쌍곡선 유형 방정식을위한 전송 연산자. 쌍곡선 유형의 부분 유도체의 방정식을 해결하기위한 수치 방법 (이송 방정식의 예에서)

View Equation의 Cauchy 작업을 고려하십시오

전송 속도가 v. 기능 일 수 있습니다 엑스. 방정식 (6.1)의 경우 근사치 절차, 파생 상품을 나타내는 방법 등 많은 차이 방식이 다릅니다. 시스템의 각 방정식이 하나의 알려지지 않은 수량 만 포함 된 분명한 차이점 체계에서 먼저 멈추자) "로 새로운 임시 계층의 솔루션의 값을 일관되게 계산할 수 있습니다.

명시적인 차이 방식은 가장 중요한 재산을 가져야하는 것으로 알려져 있으며, 계산 섭동을 축적하지 않는 방식의 능력의 안정성입니다. 계획의 안정성 정확한 차이 솔루션의 융합을 보장하기 위해 필요한 요구 사항. 쌍곡선 방정식을 위해 초기 데이터의 지속 가능성은 일반적으로 계산에 허용되는 차이 방식을 기반으로 새로운 시간 층에 전이 연산자의 고유 값의 스펙트럼을 기반으로 수행됩니다. 그래서, 대칭 차구 계획

매우 엄격한 안정성 조건 (T 2 VH)이고 NS는 실용적인 알고리즘...에 차분 계획

조건부가 안정적입니다. 그들의 안정성을 보장하기 위해, 첫째, Friedrichs의 Clariat의 성취 - Levi (KFL) :

둘째, 흐름에 대한 차이의 사용, 즉. 체계의 적용 (6.3) 언제 V. \u003e 0 및 (6.4) 언제까지 v 0.

흐름에 대한 차이가있는 명시 적 계획. 이전의 두 가지 계획을 선택적으로 적용하면 언제 v\u003e\u003e 0 방식 (6.3) 및 언제 v.

속도의 방향과 안정적인 방향에 무관심 할 것입니다. v / h. ^ 1.이 계획의 단방향 차이가 스트림을 만나기 위해 취해지는 것은 어렵지 않습니다 (그들은 계획에 속성이 있다고 말합니다. mpanenopmuenoemu). 계획) "그런 종을 불렀다 방지 방지 또는 흐름에 대한 차이가있는 계획.

반대 차이 방식의 설계에 문제가있는 문제의 일정한 가치가있는 방정식의 경우에는 NO가 없습니다. 계산 된 영역의 모든 노드에서 사용되는 전송 속도의 해당 전송 속도가 선택됩니다. 조건 (6.5)은 계산 그리드의 설정 비율에 대한 제한을 부과합니다. 전형적으로, 관계 (6.5)로부터의 공간의 주어진 단계에서 허용 시간 단계 T H / V가 결정된다.

그러나 전송 속도가 좌표 (또는 시간)의 기능이면, 차이의 유형의 유형의 선택은 예를 들어 조건부 연산자를 적용하는 전송 속도 기호의 분석에 기초하여 수행되어야한다. 가변 전송 속도가있는 고트 외에도 v \u003d v (x) 안정성 조건은 모든 메시 노드 와이 임시 단계 값 집합에서 최소값을 선택해야합니다. h / VJ.

공동 저자 (1952)가있는 지역 사회의 연구에서 조건부 연산자가 사용되지 않은 상응 계획을 건설하는 흥미로운 방법이 제안되었다. 이것이 정식 리셉션이 아니라 깊은 아이디어를 비교할 수있는 접근 방식이 아니라 상대방 (비대칭)과 대칭 차이 방식의 준수를 기반으로하는 접근법을 유의해야합니다. 이는 차이 방식의 연산자를 분리하는 아이디어에 가깝습니다.

양성 및 부정적인 구성 요소의 합의 형태로 전송 속도를 상상해보십시오.

이렇게하면 전송 운영자가 두 운영자의 합계 형식으로 이루어집니다.

이제 각 연산자는 사인 예약 계수가있어 카운터 스레드 차이 근사치를 적용 할 수 있습니다. 대류 회원의 근사치를위한 흐름에 대한 차이 방식은 유체 역학 컴퓨팅의 다양한 업무에서 널리 사용됩니다. 컴퓨팅 알고리즘에 대한 다음 기록은 스키마 (6.6)에 따라 적용되는 경우가 많습니다.

우리가 현재 오른쪽 부분 (6.7)에 있으면 초등 변환을 실시하고 대칭 차이 파생 상품을 강조 표시 할 것입니다.이 계획은

정지 강도 차이 방식 (6.7)은 방식의 조건부 안정성을 보장하는 소산 첨가제와 동일한 대칭 (6.2)과 동일하다고 결론 지어 질 수있다.

Lax Scheme. 이 계획은 계산 가스 역학의 발달의 새벽에서 계산 연습에 도입되었습니다. II이 유형의 계획에 대한 언급이 다른 저자의 작품에서 충족되었지만, 여론은 50 년대에 발표 된 LAX, PD의 미국 수학의 이름과 연결됩니다. 차이의 이론의 다양한 측면에 대한 일련의 작업 계획. 전달 방정식 (6.1)과 관련 하여이 계획은 양식을 가지고 있습니다.

이 계획의 특징은 근사에서의 안정성을 보장하기 위해 노드의 그리드 기능의 값의 가치가 유도체 (g, 피) 동일한 임시 계층의 인접 노드의 값의 절반으로 대체됩니다. 이 조작은 차이 방식의 조건부 안정성의 공간 유도체의 중심 근사치를 제공합니다 (Kuranta - Friedrichs - Levi의 상태를 수행 할 때 v / h. ^ 1).

여기에 유도되었지만 하류 근사치를위한 두 번째 절차가 제시되었으며, 파생물의 타임 라인의 특정 표현으로 인한이 계획은 중요한 소산을 갖는다. 이것은 첫 번째 차동 근사에서 분명히 나타납니다.

두 번째 유도체 이전의 오른쪽에있는 계수가 회로 점도 계수로 해석 될 수 있습니다. 간단한 변형 후,이 크기는

어디에서? 그러나 차임 수를 발표했다. 차동 근사 에서이 계획의 많은 속성을 식별 할 수 있습니다.

• - 이식은 하나와 같은 차임의 수에 의해 미완성됩니다.
• - 방식은 흐름 방향에 민감하지 않습니다.

격인 된 번호가 더 작은 단위로, 회로 점도가 안정화 효과 (포지티브 확산 계수)가 있으며, 격판소 수, 더 큰 단위, 회로 점도 계수가 음성이되고, 확산 과정의 악화로 이어지는, 궁극적으로 상기 방식의 계산 안정성 손실;

시간이 감소하면 회로의 소산 특성이 자랍니다.

나열된 기능 중에서이 계획의 존엄성을 크게 줄이는 것들이 있습니다. 그러나 알고리즘의 단순성은 종종 정착 프로그램을 구축하는 초기 (디버깅) 단계에서 사용하기위한 기초입니다. 또한, 우리가 더 많이 볼 수 있듯이, LAX 방식은 사전 단계 (예측 단계)가 수행되는 유효 다단계 알고리즘의 필수적인 부분이다.

두 번째 주문 제도. 앞서 논의 된 차이 방식은 1 차 계획 (공간 또는 임시 변수에)이었습니다. 제 2 차 방식을 구축 할 때, 공간, 가스 및 일시적인 변화로서 근사치를 증가시킬 필요가있다. 이 유형의 여러 가지 계획을 고려하십시오.

스키마 "체첸". 공간 변수의 두 번째 주문 체계와 가장 단순한 유형의 시간은 다음과 같이 표현 될 수 있습니다.

이 구성표를 지나치게 보관하는 방식이라고 부르지 만 더 많이 알려져 있습니다. "leapfrog" (도약 개구리 방식). 이 방식은 3 층이며 두 개의 이전 시간 계층에서 솔루션을 구축합니다. 따라서 사용되면 계산의 시작 부분에 문제가 발생하여 다른 방법으로 수행되어야합니다.

LAX - VENDROFF 체계. 이 유형의 가장 유명한 체계 중 하나는 저자의 이름 인 Lax Scheme - Vendroff라는 중심 체계입니다. 쌍곡선 방정식의 차이 방식의 이론에있는 특정 틈새 시장이 있지만 매우 생산적인 아이디어가 많이 관련되어 있지만, 그 주요 이점은보다 복잡한 문제의 경우 쉽게 요약되어 옮겨집니다. Quasilinear 방정식의 시스템에 의해 기술 된 압축성 가스의 흐름은 오랫동안 주요 컴퓨팅 도구 중 하나였습니다.

마이그레이션 방정식 (6.1)에 적용하는 예 에서이 계획의 기능을 배우는 것이 유용합니다. 두 번째 주문 체계를 구축하려면 테일러 공식을 격퇴합니다.

초기 방정식 (6.1)과 함께 고려 될 것이라고,이 방정식은 분해로 임시 파생물을 공간적으로 대체하는 데 사용됩니다. 첫 번째 미분이지만 시간은 (6.1)에서 직접 표현되기 때문에 가능합니다. du / dt \u003d -vdu / dx. 두 번째 파생물은 다음과 같은 관계 체인에서도 쉽게 위치합니다.

이 표현은 일정한 전송 속도에서만 정확합니다. v \u003d. const. 그렇지 않으면, 대략적인 것이지만, 이송 속도 v (x) 충분히 부드러운 기능자연에서 지역의 차이 비율을 변형시키는 데 사용할 수 있습니다.

테일러의 상기 식에서 유도체에 대한 초기 차동 방정식을 사용하여 얻은 발현을 치환하면, 우리는 비율을 얻는다

그리고 최종 두 번째 순서 비율로 공간에서 파생 상품을 교체하는 것, 우리는 차이 방식을 얻습니다 (일부 간단한 변형 후)

lAX VENDROFF 체계라고합니다. 이 계획은 1960-1964 년에 LAX와 VNDFFT가 출판 된 일련의 작품에서 일련의 작품에서 여러 가지 다른 것들과 함께 컴퓨팅의 실천에 소개되었습니다.

LAX - VENDROFF 체계의 2 단계 변형. 나중에 Richt-Mayer는 편의성으로 인해 오랜 시간 동안의 주요 컴퓨팅 가스 - 역학 알고리즘 중 하나 인이 구성표의 원래 두 가지 버전을 제안했습니다. 우리는이 옵션을 제공합니다.

첫 번째 헤미이지에서는 첫 번째 주문 LAX의 간단한 구성표에서 해결책의 중간 값을 계산합니다. 이 중간 값은 최고 색인을 승인 할 것입니다 p + 1/2와 우리는 반 시간이 또한 사용된다는 것을 명심하게 될 것입니다. 이 계획을 적용하여 중간 임시 계층에서 솔루션 값을 얻습니다. t \u003d t n + l / 2. 동시에, 우리는 LAX 체계의 사용으로 인해 하위 계층 중심 노드가 없으며, 이는 반 히터 시스템에서도 중간층에서도 용액이 재생됩니다.

우리는 인접한 두 개의 간격에 대한 차이 관계에 대한 기록을 제공합니다.

두 번째 반구는 새 임시 계층에서 결정을 계산하는 것으로 구성됩니다. 피 + 1 공간과 시간에 중심의 차이가있는 다이어그램을 기반으로합니다. "크로스"구성표. 공간 유도체를 계산하기 위해 좌석 시스템의 중간층의 솔루션의 값이 사용되므로 솔루션 자체는 시간 단계의 시작에 의해 결정된 지점의 동일한 시스템에서 복원됩니다. :

관계 (6.12)와 (6.13) 함께 Lax Veidroff의 2 - Haule 방식을 결정합니다. 첫 번째 단계에서 지속 가능성 조건이 수행됩니다. 이 단계는 때로는 호출됩니다 예언자. 두 번째 단계는 필요한 정확도의 실행을 보장하며 호출됩니다. 정정자. 프로젝터 예측기 메소드가 자주 사용됩니다 수학 계산동시에, 보정기 단계는 반복 블록을 포함 할 수있다.

(6.13)의 중간 값을 제외하고, 우리가 주요한 것에 도착한 관계 (6.12)의 도움을 받아 (6.12)의 중간 값을 제외하면이 계획의 선택을 선택할 수 있습니다. 근사 및 안정성의 순서의 의미에서 두 옵션은 모두 해당하지만, 2 층은 컴퓨팅 중에 더 편리하므로 일반적으로 일반적으로 관련된이 차이 방식의 이름입니다. 2 단계 변형은 특히보다 복잡한 작업, 특히 비 고정 가스 역학의 Quasilinear 방정식 시스템에 대한 차이 방식을 구성하는 데 사용하는 것이 특히 편리합니다.

두 번째 주문 체계에서 솔루션의 단조 로움. 오른쪽 (6.11)의 마지막 멤버는 1 차 계획 (6.8) 및 (6.10)의 소산 멤버의 유형 이외의 형태를 갖는다. 이 경우 시간 유도체의 근사치의 첫 번째 절차와 관련된 오류를 제공합니다. 따라서,이 방식은 시간, 가스 및 공간 변수 인 제 2 차 방식이다. 첫 번째 차동 근사치는 더 이상 퇴화 부재를 포함하지 않지만 제 3 유도체가있는 분산 성분을 나타내며, 이는 방식의 위상 오차를 일으 킵니다. 이 계획은 결정을 약하게 때묻지 않지만 분산액에 의한 비 물리적 진동은 날카로운 변화의 영역에 나타날 수 있습니다.

단조로운 용액의 종 방향 좌표의 단조 함수를 갖는 용액을 변환하는 차이 방식은 단조 차이 방식. 이 정의에 따르면, LAX-Veidroff의 방식은 비 단조로 인한 것입니다.

S.K. Godunov는 차이점 계획 이론에서 중심지 중 하나를 차지하는 단핵구 정리를 설립했습니다. 이 정리에 따르면, 양식 (6.1)의 선형 방정식의 경우, 첫 번째 순서가있는 단조로운 구성표가 없습니다.

차이 방식의 단조 성의 상실은 근사의 증가 된 순서의 모든 방식에 대해 1도 또는 다른 것의 특징이다. 소위 소위 스키마의 비 단조로운 수치 적 수치를 극복하기 위해 잡종 차분 계획. 그들은 솔루션의 행동을 분석하여 위상 오류가 특히 강하고 지역의 상위 차례로 돌아가는 영역의 첫 번째 주문의 단조 차트로 전환하는 솔루션의 행동 분석을 기반으로 비선형의 수업에 속합니다. 용액의 부드러운 변화의

Mac-Feed Scheme. 또한 유동 방향에 무관 한 이중 2 차 2 차 다이어그램이기도합니다. 전송 방정식의 보수적 인 형태를 입증하는 것이 더 편리합니다.

이 계획은 두 단계로 구성됩니다.

첫 번째 단계 (6.15)에서 결정의 예비 값 시계 일면 차이 방식을 기반으로 그리드의 노드에서 이러한 방식으로 발견 된 해결책에 따르면, 유동 / G의 예비 값은 1면 회로에 기초하여 반대 방향 (6.16), 용액은 다음의 시간 층에서 결정된다.

이 알고리즘은 다양한 변형을 허용하므로 Quasilinear 시스템 및 다차원 쌍곡선 작업 모두의 해결책에 잘 적용됩니다. 1970 년대 에이 계획은 외국 (주로 미국인) 컴퓨터의 주요 차이점 방식 중 하나 이었지만, 현재는 하이브리드 화 아이디어를 기반으로 더 현대적으로 ousted입니다.

hopf 방정식에 대한 가장 간단한 차이점을 고려하십시오.

p.lax 방식의 호프 방정식의 경우 일반화는 양식을 가지고 있습니다.

여기서, 분명히, 발산의 방정식 (3.6)이 사용된다.

수업 과정...에 Hopf 방정식을위한 Lax-Vendroff의 계획을 고려하십시오. Cauchy 문제에 대한 초기 조건은 다음과 같이 공급됩니다. u (x, 0) \u003d CH-2 (x). 그런 다음 Hopf 방정식은 첫 번째 필수 요소입니다. ...에 위의 구성표가 있는지 확인하십시오 전통적인...에 그 안에 그리드 수준에서도 동일한 보전법이 자동으로 수행됩니다.

비슷한 구성표를 사용하여 구축하십시오 특징적인 형식 Hopf 방정식 (3.9)의 기록. 그녀는 보수적이 될 것인가?

이 계획은 차임의 상태를 수행 할 때 조건부가 안정적입니다 (더 정확하게, 클리브 조건의 일반화)

여기서 아래에서 (3.7), F \u003d 0, 5U 2. 코스가 매우 부드럽고 그라디언트 재앙의 순간이 아직 오지 않은 순간에 충격파와 다른 틈이 없습니다.

Kuralta Scheme - Isakson - 쌀...에 청소년 사례에있는 사이러스 계획의 일반화 (사용 된 경우) 분기 된 형태 방정식 기록) 분명히.

체계는 차임 상태를 수행 할 때 안정적입니다.

일반화 lax Schemes - Vendroff. (Predictor Scheme - 교정기). Quasilinear 방정식의 경우 (가변 계수, 불균일 방정식 등의 선형 방정식)의 경우, Lax-Vendroff 방식은 더 복잡 해집니다. 빌드하려면 소위 하프 목적 점 (분수 인덱스가있는 점)을 입력해야합니다. 첫 번째 단계 (예측 자)에서는 반 목적 지점의 값이 위의 구성표에 따라 계산됩니다 - LAX 방식의 Quasilinear 사례에 대한 일반화 :

두 번째 단계 (보정기)에서는 Czechhard Scheme (가족 (3.8)에 포함되지 않은 십자형 패턴의 3 층 방식)을 사용합니다.

Laksa Scheme - Vendroff는 소위 소위에 속합니다. 본부 계획. 그 템플릿은 대칭입니다. 첫 번째 단계에서, 격자 함수의 값은 중간층 (TM-1/2, XM-1/2)상의 템플릿 선택, (TN + 1/2, XM + 1 / 2), 상단층의 용액이 두 번째 단계에서 계산됩니다. 점 (TN + 1, XM)에서. 이 계획은 차임의 상태를 수행 할 때 안정적입니다.

마찬가지로, 선형 비균 방정식을위한 Lax-Vendroff의 방식이 지어졌습니다.

Nezentral Mac - Kormak. (Predictor - 교정기).

위의 LAX - VENDROFF 체계로서 MCCORMACA 방식은 2 단계로 구성됩니다. Maccock Scheme을 구축하는 것을 고려하십시오 유니폼 방정식 (3.7). 첫 번째 단계 (예측 자)는 양식 을가집니다

그. "외장 오른쪽 구석"구성표가 사용됩니다. 두 번째 단계는 교정기입니다.

따라서 두 번째 "왼쪽 모서리"에서 "오른쪽 모서리"구성표에 따라 첫 번째 단계에서 계산됩니다.

또 다른 계획 Mac - Kormaka는보기를 가지고 있습니다

이러한 차이 방식은 호출됩니다 비센셜...에 그들의 이점에는 경계 조건이 간단한 반 목적 인덱스가 없어져 포함됩니다. Mac의 선형 사례에서 - Kormak Scheme는 Lax-Vendroff 체계와 일치합니다. 방식은 두 변수의 근사치에 대한 두 번째 절차를 가지고 있으며, 그 계획은 귀여운 상태가 수행 될 때 안정적입니다.

Rusanova Scheme. (세 번째 정확도의 중심 구성).

Rusan 방식의 구성을 위해, 하프 목적 점뿐만 아니라 분수 지표가있는 중간 점의 두 층도 도입되지만, Rusanov 방식의 첫 번째 단계 (층 1/3로의 전환)

그녀의 두 번째 단계는 "Czechhard"

그리고 세 번째 단계

첫 번째 단계에서는 "Crosshard"구성표 ( "Czechard")에 따라 두 번째로 LAX 방식에 따라 계산됩니다. 제 3 단계의 마지막 용어는 방식의 안정성 (부재, 4 번째 미분의 비례 차이점 근사치)을 보장하기 위해 도입됩니다.

이 방식은 차임 및 조건의 상태를 수행 할 때 조건부가 안정적입니다.

비센셜 온난화 제도 - Cutler - Lomax. 3 차 정확도의 순서.

첫 단계:

두 번째 단계 :

세 번째 단계 :

마지막 용어는 귀여운 조건을 수행 할 때 조건부가 안정한 계획의 안정성에 추가됩니다.

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성적 증명서.

러시아 연방 교육부 교육부 및 수학적 모델링 주립 대학교 및 수학 교수진 G. S. Khakimzyanov, S. G. 검은 계산 방법 4. 쌍곡선 유형 튜토리얼의 방정식 문제 해결 방법 Novosibirsk 014

3 BBK B.193 UDC X 16 재판매 촛불. 물리적 매트. Sciences A. S. Lebedev Edition은 국가 교육 기관의 개발을위한 프로그램 구현의 일환으로 직업 교육 "Novosibirsk State University"수년간. x 16 Khakimzyanov, G.S. 계산 방법 : 4 시간 : 연구에서. 허용 / G. S. Khatzyzyanov, S. G. BLACK; 노보시브. 상태 un-t. Novosibirsk : RIC NSU, 014. 제 4 부 : 쌍곡선 형식 방정식 문제를 해결하기위한 수치 방법. 07 p. ISBN 튜토리얼은 NSU의 역학 및 수학 학부에서 읽는 "계산 방법"강의 프로그램을 준수합니다. 네 번째 부분에서 초기 경계 가치 문제를 해결하는 수치 적 방법의 기본 사항은 쌍곡선 유형 방정식에 해결되고, 작업은 세미나, 테스트 작업 샘플 및 실제 운동을위한 작업에 대해 공식화됩니다. 이 설명서는 학생과 교사가 더 높은 수학적 특선을위한 교사를위한 것입니다. 교육 기관...에 ISBN BBK B.193 UDC C Novosibirsk State University, 014 C G. S. Khatzynanov, S. G. Black, 014

4 목차 선형 전달 방식의 서문 방식 차이 방식의 선형 방식의 차분 방식의 차동 근사치를 기반으로 한 단조 방식의 구축 발진 방정식의 전송 방정식 차이 방정식에 대한 적응 형 그리드에서의 차분 방정식 방정식 비선형 계수와의 방정식 방정식의 방정식 방정식의 방정식 비선형 얕은 수학원 시스템에 대한 차이 차이 차이 차이 방식의 주제 "전송 방정식의 차이 방식의 연구 개념 연구"작업 실험실 사업 답변, 지침, 솔루션 서지 목록

5 설명서의 네 번째 부분에있는 서문은 쌍곡선 유형 방정식에 대한 초기 경계 값 문제를 해결하는 수치 메소드의 기본 사항을 제시하고,이 주제에 대해서는 세미나를 위해이 주제에 공식화되어 있으며, 컴퓨터의 실용적인 연습을 위해서는 작업이 제공됩니다. 예. 테스트 작업...에 이론적 이슈가 충분히 짧게 제시됩니다. 고려중인 문제에 대한 더 깊은 연구를 위해서는 G. I. Marchuk, A. Samarsky, A. A. Samarasky와 A. V. Gulina, AA Samarsky와 Es Nikolaeva, BL Christmas and Nn Yanenko 및 NSU에 게시 된 교육 혜택. 강의는 특정 차이 방식 만 연구와 관련된 이론적 인 문제를 논의합니다. 예를 들어, 선형 전이 방정식, 첫 번째 순서의 비선형 스칼라 방정식, 문자열의 변동, 첫 번째 주문의 방정식의 선형 시스템, 비선형 얕은 물의 시스템의 방정식 방정식 및 가스 역학 방정식이 고려됩니다. 각 단락에는 세미나에서 해결해야 할 작업이 수반됩니다. 많은 작업에는 지침 및 세부 솔루션이 제공됩니다. 추가 자료 세미나 세션의 경우 작업에서 찾을 수 있습니다. 이 설명서는 작업 이행을위한 권장 사항, 프로그램 개발 및 결과의 표현과 관련된 문제가 논의되는 것과 관련된 문제가 주어진 컴퓨터 클래스의 실용적인 수업에 대한 작업의 예를 제공합니다. 추가 작업 당신은 꺼낼 수 있습니다 체계 매뉴얼 ...에 혜택의 네 번째 부분은 단락 및 도면 및 독립적 인 서지 목록의 독립적 인 패스 절단 번호가 있습니다. 수식 및 진술 (lemmas 및 정리)의 단락에서 2 인덱스 번호 매기기가 사용되었습니다. 예를 들어 4. 수식에 대한 참조, lemmas, 숫자의 이전 세 부분의 이론은 번호 1에 숫자를 추가하여 주어집니다. 또는 3. 예를 들어, "수식 (4.)에 따라"해당 설명서에서 "정리 8.3" ""Theorem.8.3 "대신"공식 (1.4.)에 따라 "쓰는 대신" 저자들은 귀중한 조언을위한 리뷰어 알렉산더 스테나노 비치 Lebedev에 대한 깊은 감사를 표현하고 중요한 의견이 개선에 기여한 사람 지도 시간. 4

6 1. 선형 전달 방식 1.1. 쌍곡선 시스템 이론의 일부 정보. 첫 번째 주문 U T + A u \u003d f (x, t)의 차동 방정식의 선형 시스템에 대한 Cauchy 문제를 고려하십시오.< x <, 0 < t T, x u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.1) Здесь u = (u 1,..., u m) T m-мерная вектор-функция переменных x, t, A вещественная m m матрица с элементами a i (x, t). Определение. Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точке этой области собственные значения λ 1, λ,..., λ m матрицы A вещественны и различны. Определение. Интегральная кривая x = x k (t) обыкновенного дифференциального уравнения dx dt = λ k(x, t) (1.) называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1). Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λ k. Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t > 0) 시간 t를 감소시키는 방향으로, OX 축을 m 다른 점으로 교차시킵니다. 쌍곡선 시스템의 자체 값 (1.1) (λ1 (x, t)< λ (x, t) <... < λ m (x, t)) и через обозначим отрезок оси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первой характеристиками. Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системы уравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = x m (t), x = x 1 (t) и отрезком . Область зависимости точки (x, t) изображена на рис. 1, а. Решение u системы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u 0 (x) на 5

7 세그먼트. 따라서 세그먼트 외부의 초기 데이터가 다른 것으로 변경되면 지점 (x, t)의 솔루션이 변경되지 않습니다. 정의. 점 (x 0, 0)의 효과 영역은 상반한 반면의 포인트 (x, t)의 집합이며, 시스템의 극한 특성으로 경계가있는 (x 0)에서 확장되는 시스템 (1.1) , 0), 즉 자신의 값 λ1 및 λm에 해당하는 특성. 점 (x 0, 0)의 영향 영역은도 2에 도시된다. 1, b. 초기 데이터가 지점 (x 0, 0)에서만 변경되면 쌍곡선 시스템의 솔루션은 점 (x 0, 0)의 효과 영역에 속한 점 (x, t)에서만 변경됩니다. 짐마자 이제는 Cauchy Problem (1.1) 대신 세그먼트에서 초기 경계 작업을 해결해야합니다. 그런 다음 초기 조건 외에도 경계 조건을 설정해야합니다. 각 경계의 경계 조건의 수는 내부의 특성의 양에 의해 결정됩니다. 예를 들어, 왼쪽 경계 x \u003d 0을 통해 M 0의 특성이 포함 된 경우, eigenvalues \u200b\u200bλk의 I.E. m0는 x \u003d 0에서 양성이며, 경계 조건의 M 0은이 경계에서 설정되어야합니다. 경계 x \u003d L에서 음수 고유 값의 수는 m L이므로 정확히 M L 특성이 오른쪽 경계를 통해 영역에 들어가고,이 경계에서 M L 경계 조건을 설정해야합니다. 고유 값은 시간에 의존하기 때문에 각 경계의 경계 조건의 수는 시간에 따라 다를 수 있습니다. T DX DT \u003d M λ m (x, t) DX DT \u003d λ 1 T DX DT \u003d λ1 DX DT \u003d M λ x L A x rx (x 0,0) b x 1. 방정식 시스템의 특성 (1.1), 점 (x, t) (a) 및 점의 영향 (x 0, 0) (b) 6의 영향의 의존성을 제한하는 것

8 우리는 이제 일정 계수가있는 방정식 쌍곡선 시스템 (1.1)을 고려합니다. 영구적 인 매트릭스 A의 경우 자체 벡터와 고유 값은 일정합니다. I.E.E.E.에 의존하지 마십시오. L λk : L K A \u003d λk L K (k \u003d 1, ..., m)에 해당하는 매트릭스 A의 매트릭스의 매트릭스의 k 번째 왼쪽이되도록하십시오. 왼쪽에있는 시스템 (1.1)을 벡터 LK로 곱하기 : 또는 여기서 lkut + l ka ux \u003d 0이 방정식은 다음과 같은 형태로 작성할 수 있습니다 : lkut + λ klkuxskt + λ skkx \u003d 0, \u003d 0, (1.3) SK \u003d lku, k \u003d 1, ... m. (1.4) 방정식 (1.3)의 용액 SK (x, t)가 변하지 않은 특성을 따라 옮겨 지므로 황소와의 K-OH 특성의 교차점에서 SK의 초기 값에 의해 T\u003e 0에서 계산된다. 축 : SK (x, t) \u003d SK (X λ KT, 0). (1.5) 함수 s k는 Riemann 불변단이라고합니다. 1 .. 얕은 물의 선형 모델. 표면파로 유체의 움직임을 설명 할 수있는 가장 간단한 수학적 모델은 얕은 물의 선형 모델입니다 : η T + U 0 \u003d 0, (1.6) Xut + G η \u003d 0, (1.7) x η ( X, 0) \u003d 0 (x), u (x, 0) \u003d U 0 (x), (1.8) 미끄럼 덩어리 수준에 걸친 액체의 표면의 η (x, t) η (x, t) η (x, t) (x, t) (그림 참조) , u (x, t) 유체 속도, η 0 (x) 및 u0 (x) \u003d 0, 0 \u003d 풀의 초기 모멘트에서의 ρ 0 (x) 및 속도, 풀의 G \u003d FREE FALL의 G \u003d COND 가속화 ...에 7.

9 방정식 (1.6)의 시스템 (1.7)은 매트릭스 A와 솔루션의 벡터가있는 균질 시스템 (1.1)의 형태로 작성 될 수 있습니다. A \u003d (0 0 0 0) (η, u \u003d u) 짐마자 (1.9) 매트릭스 A는 2 개의 상이한 유효 고유 값을 갖는다 λ1 \u003d C 0, λ \u003d C 0 \u003d G 0, (1.10), 수학 식 1.6 (1.6), (1.7)의 시스템은 쌍곡선 유형을 갖는다. 특성의 방정식 (1)은이 유형을 취합니다 : DX DT \u003d C 0, DX DT \u003d C 0, (1.11) 따라서 특성은 직선이다. 점 (x, t), t\u003e 0을 통과하는 특성은 점 x L과 x r에서 옥등 축에 의해 교차되어 있으며, 여기서 x L \u003d x C 0 t, x r \u003d x + c 0 t. (1.1) 자신의 값 (1.10)에 해당하는 매트릭스 A의 섭식을 섭취하면 수식 L 1 \u003d (C0, 0), L \u003d (C 0, 0)에 의해 설정됩니다. (1.13) y 0 η y \u003d (x, t) lxy \u003d - 0 쌀 .. Riemann Invariants r \u003d s 1의 관계에 따라 수직 벽으로 수직 벽이있는 수영장에서 파도의 분포 및 변형의 문제점 지정 , s \u003d s 및 초기 의존적 변수는 수식 R \u003d C 0 η 0 U, s \u003d c 0 η + 0 u, (1.14) 8에 의해 주어진다.

10 η \u003d R + SC 0, U \u003d SR 0 (1.15)에서 식 (1.14)으로부터 수식 (1.14)으로 인해 불변단 R (X, T) \u003d R에서의 Cauchy 문제를 해결하기위한 공식을 얻는다. (X λ1 T, 0) \u003d R (x + C 0 T, 0) \u003d C 0 η 0 (XR) 0 U 0 (XR), (1.16) S (X, T) \u003d S (X λ T, 0) \u003d S (XC 0 T, 0) \u003d C 0 η 0 (XL) + 0 U 0 (XL). (1.17) 그리고 마지막으로 관계를 사용하여 (1.15), 우리는 Cauchy 문제 (1.6)의 정확한 용액을 얻는다 (1.6), (1.7), (1.8) η (x, t) \u003d η 0 (xl) + η 0 (xr) + 0 U0 (XL) U 0 (XR), C 0 U (X, T) \u003d U 0 (XL) + U 0 (XR) + C 0 η0 (XL) η 0 (XR). 0 (1.18) 문제의 초기 경계 작업을 해결할 때 세그먼트의 각 끝에 한 조건을 넣을 필요가 있습니다. 우리는 예를 들어, 분지의 벽이 액체에 대해 탁월 할 수 있다고 가정 할 것입니다. 이는이 벽의 유체의 속도의 평등 0을 의미합니다 : u (0, t) \u003d u (l, t) \u003d 0. (1.19) 제한된 풀에서의 표면파가있는 유체의 움직임에 대한 최종 형태로 최종 형태로 작업의 수학적 공식화를 제공하겠습니다. 폐쇄 영역에서 연속을 찾으려면 D \u003d 용액 η (x, t), u (x t) 다음 초기 경계 문제 η t + u 0 x \u003d 0, ut + g η \u003d 0, 0< x < l, 0 < t T, x u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 t T, η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.0) 1.3. Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана, 9

동시에, Riemann 불변단의 방정식은 서로 의존하지 않으며 각각의 각각은 양식 + au x \u003d 0, a \u003d const가있다. (1.1)이 방정식은 가장 간단한 쌍곡선 방정식이며 선형 전송 방정식이라고합니다. 이 방정식에서는 방정식의 쌍곡선 시스템을 해결하는 데 사용되는 차이 방식의 특성을 연구 할 수 있습니다. 선형 전달 방정식 (1.1)을 고려해야합니다. Cauchy 태스크 U T + AU x \u003d 0,< x <, 0 < t T, u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.) Характеристика x = x(t) уравнения (1.1) определяется уравнением dx dt = a, (1.3) т. е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точное решение задачи Коши определяется по формуле u(x, t) = u 0 (x at). (1.4) График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a > 0 및 그 반대의 경우도 좋습니다). 일정한 계수 A가있는 전송 방정식의 경우 초기 바인딩 된 작업에 대해 정확한 솔루션을 쉽게 작성하는 것이 쉽습니다. 예를 들어, a \u003d const\u003e 0으로, 다음 시작 작업 U t + au x \u003d 0, 0이 올바른다.< x l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.5) Легко проверить, что если u 0 (x) и µ 0 (t) дифференцируемые функции, то решение задачи (1.5) определяется формулой u(x, t) = { u0 (x at) при t x/a, µ 0 (t x/a) при t x/a. (1.6) 1.4. Явная противопоточная схема. Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса. 10

12 초기 경계 값 문제 U T + AU x \u003d F (x, t), 0에 대한 유동 (유동 방지 방식)에 대한 차이가있는 명시 적 회로로 시작합시다.< x l, 0 < t T, a = const > 0, U (0, t) \u003d μ 0 (T), 0 T T, U (X, 0) \u003d U 0 (X), 0 X L, U 0 (0) \u003d μ 0 (0). (1.7) 우리는 폐쇄 영역을 덮는 균일 한 메시 만 고려해야합니다. D \u003d. 우리는 다음의 차이를 제작하지 못합니다. + A 싱글 1 \u003d Fn, \u003d 1, ..., n, un 0 \u003d μ N 0, n \u003d 0, ..., m, u 0 \u003d u 0 (x), \u003d 0, ..., n, (1.8) ORDER O (+)로 작업 (1.7)을 근사화합니다. 이전과 같이이 계획은 연산자 형식으로 작성 될 수 있습니다. L U \u003d F. 이 이름은 액체 또는 가스의 흐름을 나타내는 방정식 시스템의 모델 방정식으로서 전송 방정식을 고려하고, 유체 속도로 계수 A를 식별 한 다음, 양의 속도로, 즉, A\u003e 0에서, Scheme에서 "흐름"(업스트림 위치)에 대한 노드 x 1을 사용한 왼쪽 차이 유도체. 우리는 그리드 기능의 공간에서 균일 한 표준을 소개하고 오른쪽 부분의 공간 F : ff (\u003d max uu max nun c \u003d max 0 n un 유엔, \u003d Unc, (1.9)) μN 0, (u 0) C, 최대 FNN C, (1.30) Fn C \u003d 최대 1NFn 균일 한 표준은 계층 T \u003d T N. 최대 원리의 도움으로 다음 주장을 증명할 수 있습니다. 정리 1.1. 조건 수행 1 (1.31) 11.

13은 대향 방식 (1.8)의 안정성이 균일 한 표준에서 충분하다. D o k a와 t et in inter. x는 번호 1N이있는 그리드의 노드가되도록하자.이 노드의 회로의 차이 방정식 \u003d (1 R) U N + RU N 1 + F n, 여기서 r \u003d a /. 정리의 조건에서 1 R 0이므로 다음과 같은 추정치 (1 R) UN + RUN 1 + Fn (1 R) UN C + RUN C + Fn C UN C + MAX MFM C가 공정하게 될 것입니다. (1 R) UN C + MFM C. 경계 노드에서 우리는 다음 등급을 가지고 0 \u003d μN + 1 0 최대 m μm 0. 따라서 이러한 불평등의 왼쪽 부분의 최대 값은 2 개의 숫자의 최대 2 개를 초과 할 수 없습니다 이러한 불평등의 오른쪽 부분 : (C Max Max M) μm 0, UN C + Max FMM C 가며, 이것은 최대 원리입니다. 제공된 (1.31), Scheme (1.8)가 최대 원리를 만족시키는 것을 수신했다. 그러므로 (3.1.1 사실 3.1.1 참조) 초기 데이터에 따라 균일 한 표준으로 내성이있을 것입니다. 지역 조건 그리고 오른쪽에. 동일한 조건 (1.31)은 네이맨의 안정성의 스펙트럼 징후로부터 뒤 따르는 방식 (1.8)의 안정성에 필요한 조건이다. 우리는 그것을 증명합니다. 고조파 U N \u003d λ N E I Iφ (1.3)를 가져 가서 균일 한 차이 방정식으로 대체하십시오. 그 결과, 전이 요인에 대해, 우리는 결과적으로 방정식을 얻고, λ \u003d 1R (1 eφ) \u003d 1 r (1 cos φ) IR φ φ. λ \u003d 1 R (1 cos φ) + r (1 cos φ) + r sin Φ \u003d 1

14 \u003d 1 R (1 cos φ) [R (1 cos φ) R (1 + cos φ)] \u003d 1 r (1 cos φ) (1 r). 제한 전환 R \u003d A \u003d A \u003d A \u003d A \u003d Const의 법과 관련이 있다고 가정합니다. (1.33) 고유 값 λ (φ)는 의존하지 않으므로 네이이만의 안정성을위한 필요한 조건이 요구 또는 λ (φ) 1, φ R (1.34) r (1 cos φ)으로 감소된다. (1 R) 0, φ R. (1.35) 분명히,이 불평등은 A\u003e 0 조건 (1.31)에서 동등합니다. 따라서, A\u003e 0에서의 조건 (1.31)은 균일 한 표준에서 반대 방식의 안정성에 필요한 충분한 조건이다. A.< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см. задачу 1.1). Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задача u t + au x = f(x, t), 0 x < l, 0 < t T, a = const < 0, u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (l) = µ l (l). (1.36) Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схему u n + a un +1 un = f n, = 0,..., N 1, u n N = µn l, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.37) которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.36) с порядком O(+). Используя принцип максимума и спектральный признак Неймана, можно показать, что схема (1.37) при a < 0 будет устойчива при выполнении условия a 1. С другой стороны, при a > 0 Scheme (1.37)은 절대적으로 불안정합니다 (작업 1 참조). 13.

따라서, 우리는 Aunun + Aunun + 유엔 +1 UNI의 일정한 계수를 가진 전송 방정식의 차이에 대한 흐름에 대한 차이가있는 두 가지 조건부의 안정적인 명시 적 계획을지었습니다. 불평등 \u003d Fn을 수행 할 때 내성이 있습니다. , a\u003e 0, \u003d fn이면 A.< 0. (1.38) a 1. (1.39) Во внутренних узлах сетки противопоточную схему (1.38) можно записать в виде одного уравнения u n + a + a u n un 1 + a a u n +1 un = f n. (1.40) Аналогично выглядит явная противопоточная схема и в случае знакопеременного коэффициента a(x, t). Например, если на границах отрезка выполнены условия a(0, t) > 0, A (l, t)< 0, 0 t T, то получим такую противопоточную схему где u n + a + un un 1 + a un +1 un = f n, = 1,..., N 1, u n 0 = µ n 0, u n N = µ n l, n = 0,..., M, (1.41) u 0 = u 0 (x), = 0,..., N, a + = an + a n, a = an a n, (1.4) которая аппроксимирует с порядком O(+) начально-краевую задачу u t + a(x, t)u x = f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.43) 14

16 최대 원리의 도움으로 반대 방식 (X, T)의 반대 방식 (1.41)의 저항에 충분한 조건 최대 A (x, X, T)의 저항을 위해 충분한 문제를 증명할 수 있습니다. , t) 1. (1.44) x, t 1.5. Lax Scheme. 또한, 단순화를 위해, 우리는 균일 한 ITH + AU x \u003d 0 전송 방정식으로 초기 가장자리 문제 (1.7)를 고려할 것입니다. (1.45) LAX 방식에서, 차이 방정식, 근사 전송 방정식 (1.45), SO 0, 5 (UN +1 +) 유엔 1 + A UN +1 UN 1 \u003d 0, \u003d 1, ..., n 1. (1.46) 로컬 근사치 오류에 대해, 우리는 표현 ψ n, \u003d u TT U XX + ... 따라서, AT \u003d O () LAX 방식은 전송 방정식을 근사하지 않으며 한계 전환 법칙으로 R \u003d A \u003d A \u003d Const (1.47)는 주문 O (+ 짐마자 따라서, 근사치는 단계와 즉, LAX 체계가 조건부 근사 체계의 클래스에 속한다. 전환 배율의 경우, 우리는 화학식 λ (φ) \u003d cos φ φ in φ를 얻는다. 결과적으로, 한계 전이 (1.47)의 법칙으로 LAX 방식의 필수 안정성 조건은 불평등 R1, 즉 1. (1.48) 15를 수행하는 것입니다.

17 1.6. Laksa Vendroff Scheme. 이 구성표의 차이 방정식은 U + 1/0, 5 (UN +1 +) UN + A +1 UN \u003d 0, / UN + AU + 1 / (1.49) U1 / \u003d 0입니다. LAX Vendroff는 2 단계 방식의 가족을 나타냅니다. 이 방식에서, 먼저 반기 공기 노드 x + 1 / \u003d x + /에 따라, 시간 t n + /와 관련된 보조 값 U + 1 /이 계산된다. 그런 다음 두 번째 단계에서 원하는 그리드 기능의 값을 (N + 1) -M 층에서 계산 하였다. 2 단계 방식의 근사 및 안정성에 대한 연구를 위해, 예외는 보조 값 U의 방식으로부터 미리 결정된다. 예외의 결과로, 우리는 Lax Vendroff U N + A +1 UN 1 \u003d UN +1 UN + UN 1, (1.50)의 일단 단계 방식을 확인하고, 이송 방정식을 근접합니다 (1.45 ) 소프트웨어의 두 번째 순서와. 전이 요인을 위해, 우리는 이러한 표현 λ \u003d 1 IR sin φ r sin φ를 가지고 있습니다. 따라서, 안정성 λ1의 요구 조건은 불평등 (1 R SiN φ) + R SiN φ1 또는 1 4R SiN φ + 4R4 SiN 4 φ + 4R SiN φ (1 SiN φ) 1의 구현과 동일합니다. 마지막 불평등은 조건 R 1과 동일합니다. 따라서 LAX Vendroff 방식의 안정성에 필요한 조건은 LAKS 다이어그램 소산 및 분산의 안정성의 전제 조건 (1.48)과 일치합니다. 전달 방정식 U T + AU x \u003d 0, a \u003d const (1.51) 16과 함께

18 더 많은 방정식을 고려하십시오. u t + au x \u003d μu xx, μ \u003d const\u003e 0, (1.5) U t + au x + νu xxx \u003d 0, ν \u003d const. (1.53)이 방정식에 대한 Cauchy 문제의 초기 기능이 일련의 푸리에 U (x, 0) \u003d M B M e IMX의 형태로 보입니다. (1.54) 우리는 변수 U (x, t) \u003d bm λ te imx \u003d bmum (x, t), (x, t)의 고조파를 함께 \u200b\u200b분리하여 각 방정식의 용액을 찾을 것입니다. 파 서기 (x, t) \u003d TE IMX, (1.56) λ는 정의 대상이됩니다. 고조파의 실제 및 가상 부분은 M-WAVES이며, 그 길이 L은 화학식 L \u003d πm의 파수와 관련이있다. (1.57) 방정식 (1.51) (1.53)은 선형이므로 각 고조파의 거동은 독립적으로 간주 될 수 있습니다. 고조파를 파수 숫자 M으로 전송 방정식 (1.51)으로 대체하면, 우리는 얻거나 (λ) + AIM \u003d 0 λ \u003d e 목표를 얻습니다. 따라서 고조파 (1.56)가 전달 방정식의 용액 인 경우, ξ \u003d x에서 ξ \u003d x를 나타내는 형태가 있고, 우리는 UM (x, t) \u003d EM (x at)을 얻습니다. (1.58) U m (x, t) \u003d e im \u003d u m (ξ, 0). (1.59) 17.

따라서, 언제든지 T\u003e 0에서, 고조파 UM은 AT에서 초기 고조파의 시프트에 의해 얻어진다. 결과적으로, 전달 방정식은 그들의 길이에 관계없이 그 형태를 왜곡시키지 않고 일정한 속도 v m \u003d a로 전파되는 M-WAVES 움직임을 기술한다. LN (λ) + AIM \u003d μm 또는 λ \u003d e AIM μM, 즉이 경우의 고조파가 양식 음을 가지고있는 경우 두 번째 방정식 (1.56)이 두 번째 방정식 (1.56)의 용액이 될 것인지 확인하는 것이 쉽습니다. (x, t) \u003d e μMT EM (x at). 따라서 모든 고조파의 경우 웨이브 진폭의 감쇠가 있습니다 (파손). m \u003d π / l 이래로, 짧은 파도가 길게보다 빨리 고정됩니다. 속도 v는 파동의 전파가 파장에 의존하지 않으며 여전히 a입니다. 파손의 경우, μU xx의 부재는 두 번째 솔루션의 제 2 유도체에 책임이있다. 마지막으로, 방정식 (1.53)에 대한 고조파 치환은 LN (λ) + AIM + ν (IM) 3 \u003d 0 또는 λ \u003d E IM (ANK), UM (x, t) \u003d EM (x (a νm) t). 따라서, 세 번째 방정식은 진폭을 변경하지 않고 파동 움직임을 나타냅니다 (소산없이). 그러나 그 전파 속도는 파장 v m \u003d A νm에 따라 다릅니다. (1.60)이 공식에서 다른 길이의 파도가 다른 속도로 확산 된 파도 (파도가 분산 된)를 볼 수 있습니다. 더 중요한 변화는 단파 섭동의 전파 속도 (큰 M)입니다. 파도의 분산은 νu xxx의 멤버에 의해 ~의 제 3 유도체로 응답된다. 십팔

20 개별 고조파의 행동을 고려할 때, 우리는 이제이 방정식에 대한 Cauchy 과제의 결정 (1.55)의 질적 행동을 예측할 수 있습니다. 예를 들어, 초기 함수 U (x, 0)는 단계 (1, x 0, u (x, 0) \u003d (1.61) 0, x\u003e 0 및 a\u003e 0. 0의 분해의 유형이 있습니다. 푸리에 시리즈 (1.54)에서는 전체 고조파 집합을 포함합니다. 전송 방정식 (1.51)에 대한 Cauchy 문제의 해결책은이 형태로 u (x, t) \u003d mbme im (x at) \u003d mbme im \u003d \u003d u (ξ, 0), (1.6) IE 태스크의 문제는 초기 프로파일의 속도로 움직일 것입니다. 해결책 U (X, T) \u003d MBME μMT E IM (x at) \u003d MBME μMT EM \u003d ( 1.63) 방정식 (1.5)의 Cauchy 작업 (1.5) 짧은 파도가 강하게 망할 소산 부재가있는, 그것은 번짐 단계의 형태를 가질 것입니다. 마지막으로 해결책 U (x, t) \u003d mbme im (x (νm) t ) (1.53)의 수학 식 1.64), 다른 길이의 파도가 다른 속도로 움직이는 비 - 단조로운, 진동 특성을 갖는다. 화학식 (1.60)에 따르면, ν\u003e 0, 작은 길이의 파도 큰 길이의 파도보다 m.nachy의 속도를 가지며 ν와 함께< 0 наоборот. Поэтому осцилляции будут отставать от основного решения (описываемого первыми гармониками) при ν > 0 및 그에 따라 ν를 앞두고 이동하십시오< Дифференциальное приближение разностной схемы. Вернемся к численному решению задачи Коши для уравнения переноса (1.51). В качестве начального профиля возьмем ступеньку { 1, x x0, u(x, 0) = (1.65) 0, x > x 0 19.

21 우리는 명시 적 정전기 방식 UN + A UN Single 1 \u003d 0, A \u003d Const\u003e 0. (1.66)을 결과적으로 계산하여 얇은 단계의 형태로 용액을 얻습니다 (그림 3) 즉, 결정은 분산 부재와 함께 방정식 (1.5)의 용액과 동일하게 될 것입니다. 무슨 일이야? 결국, 우리는 퇴화 방정식을 해결하기를 원했습니다. 이는 분산 부재가 없었습니다. 사실은 우리가 수치 적으로 옮겨 졌다는 것입니다. 이는 전송 방정식이 아니라 차이 방식의 해결책입니다. 따라서 근사화 된 차동 방정식 및 근사 차이 방정식의 해결책의 특성은 일치하지 않을 수 있습니다. 이 경우 차이 방정식의 특성을 예측하는 방법은 무엇입니까? Y x 30 그림. 3. Time T \u003d 1 (1)에서 카운터 - 흐름 회로 (1.66)를 사용하여 얻은 정확한 용액 (바 라인) 및 수치 용액 (실선)의 그래프; t \u003d 8 (); T \u003d 15 (3). a \u003d 1; x 0 \u003d 10; a / \u003d 0, 5 이것은 차등 근사의 방법을 사용하여 수행 할 수 있으며, 이제는 함께 가져올 것입니다. 이 방법의 본질은 연구 차이 방정식의 모든 속성을 갖춘 특수 차동 방정식을 특수 차동 방정식으로 대체하는 것입니다. 따라서 차이 방정식을 연구하는 대신이 차동 방정식에 의해 조사되어 많은 경우 훨씬 쉽습니다. 차분 방정식에 해당하는 차동 방정식을 얻는 것은 차이 연산자가 근사 가능한 차동 연산자와 동일한 기능 공간에서 작용하는이 소위 이론 차이 방식의 형태 로이 차이 방정식의 기록에서 시작됩니다. 예를 들어, 차이 방정식 (1.66)은 다음 이론적 차이 0의 형태로 작성됩니다.

22 Schemes u (x, t +) u (x, t) u (x, t) u (x, t) + a \u003d 0 (1.67) 이러한 방식의 용액은 기능 U (x, t) 지속적인 인수 X 및 T의 방정식 (1.66)은 그리드 노드에서만 정의되는 그리드 기능 U입니다. u (x, t)가 이론적 차이 체계의 해결책이 될 수있게 해주십시오 (1.67). 우리는이 구성표로 대체하고 테일러 공식을 사용하여 함수의 값과 그 파생물의 값을 통해 u (x, t +) 및 u (x, t)를 표현합니다. 결과적으로, 우리는 차이 방식 (1.67) U T + AU x + U TT + 6 U TTT A U XX + A 6 U XXX + ... \u003d 0 (1.68) 정의와 동일한 차동 방정식을 얻습니다. 이론적 차이 방식 (1.67)의 용액 U (X, T)의 테일러 화학식에 의해 분해 된 후에 얻어진 무한 순서 (1.68)의 차동 방정식은 차이 방식 (1.66)의 차동 표현이라고 불린다. 차이 방식의 일부 특성은 이미이 차동 표현에 의해 조사 될 수 있지만, 우리의 목적으로는 근사한 방정식에 들어가는 모든 시간 파생 상품을 제외하고는 (1.68)의 예외로 인한 차동 표현의 또 다른 형태를 사용하는 것이 더 편리 할 것입니다. (1.51), e. u를 제외하고. 예를 들어 주문 멤버에서 파생 상품을 제외하는 방법을 보여주십시오. 이렇게하려면 방정식 (1.68)을 다시 작성하여 혼자 O () 및 o () UT + Au X + U TT + 6 U TTT AU XX + A 6 U XXX \u003d O () (1.69)를 고려하십시오. 그리고 얻은 방정식 유제품을 사용하여 발견 할 것입니다 : UT + AU XX A 6 U XXX + O (1.70)이 파생물 (UT) T 함유 \u200b\u200b방정식 (1.69)의 조건에 대한이 파생물 대체 및 (UT) TT. 제 2 및 제 3의 파생 상품에서 계수의 작은 계수의 순서를 고려하여, 우리는 (u t) t 1에서 그것을 얻는다.

23 O (+) : UT \u003d AU XU TT + AU XX + O (+), (1.71) 및 (UT) TT의 정확도로 계산 된 유도체 (1.70)를 O (1.70)의 정확성으로 대체하기에 충분합니다. +) : UT \u003d AU x + o (+). (1.7) 이러한 치환의 결과로, 방정식 (1.69)은 다음과 같은 형태를 취할 것이다 : UT + Au x + (Au xu TT + A) U xx + T 6 (aux) tt \u003d \u003d au xx a 6 U XXX + O (), 또는 UT + AU XAU TX 4 U TTT + A 4 U TXX A 6 U TTX \u003d AU XX A 6 U XXX + O (). (1.73) 방정식 (1.69)에 대한 대체 후, 방정식 (1.73)으로 더 많은 조치를 취해진 다. 이제 방정식 (1.73)으로부터 결정된 UT 유도체를 동일한 방정식의 네 가지 약관으로 대체 할 필요가 있습니다. UT + AU XA (AU X + AU TX + AU XX) x 4 (AU x) TT + + A 4 (AU x) xx a 6 (aux) tx \u003d au xx a 6 u xxx + o (). 좋아하는 것을 가져온 후에는 UT + AU XA 방정식 1 U TXX + A 4 U TTX \u003d A (A) (1 R) U XX + AU xxx + o (), 6 (1.74)을 얻을 수 있습니다. (1.69) 두 번째 시간 파생 상품 없음. 남은 (1.74) 혼합 된 유도체 U TXX와 U TTX는 평등 (1.7)을 기초로 계산합니다 (1.7) : u txx \u003d au xxx + o (+), u ttx \u003d a u xxx + o (+). (1.75)

따라서, 차동 표현 (1.74)은 u t + au x \u003d A (1 r) U xx A 6 (R3R + 1) u xxx + o ()를 형성한다. (1.76) 따라서 우리는 시간 파생물을 학위로 제거하고 있습니다. 그러나 T의 파생 상품은 오랫동안 오른쪽 부분에서 오래된 학위로 남아 있었다 (). 설명 된 절차를 더 이상 계속하면,보기 (1.68)에서 시간 파생 상품을 임의로 고순도로 제거 할 수 있습니다. 결과적으로, 우리는 형태 또는 UT + Au x \u003d A (1 r) U xx + A 6 (1 r) (r 1) U xxx + ... (1.77) UT + AU x \u003d k \u003d kkux k. (1.78) 정의. 무한 순서 (1.78)의 방정식은 차이 방식의 차별적 표현의 형태라고합니다. 그가 근사치 γ 1 및 γ 소프트웨어의 명령을 가지고 있고 그에 따라 차이점을 보유하고 있습니다. 정의. 순서 O (γ1 + 1, γ + 1)의 부재를 버리고 차이 방식의 첫 번째 차동 근사 (p.)라고 불리는 차동 표현의 p- 형태로부터 얻은 미분 방정식. 반대 방식 (1.66)의 경우 (1.66) p. P. 그것은 두 번째 순서 차동 방정식 UT + AU x \u003d μu xx, μ \u003d a (1 r), (1.79), 식 (1.5)과 일치하는 퇴화 부재. 따라서, R1에서 우리의 방식은 근사 전송 방정식에서 근사 또는 회로 점도라고 불리는 점도 (소산)를 암시 적으로 도입합니다. 근사 점도의 존재와 초기 단계의 방전을 유도합니다. 정의. 그 단락의 존재로 인한 차이 체계의 재산. N. 심지어 순서의 파생물을 수치 소산이라고합니다. 삼.

Lax Vendroff의 차이 방식의 차동 표현의 25 p 형태는 UT + Au x \u003d A 6 (1 R) U XXX A3 8 R (1 R) U XXXX + ... 및 p. D . UT + AU x + νu xxx \u003d 0, ν \u003d a 6 (1 R) (1.80)은 분산 멤버가있는 방정식 (1.53)과 일치합니다. 결과적으로, R1에서, Lax Vendroff 방식은 근사 변속기 방정식에 암시 적으로 분산되어 있기 때문에 차이 방식 용액이 진동 될 수있다 (도 4). y 그림. 4. Time T \u003d 1 (1)에서 Lax Vendroff 방식을 사용하여 얻은 정확한 용액 (바 라인) 및 수치 용액 (실선)의 그래프; t \u003d 8 (); T \u003d 15 (3). a \u003d 1; x 0 \u003d 10; a / \u003d 0, 5 정의. 그 p. D. 홀수 순서의 유도체를 유도하는 차이 방식의 특성을 수치 분산이라고합니다. 우리의 추론을 요약합시다. 원활하게 변화하는 솔루션을 사용하는 작업의 경우 고주파 고조파가 작 으면 기여하는 것은 LAX Vendroff 방식의 정확도가 반대 방식의 정확도보다 높습니다. 우리가 솔루션이 급격히 변화하는 단일톤 프로파일을 가진 문제를 해결하면, 1 차 반 트랜잭션 방식을 사용하면 단조로운 비 - 부족 프로파일을 제공하지만 강하게 부드럽게 부드럽게 만듭니다. 이것은 수치 소산의 작용의 결과입니다. 수치 적 분산을 갖는 LAX Vendroff 방식은 브레이크 주위의 수치 적 용액 또는 비 물리적 진동에 의해 왜곡 된 솔루션의 예리한 변화의 비 - 단조로운 프로파일을 제공 할 수 있습니다. x 4.

26 Z 및 D 및 H 및 1.1. A. 일 때< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива. 1.. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явная схема для уравнения (1.1) u n + a un +1 un = 0, n = 0,..., M 1, = 0, ±1, ±,... (1.81) при a > 0 네이미네스 스펙트럼 방법의 도움으로 절대 불안정한 3 층 스키마 "도약 개구리"(오버 패닝, 구성표를 가진 계획 ") 공정학 (1.1) 유엔 1 + +1 유엔 1 \u003d 0, n \u003d 1, ..., m 1, \u003d 0, ± 1, ±, ..., (1.8) 양식 (1.33)에서 한계 전환법이 지정된 경우 중심의 차이가있는 명시적인 회로의 근사치 UN + 1 +1 UN 1 \u003d 0, (1.83) 전송 방정식 (1.1)으로 구성됩니다. 제한 전환법이 A \u003d Const로 지정된 경우 Neiman Spectral 방식을 사용 하여이 계획의 안정성을 탐색합니다. (1.84) 1.5. Majaran Scheme U N + A UN +1 UN 1 \u003d UN +1 UN + UN 1, (1.85)의 UN +1 UN + UN 1, (1.1)의 근사치를 결정합니다. 제한 전환법이 양식 (1.84)으로 지정된 경우, 네이미안 스펙트럼 방식을 사용 하여이 계획의 안정성을 탐구하기 위해이 계획의 안정성을 탐색합니다. 다섯

27 1.6. MCForms U UN + A +1 un \u003d 0, 0, 5 (U +) UN / + A U U 1 \u003d 0, (1.86)의 MCForms 맵의 근사치의 근사치를 전송 방정식 (1.1)으로 구성하여 구성합니다. 유엔 + σa 유엔 (1 σ)의 가중치로 상대 방식의 근사치를위한 절차를 결정하기 위해 한계 전환법이 양식 (1.84)에 명시된 경우 뉴런의 스펙트럼 방법을 조사하기 위해이 계획의 안정성을 조사하기 위해이 계획의 안정성을 조사합니다. 유엔 단일 1 \u003d 0, (1.87) 계수 a\u003e 0으로 전달 방정식 (1.1)에 대해 제작 된 넷 1 \u003d 0, 0의 스펙트럼 방식을 사용하여 한계 전이법이 한계 전이법 인 경우 회로의 안정성 (1.87)의 안정성을 철회하십시오. 최대 원리를 사용하여 양식 (1.84)에 명시되어 암시 적 정전기 방식의 균일 한 표준의 안정성을 조사하여 UN + 1 1 \u003d f n + 1, \u003d 1, ..., n, 유엔 0 \u003d μ 0, n \u003d 0, ..., m, u 0 \u003d U 0 (x), \u003d 0, ..., n, (1.88) 문제를 위해 제작 된 (1.7) 최대 원리를 사용하여 UN 1 \u003d Fn + 1 /, UN 0 \u003d μN 0, n \u003d 0, ..., m, U 0 \u003d U 0 (x), \u003d 0, ..., n, (1.89) 문제를 위해 생성됩니다 (1.7). 여기 0 σ 1. 6.

28 1.10. 최대 원리를 사용하여 조건 (1.44)의 구현이 가변 계수 A (X, T)의 가변 계수 A (X, T)의 안정성을 위해 충분하다는 것을 증명하기 위해 LAX Vendroff 방식의 단락 (1.80)을 얻는 것으로 충분하다는 것을 증명합니다. p. n. 암시 적 계획 UN + A + 1 1 \u003d 0, (1.90) 계수 A\u003e 0으로 전송 방정식 (1.90)을 제작하여 T는 T에서 차이 방식 솔루션의 행동에 대한 질적 설명을 제공합니다. \u003e 0, 초기 모멘트 T \u003d 0 (단계적으로 설정됩니다 (1.61). 차이 측정법의 단조 로움의 속성 .1. 차분 계획에 대한 기본 요구 사항 중 하나는 차이 방정식의 해결책이 근사 차동 방정식의 결정의 행동을 전달해야한다는 것입니다. 예를 들어, 선형 전송 수학 식 U T + AU x \u003d 0, a \u003d const\u003e 0,< x <, t > 0, (.1) u (x, 0) \u003d U 0 (x). (` 이것은 언제든지 수식 U (X, T) \u003d U 0 (X at)에 의해 주어진 언제든지 부여된다는 사실에서 다음과 같습니다. (.3) 자연적으로 차이 방식의 해결책, 근사 문제 (.1), (.) 또한 유사한 재산을 소유하고 있음을 요구합니다. 그러나 많은 차이 방식은 수치 적 용액의 단조 로움을 위반하는 것으로 예상되는 단조로운 프로파일 대신에, 물리적 진동을 함유하는 용액이 얻어진다 (그림 4). 그들의 발생 이유는 차이 7의 수치 적 분산이다.

이전 단락에서 논의 된 29 가지 계획. 이 단락에서는 차이 방식을 수행 할 때 조건을 제시하면 수치 솔루션의 단조 로움을 유지합니다. 임의의 명시적인 차이점을 고려하십시오. α B α U N + α, (.4) 여기서 α는 α \u003d α 1, α 1 + 1, ..., α, x + α 노드를 결정합니다. 회로. 정의. 차이 방식 (.4)은 단조 함수 U n이 단조 (n + 1) -m, 시간 층 기능 및 동일한 성장으로 변환되는 경우 수치 용액 (단조 다이어그램)의 단조 로움을 유지하는 다이어그램이라고합니다. 방향. 예제. 반대 방식으로 균일 한 그리드의 대략적인 방정식 (.1) u n + a 유엔 단일 1 \u003d 0 (.5)이 계획은 소프트웨어의 근사치를위한 첫 번째 절차가 있습니다. 층의 시간의 n-ohm의 메쉬 기능 U n은 예를 들어 단조롭게 증가하는 기능으로, 즉 임의의 경우 Un 1이다. 이 경우, \u003d 1을 갖는 방식의 안정성의 조건을 수행 할 때, 여기서 χ \u003d /는 1 \u003d (UN A∩ 1)) (유엔 1 A1 (유엔 1 유엔)) \u003d \u003d ( 1 a)) (UNun 1) + A + (유엔 1 유엔) 0으로, 용액은 (n + 1) - 층에서 단조롭게 증가한다. 따라서, 반대 방식 (a ~에서 소산을 갖는)< 1) является схемой, сохраняющей монотонность. Пример.. Покажем, что схема Лакса Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (.1) имеет вид (1.61) { 1, при x 0, u 0 (x) = 0, при x > 0. 8

결과적으로, 초기 그리드 기능 (u01, 0, \u003d u0 (x) \u003d 0,\u003e 0은 단조롭게 감소합니다. 우리는 해당 회로를 일환 회로 (1.50)로 다시 작성한 다음 계수가있는 스키마 (.4) b 1 \u003d a æ + a \u003d a, b 0 \u003d 1 a ≠, b1 \u003d a ∈ a \u003d a. (.6) 평등 1이 일어나는 것을 확인하는 것이 어렵지 않다 1, u1 b \u003d 1 + b0, \u003d 0, b1, \u003d 1, 0, a ~에서< 1 схема устойчива, но b 1 + b 0 > 1, 즉, 그리드 기능 U1은 단조롭게 감소하지 않는다. 일정 계수가있는 방정식을위한 회로의 단조율은 다음과 같은 정리를 사용하여 탐구 할 수 있습니다. theorem.1. 일정 계수 B α, 보존 된 단조로 인한 차이 방식 (.4)을 순서대로, 그것은 필요하고 모든 α 조건 B α0 (.7) d o k a 및 t e l s t에 대한 완전한 실행이 필요합니다. 필요성. 이식법 (.4)이 단조로는 유지하지만 음수 계수 B α0이 있다고 가정합니다.< 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию u n = { 0, < α0, 1, α 0. (.8) Тогда u0 n+1 1 = b α u n α b α u n 1+α = α α = b α b α = b α0 < 0, α α 0 α α

이 기능은 단조롭게 증가하지 않으므로, 이는 제도 (.4)는 초기 가정을 모순하는 단조포를 유지하지 않는다. 생성 된 모순은 모든 계수 B α가 음성이 아닌 것임을 증명합니다. 적절. B α0 및 U N을 단조로운 기능, 예를 들어 단조롭게 증가하는 기능을하자. 그런 다음 1 \u003d α B α U N + α α B α U N 1 + α \u003d α B α (U N + α u N 1 + α) 0, 즉 단조롭게 증가하는 기능이 있습니다. 따라서,이 계획 (.4)은 단조 로움을 유지합니다. 다시 예를 들어 예로 돌아갑니다. UN 1 A + \u003d A + A + A UN +1 UN, a \u003d a. \u003d 0, (.9). 여기서 \u003d B 1 U N 1 + B 0 U N + B 1 U N + 1, (.10) B 1 \u003d ∠A +, B 0 \u003d 1 × A, B 1 \u003d → 안정성 조건을 수행 할 때 A ≠ 1 (.11), 이들 모든 계수는 음성이 아닌다. 또한, 그들은 일정하고, 이론적으로, 반 방식 (.9)은 조건 하에서 용액의 단조 로움을 유지한다 (.11). LAX VENDROFF 방식은 반대 방식으로서 동일한 조건 (.11)에 내성이 있으며, 계수 (.10)와 함께 형태로 작성 될 수 있습니다 (.6).< 1 один из 30

32 계수 B1 또는 B1은 음수입니다. 이론적 인 경우에 따르면, 수치 적 용액의 단조 로움을 보존하지 않는 것에 따라 근사치를위한 두 번째 절차를 갖는 LAX Vendroff의 방식이 뒤 따른다. 그러나 단조 로움의 재산을 가진 근사의 두 번째 순서의 다른 계획이있을 수 있습니다. 그러한 계획이 없다는 것을 밝혀줍니다. 이 논문에서는 선형 전달 방정식 (.1)의 경우 근사의 두 번째 순서의 일정한 계수를 갖는 단조로운 방식을 구성하는 것이 불가능하다는 것으로 나타났습니다 ... 이제 가변 계수 B α가있는 방식 (.4)을 고려하십시오. ...에 그러한 계획에 대한 수치 솔루션의 단조 로움을 보존하기에 충분한 계수의 부정성이없는 상태 (.7)가있을 것입니까? 그것은 아니오를 밝혀줍니다. 우리는 적절한 예를 제공합니다. 예. 3. 식 U T + A (X) U x \u003d 0, (.1), (x), (x), (x), (x), (x), (x), (x), (x), (x), (x), 긍정적 인 제한된 기능을 증가시키는 것에 대한 cauchy가< a(x) < 1 и a > 0, 5, 5 (U N + 1 +) UN 1 + AUN +1 UN 1 \u003d 0, (.13) 가변 계수로이 문제 방식을 해결하기 위해 균일 한 메쉬의 A \u003d A (x), X 노드 ...에 배출 된 방식은 수치 솔루션의 단조 로움을 보유하는 LAX 방식 (1.46)의 유사체이며 (작업 서당 참조). 우리는 어떤 조건에 대해서도 조건을 섭취한다고 가정합니다.< 1, (.14) гарантирующее устойчивость схемы (.13) в равномерной норме по начальным данным: C u 0 C. (.15) Запишем схему (.13) в виде (.4): = b 1, u n 1 + b 1, u n +1, (.16) где b 1, = 1 + æa, b 1, = 1 æa, 31

이 경우, 계수 B α는 가변 계수이기 때문에, 하나의 노드에서 다른 노드로 이동할 때 변화하기 때문에 추가 인덱스가 갖추어져있다. 조건 (.14)의 덕분에 두 계수는 양수이지만, 방식 (.13)은 수치 용액의 단조 로움을 유지하지 않습니다. 사실, 단조롭게 증가하는 기능을 복용 (U N 0,< 0, = 1, 0, убеждаемся, что на (n + 1)-м слое по времени имеет место равенство = 0, при < 1, b 1, 1, при = 1, b 1,0, при = 0, 1, при 1. Но b 1, 1 > B 1.0이므로 그리드 기능이 증가하고 있습니다. 단조롭게 주어진 예는 정리에 명시된 표지 (.7)가 아닌 변수 계수가 아닌 변수 계수가있는 구성표에 대한 단조 로움이 사용되어야 함을 나타냅니다. 정리 .. 차이 스킴 \u003d B1, 유엔 1 + B 0, UN + B 1, UN 1 + B 0, UN + B 1, UN +1 (.17)의 계수가 모든 조건에서 수행 한 다음 모든 조건에서 수행 한 다음 모든 조건 B1, + B 0 , + B1, \u003d 1 (.18) B ± 1, 0, B 1, + B1, 1 1 (19)가 필요하고 가변 계수가있는 방식 (.17)이 가변 계수가 포함 된 단조 로움 수치 적 용액. D o k a와 t et in inter. 우리는 다음의 형태로 조건 (.18)을 만족하는 가변 계수가있는 체계 (.17)를 작성합니다. \u003d U N B 1, (U N U N 1) + B1 (U N + 1 U N). (.0) 3.

34 그런 다음 +1 \u003d 유엔 +1 B1, + 1 (U N + 1 U N) + B1, + 1 (U N + U N + 1). 결과적으로 +1 un + 1 \u003d (유엔 +1 유엔) (1 B1, + 1b 1,) + (+ B 1, + 1 UN + 유엔 (+1) + B 1, UNUN) (.1) 1. 필요성. 그 계획 (.17)을 모노 톤으로합시다. 우리는 그 계수가 불평등을 만족시키는 것을 증명합니다 (.19). 이렇게하면 일부 노드 x 0 에서이 많은 조건 (.19)이 수행되지 않는다고 가정합니다. 예를 들면 B 1.0< 0. Положим Из (.1) тогда следует u n = { 0, если < 0, 1, если un+1 0 = b 1,0 < 0, т. е. функция не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (.19). Достаточность. Пусть в каждом узле x коэффициенты схемы (.17) удовлетворяют неравенствам (.19) и функция u n является монотонной, например монотонно возрастающей. Тогда из равенства (.1) следует, что функция также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана. Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (.16) не удовлетворяют второму из условий (.19) теоремы.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадим другую формулировку теоремы.. Теорема.3. Для того чтобы конечно-разностная схема u n + C 1/ un x, 1/ C+ +1/ un x,+1/ = 0, (.) сохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех условий где æ = /, u n x,+1/ = un +1 un C ± +1/ 0, C +1/ + C+ +1/ 1 æ, (.3). 33

35 d o k a와 t et in inter. 이식 (.17)에서 B1, \u003d \u003d 1 /, B1, \u003d \u003d ℃ + 1 /, b0, \u003d 1 ℃ 1 / θ \u003d + 1 / \u003d 1 ° C + 1 / ¼c + 1 /를 포함하는 방식 (.17)을 다시 작성할 수 있습니다. 그런 다음, 계수 B α, 평등 (.18)이 수행되고, 조건 (.19)은 조건 (.3)과 동일합니다. 논평. 불평등 성능 (.3)은 다이어그램 (.)이 TVD 방식 (총 변화 치모) 이었는지 확인하기에 충분하다는 것으로 입증되었습니다 (총 변화 치모), 즉 모든 N 0이 정의를 만족하지 않는 한 해결책 네트워크 기능의 전체 변형에 따른 전체 변형 (un), (.4)의 값 TV (un) \u003d un +1 u n을 이해합니다. (.5) 현재 TVD 방식 및 다양한 수정은 불연속적인 솔루션으로 많은 작업을 해결할 때 사용됩니다. 이러한 방법의 큰 인기를 얻은 이유는 비준수 솔루션 프로파일, 휴식 분야에서 높은 솔빈 성을 제공하고 솔루션의 부드러움 영역에서 높은 정확도를 유지한다는 것입니다. 근사 순서의 최신 TVD- 방식은 인접 셀의 중심에있는 가치에 의해 세포의 경계에서 함수의 기능의 기능의 특정 회복 (재건축)을 기반으로합니다. 이 경우, 방식 패턴은 가변적이며 수치 용액의 거동에 의존한다. 재구성 알고리즘은 특수 유량 리미터의 사용을 기반으로합니다. 이는 제한이있는 제한이 TVD (.4)를 소유 한 계획을 세우는 것입니다. LAX Vendroff의 계획의 단조 화. T \u003d 0의 초기 기능이 단계의 형태로 설정된 경우 다음 층에서 다음 층에서 우리는 진동에 왜곡 된 LAX Vendroff 스테이지에 따라 얻을 것입니다 (그림 4 참조). 그러나 Lax Vendroff 체계가 34가되도록 수정 될 수 있다는 것이 밝혀졌습니다.

36 TVD 속성 (.4)이므로, 이론적으로는, 3에 따르면, 수치 용액의 단조 로움을 보존하는 계획이 될 것이다. 그러나 수정 된 체계의 계수는 영구적이지 않으며 결정에 의존 할 수 있습니다. n-m 층, I.E. 수정 된 체계는 비선형이 될 것이다. a \u003d const\u003e 0의 경우 전송 방정식 (.1)을 고려하십시오. LAX Vendroff (1.50)의 방식을 다시 작성하거나 UN + A UN X, + 1 / + UN x, 1 / a () UNX, + 1 / unx, 1 / \u003d 0, (.6) 또는 UN + AU nx, 1 / + a (1 a) UN x, + 1 / unx, 1 / un \u003d 0, (.7) + au nx, \u003d a (1 a od) un xx,. (.8) P. d. (1.79) 반대 방식은 소산 부재 0, 5A (1A °) U XX를 함유하고 있으며, 뷰 (.8)에는 동일한 소산 부재가 반대쪽 부호를 갖는다. 따라서, LAX Vendroff 방식은 단락에서 소산 부재를 제거하는 유량이 소위 소위 확산 부재 인 유동에 대한 차이를 갖는 단조 다이어그램으로 표현된다. 제어 방식은 Lax Vendroff 방식으로 돌리고 있습니다. 혈압 부재를 줄이는 진동의 가능한 모양의 장소에서는, 당신은 그들을 막으려 고 노력할 수 있습니다. LAX VENDROFF 체계 (.7)에서 특정 인수의 LAX VENDROFF 체계 (.7)에서 antidivivelusive 멤버를 조정하십시오. UN + AU nx, 1 / + a (1 a o \u003d) nx) 1 /) \u003d 0 (.9) φ0이면, 우리는 근사의 첫 번째 순서의 단조로운 항 - 전류 방식을 갖는다. φ1이면, 매끄러운 솔루션에 대한 두 번째 근사의 두 번째 순서의 LAX VENDROFF 방식을 얻지 만 불연속 솔루션에서 진동합니다. 35.

37 차이 방식 (.9) φ + 1 / \u003d φ (± + 1 /). 이산 인수로 ξ + 1 / UNX, 1 / ℓ + 1 / \u003d UNX, 1/1/0, x, + 1 / (.30) 1을 UNX, + 1 / \u003d 0에서 선택하십시오. 진동 솔루션 UNX 비율, 1 / / UN X, + 1 / 음수가되므로 ¬ + 1 /< 0 полагаем, что Φ +1/ = 0. Далее будем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ также принимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, что функция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) 0 при всех ξ 0. Далее рассмотрим случай, когда ξ +1/ > 0. 우리는 스키마가 TVD (.3)를 만족시키고 부드러운 솔루션 근사치를위한 두 번째 절차를 유지하도록 리미터 기능을 선택합니다. 이를 위해, 우리는 Lax Vendroff (.9)의 수정 된 체계를 양식 (.) : 또는 UN + AU NX, 1 / + A ((1 a) (((φ) [+ AA ((φ) ) + 1 / + 1 / φ1 /) UNX, 1 / \u003d 0, φ1 /)] UNX, 1 / \u003d 0이므로, 형태로 기록 된 방식 (.9)의 계수가 결정됩니다. 화학식 [C + 1 / \u003d 0, C1 / \u003d A \u003d ((φ)] ξ φ1 /. + 1 / 정리에 따르면, 조건 0 C 1/1 ÷ (.31)은 리미터가 입력 된 LAX Wendroff 체계가 수치 솔루션의 단조 로움을 유지할 수 있도록합니다. 다음으로 우리는 옻칠 계획의 안정성 조건이 36임을 가정합니다.

38 SA VenDROFF는 A \u003d 1을 수행합니다. 즉, 불평등 (.31)이 모든 A æ 1에 대해 공정 할 수 있도록, 그것은 불평등 (φ) ± + 1 / φ1 /를 수행하기에 충분합니다. 다음의 불평등에 대한 실행을 요구하는 것으로 충분합니다. (φ) 0, 0 φ + 1 /. 이러한 불평등이 수행되는 변수 φ와 Ⅱ의 변이 변수의 평면에서  + 1 / 영역, 이들 불평등이 도시되어있다. 5, a. 함수 φ \u003d φ (∞)의 그래프 가이 영역에 놓이면 수정 된 방식 (.9)은 수치 용액의 단조 로움을 유지합니다. φ φ \u003d φ \u003d Φ \u003d ± φ \u003d φ \u003d ≦ 1 φ \u003d A ξ B ξ. 5. 음영 영역에서, LAX Vendroff (.9)의 수정 된 체계는 TVD 방식이다. B 이중 부화 영역에서, LAX Vendroff의 수정 된 체계는 두 번째 근사 순서의 TVD 스키마이므로, φ (ξ) \u003d 0에서 ± 0, 0 φ (μ) min (, ㎡)이라고 가정합니다. 연속 함수 φ \u003d φ (ξ)가 37만큼 만족한다고 가정하면서, 수정 된 체계의 근사 순서를 조사하여 수정 된 방식의 순서를 조사한다.

39 다음 추가적인 제한 사항 : φ (± 1) φ (ξ) L ≠ 1 ㎛, 1, ㎛, (33) φ (1) \u003d 1, (.34), 나는 기능을 요구할 것이다 φ \u003d φ (ξ)는 일부 영구 L\u003e 0으로 LIPSCHITZ 조건을 만족 하고이 기능의 그래프는 점 (1, 1)을 통과했습니다. 우리는 LAX Vendroff (.7)의 초기 구성원의 수정 된 체계를 UN + AU NX, 1 / + A (1A °) (UNX, + 1 / UN X, 1 /) + + A (1A) rn \u003d 0, (.35) R N \u003d (φ + 1/1) UNX, + 1 / (φ1/1) UNX, 1 /. (.36) U (X, T)를합시다. Cauchy 문제의 상당히 원활한 솔루션 (.1). (.). 우리는이 솔루션을 표현 (.36)으로 대체하면서 이전의 지정을 모두 유지하면서 Now N x, + 1 / \u003d U (x +1, t n) U (x, t n)를 고려할 것입니다. (.37) 기능 U (X, TN)가 선형, u (x, tn) \u003d bx + c, rn 0, 조건 (.33)을 사용하여 (.33), (.33), 쉽게 그를 확인하십시오 2 차 기능 u (x, tn) \u003d ax + bx + c (a 0) 평등 R n \u003d o ()는 극단적 인 숫자 x \u003d b /를 포함하지 않는 임의의 숫자 갭 (α, β)의 모든 노드에 대해 수행됩니다. ㅏ. 일반적으로 다음 진술은 공평합니다. lemma.1. 조건 (.33), (.34) 및 Cauchy 문제 (.1)의 상당히 매끄러운 솔루션 (.1), (.) 일부 수치 부문에서 조건 UX (x, tn) 0 x [α, β]를 만족시킨다. [α, β]. (.38) 그런 다음 r n \u003d o () x (α, β). (.39) 38.

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