Periodické desetinné frakce. Obyčejné a desetinné zlomky a akce na nich

Již v základní škole, studenti čelí frakcím. A pak se objevují v každém tématu. Zapomeňte na akce s těmito čísly, že je nemožné. Proto musíte znát všechny informace o obyčejně a desetinné zlomky. Tyto myšlenky jsou jednoduché, hlavní věc je pochopit všechno v pořádku.

Proč potřebujete zlomky?

Svět kolem nás se skládá z celých objektů. Proto není potřeba potřeba. Ale každodenní život Neustále sleduje lidi k práci s částmi předmětů a věcí.

Například čokoláda se skládá z několika rally. Zvažte situaci, kdy jeho dlaždice tvoří dvanáct obdélníků. Pokud je rozdělena na dva, pak bude fungovat v 6 částech. Je dobře oddělen na třech. Ale pět nebude schopno dát celé číslo čokoládových pólů.

Mimochodem, tyto plátky jsou již zlomky. A jejich další divize vede k vzhledu složitějších čísel.

Co je "zlomek"?

Toto je číslo sestávající z jednotek. Externě, vypadá to jako dvě čísla oddělená horizontálním nebo nakloněným znakem. Tato funkce se nazývá frakční. Číslo zaznamenané shora (vlevo) se nazývá numerátor. Co stojí pod (vpravo), je denominátor.

Faktorní funkce se ve skutečnosti ukazuje na znamení divize. To znamená, že numerátor může být nazýván dělitelný a jmenovatel je dělič.

Jaké jsou zlomky?

V matematice existují pouze dva typy: obyčejné a desetinné frakce. Šťastné první školáci se seznámí primární stupně, volání je jen "zlomky". Druhý bude rozpoznán ve třídě 5. Pak se tato jména objevila.

Obyčejné frakce jsou všechny zaznamenané ve formě dvou čísel, děleno linií. Například 4/7. Desetinná je číslo, ve kterém má zlomková část poziční vstup a je oddělen od celého středu. Například 4.7. Studenti musí jasně pochopit, že dva příklady příkladu jsou zcela jiná čísla.

Každá jednoduchá frakce může být napsána ve formě desetinného místa. Toto prohlášení je téměř vždy pravdivé v opačném směru. Existují pravidla, která vám umožní napsat desetinný zlomek obyčejnou frakcí.

Jaké poddruhy určily druhy?

Začněte lépe B. časová posloupnostJelikož jsou studovány. První jít běžné frakce. Mezi nimi lze odlišit 5 poddruhů.

Že jo. Jeho numerátor je vždy menší denominátor.

Špatně. Má numerátor více nebo rovnou jmenovateli.

Snížené / non-odvod. Může to být řádné i špatné. Dalším důležitým je, zda má číslo s jmenovatelem společné továrny. Pokud existují, má rozdělit obě části zlomku, to znamená, že je třeba jej snížit.

Smíšený. Integer je přičítána jeho obvyklé (nesprávné) zlomkové části. A vždy stojí vlevo.

Kompozitní. Je tvořen ze dvou frakcí oddělených na sobě. To znamená, že v něm existují tři frakční funkce.

Desetinné kmitočty mají pouze dvě poddruhy:

konečným, to znamená, že ve kterém je zlomková část omezena (má konec);

infinite - číslo, ve kterém čísla poté, co čárka nedokončují (mohou být napsány nekonečně).

Jak přeložit desetinný zlomek v obyčejném?

Pokud se jedná o konečné číslo, použije se sdružení, na základě pravidla - jak slyším, píšu. To znamená, že je třeba správně číst a napsat, ale bez čárky a s frakčním prvkem.

Jako výzva o požadovaném jmenovatele musíte si pamatovat, že je to vždy jednotka a několik nul. Ten musí psát tolik jako čísla ve zlomkové části zvažovaného čísla.

Jak přeložit desetinné frakce k obyčejné, pokud není součástí celé celé části, to je nula? Například 0,9 nebo 0,05. Po uplatnění zadaného pravidla se ukáže, že musíte také napsat nulu. Ale neuvádí. Zbývá zaznamenávat pouze frakční části. Na prvním čísle bude jmenovatel roven 10, druhý je 100. To znamená, že zadané příklady budou mít čísla: 9/10, 5/100. Druhý se navíc ukazuje, že bude snížen o 5. Proto by měl být písemný článek 1/20.

Jak provést obyčejný zlomek z desetinného místa, pokud se jeho celé číslo liší od nuly? Například 5.23 nebo 13,00108. V obou příkladech je celá část čtena a její hodnota je napsána. V prvním případě je 5, ve druhé - 13. Poté se musíte přesunout na zlomkovou část. S nimi má provést stejnou operaci. První číslo se zobrazí 23/100, druhý - 108/100000. Druhá hodnota musí být znovu snížena. V reakci se takové smíšené frakce získávají: 5 23/100 a 13 27/25000.

Jak přeložit nekonečnou desetinnou frakci v obyčejném?

Pokud je to neperiodická, nebude možné tuto operaci provádět. Tato skutečnost se týká skutečnosti, že každá desetinná frakce je vždy přeložena nebo ve finále nebo periodické.

Jediná věc, která má dělat s takovou frakcí, je zaokrouhlit. Ale pak bude desetinný, bude přibližně rovna tomuto nekonečnému. Lze jej obrátit na obyčejný. Ale reverzní proces: překlad do desetinného prostoru - nikdy nedosáhne počáteční hodnoty. To znamená, že nekonečné neperiodické frakce v obyčejném není přeloženo. To je třeba připomenout.

Jak vypálit nekonečnou periodickou frakci ve formě obyčejného?

V těchto číslech, po čárku, jeden nebo více číslic se vždy objevují, což se opakuje. Jsou nazývány období. Například 0,3 (3). Zde "3" v období. Jsou spojeny s třídou racionální, protože mohou být transformovány do běžných frakcí.

Ti, kteří se setkali s periodickými frakcemi, jsou známí, že mohou být čisté nebo smíšené. V prvním případě začíná období okamžitě od čárky. Ve druhé, zlomková část začíná s libovolnými čísly, a pak opakování začíná.

Pravidlo, ve kterém je nutné zaznamenávat ve formě běžné frakce, je nekonečná desetinná desetinná, bude odlišná pro zadané dva typy čísel. Čisté periodické frakce vypálí běžné běžné. Stejně jako u konečných, musí být převedeny: napsat dobu do numatelátoru a jmenovatel bude číslic 9, opakující se tolikrát, kolikrát číslic obsahuje období.

Například 0, (5). Neexistuje celé číslo v čísle, takže okamžitě potřebujete začít zlomkovou. Chcete-li napsat 5 na numerátor, a v denominátoru jeden 9. to je odpověď bude zastřelena 5/9.

Pravidlo, jak vypálit běžnou desetinnou periodickou frakci, která je smíšena.

Podívejte se na délku období. Tolik 9 bude mít denominátor.

Napište denominátor: První devět, pak nula.

Chcete-li zjistit numerátor, musíte zapisovat rozdíl dvou čísel. Všechny číslice po čárku budou sníženy společně s obdobím. Subdued - to je bez období.

Například 0,5 (8) - zapište periodickou desetinnou frakci ve formě obyčejného. Ve zlomkové části před dobou doba jedna číslice. Takže nula bude jeden. V období, také pouze jedna číslice - 8. to je devět jedna. To je v denominatoru potřebujete napsat 90.

Chcete-li zjistit numerátor 58, musíte odečíst 5. Ukazuje se 53. Odpověď například bude muset nahrávat 53/90.

Jak jsou běžné frakce v desetinném prostředí?

Nejjednodušší volbou je číslo, v němž se jedná o číslo 10, 100 a více. Pak je denominátor prostě vyřazen a čárka mezi frakčními a celočíselnými díly.

Existují situace, kdy je denominátor snadno přeměněn na 10, 100 atd., Například čísla 5, 20, 25. Jsou poměrně vynásobeny 2, 5 a 4, resp. Pouze násobený nejen jmenovatel, ale také numerátor pro stejné číslo.

Pro všechny ostatní případy je připomínáno jednoduché pravidlo: rozdělit numerátor do jmenovatele. V tomto případě mohou existovat dvě možnosti odpovědí: konečná nebo periodická desetinná frakce.

Akce s běžnými frakcemi

Sčítání a odčítání

S nimi se studenti seznámí před ostatními. A nejprve mají frakce stejné jmenovatele a pak se liší. Hlavní pravidla Na tento plán můžete snížit.

Najděte nejmenší obecný vícenásobný jmenovatel.

Zaznamenejte další chyby všem běžným frakcím.

Vynásobte číslice a jmenovatele k multiplikátorům definovaným pro ně.

Složení (odečtení) rozbočovače a obecný jmenovatel zůstane beze změny.

Pokud je numerátor menší než odečtený, musíte zjistit smíšené číslo nebo správné frakce.

V prvním případě, v celé části musíte vzít jednotku. Na numerátor frakce přidejte denominátor. A pak proveďte odčítání.

Ve druhé - je nutné použít pravidlo odečtení z menšího čísla více. To znamená, že z modulu odečteného odčítání je modul snížen, a v reakci na označení "-".

Pečlivě se podívejte na výsledek přidávání (odčítání). Pokud se ukázalo nesprávnou frakci, předpokládá se, že přidělí celou část. To znamená, rozdělit numerátor na jmenovatele.

Násobení a divize.

Pro jejich realizaci nemusí frakce vést k společnému jmenovateli. Zjednodušuje výkonnost akcí. Ale stále se vzdávají dodržování pravidel.

Při násobení běžných frakcí je nutné zvážit počet čísel a jmenovatelů. Pokud má nějaký numerátor a jmenovatel obecný násobitel, pak mohou být sníženy.

Vynásobte číslice.

Vynásobte denominátor.

Pokud se ukázala snížená frakce, měla by být znovu zjednodušena.

Při dělení, musíte nejprve nahradit rozdělení do násobení a dělič (druhá frakce) - na zadní straně (změna numerátoru a jmenovatele na místech).

Pak jednat, jako když se násobí (odstavec 1).

V úkolech, kde se množí (dělení) potřebovat celé číslo, měl by být napsán ve formě nesprávné zlomky. To znamená, že s označením 1. pak působit, jak je popsáno výše.

Akce s desetinnými frakcemi

Sčítání a odčítání

Samozřejmě můžete vždy otáčet desetinný zlomek v běžném. A jednat podle již popsaného plánu. Ale někdy je to vhodnější jednat bez tohoto překladu. Pak budou pravidla pro jejich přidávání a odečítání úplně stejná.

Vyrovnejte počet čísel v zlomkové části čísla, která je po čárce. Zbývá v něm chybějící počet nul.

Napište frakci tak, aby byla čárka naplněna.

Složit (odečítat) jako přirozená čísla.

Demolické čárky.

Násobení a divize.

Je důležité, abyste nemuseli přidat nuly. Fraci by měl být ponechán, jak jsou uvedeny v příkladu. A pak jít podle plánu.

Pro násobení musíte napsat zlomek jeden pod jiným, neplatí za čárky.

Vynásobte jako přirozená čísla.

Dejte čárku v reakci tím, že odkazuje na pravý konec odpovědi tolik čísel, protože jsou ve zlomkových částech obou multiplikátorů.

Chcete-li falešný, musíte nejprve převést dělič: Udělejte to přirozené číslo. To znamená, že je vynásoben na 10, 100 atd., V závislosti na počtu čísel ve zlomkové části děliče.

Na stejné číslo násobitelné.

Rozdělit desetinná frakce na přirozeném čísle.

V okamžiku, kdy bude rozdělení celé části končit, vložte čárku v reakci.

Jak být, pokud v jednom příkladu jsou oba typy frakcí?

Ano, často příklady v matematice, ve kterých potřebujete provádět akce na běžných a desetinných frakcích. V takových úkolech jsou možné dvě řešení. Je nutné objektivně zvážit čísla a zvolit optimální.

První cesta: prezentovat obyčejný desetinný

Je vhodný, pokud jsou konečné frakce získány při dělení nebo přeložené. Pokud alespoň jedno číslo dává pravidelnou část, pak tato technika je zakázána. Proto, i když nemám rád pracovat s běžnými frakcemi, budete muset zvážit je.

Druhý způsob: záznam desetinných frakcí běžné

Tato recepce je vhodný, pokud jsou v části čárky v části 1-2 číslice. Pokud jsou více, může to ukázat velmi velké obyčejné frakce a desetinné záznamy vám umožní počítat úkol rychleji a jednodušší. Proto vždy potřebujete střízlivě posoudit úkol a zvolit nejjednodušší metodu řešení.

Tento článek Pro. desetinné zlomky. Zde se vypořádáme s desetinným záznamem o zlomkových čísel, představujeme koncept desetinné frakce a uvádíme příklady desetinných frakcí. Před rozhovorem o vypouštění desetinných frakcí poskytneme jména výbuchů. Poté se zastavíme na nekonečných desetinných frakcích, řekněme o periodických a neperiodických frakcích. Dále uvádíme hlavní akce s desetinnými frakcemi. Závěrem se stanovíme postavení desetinných frakcí na souřadnicového paprsku.

Navigace stránky.

Desetinný záznam zlomkového čísla

Čtení desetinných frakcí

Řekněme několik slov o pravidlech čtení desetinných frakcí.

Desetinné frakce, které odpovídají správným řádným frakcím, jsou čteny stejně jako tyto běžné frakce, přidá se pouze "nulové celé číslo". Například desetinná frakce 0,12 reaguje na běžnou frakci 12/100 (čtení dvanácti setin), proto, 0.12 je čten jako "nula tolik jako dvanáct setin."

Desetinné frakce, které odpovídají smíšeným číslům, jsou čteny naprosto jako tato smíšená čísla. Například desetinná frakce 56.002 odpovídá smíšenému číslu, proto desetinná frakce 56,002 je čtena jako "padesát šest dva tisíce dvou tisíců".

Vypouštění v desetinných frakcích

V desetinných záznamech, stejně jako v záznamu přirozená číslaHodnota každé číslice závisí na jeho poloze. Opravdu, obr. 3 v desetinné frakci 0,3 znamená tři desetiny, v desetinné frakci 0,0003 - tři tisíce a v desetinných frakcích 30 000,152 - tři desítky tisíc. Takže můžeme mluvit vypouštění v desetinných frakcích, stejně jako o vypouštění v přírodních číslech.

Jména výbojů v desetinné frakci na desetinnou čárku se zcela shodují s názvy výbojů v přirozených číslech. A názvy výbojů v desetinné frakci po viditelném čárku jsou viditelné z následující tabulky.

Například v desetinné frakci 37,051 je obr. 3 v kategorii desítek, 7 - v vypouštění jednotek, 0 stojí v vypouštění desetin, 5 - v vypouštění stotin, 1 - v vypouštění tisíce.

Vypouštění v desetinných frakcích se také liší ve senioritě. Pokud v záznamu desetinná frakce přesune z čísla na číslo vlevo vpravo, pak se přesuneme starší na junior výzdoba. Například vypouštění stovek staršího vypouštění desetin a vypouštění milionů mladších než vypouštění setin. V tomto konečném desetinném prostoru je možné hovořit o starších a mladších propuštění. Například v desetinných frakcích 604,9387 senioři (vyšší) vypouštění stovek a mladší (nižší) - vypuštění deset tisícin.

Pro desetinné frakce dochází k rozkladu v vypouštění. Je podobné rozkladu kategorií přírodních čísel. Například rozložení výbojů desetinných frakcí 45 6072: 45.6072 \u003d 40 + 5 + 0,6 + 0,007 + 0,0002. A vlastnosti navíc z rozkladu desetinných frakcí na výboji umožňují jít na další reprezentace této desetinné frakce, například 45.6072 \u003d 45 + 0,6072 nebo 45,6072 \u003d 40,6 + 5,007 + 0,0002 nebo 45,6072 \u003d 45,0072 + 0,6 .

Konečných desetinných frakcí

Až do tohoto bodu jsme hovořili jen o desetinných frakcích, v jejichž záznamech po desetinném bodě je konečný počet čísel. Takové frakce se nazývají konečných desetinných frakcí.

Definice.

Konečných desetinných frakcí - Jedná se o desetinné frakce, ve kterých obsahuje konečný počet znaků (číslic).

Dáme několik příkladů konečných desetinných frakcí: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230,032,45.

Nicméně, ne každá běžná frakce může být reprezentována ve formě konečných desetinných frakce. Například výstřel 5/13 nemůže být nahrazen frakcí rovnou tomu s jedním z jmenovatelů 10, 100, ... proto nelze přeložit do konečného desetinného frakce. Budeme o tom hovořit v sekci Teorie překlad běžných frakcí v desetinných frakcích.

Nekonečné desetinné frakce: periodické frakce a neperiodické frakce

V záznamu desetinné frakce po čárku je možné povolit přítomnost nekonečného počtu čísel. V tomto případě přijdeme k posouzení tzv. Infinite desetinných frakcí.

Definice.

Nekonečné desetinné zlomky - To jsou desetinné frakce, ve kterých je umístěna nekonečná sada čísel.

Je zřejmé, že nekonečné desetinné frakce, které nemůžeme psát v plné formě, takže v jejich záznamech jsou v jejich záznamech omezeny pouze některým konečným počtem čísel po čárku a dávají bod ukazovat na nekonečně pokračující posloupnost čísel. Dejte nám několik příkladů nekonečných desetinných frakcí: 0.143940932 ..., 3,1415935432 ..., 153,02003004005 ..., 2 111111111 ..., 69,74152152152.

Pokud se pečlivě podíváte na poslední dvě nekonečné desetinné frakce, pak v frakci 2 111111111 ... nekonečně opakovaná číslice 1 je viditelná a ve frakci 69,74152152152 ..., počínaje třetím znaménkem po čárku, Opakující se skupina čísel 1, 5 a 2 je jasně viditelná. Takové nekonečné desetinné frakce se nazývají periodické.

Definice.

Periodické desetinné frakce (nebo jednoduše periodické frakce) - Jedná se o nekonečné desetinné frakce, ve kterých počínaje určitým desetinným záznamem, některá číslice nebo skupina čísel, která byla nekonečně opakována perobi období.

Například periodická frakce 2 111111111111 ... je obr. 1 a proplachovací období 69,74152152152 ... je skupina čísel formy 152.

Pro nekonečné periodické desetinné frakce je přijata speciální forma záznamu. Pro stručnost, období bylo jednou zaznamenáno, uzavřít ji do závorek. Například periodická frakce 2 11111111111 ... je napsána jako 2, (1) a periodická frakce 69,74152152152 ... je zapsána jako 69,74 (152).

Stojí za zmínku, že pro stejnou periodickou desetinnou frakci můžete specifikovat různá období. Například periodická desetinná frakce 0,733333 ... může být považována za frakcí 0,7 (3) s periodou 3, jakož i frakcí 0,7 (33) s periodou 33, a tak na 0,7 (333), 0,7 (3333), ... také na periodické frakce 0,733333 ... můžete vidět a tak: 0,733 (3), nebo tak 0,73 (333) atd. Zde, aby se zabránilo multigidnímu a nesrovnalosti, souhlasíme s tím, že budou považovány za období desetinné frakce nejkratší od všech možných sekvencí opakujících se čísel a počínaje nejbližší pozicí na desetinné semikoly. To znamená, že období desetinné frakce 0,733333 ... zvážíme posloupnost jedné číslice 3 a frekvence začíná od druhé polohy po čárku, tj. 0,73333 ... \u003d 0,7 (3). Dalším příkladem: Periodická frakce 4,7412121212 ... má období 12, frekvence začíná třetí číslic po čárku, to znamená, že 4,7412121212 ... \u003d 4,74 (12).

Nekonečné desetinné periodické frakce se získají převodem na desetinné frakce běžných frakcí, jejichž jmenovatelé obsahují jednoduché multiplikátory jiné než 2 a 5.

Stojí za to říct o periodických frakcích s obdobím 9. \\ t Dáváme příklady takových frakcí: 6,43 (9), 27, (9). Tyto frakce jsou dalším záznamem periodických frakcí s obdobím 0, a jsou považovány za náhradu periodických frakcí s lhůtou 0. Za toto období je 9 nahrazeno tím, že se jedná o 0 a hodnota výboje vedle seniority se zvyšuje o jeden. Například zlomek s obdobím 9 druhu 7.24 (9) se nahrazuje periodickou frakcí s periodou 0 formy 7.25 (0) nebo rovna tomu konečné desetinné frakce 7,25. Další příklad: 4, (9) \u003d 5, (0) \u003d 5. Rovnost zlomku s obdobím 9 a frakce odpovídající tomuto období 0 je snadno instalována po výměně těchto desetinných frakcí, které se s nimi rovnají běžnými frakcemi.

Nakonec se blíží blíže na nekonečné desetinné frakce, ve kterých není nekonečně opakovaná sekvence čísel. Oni se nazývají non-periodic.

Definice.

Neperiodické desetinné frakce (nebo jednoduše neperiodické frakce) - Jedná se o nekonečné desetinné frakce, které nemají období.

Někdy nejsou periodické frakce podobné typu periodických frakcí, například 8.02002000200002 ... - Neperiodická frakce. V těchto případech by mělo být zvláště pozorné všimnout si rozdíl.

Všimněte si, že neperiodické frakce nejsou přeloženy do běžných frakcí, nekonečné neperiodické desetinné frakce představují iracionální čísla.

Akce s desetinnými frakcemi

Jedním z akcí s desetinnými frakcemi je srovnání, čtyři hlavní aritmetika akce s desetinnými frakcemi: Přidání, odčítání, násobení a divize. Zvážit samostatně každé z akcí s desetinnými frakcemi.

Porovnání desetinných frakcí V podstatě na základě porovnání běžných frakcí odpovídajících porovnávkám desetinných frakcí. Přenos desetinných frakcí k obyčejnému je však spíše pracný účinek, a nekonečné neperiodické frakce nemohou být reprezentovány jako běžná frakce, takže je vhodné použít nesrovnalé porovnání desetinných frakcí. Bonnetické porovnání desetinných frakcí je podobné porovnání přirozených čísel. Pro více informací doporučujeme prozkoumat článek Material Srovnání desetinných frakcí, pravidel, příkladů, řešení.

Jít na další akci - násobení desetinných frakcí. Vynechání konečných desetinných frakcí se provádí podobně odečíst desetinné frakce, pravidla, příklady, řešení násobit ve sloupci přirozených čísel. V případě periodických frakcí může být násobení sníženo na násobení běžných frakcí. Na tahu je násobení nekonečných neperiodických desetinných frakcí po jejich zaokrouhlování snížena na násobení konečných desetinných frakcí. Doporučujeme dále studovat materiál článku násobení desetinných frakcí, pravidel, příkladů, řešení.

Desetinné frakce na souřadnicový paprsek

Mezi body a desetinnými frakcemi je vzájemně jednoznačný dodržování.

Chápeme, jak jsou body postaveny na souřadném paprsku, což odpovídá této desetinné frakci.

Konečné desetinné frakce a nekonečné periodické desetinné frakce můžeme s nimi nahradit běžnými frakcemi, po kterých se konvertuje odpovídající běžné frakce na souřadnicový paprsek. Desetinná frakce 1.4 odpovídá obyčejné frakci 14/10, takže bod se souřadnicem 1,4 je odstraněn od začátku odkazu v pozitivním směru 14 segmenty, které se rovná desáté frakci jediného segmentu.

Desetinné frakce lze zaznamenat na souřadném paprsku, vytlačit rozklad této desetinné frakce na výboji. Například, nám musíme postavit bod s souřadnicem 16 3007, jako 16 3007 \u003d 16 + 0,3 + 0,0007, pak v tomto okamžiku můžete získat, postupně pokládat od začátku souřadnic 16 jednotlivých segmentů, 3 segmenty, jejichž délka se rovná desátému podílu jednoho a 7 segmentů, jehož délka se rovná deseti tisíc zlomku jediného segmentu.

Tento způsob konstrukce desetinných čísel na souřadnicovém paprsku umožňuje libovolně blízko k bodu odpovídajícímu nekonečné desetinné frakci.

Někdy je možné přesně vybudovat bod odpovídající nekonečné desetinné frakci. Například, Potom tato nekonečná desetinná frakce 1 41421 ... odpovídá bodu souřadnicového paprsku, odstraněného z původu na délku úhlopříčky čtverce se stranou 1 jediného segmentu.

Reverzní proces pro získání desetinné frakce odpovídající tomuto bodu na souřadnicový paprsek je takzvaný desetinné měření řezu. Zjistíme, jak se koná.

Nechte náš úkol dostat se od referenčního odkazu na tento bod v souřadnicové lince (nebo nekonečně blíží se k němu, pokud se neukončí). S desetinným měřením segmentu můžeme postupně odložit od začátku reference libovolným počtem jednotlivých segmentů, další segmenty, jehož délka se rovná desátému podílu jednotky, pak segmenty, jehož délka je rovna setině jednotky atd. Záznamem počtu probíhajících segmentů každé délky získáváme desetinný zlomek odpovídající tomuto bodu na souřadnicového paprsku.

Například se dostat do bodu M na výše uvedeném obrázku, je nutné odložit 1 jeden segment a 4 segmenty, jehož délka se rovná desáté frakci jednotky. Bod M tedy odpovídá desetinné frakci 1.4.

Je zřejmé, že body souřadnicového paprsku, ve kterých není možné se dostat do desetinného procesu měření, odpovídají nekonečným desetinným frakcím.

Bibliografie.

Matematika: Studie. pro 5 cl. obecné vzdělání. Instituce / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Schwartzburg. - 21. ed., CHED. - M.: MnoMozina, 2007. - 280 p.: IL. ISBN 5-346-00699-0.
Matematika. Stupeň 6: Studie. Pro všeobecné vzdělávání. Instituce / [N. Ya. Vilenkin et al.] - 22. ed., Zákon. - M.: MnoMozina, 2008. - 288 p.: IL. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: studie. Pro 8 cl. obecné vzdělání. Instituce / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neskov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. ed. - M.: Enlightenment, 2008. - 271 p. : IL. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. G. Matematika (přínos pro žadatele v technických školách): Studie. výhoda. - m.; Vyšší. Shk., 1984.-351 str., IL.

Jak je známo, soubor racionálních čísel (q) zahrnuje mnoho celých čísel (z), což zase zahrnuje množství přirozených čísel (n). Kromě celých čísel patří racionální čísla zlomky.

Proč pak všechna mnoho racionálních čísel považují někdy nekonečné desetinné periodické frakce? Koneckonců, kromě frakcí zahrnují celá čísla, stejně jako neperiodické frakce.

Faktem je, že všechna celá čísla, stejně jako jakákoliv frakce, mohou být reprezentována jako nekonečná periodická desetinná frakce. To znamená, že všechna racionální čísla mohou používat stejný záznam záznamu.

Jaká je nekonečná periodická desetinná frakce? V něm se opakující skupina čísel po vyjmutí čárky do závorek. Například 1,56 (12) je zlomek, že skupina čísel 12 se opakuje, to znamená, že frakce má hodnotu 1,561212121212 ... a tak bez konce. Opakující se skupina čísel se nazývá období.

V této formě však můžeme reprezentovat libovolné číslo, pokud to považujeme za období 0, což je také opakováno bez konce. Například číslo 2 je stejné jako 2,00000 ... V důsledku toho může být napsáno ve formě nekonečné periodické frakce, tj. 2, (0).

Totéž lze provést s libovolnou konečnou frakcí. Například:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

V praxi však není použita transformace konečné frakce v nekonečné periodice. Proto jsou odděleny konečné frakce a nekonečné periodické. Je tedy správnější říci, že patří k racionálním číslům

všechna celá čísla
konečné zlomky
nekonečné periodické frakce.

Zároveň si prostě pamatuje, že celá čísla a konečná frakce jsou prezentovány v teorii ve formě nekonečných periodických frakcí.

Na druhé straně se koncept konečných a nekonečných fraraty používá pro desetinné frakce. Pokud hovoříme o běžných frakcích, pak jako konečný, a nekonečná desetinná frakce může být jednoznačně zastoupena jako běžná frakce. Takže z hlediska běžných frakcí jsou totéž platné periodické a závěrečné frakce stejné. Kromě toho mohou být celá čísla také reprezentována jako běžná frakce, pokud předložíte, že toto číslo rozdělíme o 1.

Jak prezentovat desetinnou nekonečnou periodickou frakci ve formě obyčejného? Více často používají o takovém algoritmu:

Rozdrcovali se do formy, takže po čárku to bylo jen období.
Nekonečná periodická frakce je vynásobena 10 nebo 100 nebo ... takže čárka se přesune doprava na jedno období (tj. Jedno období se ukázalo být v celé části).
Zajistěte původní frakci (A) proměnné X a frakce (B) získané vynásobením číslem n.
Z nx odečtení x. Od b jsem předložit. To znamená, že rovnice NX - X \u003d B - A.
Při řešení rovnice se získá běžná frakce.

Příklad překladu nekonečné periodické desetinné frakce v běžném frakci:
X \u003d 1,13333 ...
10x \u003d 11,3333 ...
10x * 10 \u003d 11,33333 ... * 10
100x \u003d 113,3333 ...
100x - 10x \u003d 113,3333 ... - 11,3333 ...
90x \u003d 102.
X \u003d.

Nezapomeňte, jako v první lekci o desetinných frakcích jsem řekl, že existují numerické frakce, které nejsou reprezentativní ve formě desetinných míst (viz lekce "desetinné frakce")? Stále jsme se naučili položit signály frakcí na multiplikátoři zkontrolovat, zda nejsou jiná čísla než 2 a 5.

Tak tady: uprchnu. A dnes se naučíte překládat naprosto numerickou frakci v desetinném prostředí. Zároveň se seznámíme s celou třídou frakcí s nekonečnou významnou částí.

Periodická desetinná frakce je jakákoliv desetinná frakce, která:

Smysluplná část se skládá z nekonečného počtu čísel;

Prostřednictvím určitých intervalů se čísla v významné části opakují.

Sada opakovaných čísel, z nichž se skládá z významné části, se nazývá periodická část zlomku a počet čísel v této sadě - frakční období. Zbytek významné části, který se neopakuje, se nazývá indexovaná část.

Vzhledem k tomu, že existuje mnoho definic, stojí za to zvážit několik takových frakcí podrobně:

Tato frakce se nejčastěji nachází v úkolech. Neperiodická část: 0; Periodická část: 3; Délka období: 1.

Nepodnášená část: 0,58; Periodická část: 3; Délka období: Opět 1.

Neperiodická část: 1; Periodická část: 54; Délka období: 2.

Neperiodická část: 0; Periodická část: 641025; Délka období: 6. Pro pohodlí jsou opakované části odděleny od sebe mezerou - v tomto rozhodnutí není nutné tak učinit.

Neperiodická část: 3066; Periodická část: 6; Délka období: 1.

Jak vidíte, definice periodické frakce je založena na konceptu významná část čísla. Proto, pokud jste zapomněli, co to je, doporučuji opakování - viz lekce "".

Přechod na periodické desetinné frakce

Zvažte obyčejný zlomek formuláře A / B. Šíření svého jmenovatele pro jednoduché multiplikátoři. Dvě možnosti jsou možné:

V expanzi jsou pouze multiplikátory 2 a 5. Tyto frakce jsou snadno dány desítkové - viz lekce "desetinné frakce". Takové nás nemají zájem;
V rozkladu je něco jiného, \u200b\u200bs výjimkou 2 a 5. v tomto případě, zlomek non-následně ve formě desetinných míst, ale od ní může být provedena periodická desetinná frakce.

Chcete-li nastavit periodickou desetinnou frakci, je nutné najít svou periodickou a neperiodickou část. Jak? Otočte frakci v nesprávném a pak rozdělit numerátor na "rohový" denominátor.

To se stane takto:

První dělení celá částPokud to je;
Možná bude několik čísel po desetinném bodě;
Po určité době začnou čísla opakovat.

To je vše! Opakující se čísla po desetinném bodě ukazují periodickou část a co stojí vpředu, je non-periodic.

Úkol. Přeložit běžné frakce na periodické desetinné:

Všechny frakce bez celé části, takže jen rozdělit numerátor do jmenovatele "roh":

Jak vidíte, zbytky se opakují. Frakce píšeme ve formě "správné": 1.733 ... \u003d 1,7 (3).

V důsledku toho se vypne zlomek: 0,5833 ... \u003d 0,58 (3).

Píšeme do normálního formuláře: 4.0909 ... \u003d 4, (09).

Dostáváme frakci: 0,4141 ... \u003d 0, (41).

Přechod z periodické desetinné frakce na běžné

Zvažte periodickou desetinnou frakci X \u003d ABC (A 1 B 1 C1). Je nutné jej překládat do klasického "dvoupodlažní". Chcete-li to provést, proveďte čtyři jednoduché kroky:

Najít doba frakce, tj Vypočítejte, kolik čísel je v periodické části. Nechť je to číslo k;
Vyhledejte hodnotu výrazu x · 10 k. To je ekvivalentní posunu desetinného místa pro celé období doprava - viz lekce "násobení a rozdělení desetinných frakcí";
Z výsledného čísla je nutné odečíst počáteční výraz. V tomto případě periodická část "popáleniny" a zůstává normální zlomek;
Ve výsledné rovnici naleznete X. Všechny desetinné frakce jsou přeloženy do běžné.

Úkol. Dát obyčejnému špatnému zlomenému číslu:

9,(6);
32,(39);
0,30(5);
0,(2475).

Pracujeme s první frakcí: X \u003d 9, (6) \u003d 9,666 ...

V závorkách obsahují pouze jednu číslici, takže období k \u003d 1. Dále násobíme tuto frakci při 10 k \u003d 10 1 \u003d 10. Máme:

10x \u003d 10 · 9 6666 ... \u003d 96,666 ...

Odečteme počáteční frakci a vyřešíme rovnici:

10x - X \u003d 96,666 ... - 9,666 ... \u003d 96 - 9 \u003d 87;
9x \u003d 87;
X \u003d 87/9 \u003d 29/3.

Teď to přijdeme s druhou frakcí. Takže, X \u003d 32, (39) \u003d 32,393939 ...

Období k \u003d 2, takže násobíme všechny při 10 k \u003d 10 2 \u003d 100:

100x \u003d 100 · 32,393939 ... \u003d 3239,3939 ...

Opět odečteme počáteční frakci a vyřešíme rovnici:

100x - X \u003d 3239,3939 ... - 32 3939 ... \u003d 3239 - 32 \u003d 3207;
99x \u003d 3207;
X \u003d 3207/99 \u003d 1069/33.

Postupujeme na třetí frakci: X \u003d 0,30 (5) \u003d 0,30555 ... Stejné schéma je stejné, takže budu jednoduše dát výpočty:

Období k \u003d 1 ⇒ násobit všechny při 10 k \u003d 10 1 \u003d 10;

10x \u003d 10 · 0.30555 ... \u003d 3,05555 ...
10x - X \u003d 3,0555 ... - 0,305555 ... \u003d 2,75 \u003d 11/4;
9x \u003d 11/4;
X \u003d (11/4): 9 \u003d 11/36.

Konečně poslední frakce: X \u003d 0, (2475) \u003d 0,2475 2475 ... Opět, pro pohodlí jsou od každé další mezery odděleny periodické části. My máme:

k \u003d 4 ⇒ 10 k \u003d 10 4 \u003d 10 000;
10 000x \u003d 10 000 · 0.2475 2475 \u003d 2475,2475 ...
10 000x - X \u003d 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... \u003d 2475;
9999x \u003d 2475;
X \u003d 2475: 9999 \u003d 25/101.

Co když znají teorii seriálu, znamená to, že bez ní není možné zadat žádné metamatické koncepty. Tito lidé navíc věří, že ten, kdo ho nepoužívá všude - nevědomý. Nechte nás opustit názory těchto lidí na jejich svědomí. Podívejme se lépe s tím, že taková nekonečná periodická frakce a jak být pro nás, nevzdělané lidi, kteří neznají limity.

Divide 237 do 5. Ne, nemusíte spustit "kalkulačku". Pojďme si lépe pamatovat průměr (nebo dokonce počáteční?) Škola a jednoduše rozdělit sloupec:

Jak si pamatoval? Pak můžete jít do obchodu.

Koncept "frakce" v matematice má dva významy:

Číslo neum.
Formy necílového čísla.

Existují dva typy zlomků - ve smyslu dvě formy záznamu missesses:

Jednoduchý (OR. vertikální) FROY, Stejně jako 1/2 nebo 237/5.
Desetinné frakce, například 0,5 nebo 47,4.

Všimněte si, že obecně použití frakcí neznamená, že zaznamenaný má číslo frakce, například 3/3 nebo 7.0 - ne zlomek v prvním smyslu slova, ale ve druhém, samozřejmě, zlomek .

V matematice, vůbec je faktura přijata desetinným místem, a proto desetinná frakce jsou mnohem výhodnější, tj. Frakci s desetinným místem (Vladimir Dal. Slovník Živý velký ruský jazyk. "Deset").

A pokud ano, pak chci, aby každá frakce vertikální, aby se desetinná ("horizontální"). A pro to potřebujete jednoduše numerátor pro rozdělení na jmenovku. Vezměte například zlomek 1/3 a pokuste se z toho udělat desetinné místo.

Dokonce i nevzdělané znatelně oznámení: Kolik to dělá - není rozděleno: bude to triogy do nekonečna, aby se objevila. Takže píšeme: 0,33 ... myslíme zároveň "číslo, které se ukázalo, když se podílíme 1 až 3", nebo v krátké, "jedna třetina". Přirozeně jedna třetí frakce v prvním smyslu slova, a "1/3" a "0,33 ..." - zlomek ve druhém smyslu slova, to je záznamové formuláře Čísla, která jsou umístěna na číselné čáry v tak vzdálenosti od nuly, což, pokud ji zadáte třikrát, jedna se vrátí.

Nyní se snažíte rozdělit 5 až 6:

Znovu píšeme: 0,833 ... máme na mysli "číslo, které se ukazuje, když se podělíme o 5 až 6", nebo krátkým "pěti šestým". Zmatku však vzniká: Je možné být 0,83333 (a pak se jednotky opakují), nebo 0,833833 (a pak se opakuje 833). Proto záznam s eltellipresses nám nevyhovuje: Není jasné, kde se opakovaná část začíná (nazývá se "období"). Proto budeme mít období v závorkách, stejně jako toto: 0, (3); 0,8 (3).

0, (3) nejen stejně jedna třetina je tady je Jedna třetina, protože jsme speciálně přišli s tímto záznamem, které představují toto číslo ve formě desetinné frakce.

Tento záznam se nazývá nekonečná periodická frakcenebo jen periodickou frakci.

Vždy, když děláme jedno číslo do druhého, pokud frakce nefunguje, ukazuje zlomek nekonečné periodické, to znamená, že bude nutné opakovat čísla jednou. Proč to lze pochopit čistě spekulativně, při pohledu pozorně na algoritmus divize ve fázi:

Na místech označených kontrolními zámky, po celou dobu lze získat různé dvojice čísel (protože taková pára v zásadě konečný soubor). A jakmile se objeví takový pár, který již byl, rozdíl bude také stejný - a pak celý proces se začne opakovat. Není třeba to zkontrolovat, protože je zcela zřejmé, že když opakování stejných akcí budou výsledky stejné.

Teď, když rozumíme dobře podstata Periodická frakce, zkusme násobit jednu třetinu až tři. Ano, to se ukazuje, samozřejmě jeden, ale napsat tuto frakci v desetinné formě a vynásobte sloupec (křižovatka otupělosti zde nevznikne, protože všechna čísla poté, co jsou středníky stejné):

A znovu si všimneme, že po celou dobu bude po čárku vypadat devíti a devět. To je, pomocí, Zpět, Brace Record, dostaneme 0, 9). Vzhledem k tomu, že víme, že práce jedné třetiny a tři je jednotka, pak 0, (9) - to je takový fancy formu jediného záznamu. Je však nepraktické používat takovou formu záznamu, protože jednotka je dokonale napsána a bez použití období, stejně jako: 1.

Jak vidíme, 0, (9) je jedním z těchto případů, kdy je celé číslo zaznamenáno ve formě frakce, jako je 3/3 nebo 7.0. To je 0, (9) - Tato frakce pouze ve druhém smyslu slova, ale ne v první.

Takže bez jakýchkoliv limitů a řad, řešíme to, co je 0, (9) a jak se s ním vypořádat.

Ale stále pamatujete, že jsme opravdu chytrí a studovali analýzu. Opravdu je těžké popřít, že:

Ale možná nikdo nebude hádat se skutečností, že:

To vše, samozřejmě správně. Opravdu 0, (9) je součet daného rozsahu a dvojitým sinusem zadaného úhlu a přírodní logaritm. Čísla eulerů.

Ale ani jeden ani druhý je definice.

Aby bylo možné tvrdit, že 0, (9) je součet nekonečné série 9 / (10 N), s n od jednoho, je to všechno stejné říci, že sinus je součtem nekonečné série Taylor:

to docela správnýa to je nejdůležitější skutečnost pro výpočetní matematika, ale to není definice, a co je nejdůležitější, nepřináší člověka vůbec pochopit sutie sinus. Podstatou sinusu nějakého rohu je, že je celkový Nolzego. Poměr opačného rohu katech k hypotenuse.

Kachna zde, periodická frakce je celkový Nolzego. desetinná frakce, která se ukázala, když při dělení sloupce Stejný soubor čísel může opakovat. Neexistuje zde žádná analýza a ve vzrostlém.

A pak vyvstává otázka: kde vůbec Vzali jsme číslo 0, (9)? Co děláme sloupec, abychom to dostali? Vskutku, neexistují žádná taková čísla, když se dělí, která na sebe navzájem bychom měli nekonečno objevit devít. Ale byli jsme také schopni získat toto číslo, vynásobíte sloupec 0, (3) na 3? Spíš ne. Koneckonců, je nutné vynásobit právo na právo, aby správně zohlednil převod výbuchů, a my jsme to udělali zleva doprava, smlylyly využíval skutečnost, že kdekoli nevznikne stejně. Proto platnost záznamu je 0, (9) závisí na tom, zda uznáváme platnost takového násobení sloupcem nebo ne.

V důsledku toho můžete obecně říci, že vstup 0, (9) je nesprávný - a do určité míry být správný. Vzhledem k tomu, že notace A, (b) je přijato, je prostě ošklivá, aby ji opustil při b \u003d 9; Je lepší určit, že takové záznamové prostředky. Takže, pokud vezmeme záznam vůbec 0, (9), pak tento záznam samozřejmě znamená číslo jedna.

Zůstane jen dodat, že pokud jsme byli používáni, řekněme, systém trojrozměrného čísla, pak při dělení jednotky (1 3) nahoře tři (10 3) by to bylo 0,1 3 ("nula tolik jako jedna třetina) ") A během rozdělení jednotek na dva by se otočily 0, (1) 3.

Frekvence frakcí záznamů není cílem určité charakteristiky zlomkového čísla, ale pouze vedlejší účinek použití určitého číselného systému.