Kirish va chiqish ketma-ketliklari doimiy koeffitsientli chiziqli farq tenglamasi bilan bog'langan tizimlar doimiy parametrlarga ega chiziqli tizimlar sinfining kichik to'plamini tashkil qiladi. LPP tizimlarini farq tenglamalari bilan tavsiflash juda muhim, chunki u ko'pincha bunday tizimlarni qurishning samarali usullarini topishga imkon beradi. Bundan tashqari, ko'rib chiqilayotgan tizimning ko'pgina xususiyatlarini farq tenglamasidan aniqlash mumkin, jumladan, tabiiy chastotalar va ularning ko'pligi, tizim tartibi, nol daromadga mos keladigan chastotalar va boshqalar.

Eng umumiy holatda, jismoniy amalga oshiriladigan tizim bilan bog'liq doimiy koeffitsientlarga ega bo'lgan th tartibli chiziqli farq tenglamasi shaklga ega.

(2.18)

bu erda koeffitsientlar va ma'lum bir tizimni tavsiflaydi, va. Ayrim tenglamaning matematik xususiyatlarini tizimning tartibi qanday aniq tavsiflashi quyida ko'rsatiladi. (2.18) tenglama to'g'ridan-to'g'ri almashtirish usuli bilan echish uchun qulay shaklda yoziladi. Dastlabki shartlar to'plamiga ega bo'lish [masalan, , uchun ] va kirish ketma-ketligi, (2.18) formula bo'yicha to'g'ridan-to'g'ri chiqish ketma-ketligini hisoblash mumkin. Masalan, farq tenglamasi

(2.19)

boshlang'ich sharti bilan va almashtirish yo'li bilan hal qilinishi mumkin, bu beradi

Ayrim tenglamalarni to'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali hal qilish ba'zi hollarda foydali bo'lsa-da, tenglamaning yechimini aniq shaklda olish ancha foydalidir. Bunday yechimlarni topish usullari farqli tenglamalarga oid adabiyotlarda batafsil yoritilgan va bu yerda faqat qisqacha ma’lumot beriladi. Asosiy g'oya - farq tenglamasining ikkita echimini olish: bir hil va qisman. Kirish ketma-ketligining elementlarini o'z ichiga olgan barcha atamalar uchun nollarni almashtirish va kirish ketma-ketligi nolga teng bo'lganda javobni aniqlash orqali bir hil yechim olinadi. Berilgan tizimning asosiy xossalarini tavsiflovchi bu yechimlar sinfidir. Muayyan yechim, ma'lum bir kirish ketma-ketligi uchun chiqish ketma-ketligi turini tanlash orqali olinadi. Bir hil eritmaning ixtiyoriy konstantalarini aniqlash uchun dastlabki shartlardan foydalaniladi. Misol tariqasida (2.19) tenglamani shu usul bilan yechamiz. Bir hil tenglama shaklga ega

(2.20)

Ma'lumki, o'zgarmas koeffitsientli chiziqli ayirma tenglamalariga mos keladigan bir jinsli tenglamalarning xarakteristik yechimlari , ko'rinishdagi yechimlardir.Shuning uchun tenglamani (2.20) o'rniga qo'yib, hosil bo'ladi.

(2.21)

Shakldagi kirish ketma-ketligiga mos keladigan ma'lum bir yechim topishga harakat qilamiz

(2.22)

(2.19) tenglamadan olamiz

Teng kuchlardagi koeffitsientlar mos kelishi kerakligi sababli, B, C va D teng bo'lishi kerak

(2.24)

Shunday qilib, umumiy qaror shaklga ega

(2.25)

dan koeffitsient aniqlanadi boshlang'ich holati, qayerdan va

(2.26)

(2.26) uchun eritmani tanlab tekshirish uning yuqoridagi to'g'ridan-to'g'ri eritma bilan to'liq mos kelishini ko'rsatadi. Yechimning (2.26) aniq afzalligi shundaki, u har qanday aniqlikni aniqlashni juda oson qiladi.

Anjir. 2.7. Birinchi tartibli oddiy ayirma tenglamasini amalga oshirish sxemasi.

Farq tenglamalarining ahamiyati shundaki, ular bevosita qurish usulini aniqlaydi raqamli tizim. Shunday qilib, eng umumiy shakldagi birinchi tartibli farq tenglamasi

rasmda ko'rsatilgan sxema yordamida amalga oshirilishi mumkin. 2.7. "Kechikish" bloki bir namunaga kechiktiradi. Kirish va chiqish ketma-ketligi uchun alohida kechikish elementlari qo'llaniladigan tizim qurilishining ko'rib chiqilayotgan shakli 1-to'g'ridan-to'g'ri shakl deb ataladi. Quyida biz ushbu va boshqa raqamli tizimlarni qurishning turli usullarini ko'rib chiqamiz.

Eng umumiy shakldagi ikkinchi tartibli farq tenglamasi

Anjir. 2.8. Ikkinchi tartibli ayirma tenglamasini amalga oshirish sxemasi.

rasmda ko'rsatilgan sxema yordamida amalga oshirilishi mumkin. 2.8. Ushbu sxema, shuningdek, kirish va chiqish ketma-ketligi uchun alohida kechikish elementlaridan foydalanadi.

Ushbu bobdagi materialning keyingi taqdimotidan ma'lum bo'ladiki, birinchi va ikkinchi tartibli tizimlar yuqori tartibli tizimlarni amalga oshirishda qo'llanilishi mumkin, chunki ikkinchisi ketma-ket yoki parallel ravishda ulangan birinchi va ikkinchi tartibli tizimlar sifatida ifodalanishi mumkin.

Oddiy chiziqli ayirma tenglamalarini yechish

doimiy koeffitsientlar bilan

Chiziqli diskret tizimning chiqishi va kirishi o'rtasidagi bog'liqlik doimiy koeffitsientli oddiy chiziqli farq tenglamasi bilan tavsiflanishi mumkin.

,

Qayerda y[n]- hozirgi vaqtda chiqish signali n,

x[n]- hozirgi vaqtda kirish signali n,

a men,b k doimiy koeffitsientlardir.

Bunday tenglamalarni yechish uchun ikkita usuldan foydalanish mumkin.

• to'g'ridan-to'g'ri usul,
• Z usuli - transformatsiyalar.

Avval chiziqli ayirma tenglamasini to'g'ridan-to'g'ri usul yordamida hal qilishni ko'rib chiqaylik.

Bir jinsli boʻlmagan (oʻng tomoni nolga teng boʻlmagan) chiziqli ayirma tenglamasining umumiy yechimi o yigʻindisiga teng. umumiy yechim chiziqli bir jinsli farq tenglamasi va shaxsiy qaror bir jinsli bo'lmagan tenglama

Bir jinsli ayirma tenglamasining umumiy yechimi ( nol -kiritishjavob) y h [n]

sifatida belgilangan

.

Ushbu yechimni bir hil tenglamaga almashtirib, biz hosil bo'lamiz

Bunday polinom deyiladi xarakterli polinom tizimlari. Unda bor N ildizlar . Ildizlar haqiqiy yoki murakkab bo'lishi mumkin va ba'zi ildizlar bir-biriga mos kelishi mumkin (bir nechta).

Agar ildizlar bo'lsa Haqiqiy va har xil bo'lsa, bir jinsli tenglamaning yechimi ko'rinishga ega bo'ladi

bu erda koeffitsientlar

Agar biron bir ildiz, masalan, l1 ko‘plikka ega m, keyin yechimning mos keladigan hadi shaklni oladi

Agar bir jinsli tenglamaning va mos ravishda xarakterli polinomning barcha koeffitsientlari haqiqiy bo'lsa, u holda oddiy kompleks konjugat ildizlarga mos keladigan yechimning ikkita hadi. shaklida ifodalanishi (yozilishi) mumkin , koeffitsientlar esa A,B dastlabki shartlar bilan belgilanadi.

Shaxsiy qaror turi y p [n] tenglama o'ng tomonga (kirish signali) bog'liq va quyidagi jadvalga muvofiq aniqlanadi

Jadval 1. O'ng tomonning har xil xarakteri uchun maxsus yechim turi

Kirish signalix[n]	Shaxsiy qaroryp[n]
A(doimiy)

Chiziqli ayirma tenglamasini Z-transformatsiya usuli bilan yechish qo'llashdan iborat Z– chiziqlilik va vaqtning siljishi xossalaridan foydalangan holda tenglamaga o'zgartirishlar. Natijada ga nisbatan chiziqli algebraik tenglama olinadi Z- kerakli funksiyaning tasvirlari. Teskari Z- transformatsiya vaqt sohasida kerakli yechimni beradi. Teskari Z-transformatsiyasini olish uchun ratsional ifodani oddiy (elementar) kasrlarga ajratish ko'pincha qo'llaniladi, chunki alohida elementar kasrdan teskari o'zgartirish oddiy shaklga ega.

E'tibor bering, teskari Z-transformatsiyasini hisoblashning boshqa usullari ham vaqt domeniga o'tish uchun ishlatilishi mumkin.

Misol. Chiziqli farq tenglamasi bilan tavsiflangan tizimning kirish signaliga javobini (chiqish signalini) aniqlaylik.

Yechim.

1. Tenglamani yechishning bevosita usuli.

Bir jinsli tenglama. Uning xarakterli polinomi.

Polinomli ildizlar .

Bir jinsli tenglamani yechish.

O'shandan beri biz shaklda ma'lum bir yechimni aniqlaymiz .

Uni tenglamaga almashtiring

Doimiyni topish uchun TO qabul qilish n=2. Keyin

Yoki K=2,33

Shuning uchun maxsus yechim va ayirma tenglamasining umumiy yechimi (1)

Keling, doimiylarni topamiz 1 dan Va 2 dan. Buning uchun biz o'rnatdik n=0, keyin asl farq tenglamasidan olamiz. Ushbu tenglama uchun

Shunung uchun . Ifodasidan (1)

Demak,

.

(1) uchun ifodadan n=1 bizda ... bor .
C 1 va C 2 uchun quyidagi ikkita tenglamani olamiz

.

Bu sistemaning yechimi quyidagi qiymatlarni beradi: C 1 =0,486 va C 2 = -0,816.

Shuning uchun bu tenglamaning umumiy yechimi

2. Z-transformatsiya usuli bilan yechish.

Vaqt siljishining xususiyatini (teoremasini) hisobga olgan holda, dastlabki farq tenglamasidan Z - transformatsiyani oling. . olamiz

Nazorat savollari:

1. To‘r funksiyasi nima?

2. Qanday tenglamaga ayirma tenglama deyiladi?

3. Qanday tenglamalarga 1-tartibli ayirma tenglamalar deyiladi?

4. 1-tartibli bir jinsli ayirma tenglamasining umumiy yechimi qanday topiladi?

5. Ayrim tenglamaning qanday yechimi fundamental deyiladi?

6. Nima uchun koeffitsientlari doimiy bo'lgan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi geometrik progressiyaga o'xshaydi?

Vazifalar.

1. Dastlabki shartli birinchi tartibli ayirma tenglamani yechish tartibini yozing.

2. Berilgan tenglama uchun umumiy va xususiy yechimlarni analitik tarzda toping.

3. Rekursiv formula bo‘yicha hisob-kitoblar natijalarini analitik yechim bilan solishtiring.

4. Dastlabki holatning buzilishi, tenglamaning koeffitsientlari, o'ng tomoni natijaga qanday ta'sir qilishini aniqlang.

				Yo'nalishlar

1-tartibli ayirma tenglamasining umumiy yechimini topamiz

. (1)

Rekursiv formuladan foydalanish uchun bir hil tenglamaning ma'lum bir yechimini olamiz: . To'rning har bir keyingi tugunidagi Y qiymati ikki baravar ko'payganligi sababli, bu chiqadi geometrik progressiya maxraj q=2 bilan:

Bir hil bo'lmagan tenglamaning ma'lum bir yechimini quyidagi shaklda topamiz: , bu erda A noaniq koeffitsientdir. Keyin , , va olingan qiymatni berilgan o'ng tomonga tenglashtirib, A= noaniq koeffitsientini topamiz. Nihoyat, umumiy yechim: .

Dastlabki shartdan foydalanib, doimiyni topamiz: . Va nihoyat, ma'lum bir boshlang'ich shart uchun maxsus yechim:

.

Eritmaning o'zi va boshlang'ich holatining buzilishiga barqarorligini o'rganish uchun quyidagi tenglamani ko'rib chiqing:

bezovta qilingan dastlabki holat bilan

(bu erda buzilishning kattaligi). Dastlabki tenglamani (1) ayirib, biz buzilish uchun farq tenglamasini olamiz:

dastlabki holat bilan. Bu tenglamaning yechimi: , ya'ni. har qanday tugundagi kichik buzilish ham tugun sonining ko'payishi bilan eksponent ravishda o'sib boradi.

Talaba yuqoridagilarni ko'rsatishi kerak: rekursiv formulani o'zgartirish orqali tenglamaning boshlang'ich holati, o'ng tomonlari va koeffitsientlari buzilishlarining ta'sirini tekshirish.

Jurnaldagi ro'yxatdagi talaba soniga muvofiq variant C ++ dasturlash tilida (Builder muhitidan foydalanishga ruxsat beriladi) yoki Paskalda (Delphi muhitidan foydalanishga ruxsat beriladi) echilishi kerak. .

1. Raqamli yechimni olish uchun rekursiv formula.
2. Farq tenglamasining analitik yechimi. Umumiy yechim va berilgan dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan xususiy yechim.
3. Eritmaning dastlabki holatning buzilishiga barqarorligini va eritmani analitik tarzda o'rganing.

b) tenglama koeffitsientlari buzilganda;

v) o'ng tomoni bezovta bo'lganda.

Mavzu: 2-tartibli ayirma tenglamalari

Nazorat savollari:

1. Qanday tenglamalar 2-tartibli ayirma tenglamalar deb ataladi?

2. Xarakteristik tenglama nima?

3. Xarakteristik tenglamaning haqiqiy ildizlari bilan bir jinsli 2-tartibli ayirma tenglamaning xususiy yechimi qanday ko'rinishga ega?

4. Xarakteristik tenglamaning kompleks ildizlari bilan bir jinsli 2-tartibli ayirma tenglamaning xususiy yechimi qanday ko'rinishga ega?

5. 2-tartibli bir jinsli ayirma tenglamasining umumiy yechimi qanday topiladi?

6. 2-tartibli ayirma tenglamasining sonli va analitik yechimi nima?

7. Qanday vazifalar yaxshi shartli deb ataladi?

Vazifalar

1. Chegara shartlari bilan ikkinchi tartibli tenglama uchun ayirma chegaraviy masala yechish tartibini yozing.

2. Berilgan tenglama uchun analitik yo‘l bilan umumiy va xususiy yechim toping va shartlilik mezonini tekshiring.

3. Rekursiv formula bo‘yicha hisob-kitoblar natijalarini analitik yechim bilan solishtiring.

4. Chegara shartlari va o'ng tomonning buzilishi natijaga qanday ta'sir qilishini aniqlang.

						2-tartibli ayirma tenglamasining umumiy yechimini topamiz, uni ixtiyoriy konstantalarni tanlash orqali topish mumkin. Koshi muammolari bilan bir qatorda ikki nuqtali chegaraviy masalalar ham ikkinchi tartibli tenglamalar uchun ko'rib chiqiladi, ularda panjara funktsiyasining qiymatlari qatorda emas, balki ba'zi bir chekli nuqtalarning oxirida joylashgan ikkita tugunda beriladi. segment: (chegara shartlari ). Bunday masalaning analitik yechimini umumiy yechimdagi ixtiyoriy konstantalarni mos ravishda tanlash orqali olish mumkin. Biroq, boshlang'ich shartlar bilan bog'liq muammodan farqli o'laroq, chegara muammosi mutlaqo echilishi mumkin emas. Shunung uchun katta ahamiyatga ega o'ng tomonlari va chegara shartlarining buzilishiga (yaxlitlash xatolari tufayli) noyob echilishi va zaif sezgirligiga ega bo'lgan chegaraviy muammolar sinfining yoritilishiga ega. Biz bunday vazifalarni chaqiramiz yaxshi shartlangan Noto'g'ri shartli chegaraviy masala misolini ko'rib chiqing Muammoni shakllantirish. Dastlabki farq tenglamasi va chegara shartlari. Raqamli yechimni olish tartibi. Farqi chegaraviy masalaning analitik yechimi. Umumiy yechim va berilgan chegara shartlarini qanoatlantiruvchi xususiy yechim. Shartlilik mezonini tekshirish. Sonli yechim va analitik yechimning grafiklari (bir xil o'qlarda). Raqamli va analitik yechimlar orasidagi farq grafigi. Grafiklar bezovtalandi raqamli yechimlar va bezovtalangan va bezovtalanmagan echimlar o'rtasidagi farq: a) dastlabki holat buzilganda; b) o'ng tomoni bezovta bo'lganda. Chegaraviy masala shartliligi haqida xulosa.

Kirish

So'nggi o'n yilliklarda matematik usullar Ular gumanitar fanlarga, xususan, iqtisodiyotga tobora ko'proq kirib bormoqda. Matematika orqali va samarali dastur iqtisodiy o'sish va davlat farovonligiga umid qilish mumkin. samarali, optimal rivojlanish matematikadan foydalanmasdan mumkin emas.

Ushbu ishning maqsadi jamiyatning iqtisodiy sohasida farqli tenglamalarni qo'llashni o'rganishdir.

Ushbu ish oldidan quyidagi vazifalar qo'yiladi: ayirma tenglamalari tushunchasini aniqlash; birinchi va ikkinchi tartibli chiziqli ayirma tenglamalarini ko'rib chiqish va ularni iqtisodiyotda qo'llash.

Kurs loyihasi ustida ishlashda o'rganish uchun mavjud bo'lgan materiallardan foydalanilgan o'quv qurollari iqtisodiyot, matematik tahlil, yetakchi iqtisodchi va matematiklarning ishlari, ma’lumotnoma nashrlari, internet nashrlarida chop etilgan ilmiy-tahliliy maqolalar.

Farq tenglamalari

§1. Asosiy tushunchalar va farqli tenglamalarga misollar

Farq tenglamalari muhim rol o'ynaydi iqtisodiy nazariya. Ko'pgina iqtisodiy qonunlar aynan shu tenglamalar yordamida isbotlangan. Ayrim tenglamalarning asosiy tushunchalarini tahlil qilaylik.

Vaqt t mustaqil o'zgaruvchi bo'lsin va qaram o'zgaruvchi t, t-1, t-2 va hokazo vaqtlar uchun aniqlansin.

t vaqtidagi qiymat bilan belgilang; orqali - funksiyaning bir lahza orqaga siljigan qiymati (masalan, oldingi soatda, oldingi haftada va hokazo); orqali - y funktsiyasining ikki birlikka orqaga siljigan momenti va boshqalar.

Tenglama

bu yerda doimiylar, doimiy koeffitsientli n-tartibli ayirma bir jinsli bo'lmagan tenglama deyiladi.

Tenglama

Bunda =0, ​​doimiy koeffitsientli n-tartibli ayirma bir jinsli tenglama deyiladi. n-tartibli ayirma tenglamasini yechish bu tenglamani haqiqiy identifikatsiyaga aylantiruvchi funksiyani topishni bildiradi.

Ixtiyoriy doimiy bo'lmagan yechim ayirma tenglamasining alohida yechimi deyiladi; agar yechimda ixtiyoriy doimiy bo'lsa, u umumiy yechim deyiladi. Quyidagi teoremalarni isbotlash mumkin.

Teorema 1. Agar bir jinsli ayirma tenglamasi (2) yechimlari bo'lsa va u holda yechim ham funktsiya bo'ladi

bu yerda va ixtiyoriy konstantalar.

Teorema 2. Agar (1) bir jinsli ayirma tenglamasining xususiy yechimi bo‘lsa va bir jinsli (2) tenglamaning umumiy yechimi bo‘lsa, u holda bir jinsli (1) tenglamaning umumiy yechimi funksiya bo‘ladi.

Ixtiyoriy konstantalar. Bu teoremalar differensial tenglamalar teoremalariga o'xshaydi. Doimiy koeffitsientli birinchi tartibli chiziqli ayirma tenglamalar sistemasi shakl sistemasidir

bu yerda noma’lum funksiyalar vektori, ma’lum funksiyalar vektori.

nn o'lchamli matritsa mavjud.

Bu sistemani differensial tenglamalar sistemasini yechishga o'xshatib n-tartibli ayirma tenglamaga keltirish yo'li bilan yechish mumkin.

§ 2. Ayirma tenglamalarni yechish

Birinchi tartibli ayirma tenglamasining yechimi. Bir jinsli bo'lmagan farq tenglamasini ko'rib chiqing

Tegishli bir jinsli tenglama

Funktsiyani tekshiramiz

(3) tenglamaning yechimi.

Tenglamani (4) o'rniga qo'yib, olamiz

Shuning uchun (4) tenglamaning yechimi mavjud.

(4) tenglamaning umumiy yechimi funksiyadir

bu yerda C ixtiyoriy doimiydir.

Bir jinsli (3) tenglamaning xususiy yechimi bo'lsin. U holda (3) ayirma tenglamasining umumiy yechimi funksiya hisoblanadi

Agar f(t)=c bo'lsa, (3) ayirma tenglamasining muayyan yechimini topamiz, bunda c qandaydir o'zgaruvchidir.

Yechimni doimiy m shaklida izlaymiz. Bizda ... bor

Bu konstantalarni tenglamaga almashtirish

olamiz

Shuning uchun ayirma tenglamasining umumiy yechimi

Misol 1. Farq tenglamasidan foydalanib, yillik p% ga qo'yilgan Jamg'arma bankidagi A pul omonatini ko'paytirish formulasini toping.

Yechim. Agar ma'lum miqdor bankka murakkab foizli p bilan qo'yilgan bo'lsa, u holda yil oxiriga kelib uning miqdori t bo'ladi.

Bu birinchi tartibli bir hil ayirma tenglamasi. Uning qarori

Bu erda C - boshlang'ich shartlardan hisoblab chiqiladigan ba'zi bir doimiy.

Agar qabul qilingan bo'lsa, u holda C=A, qaerdan

Bu murakkab foizlar bo'yicha jamg'arma kassasiga qo'yilgan naqd depozitning o'sishini hisoblash uchun mashhur formuladir.

Ikkinchi tartibli ayirma tenglamani yechish. Bir jinsli bo'lmagan ikkinchi tartibli ayirma tenglamasini ko'rib chiqing

va mos keladigan bir jinsli tenglama

Agar k tenglamaning ildizi bo'lsa

bir jinsli (6) tenglamaning yechimidir.

Darhaqiqat, (6) tenglamaning chap tomoniga almashtirib, (7) ni hisobga olsak, biz olamiz

Shunday qilib, agar (7) tenglamaning ildizi k bo‘lsa, (6) tenglamaning yechimi bo‘ladi. (7) tenglama (6) tenglama uchun xarakteristik tenglama deyiladi. Agar diskriminant xarakteristikasi tenglama (7) noldan katta bo'lsa, (7) tenglama ikki xil haqiqiy ildizga ega va bir jinsli (6) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.

Ko'pincha, differensial tenglamalarni eslatish o'quvchilarni noqulay his qiladi. Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? Ko'pincha, chunki materialning asoslarini o'rganishda bilimda bo'shliq paydo bo'ladi, buning natijasida diffurlarni keyingi o'rganish shunchaki qiynoqlarga aylanadi. Hech narsa aniq emas, nima qilish kerak, qaerdan boshlashni qanday hal qilish kerak?

Biroq, biz sizga diffuzlar ular ko'rinadigan darajada qiyin emasligini ko'rsatishga harakat qilamiz.

Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy tushunchalari

Maktabdan biz noma'lum x ni topishimiz kerak bo'lgan eng oddiy tenglamalarni bilamiz. Aslida differensial tenglamalar faqat ulardan bir oz farq qiladi - o'zgaruvchi o'rniga X funktsiyani topishlari kerak y(x) , bu tenglamani o'ziga xoslikka aylantiradi.

Differensial tenglamalar katta amaliy ahamiyatga ega. Bu atrofimizdagi dunyoga hech qanday aloqasi bo'lmagan mavhum matematika emas. Differensial tenglamalar yordamida ko'plab haqiqiy tabiiy jarayonlar tasvirlangan. Masalan, simli tebranishlar, garmonik osilator harakati, mexanika masalalarida differensial tenglamalar yordamida jismning tezligi va tezlanishi topiladi. Shuningdek DU biologiya, kimyo, iqtisod va boshqa ko‘plab fanlarda keng qo‘llaniladi.

Differensial tenglama (DU) y(x) funksiyaning hosilalari, funksiyaning o‘zi, mustaqil o‘zgaruvchilar va turli kombinatsiyalardagi boshqa parametrlarni o‘z ichiga olgan tenglamadir.

Differensial tenglamalarning ko'p turlari mavjud: oddiy differensial tenglamalar, chiziqli va chiziqli bo'lmagan, bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan, birinchi va yuqori tartibli differensial tenglamalar, qisman differensial tenglamalar va boshqalar.

Differensial tenglamaning yechimi uni o'ziga xoslikka aylantiruvchi funksiyadir. Masofadan boshqarishning umumiy va maxsus echimlari mavjud.

Differensial tenglamaning umumiy yechimi tenglamani o'ziga xoslikka aylantiruvchi umumiy yechimlar to'plamidir. Differensial tenglamaning alohida yechimi dastlab belgilangan qo'shimcha shartlarni qanoatlantiradigan yechimdir.

Differensial tenglamaning tartibi unga kiritilgan hosilalarning eng yuqori tartibi bilan aniqlanadi.

Oddiy differensial tenglamalar

Oddiy differensial tenglamalar bitta mustaqil o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar.

Birinchi tartibli eng oddiy oddiy differensial tenglamani ko'rib chiqing. Bu shunday ko'rinadi:

Bu tenglamani oddiygina o'ng tomonini integrallash orqali yechish mumkin.

Bunday tenglamalarga misollar:

Ajraladigan o'zgaruvchan tenglamalar

IN umumiy ko'rinish bu turdagi tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Mana bir misol:

Bunday tenglamani echishda siz o'zgaruvchilarni ajratib, uni quyidagi shaklga keltirishingiz kerak:

Shundan so'ng, ikkala qismni birlashtirish va yechim topish qoladi.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Bunday tenglamalar quyidagi shaklda bo'ladi:

Bu yerda p(x) va q(x) mustaqil o‘zgaruvchining ba’zi funksiyalari, y=y(x) esa kerakli funksiyadir. Mana shunday tenglamaga misol:

Bunday tenglamani yechishda ko'pincha ular ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulidan foydalanadilar yoki kerakli funktsiyani boshqa ikkita y(x)=u(x)v(x) funksiyalarning ko'paytmasi sifatida ifodalaydilar.

Bunday tenglamalarni echish uchun ma'lum tayyorgarlik talab etiladi va ularni "ixtiyoriy ravishda" qabul qilish juda qiyin bo'ladi.

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan DEni echishga misol

Shunday qilib, biz masofadan boshqarishning eng oddiy turlarini ko'rib chiqdik. Endi ulardan birini ko'rib chiqamiz. Ajraladigan o'zgaruvchilarga ega tenglama bo'lsin.

Birinchidan, biz hosilani ko'proq tanish shaklda qayta yozamiz:

Keyin biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, ya'ni tenglamaning bir qismida barcha "o'yinlar" ni, ikkinchisida esa "xes" ni to'playmiz:

Endi ikkala qismni birlashtirish qoladi:

Ushbu tenglamaning umumiy yechimini integrallaymiz va olamiz:

Albatta, differensial tenglamalarni yechish o‘ziga xos san’atdir. Siz tenglamaning qaysi turiga tegishli ekanligini tushunishingiz kerak, shuningdek, uni u yoki bu shaklga keltirish uchun u bilan qanday o'zgarishlarni amalga oshirish kerakligini ko'rishni o'rganishingiz kerak, shunchaki farqlash va integrasiya qilish qobiliyati haqida gapirmang. Va DE ni hal qilishda muvaffaqiyatga erishish uchun (hamma narsada bo'lgani kabi) amaliyot kerak. Va agar sizda bo'lsa bu daqiqa differensial tenglamalar qanday hal qilinishi bilan shug'ullanish uchun vaqt yo'q yoki Koshi muammosi tomoqdagi suyak kabi ko'tarildi yoki siz taqdimotni qanday qilib to'g'ri formatlashni bilmayapsiz, bizning mualliflarimizga murojaat qiling. Qisqa vaqt ichida biz sizga tayyor va batafsil yechimni taqdim etamiz, uning tafsilotlarini siz uchun qulay bo'lgan istalgan vaqtda tushunishingiz mumkin. Shu bilan birga, biz "Differensial tenglamalarni qanday echish kerak" mavzusidagi videoni tomosha qilishni taklif qilamiz: