Matritsalar va 2 x 3. Matritsalarni ko'paytirish: misollar, harakatlar algoritmi, mahsulotning xususiyatlari

Matritsa quyidagicha aniqlanadi to'rtburchaklar stol , geometrik jihatdan o'lchamlari va bo'lgan to'rtburchaklardir ... Ikki matritsa - ikkita to'rtburchaklar: o'lchamlari bilan va , o'lchamlari bilan va ... Matritsalarni qo'shish operatsiyasini ko'rib chiqishda to'rtburchaklar o'lchamlariga mos keladigan talab topildi: =, =... Bu talab vektor sistemalarda matritsalarning oʻzaro taʼsirini taʼminlaydi:

=
-
- …-
- torli zanjir,

=
-
- …-
- ustunlar zanjiri,

bundan tashqari, agar matritsa diagrammada keltirilgan , keyin matritsa xuddi shu diagrammada ko'rsatilishi kerak. Ammo, asosiysi: matritsalar elementlar guruhlari - vektorlar bilan o'zaro ta'sir qiladi!

Agar matritsani ko'paytirish amalini quyidagi shaklda aniqlasak: · =, keyin savol tug'iladi: matritsa nechta satr va ustunga ega ? Bu ularni ko'paytirishda matritsalarning o'zaro ta'sirining faqat ikkita mumkin bo'lgan sxemasini aniqladi:

1* : chap matritsa qatori ↔ oʻng matritsa ustuni,

2* : chap matritsa ustuni ↔ o'ng matritsaning qatori.

Sxema uchun 1* : matritsada ... Sxema uchun 2* : matritsada matritsaga teng qatorlar , matritsa kabi ko'plab ustunlar mavjud .

Amalda, sxemadan foydalanish aniqlandi 1* , bu qoida sifatida qisqartiriladi: qator ustuni .

Ta'rif:

Matritsalar mahsuloti va matritsa hisoblanadi ,ularning elementlari munosabat bilan belgilanadi:
, Barcha uchun
,
, ya'ni qoida amal qiladiqator ustuni .

Izoh: Matritsalar mahsulotining ta'rifidan kelib chiqadi: element ga teng nuqta mahsuloti torlar - matritsalar ustun uchun matritsalar .

Matritsani ko'paytirish amalining xossalari :

1* .
≠
- mobil emas (kommutativ emas);

2* .
=
=
- kombinatsion (assotsiativ).

3* .
=
+
- tarqatish (tarqatish).

Izoh: yodda tutish kerak: mulkda 1* umumiy holatda bu matritsa bo'lishi mumkin
mavjud va matritsa
mavjud emas!

Matritsa mahsuloti operatsiyasining joriy etilishi munosabati bilan savol tug'iladi: matritsa mahsulotini qanday bajarish kerak? va matritsani matritsaga nisbatan transpozitsiya qilish uchun ... Agar transpozitsiya qilingan matritsalarni quyidagicha belgilasak:
,
va
, u holda quyidagi teorema to'g'ri bo'ladi.

1) Matritsalar ko‘paytmasini ifodalaymiz:
elementni hisoblash sxemasi shaklida matritsalar :

2). Matritsa transpozitsiyasining ta'rifini hisobga olgan holda biz tenglikni ham tasvirlaymiz
=
shunga o'xshash sxema shaklida:

C ′

Ko'rinadigan: element matritsalar
elementga teng matritsalar C.◄

Izoh: Matritsaning transpozitsiyasining taʼrifi va matritsalar koʻpaytmasining transpozitsiyasi boʻyicha isbotlangan teorema vektor fazolarda chiziqli oʻzgarishlarning determinantlari va matritsalarini koʻrib chiqishda qayta-qayta qoʻllaniladi.

4-misol–05 : Matritsalar mahsulotini hisoblang: C =A B =

.

Yechim:

A va B :

C B ;

Jadval ko'rinishidagi texnologik shablondan foydalanish matritsalar mahsulotini hisoblash algoritmini ishlab chiqish va hisob-kitoblardagi xatolardan himoya qilish imkonini beradi. Matritsaning 1-ustunini hisoblashni kuzatamiz C: =
, =
.

Javob: C=
.

4-misol–06 : Matritsalar mahsulotini hisoblang: C =A B =

.

Yechim:

Jadvalda matritsalar mahsulotini hisoblash sxemasi keltirilgan A va B :

▫ matritsaning 1-ustunini hisoblash uchun C matritsa ustiga matritsaning 1-ustunini joylashtiramiz B ;

▫ matritsaning 2-ustunini hisoblash uchun C matritsa ustiga matritsaning 2-ustunini joylashtiramiz B ;

C B ;

Ustun

=, =, =.

Javob: =
.

4-misol–07 C=AB=

.

Yechim:

Jadvalda matritsalar mahsulotini hisoblash sxemasi keltirilgan A va B :

▫ matritsaning 1-ustunini hisoblash uchun C matritsa ustiga matritsaning 1-ustunini joylashtiramiz B ;

▫ matritsaning 2-ustunini hisoblash uchun C matritsa ustiga matritsaning 2-ustunini joylashtiramiz B ;

▫ matritsaning 3-ustunini hisoblash uchun C matritsa ustiga matritsaning 3-ustunini joylashtiramiz B ;

▫ matritsaning 4-ustunini hisoblash uchun C matritsa ustiga matritsaning 4-ustunini joylashtiramiz B .

Ustun	Ustun	Ustun	Ustun

(Jadvalning davomi).

Ustun	Ustun	Ustun	Ustun

Jadvaldan biz javobni ko'ramiz. Matritsaning 1-ustunini hisoblashni kuzatamiz C:

=, =,

=, =.

Javob: C=
.

4-misol–08 : Hisoblang: C=
, agar A =
.

Yechim:

1) Matritsaning qator-vektorlar zanjirini yozamiz A:

(,0,0,...,0,...,0), (0,,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,...,),

va uni (skalar) ustunga ko'paytiring - matritsalar A: (0,0, 0, ... , , ..., 0). Buni matritsada ko'rish oson C=
=
ustun - (0,0, 0, ...,) shaklini oladi. , ..., 0). Demak, matritsaning satr-vektor zanjiri C =
shaklni oladi:

(,0,0,...,0,...,0), (0, , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

2) Endi hisoblab chiqsak C=
=
, keyin matritsaning qator vektorlari zanjiri C =
shaklni oladi:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

3) Matritsa uchun matematik induksiya usulini qo'llash C =
yozishimiz mumkin:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

Javob: C=
.

4-misol–09 : Agar matritsalar ekanligini isbotlang A va B- kvadrat, bundan tashqari
≠
, u holda quyidagi gaplar doimo to'g'ri bo'ladi: a);

Yechim:

1) Matritsalarni ko'paytirishning taqsimlanish xususiyatini hisobga olgan holda:
=
+
, biz yozamiz:

2) matritsalarni ko'paytirishning distributiv xususiyatini hisobga olgan holda:
=
+
, biz yozamiz:

Javob: isbotlangan.

4-misol–10 : Matritsa bilan almashinadigan barcha matritsalarni toping: =.

Yechim:

1) Keling, matritsaga ega bo'lamiz: shu kabi
=
... Matritsalarni ko'paytirish qoidasini hisobga olgan holda, bu matritsalarni ko'paytirish faqat matritsa bo'lgandagina mumkin ekanligini tushunish oson. - kvadrat va matritsa bilan bir xil o'lcham .

2) Keling, olaylik: =
, va ifodani yozing
=
:

C=AB.

Ustun

3 a + d

3 b + e

3 c + f

3 d + g

3 e + h

3 f + k

3 g

3 h

3 k

Jadvaldan biz javobni ko'ramiz.

3) Endi ifodani yozamiz
=
:

Jadvalda matritsalar mahsulotini hisoblash sxemasi keltirilgan D=BA.

Ustun

3 a

a + 3 b

b + 3 c

3 d

d + 3e

e + 3f

3 g

g + 3 soat

h + 3k

Jadvaldan biz javobni ko'ramiz.

4) Tenglikdan foydalanamiz:
→ matritsani hisoblash uchun tenglamalarni olamiz :

3 a + d =3 a → d =0; 3 d + g =3 d → g =0; 3 b + e =a + 3b → e =a ; 3 e + h =d + 3e → h =0;

3 h =g + 3 soat → h =h ; 3 c + f =b + 3c → f =b ; 3 f + k =e + 3f → k =e ; 3 k =h + 3k → h =0.

5) Olingan tenglamalardan foydalanib, quyidagilarni yozishimiz mumkin: =
.

Javob: =
.

4-misol–11 : Matritsa ekanligini isbotlang: =
tenglamani qanoatlantiradi: –(a+d) x+e'lon–
=0.

Yechim:

Izoh: ko'rib chiqilayotgan misol matritsa ifodasida ishtirok etishni ko'rsatishi bilan qiziq skaler matritsalar:
=
.

1) Keling, hisoblaymiz:
=

=
;
=
.

2) Matritsani tenglamaga almashtiring : , yoki:

–
+
=
.

Javob: isbotlangan.

4-misol–12 : Matritsalar mahsulotini hisoblang: A= (4 0 -2 3 1) va B=: a) AB; b) BA.

Izoh: ko'rib chiqilayotgan misol nihoyatda qiziqarli tengsizlikni ta’sirchan tarzda namoyon etadi :
.

Yechim:

a)
= (4 3 + 0 1 + (-2) (-1) + 3 5 + 1 2) = (31) - bitta elementli matritsa;

b)
=
=
.

Javob: matndagi matritsalar.

Ta'rif 1

Matritsalar ko'paytmasi (C = AB) faqat mos keladigan A va B matritsalar uchun amal bo'lib, unda A matritsa ustunlari soni B matritsa satrlari soniga teng:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

1-misol

Berilgan matritsalar:

A = a (i j) o'lchamlar m × n;
B = b (i j) o'lchamlari p × n

C matritsasi, c i j elementlari quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j +. ... ... + a i p × b p j, i = 1,. ... ... m, j = 1,. ... ... m

2-misol

AB = BA mahsulotlarini hisoblaymiz:

A = 1 2 1 0 1 2, B = 1 0 0 1 1 1

Matritsani ko'paytirish qoidasi yordamida yechim:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3

A B va B A ko'paytmalari topilgan, lekin ular turli o'lchamdagi matritsalardir: A B B A ga teng emas.

Matritsalarni ko‘paytirish xossalari

Matritsalarni ko'paytirish xususiyatlari:

(A B) C = A (B C) - matritsani ko'paytirishning assotsiativligi;
A (V + S) = A V + A S - ko'paytirishning taqsimlanishi;
(A + B) C = A C + B C - ko'paytirishning taqsimlanishi;
l (A V) = (l A) V

1-misol

№1 xususiyatni tekshirish: (A B) C = A (B C):

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100.

2-misol

№2 xususiyatni tekshirish: A (B + C) = A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58.

Uch matritsaning mahsuloti

Uchta A B C matritsalarining ko'paytmasi 2 usulda hisoblanadi:

AB ni toping va C ga ko'paytiring: (AB) C;
yoki avval B C ni toping va keyin A (B C) ni ko'paytiring.

3-misol

Matritsalarni ikki usulda ko'paytirish:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Harakatlar algoritmi:

2 ta matritsaning mahsulotini toping;
keyin yana 2 matritsaning ko‘paytmasini toping.

1). A B = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A V S = (A V) S = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3.

Biz A B C = (A B) C formulasidan foydalanamiz:

1). S da = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C = (A B) C = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Javob: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Matritsani raqamga ko'paytirish

Ta'rif 2

A matritsasining k soniga ko'paytmasi bir xil o'lchamdagi B = A k matritsa bo'lib, u asl nusxadan uning barcha elementlarining berilgan soniga ko'paytirib olinadi:

b i, j = k × a i, j

Matritsani songa ko‘paytirish xossalari:

1 × A = A
0 × A = null matritsa
k (A + B) = k A + k B
(k + n) A = k A + n A
(k × n) × A = k (n × A)

4-misol

A = 4 2 9 0 matritsaning 5 ga ko‘paytmasini toping.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Matritsa-vektorlarni ko'paytirish

Ta'rif 3

Matritsa va vektorning mahsulotini topish uchun siz "satr ustun" qoidasiga ko'ra ko'paytirishingiz kerak:

agar siz matritsani ustun vektoriga ko'paytirsangiz, matritsadagi ustunlar soni ustun vektoridagi qatorlar soniga mos kelishi kerak;
ustun vektorini ko'paytirish natijasi faqat ustun vektoridir:

A V = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a mnb 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 × b 2 + ⋯ + a 1 n × bna 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × bn ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ am 1 × b 1 + am 2 × b 2 + ⋯ + amn × bn = c 1 c 2 ⋯ c 1 m

agar siz matritsani satr vektoriga ko'paytirsangiz, u holda ko'paytirilayotgan matritsa faqat ustun vektori bo'lishi kerak va ustunlar soni qator vektoridagi ustunlar soniga mos kelishi kerak:

A V = a a ⋯ a bb ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × bna 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × bn ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an × b 1 an × b 2 ⋯ an × bn = c 11 c 12 ⋯ c 1 nc 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ cn 1 cn 2 ⋯ cnn

5-misol

A matritsa va ustun vektor B ko‘paytmasini toping:

A V = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

6-misol

A matritsa va B qator vektorining mahsulotini toping:

A = 3 2 0 - 1, B = - 1 1 0 2

A V = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Javob: A B = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Bu Asboblar to'plami bajarishni o‘rganishga yordam beradi matritsalar bilan amallar: matritsalarni qo'shish (ayirish), matritsani transpozitsiya qilish, matritsalarni ko'paytirish, teskari matritsani topish. Barcha materiallar sodda va tushunarli shaklda taqdim etilgan, tegishli misollar keltirilgan, shuning uchun hatto tayyor bo'lmagan odam ham matritsalar bilan amallarni bajarishni o'rganishi mumkin. O'z-o'zini sinab ko'rish va o'z-o'zini sinab ko'rish uchun siz matritsali kalkulyatorni bepul yuklab olishingiz mumkin >>>.

Men nazariy hisob-kitoblarni minimallashtirishga harakat qilaman, ba'zi joylarda "barmoqlarda" tushuntirishlar va ilmiy bo'lmagan atamalardan foydalanish mumkin. Qattiq nazariyani sevuvchilar, iltimos, tanqid qilmang, bizning vazifamiz matritsalar bilan amallarni bajarishni o'rganish.

Mavzu bo'yicha SUPER-FAST tayyorlash uchun ("o'tda") intensiv pdf-kurs mavjud Matritsa, determinant va test!

Matritsa har qanday to'rtburchaklar jadvalidir elementlar... Sifatda elementlar sonlarni, ya'ni sonli matritsalarni ko'rib chiqamiz. ELEMENT Terim hisoblanadi. Bu atamani eslab qolish tavsiya etiladi, u tez-tez uchrab turadi, uni ta'kidlash uchun qalin shriftdan foydalanganim bejiz emas.

Belgilash: matritsalar odatda katta lotin harflari bilan belgilanadi

Misol: Ikki-uch matritsani ko'rib chiqing:

Ushbu matritsa oltitadan iborat elementlar:

Matritsa ichidagi barcha raqamlar (elementlar) o'z-o'zidan mavjud, ya'ni hech qanday ayirish haqida gap bo'lmaydi:

Bu shunchaki raqamlar jadvali (to'plami)!

Biz ham rozi bo'lamiz qayta tartibga solmang raqamlar, agar tushuntirishlarda boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa. Har bir raqam o'z manziliga ega va uni aralashtirib bo'lmaydi!

Ko'rib chiqilayotgan matritsa ikkita qatorga ega:

va uchta ustun:

STANDART: matritsaning o'lchami haqida gapirganda, keyin boshida qatorlar sonini ko'rsating va shundan keyingina - ustunlar sonini. Biz hozirgina ikki-uch matritsani ajratib oldik.

Agar matritsaning satrlari va ustunlari soni bir xil bo'lsa, u holda matritsa deyiladi. kvadrat, masalan: - uch-uch matritsa.

Agar matritsa bitta ustun yoki bitta satrga ega bo'lsa, unda bunday matritsalar ham deyiladi vektorlar.

Aslida, biz maktabdan beri matritsa tushunchasini bilamiz, masalan, "x" va "o'yin" koordinatalari bo'lgan nuqtani ko'rib chiqing:. Asosan, nuqtaning koordinatalari bir-ikki matritsada yoziladi. Aytgancha, siz uchun raqamlar tartibi nima uchun muhim bo'lgan bir misol: bu samolyotning ikkita butunlay boshqa nuqtasi.

Endi to'g'ridan-to'g'ri o'qishga boramiz matritsalar bilan amallar:

1) Birinchi harakat. Matritsadan minusni olib tashlash (matritsaga minus qo'shish).

Bizning matritsamizga qaytish ... Siz sezganingizdek, bu matritsada juda ko'p manfiy raqamlar mavjud. Bu matritsa bilan turli xil amallarni bajarish nuqtai nazaridan juda noqulay, juda ko'p minuslarni yozish noqulay va bu dizaynda shunchaki xunuk ko'rinadi.

Har bir matritsa elementining belgisini o'zgartirib, minusni matritsadan tashqariga o'tkazing:

Nolda, siz tushunganingizdek, belgi o'zgarmaydi, nol - Afrikada ham nolga teng.

Teskari misol: ... Bu xunuk ko'rinadi.

Har bir matritsa elementining ishorasini o‘zgartirib, matritsaga minus qo‘shamiz:

Xo'sh, bu yanada chiroyli bo'lib chiqdi. Va, eng muhimi, matritsa bilan har qanday amalni bajarish OSONROQ bo'ladi. Chunki bunday matematik xalq alomati bor: salbiy tomonlari qancha ko'p bo'lsa, chalkashliklar va xatolar shunchalik ko'p.

2) Ikkinchi harakat. Matritsani raqamga ko'paytirish.

Misol:

Bu oddiy, matritsani raqamga ko'paytirish uchun sizga kerak bo'ladi har biri matritsaning elementi berilgan songa ko'paytiriladi. V Ushbu holatda- uch.

Yana bir foydali misol:

- matritsani kasrga ko'paytirish

Keling, avval nima qilish kerakligini ko'rib chiqaylik. KERAK EMAS:

Matritsaga kasrni kiritish KERAK EMAS, birinchidan, bu faqat matritsa bilan keyingi harakatlarni murakkablashtiradi, ikkinchidan, o'qituvchining yechimni tekshirishini qiyinlashtiradi (ayniqsa, agar - topshiriqning yakuniy javobi).

Va ayniqsa, KERAK EMAS matritsaning har bir elementini minus etti ga bo'ling:

Maqoladan Qo'g'irchoqlar uchun matematika yoki qaerdan boshlash kerak , buni eslaymiz o'nli kasrlar oliy matematikada vergul bilan har qanday yo'l bilan qochishga harakat qiling.

Yagona narsa shu orzu qilingan Ushbu misolda qilish matritsaga minus kiritishdir:

Lekin agar HAMMA matritsa elementlari 7 ga bo'linardi qoldiqsiz, keyin bo'linish mumkin bo'lar edi (va kerak!).

Misol:

Bunday holda, siz va KERAK matritsaning barcha elementlarini ko'paytiring, chunki matritsadagi barcha raqamlar 2 ga bo'linadi. qoldiqsiz.

Izoh: oliy matematika nazariyasida "bo'lish" degan maktab tushunchasi mavjud emas. "Buni bunga bo'ling" iborasi o'rniga har doim "buni kasrga ko'paytiring" deyishingiz mumkin. Ya'ni, bo'linish ko'paytirishning alohida holatidir.

3) Uchinchi harakat. Matritsaning transpozitsiyasi.

Matritsani ko'chirish uchun uning satrlarini ko'chirilgan matritsaning ustunlariga yozish kerak.

Misol:

Matritsani ko'chirish

Bu erda faqat bitta satr mavjud va qoidaga ko'ra, u ustunga yozilishi kerak:

- ko'chirilgan matritsa.

Ko'chirilgan matritsa odatda yuqori o'ng tomonda ustun yoki chiziqcha bilan ko'rsatiladi.

Bosqichma-bosqich misol:

Matritsani ko'chirish

Birinchidan, biz birinchi qatorni birinchi ustunga qayta yozamiz:

Keyin ikkinchi qatorni ikkinchi ustunga qayta yozamiz:

Nihoyat, uchinchi qatorni uchinchi ustunga qayta yozamiz:

Tayyor. Taxminan aytganda, transpozitsiya matritsani bir tomonga burish demakdir.

4) To'rtinchi harakat. Matritsalar yig'indisi (farqi)..

Matritsalar yig'indisi oddiy amaldir.
HAMMA O'LMALAR BUTILA EMAS. Matritsalarni qo'shish (ayirish)ni amalga oshirish uchun ular bir xil SIZE bo'lishi kerak.

Masalan, agar ikkiga ikki matritsa berilgan bo'lsa, uni faqat ikkiga ikki matritsa bilan qo'shish mumkin, boshqasi yo'q!

Misol:

Matritsalarni qo'shish va

Matritsalarni qo'shish uchun ularga mos keladigan elementlarni qo'shish kerak:

Matritsalar farqi uchun qoida shunga o'xshash, mos keladigan elementlarning farqini topish kerak.

Misol:

Matritsalar farqini toping ,

Qanday qaror qilish kerak berilgan misol chalkashmaslik uchun osonroqmi? Keraksiz minuslardan xalos bo'lish tavsiya etiladi, buning uchun matritsaga minus qo'shamiz:

Izoh: oliy matematika nazariyasida “ayirish” degan maktab tushunchasi mavjud emas. "Bundan buni ayirish" deyish o'rniga, har doim "buniga manfiy raqam qo'shing" deyishingiz mumkin. Ya'ni ayirish qo'shishning alohida holatidir.

5) Beshinchi harakat. Matritsalarni ko'paytirish.

Qanday matritsalarni ko'paytirish mumkin?

Matritsani matritsaga ko'paytirish uchun sizga kerak bo'ladi matritsaning ustunlari soni matritsa satrlari soniga teng bo'lishi uchun.

Misol:
Matritsani matritsaga ko'paytirish mumkinmi?

Bu shuni anglatadiki, siz ushbu matritsalarni ko'paytirishingiz mumkin.

Ammo agar matritsalar qayta tartibga solingan bo'lsa, unda bu holda ko'paytirish allaqachon mumkin emas!

Shunday qilib, ko'paytirish mumkin emas:

Talabadan matritsalarni ko'paytirish so'ralganda, hiyla bilan topshiriqlar kamdan-kam uchraydi, ularni ko'paytirish mumkin emas.

Shuni ta'kidlash kerakki, bir qator hollarda matritsalarni ikkala usulda ham ko'paytirish mumkin.
Masalan, matritsalar uchun va ko'paytirish ham, ko'paytirish ham mumkin

Matritsalar - bu o'zaro bog'langan raqamlar jadvallari. Ular ustida bir qancha turli xil operatsiyalarni bajarish mumkin, ular haqida quyida aytib beramiz.

Matritsaning o'lchami unga qarab belgilanadi buyurtmalar- undagi $ m $ satrlar va $ n $ ustunlar soni. Chiziqlar gorizontal chiziqlardagi elementlardan, ustunlar esa to'g'ri vertikal chiziqlardagi elementlardan iborat. Agar satrlar soni ustunlar soniga teng bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan jadvalning tartibi faqat bitta qiymat bilan belgilanadi $ m = n $.

Izoh 1

Har qanday matritsa elementi uchun indeksda birinchi navbatda u joylashgan satr raqami yoziladi, ikkinchi ustun raqami, ya'ni $ a_ (ij) $ yozuvi element $ i $ -chi qatorda ekanligini bildiradi. va $ j $ - th ustunida.

Qo‘shish va ayirish

Shunday qilib, qo'shish va ayirish haqida. Bu harakatlar faqat matritsalar bilan amalga oshirilishi mumkin bir xil o'lchamda.

Ushbu amallarni bajarish uchun matritsaning har bir elementini birinchisidagi element bilan bir xil holatda bo'lgan boshqa matritsaning elementi bilan qo'shish yoki ayirish kerak.

Misol tariqasida $ A + B $ yig'indisini topamiz, bu erda:

$ A = \ start (pmatrix) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) \\ a_ (21) & a_ (22) & a_ (23) \\ a_ (31) & a_ (32) & a_ (33) \\ \ end (pmatrix) $

va $ B = \ boshlanadi (pmatrix) b_ (11) & b_ (12) & b_ (13) \\ b_ (21) & b_ (22) & b_ (23) \\ b_ (31) & b_ (32) & b_ (33) \\ \ end (pmatrix) $

Yangi olingan $ A + B $ matritsa jadvalining istalgan elementining yig'indisi $ a_ (ij) + b_ (ij) $ ga teng, masalan, $ 11 $ indeksli element $ a_ (11) + b_ ( 11) $, va butun natija shunday ko'rinadi:

$ A + B = \ boshlanadi (pmatritsa) a_ (11) + b_ (11) & a_ (12) + b_ (12) & a_ (13) + b_ (13) \\ a_ (21) + b_ (21) & a_ (22) + b_ (22) & a_ (23) + b_ (23) \\ a_ (31) + b_ (31) & a_ (32) + b_ (32) & a_ (33) + b_ (33) ) \\ \ end (pmatrix) $

Ikkita $ A-B $ matritsalari uchun ayirish xuddi shu tarzda amalga oshiriladi, lekin yangi natija matritsasining har bir elementi $ a_ (ij) - b_ (ij) $ formulasi yordamida hisoblab chiqiladi.

Shuni yodda tutingki, matritsalar uchun qo'shish va ayirish faqat ularning tartiblari bir xil bo'lganda mumkin.

1-misol

Quyidagi matritsa misollarini yeching: $ A + B $; $ A - B $.

$ A = \ start (pmatrix) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \ end (pmatrix) $

$ B = \ start (pmatritsa) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \ oxiri (pmatritsa) $

Tushuntirish:

Biz $ a_ (ij) $ va $ b_ (ij) $ elementlarning har bir juftligi uchun amallarni bajaramiz:

$ A + B = \ boshlanadi (pmatrix) 0 + 0 & 5 + 3 & 2 + 2 \\ 1-4 & -1 + 0 & 3 - 1 \\ -2 + 0 & 0 + 7 & 7 - 3 \ \ \ end (pmatrix) = \ start (pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4 \\ \ end (pmatrix) $

$ AB = \ start (pmatrix) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1 + 4 & -1-0 & 3 + 1 \\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ end (pmatrix) = \ start (pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \ end (pmatrix) $

Matritsani raqamga ko'paytirish

Matritsali jadvalni istalgan songa ko‘paytirish uchun uning har bir elementini shu songa ko‘paytirish kerak, ya’ni $ A $ ko‘paytmasining $ l ga ko‘paytmasi bo‘lgan yangi $ C $ matritsasining istalgan elementi. $ $ s_ (ij) = l \ cdot a_ (ij) $ ga teng bo'ladi.

2-misol

$ A $ ni $ l $ ga ko'paytiring, bu erda $ A = \ boshlanadi (pmatritsa) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \ end (pmatrix) $ va $ l = 5 dollar:

$ A \ cdot l = 5 \ cdot \ start (pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \ end (pmatrix) = \ start (pmatrix) 1 \ cdot 5 & 0 \ cdot 5 & 2 \ cdot 5 \\ -1 \ cdot 5 & 3 \ cdot 5 & 0 \ cdot 5 \\ 2 \ cdot 5 & 1 \ cdot 5 & 3 \ cdot 5 \\ \ end (pmatrix ) = \ start (pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \ end (pmatrix) $.

Mahsulot matritsasi jadvallari

Bu vazifa avvalgilariga qaraganda biroz qiyinroq, lekin ayni paytda unda hech qanday qiyin narsa yo'q.

Ikkita $ A \ cdot B $ matritsalarini ko'paytirish uchun $ A $ dagi ustunlar soni $ B $ dagi qatorlar soniga mos kelishi kerak.

Matematik jihatdan uni quyidagicha yozish mumkin:

$ A_ (m \ marta n) \ cdot B_ (n \ marta p) = S_ (m \ marta p) $

Ya'ni, ko'paytirilgan asl matritsalarni ko'rib, natijada yangisining tartiblarini darhol aniqlashingiz mumkin. Misol uchun, agar siz $ A_ (3 \ marta 2) $ va $ B_ (2 \ marta 3) $ ni ko'paytirishingiz kerak bo'lsa - natija $ 3 \ marta 3 $ bo'ladi:

$ \ boshlanadi (pmatritsa) a_ (11) & a_ (12) \\ a_ (21) & a_ (22) \\ a_ (31) & a_ (32) \\ \ oxiri (pmatrix) \ marta \ boshlanadi (pmatritsa) ) b_ (11) & b_ (12) & b_ (13) \\ b_ (21) & b_ (22) & b_ (23) \\ b_ (31) & b_ (32) & b_ (33) \\ \ end ( pmatrix) = \ start (pmatrix) & & \\ & & \\ & & \\ \ end (pmatrix) = \ begin (pmatrix) (a_ (11) b_ (11) + a_ (12) b_ (21) )) & (a_ (11) b_ (12) + a_ (12) b_ (22)) & (a_ (11) b_ (13) + a_ (12) b_ (23)) \\ (a_ (21) b_ (11 ) + a_ (22) b_ (21)) & (a_ (21) b_ (12) + a_ (22) b_ (22)) & (a_ (11) b_ (13) + a_ (22) b_ ( 23) ) \\ (a_ (31) b_ (11) + a_ (32) b_ (21)) & (a_ (31) b_ (12) + a_ (32) b_ (22)) & (a_ (31) b_ (13) + a_ (32) b_ (23)) \\ \ oxiri (pmatrix) $

Agar birinchi matritsa omilining ustunlari soni ikkinchi matritsa omilining qatorlari soniga to'g'ri kelmasa, u holda ko'paytirishni amalga oshirib bo'lmaydi.

3-misol

Misol yeching:

$ A \ marta B =? $ Agar $ A = \ boshlanadi (pmatritsa) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \ oxiri (pmatrix) $ va $ B = \ boshlanishi (pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \ oxiri (pmatrix) $.

$ A \ marta B = \ boshlanadi (pmatritsa) (1 \ cdot 3 + 0 \ cdot (-4) + 2 \ cdot 1) & (1 \ cdot (-1) + 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1) & (1 \ cdot 2 + 0 \ cdot 2 + 2 \ cdot 2) \\ (-1) \ cdot 3 + 3 \ cdot (-4) + 0 \ cdot 1) & (-1 \ cdot (-1) + 3 \ cdot 0 + 0 \ cdot 1) & (-1 \ cdot 2 + 3 \ cdot 2 + 0 \ cdot 2) \\ (2 \ cdot 3 + 1 \ cdot (-4) + 3 \ cdot 1) & 2 \ cdot (-1) + 1 \ cdot 0 + 3 \ cdot 1) & (2 \ cdot 2 + 1 \ cdot 2 + 3 \ cdot 2) \\ \ end (pmatrix) $

$ A \ marta B = \ boshlanadi (pmatritsa) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12 + 0) & (1 + 0) + 0) & (-2 + 6 + 0) \\ (6-4 + 3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \ oxiri (pmatrix) = \ start (pmatrix) ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \ oxiri (pmatrix) $.

Matritsaning determinantini topish

Matritsaning determinanti $ D $ yoki $ \ det $ sifatida belgilanadi.

Izoh 2

Determinantni faqat matritsalarning kvadrat navlari uchun topish mumkin.

Eng oddiy holatda, agar matritsa faqat bitta elementdan iborat bo'lsa, uning determinanti ushbu elementga teng bo'ladi: $ det A = | a_ (11) | = a_ (11) $

Quyidagi qoida bo'yicha ikkinchi tartibli matritsaning determinantini hisoblashingiz mumkin:

Ta'rif 1

2 o'lchamli matritsaning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning ko'paytmalari bilan ikkilamchi diagonaldagi elementlarning ko'paytmasining farqiga teng:

$ \ start (massiv) (| cc |) a_ (11) & a_ (12) \\ a_ (21) & a_ (22) \\ \ end (massiv) = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) \ cdot a_ (21) $

Agar matritsaning determinanti $ 3 \ marta 3 $ o'lchamida o'rnatilgan bo'lsa, uni mnemonik qoidalar yordamida topishingiz mumkin: Sarrus yoki uchburchaklar, shuningdek, matritsani satr yoki ustun bo'yicha kengaytirishingiz yoki Gauss o'zgartirishlaridan foydalanishingiz mumkin.

Kattaroq determinantlar uchun Gauss konvertatsiyalari va chiziqli parchalanishdan foydalanish mumkin.

Teskari matritsalar

Raqamni teskari $ (1+ \ frac1x = 1) $ ga odatiy ko'paytirishga o'xshab, $ A ^ (- 1) $ teskari matritsasini asl matritsaga ko'paytirish $ E $ matritsasini hosil qiladi.

Teskari matritsani izlashda eng oddiy yechim usuli hisoblanadi Jordan-Gauss... Gvineya cho'chqasi matritsasi yonida bir xil o'lchamdagi birlik yoziladi, so'ngra asl nusxasi transformatsiyalar yordamida birlikka qisqartiriladi va bajarilgan barcha harakatlar $ E $ bilan takrorlanadi.

4-misol

Berilgan $ A = \ start (pmatrix) (cc) 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \ end (pmatrix) $

Matritsaning teskarisini oling.

Yechim:

Biz birgalikda $ A $ va uning o'ng tomoniga mos keladigan $ E $ hajmini yozamiz:

$ \ start (massiv) (cc | cc) 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ \ end (massiv) $

Biz birinchi o'rindagi oxirgi satrda nolga ega bo'lamiz: biz unga $ -3 $ ga ko'paytiriladigan birinchi qatorni qo'shamiz:

$ \ start (massiv) (cc | cc) 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \ end (massiv) $

Endi biz birinchi qatorning oxirgi elementini nolga aylantiramiz. Buning uchun pastki qatorni yuqori qatorga qo'shing:

$ \ start (massiv) (cc | cc) 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \ end (massiv) $

Ikkinchisini $ -2 $ ga bo'ling:

$ \ start (massiv) (cc | cc) 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3/2 & -1/2 \\ \ end (massiv) $

Biz natijaga erishdik:

$ A = \ start (pmatrix) (cc) -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \ end (pmatrix) $

Matritsali jadvallarni ko‘chirish

Transpoze - bu matritsa yoki determinantdagi satrlar va ustunlar o'rnini asl tartibini saqlab qolgan holda o'zgartirish. O'tkazilgan $ A ^ T $ matritsa jadvalining determinanti $ A $ matritsasining determinantiga teng bo'ladi.

5-misol

$A $ matritsasini koʻchiring va $A $ ning determinantini va koʻchirilgan matritsa plitasini topib, oʻzingizni tekshiring.

$ A = \ boshlanishi (pmatritsa) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3 \\ \ oxiri (pmatritsa) $

Yechim:

Determinant uchun Sarrus usulini qo'llaymiz:

$ \ det A = 1 \ cdot 5 \ cdot (-3) + 2 \ cdot 6 \ cdot (-1) + 3 \ cdot 4 \ cdot (-2) - 2 \ cdot 4 \ cdot (-3) - 1 \ cdot 6 \ cdot (-2) - 3 \ cdot 5 \ cdot (-1) = -15 - 12 - 24+ 24 + 12 + 15 = 0 $.

Bizda buzuq matritsa bor.

Endi biz $ A $ ni almashtiramiz, buning uchun matritsani uning o'ng tomoniga tushiramiz:

$ A ^ T = \ boshlanishi (pmatritsa) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \ oxiri (pmatritsa) $

Xuddi shu qoidadan foydalanib, $ A ^ T $ uchun determinantni toping:

$ det A ^ T = 1 \ cdot 5 \ cdot (-3) + 4 \ cdot (-2) \ cdot 3 + (-1) \ cdot 2 \ cdot 6 - 4 \ cdot 2 \ cdot (-3) - 1 \ cdot (-2) \ cdot 6 - (- 1) \ cdot 5 \ cdot 3 = - 15 -24 - 12 + 24 + 12 + 15 = 0 $.