O'rtacha arifmetikani qanday hisoblash mumkin. O'rtacha miqdorni qanday hisoblash mumkin
Excelda o'rtacha raqamlarni qanday hisoblash mumkin
O'rtacha narsani toping arifmetik raqamlar Excel -da siz ushbu funktsiyadan foydalanishingiz mumkin.
SINTAKSI AVERAGE
= O'rtacha (raqam1, [son2], ...) - ruscha versiya
O'rtacha argumentlar
- raqam 1- o'rtacha arifmetik hisoblash uchun birinchi raqam yoki raqamlar diapazoni;
- raqam 2(Ixtiyoriy) - o'rtacha arifmetikani hisoblash uchun ikkinchi raqam yoki raqamlar diapazoni. Funktsiya argumentlarining maksimal soni - 255.
Hisoblash uchun quyidagi amallarni bajaring:
- Har qanday katakchani tanlang;
- Unga formulani yozing = O'rtacha (
- Hisoblashni xohlagan hujayralar oralig'ini tanlang;
- Klaviaturadagi "Enter" tugmachasini bosing
Funktsiya raqamlarni o'z ichiga olgan hujayralar orasidagi belgilangan oraliqdagi o'rtacha qiymatni hisoblab chiqadi.
O'rtacha matnni qanday topish mumkin
Agar ma'lumotlar oralig'ida bo'sh chiziqlar yoki matn bo'lsa, funktsiya ularni "nol" deb hisoblaydi. Agar ma'lumotlar orasida bo'lsa mantiqiy ifodalar FALSE yoki TRUE, keyin FALSE funktsiyasi "nol", "TRUE" esa "1" sifatida qabul qilinadi.
Shart bo'yicha o'rtacha arifmetikani qanday topish mumkin
Shart yoki mezon uchun o'rtacha ko'rsatkichni hisoblash uchun funksiya ishlatiladi. Masalan, bizda mahsulot sotish ma'lumotlari bor deylik:
Bizning vazifamiz - qalam sotishning o'rtacha qiymatini hisoblash. Buning uchun biz quyidagi amallarni bajaramiz:
- Hujayrada A13 mahsulot nomini "Qalamlar" deb yozing;
- Hujayrada B13 formulani kiritamiz:
= AVERAGEIF (A2: A10, A13, B2: B10)
Hujayra diapazoni " A2: A10"Qalam" so'zini qidiradigan mahsulotlar ro'yxatini ko'rsatadi. Dalil A13 bu biz mahsulotlarning butun ro'yxatidan qidiradigan matnli katakchaga havola. Hujayra diapazoni " B2: B10"Bu mahsulot sotish ma'lumotlariga ega bo'lgan qator, ular orasida" Qalamlar "topiladi va o'rtacha hisoblab chiqiladi.
Matematika va statistikada o'rtacha arifmetik (yoki oson o'rtacha) sonlar to'plamining bu to'plamdagi barcha sonlarning yig'indisi ularning soniga bo'linadi. O'rtacha arifmetik o'rtacha, ayniqsa, universal va eng keng tarqalgan ifodasidir.
Sizga kerak bo'ladi
- Matematikadan bilim.
Ko'rsatmalar
1. To'rtta raqamli to'plam berilsin. Kashf qilish kerak o'rtacha ma'no bu to'plam. Buning uchun birinchi navbatda biz bu raqamlarning yig'indisini topamiz. Bu raqamlar 1, 3, 8, 7. mumkin. Ularning yig'indisi S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. ga teng. Raqamlar to'plami bir xil belgining raqamlaridan iborat bo'lishi kerak, aks holda o'rtacha qiymatni hisoblash ma'nosi. yo'qoladi.
2. O'rtacha ma'no sonlar to'plami bu sonlar soniga bo'linadigan S sonlarining yig'indisiga teng. Ya'ni, shunday bo'ladi o'rtacha ma'no teng: 19/4 = 4.75.
3. To'plam uchun nafaqat aniqlashga ruxsat beriladi o'rtacha arifmetik, balki o'rtacha geometrik Bir nechta oddiy haqiqiy sonlarning geometrik o'rtacha qiymati, ularning sonini o'zgartirmaslik uchun bu raqamlarning istalganini almashtirishga ruxsat berilgan raqamdir. O'rtacha geometrik G formulada topiladi: sonlar to'plamining N-chi ildizi, bu erda N-to'plamdagi sonlar soni. Keling, bir xil raqamlar to'plamini ko'rib chiqaylik: 1, 3, 8, 7. Ularni toping o'rtacha geometrik Buning uchun mahsulotni sanaymiz: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Endi 168 raqamidan 4 -darajali ildizni ajratib olish kerak: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. Shunday qilib o'rtacha raqamlarning geometrik to'plami 3,61 ga teng.
O'rtacha geometrik ko'rsatkichlar o'rtacha arifmetikaga qaraganda kamroq qo'llaniladi, ammo vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan ko'rsatkichlarning o'rtacha qiymatini hisoblashda foydali bo'lishi mumkin (alohida xodimning ish haqi, ish ko'rsatkichlari dinamikasi va boshqalar).
Sizga kerak bo'ladi
- Muhandislik kalkulyatori
Ko'rsatmalar
1. Bir qator sonlarning geometrik o'rtacha qiymatini topish uchun avval bu sonlarni ko'paytirish kerak. Aytaylik, sizga beshta ko'rsatkichlar to'plami berilgan: 12, 3, 6, 9 va 4. Bu raqamlarning barchasini ko'paytiraylik: 12x3x6x9x4 = 7776.
2. Endi, olingan sondan, qator elementlarining soniga teng darajadagi ildizni ajratib olish kerak. Bizning holatda, 7776 raqamidan foydalanib, beshinchi ildizni ajratib olish kerak bo'ladi muhandislik kalkulyatori... Bu operatsiyadan keyin olingan raqam - bu holda 6 raqami - boshlang'ich sonlar guruhi uchun geometrik o'rtacha bo'ladi.
3. Agar sizda muhandislik kalkulyatori bo'lmasa, Excel -dagi SRGEOM funktsiyasi yordamida yoki geometrik o'rtacha qiymatlarni hisoblash uchun ataylab tayyorlangan onlayn kalkulyatorlardan foydalanib, bir qator sonlarning geometrik o'rtacha qiymatini hisoblash mumkin.
Eslatma!
Agar siz har birining geometrik o'rtacha qiymatini 2 ta raqam uchun topishingiz kerak bo'lsa, sizga muhandislik kalkulyatori kerak emas: 2 -darajali ildizni chiqarib oling ( Kvadrat ildiz) har qanday raqamdan eng oddiy kalkulyator yordamida ruxsat etiladi.
Foydali maslahat
O'rtacha arifmetikadan farqli o'laroq, geometrik o'rtacha ko'rsatkichlar o'rganilayotgan ko'rsatkichlar majmuasidagi individual qiymatlar orasidagi katta og'ishlar va tebranishlarga unchalik kuchli ta'sir ko'rsatmaydi.
O'rtacha ma'no - bu raqamlar to'plamining yig'ilishlaridan biri. Bu raqamlar majmuasidagi eng katta va eng kichik qiymatlar bilan belgilangan diapazondan tashqarida bo'lolmaydigan raqamni ifodalaydi. O'rtacha arifmetik ma'no - bu, ayniqsa, tez -tez ishlatiladigan o'rtacha o'rtacha.
Ko'rsatmalar
1. O'rtacha arifmetikani olish uchun to'plamdagi barcha raqamlarni qo'shing va ularni sonlar soniga bo'ling. Hisoblashning muayyan shartlariga qarab, har bir sonni to'plamdagi qiymatlar soniga bo'lish va jamini yig'ish ba'zan osonroq bo'ladi.
2. Aytaylik, Windows kalkulyatoridan foydalaning, agar sizning boshingizdagi o'rtacha arifmetikani hisoblash mumkin bo'lmasa. Uni dasturni ishga tushirish dialogi yordamida ochishga ruxsat beriladi. Buning uchun WIN + R "tezkor tugmachalarini" bosing yoki "Ishga tushirish" tugmasini bosing va asosiy menyuda "Ishga tushirish" buyrug'ini tanlang. Keyin kiritish maydoniga calc yozing va klaviaturada Enter ni bosing yoki "OK" tugmasini bosing. Bosh menyu orqali ham shunday qilish mumkin - uni oching, "Barcha dasturlar" bo'limiga va "Odatiy" segmentlarga o'ting va "Kalkulyator" qatorini tanlang.
3. To'plamdagi barcha raqamlarni klaviaturadagi "Plus" tugmachasidan keyinroq (oxirgi raqamdan tashqari) bosish yoki kalkulyator interfeysidagi tegishli tugmani bosish orqali bosqichma -bosqich kiriting. Raqamlarni kiritishga klaviaturadan ham, interfeysdagi tegishli tugmachalarni bosish orqali ham ruxsat beriladi.
4. To'plamning oxirgi qiymatini kiritgandan so'ng, oldinga siljish tugmachasini (chiziq) bosing yoki kalkulyator interfeysidagi ushbu belgini bosing va ketma -ketlikdagi sonlar sonini kiriting. Keyin teng belgini bosing va kalkulyator o'rtacha arifmetikani hisoblab chiqadi.
5. Xuddi shu maqsadda Microsoft Excel elektron jadval muharriridan foydalanishga ruxsat beriladi. Bunday holda, muharrirni ishga tushiring va qo'shni katakchalarga sonlar ketma -ketligining barcha qiymatlarini kiriting. Agar siz butun raqamni kiritganingizdan so'ng, Enter tugmachasini yoki pastga yoki o'ng o'q tugmachasini bosgan bo'lsangiz, muharrir kirish markazini qo'shni katakchaning o'ziga o'tkazadi.
6. Kiritilgan barcha qiymatlarni tanlang va muharrir oynasining pastki chap burchagida (holat satrida) tanlangan kataklarning o'rtacha arifmetik qiymatini ko'rasiz.
7. Agar siz o'rtacha arifmetikani ko'rishdan mamnun bo'lmasangiz, oxirgi kiritilgan raqam yonidagi katakchani bosing. Ochiladigan ro'yxatni "Asosiy" yorlig'idagi "Tahrirlash" buyruqlar guruhidagi yunoncha sigma (Σ) harfi bilan kengaytiring. Chiziqni tanlang " O'rtacha"Va muharrir o'rtacha hisoblash uchun kerakli formulani kiritadi arifmetik qiymat ajratilgan katakka. Enter tugmachasini bosing va qiymat hisoblab chiqiladi.
O'rtacha arifmetik - matematikada va statistik hisoblarda keng qo'llaniladigan markaziy moyillik o'lchovlaridan biri. Bir nechta qiymatlarning arifmetik o'rtacha qiymatini topish juda oson, lekin har bir vazifaning o'ziga xos nuanslari bor, ularni to'g'ri hisob -kitoblarni bajarish uchun bilish kerak.
O'rtacha arifmetik nima
Arifmetik o'rtacha har bir boshlang'ich sonlar qatorining o'rtacha qiymatini aniqlaydi. Boshqacha qilib aytganda, ma'lum bir raqamlar to'plamidan barcha elementlar uchun universal bo'lgan qiymat tanlanadi, uni matematik taqqoslash barcha elementlar bilan taxminan tengdir. O'rtacha arifmetikadan moliyaviy va statistik hisobotlarni tayyorlashda yoki shunga o'xshash ko'nikmalarning miqdoriy natijalarini hisoblashda foydalaniladi.
O'rtacha arifmetikani qanday topish mumkin
Raqamlar qatori uchun o'rtacha arifmetikani topish, bu qiymatlarning algebraik yig'indisini aniqlashdan boshlanishi kerak. Masalan, agar massivda 23, 43, 10, 74 va 34 raqamlari bo'lsa, ularning algebraik yig'indisi 184 bo'ladi. O'rtacha arifmetik harf yozilganda qanday belgilanadi? (mu) yoki x (x bar bilan). Bundan tashqari, algebraik summani massivdagi sonlar soniga bo'lish kerak. Bu misolda beshta raqam bor edi, shuning uchun arifmetik o'rtacha 184/5 bo'ladi va 36,8 bo'ladi.
Salbiy raqamlar bilan ishlash xususiyatlari
Agar massivda manfiy sonlar bo'lsa, shunga o'xshash algoritm yordamida arifmetik o'rtacha topiladi. Farq faqat dasturlash muhitida hisoblashda yoki vazifada qo'shimcha ma'lumotlar bo'lsa. Bunday holda, har xil belgilarga ega bo'lgan sonlarning arifmetik o'rtacha qiymatini topish uch bosqichga kamayadi: 1. Umumiy arifmetik o'rtacha qiymatni standart usulda topish; 2. Manfiy sonlarning o'rtacha arifmetikasini topish 3. Musbat sonlarning o'rtacha arifmetik hisobi. Har bir harakat natijasi vergul bilan ajratilgan holda yoziladi.
Tabiiy va kasrli kasrlar
Agar raqamlar qatori ifodalangan bo'lsa kasr kasrlari, yechim butun sonlarning arifmetik o'rtacha qiymatini hisoblash usuli bilan amalga oshiriladi, lekin natija aniqligi uchun masala talablariga muvofiq yig'indisi kamayadi.Tabiiy kasrlar bilan ishlashda ularni umumiy mohiyatgacha kamaytirish kerak. , massivdagi sonlar soniga ko'paytiriladigan. Natijaning hisoblagichi boshlang'ich kasrli elementlarning berilgan raqamlari yig'indisi bo'ladi.
Raqamlarning geometrik o'rtacha qiymati nafaqat sonlarning mutlaq qiymatiga, balki ularning soniga ham bog'liq. Geometrik o'rtacha va arifmetik o'rtacha raqamlarni chalkashtirib bo'lmaydi, chunki ular turli metodologiyalar bo'yicha topilgan. Bu holda, geometrik o'rtacha har doim arifmetik o'rtacha qiymatdan kam yoki unga teng bo'ladi.
Sizga kerak bo'ladi
- Muhandislik kalkulyatori.
Ko'rsatmalar
1. E'tibor bering, umumiy holatda, sonlarning geometrik o'rtacha qiymati bu sonlarni ko'paytirish va ulardan sonlar soniga mos keladigan kuchning ildizini chiqarish orqali topiladi. Masalan, agar beshta sonning geometrik o'rtacha qiymatini topish zarur bo'lsa, unda mahsulotdan beshinchi darajali ildizni ajratib olish kerak bo'ladi.
2. 2 ta raqamning geometrik o'rtacha qiymatini topish uchun asosiy qoidadan foydalaning. Ularning mahsulotini toping, so'ngra ildizning darajasiga mos keladigan ikkita raqamdan kvadrat ildizni chiqarib oling. Masalan, 16 va 4 sonlarning geometrik o'rtacha qiymatini topish uchun ularning 16 4 = 64 hosilasini toping. Olingan sondan kvadrat ildizni chiqaring? 64 = 8. Bu kerakli qiymat bo'ladi. E'tibor bering, bu 2 ta raqamning arifmetik o'rtacha qiymati kattaroq va 10 ga teng. Agar ildiz to'liq chiqarilmagan bo'lsa, jamini kerakli tartibda yaxlitlang.
3. 2 dan ortiq sonlarning geometrik o'rtacha qiymatini topish uchun asosiy qoidadan ham foydalaning. Buning uchun geometrik o’rtachani topish kerak bo’lgan barcha sonlarning hosilasini toping. Olingan mahsulotdan raqamlar soniga teng kuchning ildizini chiqarib oling. Masalan, 2, 4 va 64 sonlarning geometrik o'rtacha qiymatini topish uchun ularning hosilasini toping. 2 4 64 = 512. 3 sonli geometrik o'rtacha yig'indisini topish zarurligidan, mahsulotdan uchinchi darajali ildizni ajratib oling. Buni og'zaki qilish qiyin, shuning uchun muhandislik kalkulyatoridan foydalaning. Buning uchun "x ^ y" tugmasi mavjud. 512 raqamini tering, "x ^ y" tugmasini bosing, keyin 3 raqamini tering va "1 / x" tugmasini bosing, 1/3 qiymatini topish uchun "=" tugmasini bosing. Biz 512 ni 1/3 kuchga ko'tarish natijasini olamiz, bu uchinchi kuchning ildiziga to'g'ri keladi. 512 ^ 1/3 = 8 ni oling. Bu 2.4 va 64 raqamlarining geometrik o'rtacha qiymati.
4. Muhandislik kalkulyatori yordamida geometrik o'rtacha qiymatni boshqa usul bilan topish mumkin. Klaviaturadagi jurnal tugmachasini toping. Keyinchalik, barcha raqamlarning logarifmini oling, ularning yig'indisini toping va uni sonlar soniga bo'ling. Olingan sondan antilogarifmni oling. Bu raqamlarning o'rtacha geometrik qiymati bo'ladi. Masalan, 2, 4 va 64 bir xil sonlarning geometrik o'rtacha qiymatini topish uchun kalkulyatorda amallar majmuini tuzing. 2 raqamini tering, keyin jurnal tugmachasini bosing, "+" tugmasini bosing, 4 raqamini tering va jurnalni va "+" ni yana bosing, 64 ni tering, jurnalni va "=" ni bosing. Natijada yig'indiga teng son bo'ladi o'nlik logarifmalar raqamlar 2, 4 va 64. Olingan sonni 3 ga bo'ling, chunki bu geometrik o'rtacha izlanadigan sonlar soni. Umuman olganda, korpus tugmachasini almashtirish orqali antilogarifmni oling va xuddi shu jurnal tugmachasidan foydalaning. Yakuniy natija - bu kerakli geometrik o'rtacha bo'lgan 8 raqami.
Eslatma!
O'rtacha qiymat to'plamdagi eng katta raqamdan kattaroq va eng kichikidan kichik bo'lishi mumkin emas.
Foydali maslahat
Matematik statistikada o'rtacha qiymat matematik kutish deb ataladi.
O'rtacha arifmetik ma'lumotlar - bu berilganlar massivining o'rtacha qiymatini ko'rsatuvchi statistik ko'rsatkich. Bunday ko'rsatkich kasr sifatida hisoblanadi, uning hisoblagichida massivning barcha qiymatlari yig'indisi, va maxrajda - ularning soni. Arifmetik o'rtacha - bu uy xo'jaliklarini hisoblashda ishlatiladigan muhim koeffitsient.
Koeffitsientning ma'nosi
O'rtacha arifmetik ma'lumotni solishtirish va maqbul qiymatni hisoblash uchun asosiy ko'rsatkichdir. Misol uchun, turli do'konlarda ma'lum bir ishlab chiqaruvchidan bir quti pivo sotiladi. Ammo bitta do'konda u 67 rubl, ikkinchisida - 70 rubl, uchinchisida - 65 rubl, oxirgisida - 62 rubl. Narxlar juda katta, shuning uchun xaridor mahsulotni sotib olayotganda o'z xarajatlarini solishtirish uchun bankaning o'rtacha narxiga qiziqadi. O'rtacha shaharda bir quti pivoning narxi bor:
O'rtacha narx = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubl.
O'rtacha narxni bilib, mahsulotni qaerdan sotib olish foydali ekanligini va qaerga ortiqcha to'lash kerakligini aniqlash oson.
Arifmetik o'rtacha har doim bir xil ma'lumotlar to'plami tahlil qilingan hollarda statistik hisob -kitoblarda qo'llaniladi. Yuqoridagi misolda, bu bitta markali pivo qutisining narxi. Biroq, biz turli ishlab chiqaruvchilarning pivo narxini yoki pivo va limonad narxlarini solishtira olmaymiz, chunki bu holda qiymatlar diapazoni katta bo'ladi, o'rtacha narx loyqa va ishonchsiz bo'ladi va hisob -kitoblarning ma'nosi karikaturadagi "kasalxonadagi o'rtacha harorat" ga buziladi. Har xil ma'lumotlar to'plamini hisoblash uchun, har bir qiymat o'ziga xos og'irlik faktorini olganda, arifmetik o'rtacha og'irlikdan foydalaniladi.
O'rtacha arifmetikani hisoblash
Hisoblash formulasi juda oddiy:
P = (a1 + a2 + ... an) / n,
bu erda an - miqdorning qiymati, n - qiymatlarning umumiy soni.
Bu indikator nima uchun ishlatilishi mumkin? Birinchi va eng aniq dastur - bu statistika. Deyarli har bir statistik tadqiqot o'rtacha arifmetikadan foydalanadi. Bu Rossiyadagi nikoh yoshining o'rtacha yoshi, bir fan bo'yicha talabaning o'rtacha bahosi yoki bir kunlik ovqat uchun o'rtacha xarajat bo'lishi mumkin. Yuqorida aytib o'tilganidek, og'irliklarsiz o'rtacha hisoblar g'alati yoki bema'ni qiymatlarni keltirib chiqarishi mumkin.
Masalan, prezident Rossiya Federatsiyasi statistik ma'lumotlarga ko'ra, rossiyalikning o'rtacha ish haqi 27000 rublni tashkil qiladi. Rossiyaning aksariyat aholisi uchun bu maoshning miqdori bema'ni bo'lib tuyuldi. Hisoblashda bir tomondan oligarxlar, sanoat korxonalari rahbarlari, yirik bankirlarning daromadlari, ikkinchi tomondan o'qituvchilar, tozalovchi va sotuvchilarning maoshlarini hisobga olsak ajab emas. Hatto bitta mutaxassislik bo'yicha o'rtacha ish haqi, masalan, buxgalter, Moskva, Kostroma va Yekaterinburgda jiddiy farqlarga ega bo'ladi.
O'xshash bo'lmagan ma'lumotlar uchun o'rtacha ko'rsatkichlarni qanday hisoblash mumkin
Ish haqi to'lash holatlarida har bir qiymatning og'irligini hisobga olish muhimdir. Bu shuni anglatadiki, oligarxlar va bankirlarning ish haqi, masalan, 0,00001, sotuvchilarning maoshi - 0,12. Bu shiftdagi raqamlar, lekin ular taxminan rus jamiyatida oligarxlar va sotuvchilarning tarqalishini ko'rsatadi.
Shunday qilib, heterojen ma'lumotlar to'plamidagi o'rtacha yoki o'rtacha qiymatni hisoblash uchun o'rtacha arifmetik og'irlikdan foydalanish kerak. Aks holda, siz Rossiyada o'rtacha ish haqini 27000 rubl darajasida olasiz. Agar siz matematikadan o'rtacha ballingizni yoki tanlangan xokkeychi tomonidan urilgan o'rtacha gollar sonini bilmoqchi bo'lsangiz, o'rtacha arifmetik kalkulyator sizga mos keladi.
Bizning dastur arifmetik o'rtacha hisoblash uchun oddiy va qulay kalkulyator. Hisob -kitoblarni amalga oshirish uchun siz faqat parametr qiymatlarini kiritishingiz kerak.
Keling, bir nechta misolni ko'rib chiqaylik
O'rtacha ballarni hisoblash
Ko'p o'qituvchilar har bir fan uchun yillik bahoni aniqlash uchun o'rtacha arifmetik usuldan foydalanadilar. Faraz qilaylik, bola matematikadan quyidagi chorak ball oladi: 3, 3, 5, 4. O'qituvchining yillik bahosi qancha? Keling, kalkulyatordan foydalanib, o'rtacha arifmetikani hisoblaylik. Birinchidan, kerakli miqdordagi maydonlarni tanlang va paydo bo'lgan katakchalarga ball qiymatlarini kiriting:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
O'qituvchi talabaning foydasini baholaydi va talaba yiliga to'rttasini oladi.
Ovqatlangan konfetlarni hisoblash
O'rtacha arifmetikaning ba'zi bema'niligini tasvirlaylik. Tasavvur qilaylik, Masha va Vovada 10 ta shirinlik bor edi. Masha 8 ta konfet, Vova esa atigi 2. Har bir bola o'rtacha qancha konfet yedi? Kalkulyatordan foydalanib, bolalar o'rtacha 5 dona konfet yeyishganini hisoblash oson, bu mutlaqo noto'g'ri va umumiy ma'noda... Bu misol shuni ko'rsatadiki, mazmunli ma'lumotlar to'plamini hisoblash uchun o'rtacha arifmetik o'rtacha muhim ahamiyatga ega.
Xulosa
O'rtacha arifmetikani hisoblash ko'plab ilmiy sohalarda keng qo'llaniladi. Bu ko'rsatkich nafaqat statistik hisob -kitoblarda, balki fizika, mexanika, iqtisod, tibbiyot yoki moliya sohalarida ham mashhur. O'rtacha arifmetik muammolarni echishda yordamchi sifatida bizning kalkulyatorlarimizdan foydalaning.
O'rtacha arifmetik va geometrik o'rtacha mavzusi 6-7-sinflar uchun matematika dasturiga kiritilgan. Paragrafni tushunish juda oddiy bo'lgani uchun, u tez o'tib ketadi va tugatiladi o'quv yili maktab o'quvchilari uni unutishadi. Lekin buning uchun asosiy statistikani bilish kerak imtihon topshirish shuningdek, xalqaro SAT imtihonlari uchun. Va uchun Kundalik hayot rivojlangan analitik fikrlash hech qachon zarar qilmaydi.
O'rtacha arifmetik va geometrik o'rtacha sonlarni qanday hisoblash mumkin
Aytaylik, qatorlar bor: 11, 4 va 3. Arifmetik o'rtacha - bu berilgan sonlar soniga bo'linadigan barcha sonlarning yig'indisi. Ya'ni, 11, 4, 3 raqamlari bo'lsa, javob 6 bo'ladi. 6 qanday olinadi?
Yechish: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Maqsadda sonlar soniga teng bo'lgan son bo'lishi kerak, ularning o'rtachasini topish kerak. Yig'ma 3 ga bo'linadi, chunki uchta atama mavjud.
Endi biz geometrik o'rtacha bilan shug'ullanishimiz kerak. Aytaylik, qatorlar soni bor: 4, 2 va 8.
Raqamlarning geometrik o'rtacha qiymati, bu sonlar soniga teng kuchga ega bo'lgan ildiz ostida berilgan barcha sonlarning hosilasidir.
Yechish: ∛ (4 × 2 × 8) = 4
Ikkala holatda ham to'liq javoblar olingan, chunki misol uchun maxsus raqamlar olingan. Bu har doim ham shunday emas. Ko'pgina hollarda, javob yumaloq yoki ildiz ostida qoldirilishi kerak. Masalan, 11, 7 va 20 sonlar uchun arifmetik o'rtacha ≈ 12.67, geometrik o'rtacha ∛1540. Va 6 va 5 -raqamlar uchun javoblar mos ravishda 5,5 va √30 bo'ladi.
O'rtacha arifmetik geometrik o'rtacha bilan tenglashishi mumkinmi?
Albatta mumkin. Ammo faqat ikkita holatda. Agar raqamlar turkumi bo'lsa, faqat bitta yoki noldan iborat. Shunisi e'tiborga loyiqki, javob ularning soniga bog'liq emas.
Biri bilan isbot: (1 + 1 + 1) / 3 = 3/3 = 1 (o'rtacha arifmetik).
∛ (1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrik o'rtacha).
Nol bilan isbot: (0 + 0) / 2 = 0 (o'rtacha arifmetik).
√ (0 × 0) = 0 (geometrik o'rtacha).
Boshqa variant yo'q va bo'lishi ham mumkin emas.
Mavzu 5. O'rtacha statistik ko'rsatkichlar sifatida
O'rtacha tushuncha. Statistik tadqiqotlarda o'rtacha ko'rsatkichlar doirasi
O'rtacha qiymatlar olingan dastlabki statistik ma'lumotlarni qayta ishlash va umumlashtirish bosqichida ishlatiladi. O'rtacha qiymatlarni aniqlash zarurati, o'rganilayotgan populyatsiyalarning turli birliklari uchun, bir belgining individual qiymatlari, qoida tariqasida, bir xil bo'lmasligi bilan bog'liq.
O'rtacha o'rganilayotgan populyatsiyada xususiyat yoki xususiyatlar guruhining umumlashtirilgan qiymatini tavsiflovchi ko'rsatkich deb ataladi.
Agar sifat jihatidan bir xil xususiyatlarga ega agregat o'rganilsa, o'rtacha qiymat bu erda ko'rinadi odatiy o'rtacha... Masalan, ma'lum bir soha ishchilarining daromadlari barqaror bo'lgan guruhlari uchun asosiy ehtiyojlar uchun odatiy o'rtacha xarajatlar belgilanadi, ya'ni. Oddiy o'rtacha, ma'lum bir populyatsiyada atributning sifat jihatidan bir xil bo'lgan qiymatlarini umumlashtiradi, bu guruh ishchilarining asosiy tovarlarga bo'lgan xarajatlari ulushidir.
Sifatli heterojen xususiyatlarga ega bo'lgan populyatsiyani o'rganayotganda, o'rtacha ko'rsatkichlarning atipikligi birinchi o'ringa chiqishi mumkin. Bu, masalan, aholi jon boshiga ishlab chiqarilgan milliy daromadning o'rtacha ko'rsatkichlari (har xil yosh guruhlari), butun Rossiya bo'ylab don ekinlari hosildorligining o'rtacha ko'rsatkichlari (har xil iqlim zonalari va har xil donli ekinlar), tug'ilishning o'rtacha darajasi mamlakatning barcha hududlarida aholi, uchun o'rtacha harorat ma'lum bir davr va hokazo. Bu erda o'rtacha ko'rsatkichlar yoki tizimli fazoviy agregatlarning (xalqaro hamjamiyat, qit'a, shtat, mintaqa, mintaqa va boshqalar) yoki vaqt bo'yicha (asr, o'n yil, yil, mavsum va boshqalar) kengaytirilgan sifat agregatlarining sifat jihatidan heterojen qiymatlarini umumlashtiradi. ... Bunday o'rtacha ko'rsatkichlar deyiladi tizimning o'rtacha ko'rsatkichlari.
Shunday qilib, o'rtacha qiymatlarning ma'nosi ularning umumlashtiruvchi funktsiyasidan iborat. O'rtacha qiymat ko'p sonli individual qadriyatlarning o'rnini bosadi, bu populyatsiyaning barcha birliklariga xos bo'lgan umumiy xususiyatlarni ochib beradi. Bu, o'z navbatida, tasodifiy sabablardan qochish va umumiy sabablarga ko'ra umumiy naqshlarni aniqlash imkonini beradi.
O'rtacha turlar va ularni hisoblash usullari
Statistik ishlov berish bosqichida turli xil tadqiqot vazifalari qo'yilishi mumkin, ularni hal qilish uchun tegishli o'rtacha tanlash kerak. Bunday holda, quyidagi qoidaga amal qilish zarur: o'rtacha va maxrajni ifodalovchi qiymatlar mantiqiy bog'liq bo'lishi kerak.
o'rtacha quvvat;
tizimli o'rtacha ko'rsatkichlar.
Keling, quyidagi konventsiyalarni joriy qilaylik:
O'rtacha hisoblangan qiymatlar;
O'rtacha, bu erda yuqoridagi satr individual qiymatlarning o'rtacha ko'rsatkichi borligini ko'rsatadi;
Chastotalik (xususiyatning individual qiymatlarining takrorlanishi).
Umumiy quvvat o'rtacha formulasidan turli o'rtacha ko'rsatkichlar olinadi:
(5.1)
k = 1 uchun - o'rtacha arifmetik; k = -1 - o'rtacha harmonik; k = 0 - o'rtacha geometrik; k = -2 -ildiz -o'rtacha kvadrat.
O'rtacha qiymatlar oddiy va vaznli. O'rtacha og'irliklar ular qiymatning ba'zi parametrlari har xil raqamlarga ega bo'lishi mumkinligini hisobga oladigan qiymatlarni chaqirishadi va shuning uchun har bir variantni shu raqamga ko'paytirish kerak. Boshqacha qilib aytganda, "og'irliklar" - bu turli guruhlardagi aholi birliklarining soni, ya'ni. har bir variant uning chastotasi bo'yicha "tortilgan". F chastotasi deyiladi statistik vazn yoki o'rtacha og'irlik.
O'rtacha arifmetik- eng keng tarqalgan vosita turi. Hisoblash o'rtacha muddatni olishni istagan guruhlanmagan statistik ma'lumotlarga o'tkazilganda qo'llaniladi. O'rtacha arifmetik qiymat - bu xususiyatning o'rtacha qiymati, uni qabul qilgandan so'ng uning umumiy hajmining umumiy hajmi o'zgarishsiz qoladi.
O'rtacha arifmetik (oddiy) formulasi shaklga ega
bu erda n - aholi soni.
Masalan, korxona xodimlarining o'rtacha ish haqi arifmetik o'rtacha sifatida hisoblanadi:
Bu erda aniqlovchi ko'rsatkichlar har bir xodimning ish haqi va korxona ishchilarining soni hisoblanadi. O'rtacha miqdorni hisoblashda ish haqining umumiy miqdori bir xil bo'lib qoldi, lekin xuddi hamma ishchilar o'rtasida teng taqsimlandi. Masalan, 8 kishi ishlaydigan kichik kompaniya xodimlarining o'rtacha ish haqini hisoblashingiz kerak:
O'rtacha qiymatlarni hisoblashda atributning o'rtacha qiymatlari individual qiymatlari takrorlanishi mumkin, shuning uchun o'rtacha qiymat guruhlangan ma'lumotlarga muvofiq hisoblanadi. Ushbu holatda keladi foydalanish haqida o'rtacha og'irlikdagi arifmetik qaysi shaklga ega
(5.3)
Shunday qilib, biz birjadagi aktsiyadorlik jamiyatining o'rtacha aktsiya narxini hisoblashimiz kerak. Ma'lumki, bitimlar 5 kun ichida amalga oshirilgan (5 ta bitim), sotish kursi bo'yicha sotilgan aktsiyalar soni quyidagicha taqsimlangan:
1 - 800 yil. - 1010 rubl.
2 - 650 yil. - 990 rubl.
3 - 700 mil. - 1015 rubl.
4 - 550 mil. - 900 rubl.
5-850 yillar. - 1150 rubl.
O'rtacha aktsiya bahosini aniqlashning boshlang'ich koeffitsienti - bu bitimlarning umumiy miqdorining sotilgan aktsiyalar soniga (KPA) nisbati:
OSS = 1010 · 800 + 990 · 650 + 1015 · 700 + 900 · 550 + 1150 · 850 = 3 634 500;
KPA = 800 + 650 + 700 + 550 + 850 = 3550.
Bu holda, aktsiyalarning o'rtacha narxi teng edi
O'rtacha arifmetik xususiyatlarni bilish zarur, bu uni ishlatish uchun ham, hisoblash uchun ham juda muhimdir. Statistik va iqtisodiy hisob -kitoblarda o'rtacha arifmetikaning keng qo'llanilishini aniqlagan uchta asosiy xususiyat mavjud.
Birinchi xususiyat (nol): xususiyatning individual qiymatlarining o'rtacha qiymatidan ijobiy og'ishlarining yig'indisi manfiy og'ishlar yig'indisiga teng. Bu juda muhim xususiyat, chunki u tasodifiy sabablar tufayli yuzaga keladigan har qanday og'ishlar (c + va c -) o'zaro bekor qilinishini ko'rsatadi.
Isbot:
Ikkinchi xususiyat (minimal): atributning individual qiymatlarining o'rtacha arifmetik og'ishlarining kvadratchalari yig'indisi (a) boshqa sonlardan kam, ya'ni. minimal soni bor.
Dalil.
Keling, a o'zgaruvchidan og'ish kvadratlarining yig'indisini tuzaylik:
(5.4)
Bu funksiyaning ekstremumini topish uchun uning hosilasini a ga nolga tenglashtirish kerak:
Bu erdan biz:
(5.5)
Shunday qilib, kvadrat og'ishlar yig'indisining ekstremumiga erishiladi. Bu ekstremum minimal, chunki funktsiya maksimal bo'lishi mumkin emas.
Uchinchi xususiyat: doimiy qiymatning arifmetik o'rtacha qiymati bu doimiyga teng: a = const.
O'rtacha arifmetikaning eng muhim uchta xususiyatidan tashqari, shunday deyiladi dizayn xususiyatlari elektron hisoblash texnologiyasidan foydalangan holda asta -sekin o'z ahamiyatini yo'qotmoqda.
agar har bir birlik atributining individual qiymati doimiy songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, unda o'rtacha arifmetik o'sha miqdorga ko'payadi yoki kamayadi;
har bir atribut qiymatining og'irligi (chastotasi) doimiy songa bo'linsa, o'rtacha arifmetik o'zgarmaydi;
agar har bir birlik atributining individual qiymatlari bir xil miqdorda kamaytirilsa yoki ko'paytirilsa, o'rtacha arifmetik o'sha miqdorga kamayadi yoki ortadi.
O'rtacha harmonik... Bu o'rtacha teskari arifmetik o'rtacha deb ataladi, chunki bu qiymat k = -1 bo'lganda ishlatiladi.
Oddiy o'rtacha harmonik xarakterli qiymatlarning og'irligi bir xil bo'lganda ishlatiladi. Uning formulasidan kelib chiqishi mumkin asosiy formula k = -1 o'rniga:
Masalan, biz hisoblashimiz kerak o'rtacha tezlik bir xil yo'lda, lekin har xil tezlikda yurgan ikkita mashina: birinchisi - 100 km / soat tezlikda, ikkinchisi - 90 km / soat. O'rtacha harmonik usul yordamida biz o'rtacha tezlikni hisoblaymiz:
Statistik amaliyotda formulasi shaklga ega bo'lgan harmonik vazn o'lchovi ko'proq ishlatiladi
Bu formula har bir atribut uchun og'irliklar (yoki hodisalar hajmi) teng bo'lmagan hollarda qo'llaniladi. O'rtacha hisoblash uchun asl nisbatda hisoblagich ma'lum, lekin maxraj noma'lum.
