Ma'lumki, matematikada bu soddalashtirilgan iboralarsiz bunday qilmaslik kerak. Bu turli xil vazifalarni, shuningdek har xil tenglamalarning to'g'ri va tezkor echimi uchun zarurdir. Soddalashtirilganlarni soddalashtirish maqsadga erishish uchun zarur bo'lgan harakatlar sonining kamayishini anglatadi. Natijada hisob-kitoblar sezilarli darajada mos keladi va vaqt sezilarli darajada saqlanadi. Ammo ifodani qanday soddalashtirish kerak? Bu, ko'pincha formulalar yoki ifodaga imkon beradigan qonunlar tomonidan o'rnatilgan matematik munosabatlardan foydalanadi.

Hech kimga sir emaski, bugun onlayn tarzda ifodalashni soddalashtirish qiyin emas. Biz ularning eng mashhurlariga murojaat qilamiz:

Biroq, har bir ibora bilan qilish juda mumkin. Shuning uchun biz ko'proq an'anaviy usullarni ko'rib chiqamiz.

Umumiy ajratuvchi

Agar bir xil bir xil bo'lsa, bir xil ko'payuvchilarga ega bo'lganda, siz ular bilan koeffitsientlar miqdorini topishingiz va ular uchun multiplitgichni ko'paytirishingiz mumkin. Ushbu operatsiya "umumiy ajratish" deb ham nomlanadi. Jiddiy foydalanish bu usul, Ba'zan siz ifodani soddalashtirishingiz mumkin. Algebra, umuman olganda, umuman olganda, ko'paytirgichlar va bo'linuvchilarni guruhlash va qaytarishda qurilgan.

Qisqartirilgan ko'payishning eng oddiy formulalari

Yuqorida tavsiflangan usulning bir natijasi qisqartirilgan ko'payish formulalari. Ularning yordami bilan ifodali iboralarni soddalashtirish uchun hatto bu formulalarni yodgorlik bilan ham soddalashtiradi, lekin u ularning kelib chiqishi, ya'ni ular qayerdan kelib chiqqanligini biladi. Aslida, avvalgi bayonot birinchi sinfdan boshlab va tugashdan boshlab barcha zamonaviy matematikada o'z kuchini saqlab qoladi top kurslar Mexanika va matematika fakultetlari. Kvadratlarning farqi, farq va summa, kublarning miqdori va farqi - bu barcha joylarda, vazifalarni hal qilish uchun ushbu shaklda eng yuqori matematikadan foydalaniladi . Bunday o'zgarishlarga misollar osongina algebradagi har qanday maktab darsligida yoki uni butun dunyo bo'ylab tarmog'ida osonroq topish mumkin.

Daraja ildizlari

Boshlang'ich matematik, agar siz umuman qurollangan, qurolli bo'lmagan va ko'p jihatdan siz ibratni soddalashtirsangiz. Odatda, ular bilan darajalar va ulardan tashqari talabalar nisbatan oson. Faqatgina ko'plab zamonaviy maktab o'quvchilari va talabalar ifodani ildiz bilan soddalashtirish kerak bo'lganda katta qiyinchiliklarga duch kelishadi. Va bu butunlay asossiz. Chunki ildizlarning matematik tabiati bir xil darajalarning xususiyatidan farq qilmaydi, ular bilan qoida tariqasida, qiyinchiliklar ancha kichikroq. Ma'lumki kvadrat ildiz Raqamdan, o'zgaruvchan yoki ifoda - bu "bir soniya" darajasiga teng bo'lmagan narsa emas, kubik ildiz "uchdan bir uchdan biri" darajasida va shunga ko'ra yozishma bo'yicha bir xil.

Fraktsiyalar bilan ifodalang

Shuningdek, fraktsiyalar bilan ifodalashni soddalashtirishning umumiy misolini ham ko'rib chiqing. Tabiiy fraktsiyalar, denominator va hisoblagichdan keng tarqalgan ko'paytirgich, keyin esa kasrni kesing. Xuddi shu kamchiliklar bilan aniqlanmagan bo'lsa, darajadagi tenglik uchun ular umumlashtirilsa, ularni belgilash kerak.

Eng oddiy trigonometrik iboralarni soddalashtiring

Ba'zi uylar - trigonometrik ifodani qanday soddalashtirish haqida suhbat. Trigonometriyaning eng kengi - bu matematikadan o'qishi, bir nechta mavhum tushunchalar, vazifalar va ularni hal qilish usullariga duch kelishi kerak. Bu erda ularning tegishli formulalari mavjud, ularning birinchisi asosiy trigonometrik kimdir. Ongning etarlicha matematik ombori bo'lgan, siz ushbu asosiy identifikatordan muntazam ravishda tizimni chiqarishni kuzatishingiz mumkin tragonometrik identifikatsiyalar va formulalar, ular orasida farqning formulalari va dalillar yig'indisi, ikki baravar tortishishlar summasi, boshqa ko'plab narsalarni olib kelish formulalari. Albatta, bu erda yangi usullar va formulalar bilan birgalikda ishlatiladigan umumiy ko'p usullarni unutishga arzimaydi.

Natijalarni umumlashtirish, o'quvchiga bir nechta umumiy maslahatlarni taqdim eting:

• Mulinomlar ko'paytirgichlarga, ya'ni ma'lum bir bir qator omillarning mahsuloti shaklida - bitta qanot va polinomlar shaklida bo'lishi kerak. Agar bunday imkoniyat bo'lsa, biz qavslar uchun umumiy omilni ko'tarishingiz kerak.
• Istisnosiz qisqartirilgan ko'payish uchun barcha formulalarni o'rganish hali ham yaxshiroqdir. Ular unchalik unchalik emas, lekin ular matematik iboralar soddalashtirishning asosidir. Uch-salast ichiga to'liq kvadratlarni ajratish usuli ham unutmang teskari harakat Qisqartirilgan ko'payish formulalaridan biriga.
• Ifodasida mavjud bo'lgan barcha fraktsiyalar iloji boricha tez-tez kamaytirilishi kerak. Shu bilan birga, faqat ko'paytiruvchilar qisqartirilishini unutmang. Ishonch va hisoblagich algebraik fraktsiyalar Xuddi shu raqam noldan farq qiladigan bir xil raqamga ko'paytiriladi, kasrlarning qiymatlari o'zgarmaydi.
• Umuman olganda, barcha iboralar harakat yoki zanjir bilan o'zgartirish mumkin. Birinchi usul yanada afzalroq, chunki Oraliq harakatlar natijalari osonroq tekshiriladi.
• Ko'pincha matematik ifodalarda ildizlarni olish kerak. Shuni esda tutish kerakki, hatto darajadagi salbiy bo'lmagan raqamlardan yoki ifodadan olib tashlanishi mumkin va toq daraja ildizlari har qanday iboralar yoki raqamlardan iborat.

Bizning maqolamiz sizga yordam beradi, bundan tashqari, matematik formulalarni tushunib, ularni amalda qo'llashga o'rgatadi.

Birinchi daraja

Imtiyozlarni o'zgartirish. Batafsil nazariya (2019)

Shifokorlarni o'zgartirish

Ko'pincha biz ushbu yoqimsiz iborani eshitamiz: "ifodani soddalashtiring". Odatda, bundan tashqari, bizda qandaydir qo'rqinchli narsa bor:

"Ha, ancha oson" - dedik, lekin bu javob odatda rulon emas.

Endi men sizga bunday vazifalardan qo'rqmaslikni o'rgataman. Bundan tashqari, dars oxirida oddiy raqam (ha, do'zaxga ushbu harflar bilan do'zaxga)) ni soddalashtirasiz.

Ammo ushbu darsni davom ettirishdan oldin, fraktsiyalar bilan shug'ullanishingiz va ko'paytirgichlarni ko'paytirishga qodir bo'lishingiz kerak. Shuning uchun, avvalo, agar siz buni oldin qilmasangiz, albatta "" va "mavzusi.

O'qingmi? Agar shunday bo'lsa, endi tayyormiz.

Asosiy soddalashtirilgan operatsiyalar

Endi biz soddalashtirilgan iboralarda ishlatiladigan asosiy usullarni tahlil qilamiz.

Ulardan eng oson

1. Shunga o'xshash

Nimaga o'xshash? Siz uni 7-sinfda o'tkazib yubordingiz, harflar matn o'rniga matematikada paydo bo'lgan. Xuddi shu aniq harflar bilan o'xshash tarkibiy qismlar (bitta). Masalan, bunday tarkibiy qismlar miqdorida - bu.

Esdasizmi?

Ba'zi shunga o'xshash narsalar - bu bir-biringiz bilan bir nechta shunga o'xshash atamalarni katlashni va bitta muddatni olishni anglatadi.

Ammo biz bir-birimizda qanday harflar bilan o'ramiz? - Sizdan so'raysiz.

Agar siz ushbu harflar ba'zi elementlar ekanligini tasavvur qilsangiz, tushunish juda oson. Masalan, harf kafedra. Keyin ifoda nima? Ikkita najas plyus uchta najas, bu qancha bo'ladi? Bu to'g'ri, stullar :.

Va endi bunday iborani sinab ko'ring.

Xavotir olmaslik uchun turli xil harflar turli xil narsalarni ko'rsatadi. Masalan, u (odatdagidek) stul va stol. Keyin:

Kafedra stullarida stul kafunalari stollari stullari

Ushbu harflar uchun harflar uchun raqamlar deyiladi koeffitsientlar. Masalan, bitta qanot koeffitsienti teng. Va u tengdir.

Shunday qilib, shunga o'xshash qoidalar:

Misollar:

Shunga o'xshash bo'ling:

Javoblar:

2. (Va shunga o'xshash, shuning uchun bu shartlar bir xil harflar bilan bog'liq).

2. Ko'plab ko'paytirgichlarning parchalanishi

Odatda bu soddalashtirilgan iboralarda eng muhim qismdir. Siz kabi, eng tez-tez olib tashlanganingizdan so'ng, natijada paydo bo'lgan ifoda ko'paytirgichlarda, ya'ni ish shaklida tasavvur qilinishi kerak. Bu, ayniqsa firibgarlikda: siz fraktsiya, raqamni va mazhabni qisqartirishingiz uchun juda muhimdir.

Tafsilotlar batafsil, siz Mavzuda o'tgan ko'paytirgichlarga iboralarni parchalash usullari "", shuning uchun siz faqat o'rganilganlarni eslab qolishingiz mumkin. Buning uchun bir nechta hal qiling misollar (Ko'plab ko'paytirgichlarda parchalanishingiz kerak):

Yechimlar:

3. kasrni kamaytirish.

Xo'sh, hisoblovchi va denominatorning qismini kesib o'tishdan ko'ra yoqimli bo'lishi va ularni hayotingizdan uzoqlashtirishdan ko'ra yoqimli bo'lishi mumkinmi?

Bu pasayishning eng jozibasi.

Hammasi oddiy:

Agar raqamli raqam va denroinator bir xil ko'paytirgichni o'z ichiga olsa, ular kesilishi, ya'ni fraktsiyadan olib tashlanishi mumkin.

Ushbu qoida FACIning asosiy mulki:

Ya'ni, pasayish operatsiyasining mohiyati shundaki frakakorning raqami va denroinatori bir xil raqamga (yoki bir xil ifodada) taqsimlanadi.

Kasrni qisqartirish uchun sizga kerak:

1) Rumerator va Denominator ko'plab ko'paytirgichlarda parchalanadi

2) Agar raqami va denominator bo'lsa umumiy ko'paytirgichlarUlarni o'chirish mumkin.

Printsip, menimcha, aniqmi?

Men bir kishiga e'tibor berishni xohlayman oddiy xato Qisqarish bilan. Garchi bu mavzu sodda bo'lsa-da, lekin juda ko'p narsa bu tushuncha emas kesmoq - bu degani bo'lmoq Rumerator va denominator uchun va bir xil raqam.

Agar raqam yoki denominator bo'lsa, qisqartmalar yo'q.

Masalan: soddalashtirish kerak.

Ba'zilar buni qilishadi: nima noto'g'ri?

Yana bir misol: kesish.

"Aqlli" buni amalga oshiradi :.

Menga nima yomonligini ayting? Ko'rinib turardi: - Bu multiplikator, bu siz kesishingiz mumkinligini anglatadi.

Ammo yo'q: - bu raqamni raqamchorda faqat bitta muddatning ko'paytiruvchisi, lekin raqamning o'zi multiplilanuvchidan voz kechmaydi.

Bu erda yana bir misol :.

Ushbu ibora ko'paytirgichlarda uchraydi, demak, siz hisoblovchi va denominatorni ajratib olishingiz, keyin:

Siz darhol ulashishingiz mumkin:

Bunday xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun eslang oson yo'lKo'plab elektronni ifoda etish rad etilganligini qanday aniqlash mumkin:

Oxir oqibat, bu ifoda qiymatlarini hisoblashda amalga oshirilgan arifmetik harakatlar "asosiy". Ya'ni, agar siz harflar o'rniga har qanday (har qanday) raqamlarni almashtirsangiz, agar oxirgi harakat ko'payish bo'lsa, unda bizda ish borligini anglatadi (qo'shimcha ifoda ko'paytirgichlarda ifodalanadi). Agar oxirgi harakat qo'shimcha yoki olib tashlash bo'lsa, demak, ibora omillar uchun bo'linmasligini anglatadi (va shuning uchun kamaytirilmaydi).

Birlashtirish uchun biz sizning bir nechta qaror qabul qilamiz misollar:

Javoblar:

1. Umid qilamanki, siz darhol qisqartirmadingizmi? Bunday bunday "kesish" etarli emas:

Birinchi harakatlar multiplierlarning parchalanishi bo'lishi kerak:

4. kasrlarning qo'shimcha va taqsimlanishi. Fraktsiyalarni umumiy denominatorga olib kelish.

Oddiy kasrlarni qo'shish va ajratish - operatsiya yaxshi tanish: biz umumiy denominatorni qidirmoqdamiz, biz etishmayotgan multipliker va raqamlarni burish / ushlab turish uchun har bir fraktsiyani boshlaymiz. Eslaylik qilaylik:

Javoblar:

1. Denomomoratorlar o'zaro, ya'ni umumiy ko'paytirgichlarga ega emaslar. Binobarin, ushbu raqamlarning MOQlari ularning ishlariga teng. Bu umumiy denominator bo'ladi:

2. Bu erda umumiy denroinator:

3. Mana birinchi bo'lib aralash fraktsiyalar noto'g'ri, keyin - odatiy sxema bo'yicha:

Fraktsiyalar tarkibida harflar bo'lsa, bu juda boshqa narsa, masalan:

Keling, oddiydan boshlaylik:

a) Denominatorlarda harflar mavjud emas

Oddiy miqdordagi miqdordagi fraktsiyalar bilan bir xil: biz umumiy denominatorni topamiz, yo'qolgan multiplikatorida har bir fraktsiyaning har bir fraktsiyasini oshirib yuboramiz:

endi raqamni hisoblagichda siz shunga o'xshash narsalarni berishingiz va ko'paytirgichlarga yotishingiz mumkin:

O'zingizni sinab ko'ring:

b) Denominatorlarda harflar mavjud

Keling, harflarsiz umumiy denominatorni topish printsipini eslaylik:

Avvalo, biz umumiy omillarni aniqlaymiz;

Shunda biz bir marta umumiy omillarni yozamiz;

Va ular boshqa barcha ko'paytirgichlarga ustunlik qilishadi.

Denomomorlarning umumiy ko'payuvchilarini aniqlash uchun avval ularni oddiy omillarga joylashtiring:

Umumiy omillarni ta'kidlaymiz:

Endi biz umumiy omillarni bir marta yozamiz va barcha variantlarni qo'shamiz (ta'kidlanmagan) ularga ko'paytirgichlarga:

Bu umumiy denominator.

Keling, harflarga qaytaylik. Dannels aynan shu sxema bilan beriladi:

· Ko'plab ko'paytirgichlar uchun denomomor vositalarini qabul qiling;

· Umumiy (bir xil) ko'paytirgichni aniqlash;

Bir marta umumiy omillarni yozamiz;

Men boshqa barcha ko'paytirgichlarga ustunlik qilyapmiz, ular umumiy emas.

Shunday qilib, tartibda:

1) Ko'plab ko'paytirgichlarga denomomorektorlarni kengaytiring:

2) umumiy (bir xil) ko'paytirgichni aniqlang:

3) Biz barcha umumiy omillarni bir marta yozamiz va boshqalarning barchasida (ajratilgan) ko'paytiruvchilar:

Shunday qilib, umumiy denominator shu erda. Birinchi kasrni ko'paytirish kerak, ikkinchisida -

Aytgancha, bitta hiyla mavjud:

Masalan: .

Biz bir xil ko'payuvchilarni denominatorda ko'ramiz, shunchaki turli ko'rsatkichlar bilan. Umumiy tartibda quyidagilar bo'ladi:

darajasida

darajasida

darajasida

darajaga qadar.

Murakkab vazifa:

Xuddi shu denominatorni qanday qilish kerak?

FRAKIning asosiy xususiyatini eslaylik:

Hech qaysi joyda fraktsiya raqami va denominatordan (yoki qo'shing) bir xil raqamni olish mumkin degani emas. Chunki bu noto'g'ri!

O'zingizni tozalang: masalan, masalan, ba'zi raqamni, masalan, raqamga qo'shing, masalan,. Nima deding?

Shunday qilib, navbatma-bir qoida berilmaydigan qoida:

Siz fraktsiyani olib kelganingizda umumiy maxraj, faqat ko'paytirish operatsiyasidan foydalaning!

Ammo olish uchun nima qilish kerak?

Bu erda va dominat. Va Domaki:

Ko'plab bo'linmaydigan iboralar "elementar ko'paytirgich" deb nomlanadi. Masalan, bu elementar ko'payish. - shuningdek. Ammo - yo'q: u ko'paytirgichlarda uchraydi.

Siz ifoda haqida nima deysiz? Bu elementar?

Yo'q, chunki u ko'paytirgichlarda parchalanishi mumkin:

(Mumpellerning parchalanishida siz allaqachon mavzuni o'qigansiz).

Shunday qilib, siz harflar bilan ifodani rad etadigan elementar ko'paytirgich siz oddiy ko'payuvchilarning analogidir. Va ular bilan xuddi shu tarzda harakat qilamiz.

Biz ikkala denominatorlarda ham ko'paytiper mavjudligini ko'rmoqdamiz. U bir darajaga umumiy denominatorga boradi (nega?).

Multiplier elementar, ammo ularda umumiy bo'lishi shunchaki fraktsiyani shunchaki chizish kerak degan ma'noni anglatadi:

Yana bir misol:

Qaror:

Ushbu denomektorlarni ko'paytirishdan tashqari, ularni ko'paytiruvchilar uchun qanday qilib parchalanish haqida o'ylashingiz kerak? Ikkalasi ham quyidagilardir:

Zo'r! Keyin:

Yana bir misol:

Qaror:

Odatdagidek, ko'paytirgichlarga denominatorlarni parchalaydi. Birinchi denominatorda biz qavs ortida turamiz; Ikkinchi - kvadratlarning farqi:

Umumiy omillar yo'qdek tuyuladi. Ammo agar siz qarasangiz, ular ham shunga o'xshash ... va haqiqat:

Shunday qilib yozing:

Ya'ni shunday bo'lib chiqdi: qavs ichida biz joylardagi joylarni o'zgartirdik va shu bilan birga, bir vaqtning o'zida buning teskaridan oldin belgi o'zgartirildi. E'tibor bering, shuning uchun tez-tez qilish kerak bo'ladi.

Endi biz umumiy denominatorni beramiz:

Yordam bering? Endi tekshiring.

O'z-o'zini hal qilish uchun vazifalar:

Javoblar:

Bu erda boshqa birovni eslab qolish kerak - kublarning farqi:

Denominatorda ikkinchi fraktsiya "kvadrat miqdori" formulasi emasligiga e'tibor bering! Kvadrat summasi quyidagicha ko'rinadi.

Va - bu summaning to'liq bo'lmagan kvadratidir: ikkinchi muddat - bu birinchi va oxirgi ishning faoliyati. Miqdorning to'liq bo'lmagan kvadrati kub farqlarining parchalanishidagi muloziklardan biridir:

Agar fraktsiyalar allaqachon uchta bo'lak bo'lsa, nima qilish kerak?

Va xuddi shu narsa! Birinchidan, biz denominatorlarda ko'p ko'payuvchilarning maksimal soni bir xil edi:

E'tibor bering: agar siz bitta qavs ichida belgilarni o'zgartirsangiz, fraksiya oldidan belgini o'zgartiring. Ikkinchi qavs ichida belgilarni ikkinchi qavsda o'zgartirsak, fraksiyadan oldin belgini teskari tomonga o'zgaradi. Natijada, u (kassir oldidan belgi) o'zgarmadi.

Umumiy denominatorda birinchi denominator zaryadsizlanadi, so'ngra ikkinchisidan yozilmagan barcha omillarni, so'ngra uchinchi (va undan ko'p bo'lsa). Ya'ni shunday bo'ladi:

Hmm ... fraktsiyalar bilan nima qilish kerakligi aniq. Ammo qanday qilib burmalar bilan bo'lish kerak?

Hammasi oddiy: siz qanday kasr qo'yish kerakligini bilasizmi? Shunday qilib, ikki marta kasrga aylanishini qilishingiz kerak! Eslay olamiz: kasr - bu bo'linma operatsiyasi (raqami to'satdan unutgan bo'lsangiz, denominatorni baham ko'radi). Va raqamni ajratishdan osonroq narsa yo'q. Shu bilan birga, raqamning o'zi o'zgarmaydi, ammo kasrga aylanadi:

Aniq nima kerak!

5. Fraktsiyalarning ko'payishi va bo'linishi.

Xo'sh, endi eng qiyin. Va bizda eng sodda, ammo eng muhimi:

Tartib

Raqamli iborani hisoblash uchun qanday tartib? Shuni yodda tutingki, bunday ibora muhimligini inobatga olgan holda:

Hisoblanganmi?

Sodir bo'lishi kerak.

Shunday qilib, men eslatmayman.

Birinchi narsa - bu daraja.

Ikkinchisi ko'paytirish va bo'linish. Agar bir vaqtning o'zida mulozimlar va bo'linmalar bir vaqtning o'zida bo'lsa, ularni har qanday tartibda qilishingiz mumkin.

Va nihoyat, biz qo'shimcha va ajratishni amalga oshiramiz. Yana, har qanday tartibda.

Ammo: qavslardagi ifoda navbatdan tashqarida hisoblanadi!

Agar bir nechta qavslar ko'paytirilsa yoki bir-biriga almashsa, avval har bir qavs ichida ifodani hisoblaymiz va keyin ularni ko'paytiring yoki etkazib bering.

Va agar qavs ichida qavslar bo'lsa? Keling, o'ylaylik: ba'zi ifoda qavs ichida yozilgan. Va bu ifodani hisoblashda, avvalo, nima qilishingiz kerak? Bu to'g'ri, qavslarni hisoblang. Xo'sh, shuning uchun biz quyidagicha, biz ichki qavslarni, keyin hamma narsani hisoblaymiz.

Shunday qilib, ifoda tartibi bundan yuqori (hozirgi qiymatlar ajratilgan qizil, ya'ni men hozir bajaradigan harakat):

Xo'sh, bu juda oddiy.

Ammo bu harflar bilan ifoda bilan bir xil emasmi?

Yo'q, bu ham xuddi shunday! Faqat arifmetik harakatlar o'rniga algebraik, ya'ni avvalgi bo'limda tavsiflangan harakatlar bo'lishi kerak: xuddi shunday tarbiyalash, Kasrlarni sozlash, kasrlarni kesish va boshqalar. Faqatgina farq, ko'paytirgichlarda polinomlar parchalanishining ta'siri bo'ladi (biz kasrlar bilan ishlashda tez-tez qo'llanilamiz). Ko'pincha, ko'paytirgichlarning parchalanishi uchun men ariza berish yoki shunchaki qavslar uchun umumiy omilni olishim kerak.

Odatda bizning maqsadimiz - bu ish yoki xususiy shaklda ifoda.

Masalan:

Biz ifodani soddalashtiramiz.

1) Avval biz qavs ichida ifodani soddalashtiramiz. U erda bizda kasr farq qiladi va bizning maqsadimiz uni ish yoki shaxsiy sifatida taqdim etishdir. Shunday qilib, biz umumiy denominator uchun kasrni beramiz:

Ushbu ibora soddalashtirish oson, bu erda barcha omillar elementar (bu nimani anglatishini hali ham eslaysiz).

2) Biz olamiz:

Fraktsiyalarni ko'paytirish: eng oson bo'lishi mumkin.

3) Endi siz kamaytirishingiz mumkin:

Bo'ldi shu. Hech qanday qiyin, to'g'rimi?

Yana bir misol:

Ifodani soddalashtirish.

Avval o'zimni hal qilishga harakat qiling va shundan keyingina qarorni ko'ring.

Birinchidan, biz harakat qilish tartibini belgilaymiz. Birinchidan, biz qavslardagi fraktsiyalar qo'shilishini bajaramiz, u ikkita kasr o'rniga o'giriladi. Keyin biz kasrlarni ajratamiz. Xo'sh, natijasi oxirgi kasr bilan yotadi. Sxematik raqamlar:

Endi men yangi harakatni qizil rangga urib, yangiliklarni ko'rsataman:

Va nihoyat, sizga ikkita foydali maslahat berasiz:

1. Agar shunga o'xshash bo'lsa, ularni darhol olib kelish kerak. Qanday bo'lmasin, biz ham shunga o'xshashimiz tavsiya etiladi, ularni darhol olib kelish tavsiya etiladi.

2. Xuddi shu narsa kasrlarning kamayishiga nisbatan qo'llaniladi: kamaytirish qobiliyati bilanoq, undan foydalanish kerak. Istisno - bu siz katlanadigan yoki ushlab qolingan fraktsiyalar: agar ular hozir bir xil denominatorlar bo'lsa, shundan keyin qisqartirish kerak.

Mana sizning o'zingizning vazifalaringiz uchun vazifalaringiz:

Va boshida va'da qilingan:

Yechimlar (qisqa):

Agar siz kamida birinchi uchta misolni engillashtirgan bo'lsangiz, unda siz o'ylab, o'zlashtirganingizni ko'rib chiqasiz.

Endi o'rganishga intiling!

Imtiyozlarni o'zgartirish. Xulosa va asosiy formulalar

Asosiy soddalashtirish operatsiyalari:

• Xuddi shunday tarbiyalash: Shunga o'xshash tarkibiy qismlarni siqish uchun, koeffitsientlari va harflar qismini bog'lash kerak.
• Faktorizatsiya:qavslar, ariza va boshqalar uchun umumiy omilni olish.
• Fraktsiyalarning pasayishi: Fraktsiyaning raqami va denomorchori, bir xil nolga teng bo'lmagan raqamga bo'linishi yoki bir xil nolga teng bo'lmagan raqamga bo'linishi mumkin.
  1) Rumerator va Denominator ko'plab ko'paytirgichlarda parchalanadi
  2) Agar hisoblagich va denominatorda umumiy ko'paytirgich bo'lsa, ularni o'chirib tashlash mumkin.

  Muhim: Faqat ko'paytirgichni kesish mumkin!

• Fraktsiyalarni qo'shish va ajratish:
  ;
• Fraktsiyalarning ko'payishi va taqsimoti:
  ;

I. Shtatlar bilan bir qatorda, raqamlar, raqamlar, arifmetik harakatlar va qavs belgilaridan algebraik iboralar deyiladi.

Algebraik iboralarning misollari:

2m -n; 3. · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b. · (4A + 2b); a 2 - 2ab;

Algraik ifodasidagi xatni ba'zi bir raqamlar bilan almashtirish mumkinligi sababli, harf o'zgaruvchi va o'zi deb ataladi algebraik ifoda - O'zgaruvchining ifodasi.

II. Agar algebraik ifoda harflari (o'zgaruvchilar) bo'lsa, ularni qadriyatlar bilan almashtiring va ushbu harakatlarni bajaring, so'ngra raqam algebraik ifoda qiymati deb ataladi.

Misollar. Ifoda qiymatini toping:

1) a + 2b -c a \u003d -2; B \u003d 10; C \u003d--3.5.

2) | x | + | Y | - | z | X \u003d -8 da; y \u003d -5; z \u003d 6.

Qaror.

1) a + 2b -c a \u003d -2; B \u003d 10; C \u003d--3.5. O'zgaruvchilar o'rniga biz ularning qadriyatlarini almashtiramiz. Biz olamiz:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | Y | - | z | X \u003d -8 da; y \u003d -5; z \u003d 6. Biz qadriyatlarni almashtiramiz. Shuni yodda tutingki, salbiy raqam moduli qarama-qarshi raqamga teng, va ijobiy raqam moduli bu raqamga teng. Biz olamiz:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Algebraik ifoda mantiqiy bo'lgan harf (o'zgaruvchini) qadriyatlari, harfning ruxsat etilgan qiymatlari deb nomlanadi.

Misollar. O'zgaruvchan iboraning qaysi qadriyatlari mantiqiy emas?

Qaror. Biz nolga bo'linishning iloji yo'qligini bilamiz, shuning uchun ushbu iboralarning har biri nolga teng bo'lmagan harf (o'zgaruvchini) qiymatida mantiqiy emas!

1-misolda 1) bu qiymat - bu 3 \u003d 0. Haqiqatan ham, agar o'rniga 0-ni almashtirilsa, 6 dan 0 gacha bo'lishingiz kerak va buni amalga oshirish mumkin emas. Javob: 3-ifoda 1) a \u003d 0.

2-misolda) denominator X - 4 \u003d 0 X \u003d 4 da, shuning uchun X \u003d 4 qiymatini olib bo'lmaydi. Javob: 3-ifoda X \u003d 4-da mantiqiy emas.

3-misolda) Denroinator X + 2 \u003d 0 da x \u003d -2 da. Javob: 3-ifoda X \u003d -2 da mantiqiy emas.

4-misolda 4) denroinator 5 - x | \u003d 0 | bilan | \u003d 5. va bizdan | 5 | \u003d 5 va | -5 | \u003d 5, keyin x \u003d 5 va x \u003d -5 ni olish mumkin emas. Javob: 4-ifoda X \u003d -5 va X \u003d 5-da mantiqiy emas.
IV. Ikkita ibora bir xil teng, agar o'zgargichlarning har qanday qiymatlari bo'lsa, ushbu iboralarning tegishli qiymatlari teng.

Masalan: 5 (A - b) va 5B - 5B tenglik 5 (A - B) \u003d 5A - 5b har qanday qadriyatlarda sodiq qoladi. Tenglik 5 (A - B) \u003d 5A - 5b u erda o'ziga xoslik mavjud.

O'ziga xoslik - Bu tenglik, o'zgaruvchilar joylashgan barcha ruxsat etilgan qiymatlar bilan teng emas. Sizga ma'lum bo'lgan identifikatorlarga misollar, masalan, qo'shimcha va ko'paytirish, taqsimot xususiyatidir.

Bir iborani boshqasiga almashtirish, ibora bilan bir xil tarzda o'zgartirilgan yoki shunchaki ifodani o'zgartirish deb nomlanadi. Bir xil o'zgarishlar O'zgaruvchilar bilan kengayishlar raqamlar ustidagi harakatlarning xususiyatlariga qarab amalga oshiriladi.

Misollar.

a) Tarqatish xususiyatini tarqatish xususiyatidan foydalanib, ifodani teng ravishda o'zgartiring:

1) 10 (1,2x +,3,); 2) 1.50 · dan (A -2b + 4); 3) A · (6m -2n + k).

Qaror. Ko'p sonli tarqatish xususiyatini (qonuni) eslab qoling:

(A + B) · c \u003d a · c + b · c (Ko'p sonli tarqalish qonuni: ikki raqam miqdorini uchinchi raqamga ko'paytirish, siz har bir komponentni ushbu raqamga ko'paytirib, natijalarni katladingiz).
(A-B) \u003d A · C-b · c (Tarkibga nisbatan ko'payish to'g'risidagi qonun hujjatlari: uchinchi raqamga ko'paytirish uchun siz ikki raqam orasidagi farqni ko'paytirish uchun siz ushbu raqamdan ko'payishi va ikkinchisini ajratishning birinchi natijasidan ko'payishingiz mumkin).

1) 10 · (1.2x + 21) \u003d 10 · 1.2x + 10 · \u003d 12x \u003d 12x + 23w.

2) 1.50 · (A -2b + 4C) \u003d 1,5A -3b + 6C.

3) A · (6m -2n + k) \u003d soat 6a -2an + AK.

b) Qo'shimcha ravishda ifodani bir xil qilib, qo'shimcha va qo'shimcha qonunlar (qonunlar) yordamida o'zgartiring:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2,1) + 7.8; 6) 5.4C -3 -2.5.3c.

Qaror. Qo'shimcha hujjatlarni (xususiyatlarini) qo'llang:

a + b \u003d b + a (Harakat: miqdor shartlarning o'zgartirilganidan o'zgarmaydi).
(A + b) + c \u003d a + (b + c) (Birlashtirish: ikki komponentning yig'indisiga uchinchi raqamni qo'shish uchun siz ikkinchi va uchinchi miqdorni birinchi raqamga qo'shishingiz mumkin).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 \u003d (x + 2x) + (4.5 + 6,5) \u003d 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7.8 \u003d 3a + (2.1 + 7.8) \u003d 3a + 9 9.9.

6) 6) 5.4C -3 -2.5.3c \u003d (5.4C -2.3c) + (-3 -2.5) \u003d 3.1S -5.5.

ichida) Ko'plab ifodani bir xil qilib, ko'paytirish uchun ko'paytirishdan foydalanib, ifodani o'zgartiring: ko'paytirish:

7) 4 · H. · (-2,5); 8) -3,5 · 2w · (-one); 9) 3a. · (-3) · 2C.

Qaror. Ko'p sonli qonunlarni (xususiyatlarini) qo'llang:

a · b \u003d b a (Harakat: multiplier tahdididan, ish o'zgarmaydi).
(Abur · c \u003d a · c) (Birlashtirish: ikki raqamning ishlashini uchinchi raqamga ko'paytirish uchun siz birinchi va uchinchi ish uchun birinchi raqamni ko'paytira olasiz).

7) 4 · H. · (-2,5) = -4 · 2,5 · x \u003d -10x.

8) -3,5 · 2w · (-1) \u003d 7-chi.

9) 3a. · (-3) · 2c \u003d -18AS.

Agar algebraik ifoda qisqartirilgan kasr shaklida berilsa, unda maydalash qoidasini ishlatishda soddalashtirilgan bo'lishi mumkin, i.e. Bir xil tarzda sodda ifodasga teng.

Misollar. Fraktsiyalarning pasayishi yordamida soddalashtiring.

Qaror. Fraktsiyani kamaytiring - bu uning raqami va denominatorini bir xil raqamga (ifoda) bir xil raqamga ajratishni noldan farq qiladi. Fracad 10) 3b.; fraktsiya 11) kamayadi ammo va Fract 12) ni kamaytiradi 7n.. Biz olamiz:

Algebraik iboralar formulalarni tuzish uchun ishlatiladi.

Formula - tenglik shaklida qayd etilgan va ikki yoki bir nechta o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarni ifoda etish. Misol: Siz bilasiz formula formulasi s \u003d VK (S - yo'lda sayohat qilingan, v - bu tezlik, t - vaqt). Siz nima bilgan boshqa rasmlarni eslang.

1 1-bet

Algebrada ko'rib chiqilgan turli xil iboralar orasida, homiylar muhim o'rinni egallaydi. Biz bunday iboralardan misollar keltiramiz:
\\ (5A ^ 4 - 2a ^ 3 + 0,3a ^ 2 - 4,6a + 8 \\)
\\ (XY ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \\)

Hokimiyat miqdori polinom deb ataladi. Molynomiyadagi tarkibiy qismlar polinomning a'zolari deb nomlanadi. Shuningdek, biz, shuningdek, polinomiyalarga aqlsizlik bilan emas, balki bitta a'zodan tashkil topgan ko'payib boradi.

Masalan, polinom
\\ (8b ^ 5 - 2b \\ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \\ CDOT (-12) b + 16 \\)
Siz soddalashtirishingiz mumkin.

Namunaviy tur shaklida barcha tarkibiy qismlarni tasavvur qiling:
\\ (8b ^ 5 - 2b \\ sdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \\ CDOT (-12) b + 16 \u003d \\)
\\ (\u003d 8b ^ 5 - 14b ^ 5b ^ 2b ^ 2 -8b ^ 2 + 16 \\)

Biz bunday a'zolarni ko'payib ketgan polinomiya bo'yicha beramiz:
\\ (8b ^ 5 -14b ^ 5b ^ 2b ^ 2b -8b ^ 2 + 16 \u003d 5 -8b + 16 \\)
Bu barcha a'zolar, ularning barcha a'zolari bir tomonlama turlar va ularning orasida shunga o'xshash bo'lmasin. Bunday polinomlar deyiladi standart turlarning polinamiallari.

Har tomonga molinomiya darajasi Namunaviy turlar uning a'zolarining eng kattaligini oladi. Shunday qilib, BICKED \\ (12A ^ 2b - 7b) uchinchi darajali, uch bosqichli \\ (2b ^ 2-7b + 6 \\) - ikkinchisi.

Odatda, bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan standart shakldagi polinomiyalarning a'zolari uning darajasini pasayish tartibiga joylashtiriladi. Masalan:
\\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \\)

Bir nechta polinomlar yig'indisi standart turlarning ko'payishiga o'zgartirilishi mumkin (soddalashtirilgan).

Ba'zida polinomning a'zolari qavs ichida har bir guruhga kirish orqali guruhlarga bo'lish kerak. Qavslardagi xulosa - bu transformatsiya, qavslarning teskari ochilishi, shakllantirish juda oson qavslarni ochish qoidalari:

Agar "+" belgisi qavslar oldida o'rnatilgan bo'lsa, qavs ichiga o'ralgan a'zolar bir xil belgilar bilan qayd etiladi.

Agar "-" belgisi qavs oldida o'rnatilgan bo'lsa, qavs ichida tuzilgan a'zolar qavs ichida tuzilgan belgilar bilan yozilgan.

Bitta qanot va polinomning ishlarini o'zgartirish (soddalashtirish)

Ko'plab ko'payish xususiyatlaridan foydalanib, siz ko'paytirishingiz mumkin (soddalashtiring), mahsulot blokirof va polizom. Masalan:
\\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 9a ^ 2b \\ cdot 7a ^ 2b \\ cdot (-5B) + 9a ^ 2b \\ cDOT (-4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \\)

Asar to'siqsiz va polinomlar bir xil, bu bitta va har birining har bir a'zolarining asarlari miqdoriga teng.

Ushbu natija odatda qoida sifatida shakllanadi.

To'liqni ko'paytirishni ko'paytirish uchun siz ko'payishingiz kerak bo'lgan har bir a'zolarning har bir a'zolari uchun noma'lum bo'lishi kerak.

Ushbu qoidani ko'p miqdorda ko'paytirish uchun bir necha bor ishlatganmiz.

Polinomlar mahsuloti. Ikki polinomlarning o'zgarishi (soddalashtirish) asarlari

Umuman olganda, ikkita polinomlarning mahsuloti bitta polinomning har bir a'zosining va har birining har bir a'zosining ishiga teng.

Odatda keyingi qoidadan zavqlaning.

To'fonni ko'paytirish uchun ko'paytirish uchun bitta polinomning har bir a'zosi ikkinchisining har bir a'zosi tomonidan ko'payadi va olingan ishlarni bukilgan.

Qisqartirilgan ko'payish formulalari. Mumkin bo'lgan kvadratlar, farqi va farqi

Algebraik o'zgarishlar bo'yicha ba'zi iboralar bilan boshqalarga qaraganda ko'proq kurashish kerak. Ehtimol eng keng tarqalgan ifodalar \\ ((a + b) ^ 2 \\) va \\ 2 \\ '^ 2 \\' ^ 2 \\ '^ 2 - \\), ya'ni kvadrat miqdorining yig'indisi farq va kvadrat farqlar. Belgilangan iboralarning ismlari tugaganligini sezdingiz, masalan, \\ (a + b) ^ 2 \\) albatta, bu nafaqat miqdorning kvadrati va B. Biroq A va B miqdorining kvadratida, qoida tariqasida, A va B harflari o'rniga boshqacha, ba'zan juda murakkab iboralar.

Sopices \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\), aslida siz allaqachon bunday vazifani bajargansiz (soddalashtiring). Ko'p sonli ko'paytirish:
\\ ((a + b) ^ 2 \u003d (a + b) \u003d a ^ 2 + AB + Ba + B ^ 2 \u003d \\)
\\ (\u003d a ^ 2 + 2 + b ^ 2 \\)

Olingan identifikatsiyalar oraliq hisob-kitoblarsiz eslab qolish va murojaat qilish uchun foydalidir. Qisqa og'zaki so'zlar bunga yordam beradi.

\\ ((a + b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + 2AB \\) - summa yig'indisi kvadratlar yig'indisi va ikki baravar ko'p ishlarga tengdir.

\\ ((a - b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 - 2 - 2 - 2) - Farqi kvadrat ikki mahsulotsiz kvadratlarning yig'indisiga teng.

\\ (a ^ 2 - B ^ 2 \u003d (A - B) (a - b) \\) - kvadratlarning farqi miqdordagi farqning mahsulotiga tengdir.

Ushbu uchta shaxsning chap qismlarini o'ng va orqa tomondan almashtirishga imkon beradi - o'ng va orqa qismlar qoldi. Bir vaqtning o'zida eng qiyin bo'lgan - tegishli iboralarga qarang va a va b o'zgaruvchilar qanday almashtiriladi. Qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanishning bir nechta misollarini ko'rib chiqing.

Har qanday tildan foydalanish, siz bir xil ma'lumotlarni ifodalashingiz mumkin. turli so'zlar va burilish. Istisno va matematik til. Ammo xuddi shu ibora har xil usulda qayd etilishi mumkin. Va ba'zi holatlarda, yozuvlardan biri osonroq. Ushbu darsdagi iboralar soddalashtirilganligi haqida gaplashamiz.

Odamlar aloqa qilishadi turli tillar. Biz uchun muhim taqqoslash "rus tili - matematik tili". Xuddi shu ma'lumotni turli tillarda xabar qilish mumkin. Ammo, bundan tashqari, u bir tilda har xil shaklda talaffuz qilishi mumkin.

Masalan: "Petya Vasya bilan do'stdir", "Vasya", "Vay do'stlari bilan Pit". - dedi boshqacha, lekin xuddi shu narsa. Ushbu iboralar uchun biz nima haqida gapirayotganimizni tushunardik.

Keling, bu iborani ko'rib chiqaylik: "Petya bolasi va Vasya do'stidir". Biz nimani tushundik bu nutq. Shunga qaramay, biz ushbu iborani qanday tovushlar yoqmaydi. Buni soddalashtira olamiz, bir xil aytaylik, lekin osonroq? "O'g'il va bola" - siz yana bir bor ayta olasiz: "Petya va Vasya o'g'illari do'st."

"O'g'il bolalar" ... ular qiz emas ismlar emas. Biz "O'g'illar" ni olib tashlaymiz: "Petya va Vasya do'stlar". "Do'stlar" so'zi "do'stlar" bilan almashtirish mumkin: "Butrus va Vasya - do'stlar". Natijada, birinchi, uzun xunuk ibora o'rniga ekvivalent bayonot bilan almashtirildi, bu eshitish osonroq bo'ladi. Biz ushbu iborani soddalashtirdik. Soddalashtiring - bu osonroq aytishni anglatadi, lekin yo'qotmaslik, ma'nosini buzmang.

Matematik tilda, taxminan bir xil narsa sodir bo'ladi. Bir narsani boshqacha yozish mumkin. Ifodani soddalashtirish nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, dastlabki ifoda uchun juda ko'p ekvivalent iboralar mavjud, ya'ni xuddi shu narsani anglatadi. Va bu barcha narsadan biz eng sodda, fikrimizda yoki kelajakdagi maqsadlarimiz uchun eng mos keladigan narsani tanlashimiz kerak.

Masalan, raqamli ifodani ko'rib chiqing. Bu teng bo'ladi.

Bu shuningdek, birinchi ikkitasiga teng bo'ladi: .

Ma'lum bo'lishicha, biz bizning ifodalarimizni soddalashtirdik va eng qisqa ekvivalent ibora topdik.

Raqamli iboralar uchun har doim barcha harakatlarni bajarish va bitta raqam shaklida ekvivalent iborani olish kerak.

Alifbo ifodasining misolini ko'rib chiqing. . Shubhasiz, bu osonroq bo'ladi.

Alifbo ifodalarini soddalashtirishda siz mumkin bo'lgan barcha harakatlarni bajarishingiz kerak.

Siz har doim ifodani soddalashtirishingiz kerakmi? Yo'q, ba'zida biz ekvivalent, ammo uzoqroq yozib olish uchun qulay bo'ladi.

Misol: Raqamdan raqamni olishingiz kerak.

Hisoblashni hisoblash mumkin, ammo agar birinchi raqam o'zining ekvivalent rekordini taqdim etsa :, hisob-kitoblar bir zumda bo'ladi:.

Ya'ni, sodda ifoda har doim ham keyingi hisoblash uchun foyda keltirmaydi.

Shunga qaramay, ko'pincha biz "iborani soddalashtirish" degan vazifaga duch kelamiz.

Ifodani soddalashtiring :.

Qaror

1) Birinchi va ikkinchi qavslarda harakatlarni bajarish :.

2) Ishlarni hisoblash: .

Shubhasiz, oxirgi ibora boshlang'ichga qaraganda sodda ko'rinishga ega. Biz buni soddalashtirdik.

O'zingizni soddalashtirish uchun uni ekvivalent (teng) bilan almashtirish kerak.

Ekvivalent iborani aniqlash uchun quyidagilar kerak:

1) barcha mumkin bo'lgan harakatlarni bajarish

2) Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun qo'shimcha, ajratish, ko'paytirish va bo'linmalar xususiyatlaridan foydalaning.

Qo'shimcha va ajratish xususiyatlari:

1. Qo'shimcha mulkni harakatga keltiring: miqdor atamalarni o'zgartirishdan o'zgartirilmaydi.

2. Qo'shimcha mulki: ikki raqamning yig'indisiga uchinchi raqamni qo'shish uchun siz ikkinchi va uchinchi raqamning birinchi raqamiga qo'shishingiz mumkin.

3. Miqdordan ajratilgan mulki: miqdoridan miqdorini olib tashlash uchun har bir muddatni alohida chegirishingiz mumkin.

Ko'plashuvchanlik va bo'linish xususiyatlari

1. Ko'plab harakatning harakati: Mahsulot multimerlar partiyasidan o'zgarmaydi.

2. Modali mulk: Ikki raqamning ishida raqamni ko'paytirish uchun siz avval uni birinchi omilga ko'paytirishingiz mumkin, keyin natijada ish ikkinchi omil bilan ko'paytiriladi.

3. Ko'plab tarqatish xususiyatlari: raqamni miqdoriga ko'paytirish uchun siz uni har bir alohida-alohida ko'paytirishingiz kerak.

Keling, aslida ongda hisob-kitob qilishimizni ko'rib chiqaylik.

Hisoblash:

Qaror

1) Qanday tasavvur qiling

2) Birinchi omilni to'lash shartlarining yig'indisi sifatida tasavvur qiling va ko'paytirishni amalga oshiring:

3) Ko'plab ko'paytirishni qanday bajarishni tasavvur qilishingiz mumkin:

4) teng miqdordagi birinchi omilni almashtiring:

Tarqatish to'g'risidagi qonun qarama-qarshi yo'nalishda foydalanish mumkin:.

Quyidagilarni bajaring:

1) 2)

Qaror

1) qulaylik uchun siz uni qarama-qarshi yo'nalishda foydalanish uchun siz uni teskari yo'nalishda foydalanish uchun ishlatishingiz mumkin - qavslar uchun umumiy omil qilish.

2) Men qavslar uchun umumiy mulozikatorni olib kelaman.

Oshxonada linolyumni va kirish zalini sotib olish kerak. Square Oshxona -, Hallway -. Linoleumning uchta turi mavjud: dasturiy ta'minot va rubl. Linoleumning har biri qancha turadi? (1-rasm)

Anjir. 1. Muammoning holatiga rasm

Qaror

Usul 1. Siz har biringiz oshxonaga linkel sotib olish kerakligini individual ravishda topishingiz va keyinchalik koridorga va olingan ishlarga qo'shishingiz kerak.