Сфера - це одне з перших тіл, що володіють високою симетрією, властивості якого вивчають в шкільному курсі геометрії. У даній статті розглядається формула сфери, її відмінність від кулі, а також наводиться розрахунок площі поверхні нашої планети.

Сфера: поняття в геометрії

Щоб краще зрозуміти формулу поверхні, яка буде дана нижче, необхідно познайомитися з поняттям сфери. В геометрії вона являє собою тривимірне тіло, яке містить в собі певний обсяг простору. Математичне визначення сфери наступне: це сукупність точок, які лежать на певному однаковій відстані від однієї фіксованої точки, званої центром. Зазначене відстань - це радіус сфери, який позначається r або R і вимірюється в метрах (кілометрах, сантиметрах і інших одиницях довжини).

На малюнку нижче наведена описана фігура. Лінії показують контури її поверхні. Чорна точка - центр сфери.

Отримати цю фігуру можна, якщо взяти окружність і почати її обертати навколо будь-якої з осей, що проходить через діаметр.

Сфера і куля: в чому різниця і в чому подібність?

Часто школярі плутають ці дві фігури, які зовні схожі один на одного, але мають абсолютно різними фізичними властивостями. Сфера і куля в першу чергу відрізняються своєю масою: сфера - це нескінченно тонкий шар, куля ж - це об'ємне тіло кінцевої щільності, яка однакова у всіх його точках, обмежених сферичною поверхнею. Тобто куля володіє кінцевою масою і є цілком реальним об'єктом. Сфера - це фігура ідеальна, не має маси, яка в дійсності не існує, але вона є вдалою ідеалізацією в геометрії при вивченні її властивостей.

Прикладами реальних об'єктів, форма яких практично відповідає сфері, є новорічна іграшка у вигляді кульки для прикраси ялинки або мильна бульбашка.

Що стосується схожості між розглянутими фігурами, то можна назвати такі їх ознаки:

• обидві вони мають однакову симетрією;
• для обох формула площі поверхні є однаковою, більш того, вони мають рівний площею поверхні, якщо їх радіуси рівні;
• обидві фігури при рівних радіусах займають однаковий об'єм в просторі, тільки куля його заповнює повністю, а сфера лише обмежує своєю поверхнею.

Сфера і куля рівного радіусу наведені на малюнку нижче.

Зауважимо, що куля, так само як і сфера, є тілом обертання, тому його можна отримати, якщо обертати навколо діаметра коло (НЕ окружність!).

елементи сфери

Так називаються геометричні величини, знання яких дозволяє описати або всю фігуру, або окремі її частини. Основними її елементами є такі:

• Радіус r, який вже був згаданий раніше. Він є відстанню від центру фігури до сферичної поверхні. По суті, це єдина величина, яка описує всі властивості сфери.
• Діаметр d, або D. Це відрізок, кінці якого лежать на сферичної поверхні, а середина проходить через центральну точку фігури. Діаметр сфери можна провести нескінченним числом способів, але всі отримані відрізки будуть мати однакову довжину, яка дорівнює подвоєному радіусу, тобто D \u003d 2 * R.
• Площа поверхні S - двовимірна характеристика, формула для якої буде приведена нижче.
• Пов'язані зі сферою тривимірні кути вимірюються в стерадіанах. Один стерадіан - це кут, вершина якого лежить в центрі сфери, і який спирається на частину сферичної поверхні, що має площу R 2.

Геометричні властивості сфери

З наведеного опису цієї фігури можна самостійно здогадатися про ці властивості. Вони такі:

• Будь-яка пряма, яка перетинає сферу і проходить через її центр, є віссю симетрії фігури. Поворот сфери навколо цієї осі на будь-який кут переводить її в саму себе.
• Площина, яка перетинає розглянуту фігуру через її центр, ділить сферу на дві рівні частини, тобто є площиною відображення.

Площа поверхні фігури

Ця величина позначається латинською буквою S. Формула обчислення площі сфери має наступний вигляд:

S \u003d 4 * pi * R 2, де pi ≈ 3,1416.

Формула демонструє, що площа S може бути обчислена за умови знання радіусу фігури. Якщо ж відомий її діаметр D, тоді формулу сфери можна записати так:

Ірраціональне число pi, для якого наведені чотири знака після коми, в ряді математичних розрахунків можна використовувати з точністю до сотих, тобто 3,14.

Цікаво також розглянути питання, скільком стерадіанам відповідає вся поверхня розглядається фігури. Виходячи з визначення цієї величини, отримуємо:

Ω \u003d S / R 2 \u003d 4 * pi * R 2 / R 2 \u003d 4 * pi стерадіан.

Для обчислення будь-якого об'ємного кута слід в вираз вище підставити відповідне значення площі S.

Поверхня планети Земля

Формулу сфери можна застосувати для визначення на якій ми живемо. Перед тим як приступати до обчислень, слід зробити пару застережень:

• По-перше, Земля не має ідеальну сферичною поверхнею. Її екваторіальний і полярний радіуси рівні 6378 км і 6357 км відповідно. Відмінність між цими цифрами не перевищує 0,3%, тому для розрахунку можна взяти середній радіус 6371 км.
• По-друге, рельєф є тривимірним, тобто на ній є западини і гори. Ці характерні особливості планети призводять до збільшення її площі поверхні, тим не менш, в розрахунку їх враховувати не будемо, оскільки навіть найбільша гора, Еверест, становить 0,1% від земного радіуса (8,848 / 6371).

Використовуючи формулу сфери, отримуємо:

S \u003d 4 * pi * R 2 \u003d 4 * 3,1416 * 6371 2 ≈ 510,066 млн. Км 2.

Росія, за офіційними даними, займає площу 17,125 млн км2, що становить 3,36% від поверхні планети. Якщо ж врахувати, що до суші відносяться лише 150,387 млн \u200b\u200bкм2, тоді площа нашої країни складе 11,4% від усієї території, не покритій водою.

Куля - це тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться на відстані, що не більшому даного від даної точки. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань - радіусом кулі. Кордон кулі називається кульовою поверхнею або сферою. Точками сфери є всі точки кулі, які віддалені від центру на відстань, рівну радіусу. Будь відрізок, який з'єднує центр кулі з точкою кульової поверхні, теж називається радіусом. Проходить через центр кулі відрізок, який з'єднує дві точки кульової поверхні, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметру називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Куля є тілом обертання, так само як конус і циліндр. Куля виходить при обертанні півкола навколо його діаметра як осі.

Площа поверхні кулі можна знайти за формулами:

де r - радіус кулі, d - діаметр кулі.

Обсяг кулі знаходиться за формулою:

V \u003d 4/3 πr 3,

де r - радіус кулі.

Теорема. Будь-яке перетин кулі площиною є коло. Центр цього круга є підстави перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

Виходячи з даної теореми, якщо куля з центром O і радіусом R пересічений площиною α, то в перерізі виходить коло радіуса r з центром K. Радіус перерізу кулі площиною можна знайти за формулою

З формули видно, що площині, рівновіддалені від центру, перетинають кулю по рівним колам. Радіус перерізу тим більше, чим ближче січна площині до центру кулі, тобто чим менше відстань ОК. Найбільший радіус має перетин площиною, що проходить через центр кулі. Радіус цього кола дорівнює радіусу кулі.

Площина, що проходить через центр кулі, називається діаметральної площиною. Перетин кулі діаметральної площиною, називається великим колом, а перетин сфери - великим кругом, а перетин сфери - великий окружністю.

Теорема. Будь-яка діаметральна площину кулі є його площиною симетрії. Центр кулі є його центром симетрії.

Площина, яка і проходить через точку А кульової поверхні і перпендикулярна радіусу, проведеному в точку А, називається дотичній площиною. Точка А називається точкою дотику.

Теорема. Дотична площину має з кулею тільки одну спільну точку - точку дотику.

Пряма, яка проходить через точку А кульової поверхні перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною.

Теорема. Через будь-яку точку кульової поверхні проходить нескінченно багато дотичних, причому всі вони лежать в дотичній площині кулі.

Шаровим сегментом називається частина кулі, відсікає від нього площиною. Коло ABC - підстава кульового сегмента. Відрізок MN перпендикуляра, проведеного з центру N кола ABC до перетину зі сферичною поверхнею, - висота кульового сегмента. Точка M - вершина кульового сегмента.

Площа поверхні кульового сегмента можна обчислити за формулою:

Обсяг кульового сегмента можна знайти за формулою:

V \u003d πh 2 (R - 1 / 3h),

де R - радіус великого кола, h - висота кульового сегмента.

Кульовий сектор виходить з кульового сегмента і конуса, в такий спосіб. Якщо кульової сегмент менше напівкулі, то кульовий сегмент доповнюється конусом, у якого вершина в центрі кулі, а підставою є підстава сегмента. Якщо ж сегмент більше напівкулі, то зазначений конус з нього віддаляється.

Кульовий сектор - це частина кулі, обмежена кривою поверхнею сферичного сегмента (на нашому малюнку - це AMCB) і конічної поверхнею (на малюнку - це OABC), основою якої служить підставу сегмента (ABC), а вершиною - центр кулі O.

Обсяг кульового сектора знаходиться за формулою:

V \u003d 2/3 πR 2 H.

Кульовий шар - це частина кулі, укладена між двома паралельними площинами (на малюнку площинами ABC і DEF), що перетинають сферичну поверхню. Крива поверхня кульового шару називається кульовим поясом (зоною). Кола ABC і DEF - підстави кульового пояса. Відстань NK між підставами кульового пояса - його висота.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У розділі 2 ми продовжимо "будівельну геометрію" і розповімо про будову і властивості найважливіших просторових фігур - кулі і сфери, циліндрів і конусів, призм і пірамід. Більшість предметів, створених руками людини, - будівлі, машини, меблі, посуд і т.д ., і т.п., складається з частин, що мають форму цих фігур.

§ 4. СФЕРА І КУЛЯ

Після прямих і площин сфера і куля - найпростіші, але дуже важливі і багаті різноманітними властивостями просторові фігури. Про геометричні властивості кулі і його поверхні - сфери - написані цілі книги. Деякі з цих властивостей були відомі ще давньогрецьким геометрам, а деякі знайдені зовсім недавно, в останні роки. Ці властивості (разом з законами природознавства) пояснюють, чому, наприклад, форму кулі мають небесні тіла і ікринки риб, чому в формі кулі роблять батискафи і футбольні м'ячі, чому так поширені в техніці шарикопідшипники і т.д. Ми можемо довести лише найпростіші властивості кулі. Докази інших, хоча і дуже важливих властивостей, часто вимагають застосування зовсім елементарних методів, хоча формулювання таких властивостей можуть бути дуже простими: наприклад, серед всіх тіл, що мають дану площу поверхні, найбільший обсяг у кулі.

4.1. Визначення сфери і кулі.

Визначаються сфера і куля в просторі абсолютно так само, як окружність і коло на площині. Сферою називається фігура, яка складається з усіх точок простору, віддалених від даної

ної точки на один і той же (позитивне) відстань.

Ця точка називається центром сфери, а відстань - її радіусом (рис. 4.1).

Отже, сфера з центром О і радіусом R - це фігура, утворена всіма точками X простору, для яких

Кулею називається фігура, утворена всіма точками простору, що знаходяться на відстані не більше даного (позитивного) відстані від даної точки. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань - його радіусом.

Отже, куля з центром О і радіусом R - це фігура, утворена всіма точками X простору, для яких

Ті точки X кулі з центром О і радіусом R, для яких утворюють сферу. Кажуть, що ця сфера обмежує даний куля або що вона є його поверхнею.

‌‌‌V районна науково-практична конференція дослідних, проектних і творчих робіт учнів «Перші кроки в науці»

Дослідницька робота по темі:

«Сфера і куля - звичайні геометричні тіла».

Виконав: учень 9 класу МБОУ

«Кочетовская середня загальноосвітня школа» Романов Діма.

Керівник: вчитель математики та фізики Тремаскіна В.С.

введення ___________________________________________________________3

1. Історія вивчення геометричних тіл: куля, сфера _______________________ 3

2. Сфера і куля.

2.1. Поняття сфери і кулі ___________________________________________ 3-4

2.2. Рівняння сфери ________________________________________________ 4

2.3. Взаємне розташування сфери і площини _________________________ 4-6

2.4. Дотична площину до сфери ____________________________________ 6-7

2.5. Площа сфери та об'єм кулі ____________________________________ 7

2.6. Отримання сфери _______________________________________________ 7-8

2.7. Знаходження сфери і кулі в природі ______________________________ 9-13

2.8.Сфера і куля в повсякденному житті_________________________________14-15

2.9.Прімененіе сфери і кулі в архітектурі ____________________________ 16-22

2.10. Застосування сфери і кулі в геодезії ______________________________ 23

2.11Прімененіе сфери і кулі в астрономії і географії _________________ 24

2.12. Сфера і куля в мистецтві _________________________________________ 25

Висновок ___________________________________________________________ 25

Література ___________________________________________________________ 26

Актуальність обраної теми.

Протягом століть людство не переставало поповнювати свої наукові знання в тій чи іншій області наук. Безліч вчених геометрів, та й простих людей, Цікавилися такою фігурою як куля і його "оболонкою", що носить назву сфера. багато реальні об'єкти у фізиці, астрономії, біології та інших природничих науках мають форму кулі. Тому питань вивчення властивостей кулі відводилася в різні історичні епохи і відводиться в наш час значна роль.

Мета дослідження:вивчити геометричні тіла куля і сферу, розглянути їх застосування в різних областях науки, в повсякденному житті, в природі, створити презентацію «Сфера і куля - звичайні геометричні тіла».

завдання:

1. Зібрати матеріал про кулі і сфері використовуючи різні джерела інформації, в тому числі Інтернет-ресурси.

2. Систематизувати матеріал про кулі і сфері.

4. Створити презентацію « Сфера і куля - звичайні геометричні тіла».

5. Уявити роботу на уроці геометрії при вивченні теми «Сфера і куля».

Об'єкт дослідження : Сфера і куля

Предмет дослідження : Елементи і властивості сфери і кулі

гіпотеза: Кулі нам потрібні для того що б робити наш світ більш різноманітним і об'ємним.

методи: частково-пошуковий, дослідницький, порівняльний аналіз, синтез, практичний.

Результат дослідження: отримані знання потрібні не тільки астрономам, штурманам морських кораблів, літаків, космічних кораблів, Які за зірками визначають свої координати, а й будівельникам шахт, метрополітенів, тунелів, архітекторам, а також при геодезичних зйомках великих територій поверхні Землі, коли стає необхідним враховувати її кулястість, в повсякденному житті.

Наукова новизна: теоретичний матеріал представлений у формі доступній для розуміння учнями старших класів.

Практична значимість:даний матеріал може використовуватися в якості основи для елективного курсу в класах фізико-математичного профілю, на уроках при вивченні тем «Сфера і куля».

Вступ

Протягом багатьох століть людство не переставало поповнювати свої наукові знання в тій чи іншій галузі науки. Стереометрія, як наука про фігури в просторі, невід'ємно пов'язана з багатьма з наукових дисциплін. До таких дисциплін відносяться: математика, фізика, інформатика і програмування, а також хімія і біологія. В останніх стоїть проблема вивчення мікросвіту, який являє собою складну комбінацію різних частинок в просторі відносно один одного. В архітектурі постійно використовуються теореми і слідства з стереометрії.

Безліч вчених геометрів, та й простих людей, цікавилися такою фігурою як куля і його «оболонкою», що носить назву сфера. Дивно, але куля є єдиним тілом, що володіє більшою площею поверхні при обсязі, рівному обсягу інших порівнюваних тіл, таких як куб, призма або інші всілякі багатогранники. З кулями ми маємо справу щодня. Наприклад, майже кожна людина користується кульковий ручкою в кінець стрижня якої вмонтований металева куля, що обертається під дією сил тертя між ним і папером і в процесі повороту на своїй поверхні куля «виносить» чергову порцію чорнила. В автомобільній промисловості виготовляються кульові опори, які є дуже важливою деталлю в автомобілі і забезпечує правильний поворот коліс і стійкість машини на дорозі. Елементи машин, літаків, ракет, мотоциклів, снарядів, плавальних судів, котрі піддаються постійним впливам води або повітря, переважно мають будь-які сферичні поверхні, звані обтекателями.

Історія вивчення геометричних тіл: куля, сфера

Кулею прийнято називати тіло, обмежене сферою, тобто куля і сфера - це різні геометричні тіла. Однак обидва слова «куля» і «сфера» походять від одного і того ж грецького слова «сфайра» - м'яч. При цьому слово «куля» утворилося від переходу приголосних сф в ш.

В XI книзі «Начал» Евкліда визначає куля як фігуру, описану обертовим близько нерухомого діаметра півколом. У давнину сфера була у великій пошані. Астрономічні спостереження над небесним склепінням незмінно викликали образ сфери.

Сфера завжди широко застосовувалася в різних областях науки і техніки.

2.1. Поняття сфери і кулі

Сферою називається поверхню, що складається з усіх точок простору, розташованих на даній відстані від даної точки.

Тіло, обмежене сферою, називається кулею.

Дана точка називається центром сфери, а дана відстань - радіусом сфери.

Відрізок, що з'єднує дві точки сфери і проходить

через її центр, називається діаметром сфери.

Центр, радіус, діаметр сфери називається також центром, радіусом і діаметром кулі.

2.2. рівняння сфери

задамо прямокутну систему координат Проxyz

Побудуємо сферу c центром в точці C (x 0; y 0; z 0)

і радіусом R

МС \u003d (x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2

МС \u003d R, або МС2 \u003d R2

отже рівняння

сфери має вигляд:

(X - x 0 ) 2 + (Y - y 0 ) 2 + (Z - z 0 ) 2 \u003d R 2

2.3. Взаємне розташування сфери і площини

дано:

Сфера радіуса R з центром С (х 0; у 0; z 0), точка М (х; у; z) лежить на сфері.

Чому дорівнює відстань МС?

Т. к. МС \u003d R, то

M

R

з

З ЗСС

Дано: площину α, сфера (С; R),

d - відстань від центру С до площини α.

Введемо систему координат, де точка С (x 0; y 0; z 0). Складемо рівняння сфери і площини α.

z

П
усть точка С лежить на осі z. Тоді її координати (0; 0; d).

Рівняння сфери:

Рівняння площини α: z = 0

Досліджуємо систему рівнянь:

z \u003d 0

тоді

Залежно від співвідношення d і R можливі 3 випадки ...

1
) d< R .

тоді

рівняння кола (О; r)

Перетин сфери площиною - коло

2
) D \u003d R.

тоді

В ерно при

х \u003d 0 і у \u003d 0

Сфера і площина мають одну спільну точку.

3
) D\u003e R.

тоді

не має рішень.

Сфера і площина не мають спільних точок.

2.4. Дотична площину до сфери

Площина, що має зі сферою тільки одну спільну точку, називається дотичною площиною до сфери, а їх загальна точка називається точкою дотику площині і сфери.

Теорема. Радіус сфери, проведений в точку дотику сфери і площини, перпендикулярний до дотичної площини.

Дано: сфера з центромПро і радіусомR , α - дотична до сфери в точціА площину.

довести: OA а .

Доказ: Нехай OA НЕ перпендикулярна площині а , тоді OA є похилій до площини, значить, відстань від центру до площини d < R . Тобто сфера повинна перетинатися з площиною по колу, але це не задовольняє умові теореми. значить, OA а .

Доведемо зворотну теорему.

Якщо радіус сфери перпендикулярний до площини, що проходить через його кінець, що лежить на сфері, то ця площину є дотичною до сфери.

Дано: сфера з центромПро і радіусом OA , А, OA а .

довести:а - дотична площину.

Доказ: Оскільки OA а , То відстань від центру сфери до площини дорівнює радіусу. Значить, сфера і площину мають одну спільну точку. За визначенням, площина є дотичною до сфери.

2.5. Площа сфери та об'єм кулі

і кулі радіуса визначаються формулами:

Доведення

Візьмемо чверть кола радіуса R з центром в точці. Рівняння кола цього кола:, звідки.

Функція безперервна, зростаюча, невід'ємна. При обертанні чверті кола навколо осі Ox утворюється полушар, отже:

Звідки Ч. т. Д.

Доведення

Ч. т. Д.

Частина кулі, [ ] Осікається від нього який-небудь площиною, називається кульовим або сферичним сегментом. Підставою кульового сегмента називається коло ABCD . Висотою кульового сегмента називається відрізок NM , Тобто довжина перпендикуляра, відновленого з центру N підстави до перетину з поверхнею кулі. Крапка M називається вершиною кульового сегмента.

Обсяг кульового сегмента виражається формулою:

V = π h 2 ( R − 1/3 h)

кульовий шар - це частина кулі [ ], Укладена між двома січними паралельними площинами. кульовий пояс або кульова зона - це крива поверхня кульового шару. кола ABC і DEF це підстави кульового пояса. Відстань між основаніяміON - це висота кульового шару.

Обсяг кульового шару виражається формулою:

V = 1/6 π h 3 + 1/2 π( r 1 2 + r 2 2 ) h

кульовий сектор- це частина кулі [ ], Обмежена кривою поверхнею кульового сегмента і конічної поверхнею основою якої служить підставу сегмента, а вершиною - центр кулі.

Обсяг кульового сектора дорівнює , Основа якої має ту ж площу, що і вирізати сектором частина кульової поверхні, а висота дорівнює радіусу

V = 1/3 R S = 2/3 π R 2 h

2.6. отримання сфери

Сферу можна отримати обертанням півкола АСВ навколо діаметра АВ

2.7. Знаходження сфери і кулі в природі

З агадкі природи - Кулі-послання.Ці загадкові кам'яні освіти ідеально круглої форми були виявлені в кінці 1940-х років в джунглях центрально американської Республіки Коста-Рика. Кулі мають розміри від 10 см до 3-4 метрів в діаметрі. При аерозйомки з'ясувалося, що вони розкидані по поверхні землі не випадково, а становлять геометричні фігури. Можливо навіть, що кулі не розкидані, а розкладені у вигляді величезної зоряної карти; кожна куля - це зірка з відповідним описом.

Серед гіпотез походження куль є тільки екзотичні версії: від прибульців до скульпторів Атлантиди. Є версія і про те, що кулі вирізали (в розрахунку на майбутні дивіденди від туризму) нудьгуючі нацистські мігранти, які заполонили Латинську Америку після краху «третього рейху». Природними причинами пояснити велику кількість куль і дивні малюнки на них не вдалося. У Казахстані при розробці піщаного кар'єру на досить великій глибині також були виявлені кілька великих екземплярів таких валунів ... Про цю знахідку повідомляла комісія «Феномен»; на жаль, фотографій знахідок не збереглося.

Кришталевий кулька. Макрозйомка. На гілці якогось дерева лежить куля зі скла, в ньому відбивається навколишня природа. Дуже симпатичні жовті квіточки і зелена соковита трава.

З ветящіеся кулі

на фото в місцях сили - результат розпаду урану або плазмоідная форма життя?

Храм Гробу Господнього та інші місця Ізраїлю

І
цікаво природне явище на березі Мічиганського озера сформувалися тисячі правильних крижаних куль

Морські водорості у вигляді незвичайних куль

дивні кулі з'явилися на узбережжі Хемптона, що на східному узбережжі США, в червні 2002 року. Приливна хвиля стала виносити незліченне число таких зелених куль - м'яких, що віддалено нагадують губку і розміром з м'ячик для тенісу або гольфа. На відстані приблизно 300 метрів або більше весь піщаний пляж буквально був усіяний такими кулями. Тут же почалися суперечки-що це і звідки? В дебати виявилися втягнутими і біологи мариністи, і відпочиваючі на пляжі, і випадкові перехожі. Перш ніхто не бачив тут нічого подібного.

Природа боїться симетрії, природа не знає ідеальних геометричних фігур. Зате людина може змусити природу придбати ці чужі їй форми. Наочний приклад тому - творчість корейського художника Lee Jae-Hyo, який створює зстовбурів дерев ідеальні сфери

Т

тисячі невеликих фіолетових кульок дивним чином опинилися в центрі пустелі в штаті Арізона, США. Жителі міста Тусон Джеральдіна Варгас і її чоловік виявили нез'ясовне скупчення незрозумілих куль пару тижнів тому під час прогулянки по околицях. "Ми фотографували природу пустелі, коли натрапили на це дивне місце ... не розумію, як ми відразу його не помітили? - розповіла Джеральдіна журналістам. - Воно просто іскрилося на сонці". Фотографи відправили фото зі дивними об'єктами своєї знайомої зоологу, але вона не змогла сказати, що ж це таке, у неї навіть не було ніяких припущень з цього приводу.

Кулі з мінералів.

Аметіст.Бразілія.

Гірський хрусталь.Южний.Челяб.обл.Продан.

Амазоніт.Кольскій п-ов.Продан.

2.8 Сфера і куля в повсякденному житті

Н
а геометричний куля схожі глобус, футбольний м'яч, новорічні іграшки.

Куля з пінопласту своїми руками

Зорбінг (zorbing) - це один з наймодніших екстремальних розваг на сьогоднішній день. Зорбінг дозволить вам випробувати нові, незвично яскраві і могутні відчуття і здригнутися від буденності повсякденному житті.

Що таке куля Зорб

З орб (ZORB) вдає із себе прозору сферу (кулю) діаметром 3,2 метра всередині якої знаходиться сфера діаметром 1,8 метра, в якій знаходиться зорбонавт (пасажир зорба). Простір між цими сферами наповнюється повітрям, тиском якого сфери розпирає між собою, а стропами, навпаки, утримуються. Така система дуже добре амортизує, згладжує нерівності траси і робить катання безпечним.

2.9.Застосування сфери і кулі в архітектурі

Такий будинок називається вігвам. Такі будинки будують індіанці.

Кулі і півсфери з нержавіючої сталі

Фонтан ", що обертаєтьсякуля "В Санкт-

Петербурзі -

сучасні будинки

А якщохата не просто на дереві, а ще й у формі кулі.

Це селище з справжнісінькихкруглих будинків .

З
овременного круглі будинки

Монреальська Біосфера - виставковий павільйон США на Експо-67 в Канаді,

створена архітектором Річардом Фуллером.

Готель у вигляді прозорих куль

В
про французькому місті Рубе (Roubaix) в одному з парків відкрили портативні готельні номери Hotel Bolha. Зробили це спеціально для людей, які навіть в центрі міських джунглів бажають побути ближче до природи.Концепцію міхура придумав дизайнер П'єр Стефан Дюма. Така просунута конструкція була створена з метою тимчасового приєднання постояльців до незвіданого. Адже не всі можуть собі дозволити поспати під круглим стелею.

Сукня з куль.

дачний офіс Скоро весна (а там і літо) і багато хто почне їздити на дачу відпочивати.
Але іноді на дачі потрібно попрацювати (щоб тебе!). Немає місця де усамітнитися?
Можна ось в такому ось невеликому кулястому спорудження «Archipod»:

ЕНЕРГОЕФЕКТИВНІСТЬ вархітектурі . Розумний Дім - молекула.

У парку науки і техніки La Vilette, побудованому на місці бойні на східній околиці Парижа, кидається в очі гігантську кулю, в дзеркальній поверхні якого відбивається паризьке небо і навколишній пейзаж. На сьогоднішній день ця будівля вважається найдосконалішим у світі спорудою сферичної форми. Парижани називають його «Жеоди» (Gеode). Це - панорамний

кінотеатр з найбільшим в Європі екраном. будинок-куля дзеркало

Такі кулі з ниток можна просто підвісити до гілок дерева, якщо ваше свято проходить на природі, або до стелі. А також ними можна оформити банкетний стіл, доповнивши композицію свічками і квітами.

2.10. Застосування сфери і кулі в геодезії.

картографічні проекції

відображення всієї поверхні земного еліпсоїда (Див. ) Або будь-яку її частини на площину, одержувані в основному з метою побудови карти.

Масштаб.К. п. Будуються в певному масштабі. Зменшуючи подумки земний еліпсоїд вМраз, наприклад в 10 000 000 разів, отримують його геометричну модель - , Зображення якого вже в натуральну величину на площині дає карту поверхні цього еліпсоїда. Величина 1:М(В прикладі 1: 10 000 000) визначає головний, або загальний, масштаб карти. Т. к. Поверхні еліпсоїда і кулі не можуть бути розгорнуті на площину без розривів і складок (вони не належать до класу розгортаються поверхонь (Див. )), Будь-який К. п. Властиві спотворення довжин ліній, кутів і т.п., властиві кожній карті. Основною характеристикою К. п. В будь-який її точці є приватний масштаб μ. Це - величина, зворотна відношенню нескінченно малого відрізкаdsна земному еліпсоїді до його зображеннюdσна площині: μ min ≤ μ ≤ μ max, І рівність тут можливо лише в окремих точках або уздовж деяких ліній на карті. Т. о., Головний масштаб карти характеризує її тільки в загальних рисах, в деякому осредненних вигляді. ставлення μ / М називають відносним масштабом, або збільшенням довжини, різниця М \u003d 1.

1. Мережі сферичних координатних ліній.

2.11. Застосування сфери і кулі в астрономії і географії.

З фера і куля, так само як окружність і коло, розглядали ще в глибоку давнину. Відкриття кулястості Землі, поява уявлень про небесній сфері дали поштовх до розвитку спеціальної науки - Сферика, що вивчає розташовані на сфері фігури.

Здійснюючи кругосвітні подорожі, мореплавці помітили, що при поверненні в той же місце спостерігається втрата або виграш цілої доби, що було б абсолютно неможливо, якби Земля мала форму диска.

Отже, доказами кулястості Землі в даний час є:

Завжди колоподібна фігура горизонту в океані і в відкритих низовинах або плоскогір'ях;

Кругосвітні подорожі.

Поступове наближення або видалення предметів;

І
зучая різні географічні карти, Ми виявили, що в географії є географічні назви, Пов'язані з кулею. Наприклад, між Північним і Південними островами Нової Землі є протоку, що з'єднує Баренцове і Карське моря, який називається Маточкин Шар, або протоку між берегами острова Вайгач і материком Євразії - Югорський Шар. Ми думаємо, що ці протоки названі кулями в силу того, що їх розміри, форма дна нагадують кульову поверхню.

2.12. Сфера і куля в мистецтві

Математика Ешера

Крім того, «грою» з логікою простору є картини Ешера, на яких зображені різні «неможливі фігури»; Ешер зображував їх як окремо, так і в сюжетних літографіях і гравюрах

Три сфери. +1946

Рука з відображає сферою. 1935

висновок

Думаю, що зібраний мною матеріал і знання, отримані в ході проробленої роботи можна використовувати на уроках геометрії, праці, в повсякденному житті, в якості основи для елективного курсу в класах фізико-математичного профілю, а так само на позакласних заняттях для розширення кругозору учнів.

література

Адамар Ж. Елементарна геометрія. Ч.2. М. Учпедгиз, 1958. Андрєєв

Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.2. - М: Просвітництво, 1987. - 352с.

Базилев В.Т. Геометрія. М: Просвещение, 1975.

Базилев В.Т. Збірник завдань з геометрії. М: Просвещение, 1980. -240с.

Єгоров І.П. Геометрія. - М: Просвітництво, 1979. - 256с.

Єгоров І.П. Підстави геометрії. - М: Просвітництво, 1984. - 144с.

Задачник "Кванта": Математика. Частина 1. / Под ред. Н.Б. Васильєва. М: 1997.

Розенфельд Б.А. Історія неевклідової геометрії. Розвиток поняття про геометричному просторі. М. Наука., 1976. - 408с.

Енциклопедія елементарної математики. Кн.4 - Геометрія. М., 1963.

10.Інтернет-ресурси.

Куля і сфера - це перш за все геометричні фігури, і якщо куля - це геометричне тіло, то сфера - це поверхня кулі. Цими фігурами цікавилися ще багато тисяч років тому до н.е.

Згодом коли було відкрито, що Земля - \u200b\u200bце куля, а небо - небесна сфера, отримав розвиток новий захоплююче напрямок в геометрії - геометрія на сфері або сферична геометрія. Для того, щоб міркувати про розмір і обсязі кулі, потрібно спочатку дати йому визначення.

куля

Кулею радіуса R з центром в точці О в геометрії називають тіло, яке створено всіма точками простір, мають загальну властивість. Ці точки знаходяться на відстані, що не перевищує радіуса кулі, тобто заповнюють весь простір менше радіуса кулі в різні боки від його центру. Якщо ми розглянемо тільки ті точки, які рівновіддалені від центру кулі - ми будемо розглядати його поверхню або оболонку кулі.

Як можна отримати кулю? Ми можемо вирізати з паперу коло і почати його обертати навколо його ж діаметру. Тобто діаметр кола буде віссю обертання. Освічена фігура - буде куля. Тому куля називають також тілом обертання. Тому що він може бути утворений шляхом обертання плоскої фігури - кола.

Візьмемо якусь площину і разрежем нею наш куля. Подібно до того як ми ріжемо ножем апельсин. Шматок, який ми відітнемо від кулі, називається кульовим сегментом.

В Стародавній Греції вміли не тільки працювати з кулею і сферою, як з геометричними фігурами, наприклад, використовувати їх при будівництві, а також вміли розраховувати площа поверхні кулі і об'єм кулі.

Сферою інакше називається поверхню кулі. Сфера - це не тіло - це поверхня тіла обертання. Однак так як і Земля і повставало багато тіл мають сферичну форму, наприклад крапля води, то вивчення геометричних співвідношень всередині сфери набуло великого поширення.

Наприклад, якщо ми з'єднаємо дві точки сфери між собою прямою лінією, то ця пряма лінія назветься хордою, а якщо ця хорда пройде через центр сфери, який збігається з центром кулі, то хорда назветься діаметром сфери.

Якщо ми проведемо пряму лінію, яка торкнеться сфери всього в одній точці, то ця лінія буде називатися дотичній. Крім того, ця дотична до сфери в цій точці буде перпендикулярна до радіуса сфери, проведеного в точку дотику.

Якщо ми продовжимо хорду до прямої в одну і іншу сторону від сфери, то ця хорда стане називатися січною. Або можна сказати інакше - січна до сфери містить в собі її хорду.

обсяг кулі

Формула для обчислення обсягу кулі має вигляд:

де R - радіус кулі.

Якщо потрібно знайти об'єм кульового сегмента - скористайтеся формулою:

V сег \u003d πh 2 (R-h / 3), h - висота кульового сегмента.

Площа поверхні кулі або сфери

Щоб обчислити площу сфери або площа поверхні кулі (це одне і те ж):

де R - радіус сфери.

Архімед дуже любив куля і сферу, він навіть попросив залишити на його гробницю малюнок, на якому в циліндр вписано кулю. Архімед вважав, що об'єм кулі і його поверхня дорівнюють двом третім від обсягу і поверхні циліндра, в який вписано кулю »