Фрактали в реальному світі об'єкт дослідження. Дослідницька робота «Подорож у світ фракталів

Як був відкритий фрактал

Математичні форми, відомі як фрактали, належать генію видатного вченого Бенуа Мандельброта. Більшу частину життя він викладав математику в Єльському університеті США. У 1977 - 1982 роках Мандельброт опублікував наукові праці, Присвячені вивченню «фрактальної геометрії» або «геометрії природи», в яких розбивав на перший погляд випадкові математичні форми на складові елементи, які опинилися при найближчому розгляді повторюваними, - що і доводило наявність якогось зразка для копіювання. Відкриття Мандельброта здобуло вагомі наслідки в розвитку фізики, астрономії та біології.



Фрактали в природі

У природі фрактальними властивостями володіють багато об'єктів, наприклад: крони дерев, кольорова капуста, хмари, кровоносна і альвеолярна системи людини і тварин, кристали, сніжинки, елементи яких шикуються в одну складну структуру, узбережжя (фрактальна концепція дозволила вченим виміряти берегову лінію Британських островів і інші, раніше незмірні, об'єкти).


Розглянемо будову цвітної капусти. Якщо розрізати один з квіток, очевидно, що в руках залишається все та ж кольорова капуста, тільки меншого розміру. Можна продовжувати різати знову і знову, навіть під мікроскопом - проте все, що ми отримаємо - це крихітні копії цвітної капусти. У цьому простому випадку навіть невелика частина фрактала містить інформацію про всю кінцевій структурі.

Фрактали в цифровій техніці

Фрактальна геометрія внесла неоціненний вклад у розробку нових технологій в області цифрової музики, а так само зробила можливою стиснення цифрових зображень. Існуючі фрактальні алгоритми стиснення зображення засновані на принципі зберігання стискає зображення замість самої цифрової картинки. Для стискає зображення основна картинка залишається нерухомою точкою. Фірма «Microsoft» використовувала один з варіантів даного алгоритму при виданні своєї енциклопедії, але з тих чи інших причин широкого поширення ця ідея не отримала.


В математичній основі фрактальної графіки лежить фрактальная геометрія, де в основу методів побудови «зображень-спадкоємців» поміщений принцип успадкування від вихідних «об'єктів-батьків». Самі поняття фрактальної геометрії і фрактальної графіки з'явилося всього близько 30 років тому, але вже міцно увійшли в ужиток комп'ютерних дизайнерів і математиків.

Базовими поняттями фрактальної комп'ютерної графіки є:

  • Фрактальний трикутник - фрактальна фігура - фрактальний об'єкт (ієрархія в порядку убування)
  • фрактальна пряма
  • фрактальна композиція
  • «Об'єкт-батько» і «Об'єкт спадкоємець»

Також як в векторної і тривимірній графіці, створення фрактальних зображень математично обраховуються. Головна відмінність від перших двох видів графіки в тому, що фрактальное зображення будується за рівнянням або системі рівнянь, - нічого крім формули в пам'яті комп'ютера для виконання всіх обчислень зберігати не потрібно, - і така компактність математичного апарату дозволила використання цієї ідеї в комп'ютерній графіці. Просто змінюючи коефіцієнти рівняння, можна з легкістю отримати зовсім інше фрактальное зображення - за допомогою декількох математичних коефіцієнтів задаються поверхні і лінії дуже складної форми, Що дозволяє реалізувати такі прийоми композиції, як горизонталі і вертикалі, симетрію і асиметрію, діагональні напрямки і багато іншого.

Як побудувати фрактал?

Творець фракталів виконує роль художника, фотографа, скульптора, і вченого-винахідника одночасно. Які мають бути етапи роботи створення малюнка «з нуля»?

  • задати форму малюнка математичною формулою
  • досліджувати збіжність процесу і варіювати його параметри
  • вибрати вид зображення
  • вибрати палітру кольорів

Серед фрактальних графічних редакторів та інших графічних програм можна виділити:

  • «Art Dabbler»
  • «Painter» (без комп'ютера жоден художник ніколи не досягне закладених програмістами можливостей лише за допомогою за допомогою олівця і пера кисті)
  • «Adobe Photoshop» (але тут зображення «з нуля» не створюється, а, як правило, тільки обробляється)

Розглянемо пристрій довільної фрактальної геометричної фігури. В її центрі знаходиться найпростіший елемент - рівносторонній трикутник, який отримав однойменну назву: «фрактальний». На середньому відрізку сторін побудуємо рівносторонній трикутники зі стороною, яка дорівнює одній третині від сторони вихідного фрактального трикутника. За тим же принципом будуються ще більш дрібні трикутники-спадкоємці другого покоління - і так до нескінченності. Об'єкт, який в результаті вийшов, називається «фрактальної фігурою», з послідовностей якої отримуємо «фрактальную композицію».

Джерело: http://www.iknowit.ru/

Фрактали і стародавні мандали

Це мандала для залучення грошей. Утверджают, що червоний колір працює як грошовий магніт. А витіюваті візерунки вам нічого не нагадують? Мені вони здалися дуже знайомими і я зайнялася дослідженням мандал в якості фрактала.

В принципі, мандала - це геометричний символ складної структури, який інтерпретується як модель Всесвіту, «карта космосу». Ось і перша ознака фрактальності!

Їх вишивають на тканині, малюють на піску, виконують кольоровими порошками і роблять з металу, каменю, дерева. Яскравий і дивовижний краєвид, робить її чудовою прикрасою підлог, стін і стель храмів в Індії. на стародавньому індійською мовою «Мандала» означає містичний коло взаємозв'язку духовних і матеріальних енергій Всесвіту або по-іншому квітка життя.

Мені хотілося написати огляд про фрактальних мандалах зовсім невеликим, з мінімумом абзаців, показавши, що взаємозв'язок явно існує. Однак, намагаючись знайти усвідомити і зв'язати інформацію про фрактали і мандалах в єдине ціле, у мене було відчуття квантового стрибка в невідоме мені простір.

Демонструю неосяжність цієї теми цитатою: "Такі фрактальні композиції або мандали можуть використовуватися як у вигляді картин, елементів дизайну житлового та робочого приміщення, носяться амулетів, у формі відеокасет, комп'ютерних програм... "Загалом, тема для дослідження фракталів просто величезна.

Одне я можу сказати точно, світ набагато різноманітніше і багатше, ніж убогі уявлення нашого розуму про нього.

Фрактальні морські тварини


Мої здогади про фрактальних морських тварин були не безпідставні. Ось і перші представники. Восьминіг - морське придонне тварина з загону головоногих.

Поглянувши на цю фотографію, мені стало очевидно фрактальное будова його тіла і присосок на всіх восьми щупальцях цієї тварини. Присосок на щупальцях дорослого восьминога досягає до 2000.

Цікавий той факт, що у восьминога три серця: одне (головне) жене блакитну кров по всьому тілу, а два інших - зябрових - проштовхують кров через зябра. Деякі види цих глибоководних фракталів отруйні.

Пристосовуючись і маскуючись під навколишнє середовище, Восьминіг має досить корисною здатністю змінювати забарвлення.

Восьминогів вважають самими «розумними» серед всіх безхребетних. Дізнаються людей, звикають до тих, хто їх годує. Цікаво було б подивитися на восьминогів, які легко піддаються дресируванню, мають хорошу пам'ять і навіть розрізняють геометричні фігури. Але вік цих фрактальних тварин недовгий - максимум 4 роки.

Людина використовує чорнило цього живого фрактала і інших головоногих. Вони користуються попитом у художників за їх стійкість і красивий коричневий тон. У середземноморської кухні восьминіг є джерелом вітамінів B3, B12, калію, фосфору і селену. Але я думаю, що цих морських фракталів потрібно вміти готувати, щоб отримувати задоволення від їх вживання у вигляді їжі.

До речі, слід зазначити, що восьминоги - хижаки. Своїми фрактальними щупальцями вони утримують жертву у вигляді молюсків, ракоподібних і риби. Шкода, якщо їжею цих морських фракталів стає ось такий гарний молюск. По-моєму, теж типовий представник фракталів морського царства.


Це родич равликів, черевоногих голожаберних молюск Главк, він же Глаукус, він же Glaucus atlanticus, він же Glaucilla marginata. Це фрактал ще і незвичайний тим, що живе і пересувається під поверхнею води, утримуючись за рахунок поверхневого натягу. Оскільки молюск є гермафродитом, то після спарювання обидва "партнера" \u200b\u200bвідкладають яйця. Цей фрактал зустрічається у всіх океанах тропічного поясу.

Фрактали морського царства



Кожен з нас хоча б раз в житті тримав в руках і з непідробним дитячим інтересом розглядав морську мушлю.

Зазвичай раковини є гарним сувеніром, що нагадує про поїздку на море. Коли дивишся на це спиралевидное освіту безхребетних молюсків, немає ніяких сумнівів в його фрактальної природі.

Ми, люди, чимось нагадуємо цих м'якотілих молюсків, мешкаючи в упорядкованих бетонних будинках-фрактали, поміщаючи і переміщаючи своє тіло в швидких автомобілях.


Ще одні найтиповішим представником фрактального підводного світу є корал.
У природі відомо понад 3500 різновидів коралів, в палітрі яких розрізняють до 350 колірних відтінків.

Корал - це матеріал скелета колонії коралових поліпів, теж із сімейства безхребетних. Їх величезні скупчення утворюють цілі коралові рифи, фрактальний спосіб утворення яких очевидний.

Корал з повною впевненістю можна назвати фракталом з морського царства.

Він також використовується людиною у вигляді сувеніру або сировини для ювелірних виробів і прикрас. Але повторити красу і досконалість фрактальної природи дуже складно.

Чомусь не сумніваюся, що в підводному світі також знайдеться і безліч фрактальних тварин.

В черговий раз, виконуючи ритуал на кухні з ножем і обробною дошкою, а потім, опустивши ніж в холодну воду, Я вся в сльозах в черговий раз придумувала, як боротися зі сльозогінним фракталом, який практично щодня з'являється на моїх очах.

Принцип фрактальності той же, що і у знаменитій матрьошки - вкладеність. Саме тому фрактальность помічається не відразу. До того ж, світлий однорідний забарвлення і його природна здатність викликати неприємні відчуття не сприяють пильній спостереженню за всесвітом і виявлення фрактальних математичних закономірностей.

А ось салатний цибулю бузкового кольору в силу свого забарвлення і відсутність сльозоточивих фітонцидів навів на роздуми про природну фрактальности цього овоча. Звичайно, фрактал він нехитрий, звичайні кола різного діаметра, можна навіть сказати примітивний фрактал. Але не завадило б згадати, що куля вважається ідеальною геометричною фігурою в межах нашого Всесвіту.

Про корисні властивості цибулі в Інтернеті опубліковано чимало статей, але якось ніхто не намагався вивчати цей природний екземпляр з точки зору фрактальности. Я можу тільки констатувати факт корисності застосування фрактала у вигляді лука на своїй кухні.

P.S. А овощерезку для подрібнення фрактала я вже придбала. Тепер доведеться поміркувати, наскільки фракталів такий корисний овоч, як звичайна білокачанна капуста. Той же принцип вкладеності.

Фрактали в народній творчості


Мою увагу привернула історія всесвітньо відомої іграшки «Матрьошка». Придивившись уважніше, з упевненістю можна сказати, що ця іграшка-сувенір - типовий фрактал.

Принцип фрактальності очевидний, коли все фігурки дерев'яної іграшки збудовані в ряд, а не вкладені одна в одну.

Мої невеликі дослідження історії появи цього іграшкового фрактала на світовому ринку показали, що коріння у цій красуні - японські. Матрьошка завжди вважалася споконвічно російським сувеніром. Але виявилося, що вона прототип японської фігурки старого-мудреця Фукурума, привезеного колись в Москву з Японії.

Але саме російський іграшковий промисел приніс цієї японської фігурці світову славу. Звідки виникла ідея фрактальної вкладеності іграшки, особисто для мене, так і залишилося загадкою. Швидше за все автор цієї іграшки використовував принцип вкладеності фігурок один в одного. А найпростіший спосіб вкладення - це подібні фігурки різних розмірів, а це вже - фрактал.


Не менш цікавий об'єкт дослідження представляє собою розпис іграшки-фрактала. Це декоративний розпис - хохлома. Традиційні елементи хохломи - це трав'яні візерунки з квітів, ягід і гілок.

Знову всі ознаки фрактальности. Адже один і той же елемент можна повторювати кілька разів у різних варіантах і пропорціях. У підсумку виходить народна фрактальная розпис.

І якщо новомодної розписом комп'ютерних мишок, кришок ноутбуків і телефонів нікого вже не здивуєш, то фрактальний тюнінг автомобіля в народному стилі - це щось нове в автодизайні. Залишається тільки дивуватися прояву світу фракталів в нашому житті таким незвичайним чином в таких звичайних для нас речах.

Фрактали на кухні

Кожен раз, розбираючи кольорову капусту на невеликі суцвіття для бланшування в киплячій воді, я ні разу не звертала уваги на явні ознаки фрактальности, поки у мене в руках не виявився цей екземпляр.

Типовий представник фрактала з рослинного світу красувався на моєму кухонному столі.

При всій моїй любові до цвітній капусті мені весь час траплялися екземпляри з однорідною поверхнею без видимих \u200b\u200bознак фрактальности, і навіть велике число суцвіть, вкладених один в одного, не давали мені приводу побачити в цій корисній овоче фрактал.

Але поверхню саме цього примірника з явно вираженою фрактальної геометрії не залишала жодного сумніву у фрактальному походження цього виду капусти.

Черговий похід в гіпермаркет тільки підтвердив фрактальний статус капусти. Серед величезного числа екзотичних овочів красувався цілий ящик з фракталами. Це була Романеско, або романська брокколі, цвітна коралова капуста.



Виявляється, дизайнери і 3D-художники захоплюються її екзотичними формами, схожими на фрактали.

Капустяні нирки наростають за логарифмічною спіралі. Перші згадки про капусту Романеско прийшли з Італії 16-го століття.

А капуста броколі зовсім часта гостя в моєму раціоні, хоча за змістом корисних речовин і мікроелементів вона перевершує кольорову капусту в рази. Але її поверхню і форма настільки однорідні, що мені ніколи не приходило в голову побачити в ній овочевий фрактал.

Фрактали в квілінгу

Побачивши ажурні вироби в техніці квіллінг, мене ніколи не покидало відчуття, що щось вони мені нагадують. Повторення одних і тих же елементів в різних розмірах - звичайно ж, це принцип фрактальності.


Подивившись черговий майстер-клас із квілінгу, не залишилося навіть сумнівів в фрактальности квілінгу. Адже для виготовлення різних елементів для виробів з квілінгу використовується спеціальна лінійка з колами різного діаметру. При всій красі і неповторності виробів, це - неймовірно проста техніка.

Майже всі основні елементи для виробів в квілінгу робляться з паперу. Щоб запастися папером для квілінгу безкоштовно, проведіть вдома ревізію своїх книжкових полиць. Напевно, там ви виявите пару-трійку яскравих глянцевих журналів.

Інструменти для квілінгу прості й недорогі. Все що вам необхідно для виконання аматорських робіт в стилі квіллінг, ви можете знайти серед своїх домашніх канцелярського приладдя.

А історія квілінгу починається в 18 столітті в Європі. В епоху Ренесансу монахи з французьких та італійських монастирів за допомогою квілінгу прикрашали книжкові обкладинки і навіть не підозрювали про фрактальности винайденої ними техніки бумагокрученія. Дівчата з вищого світу навіть проходили курс по квілінгу в спеціальних школах. Ось так ця техніка почала поширюватися по країнах і континентах.

Цей майстер-клас відео квіллінг з виготовлення розкішного оперення можна навіть назвати "фрактали своїми руками". За допомогою фракталів з паперу виходять чудовий ексклюзивні листівки-валентікі і багато різних інших цікавих речей. Адже фантазія, як і природа невичерпна.
Ні для кого не секрет, що японці по життю сильно обмежені в просторі, в зв'язку з чим, їм доводиться всіляко викручуватись в ефективному його використанні. Такеші Міякава показує, як це можна робити одночасно ефективно і естетично. Його фрактальний шафа підтвердження того, що використання фракталів в дизайні - це не тільки данина моді, а й гармонійне конструкторське рішення в умовах обмеженого простору.

Цей приклад використання фракталів в реальному житті, стосовно дизайну меблів показав мені, що фрактали реальні не тільки на папері в математичних формулах і комп'ютерних програмах.

І, схоже, що принцип фрактальності природа використовує повсюдно. Тільки потрібно придивитися до неї уважніше, і вона проявить себе у всій своїй чудовому достатку і нескінченності буття.

МУНІЦИПАЛЬНЕ БЮДЖЕТНА ЗАГАЛЬНООСВІТНІЙ -УЧРЕЖДЕНІЕ СЕРЕДНЯ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА

с. Мечетне

Науково-практична конференція «Дивовижний світ математики»

Дослідницька робота «Подорож у світ фракталів»

Виконала: студентка 10 класу

Аллахвердиева Наиля

Керівник: Давидова Е. В.


  1. Вступ.

  2. Основна частина:
а) Поняття фрактал;

б) Історія створення фракталів;

в) Класифікація фракталів;

г) Застосування фракталів;

д) Фрактали в природі;

е) Кольори фракталів.

3. Висновок.

Вступ.

Що ховається за таємничим поняттям «фрактал»? Напевно, для багатьох цей термін асоціюється з красивими зображеннями, хитромудрими візерунками і яскравими образами, створеними за допомогою комп'ютерної графіки. Але фрактали - це непросто красиві картинки. Це особливі структури, які лежать в основі всього, що нас оточує. увірвавшись в науковий світ всього кілька десятиліть тому, фрактали встигли зробити справжню революцію в сприйнятті навколишньої дійсності. Використовуючи фрактали, людина може створювати високоточні математичні моделі природних об'єктів, систем, процесів і явищ.

Основна частина
Поняття фрактала.

фрактал(Від лат. fractus - подрібнений, зламаний, розбитий) - складна геометрична фігура, що володіє властивістю самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком. Багато об'єктів в природі мають фрактальні властивості, наприклад, узбережжя, хмари, крони дерев, кровоносна система і система альвеол людини або тварин.

Фрактали, особливо на площині, популярні завдяки поєднанню краси з простотою побудови за допомогою комп'ютера.

Історія створення.
Вивести науку про фрактали на новий рівень зумів французький математик Бенуа Мандельброт - вчений, який сьогодні визнаний батьком фрактальної геометрії. Мандельброт вперше дав визначення терміну «фрактал»:

Цитата


"Фракталів називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні цілому"
У 70-ті роки Бенуа Мандельброт працював математичним аналітиком в компанії IBM. Вчений вперше задумався про фрактали в процесі вивчення шумів в електронних мережах. На перший погляд, перешкоди при передачі даних відбувалися абсолютно хаотично. Мандельброт побудував графік появи помилок і з подивом виявив, що в будь-якому часовому масштабі всі фрагменти виглядали аналогічно. У масштабі тижні шуми з'являлися в такій же послідовності, як і в масштабі одного дня, години або хвилини. Мандельброт зрозумів, що частота виникнення помилок при передачі даних розподіляється в часі за принципом, викладеному Кантором в наприкінці XIX століття. Тоді Бенуа Мандельброт всерйоз захопився вивченням фракталів.
На відміну від своїх попередників, для створення фракталів Мандельброт використав не геометричні побудови, а алгебраїчні перетворення різної складності. Математик застосовував метод зворотних ітерацій, який має на увазі багаторазове обчислення однієї і тієї ж функції. Іспользуявозможності ЕОМ, математик виконував величезну кількість послідовних обчислень, результати яких відобразив графічно на комплексній площині. Так з'явилося безліч Мандельброта - складний алгебраїчний фрактал, який сьогодні вважається класикою науки про фрактали. У деяких випадках один і той же предмет може вважатися одночасно гладким і фрактальним. Щоб пояснити, чому це відбувається, Мандельброт наводить цікавий наочний приклад. Клубок вовняних ниток, віддалений на деяку відстань, виглядає як точка з розмірністю 1. Клубок, розташований неподалік, виглядає як двовимірний диск. Взявши його в руки, можна чітко відчути обсяг клубка - тепер він сприймається як тривимірний. А фракталом клубок може вважатися тільки з точки зору спостерігача, що використовує збільшувальний прилад, або мухи, що сіла на поверхню нерівною вовняної нитки. Тому справжня фрактальность об'єкта залежить від точки зору спостерігача і від роздільної здатності використовуваного приладу.
Мандельброт зазначив цікаву закономірність - чим ближче розглядати вимірюваний об'єкт, тим більш протяжної буде його межа. Це властивість можна наочно продемонструвати на прикладі вимірювання довжини одного з природних фракталів - берегової лінії. Проводячи вимірювання на географічній карті, Можна отримати приблизне значення довжини, оскільки всі нерівності і вигини не будуть враховані. Якщо проводити вимірювання з урахуванням всіх нерівностей рельєфу, видимих \u200b\u200bз висоти людського зросту, то результат буде дещо іншим - довжина берегової лінії значно збільшиться. А якщо теоретично уявити, що вимірювальний прилад буде огинати нерівності кожного камінчика, то в цьому випадку протяжність берегової лінії буде практично нескінченною.
Класифікація фракталів.

Фрактали поділяють на:

геометричні: фрактали цього класу - самі наочні, в них відразу видно самоподобна. Історія фракталів почалася саме з геометричних фракталів, які досліджувалися математиками в XIX столітті.

алгебраїчні: ця група фракталів отримала таку назву тому, що фрактали утворюються за допомогою простих алгебраїчних формул.

стохастичні: утворюються в разі випадкової зміни в ітераційне процесі параметрів фрактала. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості і поверхні моря.

геометричні фрактали

Саме з них і починалася історія фракталів. Цей тип фракталів виходить шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай при побудові цих фракталів надходять так: береться "запал" - аксіома - набір відрізків, на підставі яких буде будуватися фрактал. Далі до цієї "затравки" застосовують набір правил, який перетворює її в будь-яку геометричну фігуру. Далі до кожної частини цієї фігури застосовують знову той же набір правил. З кожним кроком фігура буде ставати все складніше і складніше, і якщо ми проведемо (по крайней мере, в розумі) нескінченну кількість перетворень - отримаємо геометричний фрактал. класичні приклади геометричних фракталів: Сніжинка Коха, Лист, Трикутник Серпінського, Драконова ламана (додаток 1).


алгебраїчні фрактали

Друга велика група фракталів - алгебраїчні (додаток 2). Свою назву вони отримали за те, що їх будують, на основі алгебраїчних формул іноді вельми простих. Методів отримання алгебраїчних фракталів кілька.

На жаль, багато термінів рівня 10-11 класу, пов'язані з комплексними числами, необхідні для пояснення побудови фрактала, мені невідомі і поки важкі для розуміння, тому детально описати побудову фракталів подібного виду для мене не представляється можливим.

Спочатку фрактальна природа чорно-біла, але якщо додати трохи фантазії і фарб, то можна отримати справжній витвір мистецтв.


стохастичні фрактали

Типовий представник цього класу фракталів «Плазма» (додаток 3). Для її побудови візьмемо прямокутник і для кожного його кута визначимо колір. Далі знаходимо центральну точку прямокутника і розфарбовуємо її в колір рівний середньому арифметичному квітів по кутах прямокутника плюс деяке випадкове число. Чим більше випадкове число - тим більше «рваним» буде малюнок. Якщо ми тепер скажемо, що колір точки це висота над рівнем моря - отримаємо замість плазми - гірський масив. Саме на цьому принципі моделюються гори в більшості програм. За допомогою алгоритму, схожого на плазму будується карта висот, до неї застосовуються різні фільтри, накладаємо текстуру і, будь ласка, фотореалістичні гори готові!

застосування фракталів

Уже сьогодні фрактали знаходять широке застосування в найрізноманітніших областях. Активно розвивається напрямок фрактального архівування графічної інформації. Теоретично, фрактальное архівування може стискати зображення до розмірів точки без втрати якості. При збільшенні картинок, стислих за фрактальним принципом, чітко відображаються дрібні деталі, а ефект зернистості при цьому повністю відсутня.


Принципи теорії фракталів використовуються в медицині для аналізу електрокардіограм, оскільки ритм серцевих скорочень також є фракталом. Активно розвивається напрямок досліджень кровоносної системи і інших внутрішніх систем людського організму. У біології фрактали застосовуються для моделювання процесів, що відбуваються всередині популяцій.
Метеорологи використовують фрактальні залежності для аналізу інтенсивності руху повітряних мас, завдяки чому з'являється можливість більш точного прогнозування змін погоди. Фізика фрактальних середовищ з великим успіхом вирішує завдання вивчення динаміки складних турбулентних потоків, процесів адсорбції і дифузії. У нафтохімічній галузі фрактали використовуються для моделювання пористих матеріалів. Теорія про фрактали ефективно застосовується в роботі на фінансових ринках. Фрактальна геометрія використовується для створення потужних антенних пристроїв.
Сьогодні теорія фракталів є самостійною областю науки, на основі якої створюються все нові і нові напрямки в різних областях. Значущості фракталів присвячено безліч наукових праць.

Але ці незвичайні об'єкти не тільки надзвичайно корисні, але і неймовірно красиві. Саме тому фрактали поступово знаходять своє місце в мистецтві. Їх дивовижна естетична привабливість надихає багатьох митців на створення фрактальних картин. Сучасні композитори створюють музичні твори, використовуючи електронні інструменти з різними фрактальними характеристиками. Письменники застосовують фрактальну структуру для формування своїх літературних творів, а дизайнери створюють фрактальні предмети меблів і інтер'єру.


Фрактальность в природі

У 1977 році була видана книга Мандельброта «Фрактали: форма, випадковість і розмірність», а в 1982 році вийшла ще одна монографія - «Фрактальна геометрія природи», на сторінках якої автор продемонстрував наочні приклади різних фрактальних множин і навів докази існування фракталів в природі. Головну ідею теорії фракталів Мандельброт висловив такими словами:

"Чому геометрію часто називають холодною і сухою? Одна з причин полягає в тому, що вона не здатна досить точно описати форму хмари, гори, дерева або берега моря. Хмари - це не сфери, лінії берега - це не кола, і кора не є гладкою , а блискавка не поширюється по прямій. Природа демонструє нам не просто більш високий ступінь, А зовсім інший рівень складності. Число різних масштабів довжин в структурах завжди нескінченно. Існування цих структур кидає нам виклик у вигляді складного завдання вивчення тих форм, які Евклід відкинув як безформні - завдання дослідження морфології аморфного. Математики, однак, знехтували цим викликом і вважали за краще все більше і більше віддалятися від природи, винаходячи теорії, які не відповідають нічому з того, що можна побачити або відчути ".


Властивостями фрактального безлічі мають багато природні об'єкти (додаток 4).

Чи справді фрактали є універсальними структурами, які були взяті за основу при створенні абсолютно все, що є в цьому світі? Форма багатьох природних об'єктів максимально наближена до фракталам. Але не всі існуючі в світі фрактали мають настільки правильну і нескінченно повторювану структуру, як безлічі, створені математиками. Гірські хребти, поверхні розлому металу, турбулентні потоки, хмари, піна і багато-багато інших природних фрактали позбавлені ідеально точного самоподібності. І було б абсолютно помилково вважати, що фрактали є універсальним ключем до всіх таємниць Всесвіту. При всій своїй уявній складності, фрактали - це лише спрощена модель реальності. Але серед усіх доступних на сьогоднішній день теорій фрактали є найточнішим засобом опису навколишнього світу.

Чи справді фрактали є універсальними структурами, які були взяті за основу при створенні абсолютно все, що є в цьому світі? Форма багатьох природних об'єктів максимально наближена до фракталам. Але не всі існуючі в світі фрактали мають настільки правильну і нескінченно повторювану структуру, як безлічі, створені математиками. Гірські хребти, поверхні розлому металу, турбулентні потоки, хмари, піна і багато-багато інших природних фрактали позбавлені ідеально точного самоподібності. І було б абсолютно помилково вважати, що фрактали є універсальним ключем до всіх таємниць Всесвіту. При всій своїй уявній складності, фрактали - це лише спрощена модель реальності. Але серед усіх доступних на сьогоднішній день теорій фрактали є найточнішим засобом опису навколишнього світу.
кольори фракталів

Красу фракталам додає їх яскрава і помітна забарвлення. Складні колірні схеми роблять фрактали красивими і такими, що запам'ятовуються. З математичної точки зору фрактали - це чорно-білі об'єкти, кожна точка яких або належить множині, або не належить. Але можливості сучасних комп'ютерів дозволяють робити фрактали кольоровими і яскравими. І це не просте розфарбовування сусідніх областей безлічі в довільному порядку.

Аналізуючи значення кожної точки, програма автоматично визначає відтінок того чи іншого фрагмента. Чорним кольором зображуються точки, в яких функція приймає постійне значення. Якщо ж значення функції прямує до нескінченності, то тоді точка забарвлюється в інший колір. Інтенсивність забарвлення залежить від швидкості наближення до нескінченності. Чим більше повторень потрібно для наближення точки до стабільного значенням, тим світліше стає її відтінок. І навпаки - точки, швидко спрямовуються до нескінченності, пофарбовані в яскраві і насичені кольори.
висновок

Перший раз почувши про фрактали, задаєшся питанням, що це таке?

З одного боку - це складна геометрична фігура, що володіє властивістю самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком.

Це поняття заворожує своєю красою і таємничістю, проявляючись в найнесподіваніших областях: метеорології, філософії, географії, біології, механіки і навіть історії.

Практично неможливо не побачити фрактал в природі, адже майже кожен об'єкт (хмари, гори, берегова лінія і т.д.) мають фрактальное будова. У більшості веб-дизайнерів, програмістів є власна галерея фракталів (надзвичайно красиві).

По суті, фрактали відкривають нам очі і дозволяють подивитися на математику з іншого боку. Здавалося б, виробляються звичайні розрахунки зі звичайними «сухими» цифрами, але це дає нам по-своєму унікальні результати, що дозволяють відчути себе творцем природи. Фрактали дають зрозуміти, що математика - це теж наука про прекрасне.

своєю проектної роботою я хотіла розповісти про досить новому понятті в математиці «фрактал». Що це таке, які існують види, де поширюються. Я дуже сподіваюся, що фрактали зацікавили вас. Адже, як виявилося, фрактали досить цікаві і вони є майже на кожному кроці.

Список літератури


  • http://ru.wikipedia.org/wiki

  • http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml

  • http://fractals.narod.ru/

  • http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm

  • Бондаренко В.А., Дольник В.Л. Фрактальное стиснення зображень по Барнслі-Слоану. // Автоматика і телемеханіка.-1994.-N5.-с.12-20.

  • Ватолин Д. Застосування фракталів в машинній графіці. // Computerworld-Россія.-1995 N15.-с.11.

  • Федер Е. Фрактали. Пер. з англ.-М .: Світ, 1991.-254с. (Jens Feder, Plenum Press, NewYork, 1988)

  • Application of fractals and chaos. 1993, Springer-Verlag, Berlin.

Додаток 1

Додаток 2

додаток 3

додаток 4

Міністерство освіти, науки і молоді Республіки Крим

Муніципальне бюджетне загальноосвітній заклад «Магазінскій навчально-виховний комплекс» муніципального освіти Красноперекопський район Республіки Крим

Напрямок: математика

ДОСЛІДЖЕННЯ ОСОБЛИВОСТЕЙ фрактальної МОДЕЛЕЙ

ДЛЯ ПРАКТИЧНОГО ЗАСТОСУВАННЯ

Роботу виконав:

учень 8 класу муніципального бюджетного загальноосвітнього закладу «Магазінскій навчально-виховний комплекс» муніципального освіти Красноперекопський район Республіки Крим

Науковий керівник:

учитель математики муніципального бюджетного загальноосвітнього закладу «Магазінскій навчально-виховний комплекс» муніципального освіти Красноперекопський район Республіки Крим

Красноперекопський район - 2016

Наукою скоєно безліч геніальних відкриттів і винаходів, грунтовно змінили життя людства: електрику, атомна енергія, вакцина і багато іншого. Однак є такі відкриття, яким мало надають значення, але вони також здатні вплинути і впливають на наше життя. Одним з таких відкриттів є фрактали, які допомагають встановити зв'язок між подіями навіть в хаосі.

Американський математик Бенуа Мандельброт у своїй книзі «Фрактальна геометрія природи» писав: «Чому геометрію часто називають холодною і сухою? Одна з причин полягає в тому, що вона не здатна досить точно описати форму хмари, гори, дерева або берега моря. Хмари - це не сфери, лінії берега - це не кола, і кора не є гладкою, а блискавка не поширюється по прямій. Природа демонструє нам не просто вищий ступінь, а зовсім інший рівень складності. Число різних масштабів довжин в структурах завжди нескінченно. Існування цих структур кидає нам виклик у вигляді складного завдання вивчення тих форм, які Евклід відкинув як безформні - завдання дослідження морфології аморфного. Математики, однак, знехтували цим викликом і вважали за краще все більше і більше віддалятися від природи, винаходячи теорії, які не відповідають нічому з того, що можна побачити або відчути ».

гіпотеза:все, що існує в навколишньому світі - фрактал.

Мета роботи:створення об'єктів, образи яких схожі на природні.

Об'єкт дослідження:фрактали в різних областях науки і реальному світі.

Предмет дослідження:фрактальная геометрія.

Завдання дослідження:

1. знайомство з поняттям фрактала, історією його виникнення і дослідженнями Б. Мандельброта, Г. Коха, В. Серпінського і ін .;

3. знаходження підтвердження теорії фрактальності навколишнього світу;

4. вивчення застосування фракталів в інших науках і на практиці;

5. проведення експерименту зі створення власних фрактальних зображень.

Методи дослідження:аналітичний, пошуковий, експериментальний.

Історія виникнення поняття «фрактал»

Фрактальна геометрія, як новий напрямок в математиці, з'явилася в 1975 році. Поняття «фрактал» вперше ввів в математику американський вчений Бенуа Мандельброт. Фрактал (від англ. «Fraction») - дріб, поділений на частини. Визначення фрактала, дане Мандельброт, звучить так: «фрактали називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні цілому».

Працюючи в дослідницькому центрі компанії IBM, співробітники якого працювали над передачею даних на відстань, перед Бенуа постало складне і дуже важливе завдання - зрозуміти, як передбачити виникнення шумових перешкод в електронних схемах. Мандельброт звернув увагу на одну дивну закономірність - графіки шумів в різному масштабі виглядали однаково. Однакова картина спостерігалася незалежно від того, чи був це графік шумів за один день, тиждень або годину. Варто було змінити масштаб графіка, і картина кожен раз повторювалася. Вдумуючись в сенс дивних візерунків, до Бенуа прийшло усвідомлення суті фракталів.

Однак перші ідеї фрактальної геометрії виникли ще в 19 столітті.

Так Георг Кантор (Cantor, 1845-1918) - німецький математик, логік, теолог, творець теорії нескінченних множин, з допомогою простої повторюється процедури перетворив лінію в набір незв'язаних точок. Він брав лінію і видаляв центральну третину і після цього повторював те ж саме з відрізками. Те, що вийшло, назвали Пилом Кантора (Малюнок 1).

А італійський математик Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano; 1858-1932) брав лінію і замінював її на 9 відрізків довжиною в 3 рази меншою, ніж довжина вихідної лінії. Далі він робив те ж саме з кожним відрізком. І так до нескінченності. Пізніше аналогічне побудова було здійснено в тривимірному просторі (Малюнок 2).

Один з перших малюнків фрактала був графічною інтерпретацією безлічі Мандельброта, яке народилося завдяки дослідженням Гастона Моріса Жюліа (Gaston Maurice Julia) (Малюнок 3).

Всі фрактали можна поділити на групи, але найбільші з них це:

Геометричні фрактали;

Алгебраїчні фрактали;

Стохастичні фрактали.

геометричні фрактали

Геометричні фрактали самі наочні і виходять вони шляхом простих геометричних побудов. Беруть деяку ламану (або поверхню в тривимірному випадку), звану генератором. Потім кожен з відрізків, що становлять ламану, замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. В результаті нескінченного повторення цієї процедури, виходить геометричний фрактал. Прикладами геометричних фракталів можуть служити:

1) Крива Коха. На початку ХХ століття з бурхливим розвитком квантової механіки перед вченими постало завдання знайти таку криву, яка б найкращим чином показувала рух броунівських часток. Для цього крива повинна була мати наступну властивість: не мати дотичній ні в одній точці. Математик Кох запропонував одну таку криву: беремо одиничний інтервал, поділяємо на три рівні частини і замінюємо середній інтервал рівностороннім трикутником без цього сегмента. В результаті утворюється ламана, що складається з чотирьох ланок довжини 1/3. На наступному кроці повторюємо операцію для кожного з чотирьох одержані ланок і т. Д.

Гранична крива і є крива Коха (Малюнок 4) . Виконавши аналогічні перетворення на сторонах рівностороннього трикутника можна отримати фрактальное зображення сніжинки Коха.

2) Крива Леві . Береться половина квадрата і кожна сторона замінюється таким же фрагментом. Операція повторюється багато разів і в кінцевому підсумку виходить крива Леві (Малюнок 5).

3) Крива Маньківського. Фундаментом є відрізок, а генератором - ламана з восьми ланок (два рівних ланки продовжують один одного) (Малюнок 6).

4) Крива Пеано (Малюнок 2).

5) Крива дракона (Малюнок 7).

6) Дерево Піфагора. Побудовано на фігурі, відомої як «Піфагорови штани», де на сторонах прямокутного трикутника розташовані квадрати. Вперше дерево Піфагора побудував, використовуючи звичайну креслярську лінійку (Малюнок 8).

7) Квадрат Серпінського. Відомий як «решітка» або «серветка» Серпінського (Малюнок 9). Квадрат ділиться прямими, паралельними його сторонам, на 9 рівних квадратів. З квадрата видаляється центральний квадрат. Виходить безліч, що складається з 8 залишилися квадратів "першого рангу". Поступаючи так само з кожним з квадратів першого рангу, отримаємо безліч, що складається з 64 квадратів другого рангу. Продовжуючи цей процес нескінченно, отримаємо нескінченну послідовність або квадрат Серпінського.

алгебраїчні фрактали

Фрактали, що будуються на основі алгебраїчних формул, відносяться до алгебраїчних фракталам. Це найбільша група фракталів. До них можна віднести фрактал Мандельброта (Малюнок 3) , фрактал Ньютона (Малюнок 10), безліч Жюліа (Малюнок 11) і багато інших.

Деякі алгебраїчні фрактали вражаючим чином нагадують зображення тварин, рослин та інших біологічних об'єктів, внаслідок чого отримали назву биоморф.

стохастичні фрактали

Стохастичні фрактали - ще одна велика різновид фракталів, які утворюються шляхом багаторазових повторень випадкових змін будь-яких параметрів. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні - несиметричні дерева, порізані берегові лінії і т. Д.

Так якщо взяти прямокутник і кожному його кутку визначити колір. Потім взяти його центральну точку і розфарбувати її в колір рівний середньому арифметичному квітів по кутах прямокутника плюс деяке випадкове число. Чим більше випадкове число - тим більше "рваним" буде малюнок. Таким чином, вийде фрактал «плазма» (Малюнок 12). А якщо припустити, що колір точки це висота над рівнем моря - отримаємо замість плазми - гірський масив. Саме на цьому принципі моделюються гори в більшості програм. За допомогою алгоритму, схожого на плазму будується карта висот, до неї застосовуються різні фільтри, накладається текстура і фотореалістичні гори готові.

застосування фракталів

Фрактальна живопис.Популярне серед цифрових художників напрямок сучасного арту. Фрактальні картини незвично і заворожуюче діють на людину, народжуючи яскраві палаючі образи. Казкові абстракції створюються за допомогою нудних математичних формул, але уява сприймає їх живими (Малюнок 13). Будь-яка людина може вправлятися з фрактальними програмами і генерувати свої фрактали. Справжнє мистецтво полягає в умінні знайти неповторне поєднання кольору і форми.

Фрактали в літературі. Серед літературних творів знаходять такі, які мають фрактальної природою, т. Е. Вкладеної структурою самоподібності:

1. «Ось будинок.

Який побудував Джек.

А ось пшениця.

Який побудував Джек

А ось весела птиця-синиця,

Яка спритно краде пшеницю,

Яка в темній комірці храніца

Який побудував Джек ... ».

Самуїл Маршак

2. Блох великих кусають блішки

Блішок тих - малятка-крихти,

Як кажуть, ad infinitum.

Джонатан Свіфт

Фрактали в медицині.Людський організм складається з безлічі фракталоподобних структур: кровоносна, лімфотіческіх і нервова системи, м'язи, бронхи і т. Д. (Малюнок 14, 15).

Фрактали у фізиці і механіці.Фрактальні моделі природних об'єктів дозволяють моделювати різні фізичні явища і робити прогнози.

Американський інженер Натан Коен, який жив в центрі Бостона, де була заборонена установка зовнішніх антен, вирізав з алюмінієвої фольги фігуру в формі кривої Коха, наклеїв її на аркуш паперу і приєднав до приймача. Виявилося, що така антена працює не гірше за звичайне. І хоча фізичні принципи такої антени до сих пір не вивчені, це не завадило Коену обґрунтувати власну компанію і налагодити їх серійний випуск. В наразі американська фірма «Fractal Antenna System» виробляє фрактальні антени для мобільних телефонів.

Фрактали в природі.Природа часто створює дивовижні і прекрасні фрактали, з ідеальною геометрією і такий гармонією, що просто завмираєш від захоплення. І ось їх приклади:

- морські раковини;

Підвид цвітної капусти (Brassica cauliflora), папороть;

Оперення павича;

https://pandia.ru/text/80/404/images/image009_13.jpg "align \u003d" left "width \u003d" 237 "height \u003d" 178 src \u003d "\u003e

Дерево від листочка до кореня.

https://pandia.ru/text/80/404/images/image011_13.jpg "alt \u003d" (! LANG: Картинка 7 из 122" align="left" width="168" height="113 src=">!}

Фрактали є скрізь і всюди в навколишньому нас природі. Вся Всесвіт побудований за дивно гармонійним законам з математичною точністю. Хіба можна після цього думати, що наша планета це випадкове зчеплення частинок?

Практична робота

Фрактальное дерево.C допомогою панелі інструментів «Малювання» програми Microsoft Word і нехитрих перетворень угруповання, копіювання і вставки, я побудував своє фрактальное дерево. Генекатором мого фрактала стали п'ять відрізків розташованих певним чином.
.jpg "width \u003d" 449 height \u003d 303 "height \u003d" 303 "\u003e

Малюнок 8. Дерево Піфагора

Малюнок 9. Квадрат Серпінського

Малюнок 10. Фрактал Ньютона

Малюнок 11. Безліч Жюліа

Малюнок 12. Фрактал «Плазма»

https://pandia.ru/text/80/404/images/image028_2.jpg "width \u003d" 480 height \u003d 299 "height \u003d" 299 "\u003e

Малюнок 14. Кровоносна система людини

Малюнок 15. Скупчення нервових клітин

Фрактали відомі вже майже століття, добре вивчені і мають численні застосування в житті. Однак в основі цього явища лежить дуже проста ідея: нескінченне по красі і різноманітності безліч фігур можна отримати з відносно простих конструкцій за допомогою всього двох операцій - копіювання і масштабування.

Євген Єпіфанов

Що спільного у дерева, берега моря, хмари або кровоносних судин у нас в руці? На перший погляд може здатися, що всі ці об'єкти ніщо не об'єднує. Однак насправді існує одна властивість структури, властиве всім перерахованим предметів: вони самоподобни. Від гілки, як і від стовбура дерева, відходять відростки поменше, від них - ще менші, і т. Д., Тобто гілка подібна всьому дереву. Подібним же чином влаштована і кровоносна система: від артерій відходять артеріоли, а від них - дрібні капіляри, по яких кисень надходить в органи і тканини. Подивимося на космічні знімки морського узбережжя: ми побачимо затоки і півострова; поглянемо на нього ж, але з висоти пташиного польоту: нам буде видно бухти і миси; тепер уявімо собі, що ми стоїмо на пляжі і дивимося собі під ноги: завжди знайдуться камінчики, які далі видаються в воду, ніж інші. Тобто берегова лінія при збільшенні масштабу залишається схожою на саму себе. Це властивість об'єктів американський (правда, виріс у Франції) математик Бенуа Мандельброт назвав фрактальної, а самі такі об'єкти - фракталами (від латинського fractus - зламаний).


У цього поняття немає строгого визначення. Тому слово «фрактал» не є математичним терміном. Зазвичай фракталом називають геометричну фігуру, яка задовольняє одній або декільком з наступних властивостей: Володіє складною структурою при будь-якому збільшенні масштабу (на відміну від, наприклад, прямий, будь-яка частина якої є найпростішою геометричною фігурою - відрізком). Є (приблизно) самоподобной. Володіє дробової Гаусдорфів (фрактальної) розмірністю, яка більше топологічної. Може бути побудована рекурсивними процедурами.

Геометрія і алгебра

Вивчення фракталів на рубежі XIX і XX століть носило скоріше епізодичний, ніж систематичний характер, тому що раніше математики в основному вивчали «хороші» об'єкти, які піддавалися дослідженню за допомогою загальних методів і теорій. У 1872 році німецький математик Карл Вейерштрасс будує приклад неперервної функції, яка ніде не диференційована. Однак його побудова було цілком абстрактно і важко для сприйняття. Тому в 1904 році швед Хельге фон Кох придумав безперервну криву, яка ніде не має дотичній, причому її досить просто намалювати. Виявилося, що вона має властивості фрактала. Один з варіантів цієї кривої носить назву «сніжинка Коха».

Ідеї \u200b\u200bсамоподібності фігур підхопив француз Поль П'єр Леві, майбутній наставник Бенуа Мандельброта. У 1938 році вийшла його стаття «Плоскі та просторові криві і поверхні, що складаються з двох частин, подібних цілому», в якій описаний ще один фрактал - С-крива Леві. Всі ці перераховані вище фрактали можна умовно віднести до одного класу конструктивних (геометричних) фракталів.


Інший клас - динамічні (алгебраїчні) фрактали, до яких відноситься і безліч Мандельброта. Перші дослідження в цьому напрямку почалися на початку XX століття і пов'язані з іменами французьких математиків Гастона Жуліа і П'єра Фату. У 1918 році вийшов майже двухсотстранічний мемуари Жуліа, присвячений итерациям комплексних раціональних функцій, в якому описані безлічі Жуліа - ціле сімейство фракталів, близько пов'язаних з безліччю Мандельброта. Ця праця був удостоєний призу французької академії, Проте в ньому не містилося жодної ілюстрації, так що оцінити красу відкритих об'єктів було неможливо. Незважаючи на те що це робота прославила Жуліа серед математиків того часу, про неї досить швидко забули. Знову увагу до неї звернулося лише через півстоліття з появою комп'ютерів: саме вони зробили видимими багатство і красу світу фракталів.

фрактальні розмірності

Як відомо, розмірність (число вимірів) геометричної фігури - це число координат, необхідних для визначення положення лежачої на цій фігурі точки.
Наприклад, положення точки на кривій визначається однією координатою, на поверхні (не обов'язково площині) двома координатами, в тривимірному просторі трьома координатами.
З більш загальної математичної точки зору, можна визначити розмірність таким чином: збільшення лінійних розмірів, скажімо, в два рази, для одновимірних (з топологічної точки зору) об'єктів (відрізок) призводить до збільшення розміру (довжини) в два рази, для двовимірних (квадрат ) таке ж збільшення лінійних розмірів призводить до збільшення розміру (площі) в 4 рази, для тривимірних (куб) - в 8 раз. Тобто «реальну» (т.зв. гаусдорфів) розмірність можна підрахувати у вигляді відносини логарифма збільшення «розміру» об'єкта до логарифму збільшення його лінійного розміру. Тобто для відрізка D \u003d log (2) / log (2) \u003d 1, для площини D \u003d log (4) / log (2) \u003d 2, для обсягу D \u003d log (8) / log (2) \u003d 3.
Підрахуємо тепер розмірність кривої Коха, для побудови якої одиничний інтервал ділять на три рівні частини і замінюють середній інтервал рівностороннім трикутником без цього сегмента. При збільшенні лінійних розмірів мінімального відрізка в три рази довжина кривої Коха зростає в log (4) / log (3) ~ 1,26. Тобто розмірність кривої Коха - дрібна!

Наука і мистецтво

У 1982 році вийшла книга Мандельброта «Фрактальна геометрія природи», в якій автор зібрав і систематизував практично всю наявну на той момент інформацію про фрактали і в легкій і доступній манері виклав її. Основний упор в своєму викладі Мандельброт зробив не на великовагові формули і математичні конструкції, а на геометричну інтуїцію читачів. Завдяки ілюстраціям, отриманим за допомогою комп'ютера, і історичним байкам, якими автор вміло розбавив наукову складову монографії, книга стала бестселером, а фрактали стали відомі широкому загалу. Їх успіх серед нематематика багато в чому обумовлений тим, що за допомогою вельми простих конструкцій і формул, які здатний зрозуміти і старшокласник, виходять дивовижні за складністю і красу зображення. Коли персональні комп'ютери стали досить потужними, з'явилося навіть цілий напрям в мистецтві - фрактальна живопис, причому займатися нею міг практично будь-який власник комп'ютера. Зараз в інтернеті можна легко знайти безліч сайтів, присвячених цій темі.


Схема отримання кривої Коха

Війна і мир

Як вже зазначалося вище, один з природних об'єктів, що мають фрактальні властивості, - це берегова лінія. З ним, а точніше, зі спробою виміряти його довжину, пов'язана одна цікава історія, Яка лягла в основу наукової статті Мандельброта, а також описана в його книзі «Фрактальна геометрія природи». Йдеться про експеримент, який поставив Льюїс Річардсон - вельми талановитий і ексцентричний математик, фізик і метеоролог. Одним з напрямків його досліджень була спроба знайти математичний опис причин і ймовірності виникнення збройного конфлікту між двома країнами. У числі параметрів, які він враховував, була протяжність спільного кордону двох ворогуючих країн. Коли він збирав дані для численних експериментів, то виявив, що в різних джерелах дані про спільному кордоні Іспанії та Португалії сильно відрізняються. Це наштовхнуло його на наступне відкриття: довжина кордонів країни залежить від лінійки, якою ми їх вимірюємо. Чим менше масштаб, тим довше виходить межа. Це відбувається через те, що при більшому збільшенні стає можливим враховувати всі нові і нові вигини берега, які раніше ігнорувалися через грубості вимірювань. І якщо при кожному збільшенні масштабу будуть відкриватися раніше не враховані вигини ліній, то вийде, що довжина кордонів нескінченна! Правда, насправді цього не відбувається - у точності наших вимірювань є кінцевий межа. Цей парадокс називається ефектом Річардсона.


Конструктивні (геометричні) фрактали

Алгоритм побудови конструктивного фрактала в загальному випадку такий. Перш за все нам потрібні дві відповідні геометричні фігури, назвемо їх основою і фрагментом. На першому етапі зображується основа майбутнього фрактала. Потім деякі її частини замінюються фрагментом, узятим в потрібному масштабі, - це перша ітерація побудови. Потім у отриманої фігури знову деякі частини змінюються на фігури, подібні фрагменту, і т. Д. Якщо продовжити цей процес до нескінченності, то в межі вийде фрактал.

Розглянемо цей процес на прикладі кривої Коха (див. Врізку на попередній сторінці). За основу кривої Коха можна взяти будь-яку криву (для «сніжинки Коха» це трикутник). Але ми обмежимося найпростішим випадком - відрізком. Фрагмент - ламана, зображена зверху на малюнку. Після першої ітерації алгоритму в даному випадку вихідний відрізок співпаде з фрагментом, потім кожен з складових його відрізків сам заміниться на ламану, подібну фрагменту, і т. Д. На малюнку показані перші чотири кроки цього процесу.


Мовою математики: динамічні (алгебраїчні) фрактали

Фрактали цього типу виникають при дослідженні нелінійних динамічних систем (звідси і назва). Поведінка такої системи можна описати комплексної нелінійної функцією (многочленом) f (z). Візьмемо якусь початкову точку z0 на комплексній площині (див. Врізку). Тепер розглянемо таку нескінченну послідовність чисел на комплексній площині, кожне наступне з яких виходить з попереднього: z0, z1 \u003d f (z0), z2 \u003d f (z1), ... zn + 1 \u003d f (zn). Залежно від початкової точки z0 така послідовність може вести себе по-різному: прагнути до нескінченності при n -\u003e ∞; сходитися до якоїсь кінцевої точки; циклічно приймати ряд фіксованих значень; можливі і складніші варіанти.

Комплексні числа

Комплексне число - це число, що складається з двох частин - дійсної та уявної, тобто формальна сума x + iy (x і y тут - речові числа). i - це т.зв. уявна одиниця, тобто тобто число, яке задовольняє рівняння i ^2 \u003d -1. Над комплексними числами визначені основні математичні операції - додавання, множення, ділення, віднімання (не визначена тільки операція порівняння). Для відображення комплексних чисел часто використовується геометричне уявлення - на площині (її називають комплексної) по осі абсцис відкладають дійсну частину, а по осі ординат - уявну, при цьому комплексному числу відповідатиме точка з декартовими координатами x і y.

Таким чином, будь-яка точка z комплексної площині має свій характер поведінки при ітераціях функції f (z), а вся площину ділиться на частини. При цьому точки, що лежать на кордонах цих частин, мають таку властивість: при як завгодно малому зміщенні характер їх поведінки різко змінюється (такі точки називають точками біфуркації). Так ось, виявляється, що безлічі точок, що мають один конкретний тип поведінки, а також безлічі біфуркаційних точок часто мають фрактальні властивості. Це і є безлічі Жуліа для функції f (z).

сімейство драконів

Варіюючи основу і фрагмент, можна отримати приголомшливе різноманітність конструктивних фракталів.
Більш того, подібні операції можна проводити і в тривимірному просторі. Прикладами об'ємних фракталів можуть служити «губка Менгера», «піраміда Серпінського» та інші.
До конструктивних фракталам відносять і сімейство драконів. Іноді їх називають по імені першовідкривачів «драконами Хейвея-Хартера» (своєю формою вони нагадують китайських драконів). Існує кілька способів побудови цієї кривої. Найпростіший і наочний з них такий: потрібно взяти досить довгу смужку паперу (чим тонше папір, тим краще), і зігнути її навпіл. Потім знову зігнути її вдвічі в тому ж напрямку, що і в перший раз. Після кількох повторень (зазвичай через п'ять-шість складань смужка стає дуже товстою, щоб її можна було акуратно гнути далі) потрібно розігнути смужку назад, причому намагатися, щоб у місцях згинів утворилися кути в 90˚. Тоді в профіль вийде крива дракона. Зрозуміло, це буде лише наближення, як і всі наші спроби зобразити фрактальні об'єкти. Комп'ютер дозволяє зобразити набагато більше кроків цього процесу, і в результаті виходить дуже гарна фігура.

Безліч Мандельброта будується трохи інакше. Розглянемо функцію fc (z) \u003d z 2 + с, де c - комплексне число. Побудуємо послідовність цієї функції з z0 \u003d 0, в залежності від параметра з вона може розходитися до нескінченності або залишатися обмеженою. При цьому всі значення з, при яких ця послідовність обмежена, як раз і утворюють безліч Мандельброта. Воно було детально вивчено самим Мандельброт і іншими математиками, які відкрили чимало цікавих властивостей цього безлічі.

Видно, що визначення множин Жуліа і Мандельброта схожі один на одного. Насправді ці два безлічі тісно пов'язані. А саме, безліч Мандельброта - це все значення комплексного параметра c, при яких безліч Жуліа fc (z) зв'язно (безліч називається зв'язковим, якщо його не можна розбити на дві непересічні частини, з деякими додатковими умовами).


Фрактали і життя

В наші дні теорія фракталів знаходить широке застосування в різних областях людської діяльності. Крім чисто наукового об'єкта для досліджень і тієї самої фрактальної живопису, фрактали використовуються в теорії інформації для стиснення графічних даних (тут в основному застосовується властивість самоподібності фракталів - адже щоб запам'ятати невеликий фрагмент малюнка і перетворення, за допомогою яких можна отримати інші частини, потрібно набагато менше пам'яті, ніж для зберігання всього файлу). Додаючи в формули, що задають фрактал, випадкові обурення, можна отримати стохастичні фрактали, які вельми правдоподібно передають деякі реальні об'єкти - елементи рельєфу, поверхню водойм, деякі рослини, що з успіхом застосовується у фізиці, географії та комп'ютерної графіки для досягнення більшої схожості модельованих предметів з справжніми. У радіоелектроніки в останнє десятиліття почали випускати антени, що мають фрактальну форму. Займаючи мало місця, вони забезпечують цілком якісний прийом сигналу. Економісти використовують фрактали для опису кривих коливання курсів валют (це властивість було відкрито Мандельброт більше 30 років тому). На цьому ми завершимо цю невелику екскурсію в дивовижний по красі і різноманітності світ фракталів.

Фрактали в навколишньому світі.

Виконала: учениця 9 класу

МБОУ Кіровська ЗОШ

Литовченко Катерина Миколаївна.
Керівник: вчитель математики

МБОУ Кіровська ЗОШ

Качула Наталія Миколаївна.

    Введение ........................................................................ 3

      Об'єкт дослідження.

      Предмети дослідження.

      Гіпотези.

      Цілі, завдання і методи дослідження.

    Дослідницька частина. ................................................. 7

      Знаходження зв'язку між фракталами і трикутником Паскаля.

      Знаходження зв'язку між фракталами і золотим перетином.

      Знаходження зв'язку між фракталами і фігурними числами.

      Знаходження зв'язку між фракталами і літературними творами.

3. Практичне застосування фракталів ................................. .. 13

4. Висновок .................................................................. .. 15

4.1 Результати дослідження.

5. Бібліографія ............................................................... .. 16

    Вступ.

      Об'єкт дослідження: Фрактали .

Коли більшості людей здавалося, що геометрія в природі обмежується такими простими фігурами, як лінія, коло, конічний перетин, багатокутник, сфера, квадратична поверхню, а також їх комбінаціями. Наприклад, що може бути красивіше твердження про те, що планети в нашій сонячній системі рухаються навколо сонця по еліптичних орбітах?

Однак багато природні системи настільки складні і нерегулярні, що використання тільки знайомих об'єктів класичної геометрії для їх моделювання представляється безнадійним. Як наприклад, побудувати модель гірського хребта або крони дерева в термінах геометрії? Як описати ту різноманітність біологічних конфігурацій, яке ми спостерігаємо в світі рослин і тварин? Уявіть собі всю складність системи кровообігу, що складається з безлічі капілярів і судин і доставляє кров до кожної клітинки людського тіла. Уявіть, як хитромудро влаштовані легені і нирки, що нагадують за структурою дерева з гіллястою кроною.

Настільки ж складною і нерегулярної може бути і динаміка реальних природних систем. Як підступитися до моделювання каскадних водоспадів або турбулентних процесів, що визначають погоду?

Фрактали і математичний хаос - відповідні кошти для дослідження поставлених питань. термін фракталвідноситься до деякої статичної геометричної конфігурації, такий як миттєвий знімок водоспаду. хаос - термін динаміки, використовуваний для опису явищ, подібних турбулентному поведінки погоди. Нерідко те, що ми спостерігаємо в природі, інтригує нас нескінченним повторенням одного і того ж візерунка, збільшеного або зменшеного у скільки завгодно разів. Наприклад, у дерева є гілки. На цих гілках є гілки поменше і т.д. Теоретично, елемент «розгалуження» повторюється нескінченно багато разів, стаючи все менше і менше. Те ж саме можна помітити, розглядаючи фотографію гірського рельєфу. Спробуйте трохи наблизити зображення гірської гряди - ви знову побачите гори. Так проявляється характерне для фракталів властивість самоподібності.

У багатьох роботах по фракталам самоподоба використовується як визначального властивості. Слідуючи Бенуа Мадельброту, ми приймаємо точку зору, згідно з якою фрактали повинні визначатися в термінах фрактальної (дробової) розмірності. Звідси і походження слова фрактал (Від лат. fractus - дробовий).

Поняття дробової розмірності являє собою складну концепцію, яка викладається в кілька етапів. Пряма - це одновимірний об'єкт, а площину - двовимірний. Якщо гарненько перекрутивши пряму і площину, можна підвищити розмірність отриманої конфігурації; при цьому нова розмірність зазвичай буде дробової в деякому сенсі, який нам належить уточнити. Зв'язок дробової розмірності і самоподібності полягає в тому, що за допомогою самоподібності можна сконструювати безліч дробової розмірності найбільш простим чином. Навіть в разі набагато складніших фракталів, таких як межа безлічі Мандельброта, коли чисте самоподоба відсутня, є майже повне повторення базової форми в усі більш і більш зменшеному вигляді.

Слово «фрактал» не є математичним терміном і не має загальноприйнятого суворого математичного визначення. Воно може вживатися, коли розглянута фігура, володіє будь-якими з перерахованих нижче властивостей:

    Теоретична багатовимірність (можна продовжувати в будь-якій кількості вимірювань).

    Якщо розглянути невеликий фрагмент регулярної фігури в дуже великому масштабі, він буде схожий на фрагмент прямої. Фрагмент фрактала ж у великому масштабі буде таким же, як і в будь-якому іншому масштабі. Для фрактала збільшення масштабу не веде до спрощення структури, на всіх шкалах ми побачимо однаково складну картину.

    Є самоподобной або приблизно самоподобной, кожен рівень подібний до цілого

    Довжини, площі і обсяги одних фракталів дорівнюють нулю, інших - звертаються в нескінченність.

    Володіє дробовою розмірністю.

Види фракталів: алгебраїчні, геометричні, стохастичні.

алгебраїчні фрактали - найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах, наприклад, множини Мандельброта і Жюліа.

Друга група фракталів - геометричні фрактали. Історія фракталів почалася з геометричних фракталів, які досліджувалися математиками в XIX столітті. Фрактали цього класу - самі наочні, тому що в них відразу видно самоподобна. Цей тип фракталів виходить шляхом простих геометричних побудов. При побудові цих фракталів зазвичай береться набір відрізків, на підставі яких буде будуватися фрактал. Далі до цього набору застосовують набір правил, який перетворює їх в будь-яку геометричну фігуру. Далі до кожної частини цієї фігури застосовують знову той же набір правил. З кожним кроком фігура буде ставати все складніше і складніше, і якщо уявити нескінченну кількість подібних операцій, виходить геометричних фрактал.

На малюнку праворуч зображено трикутник Серпінського - геометричний фрактал, який утворюється в такий спосіб: на першому кроці ми бачимо звичайний трикутник, на наступному кроці з'єднуються середини сторін, утворюючи 4 трикутника, один з яких перевернутий. Далі ми повторюємо виконану операцію з усіма трикутниками, крім перевернутих, і так до нескінченності.

Приклади геометричних фракталів:

1.1 Зірка Коха

На початку ХХ століття математики шукали такі криві, які ні в одній точці не мають дотичній. Це означало, що крива різко змінює свій напрямок, і до того ж з колосально великий швидкістю (похідна дорівнює нескінченності). Пошуки даних кривих були викликані не просто дозвільним інтересом математиків. Справа в тому, що на початку ХХ століття дуже бурхливо розвивалася квантова механіка. Дослідник М.Броун замалював траєкторію руху зважених часток у воді і пояснив це явище так: безладно рухаються атоми рідини вдаряються об зважені частинки і тим самим призводять їх у рух. Після такого пояснення броунівського руху перед вченими постало завдання знайти таку криву, яка б найкращим чином апроксимувати рух броунівських часток. Для цього крива повинна була відповідати наступним властивостям: не мати дотичній ні в одній точці. Математик Кох запропонував одну таку криву. Ми не будемо вдаватися в пояснення правила її побудови, а просто наведемо її зображення, з якого все стане ясно. Одна важлива властивість, якою володіє межа сніжинки Коха ... .. її нескінченна довжина. Це може здатися дивним, тому що ми звикли мати справу з кривими з курсу математичного аналізу. Зазвичай гладкі або хоча б кусочно-гладкі криві завжди мають кінцеву довжину (у чому можна переконатися інтеграцією). Мандельброт в зв'язку з цим опублікував ряд цікавих робіт, в яких досліджується питання про вимірювання довжини берегової лінії Великобританії. В якості моделі він використовував фрактальну криву, що нагадує кордон сніжинки за тим винятком, що в неї введено елемент випадковості, що враховує випадковість в природі. В результаті виявилося, що крива, що описує берегову лінію, має нескінченну довжину.

Губка Менгера



Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять в тому випадку, якщо в ітераційне процесі випадковим чином змінювати будь-які його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні - несиметричні дерева, порізані берегові лінії і т.д. .

      предмети дослідження

      1. Трикутник Паскаля.

У
-стройство трикутника Паскаля - бічні сторони одиниці, кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним. Трикутник можна продовжувати необмежено.

Трикутник Паскаля служить для обчислення коефіцієнтів розкладання виразів виду (x + 1) n. Почавши з трикутника з одиниць, обчислюють значення на кожному послідовному рівні шляхом складання сусідніх чисел; останньої ставлять одиницю. Таким чином, можна визначити, наприклад, що (x + 1) 4 \u003d 1x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1x 0.

        Фігурні числа.

Піфагор вперше, в VI до нашої ери, звернув увагу на те, що, допомагаючи собі при рахунку камінчиками, люди іноді вибудовують камені в правильні фігури. Можна просто класти камінчики в ряд: один, два, три. Якщо класти їх у два ряди, щоб виходили прямокутники, ми виявимо, що виходять всі парні числа. Можна викладати камені в три ряди: вийдуть числа, що діляться на три. Будь-яке число, яке на що-небудь ділиться, можна уявити прямокутником, і тільки прості числа не можуть бути «прямокутниками».

    Лінійні числа - числа, які не розкладаються на множники, тобто їх ряд збігається з рядом простих чисел, доповненим одиницею: (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23, ...). Це прості числа.

    Плоскі числа - числа, представимо у вигляді добутку двох співмножників (4,6,8,9,10,12,14,15, ...)

    Тілесні числа - числа, що виражаються твором трьох співмножників (8,12,18,20,24,27,28, ...) і т. Д.

    Багатокутні числа:

    Трикутні числа: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)

    Квадратні числа представляють собою добуток двох однакових чисел, тобто є повними квадратами: (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., n2, ...)

    П'ятикутні числа: (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)

    Шестикутні числа (1, 6, 15, 28, 45, ...)

        Золотий перетин..

Золотий перетин (золота пропорція, розподіл в крайньому і середньому відношенні, гармонійне розподіл, число Фідія) - поділ безперервної величини на частини в такому відношенні, при якому велика частина так відноситься до меншої, як вся величина до більшої. На малюнку зліва точка С виробляє золотий перетин відрізка АВ, якщо: А З: АВ \u003d СВ: АС.

Цю пропорцію прийнято позначати грецькою буквою . воно дорівнює 1,618. З цієї пропорції видно, що при золотому перетині довжина більшого відрізка є середнє геометричне довжин всього відрізка і його менша частина. Частини золотого перетину складають приблизно 62% і 38% всього відрізка. З числом пов'язана послідовність цілих чисел Фібоначчі : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... , Часто зустрічається в природі. Вона породжена рекурентним співвідношенням F n + 2 \u003d F n + 1 + F n з початковими умовами F 1 \u003d F 2 = 1.

Найдавнішим літературним пам'ятником, в якому зустрічається поділ відрізка щодо золотого перетину, є «Начала» Евкліда. Уже в другій книзі «Начал» Евкліда будує золотий перетин, а в подальшому застосовує його для побудови деяких правильних багатокутників і багатогранників.

      гіпотези:

Чи існує зв'язок між фракталами і

    трикутником Паскаля.

    золотим перетином.

    фігурними числами.

    літературними творами

1.4 Мета роботи:

1. Ознайомити слухачів з новою гілкою математики - фракталами.

2. Спростувати або довести гіпотези, поставлені в роботі.

      Завдання дослідження:

    Опрацювати і проаналізувати літературу по темі дослідження.

    Розглянути різні види фракталів.

    Зібрати колекцію фрактальних образів для первинного ознайомлення зі світом фракталів.

    Встановити взаємозв'язки між трикутником Паскаля, літературними творами, фігурними числами і золотим перетином.

      Методи дослідження:

Теоретичний (вивчення і теоретичний аналіз наукової та спеціальної літератури; узагальнення досвіду);

Практичний (складання розрахунків, узагальнення результатів).

    Дослідницька частина.

2.1 Знаходження зв'язку між фракталами і трикутником Паскаля.

Трикутник Паскаля трикутник Серпінського

При виділенні непарних чисел в трикутнику Паскаля виходить трикутник Серпінського. Візерунок демонструє властивість коефіцієнтів, що застосовується при «арифметизации» комп'ютерних програм, яка перетворює їх в алгебраїчні рівняння.

2.1 Знаходження зв'язку між фракталами і золотим перетином.

Розмірність фракталів.

Якщо дивитися з математичної точки зору, то розмірність визначається наступним чином.

Для одновимірних об'єктів - збільшення в 2 рази лінійних розмірів призводить до збільшення розмірів (в даному випадку довжини) в 2 рази, тобто в 2 1.

Для двомірних об'єктів збільшення в 2 рази лінійних розмірів призводить до збільшення розміру (площі) в 4 рази, тобто в 2 + 2. Наведемо приклад. Дан коло радіуса r, тоді S \u003d π r 2 .

Якщо збільшити в 2 рази радіус, то: S1 \u003d π (2 r) 2 ; S 1 \u003d 4π r 2 .

Для тривимірних об'єктів збільшення в 2 рази лінійних розмірів призводить до збільшення обсягу в 8 разів, тобто 2 3.

Якщо ми візьмемо куб, то V \u003d а 3, V "\u003d (2а) 3 \u003d 8а; V" / V \u003d \u200b\u200b8.

Однак природа не завжди підпорядковується цим законам. Спробуємо розглянути розмірність фрактальних об'єктів на простому прикладі.

Уявімо собі, що муха хоче сісти на клубок вовни. Коли вона дивиться на нього здалеку, то бачить лише точку, розмірність якої 0. Підлітаючи ближче, вона бачить спочатку коло, його розмірність 2, а потім куля - розмірність 3. Коли муха сяде на клубок, вона кулі вже не побачить, а розгляне ворсинки , нитки, порожнечі, тобто об'єкт з дробовою розмірністю.

Розмірність об'єкта (показник ступеня) показує, за яким законом зростає його внутрішня область. Аналогічним чином з ростом розміру зростає «обсяг фрактала». Вчені прийшли до висновку, що фрактал - це безліч з дробової розмірністю.

фрактали як математичні об'єкти виникли внаслідок потреб наукового пізнання світу в адекватному теоретичному описі все більш складних природних систем (таких, наприклад, як гірський хребет, берегова лінія, крона дерева, каскадний водоспад, турбулентний потік повітря в атмосфері і т.п.) і, в кінцевому рахунку, в математичному моделюванні природи в цілому. А золотий перетин, як відомо, є одним з найбільш яскравих і стійких проявів гармонії природи. Тому цілком можливо виявити взаємозв'язок вищезгаданих об'єктів, тобто виявити золотий перетин в теорії фракталів.

Нагадаємо, що золотий перетин визначається виразом
(*) І є єдиним позитивним коренем квадратного рівняння
.

З золотим перетином тісно пов'язані числа Фібоначчі 1,1,2,3,5,8,13,21, ..., кожне з яких представляє собою суму двох попередніх. Дійсно, величина є межею ряду, складеного з відносин сусідніх чисел Фібоначчі:
,

а величина - межею ряду, складеного з відносин чисел Фібоначчі, взятих через одне:

Фракталом же називається структура, що складається з частин, подібних цілому. Згідно з іншим визначенням, фрактал являє собою геометричний об'єкт з дробовою (нецілої) розмірністю. Крім того, фрактал завжди виникає в результаті нескінченної послідовності однотипних геометричних операцій по його побудови, тобто є наслідком граничного переходу, що ріднить його з золотим перетином, яке теж є межа нескінченного числового ряду. Нарешті, розмірність фрактала, як правило, є ірраціональним числом (як і золотий перетин).

У світлі всього вищесказаного аж ніяк не дивним виглядає виявлення того факту, що розмірності багатьох класичних фракталів з тим або іншим ступенем точності можуть бути виражені через золотий перетин. Так, наприклад, співвідношення для розмірностей сніжинки Кох d СК \u003d 1,2618595 ... і губки Менгера d ГМ \u003d 2,7268330 ..., з урахуванням (*) можуть бути записані у вигляді
і
.

Причому, похибка першого виразу становить всього лише 0,004%, а другого виразу - 0,1%, а з урахуванням елементарного співвідношення 10 \u003d 2 · 5 випливає, що величини d СК і d ГМ являють собою комбінації золотого перетину і чисел Фібоначчі.

Розмірності килима Серпінського d КС \u003d 1,5849625 ... і пилу Кантора d ПК \u003d 0,6309297 ... теж можна вважати близькими за значенням до золотого перетину:
і
. Похибка цих виразів дорівнює 2%.

Розмірність широко застосовується в фізичних додатках теорії фракталів (наприклад, при дослідженні теплової конвекції) нерівномірного (двухмасштабного) безлічі Кантора (довжини утворюють відрізків якого -
і
- ставляться один до одного як числа Фібоначчі:
), А d МК \u003d 0,6110 ... відрізняється від величини
лише на 1%.

Таким чином, золотий перетин і фрактали взаємопов'язані.

2.2 Знаходження зв'язку між фракталами і фігурними числами .

Розглянемо кожну групу чисел.

Перше число - 1. Наступне число - 3. Воно виходить додатком до попереднього числа, 1, двох точок, щоб шукана фігура стала трикутником. На третьому кроці ми додаємо три точки, зберігаючи фігуру трикутник. На наступних кроках додається n точок, де n - порядковий номер трикутного числа. Кожне число можна отримати додаванням до попереднього певної кількості точок. З цієї властивості вийшла рекуррентная формула для трикутних чисел: t n \u003d n + t n -1.

Перше число - 1. Наступне число - 4. Воно виходить додатком 3 точок до попереднього числа у вигляді прямого кута, щоб вийшов квадрат. Формула для квадратних чисел дуже проста, вона виходить з назви цієї групи чисел: g n \u003d n 2. Але також, крім цієї формули, можна вивести рекуррентную формулу для квадратних чисел. Для цього розглянемо перші п'ять квадратних чисел:

g n \u003d g n-1 + 2n-1

2 \u003d 4 \u003d 1 + 3 \u003d 1 + 2 · 2-1

g 3 \u003d 9 \u003d 4 + 5 \u003d 4 + 2 · 3-1

g 4 \u003d 16 \u003d 9 + 7 \u003d 9 + 2 · 4-1

g 5 \u003d 25 \u003d 16 + 9 \u003d 16 + 2 · 5-1

Перше число - 1. Наступне число - 5. Воно виходить додатком чотирьох точок, таким чином, вийшла фігура приймає форму п'ятикутника. Одна сторона такого п'ятикутника містить 2 точки. На наступному кроці на одній стороні буде 3 точки, загальна кількість точок - 12. Спробуємо вивести формулу для обчислення п'ятикутних чисел. Перші п'ять п'ятикутних чисел: 1, 5, 12, 22, 35. Вони утворюються в такий спосіб:

f 2 \u003d 5 \u003d 1 + 4 \u003d 1 + 3 · 2-2

f n \u003d f n-1 + 3n-2

3 \u003d 12 \u003d 5 + 7 \u003d 5 + 3 · 3-2

f 4 \u003d 22 \u003d 12 + 10 \u003d 12 + 3 · 4-2

f 5 \u003d 35 \u003d 22 + 13 \u003d 22 + 3 · 5-2

Перше число - 1. Друге - 6. Фігура виглядає як шестикутник зі стороною в 2 точки. На третьому кроці вже 15 точок шикуються у вигляді шестикутника зі стороною 3 точки. Виведемо рекуррентную формулу:

u n \u003d u n-1 + 4n-3

2 \u003d 6 \u003d 1 + 4 · 2-3

u 3 \u003d 15 \u003d 6 + 4 · 3-3

u 4 \u003d 28 \u003d 15 + 4 · 4-3

u 5 \u003d 45 \u003d 28 + 4 · 5-3

Якщо подивитися уважніше, то можна помітити зв'язок між усіма рекурентними формулами.

Для трикутних чисел: t n \u003d t n -1 + n \u003d t n -1 +1 n -0

Для квадратних чисел: g n \u003d g n -1 +2 n -1

Для п'ятикутних чисел: f n \u003d f n -1 +3 n -2

Для шестикутних чисел: u n \u003d u n -1 +4 n -3

Ми бачимо, що фігурні числа побудовані на повторюваності: це добре видно на рекурентних формулах. Можна сміливо стверджувати, що фігурні числа в своїй основі мають фрактальну структуру.

2.3 Знаходження зв'язку між фракталами і літературними творами.

Розглянемо фрактал саме як твір мистецтва, причому характеризується двома основними характеристиками: 1) частину його якимось чином подібна цілому (в ідеалі, ця послідовність подоб поширюється на нескінченність, хоча ніхто ніколи не бачив дійсно нескінченної послідовності ітерацій, що будують сніжинку Коха; 2) його сприйняття відбувається по послідовності вкладених рівнів. Зауважимо, що чарівність фрактала якраз і виникає на шляху проходження по цій зачаровує і запаморочливої \u200b\u200bсистемі рівнів, повернення з якої не гарантовано.

Як же можна створити нескінченний текст? Цим питанням задавався герой оповідання Х.-Л.Борхеса «Сад розбіжних стежок»: «... я питав себе, як може книга бути нескінченною. В голову не приходить нічого, крім циклічного, що йде по колу томи, томи, в якому остання сторінка повторює першу, що і дозволяє йому тривати скільки завгодно ».

Подивимося, які ще рішення можуть існувати.

Найбільш простим нескінченним текстом буде текст з нескінченної кількості дубльованих елементів, або куплетів, що повторюється частиною якого є його «хвіст» - той же текст з будь-якою кількістю відкинутих початкових куплетів. Схематично такий текст можна зобразити у вигляді неразветвляющегося дерева або періодичної послідовності повторюваних куплетів. Одиниця тексту - фраза, строфа або розповідь, починається, розвивається і закінчується, повертаючись в вихідну точку, точку переходу до наступної одиниці тексту, що повторює вихідну. Такий текст можна уподібнити нескінченної періодичної дробу: 0,33333 ..., її ще можна записати як 0, (3). Видно, що відсікання «голови» - будь-якої кількості початкових одиниць, нічого не змінить, і «хвіст» буде в точності співпадати з цілим текстом.

Неразветвляющееся нескінченне дерево тотожне самому собі з будь-якого куплета.

Серед таких нескінченних творів - вірші для дітей або народні пісеньки, як, наприклад, віршик про попа і його собаці з російської народної поезії, або вірш М.Яснова «Опудало-мяучело», що оповідає про кошеня, яке співає про кошеня, яке співає про кошеня. Або, найкоротший: «У попа був двір, на дворі був кіл, на колу мочало - чи не почати казочку спочатку? ... У попа був двір ...»

Їду я і бачу міст, під мостом ворона мокне,
Взяв ворону я за хвіст, поклав її на міст, нехай ворона сохне.
Їду я і бачу міст, на мосту ворона сохне,
Взяв ворону я за хвіст, поклав її під міст, нехай ворона мокне ...

На відміну від нескінченних куплетів, фрагменти фракталів Мандельброта все ж не тотожні, а подібні один одному, і це якість і надає їм зачаровує чарівність. Тому у вивченні літературних фракталів постає завдання пошуку подібності, подібності (а не тотожності) елементів тексту.

У разі нескінченних куплетів заміна тотожності на подобу була здійснена різними способами. Можна привести, принаймні, дві можливості: 1) створення віршів з варіаціями, 2) тексти з наращениями.

Вірші з варіаціями - це, наприклад, запущена в обіг С.Нікітіним і стала народною пісенька «У Пеггі жив веселий гусак», в якій варіюються Пеггіни нахлібника і їх звички.

У Пеггі жив веселий гусак,

Він знав всі пісні напам'ять.

Ах, до чого веселий гусак!

Станцюємо, Пеггі, станцюємо!

У Пеггі жив смішний щеня,

Він танцювати під дудку міг.

Ах, до чого смішний щеня!

Станцюємо, Пеггі, станцюємо!

У Пеггі стрункий жив жираф,

Він елегантний був, як шафа,

Ось це стрункий був жираф!

Станцюємо, Пеггі, станцюємо!

У Пеггі жив смішний пінгвін,

Він розрізняв всі марки вин,

Ах, до чого смішний пінгвін!

Станцюємо, Пеггі, станцюємо!

У Пеггі жив веселий слон,

Він з'їв синхрофазотрон,

Ну до чого веселий слон,

Станцюємо, Пеггі, станцюємо! ..

Складено вже якщо не нескінченне, то досить велика кількість куплетів: стверджують, що касета «Пісні нашого століття» вийшла з двомастами варіаціями пісеньки, і, ймовірно, число це продовжує зростати. Нескінченність тотожних куплетів тут намагаються подолати за рахунок співтворчості, дитячого, наївного і забавного.

Ще одна можливість криється в текстах з «приростами». Такі відомі нам з дитинства казки про ріпку або про колобка, в кожному епізоді яких кількість персонажів збільшується:

«Теремок»


Муха-горюха.
Муха-горюха, комар-пискун.
Муха-горюха, комар-пискун, мишка-норушка.
Муха-горюха, комар-пискун, мишка-норушка, жаба-жаба.
Муха-горюха, комар-пискун, мишка-норушка, жаба-жаба, зайчик-попригайчік.
Муха-горюха, комар-пискун, мишка-норушка, жаба-жаба, зайчік- попригайчік, лисичка-сестричка.
Муха-горюха, комар-пискун, мишка-норушка, жаба-жаба, зайчік- попригайчік, лисичка-сестричка, вовчик-сірий хвостище.
Муха-горюха, комар-пискун, мишка-норушка, жаба-жаба, зайчік- попригайчік, лисичка-сестричка, вовчик-сірий хвостище, ведмідь-всіх тиснеш.

Такі тексти мають структуру «ялинки» або «матрьошки», у яких кожен рівень повторює попередній зі збільшенням розміру зображення.

Поетичний твір, в якому кожен куплет може бути прочитаний незалежно, як окремий «поверх» ялинки, а також разом, складаючи текст, що розвивається від Одного до Іншого, і далі до Природи, Миру і Всесвіту, створений Т.Васільевой:

Тепер, я думаю, можна зробити висновок, що існують літературні твори, що володіють фрактальної структурою.

3. Практичне застосування фракталів

Фрактали знаходять все більше і більше застосування в науці. Основна причина цього полягає в тому, що вони описують реальний світ іноді навіть краще, ніж традиційна фізика або математика. Ось кілька прикладів:

КОМП'ЮТЕРНІ СИСТЕМИ

Найбільш корисним використанням фракталів в комп'ютерній науці є фрактальное стиснення даних. В основі цього виду стиснення лежить той факт, що реальний світ добре описується фрактальної геометрії. При цьому, картинки стискаються набагато краще, ніж це робиться звичайними методами (такими як jpeg або gif). Інша перевага фрактального стиснення в тому, що при збільшенні картинки, не спостерігається ефекту пикселизации (збільшення розмірів точок до розмірів, які деформують зображення). При фрактальному ж стисненні, після збільшення, картинка часто виглядає навіть краще, ніж до нього.

МЕХАНІКА РІДИН

1. Вивчення турбулентності в потоках дуже добре підлаштовується під фрактали. Турбулентні потоки хаотичні і тому їх складно точно змоделювати. І тут допомагає перехід до з фрактальному поданням. Що сильно полегшує роботу інженерам і фізикам, дозволяючи їм краще зрозуміти динаміку складних потоків.

2. За допомогою фракталів також можна змоделювати язики полум'я.

3. Пористі матеріали добре представляються у фрактальної формі в зв'язку з тим, що вони мають дуже складну геометрію. Це використовується в нафтовій науці.

ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЇ

Для передачі даних на відстані використовуються антени, що мають фрактальні форми, що сильно зменшує їх розміри і вагу.

ФІЗИКА ПОВЕРХОНЬ

Фрактали використовуються для опису кривизни поверхонь. Нерівна поверхня характеризується комбінацією з двох різних фракталів.

МЕДИЦИНА

1.Біосенсорние взаємодії.

2.Біеніе серця

БІОЛОГІЯ

Моделювання хаотичних процесів, зокрема при описі моделей популяцій.

4. Висновок

4.1 Результати дослідження

У моїй роботі наведені далеко не всі області людських знань, де знайшла своє застосування теорія фракталів. Хочу тільки сказати, що з часу виникнення теорії пройшло не більше третини століття, але за цей час фрактали для багатьох дослідників стали раптовим яскравим світлом в ночі, які осяяло невідомі досі факти і закономірності в конкретних областях даних. За допомогою теорії фракталів стали пояснювати еволюцію галактик і розвиток клітини, виникнення гір і утворення хмар, рух цін на біржі і розвиток суспільства і сім'ї. Може бути, в перший час це захоплення фракталами було навіть занадто бурхливим і спроби все пояснювати за допомогою теорії фракталів були невиправданими. Але, без сумніву, дана теорія має право на існування.

У своїй роботі я зібрала цікаву інформацію про фрактали, їх видах, розмірності і властивості, про їх застосування, а також про трикутнику Паскаля, фігурних числах, золотий перетин, про фрактальних літературних творах і багато іншого.

У процесі дослідження була проведена наступна робота:

Проаналізовано та опрацьована література по темі дослідження.

    Розглянуто і вивчені різні види фракталів.

    Зібрано колекцію фрактальних образів для первинного ознайомлення зі світом фракталів.

    Встановлено взаємозв'язки між фракталами і трикутником Паскаля, літературними творами, фігурними числами і золотим перетином.

Я переконалася, що тим, хто займається фракталами, відкривається прекрасний, дивовижний світ, В якому панують математика, природа і мистецтво. Я думаю, що після знайомства з моєю роботою, ви, як і я, переконайтеся в тому, що математика прекрасне і дивовижне.

5.Бібліографія:

1. Божокін С.В., Паршин Д.А. Фрактали і мультіфрактали. Іжевськ: НДЦ «Регулярна і хаотична динаміка», 2001. - 128с.

2. Волошинов А. В. Математика і мистецтво: Кн. для тих, хто не тільки любить математику і мистецтво, але і бажає замислитися про природу прекрасного і красі науки. 2-е изд., Дораб. і доп. - М .: Просвещение, 2000. - 399с.

3. Гарднер М. А. Нескучная математика. Калейдоскоп головоломок. М .: АСТ: Астрель, 2008. - 288с .: іл.

4. Грінченко В. Т., Маципура В.Т., Снарський А.А. Введення в нелінійну динаміку. Хаос і фрактал
. Видавництво: ЛКИ, 2007 р 264 стор.

5. Літинський Г.І. Функції та графіки. 2-е видання. - М .: Аслан, 1996. - 208с .: іл.

6. Морозов А. Д. Введення в теорію фракталів. Видавництво: Видавництво Нижегородського університету, 2004 р

7. Річард М. Кроновер Фрактали і хаос в динамічних системах Introduction to Fractals and Chaos.
Видавництво: Техносфера, 2006 р 488 стор.

8. навколишнього нассвіту як суцільні тіла з чітко означеними ... Знайти програму формування і перегляду фракталів, Досліджувати і побудувати кілька фракталів. Література 1.А.І.Азевіч «Двадцять ...

Популярне
Превентивна консервація як перспективний напрямок забезпечення збереження фондів наукових бібліотек беляева ирина михайловна Програми збереження ...
Методика КОТ (Короткий орієнтовний, відбірковий тест, В : Рівень інтелекту ...
Старт в професію пілота: поради абітурієнтам і адреси навчальних закладів Льотчик - одна з найбільш ...
Як зробити так, щоб тебе поважали? Ви коли-небудь...
Алгоритм як почати заробляти на знаннях! Марка. Бренд Метод №2 -...
Нове на сайті
Чи здатна на подвиг сучасна молодь?
Транскрипція, вимова і переклад англійських слів онлайн
Як навчитися розмовляти мовою глухонімих
Короткий словник жестової мови як влаштований словник і як ним користуватися
Характеристика на кухаря доу для нагородження почесною грамотою Характеристика на кухаря школи