Kub va farq kubiklari: qisqartirish ko'paytirish formulalarini qo'llash qoidalari. Kubning farqi va kublar farqi: qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash qoidalari Ikki vazifali ifodaning kublar yig'indisi va farqi.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganish: yig'indining kvadrati va ikkita ifodaning farqi kvadrati; ikkita ifoda kvadratining farqi; yig'indining kubi va ikkita ifodaning farqining kubigi; ikkita ifoda kublarining yig'indisi va farqi.
Misollarni echishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.
Ifodalarni soddalashtirish, polinomlarni faktorizatsiya qilish va polinomlarni standart shaklga keltirish uchun ko'paytirishning qisqartirilgan formulalari qo'llaniladi. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini yoddan bilish kerak.
Keling, a, b R. Keyin:
1. Ikki ifoda yig'indisining kvadrati birinchi ifodaning kvadrati va birinchi ifodaning ikkinchisidan ikki baravar ko'pligi, ikkinchi ifodaning kvadrati.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Ikki ifodaning kvadrat farqi birinchi ifodaning kvadrati, birinchi ifodaning ikkinchi sonidan ikki baravar ko'pligi, ikkinchi ifodaning kvadrati.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Kvadratlarning farqi ikkita ifoda bu ifodalar va ularning yig'indisi o'rtasidagi farqning hosilasiga teng.
a 2 - b 2 = (a -b) (a + b)
4. Sum kub ikkita ifodaning birinchi ifodasi kubiga, birinchi ifodaning kvadratidan ikkinchisining uch barobariga, birinchi ifodaning hosilasi uch barobariga, ikkinchisining kvadratiga va ikkinchi ifodaning kubiga teng bo'ladi.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Farqi kub ikkita ifoda birinchi ifodaning kubiga, birinchi ifodaning kvadratidan uch baravarigacha, ikkinchisiga esa birinchi ifodaning hosilasi va ikkinchi sonining kvadratidan ikkinchi ifodaning kubigiga teng bo'ladi.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kublar yig'indisi ikkita ifoda bu iboralar orasidagi farqning tugallanmagan kvadrati bo'yicha birinchi va ikkinchi ifodalar yig'indisiga tengdir.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kublarning farqi ikkita ifoda bu iboralar yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadrati bilan birinchi va ikkinchi ifodalarning farqi hosilasiga tengdir.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Misollarni echishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.
Misol 1.
Hisoblash
a) Ikkita ifoda yig'indisi kvadratining formulasidan foydalanib, bizda
(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Ikki ifodaning farqi kvadratining formulasidan foydalanib, biz olamiz
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604
2 -misol.
Hisoblash
Ikkita ifodaning kvadratlari orasidagi farqning formulasidan foydalanib, biz olamiz
Misol 3.
Ifodani soddalashtiring
(x - y) 2 + (x + y) 2
Biz ikkita ifodaning farqi va yig'indisi kvadratining formulalaridan foydalanamiz
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari bitta jadvalda:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Qisqartirilgan ko'paytirish qoidalari yoki formulalari arifmetikada, aniqrog'i, algebrada katta hajmni hisoblashning tezroq jarayoni uchun ishlatiladi. algebraik ifodalar... Formulalarning o'zi algebrada mavjud bo'lgan bir nechta polinomlarni ko'paytirish qoidalaridan kelib chiqadi.
Ushbu formulalardan foydalanish har xil matematik masalalarni tezda hal qilishni ta'minlaydi, shuningdek ifodalarni soddalashtirishga yordam beradi. qoidalar algebraik o'zgarishlar iboralar yordamida ba'zi manipulyatsiyalarni bajarishga ruxsat bering, shundan so'ng siz o'ng tomonda tenglikning chap tomonidagi ifodani olishingiz yoki tenglikning o'ng tomonini o'zgartirishingiz mumkin (teng belgidan keyin chap tomonda ifodani olish uchun). .
Xotirani ko'paytirish uchun ishlatiladigan formulalarni bilish qulay, chunki ular ko'pincha masalalar va tenglamalarni echishda ishlatiladi. Quyida ushbu ro'yxatga kiritilgan asosiy formulalar va ularning nomi keltirilgan.
Kvadrat sum
Jami yig'indisining kvadratini hisoblash uchun siz birinchi davrning kvadrati, birinchi davrning sonidan ikkinchisiga ikki barobar ko'p, ikkinchisining kvadratidan iborat yig'indini topishingiz kerak. Ifoda sifatida bu qoida quyidagicha yozilgan: (a + c) ² = a² + 2ac + c².
Farqi kvadrat
Farq kvadratini hisoblash uchun siz birinchi sonning kvadratidan, ikkinchi sonning birinchi sonining hosilasidan (qarama -qarshi belgi bilan olingan) va ikkinchi sonning kvadratidan iborat yig'indini hisoblashingiz kerak. Ifoda sifatida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: (a - c) ² = a² - 2ac + c².
Kvadratlarning farqi
Ikkita kvadrat orasidagi farqning formulasi bu raqamlar yig'indisining farqiga ko'pligiga teng. Ifoda ko'rinishida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: a² - c² = (a + c) · (a - c).
Sum kub
Ikki atama yig'indisining kubini hisoblash uchun birinchi davrning kubidan, birinchi davr kvadratining uch baravaridan va ikkinchisidan, birinchi va ikkinchi davrning uch baravaridan iborat yig'indini hisoblash kerak. kvadrat, shuningdek ikkinchi davr kubiklari. Ifoda ko'rinishida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: (a + c) ³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Kublar yig'indisi
Formulaga ko'ra, bu farqlarning to'liq bo'lmagan kvadrati bilan ushbu atamalar yig'indisining hosilasiga tenglashtiriladi. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: a³ + c³ = (a + c) · (a² - ac + c²).
Misol. Ikkita kubni qo'shish natijasida hosil bo'lgan raqamning hajmini hisoblash kerak. Faqat tomonlarining o'lchamlari ma'lum.
Agar yon qiymatlar kichik bo'lsa, unda hisoblash oson.
Agar tomonlarning uzunligi uzun sonlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu holda hisoblarni ancha soddalashtiradigan "Kublar yig'indisi" formulasini qo'llash osonroq bo'ladi.
Farqi kub
Kubik farqning ifodasi quyidagicha: birinchi davrning uchinchi kuchining yig'indisi sifatida, birinchi davr kvadratining manfiy mahsulotini ikkinchisiga, ikkinchisining kvadratiga birinchi davrining mahsulotini uch baravar ko'paytiring. va ikkinchi davrning salbiy kubi. Matematik ifoda ko'rinishidagi farq kubi quyidagicha ko'rinadi: (a - c) ³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Kublarning farqi
Kublar farqining formulasi faqat bitta belgi bo'yicha kublar yig'indisidan farq qiladi. Shunday qilib, kublar orasidagi farq, bu sonlarning yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadrati farqining hosilasiga teng bo'lgan formuladir. Shaklda kublarning farqi quyidagicha: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Misol. Sariq volumetrik raqamni ko'k kub hajmidan, shuningdek kub bo'lganidan keyin qoladigan raqamning hajmini hisoblash kerak. Kichik va katta kubning faqat yon tomonining o'lchami ma'lum.
Agar yon qiymatlar kichik bo'lsa, hisob -kitoblar juda oddiy. Va agar tomonlarning uzunligi muhim sonlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda hisob -kitoblarni ancha soddalashtiradigan "Farqi kubiklari" (yoki "Farqi kub") formulasidan foydalanishga arziydi.
Oldingi darslarda biz polinomni ko'paytirishning ikkita usulini ko'rib chiqdik: qavs va guruhlash.
Ushbu qo'llanmada biz polinomni faktorizatsiya qilishning boshqa usulini ko'rib chiqamiz qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida.
Har bir formulani kamida 12 marta buyurishni tavsiya etamiz. Uchun yaxshiroq yodlash O'zingiz uchun barcha qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini kichik varaqqa yozing.
Keling, kublar farqining formulasi nimaga o'xshashligini eslaylik.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)Kublar orasidagi farqning formulasini eslab qolish juda oson emas, shuning uchun uni yodlashning maxsus usulidan foydalanishni tavsiya etamiz.
Qisqartirilgan ko'paytirishning har qanday formulasi ham ishlashini tushunish muhimdir teskari tomon.
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Kublar orasidagi farqni hisobga olish kerak.
E'tibor bering, "27a 3" - "(3a) 3", ya'ni kublar orasidagi farq formulasi uchun "a" o'rniga biz "3a" dan foydalanamiz.
Biz kublar orasidagi farq uchun formuladan foydalanamiz. "A 3" o'rnida bizda "27a 3" va "b 3" o'rnida, formulada bo'lgani kabi, "b 3" bor.
Kublarning farqini teskari yo'nalishda qo'llash
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, polinomlar mahsulotini kublar farqiga aylantirmoqchisiz.
E'tibor bering, "(x - 1) (x 2 + x + 1)" polinomlari mahsuloti "" kublar orasidagi farq formulasining o'ng tomoniga o'xshaydi, faqat "a" o'rniga "x" bo'ladi va "b" o'rniga "1" bor ...
Biz "(x - 1) (x 2 + x + 1)" uchun teskari yo'nalishdagi kublar farqining formulasidan foydalanamiz.
Keling, yanada murakkab misolni ko'rib chiqaylik. Polinomlarning hosilasini soddalashtirish talab qilinadi.
Agar "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" ni kublar farqi formulasining o'ng tomoni bilan solishtirsak
« a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)", Shunda siz tushunishingiz mumkinki, birinchi qavsdan" a "joyida" y 2, "b" joyida "1" bor.
Kvadratlarning farqi
$ A ^ 2-b ^ 2 $ kvadratlarining farqi uchun formulani olaylik.
Buning uchun quyidagi qoidani eslang:
Agar biz ifodaga har qanday monomialni qo'shsak va bir xil monomialni olib tashlasak, biz to'g'ri identifikatsiyani olamiz.
Keling, o'z ifodamizga qo'shamiz va undan monomial $ ab $ chiqaramiz:
Hammasi bo'lib, biz olamiz:
Ya'ni, ikkita monomialning kvadratlari orasidagi farq ularning yig'indisiga bo'lgan farqining hosilasiga tengdir.
Misol 1
$ (4x) ^ 2-y ^ 2 $ mahsuloti sifatida ko'rsatish
\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 = ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \]
\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 = \ chap (2x-y \ o'ng) (2x + y) \]
Kublar yig'indisi
$ A ^ 3 + b ^ 3 $ kublar yig'indisining formulasini olamiz.
Umumiy omillarni ajratib ko'rsatish:
Qavslar tashqarisida $ \ chap (a + b \ o'ng) $ ni chiqaramiz:
Hammasi bo'lib, biz olamiz:
Ya'ni, ikkita monomialning kublari yig'indisi ularning farqining to'liq bo'lmagan kvadratiga yig'indisiga ko'paytiriladi.
2 -misol
$ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $ mahsuloti sifatida ko'rsatish
Bu iborani quyidagicha qayta yozish mumkin:
\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 = ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \]
Kvadratlar farqining formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 = \ chap (2x + y \ o'ng) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \]
Kublarning farqi
$ A ^ 3-b ^ 3 $ kublar farqining formulasini olamiz.
Buning uchun biz yuqoridagi qoidadan foydalanamiz.
Bizning ifodamizga qo'shing va undan $ a ^ 2b \ va \ (ab) ^ 2 $ monomiallarini chiqarib oling:
Umumiy omillarni ajratib ko'rsatish:
Qavslar tashqarisida $ \ chap (a-b \ o'ng) $ ni chiqaramiz:
Hammasi bo'lib, biz olamiz:
Ya'ni, ikkita monomial kublar orasidagi farq ularning yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadrati o'rtasidagi farqning hosilasiga tengdir.
Misol 3
$ (8x) ^ 3-y ^ 3 $ mahsuloti sifatida ko'rsatish
Bu iborani quyidagicha qayta yozish mumkin:
\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 = ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \]
Kvadratlar farqining formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 = \ chap (2x-y \ o'ng) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \]
Kvadratlarning farqi va kublarning yig'indisi va farqining formulalarini ishlatishga misollar
Misol 4
Faktorizatsiya qilish.
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
Yechim:
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
\ [(((a + 5)) ^ 2-9 = (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \]
Kvadratlar farqining formulasini qo'llagan holda, biz quyidagilarni olamiz:
\ [((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 = \ chap (a + 5-3 \ o'ng) \ chap (a + 5 + 3 \ o'ng) = \ chap (a + 2 \ o'ng) (a +8) \]
Keling, ushbu ifodani quyidagi shaklda yozamiz:
Kuma kublarining formulasini qo'llaylik:
c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
Keling, ushbu ifodani quyidagi shaklda yozamiz:
\ [- x ^ 3 + \ frac (1) (27) = (\ chap (\ frac (1) (3) \ o'ng)) ^ 3-x ^ 3 \]
Kuma kublarining formulasini qo'llaylik:
\ [(\ chap (\ frac (1) (3) \ o'ng)) ^ 3 -x ^ 3 = \ chap (\ frac (1) (3) -x \ o'ng) \ chap (\ frac (1) ( 9) + \ frac (x) (3) + x ^ 2 \ o'ng) \]
