Cum se înmulțesc fracții cu numere întregi. Reguli pentru înmulțirea fracțiilor cu un număr

Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cel mai dificil moment în acele acțiuni a fost reducerea fracțiilor la numitor comun.

Acum este timpul să descoperim înmulțirea și împărțirea. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai ușor de efectuat decât adunarea și scăderea. Pentru început, luați în considerare cel mai simplu caz când există două fracții pozitive fără o parte întreagă dedicată.

Pentru a înmulți două fracții, trebuie să înmulți separat numărătorii și numitorii acestora. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.

Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua „inversată”.

Desemnare:

Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a „întoarce” o fracție, este suficient să schimbați pozițiile numărătorului și numitorului. Prin urmare, întreaga lecție o vom lua în considerare în principal înmulțirea.

Ca rezultat al înmulțirii, o fracție anulabilă poate apărea (și adesea apare) - ea, desigur, trebuie anulată. Dacă, după toate contracțiile, fracția se dovedește a fi incorectă, întreaga parte ar trebui să fie selectată în ea. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, cei mai mari factori și cei mai puțini multipli comuni.

Prin definiție, avem:

Înmulțirea fracțiilor întregi și a fracțiilor negative

Dacă există o parte întreagă în fracții, acestea trebuie convertite în unele incorecte - și abia apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.

Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din intervalul de înmulțire sau chiar eliminat conform următoarelor reguli:

1. Plus și minus dă un minus;
2. Două negative fac o afirmație.

Până acum, aceste reguli se întâlneau doar la adăugarea și scăderea fracțiilor negative, când se cerea să scăpăm de întreaga parte. Pentru producție, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:

1. Tăiați minusurile în perechi până când dispar complet. Într-un caz extrem, poate supraviețui un minus - cel pentru care nu a existat pereche;
2. Dacă nu au mai rămas minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat, deoarece nu a găsit o pereche, îl mutăm în afara limitelor de înmulțire. Obțineți o fracție negativă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Traducem toate fracțiile în fracții incorecte și apoi mutăm minusurile din intervalul de înmulțire. Ce a mai rămas se înmulțește cu regulile uzuale... Primim:

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care stă în fața unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție și nu numai la partea sa întreagă (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).

De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când înmulțiți, acestea sunt cuprinse în paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.

Reducerea fracțiilor din mers

Înmulțirea este o operațiune care necesită foarte mult timp. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica sarcina, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția înainte de înmulțire... Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, pot fi anulați folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Prin definiție, avem:

În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ce a mai rămas din ele sunt marcate cu roșu.

Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii au fost reduse complet. În locul lor, sunt doar câteva care, în general, pot fi omise. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se obțină o reducere completă, dar cantitatea totală de calcul a scăzut în continuare.

Cu toate acestea, în niciun caz nu utilizați această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare acolo pe care doriți doar să le reduceți. Iată, aruncați o privire:

Nu poți face asta!

Eroarea apare din cauza faptului că la adunarea, o sumă apare în numărătorul unei fracții, și nu un produs de numere. Prin urmare, proprietatea principală a fracției nu poate fi aplicată, deoarece în această proprietate este vorba este vorba de înmulțirea numerelor.

Pur și simplu nu există alt motiv pentru reducerea fracțiilor, așa că soluția corectă la problema anterioară arată astfel:

Solutia corecta:

După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.

O altă acțiune pe care o puteți face cu fracțiile este înmulțirea. Vom încerca să explicăm regulile sale de bază atunci când rezolvăm probleme, vom arăta cu ce se înmulțește o fracție obișnuită numar naturalși cum să înmulți corect trei fracții și mai mult.

Să scriem mai întâi regula de bază:

Definiția 1

Dacă înmulțim o fracție comună, atunci numărătorul fracției rezultate va fi egal cu produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul - cu produsul numitorilor acestora. În formă literală, pentru cele două fracții a/b și c/d, aceasta poate fi exprimată ca a b c d = a c b d.

Să ne uităm la un exemplu despre cum să aplicăm corect această regulă. Să presupunem că avem un pătrat a cărui latură este egală cu o unitate numerică. Apoi, aria figurii va fi de 1 mp. unitate. Dacă împărțim pătratul în dreptunghiuri egale cu laturile egale cu 1 4 și 1 8 ale unei unități numerice, obținem că acum este format din 32 dreptunghiuri (deoarece 8 4 = 32). În consecință, aria fiecăruia dintre ele va fi egală cu 1 32 din aria întregii figuri, adică. 1 32 mp unitati.

Avem un fragment umbrit cu laturile egale cu 5 8 unități numerice și 3 4 unități numerice. În consecință, pentru a calcula aria sa, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua. Va fi egal cu 5 8 · 3 4 sq. unitati. Dar putem număra pur și simplu câte dreptunghiuri sunt incluse în fragment: sunt 15, ceea ce înseamnă că suprafata totala este de 15 32 unități pătrate.

Deoarece 5 3 = 15 și 8 4 = 32, putem scrie următoarea egalitate:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Este o confirmare a regulii pe care am formulat-o pentru înmulțirea fracțiilor ordinare, care se exprimă ca a b c d = a c b d. Funcționează la fel pentru fracțiile regulate și neregulate; poate fi folosit pentru a înmulți fracții cu numitori diferiți și aceiași.

Să ne uităm la soluțiile mai multor probleme de înmulțire pentru fracții obișnuite.

Exemplul 1

Înmulțiți 7 11 cu 9 8.

Soluţie

Mai întâi, să calculăm produsul numărătorilor fracțiilor indicate înmulțind 7 cu 9. Avem 63. Apoi calculăm produsul numitorilor și obținem: 11 8 = 88. Să alcătuim cele două numere ale lor răspunsul: 63 88.

Întreaga soluție poate fi scrisă astfel:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Răspuns: 7 11 9 8 = 63 88.

Dacă în răspuns avem o fracție anulabilă, trebuie să ducem calculul la sfârșit și să efectuăm anularea acestuia. Dacă obținem fracția greșită, trebuie să selectăm întreaga parte din ea.

Exemplul 2

Calculați produsul fracțiilor 4 15 și 55 6.

Soluţie

Conform regulii studiate mai sus, trebuie să înmulțim numărătorul cu numărătorul, iar numitorul cu numitorul. Înregistrarea soluției va arăta astfel:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Avem o fracție anulabilă, adică unul care are o divizibilitate cu 10.

Să reducem fracția: 220 90 GCD (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Ca rezultat, am obținut o fracție incorectă, din care selectăm întreaga parte și obținem un număr mixt: 22 9 = 2 4 9.

Răspuns: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Pentru comoditatea calculelor, putem reduce și fracțiile originale înainte de a efectua operația de înmulțire, pentru care trebuie să reducem fracția la forma a · c b · d. Să descompunăm valorile variabilelor în factori primi și să-i reducem pe aceiași.

Să explicăm cum arată folosind datele unei sarcini specifice.

Exemplul 3

Calculați produsul 4 15 55 6.

Soluţie

Să scriem calculele pe baza regulii înmulțirii. Vom obține:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Deoarece 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 și 6 = 2 3, atunci 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Răspuns: 4 15 55 6 = 2 4 9.

O expresie numerică în care are loc înmulțirea fracțiilor ordinare are o proprietate de deplasare, adică, dacă este necesar, putem schimba ordinea factorilor:

a b c d = c d a b = a c b d

Cum se înmulțește o fracție cu un număr natural

Să notăm imediat regula de bază și apoi să încercăm să o explicăm în practică.

Definiția 2

Pentru a înmulți o fracție obișnuită cu un număr natural, trebuie să înmulțiți numărătorul acestei fracții cu acest număr. În acest caz, numitorul fracției finale va fi egal cu numitorul fracției ordinare inițiale. Înmulțirea unei fracții a b cu un număr natural n poate fi scrisă ca o formulă a b n = a n b.

Este ușor de înțeles această formulă dacă vă amintiți că orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită cu un numitor egal cu unu, adică:

a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b

Să ne lămurim gândirea cu exemple specifice.

Exemplul 4

Calculați produsul lui 2 27 cu 5.

Soluţie

Ca rezultat al înmulțirii numărătorului fracției originale cu al doilea factor, obținem 10. În virtutea regulii de mai sus, obținem 10 27 ca rezultat. Întreaga soluție este dată în această postare:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Răspuns: 2 27 5 = 10 27

Când înmulțim un număr natural cu o fracție obișnuită, de multe ori trebuie să abreviam rezultatul sau să-l reprezentăm ca un număr mixt.

Exemplul 5

Condiție: Calculați produsul lui 8 cu 5 12.

Soluţie

Conform regulii de mai sus, înmulțim numărul natural cu numărătorul. Ca rezultat, obținem că 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Fracția finală are semne de divizibilitate cu 2, așa că trebuie să o reducem:

LCM (40, 12) = 4, deci 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Acum trebuie doar să selectăm întreaga parte și să scriem răspunsul final: 10 3 = 3 1 3.

În această intrare, puteți vedea întreaga soluție: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

De asemenea, am putea reduce fracția prin factorizarea numărătorului și numitorului în factori primi, iar rezultatul ar fi exact același.

Răspuns: 5 12 8 = 3 1 3.

O expresie numerică în care un număr natural este înmulțit cu o fracție are și proprietatea de a se deplasa, adică ordinea factorilor nu afectează rezultatul:

a b n = n a b = a n b

Cum să înmulți trei sau mai multe fracții

Putem extinde la acțiunea de înmulțire a fracțiilor obișnuite aceleași proprietăți care sunt caracteristice înmulțirii numerelor naturale. Aceasta rezultă din însăși definiția acestor concepte.

Datorită cunoștințelor proprietăților de combinație și deplasare, este posibil să se înmulțească trei fracții comuneși altele. Este permisă rearanjarea multiplicatorilor în locuri pentru mai multă comoditate sau aranjarea parantezelor, deoarece va fi mai ușor de numărat.

Să arătăm cu un exemplu cum se face acest lucru.

Exemplul 6

Înmulțiți cele patru fracții 1 20, 12 5, 3 7 și 5 8.

Soluție: mai întâi, să facem o înregistrare a piesei. Se obține 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8. Trebuie să înmulțim toți numărătorii și toți numitorii între noi: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8.

Înainte de a începe să înmulțim, putem să ne ușurăm puțin și să factorăm unele numere în factori primi pentru o reducere suplimentară. Acest lucru va fi mai ușor decât reducerea fracției rezultate.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

Răspuns: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9 280.

Exemplul 7

Înmulțiți 5 numere 7 8 12 8 5 36 10.

Soluţie

Pentru comoditate, putem grupa fracția 7 8 cu numărul 8 și numărul 12 cu fracția 5 36, deoarece abrevierile viitoare vor fi evidente pentru noi. Ca rezultat, obținem:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 = 3503 116 2 3

Răspuns: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter

§ 87. Adunarea fracţiilor.

Adunarea fracțiilor are multe asemănări cu adunarea numerelor întregi. Adunarea fracțiilor este o acțiune constând în faptul că mai multe numere (termeni) date sunt combinate într-un singur număr (suma), care conține toate unitățile și fracțiile de unități ale termenilor.

Vom analiza trei cazuri în succesiune:

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiti.
3. Adunarea numerelor mixte.

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.

Luați în considerare un exemplu: 1/5 + 2/5.

Luați segmentul AB (Fig. 17), luați-l ca unitate și împărțiți-l în 5 părți egale, apoi partea AC a acestui segment va fi egală cu 1/5 din segmentul AB și partea aceluiași segment CD va fi egal cu 2/5 AB.

Desenul arată că dacă luați segmentul AD, atunci acesta va fi egal cu 3/5 AB; dar segmentul AD este doar suma segmentelor AC și CD. Prin urmare, putem scrie:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Având în vedere acești termeni și suma rezultată, vedem că numărătorul sumei s-a obținut din adunarea numărătorilor termenilor, iar numitorul a rămas neschimbat.

De aici obținem următoarea regulă: pentru a adăuga fracții cu același numitor, adună numărătorii lor și lasă același numitor.

Să luăm în considerare un exemplu:

2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

Adăugăm fracțiile: 3/4 + 3/8 În primul rând, trebuie reduse la cel mai mic numitor comun:

Legătura intermediară 6/8 + 3/8 nu ar fi putut fi scrisă; am scris-o aici pentru claritate.

Astfel, pentru a adăuga fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le aduceți la cel mai mic numitor comun, să adăugați numărătorii lor și să semnați numitorul comun.

Luați în considerare un exemplu (vom scrie factori suplimentari peste fracțiile corespunzătoare):

3. Adunarea numerelor mixte.

Adăugați numerele: 2 3/8 + 3 5/6.

În primul rând, aducem părțile fracționale ale numerelor noastre la un numitor comun și le rescriem din nou:

Acum să adăugăm secvențial părțile întregi și fracționale:

§ 88. Scăderea fracțiilor.

Scăderea fracțiilor este definită în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Aceasta este o acțiune prin care, pentru o sumă dată de doi termeni și unul dintre ei, se găsește un alt termen. Să luăm în considerare trei cazuri în succesiune:

1. Scăderea fracțiilor cu același numitor.
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Scăderea numerelor mixte.

1. Scăderea fracțiilor cu același numitor.

Să luăm în considerare un exemplu:

13 / 15 - 4 / 15

Luați segmentul AB (Fig. 18), luați-l ca unitate și împărțiți-l în 15 părți egale; atunci o parte din AC a acestui segment va fi 1/15 din AB, iar o parte din AD a aceluiași segment va corespunde cu 13/15 AB. Să lăsăm deoparte segmentul ED, egal cu 4/15 AB.

Trebuie să scădem 4/15 din 13/15. În desen, aceasta înseamnă că trebuie să scazi segmentul ED din segmentul AD. Ca urmare, va rămâne segmentul AE, care este 9/15 din segmentul AB. Deci putem scrie:

Exemplul nostru arată că numărătorul diferenței se obține prin scăderea numărătorilor, dar numitorul rămâne același.

Prin urmare, pentru a scădea fracții cu același numitor, trebuie să scădeți numărătorul scăderii de la numărătorul decrementat și să lăsați același numitor.

2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplu. 3/4 - 5/8

În primul rând, aducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun:

Intermediar 6/8 - 5/8 este scris aici pentru claritate, dar poate fi omis în continuare.

Astfel, pentru a scădea o fracție dintr-o fracție, trebuie mai întâi să le aduceți la cel mai mic numitor comun, apoi să scădeți numărătorul celor scăzuți din numărătorul celei reduse și să semnați numitorul comun sub diferența lor.

Să luăm în considerare un exemplu:

3. Scăderea numerelor mixte.

Exemplu. 10 3/4 - 7 2/3.

Să aducem părțile fracționale ale reducerii și scăderii la cel mai mic numitor comun:

Scădem întregul din întreg și fracția din fracție. Dar există momente când partea fracțională a scăzut este mai mare decât partea fracțională a redus. În astfel de cazuri, trebuie să luați o unitate din întreaga parte a celei diminuate, să o împărțiți în acele părți în care este exprimată partea fracțională și să o adăugați la partea fracționată a celei diminuate. Și apoi scăderea se va face în același mod ca în exemplul anterior:

§ 89. Înmulțirea fracțiilor.

Când studiem înmulțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
2. Aflarea fracției dintr-un număr dat.
3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.
5. Înmulțirea numerelor mixte.
6. Conceptul de interes.
7. Aflarea procentului unui număr dat. Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.

Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu un număr întreg. Înmulțirea unei fracții (multiplicator) cu un întreg (multiplicator) înseamnă alcătuirea sumei acelorași termeni, în care fiecare termen este egal cu multiplicatorul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

Deci, dacă trebuie să înmulțiți 1/9 cu 7, atunci acest lucru se poate face astfel:

Am obținut cu ușurință rezultatul, deoarece acțiunea s-a redus la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Prin urmare,

Luarea în considerare a acestei acțiuni arată că înmulțirea unei fracții cu un număr întreg echivalează cu creșterea acestei fracții de câte ori există unități în întregul număr. Și întrucât o creștere a fracției se realizează fie prin creșterea numărătorului acesteia

sau prin scăderea numitorului acestuia , atunci putem fie să înmulțim numărătorul cu un număr întreg, fie să împărțim numitorul cu acesta, dacă o astfel de împărțire este posibilă.

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, înmulțiți numărătorul cu acel număr întreg și lăsați numitorul același sau, dacă este posibil, împărțiți numitorul la acel număr, lăsând numărătorul neschimbat.

La înmulțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

2. Aflarea fracției dintr-un număr dat. Există multe probleme în rezolvarea cărora trebuie să găsiți sau să calculați o parte dintr-un număr dat. Diferența dintre aceste sarcini față de altele este că ele dau numărul unor obiecte sau unități de măsură și este necesar să se găsească o parte din acest număr, care este indicat și aici printr-o anumită fracție. Pentru a fi mai ușor de înțeles, vom da mai întâi exemple de astfel de probleme, apoi vă vom prezenta modul de rezolvare a acestora.

Obiectivul 1. Am avut 60 de ruble; Am cheltuit 1/3 din acești bani pentru achiziționarea de cărți. Cât au costat cărțile?

Obiectivul 2. Trenul trebuie să parcurgă distanța dintre orașele A și B, egală cu 300 km. A parcurs deja 2/3 din această distanță. Cati kilometri are?

Obiectivul 3.În sat sunt 400 de case, dintre care 3/4 sunt din cărămidă, restul sunt din lemn. Câte case de cărămidă sunt?

Iată câteva dintre numeroasele probleme de găsire a unei fracțiuni dintr-un număr dat cu care trebuie să ne confruntăm. Ele sunt de obicei numite probleme de găsire a fracției dintr-un număr dat.

Rezolvarea problemei 1. De la 60 de ruble. Am cheltuit pe cărți 1/3; Deci, pentru a afla costul cărților, trebuie să împărțiți numărul 60 la 3:

Rezolvarea problemei 2. Sensul problemei este că trebuie să găsiți 2/3 din 300 km. Să calculăm prima 1/3 din 300; acest lucru se realizează prin împărțirea a 300 km la 3:

300: 3 = 100 (aceasta este 1/3 din 300).

Pentru a găsi două treimi din 300, trebuie să dublați coeficientul rezultat, adică să înmulțiți cu 2:

100 x 2 = 200 (aceasta este 2/3 din 300).

Rezolvarea problemei 3. Aici trebuie să determinați numărul de case din cărămidă, care sunt 3/4 din 400. Să găsim primul 1/4 din 400,

400: 4 = 100 (acesta este 1/4 din 400).

Pentru a calcula trei sferturi din 400, coeficientul rezultat trebuie triplat, adică înmulțit cu 3:

100 x 3 = 300 (acesta este 3/4 din 400).

Pe baza soluționării acestor probleme, putem deriva următoarea regulă:

Pentru a găsi valoarea unei fracții dintr-un număr dat, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți câtul rezultat cu numărătorul său.

3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.

Anterior (§ 26) s-a stabilit că înmulțirea numerelor întregi trebuie înțeleasă ca adunarea acelorași termeni (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). În acest paragraf (punctul 1), s-a stabilit că înmulțirea unei fracții cu un număr întreg înseamnă găsirea sumei acelorași termeni egale cu această fracție.

În ambele cazuri, înmulțirea a constat în găsirea sumei acelorași termeni.

Acum trecem la înmulțirea întregului cu o fracție. Aici vom întâlni, de exemplu, o astfel de înmulțire: 9 2/3. Este destul de evident că definiția anterioară a înmulțirii nu se potrivește în acest caz. Acest lucru se poate vedea din faptul că nu putem înlocui o astfel de înmulțire prin adăugarea de numere egale între ele.

Din acest motiv, va trebui să dăm o nouă definiție a înmulțirii, adică, cu alte cuvinte, să răspundem la întrebarea ce trebuie înțeles prin înmulțire cu o fracție, cum trebuie înțeleasă această acțiune.

Sensul înmulțirii unui număr întreg cu o fracție este clarificat din următoarea definiție: înmulțirea unui număr întreg (multiplicator) cu o fracție (multiplicator) înseamnă găsirea acestei fracțiuni a multiplicatorului.

Și anume, înmulțirea a 9 cu 2/3 înseamnă a găsi 2/3 din nouă unități. În paragraful anterior au fost rezolvate astfel de sarcini; deci este ușor să ne dăm seama că vom ajunge cu 6.

Dar acum există un interesant și întrebare importantă: de ce acțiuni atât de aparent diferite, cum ar fi găsirea sumei numerelor egale și găsirea fracției dintr-un număr, sunt numite în aritmetică prin același cuvânt „înmulțire”?

Acest lucru se întâmplă deoarece acțiunea anterioară (repetarea numărului de către sumandule de mai multe ori) și acțiunea nouă (găsirea fracției dintr-un număr) dau un răspuns la întrebări omogene. Aceasta înseamnă că pornim aici de la considerentele că întrebări sau probleme omogene sunt rezolvate prin aceeași acțiune.

Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare următoarea problemă: „1 metru de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 4 m dintr-o astfel de pânză?”

Această problemă se rezolvă prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (4), adică 50 x 4 = 200 (ruble).

Să luăm aceeași problemă, dar în ea cantitatea de pânză va fi exprimată ca număr fracționar: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât va costa 3/4 m dintr-o astfel de cârpă?”

Această problemă trebuie rezolvată și prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (3/4).

Este posibil și de mai multe ori, fără a schimba sensul problemei, să schimbați numerele din ea, de exemplu, luați 9/10 m sau 2 3/10 m etc.

Întrucât aceste sarcini au același conținut și diferă doar în cifre, numim acțiunile folosite pentru a le rezolva prin același cuvânt - înmulțire.

Cum se înmulțește un întreg cu o fracție?

Să luăm numerele întâlnite în ultima problemă:

Conform definiției, trebuie să găsim 3/4 din 50. Mai întâi găsim 1/4 din 50, apoi 3/4.

1/4 din numărul 50 este 50/4;

3/4 din numărul 50 este.

Prin urmare.

Luați în considerare un alt exemplu: 12 5/8 =?

1/8 din 12 este 12/8,

5/8 din numărul 12 sunt.

Prin urmare,

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul acestei fracții ca numitor.

Să scriem această regulă folosind litere:

Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi privită ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparăm regula găsită cu regula de înmulțire a unui număr cu un coeficient, care a fost prezentată în § 38

Trebuie reținut că înainte de a efectua înmulțirea, ar trebui să faceți (dacă este posibil) reduceri, de exemplu:

4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.Înmulțirea unei fracții cu o fracție are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu o fracție, adică atunci când înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să găsiți fracția în factorul din prima fracție (multiplicand).

Și anume, înmulțirea a 3/4 cu 1/2 (jumătate) înseamnă a găsi jumătate din 3/4.

Cum se face înmulțirea unei fracții cu o fracție?

Să luăm un exemplu: de 3/4 ori 5/7. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți 5/7 din 3/4. Găsiți primul 1/7 din 3/4 și apoi 5/7

1/7 din 3/4 va fi exprimat astfel:

5/7 din 3/4 vor fi exprimate astfel:

Prin urmare,

Un alt exemplu: de 5/8 ori 4/9.

1/9 din 5/8 este,

4/9 din numărul 5/8 este.

Prin urmare,

Luând în considerare aceste exemple, se poate deduce următoarea regulă:

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea numitorul produsului.

Această regulă în vedere generala se poate scrie asa:

La înmulțire, este necesar să se facă (dacă este posibil) reduceri. Să luăm în considerare câteva exemple:

5. Înmulțirea numerelor mixte. Deoarece numerele mixte pot fi înlocuite cu ușurință cu fracții improprii, această circumstanță este de obicei folosită la înmulțirea numerelor mixte. Aceasta înseamnă că, în cazurile în care multiplicatorul, sau factorul sau ambii factori sunt exprimați prin numere mixte, atunci aceștia sunt înlocuiți cu fracții incorecte. Să înmulțim, de exemplu, numerele mixte: 2 1/2 și 3 1/5. Să convertim fiecare dintre ele într-o fracție neregulată și apoi vom înmulți fracțiile rezultate după regula înmulțirii unei fracții cu o fracție:

Regulă. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să le înmulțiți conform regulii de înmulțire a unei fracții cu o fracție.

Notă. Dacă unul dintre factori este un întreg, atunci înmulțirea poate fi efectuată pe baza legii distribuției după cum urmează:

6. Conceptul de interes. Când rezolvăm probleme și efectuăm diverse calcule practice, folosim tot felul de fracții. Dar trebuie avut în vedere că multe cantități permit nu oricare, ci subdiviziuni naturale pentru ele. De exemplu, puteți lua o sutime (1/100) dintr-o rublă, va fi o copecă, două sutimi sunt 2 copeici, trei sutimi - 3 copeici. Puteți lua 1/10 de rublă, va fi „10 copeici, sau un ban. Puteți lua un sfert de rublă, adică 25 de copeici, jumătate de rublă, adică 50 de copeici (cincizeci de copeici). Dar practic nu iau, de exemplu, 2/7 ruble, deoarece rubla nu este împărțită în șapte.

Unitatea de măsură a greutății, adică kilogramul, permite în primul rând diviziuni zecimale, de exemplu, 1/10 kg sau 100 g. Și astfel de fracții de kilogram ca 1/6, 1/11, 1/13 sunt neobișnuite.

În general, măsurile noastre (metrice) sunt zecimale și permit diviziuni zecimale.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că este extrem de util și convenabil într-o mare varietate de cazuri să folosiți aceeași metodă (uniformă) de subdivizare a cantităților. Mulți ani de experiență au arătat că o astfel de divizie bine dovedită este divizia „a suta”. Luați în considerare câteva exemple dintr-o mare varietate de domenii ale practicii umane.

1. Prețul cărților a scăzut cu 12/100 din prețul anterior.

Exemplu. Prețul anterior al cărții este de 10 ruble. A scăzut cu 1 rublă. 20 de copeici

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2/100 din suma alocată pentru economii în cursul anului.

Exemplu. Casiera are 500 de ruble, venitul din această sumă pentru anul este de 10 ruble.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5/100 din numărul total de elevi.

EXEMPLU La școală au studiat doar 1.200 de elevi, dintre care 60 au absolvit școala.

O sutime dintr-un număr se numește procent..

Cuvântul „procent” este împrumutat de la latin iar rădăcina sa „cent” înseamnă o sută. Împreună cu prepoziția (pro centum), acest cuvânt înseamnă „peste o sută”. Sensul acestei expresii rezultă din faptul că inițial în Roma antică dobânda erau banii pe care debitorul îi plătea împrumutătorului „pentru fiecare sută”. Cuvântul „cent” se aude în cuvinte atât de familiare: centner (o sută de kilograme), centimetru (numit centimetru).

De exemplu, în loc să spunem că uzina din ultima lună a dat deșeuri 1/100 din toate produsele sale, vom spune asta: fabrica din ultima lună a dat un procent din resturi. În loc să spunem: uzina a produs cu 4/100 mai mult decât planul stabilit, vom spune: uzina a depășit planul cu 4 la sută.

Exemplele de mai sus pot fi exprimate diferit:

1. Prețul cărților a scăzut cu 12 la sută față de prețul anterior.

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2 la sută pe an din suma alocată pentru economii.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5 la sută din toți elevii din școală.

Pentru a scurta litera, se obișnuiește să scrieți simbolul% în locul cuvântului „procent”.

Cu toate acestea, trebuie amintit că în calcule semnul % de obicei nu este scris; acesta poate fi scris în enunțul problemei și în rezultatul final. Când efectuați calcule, trebuie să scrieți o fracție cu numitorul 100 în loc de un întreg cu acest semn.

Trebuie să puteți înlocui un număr întreg cu pictograma indicată cu o fracție cu numitorul 100:

Dimpotrivă, trebuie să vă obișnuiți să scrieți un număr întreg cu semnul indicat în loc de o fracție cu numitorul 100:

7. Aflarea procentului unui număr dat.

Obiectivul 1.Școala a primit 200 de metri cubi. m lemn de foc, cu lemn de foc de mesteacan 30%. Câte lemne de foc de mesteacăn erau?

Semnificația acestei probleme este că lemnul de foc de mesteacăn era doar o parte din lemnul de foc care a fost livrat școlii, iar această parte este exprimată ca o fracțiune de 30/100. Aceasta înseamnă că ne confruntăm cu sarcina de a găsi fracția dintr-un număr. Pentru a o rezolva, trebuie să înmulțim 200 cu 30/100 (problemele de găsire a fracției unui număr se rezolvă prin înmulțirea numărului cu o fracție.).

Aceasta înseamnă că 30% din 200 este egal cu 60.

Fracția 30/100, întâlnită în această problemă, poate fi redusă cu 10. S-ar fi putut efectua această reducere de la bun început; soluția problemei nu s-ar fi schimbat.

Obiectivul 2.În tabără erau 300 de copii de diferite vârste. Copiii de 11 ani au reprezentat 21%, copiii de 12 ani au reprezentat 61% și, în final, copiii de 13 ani au reprezentat 18%. Câți copii de fiecare vârstă erau în tabără?

În această problemă, trebuie să efectuați trei calcule, adică să găsiți succesiv numărul de copii de 11 ani, apoi de 12 ani și, în final, de 13 ani.

Aceasta înseamnă că aici va trebui să găsiți fracțiunea numărului de trei ori. Hai să o facem:

1) Câți copii aveau 11 ani?

2) Câți copii aveau 12 ani?

3) Câți copii aveau 13 ani?

După rezolvarea problemei, este util să adăugați numerele găsite; suma lor ar trebui să fie 300:

63 + 183 + 54 = 300

De asemenea, ar trebui să acordați atenție faptului că suma dobânzilor dată în starea problemei este 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Acest lucru sugerează că numărul total copiii din tabără au fost luați ca 100%.

3 cazul 3. Muncitorul primea 1.200 de ruble pe lună. Dintre aceștia, a cheltuit 65% pe mâncare, 6% - pe un apartament și încălzire, 4% - pe gaz, electricitate și radio, 10% - pentru nevoi culturale și 15% - economisit. Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoile indicate în sarcină?

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să găsiți fracția numărului de 1 200 de 5 ori. Să o facem.

1) Câți bani s-au cheltuit pe mâncare? Problema spune că această cheltuială reprezintă 65% din câștigul total, adică 65/100 din numărul 1200. Să facem calculul:

2) Câți bani s-au plătit pentru un apartament cu încălzire? Raționând ca și precedentul, ajungem la următorul calcul:

3) Câți bani ați plătit pentru gaz, electricitate și radio?

4) Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoi culturale?

5) Câți bani a economisit muncitorul?

Este util să adăugați numerele găsite în aceste 5 întrebări pentru a testa. Suma ar trebui să fie de 1.200 de ruble. Toate câștigurile sunt luate ca 100%, ceea ce este ușor de verificat prin adunarea procentelor indicate în declarația problemei.

Am rezolvat trei probleme. În ciuda faptului că aceste probleme s-au ocupat de lucruri diferite (livrarea lemnelor de foc pentru școală, numărul de copii de diferite vârste, cheltuielile muncitorului), acestea au fost rezolvate în același mod. Acest lucru s-a întâmplat pentru că în toate problemele a fost necesar să se găsească câteva procente din numerele date.

§ 90. Împărțirea fracțiilor.

Când studiem împărțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele aspecte:

1. Împărțirea unui număr întreg cu un număr întreg.
2. Împărțirea unei fracții cu un număr întreg
3. Împărțirea unui număr întreg într-o fracție.
4. Împărțirea unei fracții într-o fracție.
5. Împărțirea numerelor mixte.
6. Găsirea unui număr pentru o fracție dată.
7. Aflarea numărului după procentul său.

Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Împărțirea unui număr întreg cu un număr întreg.

După cum s-a indicat în secțiunea numerelor întregi, împărțirea este o acțiune constând în faptul că pentru un produs dat al doi factori (divizibil) și unul dintre acești factori (divizor) se găsește un alt factor.

Ne-am uitat la împărțirea unui număr întreg cu un întreg în departamentul numerelor întregi. Am întâlnit două cazuri de împărțire acolo: împărțirea fără rest, sau „în întregime” (150: 10 = 15) și împărțirea cu rest (100: 9 = 11 și 1 în rest). Putem, deci, spune că în domeniul numerelor întregi, împărțirea exactă nu este întotdeauna posibilă, deoarece dividendul nu este întotdeauna produsul divizorului cu un număr întreg. După introducerea înmulțirii cu o fracție, putem considera posibil orice caz de împărțire a numerelor întregi (se exclude doar împărțirea cu zero).

De exemplu, împărțirea lui 7 la 12 înseamnă a găsi un număr al cărui produs cu 12 ar fi 7. Acest număr este 7/12 deoarece 7/12 12 = 7. Un alt exemplu: 14:25 = 14/25, deoarece 14/25 25 = 14.

Astfel, pentru a împărți un număr întreg la un număr întreg, trebuie să compuneți o fracție, al cărei numărător este dividendul și numitorul este divizorul.

2. Împărțirea unei fracții cu un număr întreg.

Împărțiți fracția 6/7 la 3. După definiția împărțirii dată mai sus, avem aici produsul (6/7) și unul dintre factorii (3); se cere să se găsească un astfel de al doilea factor, care din înmulțirea cu 3 ar da produsul dat 6/7. Evident, ar trebui să fie de trei ori mai puțin decât această piesă. Aceasta înseamnă că sarcina stabilită în fața noastră a fost să reducem fracția de 6/7 de 3 ori.

Știm deja că scăderea unei fracții se poate face fie prin micșorarea numărătorului acesteia, fie prin creșterea numitorului. Prin urmare, se poate scrie:

V în acest caz numărătorul lui 6 este divizibil cu 3, deci numărătorul trebuie redus de 3 ori.

Să luăm un alt exemplu: împărțiți 5/8 la 2. Aici numărătorul lui 5 nu este divizibil egal cu 2, așa că trebuie să înmulțiți numitorul cu acest număr:

Pe baza acestui fapt, putem formula o regulă: pentru a împărți o fracție cu un întreg, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la acest număr întreg(daca este posibil), lăsând același numitor, sau înmulțiți numitorul fracției cu acest număr, rămânând același numărător.

3. Împărțirea unui număr întreg într-o fracție.

Să presupunem că este necesar să împărțim 5 la 1/2, adică să găsim un număr care, după înmulțirea cu 1/2, dă produsul 5. Evident, acest număr trebuie să fie mai mare decât 5, deoarece 1/2 este o fracție regulată. , iar la înmulțirea numărului pentru o fracție obișnuită, produsul trebuie să fie mai mic decât multiplicabilul. Pentru a fi mai clar, să scriem acțiunile noastre după cum urmează: 5: 1/2 = NS , deci x 1/2 = 5.

Trebuie să găsim un astfel de număr NS , care, dacă este înmulțit cu 1/2, ar da 5. Deoarece înmulțirea unui număr cu 1/2 - aceasta înseamnă găsirea a 1/2 din acest număr, atunci, prin urmare, 1/2 din numărul necunoscut NS este egal cu 5 și numărul întreg NS de două ori mai mult, adică 5 2 = 10.

Deci 5: 1/2 = 5 2 = 10

Sa verificam:

Să luăm un alt exemplu. Să presupunem că doriți să împărțiți 6 la 2/3. Să încercăm mai întâi să găsim rezultatul dorit folosind desenul (Fig. 19).

Fig. 19

Să desenăm un segment AB, egal cu aproximativ 6 unități, și să împărțim fiecare unitate în 3 părți egale. În fiecare unitate, trei treimi (3/3) în întregul segment AB este de 6 ori mai mult, adică. e. 18/3. Conectam cu ajutorul unor paranteze mici 18 segmente obtinute din 2; vor fi doar 9 segmente. Aceasta înseamnă că fracția 2/3 este conținută în 6 unități de 9 ori, sau, cu alte cuvinte, fracția 2/3 este de 9 ori mai mică decât 6 unități întregi. Prin urmare,

Cum puteți obține acest rezultat fără un plan folosind doar calcule? Vom argumenta astfel: se cere să se împartă 6 la 2/3, adică se cere să se răspundă la întrebarea de câte ori 2/3 sunt conținute în 6. Să aflăm mai întâi: de câte ori 1/3 este cuprinse în 6? Într-o unitate întreagă - 3 treimi, iar în 6 unități - de 6 ori mai mult, adică 18 treimi; pentru a găsi acest număr, trebuie să înmulțim 6 cu 3. Aceasta înseamnă că 1/3 este conținută în 6 unități de 18 ori, iar 2/3 este conținută în 6 nu de 18 ori, ci jumătate din câte ori, adică 18: 2 = 9. Prin urmare, când împărțim 6 la 2/3, am făcut următoarele:

De aici obținem regula împărțirii unui număr întreg la o fracție. Pentru a împărți un număr întreg într-o fracție, trebuie să înmulțiți acest număr întreg cu numitorul fracției date și, după ce a făcut din acest produs numărătorul, îl împărțiți la numărătorul fracției date.

Să scriem regula folosind litere:

Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi privită ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparăm regula găsită cu regula împărțirii unui număr la un coeficient, care a fost prezentată în § 38. Rețineți că aceeași formulă a fost obținută acolo.

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

4. Împărțirea unei fracții într-o fracție.

Să presupunem că doriți să împărțiți 3/4 la 3/8. Care va fi numărul care va fi rezultatul împărțirii? Acesta va răspunde la întrebarea de câte ori este conținută fracția 3/8 în fracția 3/4. Pentru a înțelege această problemă, să facem un desen (Fig. 20).

Luați segmentul AB, luați-l ca unitate, împărțiți-l în 4 părți egale și marcați 3 astfel de părți. Segmentul AC va fi egal cu 3/4 din segmentul AB. Să împărțim acum fiecare dintre cele patru segmente inițiale în jumătate, apoi segmentul AB va fi împărțit în 8 părți egale și fiecare astfel de părți va fi egală cu 1/8 din segmentul AB. Să conectăm 3 astfel de segmente cu arce, apoi fiecare dintre segmentele AD și DC va fi egal cu 3/8 din segmentul AB. Desenul arată că segmentul egal cu 3/8 este cuprins în segmentul egal cu 3/4 exact de 2 ori; prin urmare, rezultatul împărțirii poate fi scris după cum urmează:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Să luăm un alt exemplu. Să împărțim 15/16 la 3/32:

Putem raționa astfel: trebuie să găsiți un număr care, după înmulțirea cu 3/32, va da un produs egal cu 15/16. Să scriem calculele astfel:

15 / 16: 3 / 32 = NS

3 / 32 NS = 15 / 16

3/32 număr necunoscut NS sunt 15/16

1/32 dintr-un număr necunoscut NS este,

32/32 de numere NS machiaj.

Prin urmare,

Astfel, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și să faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea, numitorul.

Să scriem regula folosind litere:

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

5. Împărțirea numerelor mixte.

Când împărțiți numere mixte, acestea trebuie mai întâi convertite în fracții neregulate și apoi împărțiți fracțiile rezultate după regulile de împărțire a numerelor fracționale. Să luăm în considerare un exemplu:

Să convertim numerele mixte în fracții improprii:

Acum să împărțim:

Astfel, pentru a împărți numerele mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți după regula împărțirii fracțiilor.

6. Găsirea unui număr pentru o fracție dată.

Printre diversele probleme ale fracțiilor, uneori există acelea în care se dă valoarea unei fracții dintr-un număr necunoscut și este necesar să se găsească acest număr. Acest tip de problemă va fi invers față de problema găsirii fracției dintr-un număr dat; acolo s-a dat un număr și s-a cerut să se găsească o anumită fracție din acest număr, aici se dă o fracțiune dintr-un număr și este necesar să se găsească acest număr în sine. Această idee va deveni și mai clară dacă ne întoarcem la rezolvarea acestui tip de problemă.

Obiectivul 1.În prima zi, geamurile au vitrat 50 de ferestre, adică 1/3 din toate ferestrele din casa construită. Câte ferestre sunt în casa asta?

Soluţie. Problema spune că 50 de ferestre vitrate reprezintă 1/3 din toate ferestrele din casă, ceea ce înseamnă că sunt de 3 ori mai multe ferestre în total, adică.

Casa avea 150 de ferestre.

Obiectivul 2. Magazinul a vândut 1.500 kg de făină, ceea ce reprezintă 3/8 din oferta totală de făină a magazinului. Care a fost provizia inițială de făină a magazinului?

Soluţie. Din declarația problemei se vede că cele 1.500 kg de făină vândute reprezintă 3/8 din stocul total; Aceasta înseamnă că 1/8 din acest stoc va fi de 3 ori mai puțin, adică pentru a-l calcula, trebuie să reduceți 1500 de 3 ori:

1.500: 3 = 500 (adică 1/8 din stoc).

Evident, întregul stoc va fi de 8 ori mai mare. Prin urmare,

500 8 = 4000 (kg).

Depozitul inițial de făină din magazin era de 4.000 kg.

Din luarea în considerare a acestei probleme se poate deduce următoarea regulă.

Pentru a găsi numărul pentru o anumită valoare a fracției sale, este suficient să împărțiți această valoare la numărătorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției.

Am rezolvat două probleme de găsire a unui număr dintr-o fracție dată. Asemenea probleme, după cum se vede în mod deosebit din cele din urmă, sunt rezolvate prin două acțiuni: împărțirea (când se găsește o parte) și înmulțire (când se găsește întregul număr).

Totuși, după ce am studiat împărțirea fracțiilor, problemele de mai sus pot fi rezolvate într-o singură acțiune și anume: împărțirea cu o fracție.

De exemplu, ultima sarcină poate fi rezolvată într-un singur pas, astfel:

În viitor, vom rezolva problema găsirii unui număr prin fracția sa într-o singură acțiune - împărțire.

7. Aflarea numărului după procentul său.

În aceste sarcini, va trebui să găsiți un număr, cunoscând câteva procente din acest număr.

Obiectivul 1. La începutul acestui an, am primit 60 de ruble de la o bancă de economii. venit din suma pe care am pus-o pe economii acum un an. Cati bani am pus intr-o banca de economii? (Casierele oferă contribuabililor un venit de 2% pe an.)

Sensul problemei este că o anumită sumă de bani a fost depusă de mine într-o casă de economii și a rămas acolo timp de un an. După un an, am primit 60 de ruble de la ea. venit, care este 2/100 din banii pe care i-am pus. Câți bani am băgat?

Prin urmare, cunoscând o parte din acești bani, exprimați în două moduri (în ruble și în fracție), trebuie să găsim întreaga sumă, necunoscută până acum. Aceasta este o sarcină obișnuită de a găsi un număr având în vedere fracția sa. Următoarele sarcini sunt rezolvate pe divizie:

Aceasta înseamnă că 3000 de ruble au fost puse în banca de economii.

Obiectivul 2. Pescarii au îndeplinit planul lunar cu 64% în două săptămâni, după ce au recoltat 512 tone de pește. Care era planul lor?

Din declarația problemei se știe că pescarii au îndeplinit o parte din plan. Această parte este egală cu 512 tone, ceea ce reprezintă 64% din plan. Nu știm câte tone de pește trebuie pregătite conform planului. Găsirea acestui număr va fi soluția problemei.

Astfel de sarcini sunt rezolvate prin împărțirea:

Aceasta înseamnă că, conform planului, trebuie pregătite 800 de tone de pește.

Obiectivul 3. Trenul a mers de la Riga la Moscova. Când a depășit kilometrul 276, unul dintre pasageri l-a întrebat pe conductorul care trecea pe ce parte a drumului au trecut deja. La aceasta dirijorul a răspuns: „Am parcurs deja 30% din întregul traseu”. Care este distanța de la Riga la Moscova?

Din declarația problemei se poate observa că 30% din traseul de la Riga la Moscova este de 276 km. Trebuie să găsim întreaga distanță dintre aceste orașe, adică pentru o anumită parte, găsim întregul:

§ 91. Numerele reciproc reciproce. Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea.

Luați fracția 2/3 și mutați numărătorul la numitor, astfel încât obțineți 3/2. Am obținut inversul acestei fracții.

Pentru a obține inversul fracției date, trebuie să puneți numărătorul acesteia în locul numitorului și numitorul în locul numărătorului. În acest fel, putem obține reciproca oricărei fracții. De exemplu:

3/4, invers 4/3; 5/6, invers 6/5

Două fracții cu proprietatea că numărătorul primei este numitorul celui de-al doilea, iar numitorul primei este numărătorul celui de-al doilea, se numesc reciproc invers.

Acum să ne gândim ce fracție va fi inversa lui 1/2. Evident, va fi 2/1, sau doar 2. Căutând inversul fracției date, obținem un număr întreg. Și acest caz nu este unul izolat; dimpotrivă, pentru toate fracțiile cu numărătorul 1 (unu), numerele întregi vor fi inverse, de exemplu:

1/3, invers 3; 1/5, invers 5

Deoarece atunci când căutăm fracții reciproce ne-am întâlnit și cu numere întregi, în cele ce urmează vom vorbi nu despre fracții reciproce, ci despre numere reciproce.

Să ne dăm seama cum să scriem reciproca unui număr întreg. Pentru fracții, acest lucru poate fi rezolvat simplu: trebuie să puneți numitorul în locul numărătorului. În același mod, puteți obține numărul invers pentru un întreg, deoarece orice număr întreg poate avea un numitor 1. Prin urmare, numărul invers lui 7 va fi 1/7, deoarece 7 = 7/1; pentru numărul 10, inversul va fi 1/10, deoarece 10 = 10/1

Acest gând poate fi exprimat în alt mod: inversul unui număr dat se obține împărțind unul la un număr dat... Această afirmație este valabilă nu numai pentru numere întregi, ci și pentru fracții. Într-adevăr, dacă vrem să scriem reciproca fracției 5/9, atunci putem lua 1 și îl împărțim la 5/9, adică.

Acum să subliniem unul proprietate numere reciproc reciproce, care ne vor fi utile: produsul numerelor reciproc reciproce este egal cu unu. Intr-adevar:

Folosind această proprietate, putem găsi reciproce în felul următor. Să presupunem că trebuie să găsiți inversul lui 8.

Să o notăm prin literă NS , apoi 8 NS = 1, prin urmare NS = 1/8. Să găsim un alt număr, inversul lui 7/12, notăm-l printr-o literă NS , apoi 7/12 NS = 1, prin urmare NS = 1: 7/12 sau NS = 12 / 7 .

Am introdus aici conceptul de numere reciproc reciproce pentru a completa puțin informațiile despre împărțirea fracțiilor.

Când împărțim numărul 6 la 3/5, facem următoarele:

Acordați o atenție deosebită expresiei și comparați-o cu cea dată:.

Dacă luăm expresia separat, fără legătură cu cea anterioară, atunci este imposibil să rezolvăm problema de unde provine: de la împărțirea a 6 la 3/5 sau de la înmulțirea a 6 cu 5/3. În ambele cazuri, rezultatul este același. Deci putem spune că împărțirea unui număr la altul poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu reciproca divizorului.

Exemplele pe care le oferim mai jos susțin pe deplin această concluzie.

Numerele fracționale obișnuite îi întâlnesc mai întâi pe școlari în clasa a 5-a și îi însoțesc pe tot parcursul vieții, deoarece în viața de zi cu zi este adesea necesar să se ia în considerare sau să folosească un obiect nu în întregime, ci în bucăți separate. Începutul studiului acestui subiect este acțiunile. Acțiunile sunt părți egale, în care se împarte cutare sau cutare subiect. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se exprime, de exemplu, lungimea sau prețul unei mărfuri ca un număr întreg, ar trebui să se țină seama de părți sau fracțiuni ale unei anumite măsuri. Format din verbul „despărțire” - a împărți în părți și având rădăcini arabe, în secolul al VIII-lea cuvântul „fracție” însuși a apărut în rusă.

Expresiile fracționale au fost mult timp considerate cel mai dificil domeniu al matematicii. În secolul al XVII-lea, când au apărut primele manuale de matematică, acestea au fost numite „numere sparte”, ceea ce era foarte greu de afișat în înțelegerea oamenilor.

Aspect modern reziduurile fracționale simple, dintre care părți sunt separate printr-o linie orizontală, au fost promovate pentru prima dată de Fibonacci - Leonardo din Pisa. Lucrările sale sunt datate în 1202. Dar scopul acestui articol este de a explica simplu și clar cititorului cum are loc înmulțirea fracțiilor mixte cu diferiți numitori.

Înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți

Inițial, merită determinat varietăți de fracții:

• corect;
• gresit;
• amestecat.

În continuare, trebuie să vă amintiți cum are loc înmulțirea numerelor fracționale cu aceiași numitori. Însăși regula acestui proces este ușor de formulat independent: rezultatul înmulțirii fracțiilor simple cu aceiași numitori este o expresie fracțională, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor acestor fracții. . Adică, de fapt, noul numitor este pătratul unuia dintre cele existente.

La înmulțire fracții simple cu numitori diferiți pentru doi sau mai mulți factori, regula nu se schimbă:

A /b * c/d = a * c / b * d.

Singura diferență este că numărul format sub linia fracțională va fi produsul unor numere diferite și, desigur, este imposibil să-l numim pătratul unei expresii numerice.

Merită să luați în considerare înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți cu exemple:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Exemplele folosesc modalități de reducere a expresiilor fracționale. Puteți anula numai numerele numărătorului cu numerele numitorului; factorii adiacenți deasupra sau sub linia fracțională nu pot fi anulați.

Alături de numerele fracționale simple, există și conceptul de fracții mixte. Un număr mixt este format dintr-un număr întreg și o parte fracțională, adică este suma acestor numere:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Cum funcționează înmulțirea?

Mai multe exemple sunt sugerate pentru a fi luate în considerare.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Exemplul folosește înmulțirea unui număr cu parte fracționară obișnuită, puteți nota regula pentru această acțiune prin formula:

A * b/c = a * b /c.

De fapt, un astfel de produs este suma acelorași resturi fracționale, iar numărul de termeni indică acest număr natural. Un caz special:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Există o altă opțiune pentru a rezolva înmulțirea unui număr cu un rest fracționar. Trebuie doar să împărțiți numitorul la acest număr:

d * e/f = e/f:d.

Este util să folosiți această tehnică atunci când numitorul este împărțit la un număr natural fără rest sau, după cum se spune, complet.

Convertiți numerele mixte în fracții improprii și obțineți produsul în modul descris anterior:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Acest exemplu implică o modalitate de a reprezenta o fracție mixtă într-una improprie, poate fi reprezentată și ca formula generala:

A bc = a * b + c / c, unde numitorul noii fracții se formează prin înmulțirea părții întregi cu numitorul și adăugarea acesteia la numărătorul restului fracțional inițial, iar numitorul rămâne același.

Acest proces funcționează și invers. Pentru a selecta întreaga parte și restul fracționar, trebuie să împărțiți numărătorul fracției improprie la numitorul său „colț”.

Înmulțirea fracțiilor improprie produs în mod convențional. Când înregistrarea trece sub o singură linie fracțională, după caz, este necesar să se reducă fracțiile pentru a reduce numerele prin această metodă și este mai ușor să se calculeze rezultatul.

Există mulți ajutoare pe Internet pentru a rezolva chiar și probleme matematice complexe în diferite variante de programe. Un număr suficient de astfel de servicii își oferă ajutorul în numărarea înmulțirii fracțiilor cu numere diferite în numitori - așa-numitele calculatoare online pentru calcularea fracțiilor. Ei sunt capabili nu numai să înmulțească, ci și să efectueze toate celelalte operații aritmetice simple cu fracții obișnuite și numere mixte. Nu este dificil să lucrezi cu el, câmpurile corespunzătoare sunt completate pe pagina site-ului, se selectează semnul acțiunii matematice și se apasă „calculează”. Programul calculează automat.

Tema operațiilor aritmetice cu numere fracționale este relevantă pe tot parcursul educației elevilor de mijloc și de liceu. În liceu nu mai sunt considerate cele mai simple tipuri, dar expresii fracționale întregi, dar cunoașterea regulilor de transformare și calcule, obținută anterior, se aplică în forma sa inițială. Cunoștințele de bază bine stăpânite oferă încredere deplină în soluționarea cu succes a celor mai dificile probleme.

În concluzie, este logic să cităm cuvintele lui Lev Nikolaevici Tolstoi, care a scris: „Omul este o fracțiune. Nu stă în puterea omului să-și mărească numărătorul - demnitatea, dar fiecare își poate micșora numitorul - opinia sa despre sine, iar prin această scădere se poate apropia de perfecțiunea sa. "

) și numitorul după numitor (se obține numitorul produsului).

Formula de înmulțire a fracțiilor:

De exemplu:

Înainte de a începe înmulțirea numărătorilor și numitorilor, trebuie să verificați posibilitatea reducerii fracției. Dacă puteți reduce fracția, atunci vă va fi mai ușor să faceți calcule suplimentare.

Împărțirea unei fracții obișnuite într-o fracție.

Împărțirea fracțiilor cu participarea unui număr natural.

Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, convertiți un număr întreg într-o fracție cu unu la numitor. De exemplu:

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Reguli pentru înmulțirea fracțiilor (mixte):

• conversia fracțiilor mixte în fracții neregulate;
• înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor;
• reducem fracția;
• dacă ai o fracție incorectă, atunci transformă fracția incorectă într-una mixtă.

Notă! Pentru a înmulți o fracție mixtă cu o altă fracție mixtă, trebuie mai întâi să le aduceți sub formă de fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.

A doua modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural.

Poate fi mai convenabil să folosiți a doua metodă de înmulțire a unei fracții obișnuite cu un număr.

Notă! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul neschimbat.

Din exemplul de mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul fracției este împărțit fără rest la un număr natural.

Fracții cu mai multe etaje.

În liceu, se găsesc adesea fracții cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:

Pentru a aduce o astfel de fracție la forma sa obișnuită, se utilizează împărțirea prin 2 puncte:

Notă!În împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Fii atent, aici este ușor să te încurci.

Notă, de exemplu:

Când împărțiți unul cu orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, doar inversată:

Sfaturi practice pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor:

1. Cel mai important lucru în lucrul cu expresii fracționale este acuratețea și grija. Faceți toate calculele cu atenție și exactitate, cu concentrare și claritate. Este mai bine să scrii câteva rânduri în plus într-o ciornă decât să te încurci în calculele din cap.

2. În sarcinile cu diferite tipuri de fracții - mergeți la forma fracțiilor obișnuite.

3. Reduceți toate fracțiile până când devine imposibil de redus.

4. Expresiile fracționale cu mai multe etaje sunt convertite în expresii obișnuite, folosind împărțirea prin 2 puncte.

5. Împărțiți mental unitatea într-o fracție, pur și simplu răsturnând fracția.