Fiecare persoană din lumea modernă, care plănuiește să contracteze un împrumut sau să facă stocuri de legume pentru iarnă, întâlnește periodic un concept precum „ valoarea medie". Să aflăm: ce este, ce tipuri și clase de el există și de ce este folosit în statistică și în alte discipline.

Medie - ce este?

O denumire similară (SV) este o caracteristică generalizată a unui set de fenomene omogene, determinată de orice caracteristică variabilă cantitativă.

Cu toate acestea, oamenii care sunt departe de astfel de definiții abstruse înțeleg acest concept ca o cantitate medie de ceva. De exemplu, înainte de a lua un împrumut, un angajat al băncii va cere cu siguranță unui potențial client să furnizeze date despre venitul mediu pe an, adică suma totală de bani câștigată de o persoană. Se calculează prin însumarea câștigurilor pentru întregul an și împărțirea la numărul de luni. Astfel, banca va putea stabili dacă clientul său va putea rambursa datoria la timp.

De ce este folosit?

De regulă, mediile sunt utilizate pe scară largă pentru a oferi o descriere sumară a anumitor fenomene sociale care sunt de natură de masă. Ele pot fi folosite și pentru calcule la scară mai mică, ca în cazul unui împrumut din exemplul de mai sus.

Cel mai adesea, totuși, mediile sunt încă folosite în scopuri globale. Un exemplu al uneia dintre ele este calculul cantității de energie electrică consumată de cetățeni pe parcursul unei luni calendaristice. Pe baza datelor obținute, pe viitor se stabilesc norme maxime pentru categoriile de populație care beneficiază de beneficii de la stat.

De asemenea, cu ajutorul valorilor medii, se dezvoltă durata de garanție a anumitor aparate electrocasnice, mașini, clădiri etc.. Pe baza datelor astfel culese s-au elaborat odată standarde moderne de muncă și odihnă.

De fapt, orice fenomen al vieții moderne care este de natură masivă este într-un fel sau altul asociat în mod necesar cu conceptul luat în considerare.

Aplicații

Acest fenomen este utilizat pe scară largă în aproape toate științele exacte, în special în cele de natură experimentală.

Găsirea unei medii este esențială în medicină, inginerie, gătit, economie, politică și multe altele.

Pe baza datelor obținute din astfel de generalizări, se dezvoltă preparate terapeutice, programe de învățare, stabiliți salarii minime de trai și salarii, construiți programe educaționale, produceți mobilier, îmbrăcăminte și încălțăminte, articole de igienă și multe altele.

În matematică, acest termen este numit „valoare medie” și este folosit pentru a implementa soluții la diverse exemple și probleme. Cele mai simple dintre acestea sunt adunarea și scăderea cu fracții regulate. La urma urmei, după cum știți, pentru a rezolva astfel de exemple, este necesar să aduceți ambele fracții la un numitor comun.

De asemenea, regina științelor exacte folosește adesea un termen la fel de semnificativ „valoarea medie a unei variabile aleatorii”. Cei mai mulți sunt mai familiarizați cu ea ca „așteptare matematică”, considerată mai des în teoria probabilității. De menționat că un fenomen similar se aplică și la efectuarea calculelor statistice.

Valoarea medie în statistici

Cu toate acestea, cel mai adesea conceptul studiat este folosit în statistică. După cum știți, această știință în sine este specializată în calcularea și analiza caracteristicilor cantitative ale fenomenelor sociale de masă. Prin urmare, valoarea medie în statistică este utilizată ca metodă specializată pentru îndeplinirea sarcinilor sale principale - colectarea și analiza informațiilor.

Esența acestei metode statistice este înlocuirea valorilor individuale unice ale atributului luat în considerare cu o anumită medie echilibrată.

Celebra glumă cu mâncare este un exemplu. Deci, la o anumită fabrică, marți, la prânz, șefii lui mănâncă de obicei caserolă de carne, iar muncitorii obișnuiți - varză înăbușită. Pe baza acestor date, putem concluziona că, în medie, personalul fabricii ia masa cu sarmale în zilele de marți.

Deşi exemplu dat ușor exagerat, dar ilustrează principalul dezavantaj al metodei de găsire a mediei - nivelare caracteristici individuale obiecte sau persoane.

Valorile medii sunt folosite nu numai pentru a analiza informațiile colectate, ci și pentru a planifica și prezice acțiuni ulterioare.

De asemenea, evaluează rezultatele obținute (de exemplu, implementarea planului de cultivare și recoltare a grâului pentru sezonul primăvară-vară).

Cum se calculează corect

Deși, în funcție de tipul de SW, există formule diferite calculul acestuia, în teoria generală a statisticii, de regulă, se utilizează o singură metodă de calcul a valorii medii a unei caracteristici. Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să adunați valorile tuturor fenomenelor și apoi să împărțiți suma rezultată la numărul lor.

Atunci când faceți astfel de calcule, merită să ne amintim că valoarea medie are întotdeauna aceeași dimensiune (sau unități) ca unitatea individuală a populației.

Condiții pentru calculul corect

Formula luată în considerare mai sus este foarte simplă și universală, așa că este aproape imposibil să faci o greșeală în ea. Cu toate acestea, merită întotdeauna luate în considerare două aspecte, altfel datele obținute nu vor reflecta situația reală.

Clasele CB

După ce am găsit răspunsuri la întrebările de bază: „Care este valoarea medie?”, „Unde se folosește?” și „Cum îl poți calcula?”, merită să afli ce clase și tipuri de CB există.

În primul rând, acest fenomen este împărțit în 2 clase. Acestea sunt medii structurale și ale legii puterii.

Tipuri de putere-lege SV

Fiecare dintre clasele de mai sus, la rândul său, este împărțită în tipuri. Clasa de licență are patru.

• Media aritmetică este cel mai comun tip de CB. Este termenul mediu, în determinarea căruia volumul total al atributului considerat în agregatul de date este distribuit în mod egal între toate unitățile agregatului dat.

  Acest tip este împărțit în subspecii: SV aritmetică simplă și ponderată.

• Media armonică este reciproca mediei aritmetice, calculată din reciproca atributului considerat.

  Este utilizat în cazurile în care sunt cunoscute valorile individuale ale atributului și ale produsului, dar datele de frecvență nu sunt.

• Media geometrică este folosită cel mai adesea în analiza ratelor de creștere a fenomenelor economice. Face posibilă păstrarea neschimbată a produsului valorilor individuale ale unei cantități date, și nu a sumei.

  De asemenea, poate fi simplu și echilibrat.

• Valoarea pătrată medie este utilizată în calcularea indicatorilor individuali ai indicatorilor, cum ar fi coeficientul de variație, care caracterizează ritmul de producție etc.

  De asemenea, calculează diametrele medii ale țevilor, roților, laturile medii ale unui pătrat și cifre similare.

  Ca toate celelalte tipuri de SV mediu, rădăcina pătrată medie este simplă și ponderată.

Tipuri de mărimi structurale

Pe lângă SV medie, tipurile structurale sunt adesea folosite în statistici. Ele sunt mai potrivite pentru calcularea caracteristicilor relative ale valorilor atributului variabil și structura interna seria de distribuție.

Există două astfel de tipuri.

O medie aritmetică simplă este un termen mediu, pentru a determina în care volumul total al unei anumite caracteristici agregatul datele sunt distribuite în mod egal între toate unitățile din populația dată. Deci, producția medie anuală per angajat este cantitatea de producție care ar cădea asupra fiecărui angajat dacă întregul volum de producție ar fi distribuit în mod egal între toți angajații organizației. Valoarea medie aritmetică simplă se calculează cu formula:

Media aritmetică simplă- Egal cu raportul dintre suma valorilor individuale ale unei caracteristici și numărul de caracteristici în agregat

Exemplul 1. O echipă de 6 muncitori primește 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 mii de ruble pe lună.

Aflați salariul mediu Soluție: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 mii de ruble.

Media aritmetică ponderată

Dacă volumul setului de date este mare și reprezintă o serie de distribuție, atunci se calculează o medie aritmetică ponderată. Așa se determină prețul mediu ponderat pe unitatea de producție: costul total de producție (suma produselor cantității sale cu prețul unei unități de producție) se împarte la cantitatea totală de producție.

Reprezentăm acest lucru sub forma următoarei formule:

Media aritmetică ponderată- este egal cu raportul (suma produselor valorii unei trăsături la frecvența de repetare a unei trăsături date) cu (suma frecvențelor tuturor trăsăturilor).Se folosește atunci când variantele populației studiate apar de un număr inegal de ori.

Exemplul 2. Aflați salariul mediu lunar al unui muncitor de atelier

Salariul unui muncitor, mie de ruble; X	Numărul de lucrători F

Salariul mediu poate fi obținut prin împărțirea salariului total la numărul total muncitorii:

Răspuns: 3,35 mii de ruble.

Media aritmetică pentru serii de intervale

Când calculați media aritmetică pentru o serie de variații de interval, mai întâi determinați media pentru fiecare interval, ca jumătate de sumă a limitelor superioare și inferioare și apoi - media întregii serii. În cazul intervalelor deschise, valoarea intervalului inferior sau superior este determinată de mărimea intervalelor adiacente acestora.

Mediile calculate din serii de intervale sunt aproximative.

Exemplul 3... Determinați vârsta medie a studenților de seară.

Vârsta în ani!! x ??	Numarul studentilor	Valoarea medie a intervalului	Produsul mijlocului intervalului (vârstă) cu numărul de elevi
		(18 + 20) / 2 = 19 18 in în acest caz limita intervalului inferior. Calculat ca 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 și mai mult		(30 + 34) / 2 = 32

Mediile calculate din serii de intervale sunt aproximative. Gradul de aproximare a acestora depinde de măsura în care distribuția efectivă a unităților de populație în cadrul intervalului se apropie de uniformă.

La calcularea mediilor, nu numai valorile absolute, ci și valorile relative (frecvența) pot fi folosite ca ponderi.

Cel mai mult în eq. practica trebuie să folosească media aritmetică, care poate fi calculată ca medie aritmetică, simplă și ponderată.

Media aritmetică (CA)-n Cel mai comun tip de mediu. Este utilizat în cazurile în care volumul unei caracteristici variabile pentru întreaga populație este suma valorilor caracteristicilor unităților sale individuale. Fenomenele sociale sunt caracterizate prin aditivitatea (sumarea) volumelor atributului variabil, aceasta determină domeniul de aplicare al CA și explică prevalența acestuia ca indicator generalizator, De exemplu: fondul general de salarii este suma salariilor tuturor angajaților.

Pentru a calcula CA, trebuie să împărțiți suma tuturor valorilor caracteristice la numărul lor. CA se aplică în 2 forme.

Să luăm în considerare mai întâi media aritmetică simplă.

1-CA simplu (forma inițială, definitorie) este egală cu suma simplă a valorilor individuale ale atributului mediat, împărțită la numărul total al acestor valori (utilizat atunci când există valori ale atributului ind. negrupate):

Calculele efectuate pot fi rezumate în următoarea formulă:

(1)

Unde - valoarea medie a caracteristicii variabile, adică media aritmetică simplă;

înseamnă însumare, adică adăugarea de caracteristici individuale;

X- valorile individuale ale unei caracteristici variabile, care se numesc variante;

n - numarul de unitati din populatie

Exemplul 1, este necesar să se afle producția medie a unui muncitor (lăcătuș) dacă se știe câte piese a făcut fiecare dintre cei 15 muncitori, adică. un număr de ind. valori atribute, buc: 21; douăzeci; douăzeci; 19; 21; 19; optsprezece; 22; 19; douăzeci; 21; douăzeci; optsprezece; 19; douăzeci.

CA simplu se calculează prin formula (1), buc.:

Exemplul2... Să calculăm CA pe baza datelor condiționate pentru 20 de magazine incluse în societatea comercială (Tabelul 1). tabelul 1

Repartizarea magazinelor societatii comerciale Vesna pe spatii comerciale, mp. M

Magazinul nr.		Magazinul nr.

Pentru a calcula suprafața medie a magazinului ( ) este necesar să se adună suprafețele tuturor magazinelor și să se împartă rezultatul la numărul de magazine:

Astfel, suprafața medie a magazinului pentru acest grup de întreprinderi comerciale este de 71 mp.

Prin urmare, pentru a determina CA simplu, trebuie să împărțiți suma tuturor valorilor unui anumit atribut la numărul de unități care au acest atribut.

2

Unde f 1 , f 2 , … ,f n – greutatea (frecvența de repetare a acelorași semne);

- suma produselor mărimii caracteristicilor după frecvența lor;

- numarul total de unitati din populatie.

- ponderat CA - cu Aceasta este una dintre variantele care se repetă de un număr diferit de ori sau despre care se spune că au greutăți diferite. Ponderile sunt numărul de unități din diferite grupuri ale populației (aceleași opțiuni sunt combinate într-un grup). ponderat CA – media valorilor grupate X 1 , X 2 , .., X n, – calculat: (2)

Unde NS- Opțiuni;

f- frecvența (greutatea).

SA ponderat este coeficientul de împărțire a sumei produselor variantelor și a frecvențelor corespunzătoare acestora la suma tuturor frecvențelor. Frecvențe ( f) care apar în formula CA sunt de obicei numite cântare, în urma căruia CA, calculată ținând cont de ponderi, se numește ponderată.

Vom ilustra tehnica de calcul a CA ponderată folosind exemplul de mai sus 1. Pentru a face acest lucru, vom grupa datele inițiale și le vom plasa în tabel.

Media datelor grupate se determină astfel: mai întâi, opțiunile sunt înmulțite cu frecvențele, apoi produsele sunt adăugate și suma rezultată este împărțită la suma frecvențelor.

Conform formulei (2), CA ponderată este egală cu, buc.:

Distributie muncitori pentru productia de piese

NS

Datele date în exemplul anterior 2 pot fi combinate în grupuri omogene, care sunt prezentate în tabel. masa

Distributia magazinelor Vesna pe spatii comerciale, mp. m

Astfel, rezultatul este același. Cu toate acestea, aceasta va fi deja valoarea medie aritmetică ponderată.

În exemplul anterior, am calculat media aritmetică presupunând că frecvențele absolute (numărul de stocuri) sunt cunoscute. Cu toate acestea, într-un număr de cazuri, frecvențele absolute sunt absente, dar frecvențele relative sunt cunoscute sau, așa cum sunt de obicei numite, frecvențe care arată o cotă sau proporţia frecvenţelor în întreaga populaţie.

La calcularea utilizării ponderate CA frecvente vă permite să simplificați calculele atunci când frecvența este exprimată în numere mari, cu mai multe cifre. Calculul se face în același mod, însă, deoarece media este mărită cu un factor de 100, rezultatul trebuie împărțit la 100.

Apoi formula pentru media ponderată aritmetică va arăta astfel:

Unde d- frecvență, adică ponderea fiecărei frecvenţe în valoare totală toate frecventele.

(3)

În exemplul nostru 2, determinăm mai întâi ponderea magazinelor pe grupuri în totalul magazine ale firmei „Vesna”. Deci, pentru primul grup, greutatea specifică corespunde la 10%
... Obținem următoarele date Tabelul 3

Media aritmetică este un indicator statistic care demonstrează valoarea medie a unei date date. Un astfel de indicator este calculat ca o fracție, în numărătorul căreia este suma tuturor valorilor matricei, iar la numitor - numărul lor. Media aritmetică este un coeficient important care este utilizat în calculele casnice.

Sensul coeficientului

Media aritmetică este un indicator elementar pentru compararea datelor și calcularea unei valori acceptabile. De exemplu, diferite magazine vând o cutie de bere de la un anumit producător. Dar într-un magazin costă 67 de ruble, în altul - 70 de ruble, în al treilea - 65 de ruble, iar în ultimul - 62 de ruble. O creștere destul de mare a prețurilor, astfel încât cumpărătorul va fi interesat de costul mediu al cutiei, astfel încât atunci când cumpără un produs, să-și poată compara costurile. În medie, o cutie de bere în oraș are un preț:

Prețul mediu = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 de ruble.

Cunoscând prețul mediu, este ușor să determinați unde este profitabil să cumpărați un produs și unde va trebui să plătiți în exces.

Media aritmetică este utilizată constant în calculele statistice în cazurile în care este analizat un set omogen de date. În exemplul de mai sus, acesta este prețul unei cutii de o marcă de bere. Cu toate acestea, nu putem compara prețul berii de la diferiți producători sau prețul berii și al limonadei, deoarece în acest caz intervalul de valori va fi mai mare, prețul mediu va fi neclar și nesigur și însuși sensul calculelor. va fi distorsionat la „temperatura medie în spital” caricaturistică. Pentru a calcula seturi de date eterogene, se utilizează media ponderată aritmetică, atunci când fiecare valoare este ponderată.

Calcularea mediei aritmetice

Formula pentru calcule este extrem de simplă:

P = (a1 + a2 + ... an) / n,

unde an este valoarea cantității, n este numărul total de valori.

La ce poate fi folosit acest indicator? Prima și cea mai evidentă aplicație este statistica. Aproape fiecare studiu statistic folosește media aritmetică. Aceasta poate fi vârsta medie la căsătorie în Rusia, nota medie a unui student la o materie sau cheltuielile medii pentru mâncare pe zi. După cum sa discutat mai sus, fără ponderi, calcularea mediilor poate produce valori ciudate sau absurde.

De exemplu, președintele Federația Rusă a făcut o declarație că, conform statisticilor, salariul mediu al unui rus este de 27.000 de ruble. Pentru majoritatea locuitorilor Rusiei, acest nivel de salariu părea absurd. Nu este surprinzător dacă, la calcul, luăm în considerare veniturile oligarhilor, conducătorilor de întreprinderi industriale, marilor bancheri, pe de o parte, și salariile profesorilor, curățătorilor și vânzătorilor, pe de altă parte. Chiar și salariile medii într-o specialitate, de exemplu, un contabil, vor avea diferențe semnificative la Moscova, Kostroma și Ekaterinburg.

Cum se calculează mediile pentru date diferite

În situațiile de numărare salariile este important să se ia în considerare ponderea fiecărei valori. Aceasta înseamnă că salariile oligarhilor și bancherilor ar primi o pondere de, de exemplu, 0,00001, iar salariile vânzătorilor - 0,12. Acestea sunt cifre din tavan, dar ele ilustrează aproximativ prevalența oligarhilor și a vânzătorilor în societatea rusă.

Astfel, pentru a calcula valoarea medie sau medie într-un set de date eterogen, este necesară utilizarea mediei ponderate aritmetice. În caz contrar, veți primi salariul mediu în Rusia la nivelul de 27.000 de ruble. Dacă vrei să știi scorul tău mediu la matematică sau numărul mediu de goluri marcate de jucătorul de hochei selectat, atunci calculatorul de medie aritmetică este pentru tine.

Programul nostru este un calculator simplu și convenabil pentru calcularea mediei aritmetice. Pentru a efectua calcule, trebuie doar să introduceți valorile parametrilor.

Să ne uităm la câteva exemple

Calculul scorului mediu

Mulți profesori folosesc metoda mediei aritmetice pentru a determina nota anuală pentru o materie. Să presupunem că un copil primește următoarele note trimestriale la matematică: 3, 3, 5, 4. Ce notă anuală îi va acorda profesorul? Să folosim un calculator și să calculăm media aritmetică. Mai întâi, selectați numărul adecvat de câmpuri și introduceți valorile scorului în celulele care apar:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Profesorul va rotunji valoarea în favoarea elevului, iar elevul va primi un patru solid într-un an.

Calculul bomboanelor consumate

Să ilustrăm câte ceva din absurditatea mediei aritmetice. Să ne imaginăm că Masha și Vova au avut 10 dulciuri. Masha a mâncat 8 bomboane, iar Vova - doar 2. Câte bomboane a mâncat în medie fiecare copil? Folosind un calculator, este ușor de calculat că, în medie, copiii au mâncat 5 bomboane, ceea ce este complet neadevărat și bun simț... Acest exemplu arată că media aritmetică este importantă de calculat pentru seturi de date semnificative.

Concluzie

Calculul mediei aritmetice este utilizat pe scară largă în multe domenii științifice. Acest indicator este popular nu numai în calculele statistice, ci și în fizică, mecanică, economie, medicină sau finanțe. Utilizați calculatoarele noastre ca asistent pentru rezolvarea problemelor de medie aritmetică.

Pentru a analiza și obține concluzii statistice pe baza rezultatelor rezumatului și grupării, se calculează indicatori generalizatori - valori medii și relative.

Problema cu valoarea medie - să caracterizeze toate unitățile populației statistice cu o valoare de atribut.

Valorile medii caracterizează indicatorii calitativi ai activității antreprenoriale: costuri de distribuție, profit, rentabilitate etc.

valoarea medie- Aceasta este o caracteristică generalizantă a unităților populației pentru anumite atribute diferite.

Valorile medii permit compararea nivelurilor aceleiași trăsături în diferite populații și găsirea motivelor acestor discrepanțe.

În analiza fenomenelor studiate, rolul valorilor medii este enorm. Economistul englez W. Petty (1623-1687) a folosit intens medii. V. Petty a vrut să folosească mediile ca măsură a costului hranei medii zilnice per muncitor. Stabilitatea medie este o reflectare a tiparelor proceselor studiate. El credea că informațiile pot fi transformate, chiar dacă nu există suficiente date inițiale.

Omul de știință englez G. King (1648-1712) a folosit valori medii și relative atunci când a analizat datele despre populația Angliei.

Dezvoltările teoretice ale statisticianului belgian A. Quetelet (1796-1874) se bazează pe caracterul contradictoriu al fenomenelor sociale - extrem de stabile în masă, dar pur individuale.

După A. Quetelet, cauzele permanente acționează în același mod asupra fiecărui fenomen studiat și fac aceste fenomene asemănătoare între ele, creează regularități comune tuturor.

O consecință a învățăturilor lui A. Quetelet a fost alocarea valorilor medii ca principală metodă de analiză statistică. El a spus că mediile statistice nu sunt o categorie a realității obiective.

A. Quetelet și-a exprimat părerile cu privire la medie în teoria sa despre persoana medie. Persoana medie este o persoană cu toate calitățile unei dimensiuni medii (mortalitate sau fertilitate medie, inaltime medieși greutatea, viteza medie de alergare, înclinația medie pentru căsătorie și sinucidere, pentru fapte bune etc.). Pentru A. Quetelet, omul mediu este idealul unei persoane. Inconsecvența teoriei omului mediu de A. Quetelet a fost dovedită în literatura statistică rusă la sfârșitul secolelor XIX-XX.

Celebrul statistician rus Yu. E. Yanson (1835-1893) a scris că A. Quetelet presupune existența în natură a tipului de persoană medie ca ceva dat, din care viața a respins oamenii obișnuiți dintr-o anumită societate și o anumită societate. timp, iar aceasta îl conduce la o viziune complet mecanică și la legile mișcării viata sociala: mișcarea este o creștere treptată a proprietăților medii ale unei persoane, o restabilire treptată a tipului; în consecință, o astfel de nivelare a tuturor manifestărilor vieții corpului social, după care încetează orice mișcare înainte.

Esența acestei teorii și-a găsit dezvoltarea ulterioară în lucrările unui număr de teoreticieni statistici ca teoria valorilor adevărate. A. Quetelet a avut adepți - economistul și statisticianul german V. Lexis (1837-1914), care a transferat teoria valorilor adevărate fenomenelor economice ale vieții sociale. Teoria lui este cunoscută sub numele de teoria stabilității. Un alt tip de teorie idealistă a mediilor se bazează pe filozofie

Fondatorul său, statisticianul englez A. Bowley (1869–1957), este unul dintre cei mai importanți teoreticieni ai timpurilor moderne în domeniul teoriei mediilor. Conceptul său de medii este subliniat în cartea Elements of Statistics.

A. Bowley ia în considerare valorile medii numai din punct de vedere cantitativ, separând astfel cantitatea de calitate. Determinând semnificația valorilor medii (sau „funcția lor”), A. Bowley propune principiul machian al gândirii. A. Bowley a scris că funcția mijloacelor ar trebui să exprime un grup complex

folosind câteva numere prime. Datele statistice ar trebui simplificate, grupate și reduse la medii. Aceste opinii: împărtășite de R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871-1951), Frederick S. Mills (1892) și alții.

În anii 30. secolul XX și anii următori, valoarea medie este considerată ca o caracteristică semnificativă din punct de vedere social, al cărei conținut informațional depinde de omogenitatea datelor.

Cei mai de seamă reprezentanți ai școlii italiene R. Benini (1862-1956) și C. Gini (1884-1965), considerând statistica ca ramură a logicii, au extins sfera inducției statistice, dar au legat principiile cognitive ale logicii și statistica cu natura fenomenelor studiate, urmând traditiile interpretarii sociologice a statisticii.

În lucrările lui K. Marx și V. I. Lenin un rol special este atribuit valorilor medii.

K. Marx a susținut că în valoarea medie abaterile individuale de la nivel generalși nivel mediu devine o caracteristică generalizantă a unui fenomen de masă Valoarea medie devine o asemenea caracteristică a unui fenomen de masă numai dacă se iau un număr semnificativ de unități și aceste unități sunt omogene calitativ. Marx a scris că valoarea medie găsită a fost media „... a multor valori individuale diferite de același fel”.

Valoarea medie este de o importanță deosebită într-o economie de piață. Ajută la determinarea tendinței necesare și generale a modelului. dezvoltare economică direct prin singular și aleatoriu.

Valori medii sunt indicatori generalizatori în care se exprimă acţiunea condiţiilor generale, regularitatea fenomenului studiat.

Mediile statistice sunt calculate pe baza datelor de masă ale unei observații de masă organizate corect statistic. Dacă media statistică este calculată din date de masă pentru o populație omogenă calitativ (fenomene de masă), atunci aceasta va fi obiectivă.

Media este abstractă, deoarece caracterizează valoarea unității abstracte.

Media este extrasă din varietatea atributului pentru obiecte individuale. Abstracția - pas cercetare științifică... În medie se realizează unitatea dialectică a individului și a generalului.

Valorile medii ar trebui aplicate pe baza unei înțelegeri dialectice a categoriilor de individ și general, de singur și de masă.

Cel din mijloc reflectă ceva în comun, care se adună într-un anumit obiect unic.

Pentru a identifica modele în procesele sociale de masă, valoarea medie este de mare importanță.

Abaterea individului de la general este o manifestare a procesului de dezvoltare.

Valoarea medie reflectă nivelul caracteristic, tipic, real al fenomenelor studiate. Sarcina mediilor este de a caracteriza aceste niveluri și modificările lor în timp și spațiu.

Media este o valoare comună, deoarece se formează în condițiile normale, naturale, generale ale existenței unui anumit fenomen de masă, considerat în ansamblu.

Proprietatea obiectivă a unui proces sau fenomen statistic este reflectată de valoarea medie.

Valorile individuale ale caracteristicii statistice investigate pentru fiecare unitate a populației sunt diferite. Valoarea medie a valorilor individuale de un fel este un produs de necesitate, care este rezultatul acțiunii agregate a tuturor unităților populației, manifestată într-o masă de accidente repetate.

Unele fenomene individuale au semne care există în toate fenomenele, dar în cantități diferite - aceasta este înălțimea sau vârsta unei persoane. Alte semne ale unui fenomen individual, calitativ diferite în diferite fenomene, adică sunt prezente în unele și nu observate în altele (un bărbat nu va deveni femeie). Valoarea medie este calculată pentru caracteristicile omogene calitativ și diferite doar cantitativ, care sunt inerente tuturor fenomenelor dintr-o anumită populație.

Valoarea medie este o reflectare a valorilor trăsăturii studiate și se măsoară în aceeași dimensiune cu această trăsătură.

Teoria materialismului dialectic ne învață că totul în lume se schimbă și se dezvoltă. Și, de asemenea, semnele care se caracterizează prin valori medii se schimbă și, în consecință, valorile medii înseși.

Există un proces continuu de a crea ceva nou în viață. Obiectele unice sunt purtătoarea noii calități, apoi numărul acestor obiecte crește, iar noul devine masiv, tipic.

Valoarea medie caracterizează populația studiată doar printr-un singur atribut. Pentru o reprezentare completă și cuprinzătoare a populației studiate pentru o serie de caracteristici specifice, este necesar să existe un sistem de valori medii care să poată descrie fenomenul din diferite unghiuri.

2. Tipuri de valori medii

În prelucrarea statistică a materialului, apar diverse probleme care trebuie rezolvate și, prin urmare, în practica statistică, se folosesc valori medii diferite. Statistica matematică utilizează diverse medii, cum ar fi: media aritmetică; medie geometrică; armonică medie; rădăcină medie pătrată.

Pentru a aplica unul dintre tipurile de medie de mai sus, este necesar să se analizeze populația studiată, să se determine conținutul material al fenomenului studiat, toate acestea fiind realizate pe baza concluziilor obținute din principiul semnificației rezultatelor la cântărire. sau în rezumat.

În studiul mediilor se folosesc următorii indicatori și denumiri.

Se numește semnul prin care se află media caracteristică medie și se notează cu x; se numește valoarea caracteristicii medii pentru orice unitate a populației statistice sensul său individual, sau Opțiuniși notat ca X 1 , NS 2 , X 3 ,… NS NS ; frecvența este repetabilitatea valorilor individuale ale unei caracteristici, notate cu literă f.

Media aritmetică

Unul dintre cele mai comune tipuri de mediu - medie aritmetica, care se calculează atunci când volumul atributului mediu este format ca suma valorilor sale pentru unitățile individuale ale populației statistice studiate.

Pentru a calcula media aritmetică, suma tuturor nivelurilor unei caracteristici este împărțită la numărul lor.

Dacă unele opțiuni sunt întâlnite de mai multe ori, atunci suma nivelurilor atributului se poate obține prin înmulțirea fiecărui nivel cu numărul corespunzător de unități ale populației, urmată de adunarea produselor obținute, media aritmetică calculată astfel. se numește medie aritmetică ponderată.

Formula pentru media ponderată aritmetică este următoarea:

unde sunt opțiuni,

f i - frecvenţe sau greutăţi.

O medie ponderată trebuie utilizată în toate cazurile în care variantele au numere diferite.

Media aritmetică, parcă, distribuie în mod egal între obiectele individuale valoarea totală a atributului, care în realitate variază pentru fiecare dintre ele.

Calculul valorilor medii se realizează în funcție de datele grupate sub formă de serie de intervale de distribuție, atunci când variantele atributului, din care se calculează media, sunt prezentate sub formă de intervale (de la - la ).

Proprietăți ale mediei aritmetice:

1) mediu suma aritmetică de cantități variabile este egală cu suma mediei mărimi aritmetice: Dacă x i = y i + z i, atunci

Această proprietate arată în ce cazuri pot fi însumate valorile medii.

2) suma algebrică a abaterilor valorilor individuale ale atributului care variază de la medie este egală cu zero, deoarece suma abaterilor într-o direcție este rambursată de suma abaterilor în cealaltă direcție:

Această regulă demonstrează că media este rezultanta.

3) dacă toate variantele seriei sunt mărite sau micșorate cu același număr?, va crește sau scade media cu același număr?:

4) dacă toate variantele seriei sunt mărite sau micșorate de A ori, atunci media va crește sau descrește și de A ori:

5) a cincea proprietate a mediei ne arată că aceasta nu depinde de mărimea greutăților, ci depinde de raportul dintre ele. Nu numai valorile relative, ci și absolute pot fi luate ca ponderi.

Dacă toate frecvențele seriei sunt împărțite sau înmulțite cu același număr d, atunci media nu se va modifica.

Armonică medie. Pentru a determina media aritmetică, este necesar să existe un număr de opțiuni și frecvențe, adică valori NSși f.

Să presupunem că sunt cunoscute valorile individuale ale caracteristicii NS si functioneaza NS/,și frecvențele f necunoscut, atunci, pentru a calcula media, notăm produsul = NS/; Unde:

Media în această formă se numește medie ponderată armonică și se notează x rău. ex.

În consecință, media armonică este identică cu media aritmetică. Se aplică atunci când greutățile reale sunt necunoscute. f, iar produsul este cunoscut fx = z

Când funcționează fx sunt unități identice sau egale (m = 1), se aplică media armonică simplă, calculată prin formula:

Unde NS- optiuni individuale;

n- număr.

Medie geometrică

Dacă există n rate de creștere, atunci formula pentru rata medie este:

Aceasta este formula medie geometrică.

Media geometrică este egală cu rădăcina gradului n din produsul factorilor de creștere, care caracterizează raportul dintre valoarea fiecărei perioade ulterioare și valoarea celei anterioare.

Dacă valorile sunt supuse medierii, exprimate în formular funcții pătrate, se aplică rădăcină-media-pătrată. De exemplu, folosind rădăcina pătrată medie, puteți determina diametrele țevilor, roților etc.

Rădăcina medie pătrată simplă se determină prin extragere rădăcină pătrată din câtul de împărțire a sumei pătratelor valorilor individuale ale atributului la numărul lor.

Pătratul mediu ponderat este:

3. Mijloace structurale. Moda si mediana

Pentru a caracteriza structura populației statistice se folosesc indicatori care se numesc medii structurale. Acestea includ moda și mediana.

Moda (M O ) - cea mai comună variantă. Modă se numește valoarea caracteristicii, care corespunde punctului maxim al curbei de distribuție teoretică.

Moda reprezintă sensul cel mai comun sau tipic.

Moda este folosită în practica comercială pentru a studia cererea consumatorilor și pentru a înregistra prețurile.

În seria discretă, modul este varianta cu cea mai mare frecvență. În seria de variații de interval, modul este considerat varianta centrală a intervalului, care are cea mai mare frecvență (particulară).

În interval, este necesar să găsiți valoarea caracteristicii, care este modul.

Unde NS O – linia de jos intervalul modal;

h- valoarea intervalului modal;

f m- frecvenţa intervalului modal;

f t-1 - frecvența intervalului premergător modalului;

f m+1 este frecvența intervalului care urmează modalului.

Modul depinde de mărimea grupurilor, de poziția exactă a limitelor grupurilor.

Modă- numărul care apare de fapt cel mai des (este o anumită valoare), în practică are cea mai largă aplicație (cel mai comun tip de cumpărător).

Median (M e Este o valoare care împarte numărul unei serii de variații ordonate în două părți egale: o parte are valori ale atributului variabil mai mici decât varianta medie, iar cealaltă - mare.

Median Este un element care este mai mare sau egal cu și, în același timp, mai mic sau egal cu jumătate din elementele rămase ale seriei de distribuție.

Proprietatea mediei este că suma abaterilor absolute ale valorilor atributelor de la mediană este mai mică decât de la orice altă valoare.

Utilizarea mediei vă permite să obțineți mai mult rezultate precise decât atunci când se utilizează alte forme de mediu.

Ordinea de a găsi mediana în seria de variații de interval este următoarea: aranjam valorile individuale ale atributului în funcție de clasament; determinăm frecvențele acumulate pentru o anumită serie clasată; conform datelor privind frecvențele acumulate, găsim intervalul median:

Unde x eu- marginea inferioară a intervalului median;

i Pe mine- valoarea intervalului median;

f/2- jumatate de suma frecventelor seriei;

S Pe mine-1 - suma frecvențelor acumulate precedând intervalul median;

f Pe mine Este frecvența intervalului median.

Mediana împarte numărul seriei la jumătate, prin urmare, este cazul în care frecvența acumulată este jumătate sau mai mult de jumătate din frecvența totală, iar frecvența anterioară (acumulată) este mai mică de jumătate din populație.