입력 및 출력 시퀀스가 ​​상수 계수를 갖는 선형 차분 방정식으로 연결된 시스템은 상수 매개변수를 갖는 선형 시스템 클래스의 하위 집합을 형성합니다. 차분 방정식으로 LPP 시스템을 설명하는 것은 종종 그러한 시스템을 구성하는 효과적인 방법을 찾을 수 있게 해주기 때문에 매우 중요합니다. 또한, 차이 방정식을 사용하여 고유 주파수 및 그 다중성, 시스템의 차수, 제로 이득에 해당하는 주파수 등을 포함하여 고려 중인 시스템의 많은 특성을 결정할 수 있습니다.

가장 일반적인 경우, 물리적으로 실현 가능한 시스템과 관련하여 상수 계수를 갖는 1차 선형 차분 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(2.18)

여기서 계수는 특정 시스템을 설명하고 . 시스템의 순서가 차분 방정식의 수학적 특성을 어떻게 특성화하는지 정확하게 아래에 표시됩니다. 식 (2.18)은 직접대체법으로 풀기에 편리한 형태로 작성되었다. 일련의 초기 조건을 갖는 것[예를 들어, ] 및 입력 시퀀스를 사용하면 공식 (2.18)을 사용하여 에 대한 출력 시퀀스를 직접 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 차분 방정식

(2.19)

초기 조건으로 대체하여 풀 수 있으며 이는 다음을 제공합니다.

직접 치환으로 차분 방정식을 푸는 것이 어떤 경우에는 유용하지만 방정식에 대한 명시적 해를 구하는 것이 훨씬 더 유용합니다. 그러한 해를 구하는 방법은 차분 방정식에 관한 문헌에서 자세히 다루고 있으며 여기서는 간략한 개요만 설명하겠습니다. 주요 아이디어는 차등 방정식에 대한 두 가지 해법, 즉 동종 해와 부분 해를 구하는 것입니다. 입력 시퀀스의 요소를 포함하는 모든 항을 0으로 대체하고 입력 시퀀스가 ​​0일 때 응답을 결정하여 동종 솔루션을 얻습니다. 주어진 시스템의 기본 속성을 설명하는 것은 이러한 종류의 솔루션입니다. 주어진 입력 시퀀스에 대한 출력 시퀀스 유형을 선택하면 특정 솔루션을 얻을 수 있습니다. 균질해의 임의 상수를 결정하려면 초기 조건이 사용됩니다. 예를 들어, 이 방법을 사용하여 방정식 (2.19)을 풀어보겠습니다. 균질 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

(2.20)

계수가 일정한 선형차분방정식에 해당하는 동차방정식의 특성해는 의 형태의 해인 것으로 알려져 있으므로, 대신 식 (2.20)에 대입하면 다음과 같다.

(2.21)

다음 형식의 입력 시퀀스에 해당하는 특정 솔루션을 찾아보겠습니다.

(2.22)

방정식 (2.19)로부터 우리는 다음을 얻습니다.

동일한 차수에 대한 계수는 동일해야 하므로 B, C, D는 동일해야 합니다.

(2.24)

따라서, 공동의 결정처럼 보인다

(2.25)

계수는 다음과 같이 결정됩니다. 초기 조건, 어디서 그리고

(2.26)

솔루션(2.26)을 선택적으로 확인하면 위에 제공된 직접 솔루션과 완전히 일치함을 알 수 있습니다. 솔루션(2.26)의 확실한 장점은 특정 .

무화과. 2.7. 간단한 1차 차분 방정식을 구현하기 위한 체계입니다.

차분 방정식의 중요한 의미는 방정식을 구성하는 방법을 직접적으로 결정한다는 것입니다. 디지털 시스템. 따라서 가장 일반적인 형태의 1차 차분 방정식은 다음과 같습니다.

그림 1에 표시된 회로를 사용하여 구현할 수 있습니다. 2.7. "지연" 블록은 한 카운트만큼 지연됩니다. 별도의 지연 요소가 입력 및 출력 시퀀스에 사용되는 이러한 형태의 시스템 설계를 직접 형태 1이라고 합니다. 아래에서는 이 시스템과 다른 디지털 시스템을 구성하는 다양한 방법에 대해 설명합니다.

가장 일반적인 형태의 2차 차분 방정식

무화과. 2.8. 2차 차분 방정식을 구현하는 방식입니다.

그림 1에 표시된 회로를 사용하여 구현할 수 있습니다. 2.8. 이 회로는 또한 입력 및 출력 시퀀스에 대해 별도의 지연 요소를 사용합니다.

이 장의 자료에 대한 후속 프레젠테이션을 통해 고차 시스템의 구현에 1차 및 2차 시스템을 사용할 수 있다는 것이 분명해질 것입니다. 왜냐하면 후자는 직렬 또는 병렬 연결된 1차 연결로 표현될 수 있기 때문입니다. 그리고 2차 시스템.

일반 선형 차분 방정식 풀기

일정한 계수를 갖는

선형 이산 시스템의 출력과 입력 사이의 관계는 상수 계수를 갖는 일반적인 선형 차이 방정식으로 설명할 수 있습니다.

,

어디 와이[N]- 현재 출력 신호 N,

엑스[N]- 현재 입력 신호 N,

일체 포함,ㄴㅋ- 상수 계수.

이러한 방정식을 풀기 위해 두 가지 방법을 사용할 수 있습니다.

• 직접법
• 방법 Z – 변환.

먼저, 직접법을 사용하여 선형 차분 방정식을 푸는 것을 고려해 보겠습니다.

비균질(우변이 0이 아닌) 선형 차이 방정식의 일반 해는 다음의 합과 같습니다. 일반 솔루션선형 균질 차분 방정식 및 프라이빗 솔루션불균일 방정식

균질차분방정식의 일반해( 영-입력응답) 응 [N]

다음과 같이 정의됩니다.

.

이 솔루션을 균질 방정식으로 대체하면 다음을 얻습니다.

이러한 다항식은 다음과 같이 불립니다. 특성 다항식시스템. 그는 가지고있다 N뿌리 . 근은 실수이거나 복소수일 수 있으며 일부 근은 일치(다중)일 수 있습니다.

만약 뿌리가 가 실수이고 다르면 균질 방정식의 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

계수는 어디에 있습니까?

예를 들어, 어떤 루트가 λ 1다중성을 가지고 있다 중이면 해당 해 항은 다음 형식을 취합니다.

동차 방정식의 모든 계수와 그에 따른 특성 다항식이 실수이면 단순 복소수 켤레 근에 해당하는 해의 두 항 계수를 사용하여 형식으로 표현(작성)할 수 있습니다. ㅏ,비초기 조건에 의해 결정됩니다.

프라이빗 솔루션 유형 y p [N]방정식은 우변(입력 신호)에 따라 달라지며 아래 표에 따라 결정됩니다.

표 1. 오른쪽의 다양한 특성에 대한 특정 솔루션 유형

입력 신호x[n]	프라이빗 솔루션y p [n]
ㅏ(끊임없는)

Z 변환 방법에 의한 선형 차이 방정식의 해는 다음을 사용하여 구성됩니다. 지– 선형성과 시간 이동의 특성을 사용하여 방정식으로 변환합니다. 결과는 다음과 관련된 선형 대수 방정식입니다. 지- 필요한 기능의 이미지. 뒤집다 지– 변환은 시간 영역에서 원하는 솔루션을 제공합니다. 역 Z 변환을 얻으려면 유리식을 단순(기본) 분수로 분해하는 것이 가장 자주 사용됩니다. 왜냐하면 별도의 기본 분수로부터의 역변환이 간단한 형식을 갖기 때문입니다.

시간 영역으로 이동하려면 역 Z 변환을 계산하는 다른 방법을 사용할 수 있습니다.

예. 입력 신호에 대한 선형 차분 방정식으로 설명되는 시스템의 응답(출력 신호)을 결정해 보겠습니다.

해결책.

1. 방정식을 푸는 직접적인 방법.

동차 방정식. 그 특징적인 다항식.

다항식의 근 .

동차 방정식의 해법.

이후 우리는 특정 솔루션을 다음 형식으로 정의합니다. .

우리는 그것을 방정식으로 대체합니다.

상수를 찾으려면 에게받아들이자 n=2. 그 다음에

또는 K=2.33

따라서 특정 솔루션 그리고 차이 방정식 (1)에 대한 일반적인 해법

상수를 찾아보자 C 1그리고 C 2. 이렇게 하려면 n=0, 원래의 차분 방정식으로부터 우리는 를 얻습니다. 주어진 방정식에 대해

그렇기 때문에 . 식 (1)에서

따라서,

.

식 (1)에서 n=1우리는 가지고 있습니다.
C 1 과 C 2 에 대해 다음과 같은 두 가지 방정식을 얻습니다.

.

이 시스템을 풀면 다음 값이 제공됩니다: C 1 = 0.486 및 C 2 = -0.816.

따라서 이 방정식의 일반적인 해는 다음과 같습니다.

2. Z – 변환 방법을 사용한 솔루션.

시간 이동의 속성(정리)을 고려하여 원래의 차이 방정식에서 Z - 변환을 살펴보겠습니다. . 우리는 얻는다

제어 질문:

1. 그리드 기능이라고 불리는 기능은 무엇입니까?

2. 차분 방정식이라고 불리는 방정식은 무엇입니까?

3. 1차 차분 방정식이라고 불리는 방정식은 무엇입니까?

4. 1차 불균일 차분 방정식의 일반해를 어떻게 구하나요?

5. 차분 방정식에 대한 어떤 해법을 기본이라고 부르나요?

6. 상수 계수를 갖는 동차 방정식의 일반 해법이 기하학적 수열의 형태를 갖는 이유는 무엇입니까?

작업.

1. 초기 조건을 사용하여 1차 차분 방정식을 푸는 절차를 작성하십시오.

2. 주어진 방정식에 대해 분석적으로 일반 해와 특정 해를 구합니다.

3. 반복 공식을 사용한 계산 결과를 분석 솔루션과 비교합니다.

4. 초기 조건의 교란, 방정식의 계수 및 우변이 결과에 어떤 영향을 미치는지 알아봅니다.

				지도

1차 차분방정식의 일반해를 구해보자

. (1)

반복 공식을 사용하여 동차 방정식의 부분 솔루션을 얻습니다. . Y 값은 각 후속 그리드 점에서 두 배가 되므로 다음을 얻습니다. 기하학적 진행분모 q=2인 경우:

우리는 다음과 같은 형식으로 불균일 방정식에 대한 특정 솔루션을 찾습니다. , 여기서 A는 결정되지 않은 계수입니다. 그런 다음 결과 값을 주어진 우변과 동일시하여 결정되지 않은 계수 A=를 찾습니다. 마지막으로 일반적인 해결책은 다음과 같습니다. .

초기 조건을 사용하여 상수를 찾습니다. 마지막으로 주어진 초기 조건에 대한 특정 솔루션은 다음과 같습니다.

.

솔루션 자체의 섭동과 초기 조건에 대한 솔루션의 안정성을 연구하려면 다음 방정식을 고려하십시오.

교란된 초기 조건으로

(여기에 교란의 크기가 있습니다). 원래 방정식(1)을 빼면 교란에 대한 차이 방정식을 얻습니다.

초기 조건으로. 이 방정식의 해는 다음과 같습니다. , 즉. 어떤 노드에서든 작은 교란이라도 노드 수가 증가함에 따라 기하급수적으로 증가합니다.

학생은 위의 내용을 설명해야 합니다. 반복 공식을 변경하여 초기 조건, 우변 및 방정식 계수의 섭동이 미치는 영향을 조사해야 합니다.

옵션은 저널 목록에 있는 학생 수에 따라 프로그래밍 언어 C++(Builder 환경 사용 허용) 또는 Pascal(Delphi 환경 사용 허용)로 풀어야 합니다.

1. 수치해를 얻기 위한 반복 공식.
2. 차이 방정식의 분석적 솔루션. 주어진 초기 조건을 만족하는 일반해와 특정해.
3. 초기 조건의 섭동에 대한 해의 안정성과 해를 분석적으로 조사합니다.

b) 방정식의 계수가 교란될 때;

c) 오른쪽이 교란된 경우.

주제: 2차 차분 방정식

제어 질문:

1. 2차 차분 방정식이라고 불리는 방정식은 무엇입니까?

2. 특성 방정식이란 무엇입니까?

3. 특성 방정식의 실제 근을 갖는 2차 균질 차분 방정식의 특정 해는 어떻게 생겼습니까?

4. 특성방정식의 복소근을 갖는 2차 동차차분방정식의 특정 해법은 어떤 모습입니까?

5. 2차 불균일 차분 방정식의 일반해를 어떻게 구하나요?

6. 2차 차분 방정식에 대한 수치적, 분석적 해법은 무엇입니까?

7. 조건이 좋은 문제는 무엇입니까?

작업

1. 경계 조건 , 을 갖는 2차 방정식의 차이 경계값 문제를 해결하기 위한 절차를 작성하십시오.

2. 주어진 방정식에 대해 일반 해와 특수 해를 분석적으로 찾고 조건부 기준을 확인합니다.

3. 반복 공식을 사용한 계산 결과를 분석 솔루션과 비교합니다.

4. 경계 조건과 우변의 교란이 결과에 어떤 영향을 미치는지 알아봅니다.

						임의의 상수를 선택하여 찾을 수 있는 2차 차분 방정식의 일반적인 해를 찾아보겠습니다. 코시 문제와 함께 2차 방정식에 대한 2점 경계값 문제도 고려되는데, 여기서 그리드 함수의 값은 행이 아닌 특정 유한 세그먼트의 끝에 위치한 두 노드에 지정됩니다. : (국경 조건 ). 이러한 문제에 대한 분석적 해법은 일반 해법에서 임의의 상수를 적절하게 선택하여 얻을 수 있습니다. 그러나 초기 조건 문제와 달리 경계값 문제는 반드시 고유하게 풀 수 있는 것은 아닙니다. 그렇기 때문에 큰 중요성우변과 경계 조건의 섭동(반올림 오류로 인한)에 대해 고유한 해결 가능성과 약한 민감도를 갖는 경계값 문제 클래스를 명확히 했습니다. 우리는 그런 문제를 부를 것입니다 잘 조절된 조건이 나쁜 경계값 문제의 예를 고려해 보겠습니다. 문제의 공식화. 초기 차분 방정식 및 경계 조건. 수치해를 구하는 절차. 차이 경계값 문제의 분석적 솔루션입니다. 주어진 경계 조건을 만족하는 일반 해와 특정 해입니다. 조건부 기준을 확인합니다. 수치해와 분석해의 그래프(동일한 축). 수치해와 분석해의 차이를 보여주는 그래프입니다. 분노한 그래프 수치해법교란된 솔루션과 교란되지 않은 솔루션의 차이점은 다음과 같습니다. a) 초기 조건이 교란된 경우 b) 오른쪽이 교란된 경우. 경계값 문제의 조건성에 대한 결론.

소개

최근 수십 년 동안 수학적 방법점점 더 끈질기게 침투하고 있어 인도주의 과학특히 경제. 수학과 그 덕분에 효과적인 적용국가의 경제 성장과 번영을 기대할 수 있습니다. 효과적인, 최적의 개발수학을 사용하지 않고서는 불가능하다.

이 연구의 목적은 사회의 경제 영역에서 차이 방정식의 적용을 연구하는 것입니다.

이 작업에는 다음과 같은 작업이 있습니다. 차분 방정식의 개념 정의; 1차 및 2차 선형차분방정식과 경제학에서의 적용을 고려합니다.

코스 프로젝트를 진행할 때 학습에 사용할 수 있는 자료가 사용되었습니다. 교육 보조경제학, 수학적 분석, 주요 경제학자와 수학자들의 작품, 참고 출판물, 인터넷 간행물에 게재된 과학 및 분석 기사.

차분 방정식

§1. 차분 방정식의 기본 개념과 예

차분 방정식은 다음에서 중요한 역할을 합니다. 경제 이론. 많은 경제법칙은 이러한 방정식을 사용하여 입증됩니다. 미분방정식의 기본 개념을 살펴보겠습니다.

시간 t가 독립변수로 작용하고 종속변수는 시간 t, t-1, t-2 등에 대해 정의됩니다.

시간 t에서의 값으로 표시하겠습니다. through - 1만큼 뒤로 이동한 순간의 함수 값(예: 이전 시간, 이전 주 등) through - 두 단위 뒤로 이동한 순간의 함수 y 값 등입니다.

방정식

여기서 상수는 상수 계수를 갖는 n차 비균질 차분 방정식이라고 합니다.

방정식

여기서 =0은 상수 계수를 갖는 n차 동차 차분 방정식이라고 합니다. n차 차분 방정식을 푼다는 것은 이 방정식을 올바른 항등식으로 바꾸는 함수를 찾는 것을 의미합니다.

임의의 상수가 없는 해를 차분 방정식의 부분 해라고 합니다. 해에 임의의 상수가 포함되어 있으면 이를 일반해라고 합니다. 다음 정리를 증명할 수 있습니다.

정리 1.동차차 방정식 (2)에 해가 있는 경우, 해는 또한 다음 함수가 됩니다.

여기서 및 는 임의의 상수입니다.

정리 2.가 불균일 차등 방정식 (1)의 특정 해이고 가 동차 방정식 (2)의 일반 해인 경우, 불균일 방정식 (1)의 일반 해는 다음 함수가 됩니다.

임의의 상수. 이러한 정리는 미분 방정식의 정리와 유사합니다. 상수 계수를 갖는 1차 선형 차분 방정식 시스템은 다음 형식의 시스템입니다.

여기서 는 알려지지 않은 함수의 벡터이고, 는 알려진 함수의 벡터입니다.

nn 크기의 행렬이 있습니다.

이 시스템은 미분방정식 시스템을 푸는 것과 유사하게 이를 n차 차분 방정식으로 줄여서 풀 수 있습니다.

§ 2. 미분방정식의 해

1차 차분 방정식의 해법.비균질 차분 방정식을 고려해보세요.

해당 동차 방정식은 다음과 같습니다.

기능이 되는지 확인해보자

방정식 (3)을 푸는 것입니다.

방정식 (4)로 대체하면 다음과 같습니다.

따라서 방정식 (4)에 대한 해법이 있습니다.

방정식 (4)에 대한 일반적인 해는 다음과 같습니다.

여기서 C는 임의의 상수입니다.

불균일 방정식 (3)의 특정 해를 구해 보겠습니다. 그러면 차이 방정식 (3)에 대한 일반적인 해는 다음과 같습니다.

f(t)=c인 경우 차이 방정식(3)에 대한 특정 해를 찾아보겠습니다. 여기서 c는 일부 변수입니다.

우리는 상수 m의 형태로 해를 찾을 것입니다. 우리는

이 상수를 방정식에 대입하면

우리는 얻는다

따라서 차분 방정식에 대한 일반적인 해법은 다음과 같습니다.

실시예 1. 차이 방정식을 사용하여 저축 은행에 연간 p%로 예금된 현금 예금 A의 증가 공식을 구합니다.

해결책. 일정 금액을 복리 p로 은행에 예금하면 연말까지 그 금액은 다음과 같습니다.

이것은 1차 동차차분방정식이다. 그의 결정

여기서 C는 초기 조건에서 계산할 수 있는 상수입니다.

수락하면 C=A가 됩니다.

이는 저축은행에 예치한 현금 예금의 복리 이율을 계산하는 잘 알려진 공식이다.

2차 차분 방정식의 해법. 2차 비균질 차분 방정식을 고려해 보겠습니다.

그리고 상응하는 균질 방정식

k가 방정식의 근이라면

는 동차 방정식 (6)의 해입니다.

실제로, 방정식 (6)의 왼쪽을 대체하고 (7)을 고려하면 다음을 얻습니다.

따라서 k가 방정식 (7)의 근이라면 이는 방정식 (6)의 해가 됩니다. 식 (7)은 식 (6)의 특성방정식이라 불린다. 판별 특성 방정식(7)이 0보다 큰 경우 방정식(7)은 두 개의 서로 다른 실근을 가지며, 동차 방정식(6)의 일반 해는 다음과 같은 형태를 갖습니다.

종종 미분방정식에 대한 단순한 언급만으로도 학생들은 불쾌한 느낌을 받습니다. 왜 이런 일이 발생합니까? 대부분의 경우 자료의 기본을 연구할 때 지식 격차가 발생하여 디퓨저에 대한 추가 연구가 단순히 고문이 되기 때문입니다. 무엇을 해야 할지, 어떻게 결정해야 할지, 어디서부터 시작해야 할지 명확하지 않습니까?

하지만 디퓨저가 생각보다 어렵지 않다는 것을 보여드리려고 노력하겠습니다.

미분 방정식 이론의 기본 개념

학교에서 우리는 알려지지 않은 x를 찾는 데 필요한 가장 간단한 방정식을 알고 있습니다. 사실은 미분 방정식변수 대신에 그것들과 약간 다릅니다 엑스 그 안에서 기능을 찾아야 해요 와이(엑스) , 방정식을 항등식으로 바꿔줍니다.

미분 방정식실질적으로 매우 중요합니다. 이것은 우리 주변의 세계와 아무런 관련이 없는 추상적인 수학이 아닙니다. 많은 실제 자연 과정이 미분 방정식을 사용하여 설명됩니다. 예를 들어, 줄의 진동, 조화 진동자의 움직임, 역학 문제의 미분 방정식을 사용하여 신체의 속도와 가속도를 찾습니다. 또한 두생물학, 화학, 경제학 및 기타 여러 과학 분야에서 널리 사용됩니다.

미분 방정식 (두)는 함수 y(x)의 미분, 함수 자체, 독립 변수 및 다양한 조합의 기타 매개변수를 포함하는 방정식입니다.

미분방정식에는 상미분방정식, 선형과 비선형, 동차와 비동차, 1차 및 고차 미분방정식, 편미분방정식 등 다양한 유형이 있습니다.

미분 방정식의 해는 이를 항등식으로 바꾸는 함수입니다. 리모콘에는 일반 솔루션과 특정 솔루션이 있습니다.

미분방정식의 일반해는 방정식을 항등식으로 변환하는 일반적인 해의 집합입니다. 미분방정식의 부분해는 처음에 지정된 추가 조건을 만족하는 해입니다.

미분 방정식의 차수는 미분 방정식의 최고 차수에 따라 결정됩니다.

상미분방정식

상미분방정식하나의 독립 변수를 포함하는 방정식입니다.

가장 간단한 1차 상미분방정식을 생각해 봅시다. 그것은 다음과 같습니다:

그러한 방정식은 단순히 우변을 적분함으로써 풀 수 있습니다.

그러한 방정식의 예:

분리 가능한 방정식

안에 일반적인 견해이 유형의 방정식은 다음과 같습니다.

예는 다음과 같습니다.

이러한 방정식을 풀 때는 변수를 분리하여 다음 형식으로 가져와야 합니다.

그 후에는 두 부분을 통합하고 솔루션을 얻는 작업이 남아 있습니다.

1차 선형 미분 방정식

이러한 방정식은 다음과 같습니다.

여기서 p(x)와 q(x)는 독립 변수의 일부 함수이고 y=y(x)는 원하는 함수입니다. 다음은 그러한 방정식의 예입니다.

이러한 방정식을 풀 때 대부분 임의의 상수를 변경하는 방법을 사용하거나 원하는 함수를 다른 두 함수 y(x)=u(x)v(x)의 곱으로 표현합니다.

이러한 방정식을 풀려면 일정한 준비가 필요하며 이를 "한 눈에" 파악하는 것은 매우 어려울 것입니다.

분리 가능한 변수를 사용하여 미분 방정식을 푸는 예

그래서 우리는 가장 간단한 유형의 원격 제어를 살펴 보았습니다. 이제 그 중 하나에 대한 해결책을 살펴보겠습니다. 이를 분리 가능한 변수가 있는 방정식으로 가정합니다.

먼저, 더 친숙한 형식으로 도함수를 다시 작성해 보겠습니다.

그런 다음 변수를 나눕니다. 즉, 방정식의 한 부분에서는 모든 "I"를 수집하고 다른 부분에서는 "X"를 수집합니다.

이제 두 부분을 모두 통합해야 합니다.

우리는 이 방정식에 대한 일반적인 해를 통합하고 얻습니다.

물론 미분 방정식을 푸는 것은 일종의 예술입니다. 방정식의 유형을 이해할 수 있어야 하고, 차별화하고 통합하는 능력은 물론이고, 한 형태 또는 다른 형태로 이어지기 위해 어떤 변형이 이루어져야 하는지도 배워야 합니다. 그리고 DE를 성공적으로 해결하려면 (모든 것과 마찬가지로) 연습이 필요합니다. 그리고 만약 당신이 이 순간미분 방정식이 어떻게 해결되는지 알아낼 시간이 없거나, 코시 문제가 목에 뼈처럼 붙어 있거나, 프레젠테이션을 적절하게 준비하는 방법을 모르신다면 저자에게 문의하세요. 짧은 시간 안에 우리는 귀하가 언제든지 편리하게 이해할 수 있는 세부적인 솔루션을 제공할 것입니다. 그동안 "미분 방정식을 푸는 방법"이라는 주제의 비디오를 시청하는 것이 좋습니다.