Всички формули за събиране. Основни тригонометрични формули

Формулите за събиране се използват за изразяване на стойностите на функциите cos (a + b), cos (a-b), sin (a + b), sin (a-b) чрез синусите и косинусите на ъглите a и b.

Формули за събиране на синуси и косинуси

Теорема: За всякакви a и b е вярно следното равенство cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b).

Нека докажем тази теорема. Помислете за следната фигура:

На него точките Ma, M-b, M (a + b) се получават чрез завъртане на точка Mo съответно по ъгли a, -b и a + b. От дефинициите на синус и косинус координатите на тези точки ще бъдат както следва: Ma (cos (a); sin (a)), Mb (cos (-b); sin (-b)), M (a + б) (cos (a + b); sin (a + b)). AngleMoOM (a + b) = ъгъл M-bOMa, следователно триъгълниците MoOM (a + b) и M-bOMa са равни и са равнобедрени. Това означава, че основите на MoM (a-b) и M-bMa са равни. Следователно (MoM (a-b)) ^ 2 = (M-bMa) ^ 2. Използвайки формулата за разстоянието между две точки, получаваме:

(1 - cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (-b) - cos (a)) ^ 2 + (sin (-b) - sin (a) ) ^ 2.

sin (-a) = -sin (a) и cos (-a) = cos (a). Преобразуваме нашето равенство, като вземем предвид тези формули и квадрата на сбора и разликата, след което:

1 -2 * cos (a + b) + (cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (b)) ^ 2 - 2 * cos (b) * cos (a) + (cos (a) ^ 2 + (sin (b)) ^ 2 + 2 * sin (b) * sin (a) + (sin (a)) ^ 2.

Сега нека приложим основната тригонометрична идентичност:

2 - 2 * cos (a + b) = 2 - 2 * cos (a) * cos (b) + 2 * sin (a) * sin (b).

Да дадем подобни и да ги намалим с -2:

cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b). Q.E.D.

Следните формули също са валидни:

• cos (a-b) = cos (a) * cos (b) + sin (a) * sin (b);
• sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin (b);
• sin (a-b) = sin (a) * cos (b) - cos (a) * sin (b).

Тези формули могат да се получат от доказаната по-горе, като се използват формулите за отливане и се заменят b с -b. За допирателни и котангенси също съществуват формули за събиране, но те няма да са валидни за всички аргументи.

Формули за добавяне на тангенси и котангенси

За всякакви ъгли a, bс изключение на a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n и a + b = pi / 2 + pi * m, за всяко цели числа k, n, mследната формула ще бъде валидна:

tg (a + b) = (tg (a) + tg (b)) / (1-tg (a) * tg (b)).

За всякакви ъгли a, b с изключение на a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n и ab = pi / 2 + pi * m, за всяко цяло число k, n, m ще бъде следната формула валидно:

tg (a-b) = (tg (a) -tg (b)) / (1 + tg (a) * tg (b)).

За всякакви ъгли a, b с изключение на a = pi * k, b = pi * n, a + b = pi * m и за всяко цяло число k, n, m ще бъде валидна следната формула:

ctg (a + b) = (ctg (a) * ctg (b) -1) / (ctg (b) + ctg (a)).

В тригонометрията има много формули.

Много е трудно да ги запомните механично, почти невъзможно. В класната стая много ученици и студенти използват разпечатки върху горните листа на учебниците и тетрадките, плакати по стените, яслите и накрая. Ами изпита?

Ако обаче погледнете по-отблизо тези формули, ще откриете, че всички те са взаимосвързани и имат определена симетрия. Нека ги анализираме, като вземем предвид дефинициите и свойствата на тригонометричните функции, за да определим минимума, който наистина си струва да научите наизуст.

I група. Основни идентичности

sin 2 α + cos 2 α = 1;

tgα = ____ sinα cosα; ctgα = ____ cosα sinα ;

tgα · ctgα = 1;

1 + tg 2 α = _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α = _____ 1 грях 2 α.

Тази група съдържа най-простите и популярни формули. Повечето от учениците ги познават. Но ако все още има трудности, тогава, за да запомните първите три формули, мислено си представете правоъгълен триъгълникс хипотенуза равна на единица. Тогава неговите катети ще бъдат равни, съответно, sinα по дефиниция на синус (отношение на противоположния катет към хипотенузата) и cosα по дефиниция на косинус (отношение съседен краккъм хипотенузата).

Първата формула е теоремата на Питагор за такъв триъгълник - сумата от квадратите на катета е равна на квадрата на хипотенузата (1 2 = 1), втората и третата са дефинициите на допирателната (отношението на противоположния катет към съседния) и котангенса (отношението на съседния катет към противоположния).
Произведението на допирателната и котангенса е 1, тъй като котангенсът, написан като дроб (формула три), е обърната допирателна (формула две). Последното съображение, между другото, дава възможност да се изключат от броя на формулите, които трябва да бъдат запомнени, всички последващи дълги формули с котангенс. Ако в някоя трудна задачаЩе срещнете ctgα, просто го заменете с дроб ___ 1 tgαи използвайте формулите за допирателната.

Последните две формули не е необходимо да се запомнят предварително символично. Те са по-рядко срещани. И ако е необходимо, винаги можете да ги отпечатате отново върху чернова. За да направите това, достатъчно е да замените вместо допирателната или контангента на техните дефиниции чрез дроб (формули втора и трета, съответно) и да намалите израза до общ знаменател... Но е важно да запомните, че съществуват такива формули, които свързват квадратите на тангенса и косинуса и квадратите на котангенса и синуса. В противен случай може да не се досетите какви трансформации са необходими за решаване на конкретен проблем.

Група II. Формули за събиране

sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;

sin (α - β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ;

cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) = tgα + tgβ _________ 1 - tgα · tgβ;

tg (α - β) =

Припомнете си свойствата на нечетно/четно четност на тригонометричните функции:

sin (−α) = - sin (α); cos (−α) = cos (α); tg (−α) = - tg (α).

От всички тригонометрични функции само косинусът е четна функция и не променя знака си при промяна на знака на аргумента (ъгъла), останалите функции са нечетни. Нечетността на функцията всъщност означава, че знакът минус може да бъде въведен и премахнат извън знака на функцията. Следователно, ако попаднете на тригонометричен израз с разликата от два ъгъла, винаги можете да го разберете като сбор от положителни и отрицателни ъгли.

Например, грях ( х- 30º) = грях ( х+ (−30º)).
След това използваме формулата за сумата от два ъгъла и се занимаваме със знаците:
грях ( х+ (−30º)) = sin х· Cos (−30º) + cos х Sin (−30º) =
= грях х· Cos30º - cos х· Sin30º.

По този начин всички формули, съдържащи разликата в ъглите, могат просто да бъдат пропуснати по време на първото запаметяване. Тогава си струва да научите как да ги възстановите общ изгледпърво на чернова, а след това мислено.

Например, тен (α - β) = тен (α + (−β)) = tgα + tg (−β) ___________ 1 - tgα · tg (−β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.

Това ще помогне в бъдеще бързо да отгатнете какви трансформации трябва да се приложат за решаване на конкретна задача от тригонометрията.

Sh група. Множество аргументни формули

sin2α = 2 sinα cosα;

cos2α = cos 2 α - sin 2 α;

tg2α = 2tgα _______ 1 - tg 2 α;

sin3α = 3sinα - 4sin 3 α;

cos3α = 4cos 3 α - 3cosα.

Необходимостта от използване на формули за синус и косинус на двоен ъгъл възниква много често, за тангенса също доста често. Тези формули трябва да се знаят наизуст. Освен това няма трудности при запомнянето им. Първо, формулите са кратки. Второ, те са лесни за управление според формулите на предишната група, въз основа на факта, че 2α = α + α.
Например:
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα;
sin2α = 2sinα cosα.

Ако обаче бързо сте научили тези формули, а не предишните, тогава можете да направите обратното: можете да запомните формулата за сумата от два ъгъла, като използвате съответната формула за двоен ъгъл.

Например, ако имате нужда от формула за косинус на сумата от два ъгъла:
1) припомнете си формулата за косинус на двоен ъгъл: cos2 х= cos 2 х- грях 2 х;
2) рисуваме го дълго: защото ( х + х) = cos х Cos х- грях хгрях х;
3) сменете единия хс α, вторият с β: cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ.

Практикувайте по същия начин да възстановите формулите за синуса на сбора и тангенса на сбора. В критични случаи, като например USE, проверете точността на възстановените формули, като използвате известната първа четвърт: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Проверка на предишната формула (получена чрез замяна в ред 3):
позволявам α = 60 °, β = 30 °, α + β = 90 °,
тогава cos (α + β) = cos90 ° = 0, cosα = cos60 ° = 1/2, cosβ = cos30 ° = √3 _ / 2, sinα = sin60 ° = √3 _ / 2, sinβ = sin30 ° = 1/2;
заместваме стойностите във формулата: 0 = (1/2) √3_ /2) − (√3_ / 2) (1/2);
0 ≡ 0, не бяха открити грешки.

Формулите за троен ъгъл според мен не е нужно да се "тъпчат" специално. Те са доста редки на изпити като изпита. Те лесно се извеждат от формулите, които бяха по-горе, т.к sin3α = sin (2α + α). А за онези ученици, които по някаква причина все още трябва да научат тези формули наизуст, ви съветвам да обърнете внимание на тяхната определена „симетрия“ и да запомните не самите формули, а мнемоничните правила. Например редът, в който са разположени числата в двете формули "33433433" и т.н.

IV група. Сума / разлика - в продукт

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ = 2 sin α - β ____ 2 Cos α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2cos α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ = −2 sin α - β ____ 2грях α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = sin (α + β) ________ cosα cosβ ;

tgα - tgβ = грях (α - β) ________ cosα cosβ .

Използвайки нечетните свойства на функциите синус и тангенс: sin (−α) = - sin (α); tg (−α) = - tg (α),
възможно е да се сведат формулите за разликите на две функции до формули за техните суми. Например,

sin90º - sin30º = sin90º + sin (−30º) = 2 · sin 90º + (-30º) __________ 2 Cos 90º - (−30º) __________ 2 =

2 · sin30º · cos60º = 2 · (1/2) · (1/2) = 1/2.

По този начин формулите за разликата на синусите и тангентите не трябва да се запомнят веднага.
Ситуацията със сбора и разликата на косинусите е по-сложна. Тези формули не са взаимозаменяеми. Но отново, използвайки паритета на косинуса, можете да запомните следните правила.

Сборът cosα + cosβ не може да промени знака си за каквато и да е промяна в знака на ъглите, следователно произведението трябва да се състои и от четни функции, т.е. два косинуса.

Знакът на разликата cosα - cosβ зависи от стойностите на самите функции, което означава, че знакът на произведението трябва да зависи от съотношението на ъглите, следователно продуктът трябва да се състои от нечетни функции, т.е. два синуса.

И все пак тази група формули не е най-лесната за запомняне. Такъв е случаят, когато е по-добре да се тъпче по-малко, но да се проверява повече. За да избегнете грешки във формулата на отговорния изпит, не забравяйте първо да я запишете на чернова и да я проверете по два начина. Първо, чрез замествания β = α и β = −α, след това чрез известните стойности на функциите за прости ъгли. За това е най-добре да вземете 90º и 30º, както беше направено в примера по-горе, защото полусумата и полуразликата на тези стойности отново дават прости ъгли и лесно можете да видите как равенството се превръща в идентичност за правилния вариант. Или, напротив, не се изпълнява, ако сте направили грешка.

Примерпроверка на формулата cosα - cosβ = 2 sin α - β ____ 2грях α + β ____ 2за разликата на косинусите с грешка !

1) Нека β = α, тогава cosα - cosα = 2 sin α - α _____ 2грях α + α _____ 2= 2sin0 sinα = 0 sinα = 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) Нека β = - α, тогава cosα - cos (- α) = 2 sin α - (−α) _______ 2грях α + (−α) _______ 2= 2sinα sin0 = 0 sinα = 0. cosα - cos (- α) = cosα - cosα ≡ 0.

Тези проверки показаха, че функциите във формулата са използвани правилно, но поради факта, че идентичността се оказа от вида 0 ≡ 0, може да се пропусне грешка със знак или коефициент. Правим третата проверка.

3) Нека α = 90º, β = 30º, тогава cos90º - cos30º = 2 · sin 90º - 30º ________ 2грях 90º + 30º ________ 2= 2sin30º · sin60º = 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 = 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Грешката наистина беше в знака и само в знака преди работата.

V група. Продукт - в сума/разлика

sinα · sinβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) - cos (α + β));

cosα cosβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα cosβ = 1 _ 2 (Sin (α - β) + sin (α + β)).

Самото име на петата група формули подсказва, че тези формули са обратни на предишната група. Ясно е, че в този случай е по-лесно да възстановите формулата на чернова, отколкото да я научите отново, увеличавайки риска от създаване на „бъркотия в главата“. Единственото нещо, върху което има смисъл да се съсредоточите за по-бързо възстановяване на формулата, са следните равенства (проверете ги):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Обмисли пример:нужда от трансформиране на продукта sin5 х Cos3 хв сбора от две тригонометрични функции.
Тъй като продуктът включва както синус, така и косинус, вземаме от предишната група формулата за сбора на синусите, която вече научихме, и я записваме на чернова.

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2

Нека 5 х = α + β ____ 2и 3 х = α - β ____ 2, тогава α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5х + 3х = 8х, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5х − 3х = 2х.

Заменяме във формулата на черновата стойностите на ъглите, изразени чрез променливите α и β, със стойностите на ъглите, изразени чрез променливата х.
Получаваме грях8 х+ sin2 х= 2 sin5 х Cos3 х

Разделете двете части на равенството на 2 и го запишете на чистото копие от дясно на ляво sin5 х Cos3 х = 1 _ 2 (грях 8 х+ sin2 х). Отговорът е готов.

Като упражнение:Обяснете защо в учебника има само 3 формули за преобразуване на сбора/разликата в произведението на 6, а обратната (за преобразуване на произведението в сбора или разликата) – само 3?

VI група. Формули за намаляване на степента

cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α = 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α = 3cosα + cos3α ____________ 4;

sin 3 α = 3sinα - sin3α ____________ 4.

Първите две формули от тази група са много необходими. Често се използват при решаване тригонометрични уравнения, включително ниво единен изпит, както и при изчисляване на интеграли, съдържащи интегранти от тригонометричен тип.

Може да е по-лесно да ги запомните в следващата "едноетажна" форма.
2cos 2 α = 1 + cos2α;
2 sin 2 α = 1 - cos2α,
и винаги можете да разделите на 2 в главата си или на чернова.

Необходимостта от използване на следните две формули (с кубчета функции) в изпитите е много по-рядко срещана. В различна настройка винаги ще имате време да използвате черновата. В този случай са възможни следните опции:
1) Ако си спомняте последните две формули от III група, използвайте ги, за да изразите sin 3 α и cos 3 α чрез прости трансформации.
2) Ако в последните две формули от тази група забележите елементи на симетрия, които допринасят за тяхното запомняне, тогава запишете „скиците“ на формулите върху черновата и ги проверете по стойностите на главните ъгли.
3) Ако освен факта, че съществуват такива формули за понижаване на степента, не знаете нищо за тях, тогава решавайте проблема на етапи, изхождайки от факта, че sin 3 α = sin 2 α · sinα и други научени формули. Ще са необходими формули за намаляване на степента за квадрат и формула за преобразуване на продукт в сума.

VII група. Половин аргумент

грях α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2; _____

cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2; _____

tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα. _____

Не виждам смисъл да запаметявам тази група формули във вида, в който са представени в учебниците и справочниците. Ако разбирате това α е половината от 2α, тогава това е достатъчно, за да се изведе бързо необходимата формула за половината аргумент, въз основа на първите две формули за намаляване на степента.

Това се отнася и за тангенса на полуъгъла, формулата за който се получава чрез разделяне на синусоидния израз на съответния косинус.

Не забравяйте само при напускане корен квадратенсложи знак ± .

VIII група. Универсална замяна

sinα = 2tg (α / 2) _________ 1 + тен 2 (α / 2);

cosα = 1 - тен 2 (α / 2) __________ 1 + тен 2 (α / 2);

tgα = 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).

Тези формули могат да бъдат изключително полезни за решаване на тригонометрични задачи от всякакъв вид. Те позволяват прилагането на принципа "един аргумент - една функция", който ви позволява да правите променливи промени, които намаляват сложните тригонометрични изрази до алгебрични. Не без причина тази замяна се нарича универсална.
Трябва да научим първите две формули. Третата може да бъде получена чрез разделяне на първите две една с друга според определението на допирателната tgα = sinα ___ cosα

IX група. Формули за леене.

За да разберете тази група тригонометрични формули, преминете

X група. Стойности за основните ъгли.

Дадени са стойностите на тригонометричните функции за главните ъгли на първата четвърт

Така че правим заключение: Формулите на тригонометрията трябва да се знаят. Колкото по-голям, толкова по-добре. Но за какво да похарчите времето и усилията си - запомнянето на формули или възстановяването им в процеса на решаване на проблеми, всеки трябва да реши сам.

Пример за задача за използване на тригонометрични формули

Решете уравнението sin5 х Cos3 х- sin8 х Cos6 х = 0.

Имаме две различни функции на греха() и cos () и четири! различни аргументи 5 х, 3х, 8хи 6 х... Без предварителни трансформации няма да работи свеждането до най-простите типове тригонометрични уравнения. Затова първо се опитваме да заменим произведенията със сумите или разликите на функциите.
Правим това по същия начин, както в примера по-горе (вижте раздела).

грях (5 х + 3х) + грях (5 х − 3х) = 2 sin5 х Cos3 х
грях8 х+ sin2 х= 2 sin5 х Cos3 х

грях (8 х + 6х) + грях (8 х − 6х) = 2 sin8 х Cos6 х
грях14 х+ sin2 х= 2 sin8 х Cos6 х

Изразявайки произведенията от тези равенства, ние ги заместваме в уравнението. Получаваме:

(грях 8 х+ sin2 х) / 2 - (sin14 х+ sin2 х)/2 = 0.

Умножаваме двете страни на уравнението по 2, отваряме скобите и даваме подобни термини

Sin8 х+ sin2 х- грях14 х- sin2 х = 0;
грях8 х- грях14 х = 0.

Уравнението стана много по-просто, но го реши по този начин sin8 х= sin14 хследователно 8 х = 14х+ T, където T е периодът, е неправилно, тъй като не знаем значението на този период. Следователно ще използваме факта, че от дясната страна на равенството има 0, с което е лесно да се сравнят факторите във всеки израз.
За разширяване на греха8 х- грях14 хпо фактори, трябва да преминете от разликата към продукта. За да направите това, можете да използвате формулата за разликата на синусите или отново формулата за сумата на синусите и нечетността на функцията синус (вижте примера в раздела).

грях8 х- грях14 х= sin8 х+ грях (−14 х) = 2 грях 8х + (−14х) __________ 2 Cos 8х − (−14х) __________ 2 = грях (−3 х) Cos11 х= −sin3 х Cos11 х.

Така че уравнението sin8 х- грях14 х= 0 е еквивалентно на уравнението sin3 х Cos11 х= 0, което от своя страна е еквивалентно на комбинацията от двете най-прости уравнения sin3 х= 0 и cos11 х= 0. Решавайки последното, получаваме две серии от отговори
х 1 = π н/3, нϵZ
х 2 = π / 22 + π к/11, кϵZ

Ако откриете грешка или печатна грешка в текста, моля, съобщете за това на имейл адреса [защитен с имейл] ... Ще съм много благодарен.

Внимание, © математика... Директното копиране на материали в други сайтове е забранено. Добавете връзки.

Задават се връзките между основните тригонометрични функции - синус, косинус, тангенс и котангенс тригонометрични формули... И тъй като има много връзки между тригонометричните функции, това обяснява изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометрични функции на един и същ ъгъл, други - функции на множествен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвъртите - да изразите всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.

В тази статия ще изброим по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните проблеми. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме по предназначение и ще ги въведем в таблици.

Навигация в страницата.

Основни тригонометрични идентичности

Основното тригонометрични идентичности задайте връзката между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл. Те следват от определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от понятието единична окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция по отношение на всяка друга.

За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извличане и примери за приложение вижте статията.

Формули за леене

Формули за леенеследват от свойствата на синуса, косинуса, тангенса и котангенса, тоест отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, както и свойството на изместване под даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.

Обосновката на тези формули, мнемоничното правило за запомнянето им и примерите за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.

Формули за събиране

Тригонометрични формули за събиранепоказват как тригонометричните функции на сбора или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждане на следните тригонометрични формули.

Формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл

Формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл (наричани още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойни, тройни и т.н. ъглите () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Извличането им се основава на формули за добавяне.

По-подробна информация е събрана във формулите на статията за двойни, тройни и т.н. ъгъл.

Формули за половин ъгъл

Формули за половин ъгълпоказват как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на целочислен ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.

Техните заключения и примери за приложение могат да бъдат намерени в статията.

Формули за намаляване на степента

Тригонометрични формули за редукция на степенса предназначени да улеснят прехода от естествени степени на тригонометрични функции към синуси и косинуси в първа степен, но множество ъгли. С други думи, те ви позволяват да намалите степените на тригонометричните функции до първите.

Формули за сума и разлика за тригонометрични функции

Основната цел формули за сбора и разликата на тригонометричните функциие да отидете на произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометрични изрази. Тези формули също се използват широко при решаването на тригонометрични уравнения, тъй като ви позволяват да разпределите сумата и разликата на синусите и косинусите.

Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус

Преходът от произведението на тригонометричните функции към сбора или разликата се извършва с помощта на формулите за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус.

Общо тригонометрично заместване

Завършваме прегледа на основните формули на тригонометрията с формули, изразяващи тригонометричните функции по отношение на тангенса на половин ъгъл. Тази замяна беше наречена универсално тригонометрично заместване... Неговото удобство се състои във факта, че всички тригонометрични функции се изразяват чрез тангенса на половин ъгъл рационално без корени.

Библиография.

• алгебра:Учебник. за 9 кл. сряда училище / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски.- М.: Образование, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М.И.Алгебра и началото на анализа: Учеб. за 10-11 кл. сряда шк. - 3-то изд. - М .: Образование, 1993 .-- 351 с .: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• алгебраи началото на анализа: Учеб. за 10-11 кл. общо образование. институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров. - 14-то изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (наръчник за кандидатстващи в техникуми): Учеб. наръчник - М .; По-висок. шк., 1984.-351 с., ил.

Авторско право от умни студенти

Всички права запазени.
Защитено от закона за авторското право. Никоя част от сайта, включително вътрешни материали и външен дизайн, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Няма да те убеждавам да не пишеш измамници. Пиши! Включително и мами листове по тригонометрия. По-късно смятам да обясня защо са необходими cheat sheets и защо cheat sheets са полезни. И тук - информация как да не се учи, а да запомни някои тригонометрични формули. И така - тригонометрия без шпаргалка!Използваме асоциации за запаметяване.

1. Формули за събиране:

косинусите винаги "вървят по двойки": косинус-косинус, синус-синус. И още нещо: косинусите са „неадекватни“. Те "не са така", така че сменят знаците: "-" на "+" и обратно.

Синусите - "микс": косинус косинус, косинус.

2. Формули за сбор и разлика:

косинусите винаги "вървят по двойки". Добавяйки два косинуса - "koloboks", получаваме двойка косинуси - "koloboks". И след изваждане определено няма да получим колобки. Получаваме чифт синуси. Също и с минус напред.

Синусите - "микс" :

3. Формули за превръщане на произведение в сбор и разлика.

Кога ще получим чифт косинуси? Когато събираме косинусите. Така

Кога получаваме чифт синуси? При изваждане на косинуси. следователно:

"Смесване" се получава както при събиране, така и при изваждане на синусите. Кое е по-хубаво: събиране или изваждане? Точно така, сгънете. И за формулата те вземат добавяне:

В първата и третата формули сумата е в скоби. Сумата не се променя от пренареждането на местата на термините. Редът е основен само за втората формула. Но, за да не се объркате, за по-лесно запомняне и в трите формули в първите скоби вземаме разликата

и второ, сумата

Читалките в джоба ви дават спокойствие: ако забравите формулата, можете да я отпишете. И ви дават увереност: ако не успеете да използвате листа за измама, формулите могат лесно да се запомнят.

Продължаваме разговора за най-използваните формули в тригонометрията. Най-важните от тях са формулите за добавяне.

Определение 1

Формулите за събиране ви позволяват да изразите функции на разликата или сумата на два ъгъла, като използвате тригонометрични функции на тези ъгли.

Като начало ще дадем пълен списък с формули за събиране, след което ще ги докажем и ще анализираме няколко илюстративни примера.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основни формули за събиране в тригонометрията

Разграничават се осем основни формули: синусът на сбора и синусът на разликата на два ъгъла, косинусите на сбора и разликата, съответно тангентите и котангентите на сбора и разликата. По-долу са техните стандартни формулировки и изчисления.

1. Синусът на сбора от два ъгъла може да се получи, както следва:

Изчисляваме произведението на синуса на първия ъгъл по косинуса на втория;

Умножете косинуса на първия ъгъл по синуса на първия;

Съберете получените стойности.

Графичното изписване на формулата изглежда така: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Синусът на разликата се изчислява почти по същия начин, само че получените продукти не трябва да се добавят, а да се изваждат един от друг. Така изчисляваме произведенията на синуса на първия ъгъл по косинуса на втория и косинуса на първия ъгъл по синуса на втория и намираме тяхната разлика. Формулата се записва така: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. Косинус на сбора. За него намираме произведенията на косинуса на първия ъгъл съответно по косинуса на втория и синуса на първия ъгъл по синуса на втория и намираме разликата им: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Косинусът на разликата: изчислете произведенията на синусите и косинусите на дадените ъгли, както преди, и ги съберете. Формула: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Тангенсът на сбора. Тази формула се изразява като дроб, в чийто числител е сумата от тангентите на желаните ъгли, а в знаменателя е единицата, от която се изважда произведението на тангентите на желаните ъгли. Всичко е ясно от графичното му обозначение: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Тангенсът на разликата. Изчисляваме стойностите на разликата и произведението на тангентите на тези ъгли и правим същото с тях. В знаменателя добавяме към едно, а не обратно: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Котангенс на сбора. За изчисления по тази формула се нуждаем от произведението и сумата от котангентите на тези ъгли, с което действаме по следния начин: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Котангенс на разликата . Формулата е подобна на предишната, но в числителя и знаменателя има минус, а не плюс c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Вероятно сте забелязали, че тези формули са сходни по двойки. Използвайки знаците ± (плюс-минус) и ∓ (минус-плюс), можем да ги групираме за удобство на писането:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β тен (α ± β) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β ctg (α ± β) = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β

Съответно имаме една записваща формула за сумата и разликата на всяка стойност, просто в единия случай обръщаме внимание на горния знак, в другия - на долния.

Определение 2

Можем да вземем всякакви ъгли α и β и формулите за събиране на косинус и синус ще работят за тях. Ако можем правилно да определим стойностите на тангентите и котангентите на тези ъгли, тогава формулите за добавяне на тангенса и котангенса също ще бъдат валидни за тях.

Както повечето понятия в алгебрата, формулите за събиране могат да бъдат доказани. Първата формула, която ще докажем, е формулата за косинус на разликата. Останалите доказателства могат лесно да бъдат изведени от него.

Нека изясним основните понятия. Имаме нужда от единичен кръг... Ще се окаже, ако вземем определена точка A и завъртим ъглите α и β около центъра (точка O). Тогава ъгълът между векторите O A 1 → и O A → 2 ще бъде (α - β) + 2 π z или 2 π - (α - β) + 2 π z (z е всяко цяло число). Получените вектори образуват ъгъл, равен на α - β или 2 π - (α - β), или може да се различава от тези стойности с цял брой пълни обороти. Разгледайте снимката:

Използвахме формулите за намаляване и получихме следните резултати:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Долен ред: косинусът на ъгъла между векторите O A 1 → и O A 2 → е равен на косинуса на ъгъла α - β, следователно, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Нека си припомним определенията за синус и косинус: синусът е функция на ъгъла, равен на съотношението на крака на противоположния ъгъл към хипотенузата, косинусът е синусът на допълнителен ъгъл. Оттук и точките А 1и А 2имат координати (cos α, sin α) и (cos β, sin β).

Получаваме следното:

O A 1 → = (cos α, sin α) и O A 2 → = (cos β, sin β)

Ако не е ясно, погледнете координатите на точките, разположени в началото и края на векторите.

Дължините на векторите са равни на 1, тъй като имаме единичен кръг.

Нека анализираме сега скаларен продуктвектори O A 1 → и O A 2 →. В координати изглежда така:

(O A 1 →, O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

От това можем да изведем равенство:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Така формулата за косинуса на разликата е доказана.

Сега ще докажем следната формула - косинусът на сбора. Това е по-лесно, защото можем да използваме предишните изчисления. Вземете представянето α + β = α - (- β). Ние имаме:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Това е доказателството за формулата за косинус на сбора. Последният ред използва свойството на синуса и косинуса на противоположните ъгли.

Синусовата формула на сбора може да бъде извлечена от формулата на косинус на разликата. За това вземаме формулата за намаляване:

sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Така
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

И ето доказателството за формулата на синусоидната разлика:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Обърнете внимание на използването на свойствата на синуса и косинуса на противоположните ъгли в последното изчисление.

След това се нуждаем от доказателства за формулите за събиране на тангенс и котангенс. Нека си припомним основните дефиниции (тангенсът е отношението на синус към косинус, а котангенс - обратно) и да вземем формулите, които вече са извлечени предварително. Направихме го:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Имаме сложна дроб. След това трябва да разделим неговия числител и знаменател на cos α · cos β, като вземем предвид, че cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0, получаваме:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos α β cos β - sin α sin β cos α cos β

Сега отменяме дробите и получаваме формула от следния вид: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Получаваме t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Това е доказателството за формулата за добавяне на допирателна.

Следващата формула, която ще докажем, е формулата за тангенса на разликата. Всичко е ясно показано в изчисленията:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Формулите за котангенса се доказват по подобен начин:
ctg (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + ctg α ctg β ctg α + ctg β
още:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β