Cum să găsiți o valoare medie. Distracție matematică
Semnele de unități de agregate statistice sunt diferite în sensul lor, de exemplu, salariul lucrătorilor unei profesii de orice întreprindere nu sunt aceleași în aceeași perioadă, prețurile pieței sunt diferite în același produs, randamentul de culturi în fermele districtului etc. Prin urmare, pentru a determina valoarea atributului caracteristic al întregului set de unități, calculați valorile medii.
valoarea medie –
aceasta este o caracteristică generalizată a unui set de valori individuale ale unei anumite caracteristici cantitative.
Combinația studiată de baza cantitativă constă în valori individuale; Acestea au un impact atât asupra cauzelor comune, cât și a condițiilor individuale. În valoarea medie a deviațiilor, este rambursată caracteristică a valorilor individuale. Media, fiind o funcție a multitudinii de valori individuale, reprezintă întregul set al întregului set și reflectă faptul că inerentele tuturor unităților sale.
Media calculată pentru agregatele constând din unități calitative omogene, se numește media medie. De exemplu, puteți calcula salariul mediu lunar al unui lucrător al unui grup profesional (Miner, Bibliotecarul medicului). Desigur, nivelurile salariului lunar al minerilor în virtutea diferenței de calificări, experiența muncii petrecute în luna de timp și mulți alți factori diferă unul de celălalt și de nivelul salariilor medii. Cu toate acestea, la nivel de mijloc, principalii factori care afectează nivelul salariilor se reflectă și diferențele care apar ca urmare a caracteristicilor individuale ale angajatului sunt rambursate reciproc. Salariul mediu reflectă nivelul tipic al salariilor pentru acest tip de lucrători. Obținerea unei medii tipice trebuie să precede analiza cât de mult un set de foarte omogene. Dacă totalitatea constă în părțile lor individuale, acesta trebuie împărțit în grupuri tipice (temperatura medie în spital).
Valorile medii utilizate ca caracteristici pentru agregatele neomogene sunt numite media de sistem. De exemplu, valoarea medie a produsului intern brut (PIB) pe cap de locuitor, consumul mediu al diferitelor grupe de bunuri pe persoană și alte cantități similare reprezentând caracteristicile generaliste ale statului ca sistem economic unic.
Media trebuie calculată pentru agregatele constând dintr-un număr suficient de mare de unități. Respectarea acestei condiții este necesară pentru a intra în vigoare legea numărului mare, ca urmare a căreia deviațiile aleatorie ale valorilor individuale din tendința generală sunt rambursate reciproc.
Tipuri de mediu și metode de calcul
Alegerea formei medii este determinată de conținutul economic al unui anumit indicator și al datelor sursă. Cu toate acestea, orice valoare medie trebuie calculată astfel încât atunci când o înlocuiesc, fiecare opțiune a atributului mediu nu a schimbat finala, generalizarea sau, așa cum este obișnuită, indicatorcare este asociat cu indicatorul mediu. De exemplu, atunci când înlocuiți vitezele reale pe secțiuni separate ale căilor lor viteza medie Să nu schimbați distanța totală parcursă vehicul în același timp; La înlocuirea salariilor efective ale angajaților individuali, salariul mediu al companiei nu ar trebui să schimbe fundația salarială. În consecință, în fiecare caz particular, în funcție de natura datelor disponibile, există o valoare medie reală a indicatorului, proprietăți adecvate și esența fenomenului socio-economic subiacent.
Cea mai frecvent aplicată aritmetică medie, armonică medie, geometrică medie, cubică mediedratic și medie medie.
Mediile enumerate sunt clasificate puteremediu și combinat cu formula generală:
,
unde - semnificația medie a caracteristicilor studiate;
m - indicatorul gradului mediu;
- valoarea curentă (opțiunea) caracteristica medie;
N este numărul de semne.
În funcție de valoarea indicatorului m distinge următoarele tipuri de mediu de putere:
la m \u003d -1 - armonica medie;
la m \u003d 0 - geometric mediu;
la m \u003d 1 - aritmetica medie;
la m \u003d 2 - pavilion mediu;
Cu m \u003d 3 - mediu cubic.
Atunci când utilizați aceleași date sursă, cu atât este mai mare indicatorul M în formula de mai sus, cu atât valoarea medie a valorii medii:
.
Această proprietate a mediului de putere crește cu o creștere a gradului de determinare a funcției este numită majoreuance regulă mediu.
Fiecare dintre mediile marcate pot achiziționa două forme: uşorși pâsâială.
Forma medie simplăse utilizează când media este calculată prin date primare (non-majore). Forma ponderată- atunci când se calculează media conform datelor secundare (grupate).
Aritmeticul de mijloc
Aritmetica medie este utilizată atunci când setul total este suma tuturor valorilor individuale ale caracteristica variabilă. Trebuie remarcat faptul că dacă tipul de dimensiune medie nu este specificat, se înțelege aritmetica medie. Formula sa logică are forma: 
Media aritmetică simplă calculată conform datelor non-majore
Conform formulei: 
sau,
unde - valorile individuale ale caracteristicilor;
j este numărul de secvență al unității de observare, care se caracterizează prin valoare;
N este numărul de unități de observare (totalul totalității).
Exemplu. Prelegerea "Rezumat și grupare a datelor statistice" au considerat rezultatele observrii experienței de lucru a brigăzii de 10 persoane. Calculați brigadele de muncă a experienței de lucru medii. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
Conform formulei aritmeticul de mijloc Simplă calculată și mediu în rândul cronologicDacă intervalele de timp pentru care sunt prezentate valorile semnalelor sunt egale.
Exemplu. Volumul produselor vândute pentru primul trimestru a fost de 47 de ani. un., pentru al doilea 54, pentru a treia 65 și a patra 58 zi. Unități. Cifra de afaceri mijlocie este (47 + 54 + 65 + 58) / 4 \u003d 56 Den. Unități.
Dacă rândul cronologic prezintă indicatori de cuplu, atunci când se calculează media, acestea sunt înlocuite cu jumătate din valorile la începutul și sfârșitul perioadei.
Dacă momentele sunt mai mult de două și intervalele dintre ele sunt egale, atunci media este calculată de formula cronologică mijlocie
,
unde n- numărul de momente de timp
În cazul în care datele sunt grupate prin semne
(adică o gamă variațională discretă de distribuție) cu rare pâsâială aritmeticăcalculată folosind frecvențele sau frecvențele de observare a valorilor specifice ale caracteristica, numărul căruia (k) semnificativ mai puțin număr Observații (n).
,
,
unde k este numărul de grupuri de serie de variații,
I este numărul seriei de variație.
Deoarece, și, obținem formule utilizate pentru calcule practice:
și
Exemplu. Calculați brigadele de lucru medii de lucru pe un rând grupat.
a) Utilizarea frecvențelor:
b) Folosirea frecvențelor:
În cazul în care datele sunt grupate prin intervale
. Prezentat sub formă de serie de distribuție intervală, la calcularea aritmeticii medii, semnul semnului durează mijlocul intervalului, pe baza ipotezei despre distribuirea uniformă a unităților de combinare la acest interval. Calculul se efectuează prin formule:
și
Unde este mijlocul intervalului:
unde și limitele inferioare și superioare ale intervalelor (cu condiția ca limita superioară a acestui interval să coincide cu granița inferioară a intervalului următor).
Exemplu. Calculați seria de variație a intervalului aritmetic mediu, construită în funcție de rezultatele studiului lucrătorilor anuali ai salariilor (a se vedea conferința "Rezumatul și gruparea datelor statistice").
Tabelul 1 - Seria de distribuție variația intervalului.
Intervale, UAH. |
Frecvență, oameni |
Frecvență |
Interval de mijloc |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
uAH. sau 
uAH.
Aritmetica medie, calculată pe baza datelor sursă și a variariilor intervalului nu poate coincide datorită distribuției inegale a valorilor atributului în interiorul intervalelor. În acest caz, pentru calcularea mai precisă a ponderii medii aritmetice, nu este necesar să se utilizeze mijlocul intervalelor, dar aritmeticul mediu simplu, calculat pentru fiecare grup ( grupul Mijlociu). Media calculată de media grupului utilizând o formulă ponderată a calculului se numește media generală.
Aritmetica medie are o serie de proprietăți.
1. Opțiunea de abateri din media este zero:
.
2. Dacă opțiunea Toate valorile crește sau scade cu valoarea A, atunci valoarea medie crește sau scade la aceeași valoare A: 
3. Dacă fiecare opțiune trebuie să crească sau să scadă la timp, valoarea medie va crește sau scădea cu același număr de ori:
sau 
4. Opțiunea de funcționare a lucrărilor la frecvențe este egală cu produsul valorii medii în cantitatea de frecvențe: 
5. Dacă toate frecvențele sunt împărțite sau multiplicate cu orice număr, atunci aritmeticul mediu nu se va schimba: 
6) Dacă în toate intervalele de frecvență sunt egale unul cu celălalt, atunci ponderat media aritmetic este egal cu aritmetica de mijloc simplă: 
,
unde K este numărul de grupuri de serie de variații.
Utilizarea proprietăților mediei vă permite să simplificați calculul acestuia.
Să presupunem că toate variantele (x) sunt reduse pentru prima dată cu același număr A și apoi reduse uneori. Cea mai mare simplificare se realizează atunci când este selectată semnificația mijlocului intervalului cu cea mai mare frecvență și ca în dimensiunea intervalului (pentru seria cu aceleași intervale). Valoarea se numește începutul referinței, astfel încât această metodă de calculare a mediului este numită sposo.b. om referire la zero condiționată sau metoda de moment.
După o astfel de transformare, obținem o nouă gamă variațională de distribuție, opțiuni pentru care sunt egale. Aritmetica lor medie, numită moment prima comanda,
se exprimă în formula și în conformitate cu cea de-a doua și a treia proprietate a aritmeticii medii egale cu media variantei inițiale, redusă mai întâi la A, și apoi la un moment dat, adică ..
Pentru a primi media valabilă(Rata inițială medie) necesită momentul de prima comandă pentru a multiplica și a adăuga o: 
Calculul aritmeticii de mijloc conform metodei momentelor este ilustrat de tabelul de date. 2.
Tabelul 2 - Distribuția angajaților atelierului de întreprindere
Experiența lucrătorilor, ani |
Cantitatea de lucrători |
Interval de mijloc |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
Găsim momentul primului ordin 
. Apoi, știind că a \u003d 17,5 și b \u003d 5, calculează experiența medie de lucru a lucrătorilor atelierului:
ani
Armonică medie
După cum se arată mai sus, aritmetica medie este utilizată pentru a calcula valoarea caracteristică medie în cazurile în care variantele sale x și frecvența lor f sunt cunoscuți.
Dacă informațiile statistice nu conțin frecvențe f în funcție de anumite variante X ale setului și este reprezentată ca o lucrare, formula este aplicată armonică medie suspendată. Pentru a calcula media, denotăm, de unde. Înlocuirea acestor expresii în formula aritmetică mijlocie cântărind, obținem formula armonică medie suspendată: 
,
unde - volumul (greutatea) semnelor indicatorului în intervalul cu numărul I (i \u003d 1,2, ..., k).
Astfel, armonicul mediu se aplică în cazurile în care sumarea nu este supusă opțiunilor în sine, dar inversarea valorilor lor: 
.
În cazurile în care greutatea fiecărei opțiuni este egală cu una, adică. Semnele inverse individuale se găsesc o singură dată, se aplică armonică medie simplă:
,
unde - opțiunile individuale pentru semnul invers, care au loc o dată;
N - Numărul de opțiuni.
Dacă în două părți ale setului de numere și există armonici medii, media totală este calculată prin formula: 
și numită media armonică suspendată a mediului de grup.
Exemplu. În cursul tranzacționării la schimbul valutar pentru prima oră de lucru, au fost încheiate trei tranzacții. Datele privind suma vânzărilor hrivnei și cursul hrivnei față de dolarul american sunt date în tabel. 3 (coloanele 2 și 3). Determinați cursul de mijloc al hrivnei în raport cu dolarul american pentru prima oră de tranzacționare.
Tabelul 3 - Datele privind tranzacționarea la schimbul valutar
Rata medie a dolarului este determinată de raportul dintre suma vândută în toate tranzacțiile de grivne la cantitatea de dolari dobândită ca urmare a acelorași tranzacții. Cantitatea totală a vânzării hrivnei este cunoscută din coloana a 2 tabele, iar numărul de dolari achiziționate în fiecare tranzacție este determinat prin împărțirea valorii vânzării hrivnei la cursul său (Graficul 4). În total, au fost achiziționate 22 de milioane de dolari în timpul celor trei tranzacții. Deci, cursul de mijloc al hrivnei pentru un dolar a fost 
.
Valoarea obținută este reală, deoarece Înlocuirea acestora a cursurilor actuale de hrivna în tranzacții nu vor modifica rezumatul vânzărilor hrivnei care servește ca determinarea: milioane UAH.
Dacă a fost utilizat aritmeticul mediu pentru a calcula, adică 
Hrivna, apoi la cursul de schimb pentru achiziționarea a 22 milioane de dolari. Ar fi necesar să cheltuiți 110,66 milioane UAH, ceea ce nu este adevărat.
Medium Geometric.
Geometricul mediu este utilizat pentru a analiza dinamica fenomenelor și pentru a determina coeficientul mediu de creștere. La calcularea mediului geometric, valorile caracteristice individuale sunt indicatori relativi ai difuzoarelor construite sub formă de valori ale lanțului ca relația fiecărui nivel la cel precedent.
Geometricul mediu simplu calculat prin formula: 
,
unde este semnul lucrării,
N este numărul de valori medii.
Exemplu.Numărul de infracțiuni înregistrate în 4 ani a crescut cu 1,57 ori, inclusiv de 1,08 ori, pentru a doua - 1,1 ori, pentru a 3-a - 1.18 și pentru a 4-a - 1,12 ori. Apoi rata medie anuală de creștere a numărului de infracțiuni este:, adică. Numărul de crime înregistrate au crescut anual o medie de 12%.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Pentru a calcula ponderația medie patrată, determinăm și intrăm la masă și. Apoi, valoarea medie a abaterilor de lungime a produselor din norma specificată este: 
Aritmetica medie în acest caz ar fi necorespunzătoare, deoarece Ca rezultat, vom obține abatere zero.
Utilizarea patratului mediu va fi discutată în continuare în indicatorii de variație.
Cea mai comună formă de indicatori statistici utilizați în studiile socio-economice este valoarea medie care este o caracteristică cantitativă generalizată a unui semn al unui agregat statistic. Valorile medii sunt ca și cum "reprezentanții" întregului număr de observații. Este posibil să se determine media în multe cazuri prin raportul inițial al media (ECH) sau cu formula sa logică :. De exemplu, pentru calcularea salariului mediu al angajaților întreprinderii, este necesar un fond de salarizare generală pentru a împărți numărul de angajați: număratorul raportului inițial al media reprezintă indicatorul său determinant. Pentru salariul mediu, acest indicator definitoriu este fundația salarială. Pentru fiecare indicator utilizat în analiza socio-economică, este posibil să se compileze doar o adevărată relație inițială pentru a calcula media. De asemenea, trebuie adăugat că, pentru a estima mai precis abaterea standard a probelor mici (cu numărul de elemente mai mici de 30), în numitorul de exprimare sub rădăcină este necesar să se utilizeze n., dar n-1.
Conceptul și tipurile de valori medii
Valoarea medie - Acesta este un indicator generalizat al unui agregat statistic, care rambursează diferențele individuale în valorile cantităților statistice, permițându-vă să comparați diferitele agregate între ele. Există Clasa 2. Valori medii: putere și structurală. Mediile structurale includ modă și median dar cel mai adesea aplicat media de puterespecii diferite.Valorile medii de putere
Mediul puterii poate fi simplu și pâsâială.
O valoare medie simplă se calculează în prezența a două valori statistice non-comerciale situate într-o ordine arbitrară din următoarele formula generală Puterea medie (la diferite tipuri de k (m)):
Valoarea medie ponderată se calculează pe valorile statistice grupate utilizând următoarea formulă generală:
Unde X. - valoarea medie a fenomenului studiat; X i - i-o opțiune de simptome medii;
f i - greutatea opțiunii i-la.
Unde X este valorile valorilor statistice individuale sau ale grupului de intervale de grupare;
M este un indicator al gradului din care depind următoarele tipuri de medii de putere:
la m \u003d -1 armonică medie;
la m \u003d 0 geometrică medie;
la m \u003d 1 aritmetică medie;
la m \u003d 2 medii pavative;
Cu m \u003d 3 mediu cubic.
Folosind formule generale pentru medii simple și ponderate la indicatori diferiți ai gradului M, obținem formule private de fiecare tip, care vor fi luate în considerare în detaliu.
Aritmeticul de mijloc
Aritmetica medie - momentul inițial al primei ordini, așteptarea matematică a valorilor variabilei aleatorie cu un număr mare de teste;
Aritmetica medie este cea mai frecvent utilizată valoare medie, care este obținută dacă este substituită în formula generală M \u003d 1. Aritmeticul de mijloc simplu Are următoarea formă:
sau 
Unde X este valorile pentru care trebuie calculată valoarea medie; N este numărul total de valori x (numărul de unități din agregatul studiat).
De exemplu, un student a trecut cele 4 examene și a primit următoarele evaluări: 3, 4, 4 și 5. Calculați scorul de mijloc Conform formulei aritmeticii mijlocii simple: (3 + 4 + 4 + 5) / 4 \u003d 16/4 \u003d 4. Aritmeticul de mijloc pâsâială Are următoarea formă:
Unde f este numărul de valori cu aceeași valoare x (frecvență). \u003e De exemplu, elevul a trecut la examenul 4 și a primit următoarele evaluări: 3, 4, 4 și 5. Calculați scorul mediu în conformitate cu formula de mijloc aritmetică ponderată: (3 * 1 + 4 * 2 + 5 * 1) / 4 \u003d 16/4 \u003d 4. Dacă valorile X sunt specificate sub formă de intervale, se utilizează pentru calculele intervalelor medii ale lui X, care sunt definite ca jumătate de asumele din limitele superioare și inferioare ale intervalului. Și dacă intervalul X nu are o limită inferioară sau superioară (interval deschis), atunci este folosit pentru a găsi o pantă (diferența dintre limita superioară și inferioară) a intervalului adiacent X. De exemplu, într-o întreprindere 10 lucrători cu experiență de muncă de până la 3 ani, 20 - cu experiență de la 3 la 5 ani, 5 angajați - cu experiență mai mare de 5 ani. Apoi calculăm experiența medie a lucrătorilor folosind formula aritmetică medie, adoptând ca x mijlocul intervalelor experienței (2, 4 și 6 ani): (2 * 10 + 4 * 20 + 6 * 5) / (10 + 20 + 5) \u003d 3,71 ani.
Funcția Srnav.
Această caracteristică calculează argumentele medii (aritmetice).
Srvnov (numărul 1, numărul2; ...)
Numărul 1, numărul2, ... este de la 1 la 30 de argumente pentru care se calculează media.
Argumentele trebuie să fie numere sau nume, matrice sau referințe care conțin numere. Dacă argumentul care este o matrice sau referință conține texte, valori logice sau celule goale, atunci astfel de valori sunt ignorate; Cu toate acestea, sunt luate în considerare celulele care conțin valori zero.
Funcția Srdedcha.
Calculează media valori aritmeticedefinită în lista argumentelor. În plus față de numere, textul și valorile logice, cum ar fi adevărul și minciunile, pot participa la calcul.
SRDEDCHA (valoarea1, valoarea2, ...)
Semnificația1, valoarea2, ... este de la 1 la 30 celule, intervale de celule sau valori pentru care se calculează media.
Argumentele trebuie să fie numere, nume, matrice sau referințe. Măsurile și referințele care conțin text sunt interpretate ca 0 (zero). Textul gol ("") este interpretat ca 0 (zero). Argumentele care conțin valoarea adevărului sunt interpretate ca 1, argumentele care conțin valoarea minciunii sunt interpretate ca 0 (zero).
Aritmetica medie este cea mai des aplicată, dar există cazuri în care este necesar să se aplice alte tipuri de valori medii. Luați în considerare astfel de cazuri.
Armonică medie
Armonică medie pentru a determina cantitatea medie de valori inverse;
Armonică medie Se utilizează atunci când datele inițiale nu conțin frecvențe F în valori separate ale X și sunt prezentate ca produs XF. Desemnarea XF \u003d W, vom exprima f \u003d w / x și, substituirea acestor denumiri în formula aritmetică de mijloc ponderată, obținem formula armonică medie suspendată:
Astfel, ponderația medie armonică este utilizată atunci când frecvența F este necunoscută, iar W \u003d XF este cunoscută. În cazurile în care toate w \u003d 1, adică valorile individuale ale lui X se găsesc la 1 timp, formula pentru o simplă armonică medie: 
sau 
De exemplu, mașina conducea de la punctul A la punctul B la o viteză de 90 km / h și înapoi - la o viteză de 110 km / h. Pentru a determina viteza medie, aplicăm formula armonică medie simplă, deoarece exemplul W 1 \u003d W2 este administrat (distanța de la punctul A până la punctul B este, precum și de la BCA), care este egal cu produsul (x) pentru un timp (f). Viteza medie \u003d (1 + 1) / (1/90 + 1/110) \u003d 99 km / h.
Funcția sgrim.
Returnează setul armonic mediu de date. Armonica medie este valoarea inversă la valorile medii de returnare aritmetice.
SRGRAM (numărul1, numărul2; ...)
Numărul 1, numărul2, ... este de la 1 la 30 de argumente pentru care se calculează media. Puteți utiliza o matrice sau o referire la o matrice în loc de argumentele separate de un punct și virgulă.
Armonica medie este întotdeauna mai mică decât cea medie geometrică, care este întotdeauna mai mică decât aritmetica medie.
Medium Geometric.
Geometricul mediu pentru estimarea ratelor medii de creștere a variabilelor aleatorii, găsind valoarea echidistantului de caracteristică de la valoarea minimă și maximă;
Medium Geometric. Se utilizează în determinarea modificărilor relative medii. Valoarea medie geometrică oferă cel mai mult rezultatul precis În medie, dacă sarcina este de a găsi o astfel de valoare de x, care ar fi echidistant atât din valoarea maximă, cât și cea minimă a X. De exemplu, în perioada 2005-2008 Indexul inflației În Rusia, sa ridicat la: în 2005 - 1,109; În 2006 - 1.090; În 2007 - 1,119; În 2008 - 1.133. Deoarece indicele inflației este o schimbare relativă (indicele dinamic), atunci este necesar să se calculeze valoarea medie în conformitate cu media geometrică: (1,109 * 1,090 * 1,119 * 1,133) ^ (1/4) \u003d 1,1126, aceea Este, din 2005 până în 2008, prețurile în fiecare an au crescut cu o medie de 11,26%. Un calcul eronat al aritmeticii medii ar da un rezultat incorect de 11,28%.Funcția de la SRRIZO.
Returnează valorile geometrice medii ale matricei sau intervalului de numere pozitive. De exemplu, funcția SRRISOM poate fi utilizată pentru a calcula ratele medii de creștere dacă se specifică venitul compozit cu rate variabile.
SCRIOM (NUMBER1, NUMBER2; ...)
Numărul 1, numărul2, ... este de la 1 la 30 de argumente pentru care se calculează geometricul mediu. Puteți utiliza o matrice sau o referire la o matrice în loc de argumentele separate de un punct și virgulă.
Mediu pavatic
Padraticul mediu este momentul inițial al celei de-a doua ordine.
Mediu pavatic Se aplică în cazurile în care valorile inițiale ale X pot fi atât pozitive, cât și negative, de exemplu, atunci când se calculează abaterile medii.
Sfera principală a utilizării mediei patrate este măsurarea variației valorilor X. Mediu cubic
Mediu Cubic - momentul inițial al ordinului al treilea.
Mediu cubic Este extrem de rar, de exemplu, atunci când se calculează Indicii de sărăcie a populației pentru țările în curs de dezvoltare (INN-1) și pentru a fi dezvoltate (INN-2) propuse și ONU calculate.
Începând să argumenteze cu privire la valorile medii, mai des amintiți cum să terminați școala și să intrați în instituție educațională. Apoi, scorul de mijloc a fost calculat pe certificat: toate estimările (și bunele și nu sunt foarte) au fost pliate, cantitatea rezultată a fost împărțită la numărul lor. Acesta este cel mai simplu tip de mediu, care se numește aritmetica medie simplă. În practică, diferite tipuri de dimensiuni medii sunt utilizate în statistici: aritmetice, armonice, geometrice, medii structurale, structurale. Aceasta sau că specia lor este utilizată în funcție de natura datelor și de obiectivele studiului.
valoarea medie Este cel mai frecvent indicator statistic, cu ajutorul căruia caracteristicile generalizante ale setului de fenomene cu un singur tip sunt date conform uneia dintre semnele de variație. Acesta arată nivelul caracteristice pe unitate de agregat. Cu ajutorul mass-media, este comparat o comparație a diferitelor seturi de caracteristici diferite, sunt studiate modelele de dezvoltare a fenomenelor și procesele de viață publică.
În statistici, se utilizează două clase de mediu: puterea (analitică) și structurală. Acestea din urmă sunt utilizate pentru a caracteriza structura seriei de variație și va fi discutată mai târziu în CH. opt.
Grupul de medii de putere se referă la aritmetica medie, armonică, geometrică, quadratic. Formulele individuale pentru calculul lor pot fi aduse în minte, comune tuturor mediilor de putere, și anume
unde M este indicatorul mediu de putere: la m \u003d 1 obținem o formulă pentru calcularea aritmeticii mijlocii, la m \u003d 0 - mediu geometric, m \u003d -1 - armonică medie, la m \u003d 2 - mediul pavatic;
x i - Opțiuni (valori adoptate);
f i - Frecvențe.
Condiția principală în care se poate utiliza media puternică în analiza statistică este uniformitatea setului, care nu trebuie să conțină datele sursă, diferă brusc în valoarea lor cantitativă (se numesc observație anormală în literatură).
Vom demonstra importanța acestei condiții în exemplul următor.
Exemplul 6.1. Eu calculam salariul mediu al angajaților unei întreprinderi mici.
| Nu. P / P | Salariu, frecați. | Nu. P / P | Salariu, frecați. |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 950 | 11 | 7 000 |
| 2 | 6 790 | 12 | 5 950 |
| 3 | 6 790 | 13 | 6 790 |
| 4 | 5 950 | 14 | 5 950 |
| 5 | 7 000 | 5 | 6 790 |
| 6 | 6 790 | 16 | 7 000 |
| 7 | 5 950 | 17 | 6 790 |
| 8 | 7 000 | 18 | 7 000 |
| 9 | 6 790 | 19 | 7 000 |
| 10 | 6 790 | 20 | 5 950 |
Pentru a calcula dimensiunea medie a salariilor, este necesar să rezumăm salarii acumulate tuturor angajaților întreprinderii (adică, găsiți fondul salarial) și împărțiți la numărul de angajați:
Și acum voi adăuga o singură persoană la totalitatea noastră (director al acestei întreprinderi), dar cu un salariu de 50.000 de ruble. În acest caz, media calculată va fi complet diferită:
După cum puteți vedea, depășește 7000 de ruble., Etc. Este mai mult decât toate semnele semnului, cu excepția observării unice.
Pentru astfel de cazuri, nu ar apărea în practică, iar media nu ar pierde sensul (în exemplul 6.1, nu mai îndeplinește rolul caracteristicilor generalizante ale agregatului, care ar trebui să fie), atunci când se calculează media, Observații anormale, distinse sau exclude din analiză și temă cele mai asociate cu omogene sau pauză agregatul pentru grupuri omogene și calculează valorile medii pentru fiecare grup și analizează nu media totală, ci mediile de grup.
6.1. Aritmetica medie și proprietățile sale
Aritmetica medie este calculată fie ca fiind simplă, fie ca o valoare ponderată.
La calcularea salariului mediu conform tabelului din Exemplul 6.1, am pliat toate valorile semnului și le-am împărțit. Cursul calculelor noastre va scrie sub forma unei formule a aritmeticii de mijloc simplu
unde x i sunt opțiunile (valori individuale ale caracteristicilor);
p este numărul de unități din agregat.
Exemplul 6.2. Acum grupate datele noastre din tabelul din Exemplul 6.1 etc. Vom construi o gamă variațională discretă de distribuție a salariului care funcționează în termeni de nivel. Gruparea rezultatelor sunt prezentate în tabel.
Scriem expresia pentru a calcula nivelul salarial mediu într-un formular mai compact:
În exemplul 6.2, a fost aplicată o formulă medie aritmetică aritmetică
În cazul în care Frecvențele care arată de câte ori se întâlnește caracterizarea x i y a unităților agregatului.
Calculul ponderii medii aritmetice este realizat în mod convenabil în tabel, după cum se arată mai jos (Tabelul 6.3):
| Datele inițiale. | Indicatorul estimat | |
| salariu, frecați. | numărul de angajați, oameni. | fondul de salarizare, frecați. |
| x I. | f I. | x i f i |
| 5 950 | 6 | 35 760 |
| 6 790 | 8 | 54 320 |
| 7 000 | 6 | 42 000 |
| TOTAL | 20 | 132 080 |
Trebuie remarcat faptul că aritmetica medie este utilizată în cazurile în care datele nu sunt grupate sau grupate, dar toate frecvențele sunt egale între ele.
Adesea, rezultatele de observare sunt reprezentate sub forma unei intervale de distribuție (vezi tabelul din Exemplul 6.4). Apoi, atunci când se calculează media ca x iau mijlocul intervalelor. Dacă primele și ultimele intervale sunt deschise (nu au una din limite), ele sunt condiționate de "închise", preluând valorile acestui interval de magnitudinea intervalului adiacent etc. Primul este închis pe baza celei de-a doua valori, iar ultima este cea mai mare dintre penultimă.
Exemplul 6.3. Conform rezultatelor unei examinări selective a unuia dintre grupurile populației, calculează dimensiunea venitului mediu pe cap de locuitor.
Tabelul specificat din mijlocul primului interval este de 500. Într-adevăr, valoarea celui de-al doilea interval este de 1000 (2000-1000); atunci linia de jos. Primul este 0 (1000-1000), și mijlocul său - 500. În mod similar, facem cu ultimul interval. Pentru mijlocul său, luăm 25.000: magnitudinea intervalului penultim 10 000 (20.000-10.000), apoi limita superioară - 30.000 (20.000 + 10.000) și, respectiv, mijlocul, este de 25.000.
| Venitul monetar valutar, frecați. pe luna | Populația populației,% f i | Mijlocul intervale x i | x i f i |
|---|---|---|---|
| Până la 1.000 de ani | 4,1 | 500 | 2 050 |
| 1 000-2 000 | 8,6 | 1 500 | 12 900 |
| 2 000-4 000 | 12,9 | 3 000 | 38 700 |
| 4 000-6 000 | 13,0 | 5 000 | 65 000 |
| 6 000-8 000 | 10,5 | 7 000 | 73 500 |
| 8 000-10 000 | 27,8 | 9 000 | 250 200 |
| 10 000-20 000 | 12,7 | 15 000 | 190 500 |
| 20 000 și mai sus | 10,4 | 25 000 | 260 000 |
| TOTAL | 100,0 | - | 892 850 |
Apoi venitul mediu lunar mediu va fi
Cel mai frecvent tip de mediu este aritmetica medie.
Media aritmetică simplă
O valoare simplă medie-media este termenul mediu, atunci când se determină care volumul total al acestei caracteristici în acestea este distribuit în mod egal între toate unitățile incluse în acest set. Astfel, producția medie anuală de produse pe muncă este o mare amploare a cantității de produse care ar fi reprezentat fiecare angajat dacă întregul volum de produse emise în aceeași măsură a fost distribuit între toți angajații organizației. Valoarea simplă la mijlocul industrială se calculează cu formula:
Exemplul 1. . Brigada a 6 lucrători devine pe lună 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 mii de ruble.Aritmeticul de mijloc simplu - egală cu raportul dintre suma valorilor individuale ale semnului la numărul de caracteristici din agregat
Găsiți salariul mediu
Soluție: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 \u003d 3,32 mii ruble.
Aritmetica de mijloc aritmetica
Dacă valoarea datelor totale este mare și reprezintă o serie de distribuție, atunci se calculează o valoare medie medie-mediu-metic. Acesta este modul în care se determină prețul mediu ponderat pe unitate de producție: costul total al produselor (valoarea lucrărilor numărului său de la prețul unei unități de produse) este împărțită într-o cantitate totală de produse.
Imaginați-vă acest lucru sub forma următoarei formule:
Exemplul 2. . Găsiți atelierul salarial mediu pe lunăAritmetic mediu ponderat - egală cu raportul (cantitatea de aplicare a valorii caracterului la frecvența repetării acestei caracteristici) la (suma frecvențelor tuturor semnelor). Folosit atunci când variantele totalității studiate sunt întâlnite altfel de ori.
Salariul mediu poate fi obținut prin împărțirea cantității totale de salarii pentru numărul total de lucrători:
Răspuns: 3,35 mii de ruble.
Aritmetica de mijloc pentru rândul intervalului
La calcularea aritmeticii medii pentru numărul de variație interval, ele determină mai întâi media pentru fiecare interval, ca o jumătate de asumum a limitelor superioare și inferioare, apoi - rândul mediu total. În cazul intervalelor deschise, valoarea intervalului inferior sau superior este determinată de dimensiunea intervalelor adiacente acestora.
Media calculată din rândurile intervalelor este aproximativă.
Exemplul 3.. Determină vârsta medie a studenților din filiala de seară.
Media calculată din rândurile intervalelor este aproximativă. Gradul de aproximare a acestora depinde de măsura în care distribuția reală a unităților din interiorul intervalului se apropie de uniformă.
La calcularea mediului ca greutăți, nu numai valori absolute, dar și valorile relative (frecvență):
Aritmetica medie are o serie de proprietăți care își dezvăluie pe deplin esența și simplifică calculul:
1. Produsul mediu pe suma frecvențelor este întotdeauna egal cu cantitatea de variantă a frecvenței, adică
2. Mai mare suma aritmetică Valorile diferite sunt egale cu suma aritmeticii medii Aceste cantități:
3. Cantitatea algebrică a abaterilor de valori individuale ale caracteristica din media este zero:
4. Cu omage de pătrate de deviații de opțiuni din media mai mică decât suma pătratelor de abateri de la orice altă valoare arbitrară, adică.
Statisticile utilizează diferite tipuri de valori medii care sunt împărțite în două clase mari:
Mediu de putere (armonică medie, geometrică medie, aritmetică medie, quad mediu, mediu cubic);
Mediu structural (modă, mediană).
Pentru calcul mediu de puteretrebuie să utilizați toate valorile disponibile disponibile. Modăși mediannumai structura de distribuție este determinată, deci se numesc medii structurale, poziționate. Mediană și modă sunt adesea folosite ca o caracteristică medie în acele agregate, unde calculul puterii medii este imposibil sau inexphidient.
Cel mai frecvent tip de dimensiune medie este aritmetica medie. Sub aritmeticul de mijlocse înțelege că semnificația unui semn care ar avea fiecare unitate de agregat, dacă rezultatul total al tuturor semnelor semnului a fost distribuit uniform între toate unitățile de agregate. Calculul acestei valori este redus la sumarea tuturor valorilor variației și diviziunii cuantumului total al numărului total de unități de conformitate. De exemplu, cinci lucrători au efectuat o comandă pentru fabricarea detaliilor, în timp ce primele 5 părți, al doilea - 7, al treilea - 4, al patrulea - 10, cinci - 12. Deoarece în datele sursă, valoarea fiecăruia Opțiunea a fost găsită o singură dată, pentru determinarea
producția medie de un lucrător ar trebui să aplice formula unui aritmetic de mijloc simplu:
adică în exemplul nostru, generația medie a unui atelier este egală
Împreună cu un studiu simplu aritmetic mijlociu aritmetica de mijloc ponderată.De exemplu, calculează vârsta medie a studenților într-un grup de 20 de persoane, a căror vârstă variază de la 18 la 22 de ani, unde xi. - opțiuni de semn mediu, fI. - frecvența care arată de câte ori se găsește i-e.valoarea în agregat (tabelul 5.1).
Tabelul 5.1.
Elevii de vârstă mijlocie
Folosind formula aritmeticii de mijloc ponderate, primim:
Pentru a selecta o medie aritmetică, există o regulă specifică: dacă există o serie de date privind doi indicatori, pentru unul dintre care este necesar să se calculeze
valoarea medie.și, în același timp, valorile numerice cunoscute ale numitorului formulei sale logice și valorile numerelor sunt necunoscute, dar pot fi găsite ca un produs al acestor indicatori, valoarea medie trebuie calculată prin formula aritmetică de mijloc.
În unele cazuri, natura datelor statistice originale este de așa natură încât calculul aritmeticii medii își pierde semnificația și doar un singur tip de dimensiune medie poate servi drept singurul indicator generalism - armonică mijlocie.În prezent, proprietățile computaționale ale aritmeticii medii și-au pierdut relevanța în calculul generalizării indicatorilor statistici datorită introducerii pe scară largă a computerelor electronice. Grozav valoare practică a dobândit valoarea armonică medie, care este, de asemenea, simplă și ponderată. Dacă valorile numerice ale numărului de formulare logică sunt cunoscute și valorile numitorului sunt necunoscute, dar pot fi găsite ca o diviziune privată a unui indicator pe cealaltă, valoarea medie se calculează prin formula media armonică medie.
De exemplu, spuneți-o să știe că mașina a trecut primele 210 km la o viteză de 70 km / h, iar restul de 150 km la o viteză de 75 km / h. Determinați viteza medie a vehiculului pe întreaga cale de 360 \u200b\u200bkm utilizând formula aritmetică mijlocie, este imposibilă. Deci, opțiunile sunt viteze în zone separate xj.\u003d 70 km / h și X2.\u003d 75 km / h, și cântărirea (FI) sunt considerate segmente corespunzătoare ale căii, atunci munca greutăților nu va avea un înțeles fizic și economic. În acest caz, semnificația este dobândită de secțiuni private ale segmentelor de cale la vitezele corespunzătoare (opțiunile xi), adică costul timpului pentru trecerea secțiunilor individuale ale căiii (fi / xi). Dacă segmentele de cale desemnează prin FI, atunci tot drumul de a exprima cum? Fi, și timpul petrecut pe întreaga cale - cum? FI. / xi. , Apoi, viteza medie poate fi găsită ca fiind privată de împărțirea întregii căi la costurile totale de timp:
În exemplul nostru, obținem:
Dacă utilizați greutatea armonică medie a tuturor variantelor (f) sunt egale, atunci în loc de o ponderată poate fi utilizată simplă (incredibilă) medie armonică:
unde xi sunt opțiuni separate; n. - numărul de condiții de caracteristică medie. În exemplul, cu o viteză, o armonică mare ridicată ar putea fi aplicată dacă era egală cu segmentele căii traversate la viteze diferite.
Orice medie trebuie calculată astfel încât la înlocuirea acesteia a fiecărei versiuni a caracteristicilor medii, magnitudinea unui anumit indicator final, care este asociat cu indicatorul mediu nu sa schimbat. Deci, atunci când înlocuiți vitezele reale pe segmentele separate ale căilor de dimensiune medie (viteza medie), distanța totală nu trebuie schimbată.
Formula (formula) a valorii medii este determinată de natura (mecanismul) a relației acestui indicator final cu medii, astfel încât indicatorul final, a căror valoare nu trebuie modificată atunci când se numesc opțiunile pentru valoarea lor medie determinarea indicatorului.Pentru ieșirea formulei, media trebuie să fie compilată și rezolvată de ecuația utilizând relația indicatorului mediu cu decisivul. Această ecuație este construită prin înlocuirea variantelor caracteristicilor medii (indicator) a valorii lor medii.
În plus față de armonii aritmetici și mijlocii medii în statistici, se utilizează alte tipuri de (forme) ale valorii medii. Acestea sunt toate cazuri speciale media de putere.Dacă calculați toate tipurile de medii de putere pentru aceleași date, apoi valorile
ei vor fi la fel, aici este regula majo-fundațiemediu. Cu o creștere a medii medii, valoarea medie în sine crește. Cele mai frecvent utilizate formule pentru calcularea diferitelor tipuri de medii de putere sunt prezentate în tabel. 5.2.
Tabelul 5.2.
Tipuri de mediu de putere
Geometric mediu se aplică atunci când există n.coeficienții de creștere, în timp ce valorile individuale ale caracteristica sunt, de regulă, valorile relative ale difuzoarelor construite sub formă de valori ale lanțului ca relație cu nivelul anterior al fiecărui nivel într-un număr de difuzoare . Media caracterizează, astfel, coeficientul mediu de creștere. Media geometrică simplăcalculată cu formula
Formulă geometricul mediu suspendatare următoarea formă:
Formulele de mai sus sunt identice, dar unul este utilizat la coeficienții de curent sau la ratele de creștere, iar al doilea - cu valori absolute ale nivelurilor rândului.
Mediu pavaticse utilizează în calculul cu valorile funcțiilor pătrate, este utilizat pentru a măsura gradul de cantitate de valori individuale ale caracteristica din jurul aritmeticii medii în rândurile distribuției și se calculează cu formula
Mediu pavatic quadraticcalculată pentru o altă formulă:
Mediu cubicse utilizează în calcul cu valorile funcțiilor cubice și se calculează prin formula
mediu cubic ponderat:
Toate mediile de mai sus pot fi reprezentate ca o formulă generală:
unde este valoarea medie; - valoarea individuală; n. - numărul de unități ale agregatului comun; k. - indicator care determină tipul de mediu.
Când utilizați aceleași date sursă decât mai mult k.În formula generală, mediul de alimentare, cu atât valoarea medie este mai mare. Din aceasta rezultă că între valorile mediilor de putere există un raport regulat:
Valorile medii descrise mai sus oferă o reprezentare generalizată a agregatului comun și din acest punct de vedere, semnificația lor teoretică, aplicată și cognitivă este, fără îndoială. Dar se întâmplă că valoarea medie nu coincide cu niciuna dintre opțiunile existente, astfel încât, pe lângă semnificațiile examinate într-o analiză statistică, este recomandabil să se utilizeze valorile opțiunilor specifice care ocupă într-o comandată (clasată) semnul semnelor unei poziții foarte specifice. Printre aceste valori sunt utilizate cel mai frecvent structuralsau descriptivă, medie - Moda (Mo) și Mediană (ME).
Modă - valoarea semnului care se găsește cel mai adesea în această totalitate. În ceea ce privește variația seriei de modă, este cea mai frecventă valoare a rândului clasat, adică opțiunea cu cea mai mare frecvență. Moda poate fi utilizată în determinarea magazinelor care sunt mai frecvente de cel mai frecvent preț pentru orice produs. Acesta arată dimensiunea unui semn, caracteristică unei părți semnificative a totalității, este determinată de formula
unde X0 este limita inferioară a intervalului; h. - amploarea intervalului; fm. - frecvența intervalului; fm_1 - Frecvența intervalului precedent; fM +.1 - Frecvența intervalului următor.
Mediannumită opțiunea situată în centrul rândului clasat. Medianul împarte un număr în două părți egale în așa fel încât, pe ambele părți, este același număr de unități de agregate. În același timp, la o jumătate din unitățile agregatului, valoarea semnului variant este mai mică decât mediana, cealaltă este mai mult. Medianul este utilizat în studierea elementului a cărui valoare este mai mare sau egală sau în același timp mai mică sau egală cu jumătate din elementele unei game de distribuție. Mediana oferă o idee generală despre locul unde se concentrează valorile semnului, cu alte cuvinte unde se află centrul lor.
Natura descriptivă a medianului se manifestă în faptul că caracterizează granița cantitativă a valorilor caracteristicilor de variație, care are jumătate din unitățile agregatului. Sarcina de a găsi mediatori pentru o gamă de variații discrete este rezolvată pur și simplu. Dacă toate unitățile unui număr de numere ordinale, numărul de secvență al variantei mediane este definit ca (P +1) / 2 cu un număr impar de membri p. Dacă numărul de membri ai rândului este chiar numărul, atunci media va fi Valoarea medie a două opțiuni care au numere de secvențe n./ 2 I. n./ 2 + 1.
La determinarea medianului în rândurile de variație interval, intervalul în care este (intervalul median) este determinat. Acest interval se caracterizează prin faptul că cantitatea sa acumulată de frecvențe este egală sau depășește hemishammul tuturor frecvențelor rândului. Calculul mediilor din numărul de variație a intervalului se face prin formula
unde X0. - limita inferioară a intervalului; h. - amploarea intervalului; fm. - frecvența intervalului; f.- numărul membrilor seriei;
M. -1 - suma membrilor acumulați ai seriei care precedă acest lucru.
Împreună cu mediana pentru mai multe caracteristici complete Structurile agregatului comun sunt utilizate de alte valori ale opțiunilor care ocupă o poziție complet definită în rândul clasat. Acestea includ sferturi.și decil.Camerele au o serie de frecvențe în 4 părți egale și decil - pe 10 părți egale. Trei sferturi sunt trei, și decil - nouă.
Mediana și moda, spre deosebire de aritmetica medie, nu plătesc diferențele individuale în valorile caracteristicilor variate și, prin urmare, sunt caracteristici suplimentare și foarte importante ale agregatului statistic. În practică, ele sunt adesea folosite în loc de media sau împreună cu ea. Este deosebit de recomandabil să se calculeze medianul și moda în cazurile în care setul total conține un anumit număr de unități cu o valoare foarte mare sau foarte mică a semnului de variație. Acestea, nu foarte caracteristice valorii setate a opțiunilor, afectând valoarea aritmeticii medii, nu afectează valorile mediane și de modă, ceea ce face cel mai recent foarte valoros pentru analiza economică și statistică.
