contrariilor”. Una dintre acțiunile dintr-o astfel de „pereche” vizează creșterea numărului, iar cealaltă, opusul său, vizează scăderea acestuia. De exemplu, opusul adunării este scăderea, iar împărțirea este opusul înmulțirii. Exponentiația are și propria sa pereche opusă dialectică. Vorbim despre extragerea rădăcinii.

A extrage rădăcina unei astfel de puteri dintr-un număr înseamnă a calcula ce număr trebuie ridicat la puterea corespunzătoare pentru a ajunge la un număr dat. Cele două grade au propriile nume separate: al doilea grad se numește „pătrat”, iar al treilea se numește „cub”. În consecință, este frumos să numim rădăcinile acestor puteri rădăcini pătrate și cubice. Acțiunile cu rădăcini cubice sunt un subiect pentru o discuție separată, dar acum să vorbim despre adăugarea rădăcinilor pătrate.

Să începem cu faptul că în unele cazuri este mai ușor să extragi mai întâi rădăcini pătrate și apoi să adaugi rezultatele. Să presupunem că trebuie să găsim valoarea următoarei expresii:

La urma urmei, nu este deloc dificil să calculezi că rădăcina pătrată a lui 16 este 4, iar a lui 121 este 11. Prin urmare,

√16+√121=4+11=15

Cu toate acestea, acesta este cel mai simplu caz - aici despre care vorbim despre pătratele perfecte, adică despre acele numere care se obțin prin pătrarea numerelor întregi. Dar asta nu se întâmplă întotdeauna. De exemplu, numărul 24 nu este un pătrat perfect (nu există un număr întreg care, atunci când este ridicat la a doua putere, să rezulte în 24). Același lucru este valabil și pentru un număr ca 54... Ce se întâmplă dacă trebuie să adunăm rădăcinile pătrate ale acestor numere?

În acest caz, vom primi în răspuns nu un număr, ci o altă expresie. Maximul pe care îl putem face aici este să simplificăm cât mai mult expresia originală. Pentru a face acest lucru, va trebui să eliminați factorii de sub rădăcina pătrată. Să vedem cum se face acest lucru folosind numerele menționate mai sus ca exemplu:

Mai întâi, să factorăm 24 în factori, astfel încât unul dintre ei să poată fi extras cu ușurință ca rădăcină pătrată (adică, astfel încât să fie un pătrat perfect). Există un astfel de număr - este 4:

Acum să facem același lucru cu 54. În compoziția sa, acest număr va fi 9:

Astfel, obținem următoarele:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Acum să extragem rădăcinile din ceea ce le putem extrage: 2*√6+3*√6

Există un factor comun aici pe care îl putem scoate din paranteze:

(2+3)* √6=5*√6

Acesta va fi rezultatul adăugării - nu se mai poate extrage nimic de aici.

Adevărat, puteți recurge la utilizarea unui calculator - totuși, rezultatul va fi aproximativ și cu un număr mare de zecimale:

√6=2,449489742783178

Rotunjind-o treptat, obținem aproximativ 2,5. Dacă am dori totuși să aducem soluția exemplului anterior la concluzia sa logică, putem înmulți acest rezultat cu 5 - și vom obține 12,5. Mai mult rezultat exact nu poate fi obținută cu astfel de date inițiale.

Faptul 1.
\(\bullet\) Să luăm un număr nenegativ \(a\) (adică \(a\geqslant 0\) ). Apoi (aritmetică) rădăcină pătrată din numărul \(a\) se numește un astfel de număr nenegativ \(b\) , la pătrat obținem numărul \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(la fel ca )\quad a=b^2\] Din definiţie rezultă că \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Aceste restricții sunt o condiție importantă pentru existența unei rădăcini pătrate și trebuie reținute!
Amintiți-vă că orice număr la pătrat dă un rezultat nenegativ. Adică \(100^2=10000\geqslant 0\) și \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Cu ce ​​este egal cu \(\sqrt(25)\)? Știm că \(5^2=25\) și \((-5)^2=25\) . Deoarece prin definiție trebuie să găsim un număr nenegativ, atunci \(-5\) nu este potrivit, prin urmare, \(\sqrt(25)=5\) (deoarece \(25=5^2\) ).
Găsirea valorii lui \(\sqrt a\) se numește luarea rădăcinii pătrate a numărului \(a\) , iar numărul \(a\) se numește expresie radicală.
\(\bullet\) Pe baza definiției, expresiei \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. nu au sens.

Faptul 2.
Pentru calcule rapide va fi util să înveți tabelul cu pătrate numere naturale de la \(1\) la \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(matrice)\]

Faptul 3.
Ce operații poți face cu rădăcini pătrate?
\(\glonţ\) Suma sau diferența rădăcinilor pătrate NU ESTE EGALĂ cu rădăcina pătrată a sumei sau diferenței, adică \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Astfel, dacă trebuie să calculați, de exemplu, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , atunci inițial trebuie să găsiți valorile \(\sqrt(25)\) și \(\ sqrt(49)\ ) și apoi pliați-le. Prin urmare, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Dacă valorile \(\sqrt a\) sau \(\sqrt b\) nu pot fi găsite la adăugarea \(\sqrt a+\sqrt b\), atunci o astfel de expresie nu se transformă în continuare și rămâne așa cum este. De exemplu, în suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) putem găsi \(\sqrt(49)\) este \(7\) , dar \(\sqrt 2\) nu poate fi transformat în oricum, de aceea \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Din păcate, această expresie nu poate fi simplificată în continuare\(\bullet\) Produsul/coeficientul rădăcinilor pătrate este egal cu rădăcina pătrată a produsului/coeficientului, adică \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (cu condiția ca ambele părți ale egalităților să aibă sens)
Exemplu: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Folosind aceste proprietăți, este convenabil să găsiți rădăcini pătrate ale numerelor mari prin factorizarea acestora.
Să ne uităm la un exemplu. Să găsim \(\sqrt(44100)\) . Deoarece \(44100:100=441\) , atunci \(44100=100\cdot 441\) . Conform criteriului divizibilității, numărul \(441\) este divizibil cu \(9\) (deoarece suma cifrelor sale este 9 și este divizibil cu 9), prin urmare, \(441:9=49\), adică \(441=9\ cdot 49\) .
Astfel am obtinut: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Să ne uităm la un alt exemplu: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Să arătăm cum să introduceți numere sub semnul rădăcinii pătrate folosind exemplul expresiei \(5\sqrt2\) (notație scurtă pentru expresia \(5\cdot \sqrt2\)). Deoarece \(5=\sqrt(25)\) , atunci \ De asemenea, rețineți că, de exemplu,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

De ce este asta? Să explicăm folosind exemplul 1). După cum înțelegeți deja, nu putem transforma cumva numărul \(\sqrt2\). Să ne imaginăm că \(\sqrt2\) este un număr \(a\) . În consecință, expresia \(\sqrt2+3\sqrt2\) nu este altceva decât \(a+3a\) (un număr \(a\) plus încă trei numere identice \(a\)). Și știm că aceasta este egală cu patru astfel de numere \(a\) , adică \(4\sqrt2\) .

Faptul 4.
\(\bullet\) Ei spun adesea „nu poți extrage rădăcina” atunci când nu poți scăpa de semnul \(\sqrt () \ \) al rădăcinii (radicalului) când găsești valoarea unui număr . De exemplu, puteți lua rădăcina numărului \(16\) deoarece \(16=4^2\) , prin urmare \(\sqrt(16)=4\) . Dar este imposibil să extragi rădăcina numărului \(3\), adică să găsești \(\sqrt3\), deoarece nu există un număr care la pătrat să dea \(3\) .
Astfel de numere (sau expresii cu astfel de numere) sunt iraționale. De exemplu, numerele \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)și așa mai departe. sunt iraționale.
De asemenea, sunt iraționale numerele \(\pi\) (numărul „pi”, aproximativ egal cu \(3,14\)), \(e\) (acest număr se numește număr Euler, este aproximativ egal cu \(2,7). \)) etc.
\(\bullet\) Vă rugăm să rețineți că orice număr va fi rațional sau irațional. Și împreună toate numerele raționale și toate numerele iraționale formează o mulțime numită un set de numere reale. Această mulțime este notă cu litera \(\mathbb(R)\) .
Aceasta înseamnă că toate numerele care sunt activate acest momentștim că se numesc numere reale.

Faptul 5.
\(\bullet\) Modulul unui număr real \(a\) este un număr nenegativ \(|a|\) egal cu distanța de la punctul \(a\) la \(0\) de pe linie reală. De exemplu, \(|3|\) și \(|-3|\) sunt egale cu 3, deoarece distanțele de la punctele \(3\) și \(-3\) la \(0\) sunt același și egal cu \(3 \) .
\(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr nenegativ, atunci \(|a|=a\) .
Exemplu: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr negativ, atunci \(|a|=-a\) .
Exemplu: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ei spun că pentru numerele negative modulul „mâncă” minusul, în timp ce numerele pozitive, precum și numărul \(0\), sunt lăsate neschimbate de modul.
DAR Această regulă se aplică numai numerelor. Dacă sub semnul modulului există o necunoscută \(x\) (sau o altă necunoscută), de exemplu, \(|x|\) , despre care nu știm dacă este pozitiv, zero sau negativ, atunci scăpați a modulului nu putem. În acest caz, această expresie rămâne aceeași: \(|x|\) . \(\bullet\) Următoarele formule sunt valabile: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( furnizat ) a\geqslant 0\] Foarte des se face următoarea greșeală: ei spun că \(\sqrt(a^2)\) și \((\sqrt a)^2\) sunt unul și același. Acest lucru este adevărat numai dacă \(a\) este un număr pozitiv sau zero. Dar dacă \(a\) este un număr negativ, atunci acesta este fals. Este suficient să luăm în considerare acest exemplu. Să luăm în loc de \(a\) numărul \(-1\) . Atunci \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , dar expresia \((\sqrt (-1))^2\) nu există deloc (la urma urmei, este imposibil de folosit semnul rădăcină pune numere negative!).
Prin urmare, vă atragem atenția asupra faptului că \(\sqrt(a^2)\) nu este egal cu \((\sqrt a)^2\) ! Exemplu: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), deoarece \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Deoarece \(\sqrt(a^2)=|a|\) , atunci \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (expresia \(2n\) denotă un număr par)
Adică, atunci când luăm rădăcina unui număr care este într-o anumită măsură, acest grad este înjumătățit.
Exemplu:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (rețineți că dacă modulul nu este furnizat, se dovedește că rădăcina numărului este egală cu \(-25\ ); dar ne amintim că, prin definiția unei rădăcini, acest lucru nu se poate întâmpla: atunci când extragem o rădăcină, ar trebui să obținem întotdeauna un număr pozitiv sau zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (deoarece orice număr la o putere pară este nenegativ)

Faptul 6.
Cum se compară două rădăcini pătrate?
\(\bullet\) Pentru rădăcinile pătrate este adevărat: dacă \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExemplu:
1) comparați \(\sqrt(50)\) și \(6\sqrt2\) . Mai întâi, să transformăm a doua expresie în \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Astfel, deoarece \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Între ce numere întregi se află \(\sqrt(50)\)?
Deoarece \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) și \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Să comparăm \(\sqrt 2-1\) și \(0,5\) . Să presupunem că \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((adăugați unul pe ambele părți))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((la pătratul ambelor părți))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vedem că am obținut o inegalitate incorectă. Prin urmare, presupunerea noastră a fost incorectă și \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Rețineți că adăugarea unui anumit număr de ambele părți ale inegalității nu afectează semnul acestuia. Înmulțirea/împărțirea ambelor părți ale unei inegalități cu un număr pozitiv, de asemenea, nu afectează semnul acesteia, dar înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ inversează semnul inegalității!
Puteți pătra ambele părți ale unei ecuații/inegalități NUMAI DACĂ ambele părți sunt nenegative. De exemplu, în inegalitatea din exemplul anterior puteți pătra ambele părți, în inegalitatea \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Trebuie amintit că \[\begin(aliniat) &\sqrt 2\aproximativ 1,4\\ &\sqrt 3\aproximativ 1,7 \end(aliniat)\] Cunoașterea semnificației aproximative a acestor numere vă va ajuta atunci când comparați numerele! \(\bullet\) Pentru a extrage rădăcina (dacă poate fi extrasă) dintr-un număr mare care nu se află în tabelul de pătrate, trebuie mai întâi să determinați între ce „sute” se află, apoi – între care „ zeci”, apoi determinați ultima cifră a acestui număr. Să arătăm cum funcționează acest lucru cu un exemplu.
Să luăm \(\sqrt(28224)\) . Știm că \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), etc. Rețineți că \(28224\) este între \(10\,000\) și \(40\,000\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) este între \(100\) și \(200\) .
Acum să stabilim între ce „zeci” se află numărul nostru (adică, de exemplu, între \(120\) și \(130\)). Tot din tabelul pătratelor știm că \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., apoi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Deci vedem că \(28224\) este între \(160^2\) și \(170^2\) . Prin urmare, numărul \(\sqrt(28224)\) este între \(160\) și \(170\) .
Să încercăm să determinăm ultima cifră. Să ne amintim ce numere cu o singură cifră, la pătrat, dau \(4\) la sfârșit? Acestea sunt \(2^2\) și \(8^2\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) se va termina fie cu 2, fie cu 8. Să verificăm acest lucru. Să găsim \(162^2\) și \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Prin urmare, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Pentru a rezolva în mod adecvat Examenul de stat unificat la matematică, trebuie mai întâi să studiezi material teoretic, care să te introducă în numeroase teoreme, formule, algoritmi etc. La prima vedere, poate părea că acest lucru este destul de simplu. Totuși, găsirea unei surse în care teoria pentru examenul de stat unificat la matematică să fie prezentată într-un mod ușor și ușor de înțeles pentru studenții cu orice nivel de pregătire este de fapt o sarcină destul de dificilă. Manualele școlare nu pot fi ținute întotdeauna la îndemână. Și găsirea formulelor de bază pentru examenul de stat unificat la matematică poate fi dificilă chiar și pe Internet.

De ce este atât de important să studiezi teoria în matematică nu numai pentru cei care susțin examenul de stat unificat?

1. Pentru că îți lărgește orizonturile. Studierea materialelor teoretice la matematică este utilă pentru oricine dorește să obțină răspunsuri la o gamă largă de întrebări legate de cunoașterea lumii din jurul lor. Totul în natură este ordonat și are o logică clară. Acesta este exact ceea ce se reflectă în știință, prin care este posibil să înțelegem lumea.
2. Pentru că dezvoltă inteligența. Prin studierea materialelor de referință pentru examenul de stat unificat la matematică, precum și prin rezolvarea diferitelor probleme, o persoană învață să gândească și să raționeze logic, să formuleze gândurile în mod competent și clar. El dezvoltă capacitatea de a analiza, generaliza și trage concluzii.

Vă invităm să evaluați personal toate avantajele abordării noastre de sistematizare și prezentare a materialelor educaționale.

M-am uitat din nou la semn... Și, să mergem!

Să începem cu ceva simplu:

Doar un minut. asta, ceea ce înseamnă că putem scrie astfel:

Am înţeles? Iată următorul pentru tine:

Nu sunt extrase exact rădăcinile numerelor rezultate? Nicio problemă - iată câteva exemple:

Ce se întâmplă dacă nu există doi, ci mai mulți multiplicatori? Aceeași! Formula de înmulțire a rădăcinilor funcționează cu orice număr de factori:

Acum complet pe cont propriu:

Raspunsuri: Bine făcut! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoști tabla înmulțirii!

Diviziunea rădăcinilor

Am rezolvat înmulțirea rădăcinilor, acum să trecem la proprietatea împărțirii.

Permiteți-mi să vă reamintesc că formula generală arată astfel:

Ceea ce înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu câtul rădăcinilor.

Ei bine, să ne uităm la câteva exemple:

Asta e tot știința. Iată un exemplu:

Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar, după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.

Ce se întâmplă dacă dai peste această expresie:

Trebuie doar să aplicați formula în direcția opusă:

Și iată un exemplu:

Puteți întâlni și această expresie:

Totul este la fel, doar că aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, uitați-vă la subiect și reveniți!). Vă amintiți? Acum haideți să decidem!

Sunt sigur că ai făcut față cu totul, acum hai să încercăm să ridicăm rădăcinile la grade.

Exponentiație

Ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, amintiți-vă semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu.

Deci, dacă pătratăm un număr a cărui rădăcină pătrată este egală, ce obținem?

Ei bine, desigur,!

Să ne uităm la exemple:

E simplu, nu? Ce se întâmplă dacă rădăcina este într-un grad diferit? E bine!

Urmați aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu grade.

Citiți teoria despre subiectul „” și totul va deveni extrem de clar pentru dvs.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile exponenților și factorizați totul:

Totul pare clar cu asta, dar cum se extrage rădăcina unui număr la o putere? Iată, de exemplu, acesta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Apoi rezolvați singur exemplele:

Și iată răspunsurile:

Intrând sub semnul rădăcinii

Ce nu am învățat să facem cu rădăcinile! Tot ce rămâne este să exersezi introducerea numărului sub semnul rădăcină!

Este chiar ușor!

Să presupunem că avem un număr notat

Ce putem face cu el? Ei bine, bineînțeles, ascunde-i pe cei trei sub rădăcină, amintindu-ți că cei trei sunt rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de asta? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Îți face viața mult mai ușoară? Pentru mine, exact așa este! Numai Trebuie să ne amintim că nu putem introduce decât numere pozitive sub semnul rădăcinii pătrate.

Rezolva singur acest exemplu -
Ai reușit? Să vedem ce ar trebui să obțineți:

Bine făcut! Ai reușit să introduci numărul sub semnul rădăcină! Să trecem la ceva la fel de important - să ne uităm la cum să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată!

Comparația rădăcinilor

De ce trebuie să învățăm să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată?

Foarte simplu. Adesea, în expresiile mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (rețineți ce este acesta? Am vorbit deja despre asta astăzi!)

Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe linia de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare problema: nu există calculator în examen și, fără el, cum vă puteți imagina ce număr este mai mare și care este mai mic? Asta este!

De exemplu, determinați care este mai mare: sau?

Nu poți spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea dezasamblată de a introduce un număr sub semnul rădăcină?

Apoi mergeți mai departe:

Ei bine, evident, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina în sine este mai mare!

Acestea. daca atunci, .

De aici concluzionăm ferm că. Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Extragerea rădăcinilor din număr mare

Înainte de aceasta, am introdus un multiplicator sub semnul rădăcinii, dar cum să-l eliminăm? Trebuie doar să-l factorizezi în factori și să extragi ceea ce extragi!

A fost posibil să luăm o cale diferită și să ne extindem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum doriți.

Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați astfel de probleme non-standard ca aceasta:

Să nu ne fie frică, ci să acționăm! Să descompunăm fiecare factor sub rădăcină în factori separați:

Acum încercați singur (fără calculator! Nu va fi la examen):

Acesta este sfârșitul? Să nu ne oprim la jumătate!

Asta e tot, nu e chiar atât de înfricoșător, nu?

S-a întâmplat? Bravo, asa e!

Acum încearcă acest exemplu:

Dar exemplul este o nucă greu de spart, așa că nu vă puteți da seama imediat cum să o abordați. Dar, desigur, ne putem descurca.

Ei bine, să începem factorizarea? Să observăm imediat că puteți împărți un număr la (amintiți-vă semnele de divizibilitate):

Acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):

Ei bine, a funcționat? Bravo, asa e!

Să rezumam

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr nenegativ este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu.
   .
2. Dacă pur și simplu luăm rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat nenegativ.
3. Proprietățile unei rădăcini aritmetice:
4. Când comparăm rădăcinile pătrate, este necesar să ne amintim că, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina însăși este mai mare.

Cum este rădăcina pătrată? Tot clar?

Am încercat să vă explicăm fără nicio bătaie de cap tot ce trebuie să știți la examen despre rădăcina pătrată.

E randul tau. Scrie-ne dacă acest subiect este dificil pentru tine sau nu.

Ați învățat ceva nou sau totul era deja clar?

Scrieți în comentarii și mult succes la examene!