Tipul lecției: Lecția de generalizare și sistematizare a cunoștințelor

Obiective:

• educational - să repete determinarea gradului, regulile de multiplicare și împărțire a gradelor, construirea unui grad în grad, consolidarea capacității de a rezolva exemple conținând grade
• în curs de dezvoltare - Dezvoltare gandire logica elevii, interesul materialului studiat,
• ridicarea - Educația unei atitudini responsabile față de studierea, cultura comunicării, sentimentele colectivismului.

Echipament:computer, proiector multimedia, bord interactiv, prezentare "grad" pentru contul oral, carduri cu misiuni, materiale de distribuție.

Planul lecției:

1. Ora de organizare.
2. Repetarea regulilor
3. Numărătoare verbală.
4. Referință istorică.
5. Lucrați la bord.
6. Fizkultminutka.
7. Lucrați pe o consiliu interactiv.
8. Muncă independentă.
9. Teme pentru acasă.
10. Însumând lecția.

În timpul clasei

I. Momentul organizațional

Teme de mesaje și lecție.

În lecțiile anterioare ați descoperit pentru dvs. o lume minunata grade, învățat să se înmulțească și să împărtășească grade, să le ridice într-o diplomă. Astăzi trebuie să consolidăm cunoștințele dobândite în exemplele de rezolvare.

II. Repetarea regulilor(oral)

1. Dați definiția cu un indicator natural? (Gradul de numere dar cu un indicator natural, mare 1, a numit o lucrare n. Multiplicatori, fiecare dintre acestea fiind egală dar.)
2. Cum să multiplicați două grade? (Pentru a multiplica gradele cu aceleași baze, este necesar să părăsiți baza în același mod, iar indicatorii sunt pliați.)
3. Cum să împărțiți gradul în grad? (Pentru a împărți gradele cu aceleași baze, este necesar să lași baza la fel, iar indicatorii se scad.)
4. Cum de a construi un produs într-un grad? (Pentru a construi un produs într-o diplomă, este necesar fiecărui multiplicator în acest grad)
5. Cum de a construi o diplomă într-o diplomă? (Pentru a construi o grad într-o diplomă, este necesar să lași solul la aceleași și să multiplicați indicatorii)

III. Numărătoarea verbală(Multimedia)

IV. Referință istorică

Toate sarcinile din Papyrus Akhmes, care sunt înregistrate la aproximativ 1650 î.Hr. e. Asociate cu practica construcției, plasarea terenurilor etc. Sarcinile sunt grupate pe subiecte. Avantajul este sarcina de a găsi zona de triunghi, patru declanșatoare și un cerc, o varietate de activități cu numere întregi și fracții, diviziune proporțională, găsirea relațiilor, există și construcția de diferite grade, soluția de ecuații de ecuații primul și al doilea grad cu unul necunoscut.

Nu există nicio explicație sau dovezi. Rezultatul dorit este fie administrat direct, fie un scurt algoritm pentru calculul său este dat. Această metodă de prezentare, tipică țărilor științifice din est., sugerează că matematica sa dezvoltată de generalizări și presupuneri care nu formează nicio teorie comună. Cu toate acestea, în papirus există o serie de dovezi că matematicienii egipteni știau cum să extragă rădăcini și să ridice gradul, să rezolve ecuațiile și chiar dețineau atacurile de algebră.

V. Lucrează la consiliu

Găsiți valoarea modului de expresie rațională:

Calculați valoarea expresiei:

VI. Fizkultminutka.

1. pentru ochi
2. pentru gât
3. pentru mâini
4. pentru torță
5. pentru picioare

VII. Rezolvarea sarcinilor(cu un afișaj pe o placă interactivă)

Este rădăcina ecuației unui număr pozitiv?

a) 3x + (-0,1) 7 \u003d (-0,496) 4 (x\u003e 0)

b) (10,381) 5 \u003d (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Muncă independentă

IX. Teme pentru acasă

H. însumând lecția

Analiza rezultatelor, declarații.

Vom aplica cunoștințele despre grade în rezolvarea ecuațiilor, sarcinile din licee, ele sunt adesea găsite în examen.

Expresii, transformarea expresiilor

Expresii puternice (expresii cu grade) și convertirea lor

În acest articol vom vorbi despre transformarea expresiilor cu grade. Mai întâi ne vom concentra pe transformări care sunt efectuate cu expresii ale oricărei specii, inclusiv expresii puternice, cum ar fi dezvăluirea parantezelor, aducerea unor termeni similari. Și apoi vom analiza transformarea inerentă expresii cu grade: lucrează cu baza și indicatorul gradului, utilizarea proprietăților gradelor etc.

Navigarea paginii.

Care sunt expresii de putere?

Termenul "expresii puternice" practic nu apare la manualele școlare ale matematicii, dar apare adesea în colecțiile de sarcini, special concepute pentru a se pregăti pentru EGE și OGE, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care sunt necesare acțiuni cu expresii de putere, devine clar că sub expresii de putere înțeleg expresiile care conțin în înregistrările lor de diplomă. Prin urmare, este posibil să acceptați o astfel de definiție pentru dvs.:

Definiție.

Expresii de putere - Acestea sunt expresii care conțin grade.

Aici exemple de expresii de putere. Mai mult decât atât, le vom prezenta în funcție de modul în care dezvoltarea opiniilor cu un indicator natural cu privire la gradul cu indicatorul real.

După cum știți, mai întâi cunoștința cu gradul de număr cu o figură naturală, în această etapă prima expresie de putere simplă de tip 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (-0,1) 4, 3 · A 2 apar -A + A 2, X 3-1, (A 2) 3, etc.

Un pic mai târziu, este studiat gradul de număr cu un număr întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu diplome negative întregi, cum ar fi următoarele: 3 -2, , A -2 + 2, B -3 + C2.

În liceu, sa întors din nou la grade. Există o diplomă cu un indicator rațional, care implică apariția unor expresii de putere adecvate: , , etc. În cele din urmă, discută gradele cu indicatori iraționali și cuprinzând expresiile lor :.

Carcasa enumerată de expresii de putere nu se limitează la: variabila pătrunde în continuare în ceea ce privește măsura și există astfel de expresii 2 x 2 +1 sau . Și după cunoștință, expresii cu diplome și logaritmi încep să se întâlnească, de exemplu, x 2 · LGX -5 · x LGX.

Deci, ne-am ocupat de întrebarea, care reprezintă expresii puternice. Vom continua să învățăm să le convertim.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor de putere

Cu expresii de putere puteți efectua oricare dintre principalele transformări de identitate ale expresiilor. De exemplu, puteți dezvălui paranteze, înlocuiți expresii numerice prin valorile lor, aduceți termeni similari etc. Firește, ar trebui să fie necesar să se respecte procedura de efectuare a acțiunilor. Dăm exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei de putere 2 3 · (4 2 -12).

Decizie.

Conform procedurii de efectuare a acțiunilor, mai întâi efectuați acțiuni în paranteze. În primul rând, înlocuim gradul 4 2 din valoarea sa 16 (vezi dacă este necesar) și, în al doilea rând, vom calcula diferența 16-12 \u003d 4. Avea 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4.

În expresia rezultată, înlocuim gradul 2 3 din valoarea sa 8, după care calculează produsul 8,4 \u003d 32. Aceasta este valoarea dorită.

Asa de, 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4 \u003d 8,4 \u003d 32.

Răspuns:

2 3 · (4 2 -12) \u003d 32.

Exemplu.

Simplificați expresii cu grade 3 · A 4, B -7 -1 + 2 · A 4, B -7.

Decizie.

Este evident că această expresie conține termeni similari 3 · A 4, B -7 și 2 · A 4, B -7 și le putem conduce :.

Răspuns:

3 · A 4, B -7 -1 + 2 · A 4, B -7 \u003d 5 · A 4, B -7 -1.

Exemplu.

Prezintă o expresie cu grade sub forma unei lucrări.

Decizie.

Creditul cu sarcina permite reprezentarea numărului 9 sub forma gradului 3 2 și utilizarea ulterioară a formulării multiplicării abreviate. Diferențe pătrate:

Răspuns:

Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente expresii de putere. Atunci îi vom discerne.

Lucrați cu baza și indicatorul gradului

Există o măsură, la baza și / sau indicatorul cărora nu sunt doar numere sau variabile, ci câteva expresii. De exemplu, dați înregistrarea (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 și (A · (A + 1) -A2) 2 · (x + 1).

Atunci când lucrați cu expresii similare, este posibil ca o expresie în baza gradului, iar expresia din indicator este înlocuită identic egală cu expresia pe variabilele sale ciudate. Cu alte cuvinte, putem converti separat în mod separat rădăcina graficului către noi și separat indicatorul. Este clar că, ca urmare a acestei transformări, o expresie va fi identică egală cu cea inițială.

Astfel de transformări fac posibilă simplificarea expresiilor cu grade sau pentru a ajunge la alte scopuri de care avem nevoie. De exemplu, în expresia de putere menționată mai sus (2 + 0,3 · 7) 5-3,7, este posibilă efectuarea acțiunilor cu numere la bază și indicator, care vă va permite să vă deplasați în gradul de 4.1 1.3. Și după dezvăluirea parantezelor și aduceți termeni similari la baza gradului (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1), obținem o expresie de putere a unei forme mai simple A 2 · ( X + 1).

Utilizați proprietățile gradelor

Unul dintre instrumentele principale de transformare a expresiilor cu grade este reflectarea egalității. Amintiți-le principalul. Pentru toate numerele pozitive A și B și numerele valide arbitrare R și S, următoarele proprietăți de grade sunt valide:

• a R · A S \u003d A R + S;
• a R: A S \u003d A R-S;
• (a · b) r \u003d a r · b r;
• (A: B) r \u003d A R: B r;
• (A R) S \u003d A R · S.

Rețineți că cu indicatorii naturali, întregi, precum și indicatorii pozitivi ai gradului de restricție asupra numărului A și B nu pot fi la fel de stricte. De exemplu, pentru numerele naturale M și N, egalitatea A M · A n \u003d A M + N este adevărată nu numai pentru un pozitiv A, ci și pentru negativ și pentru A \u003d 0.

La școală, accentul pe transformarea expresiilor de putere se concentrează pe capacitatea de a selecta o proprietate potrivită și de ao aplica corect. În același timp, bazele de grade sunt de obicei pozitive, ceea ce permite utilizarea proprietăților gradelor fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele de grade - suprafața valorilor admise ale variabilelor este, de obicei, că numai valorile pozitive sunt luate pe acesta, ceea ce vă permite să utilizați în mod liber proprietățile gradelor . În general, este necesar să se întrebe constant dacă este posibilă utilizarea oricărei proprietăți de grade în acest caz, deoarece utilizarea inestivă a proprietăților poate duce la îngustarea OTZ și a altor probleme. În detaliu și în exemple, aceste momente sunt dezasamblate în transformarea articolului de expresii folosind proprietățile gradelor. Aici ne vom limita la luarea în considerare a mai multor exemple simple.

Exemplu.

Pregătiți o expresie A 2.5 · (A 2) -3: A -5,5 ca diplomă cu o bază A.

Decizie.

În primul rând, al doilea factor (A 2) -3 convertește exercițiul în gradul în gradul în gradul: (A 2) -3 \u003d A 2 · (-3) \u003d A -6. Expresia inițială de putere ia forma A 2.5 · A-6: A -5,5. Evident, rămâne să profitați de proprietățile multiplicării și împărțirii gradelor cu aceeași bază, avem
a 2.5 · A -6: A -5,5 \u003d
a 2.5-6: A -5,5 \u003d A -3,5: A -5,5 \u003d
a -3,5 - (- 5.5) \u003d A 2.

Răspuns:

a 2.5 · (A 2) -3: A -5,5 \u003d A 2.

Proprietățile de grade la conversia expresiilor de putere sunt utilizate atât de la stânga la dreapta cât și la dreapta la stânga.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii de putere.

Decizie.

Egalitatea (a · b) r \u003d A R · B r, aplicată la stânga dreapta, permite din expresia inițială să se deplaseze la produs și mai departe. Și când multiplicarea gradelor cu aceleași baze, indicatorii se îndoaie: .

A fost posibilă efectuarea transformării expresiei inițiale și altfel:

Răspuns:

.

Exemplu.

Expresia de putere A 1.5 -A 0,5 -6, introduceți o nouă variabilă t \u003d A 0,5.

Decizie.

Gradul A 1.5 poate fi reprezentat ca 0.5 · 3 și pe baza de date a proprietății de gradul de gradul (A R) S \u003d A R · S, aplicat la dreapta la stânga, îl transformă sub formă (A 0,5) 3. În acest fel, un 1,5 - 0,5 -6 \u003d (A 0,5) 3 -A 0,5 -6. Acum este ușor să introduceți o nouă variabilă t \u003d a 0,5, obținem t 3 -t-6.

Răspuns:

t 3 -t-6.

Transformarea fracțiilor care conțin grade

Expresiile puternice pot conține fracțiuni cu grade sau reprezintă astfel de fracțiuni. Astfel de fracțiuni sunt aplicabile pe deplin oricare dintre principalele transformări ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel. Adică fracțiunile care conțin grade pot fi reduse, conduc la un nou numitor, lucrează separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra cuvintele, ia în considerare soluții de mai multe exemple.

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Decizie.

Această expresie de putere este o fracțiune. Vom lucra cu numărator și numitor. În numărător, vom dezvălui parantezele și simplifică expresia obținută după aceasta, folosind proprietățile de grade și în numitorul vom da termeni similari:

Și încă schimbați semnul numitorului, plasând minus înainte de fracțiune: .

Răspuns:

.

Aducerea gradelor de fracțiuni la un nou numitor se desfășoară în mod similar cu aducerea fracțiilor raționale la un nou numitor. În același timp, un factor suplimentar este, de asemenea, localizat și multiplicând numitorul și numitorul fracției. Efectuarea acestei acțiuni, merită să ne amintim că aducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a OTZ. La acest lucru nu se întâmplă, este necesar ca factorul suplimentar să nu se aplice la zero, indiferent de valorile variabilelor de la variabilele impare pentru expresia inițială.

Exemplu.

Dați fracții unui nou numitor: a) la numitorul A, B) la numitor.

Decizie.

a) În acest caz, este destul de simplu să dați seama ce un multiplicator suplimentar ajută la realizarea rezultatul dorit. Acesta este un multiplicator A 0,3, ca 0,7 · A 0,3 \u003d A 0,7 + 0,3 \u003d A. Rețineți că, în ceea ce privește valorile admisibile ale variabilei A (acestea sunt o multitudine de toate numerele valide pozitive) gradul A.3 nu face apel la zero, prin urmare, avem dreptul de a multiplica număratorul și denominatorul Fracțiunea specificată pe acest factor suplimentar:

b) arata mai indeaproape de numitor, se poate descoperi asta

Și multiplicarea acestei expresii va da cantitatea de cuburi și, adică. Și acesta este noul numitor al căruia trebuie să aducem fracțiunea inițială.

Așa că am găsit un factor suplimentar. În ceea ce privește valorile admise ale variabilelor X și Y, expresia nu se aplică la zero, prin urmare, putem multiplica număratorul și numitorul fracției:

Răspuns:

dar) b) .

Nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin grade, nu este nimic nou: număratorul și numitorul sunt reprezentate ca un număr de multiplicatori, iar aceiași multiplicatori ai numărătorului și numitorul sunt reduse.

Exemplu.

Reduceți fracțiunea: a) , b).

Decizie.

a) În primul rând, numitorul și numitorul pot fi reduse la numerele 30 și 45, ceea ce este egal cu 15. De asemenea, evident, puteți face o reducere pe x 0.5 +1 și . Asta avem:

b) În acest caz, aceiași multiplicatori din numărător și numitor nu pot fi vizibili imediat. Pentru a le obține, va trebui să efectuați transformări preliminare. În acest caz, acestea sunt încheiate în extinderea numitorului pentru multiplicatori care utilizează formula diferenței pătrate:

Răspuns:

dar)

b) .

Aducerea fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiunilor este folosită în principal pentru a efectua acțiuni cu fracțiunile. Acțiunile sunt efectuate în conformitate cu regulile binecunoscute. La adăugarea (scăderea) fracțiilor, acestea sunt date numitor comunDupă aceasta, există numere (deduse) cifre, iar numitorul rămâne același. Ca rezultat, se dovedește o fracțiune, număratorul căruia este produsul cifrelor, iar numitorul este un produs al denominatorilor. Divizia fracțiunii este multiplicarea prin fracțiune, inversează-o.

Exemplu.

Urmareste pasii .

Decizie.

În primul rând, efectuăm scăderea fracțiilor situate în paranteze. Pentru a face acest lucru, aduceți-le la un numitor comun care are , după care scădem numerele:

Acum multiplicăm fracțiunile:

Evident, este posibil să se reducă gradul de x 1/2, după care avem .

Puteți simplifica în continuare expresia de alimentare în numitor, folosind formula diferenței pătrate: .

Răspuns:

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Decizie.

Evident, această fracțiune poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, oferă o fracțiune . Este clar că trebuie să faceți altceva cu gradele de ICA. Pentru a face acest lucru, transformăm fracțiunea rezultată în lucrare. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a profita de proprietatea gradelor cu aceleași motive: . Și în concluzie, treceți de la ultima activitate la fracțiune.

Răspuns:

.

Și am adăugat, de asemenea, că este posibil și în multe cazuri, este de dorit să se transfere rate de gradul multiple de la numărător la un numitor sau de la numitor la un numitor, schimbând semnul indicatorului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiuni suplimentare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu.

Transformarea expresiilor cu rădăcini și grade

Adesea în expresii care necesită unele transformări, împreună cu grade cu indicatori fracționari, există rădăcini. Pentru a converti o expresie similară cu mintea potrivită, în majoritatea cazurilor este suficient doar pentru a merge la rădăcini sau numai la grade. Dar, deoarece este mai convenabil să lucrați cu grade, de obicei mergeți de la rădăcini la grade. Cu toate acestea, este recomandabil să se exercite o astfel de tranziție atunci când variabilele OTZ pentru expresia inițială face posibilă înlocuirea rădăcinilor în grade fără a fi nevoie să se adreseze modulului sau să se împartă OTZ la mai multe goluri (am dezasamblat în detaliu tranziția de la rădăcini la grade și înapoi după explorarea gradului cu un indicator rațional, gradul cu indicatorul irațional este introdus, ceea ce vă permite să vorbiți despre gradul cu un indicator real arbitrar. În acest stadiu, școala începe să studieze functie exponentialacare este definită analical de gradul în care este localizat numărul și în indicator - variabila. Așadar, ne confruntăm cu expresii puternice care conțin numărul în fundamentarea gradului și în indicatorul - expresiile cu variabile și, în mod natural, este necesar să se transforme transformările unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor speciilor specificate trebuie, de obicei, să fie efectuată la rezolvare ecuații indicative. și inegalități orientativeȘi aceste transformări sunt destul de simple. În numărul copleșitor de cazuri, acestea se bazează pe proprietățile de gradul și sunt destinate în cea mai mare parte pentru a introduce o nouă variabilă în viitor. Demonstrați-le că vor permite ecuația 5 2 · x + 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x-1 \u003d 0.

În primul rând, gradele din indicatorii cărora există o sumă de variabile (sau expresii cu variabile) și numerele sunt înlocuite de lucrări. Acest lucru se aplică la primele și ultimele expresiuni de termen din partea stângă:
5 2 · x · 5 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x · 7 -1 \u003d 0,
5 · 5 2 · x -3 · 5 x · 7 x -2 · 7 2 · x \u003d 0.

Mai mult, împărțirea ambelor părți a egalității se efectuează pe expresia 7 2 · x, care numai valorile pozitive preiau ecuația sursă cu ecuația sursă (aceasta este recepția standard a soluționării ecuațiilor de acest tip, nu este Despre el acum, deci concentrați-vă pe transformările ulterioare ale expresiilor cu grade):

Acum, fracțiunile sunt reduse cu grade, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul dintre grade cu aceiași indicatori este înlocuit cu grade de relații, ceea ce duce la ecuația Care este echivalent . Transformările facute permit introducerea unei noi variabile, ceea ce reduce soluția ecuației indicative inițiale pentru a rezolva ecuația pătrată

I. V. Boykov, L. D. Romanova Colectarea sarcinilor pentru pregătire pentru examen. Partea 1. Penza 2003.

Primul nivel

Gradul și proprietățile. Ghidul exhaustiv (2019)

De ce ai nevoie? Unde vor veni la tine? De ce trebuie să petreceți timp în studiul lor?

Pentru a afla totul despre grade, ceea ce au nevoie pentru ceea ce au nevoie cum să-și folosească cunoștințele viata de zi cu zi Citiți acest articol.

Și, bineînțeles, cunoașterea gradelor vă va aduce mai aproape de succes mână peste foc sau examenul și să intre în Universitatea din visele tale.

Să mergem ... (Drove!)

Observație importantă! Dacă în loc de formulele pe care le vedeți Abracadabra, curățați memoria cache. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe Ctrl + F5 (pe Windows) sau CMD + R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exercițiul este aceeași operație matematică ca adăugarea, scăderea, multiplicarea sau diviziunea.

Acum voi explica toată limba umană pe exemple foarte simple. Fiți atenți. Exemple de elementare, dar explicând lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți cu toții totul: suntem opt oameni. Toată lumea are două sticle de cola. Cât de mult este cola? Dreapta - 16 sticle.

Acum multiplicarea.

Același exemplu cu o cola poate fi înregistrată diferit :. Matematică - oameni vicleni și leneși. Ei primesc mai întâi niște modele și apoi inventează modul de a le "număra" mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cei opt persoane aveau același număr de sticle de cola și a venit cu o recepție numită multiplicări. Sunt de acord, este considerată mai ușoară și mai rapidă decât.

Deci, pentru a citi mai repede, mai ușor și fără greșeli, trebuie doar să vă amintiți masa multiplicare. Desigur, puteți face totul mai încet, mai greu și greșeli! Dar…

Aici este tabelul de multiplicare. Repeta.

Și celălalt, mai frumos:

Și ce alte trucuri au venit cu matematicieni leneși? Dreapta - erecție.

Erecție

Dacă aveți nevoie să multiplicați numărul pentru dvs. de cinci ori, atunci matematica spune că trebuie să construiți acest număr în gradul al cincilea. De exemplu, . Matematica amintiți-vă că două în a cincea grad este. Și rezolvă astfel de sarcini în minte - mai repede, mai ușor și fără erori.

Pentru asta aveți nevoie numai amintiți-vă ceea ce este evidențiat în culoarea în tabelul de grade de numere. Credeți-vă, vă va facilita foarte mult viața.

Apropo, de ce se numește gradul al doilea pătrat numere și al treilea - cuba? Ce înseamnă? O întrebare foarte bună. Acum va fi pentru tine și pătrate și Cuba.

Exemplu din numărul de viață 1

Să începem cu un pătrat sau de la un al doilea grad de număr.

Imaginați-vă o piscină pătrată de dimensiune a contorului pe un metru. Piscina este pe dacha ta. Căldura și într-adevăr doriți să înotați. Dar ... Piscină fără fund! Trebuie să stocați partea de jos a plăcilor de piscină. Cât de mult ai nevoie de plăci? Pentru a determina acest lucru, trebuie să aflați zona de jos a bazinului.

Puteți calcula pur și simplu, cu un deget, că partea de jos a piscinei constă dintr-un contor cuburi pe metru. Dacă aveți o placă de metru pentru metru, veți avea nevoie de bucăți. E ușor ... dar unde ați văzut o astfel de placă? Placiurile este mai probabil să vadă pentru a vedea și apoi "degetul pentru a număra" tortură. Apoi trebuie să multiplicați. Deci, pe o parte a fundului piscinei, se potrivesc plăcilor (pieselor) și pe celelalte plăci. Multiplicând, veți obține plăci ().

Ați observat că pentru a determina zona de jos a bazinului, am înmulțit același număr de unul singur? Ce înseamnă? Acest lucru este înmulțit cu același număr, putem profita de "erecția exterminării". (Desigur, când aveți doar două numere, înmulțiți-le sau ridicați-le în gradul. Dar dacă aveți multe dintre ele, este mult mai ușor să le ridicați în ceea ce privește calculele, prea puțin. Pentru examen, este foarte important).
Deci, treizeci de gradul al doilea va (). Sau putem spune că treizeci în Piața va fi. Cu alte cuvinte, al doilea grad de număr poate fi întotdeauna reprezentat ca un pătrat. Și dimpotrivă, dacă vedeți un pătrat - este întotdeauna al doilea grad al unui număr. Piața este imaginea unui număr de gradul doi.

Exemplu din numărul de viață 2

Iată sarcina, numărați câte pătrate pe o tablă de șah cu un pătrat de număr ... pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a calcula cantitatea, trebuie să multiplicați opt sau ... Dacă rețineți că tabloul de șah este un pătrat de lateral, atunci puteți construi opt pe pătrat. Se pare celulele. () Asa de?

Exemplu din numărul de viață 3

Acum un cub sau al treilea grad de număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să știți cât de multă apă va trebui să completeze această piscină. Trebuie să numărați volumul. (Volumul și lichidul, apropo, sunt măsurate în metri cubi. Dintr-o dată, nu?) Desenați o piscină: fundul dimensiunii contorului și o adâncime de contor și încercați să numărați cât de mult cuburi dimensiunea contorului pe metru va intra în piscină.

Dreptul arată degetul și numărați! O dată, doi, trei, patru ... douăzeci și doi, douăzeci și trei ... cât de mult sa întâmplat? Nu a coborât? Dificil să-ți numărați degetul? Astfel încât! Luați un exemplu cu matematicienii. Ele sunt leneș, prin urmare, au observat că pentru a calcula volumul bazinului, este necesar să se multipliceze reciproc în lungime, lățime și înălțime. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburile ... este mai ușor pentru adevăr?

Și acum imaginați-vă, în măsura în care matematica sunt leneși și vicleni, dacă sunt simplificați. A adus toate la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se varsă pe sine ... și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că puteți profita de gradul. Deci, ce credeți cu degetul, ei fac într-o singură acțiune: trei în Cuba este egală. Acest lucru este scris astfel :.

Rămâne numai amintiți gradele de masă. Dacă sunteți, desigur, aceeași leneșă și viclenie ca matematică. Dacă vă place să lucrați foarte mult și să faceți greșeli - puteți continua să numărați degetul.

Ei bine, pentru a vă convinge în cele din urmă că gradele au venit cu loi și cunități pentru a-și rezolva probleme de viață, nu să vă creați probleme, aici sunt alte câteva exemple din viață.

Exemplu din numărul de viață 4

Aveți un milion de ruble. La începutul fiecărui an câștigi la fiecare milion de milioane. Adică, fiecare milion se va dubla la începutul fiecărui an. Câți bani veți avea în anii? Dacă stați acum și "credeți că degetul dvs.", atunci sunteți o persoană foarte dură și ... stupid. Dar cel mai probabil veți răspunde în câteva secunde, pentru că sunteți inteligent! Deci, în primul an - doi înmulțiți doi ... în al doilea an - Ce sa întâmplat, alte două, în al treilea an ... STOP! Ați observat că numărul se multiplică. Deci, două în al cincilea grad - un milion! Și acum imaginați-vă că aveți o competiție și aceste milioane vor primi cel care va găsi mai repede ... merită să-și amintească gradul de numere, ce crezi?

Exemplu din numărul de viață 5

Aveți un milion. La începutul fiecărui an câștigi fiecare milion de două. Adevărul mare? Fiecare milion triple. Câți bani veți avea după un an? Hai să numărăm. Primul an este de a multiplica, apoi rezultatul este încă pe ... deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: Trei se înmulțesc de la sine. Prin urmare, gradul al patrulea este egal cu un milion. Este necesar să ne amintim că trei în gradul IV este sau.

Acum știi că, cu ajutorul ridicării numărului, vă veți facilita foarte mult viața. Să ne uităm alături de ceea ce puteți face cu gradele și de ceea ce trebuie să știți despre ei.

Termeni și concepte ... pentru a nu fi confuz

Deci, pentru început, să definim conceptele. Ce crezi, care este indicatorul gradului? Este foarte simplu - acesta este numărul care este "la vârf" al gradului de număr. Nu este științific, dar este clar și ușor de reținut ...

Bine, în același timp o astfel de grad de fundație? Chiar mai ușor - acesta este numărul care este mai jos, la bază.

Iată un desen pentru loialitate.

Ei bine, B. generalPentru a rezuma și a-și aminti mai bine ... Gradul cu fundația "" și indicatorul "" este citit ca "în grad" și este scris după cum urmează:

Gradul de număr cu un indicator natural

Probabil că ați ghicit deja: deoarece indicatorul este numar natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Natural Acestea sunt numerele care sunt utilizate în cont atunci când listați elemente: una, două, trei ... noi, când luăm în considerare elementele, nu spuneți: "minus cinci", "minus șase", "minus șapte". De asemenea, nu spunem: "o treime", sau "zero de întregi, cinci zecimi". Acestea nu sunt numere naturale. Și ce credeți aceste numere?

Numere precum "minus cinci", "minus șase", "minus șapte" aparțin numere întregi. În general, la numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele sunt opuse naturale (adică, luate cu un semn minus) și numărul. Zero înțelege ușor - nu este nimic. Și ce înseamnă numere negative ("minus")? Dar ele au fost inventate în primul rând pentru a desemna datorii: Dacă aveți un echilibru asupra numărului de telefon, înseamnă că ar trebui să călătoriți operatorului.

Tot felul de fracțiuni sunt numere raționale. Cum au apărut, ce crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că lipsesc numere naturale pentru a măsura lungi, greutatea, pătratul etc. Și au inventat numere rationale... mă întreb dacă e adevărat?

Există, de asemenea, numere iraționale. Ce este acest numar? Dacă scurt, apoi infinit zecimal. De exemplu, dacă lungimea circumferinței este împărțită în diametrul său, atunci numărul irațional va fi.

Rezumat:

Definim conceptul de grad, al cărei indicator este un număr natural (adică un întreg și pozitiv).

1. Orice număr la primul grad în mod egal la sine:
2. Evaluați numărul din pătrat - înseamnă să îl înmulțiți singur:
3. Evaluați numărul în cub - înseamnă să îl înmulțiți de trei ori:

Definiție. Evaluați numărul într-un grad natural - înseamnă să multiplicați numărul tuturor timpurilor pentru dvs.:
.

Proprietățile gradelor

De unde provin aceste proprietăți? Vă voi arăta acum.

Să vedem: Ce este și ?

A-PRIOR:

Câți multiplicatori sunt aici?

Foarte simplu: Am terminat multiplicatori în multiplicatori, a dovedit factorii.

Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu un indicator, adică că a fost necesar să se dovedească.

Exemplu: Simplificați expresia.

Decizie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Decizie: Este important să observăm că în regula noastră inainte de Trebuie să fie aceeași fundație!
Prin urmare, combinăm grade cu baza, dar rămâne un multiplicator separat:

numai pentru munca de grade!

În nici un caz nu poate scrie asta.

2. Asta este Gradul de număr

La fel ca și în proprietatea anterioară, ne întoarcem la definiția gradului:

Se pare că expresia se înmulțește singură o dată, adică conform definiției, aceasta este, există o serie de număr:

De fapt, acest lucru poate fi numit "indicatorul pentru paranteze". Dar nu o poate face niciodată în suma:

Amintiți-vă formula de multiplicare abreviată: de câte ori am dorit să scriem?

Dar este incorect, pentru că.

Negativ

Până la acest punct, am discutat doar ceea ce ar trebui să fie indicatorul.

Dar ce ar trebui să fie baza?

În gradele S. indicator natural Baza poate fi orice număr. Și adevărul, ne putem multiplica reciproc orice număr, fie că sunt pozitivi, negativi sau chiar.

Să ne gândim la ce semne ("sau" ") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, un număr pozitiv sau negativ? DAR? ? Cu prima, totul este clar: Câte numere pozitive nu suntem înmulțite unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cu negativ un pic mai interesant. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă de gradul 6: "minus pentru minus dă un plus". Adică sau. Dar dacă ne multiplicăm, va funcționa.

Determinați independent, ce semnează următoarele expresii va avea:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Face față?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este de înțeles? Uită-te la bază și indicator și aplicați regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În Exemplul 5), totul nu este la fel de înfricoșător, așa cum pare: nu contează ce este egal cu baza - gradul este chiar, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Motivul nu este egal? Evident, nu, pentru că (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de formare

Soluții de 6 exemple

Dacă nu acordați atenție gradului opt, ce vedem aici? Amintiți-vă programul de gradul 7. Deci, amintiți-vă? Aceasta este o formulă pentru multiplicarea abreviată, și anume - diferența de pătrate! Primim:

Uită-te cu grijă la numitor. El este foarte asemănător cu unul dintre multiplicatori ai numărătorului, dar ce sa întâmplat? Nu procedura termenilor. Dacă le-ar schimba în locuri, ar fi posibil să se aplice regula.

Dar cum să faci asta? Se pare foarte ușor: Gradul chiar de denominator ne ajută.

Magic, componentele s-au schimbat în locuri. Acest "fenomen" este aplicabil pentru orice expresie la un grad uniform: putem schimba în mod liber semne în paranteze.

Dar este important să vă amintiți: toate semnele se schimbă în același timp.!

Să ne întoarcem de exemplu:

Și din nou formula:

Întreg Numim numere naturale opuse celor (adică, luate cu semnul "") și numărul.

număr întreg pozitiv, Și nu diferă de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Și acum să luăm în considerare cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la zero egal cu unul:

Ca întotdeauna, ne vom întreba: de ce este așa?

Ia în considerare orice grad cu baza. Luați, de exemplu, și dominați pe:

Deci, am înmulțit numărul și am ajuns la fel ca. Și pentru ce număr trebuie să fie multiplicat, astfel încât nimic nu sa schimbat? Asta e corect. Asa de.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Repetați regula:

Orice număr la zero egal cu unul.

Dar din multe reguli există excepții. Și aici este, de asemenea, un număr (ca bază).

Pe de o parte, ar trebui să fie egală cu orice măsură - cât de mult zero nu este nici înmulțită, încă primește zero, este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr la zero, ar trebui să fie egal. Deci, care este adevărul? Matematica a decis să nu se lege și a refuzat să se ridice zero la zero. Adică, acum nu putem fi împărțiți numai în zero, ci și să-l construim la zero.

Să mergem mai departe. În plus față de numerele naturale și numerele includ numere negative. Pentru a înțelege ce grad negativ, vom face ultima oară: în mod obișnuit un număr normal la același grad negativ:

De aici este deja ușor să exprimați dorit:

Acum, am răspândit regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, formulăm regula:

Numărul este un grad negativ înapoi la același număr într-un grad pozitiv. Dar in acelasi timp baza nu poate fi zero: (Pentru că este imposibil să se împartă).

Să rezumăm:

I. Expresia nu este definită în cazul. Daca atunci.

II. Orice număr la zero este egal cu unul :.

III. Un număr care nu este egal cu zero, într-un grad negativ înapoi la același număr la un grad pozitiv :.

Sarcini pentru soluții de sine:

Ei bine, ca de obicei, exemple de soluții de sine:

Analiza sarcinilor pentru soluții de sine:

Știu, știu că numerele sunt teribile, dar examenul ar trebui să fie pregătit pentru tot! Împărtășiți aceste exemple sau împrăștiați decizia lor, dacă nu aș putea decide și veți învăța să faceți față cu ușurință cu ei la examen!

Continuați să extindeți cercul de numere, "potrivit" ca indicator al gradului.

Acum ia în considerare numere rationale. Ce numere sunt numite raționale?

Răspuns: Tot ce poate fi reprezentat sub formă de fracțiuni, unde și - numere întregi și.

Pentru a înțelege ce este "Gradul de marfă", Luați în considerare fracțiunea:

A ridicat ambele părți ale ecuației cu gradul:

Acum amintiți-vă regula despre "Gradul de grad":

Ce număr ar trebui să fie luat în gradul de obținere?

Această formulare este definiția gradului rădăcină.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina numărului () se numește numărul care este egal în exterminare.

Adică, gradul de rădăcină este o operațiune, inversează exercițiul în gradul :.

Se pare că. Evident, acest caz particular poate fi extins :.

Acum adăugați un numitor: Ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu ajutorul regulii "grad în grad":

Dar poate motivul să fie orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat într-o grad uniform este numărul pozitiv. Asta este, de a extrage rădăcinile unui grad uniform din numerele negative, este imposibil!

Aceasta înseamnă că este imposibil să se construiască astfel de numere într-o diplomă fracțională cu un numitor chiar, adică expresia nu are sens.

Cum rămâne cu expresia?

Dar există o problemă.

Numărul poate fi reprezentat sub formă de DRGIH, de exemplu, fracții reduse sau.

Și se pare că există, dar nu există, dar este doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci puteți scrie. Dar merită să ne scrieți într-un mod diferit și din nou avem o neplăcere: (adică, au primit un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita paradoxurile similare, luăm în considerare doar o bază pozitivă de grad cu indicator fracționat.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• - întreg;

Exemple:

Diplomele cu indicatorul rațional sunt foarte utile pentru conversia expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de instruire

Analiza a 5 exemple de formare

Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom înțelege iraţional.

Toate regulile și proprietățile de grade aici sunt exact aceleași ca și pentru o diplomă cu un indicator rațional, cu excepția

La urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate sub forma unei fracții, unde și - numerele iraționale sunt toate numerele valide, cu excepția rațională).

Atunci când studiază grade cu indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am constituit o anumită "imagine", "analogie" sau o descriere în termeni mai familiarizați.

De exemplu, o figură naturală este un număr, de mai multe ori înmulțită cu ea însăși;

...zero - Acesta este modul în care numărul înmulțit de la sine o dată, adică nu a început să se înmulțească, înseamnă că numărul în sine nu a apărut nici măcar - deci rezultatul este doar un anumit "număr de billet", și anume numărul;

...gradul cu un întreg indicator negativ "Se pare că a avut loc un anumit" proces invers ", adică numărul nu a fost înmulțit cu ea însăși, ci deli.

Apropo, în știință este adesea folosit cu un indicator complex, adică indicatorul nu este nici măcar un număr valid.

Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, veți avea ocazia să înțelegeți aceste noi concepte la Institut.

Unde suntem siguri că veți face! (Dacă învățați să rezolvați astfel de exemple :))

De exemplu:

Solim:

Resturi:

1. Să începem cu regulile obișnuite pentru regulile de exercitare pentru noi:

Acum uitați-vă la indicator. Nu vă reamintesc nimic? Amintiți-vă formula de multiplicare abreviată. Diferențe pătrate:

În acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Aducem fracțiunea în indicatorii de grade la aceeași formă: fie zecimal, fie atât obișnuiți. Obținem, de exemplu:

Răspuns: 16.

3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Determinarea gradului

Gradul se numește expresia formularului: Unde:

• — gradul;
• - Indicator.

Gradul cu indicatorul natural (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Construiți un grad natural N - înseamnă înmulțirea numărului pentru dvs. o singură dată:

Gradul cu integrul (0, ± 1, ± 2, ...)

Dacă este un indicator al gradului software-ul pozitiv număr:

Constructie în zero grade.:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice măsură, este, iar pe de altă parte - orice număr de grad este.

Dacă este un indicator al gradului un întreg negativ număr:

(Pentru că este imposibil să se împartă).

Încă o dată despre zerouri: expresia nu este definită în cazul. Daca atunci.

Exemple:

Raţional

• - numar natural;
• - întreg;

Exemple:

Proprietățile gradelor

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde au venit aceste proprietăți? Îi dovedim.

Să vedem: Ce este ceea ce?

A-PRIOR:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține o astfel de activitate:

Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu un indicator, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Decizie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Decizie : Este important să observați că în regula noastră inainte detrebuie să existe aceleași baze. Prin urmare, combinăm grade cu baza, dar rămâne un multiplicator separat:

O altă notă importantă: aceasta este o regulă - numai pentru munca de grade!

În nici un caz la nervi să scrie asta.

La fel ca și în proprietatea anterioară, ne întoarcem la definiția gradului:

Descoperim acest lucru ca acesta:

Se pare că expresia se înmulțește cu ea însăși o dată, adică conform definiției, acest lucru este - prin gradul de număr:

De fapt, acest lucru poate fi numit "indicatorul pentru paranteze". Dar niciodată nu poate face acest lucru în cantitatea:!

Amintiți-vă formula de multiplicare abreviată: de câte ori am dorit să scriem? Dar este incorect, pentru că.

Diplomă cu o bază negativă.

Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie indicator diplomă. Dar ce ar trebui să fie baza? În gradele S. natural indicator Baza poate fi orice număr .

Și adevărul, ne putem multiplica reciproc orice număr, fie că sunt pozitivi, negativi sau chiar. Să ne gândim la ce semne ("sau" ") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, un număr pozitiv sau negativ? DAR? ?

Cu prima, totul este clar: Câte numere pozitive nu suntem înmulțite unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cu negativ un pic mai interesant. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă de gradul 6: "minus pentru minus dă un plus". Adică sau. Dar dacă vom multiplica pe (), se pare.

Și astfel la infinitate: de fiecare dată când următoarea multiplicare va schimba semnul. Normele simple pot fi formulate:

1. chiar Gradul - Număr. pozitiv.
2. Numărul negativ ridicat în ciudat Gradul - Număr. negativ.
3. Un număr pozitiv la fiecare grad este numărul pozitiv.
4. Zero la orice grad este zero.

Determinați independent, ce semnează următoarele expresii va avea:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Face față? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Uită-te la bază și indicator și aplicați regula corespunzătoare.

În Exemplul 5), totul nu este la fel de înfricoșător, așa cum pare: nu contează ce este egal cu baza - gradul este chiar, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Motivul nu este egal? Evident, nu, pentru că (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să știți că mai puțin: sau? Dacă vă amintiți că devine clar că și, prin urmare, baza este mai mică decât zero. Adică, aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim gradul de grad:

Toate ca de obicei - scrieți definiția gradelor și, împărțiți-le unul altuia, împărțiți pe perechi și obțineți:

Înainte de a dezasambla ultima regulă, rezolvăm câteva exemple.

Expresii calculate:

Soluții :

Dacă nu acordați atenție gradului opt, ce vedem aici? Amintiți-vă programul de gradul 7. Deci, amintiți-vă? Aceasta este o formulă pentru multiplicarea abreviată, și anume - diferența de pătrate!

Primim:

Uită-te cu grijă la numitor. El este foarte asemănător cu unul dintre multiplicatori ai numărătorului, dar ce sa întâmplat? Nu procedura termenilor. Dacă ar fi schimbate în locuri, ar fi posibil să se aplice regula 3. Dar cum să o faci? Se pare foarte ușor: Gradul chiar de denominator ne ajută.

Dacă îl tragi, nimic nu se va schimba, nu? Dar acum se dovedește următoarele:

Magic, componentele s-au schimbat în locuri. Acest "fenomen" este aplicabil pentru orice expresie la un grad uniform: putem schimba în mod liber semne în paranteze. Dar este important să vă amintiți: toate semnele se schimbă în același timp!Nu puteți înlocui, schimbând doar un minus dezagreabil!

Să ne întoarcem de exemplu:

Și din nou formula:

Deci, acum ultima regulă:

Cum vom dovedi? Desigur, ca de obicei: voi dezvălui conceptul de grad și simplifică:

Ei bine, acum voi dezvălui paranteze. Cât de mult vor primi scrisorile? Odată pe multiplicatori - ce reamintește? Nu este altceva decât definiția operațiunii multiplicare: În total, au existat factori. Adică, prin definiție, gradul de număr cu indicatorul:

Exemplu:

Iraţional

În plus față de informațiile despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu indicatorul irațional. Toate regulile și proprietățile de grade aici sunt exact aceleași ca și pentru o diplomă cu un indicator rațional, cu excepția - după toate, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi depuse sub forma unei fracții, în cazul în care - numerele întregi (adică numerele iraționale sunt toate numerele valide, în afară de rațional).

Atunci când studiază grade cu indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am constituit o anumită "imagine", "analogie" sau o descriere în termeni mai familiarizați. De exemplu, o figură naturală este un număr, de mai multe ori înmulțită cu ea însăși; Numărul în gradul zero este într-un fel numărul înmulțit de ea însăși o dată, adică nu a început încă să se înmulțească, înseamnă că numărul în sine nu a apărut nici măcar -, prin urmare, doar un anumit "billet", și anume, este rezultatul ; Gradul cu un întreg indicator negativ este ca și cum un anumit "proces invers" a avut loc, adică numărul nu a fost înmulțit cu ea însăși, ci împărțit.

Imaginați-vă că gradul cu un indicator irațional este extrem de dificil (așa cum este dificil să se prezinte un spațiu de 4-dimensională). Este destul de curat obiect matematicCe matematică a creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul număr de numere.

Apropo, în știință este adesea folosit cu un indicator complex, adică indicatorul nu este nici măcar un număr valid. Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, veți avea ocazia să înțelegeți aceste noi concepte la Institut.

Deci, ce facem dacă vedem o rată irațională? Încercăm să scăpăm de ea cu toată puterea! :)

De exemplu:

Solim:

1)

2)

3)

Răspunsuri:

1. Ne amintim de formula diferența de pătrate. Răspuns:.
2. Dăm fracțiunea la aceeași formă: fie zecimal, fie atât obișnuiți. Avem, de exemplu:.
3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

Rezumatul secțiunii și formulele de bază

Gradul Numit expresia formei: unde:

Întreg

gradul, indicatorul căruia este un număr natural (adică un întreg și pozitiv).

Raţional

gradul, indicatorul căruia este numere negative și fracționate.

Iraţional

gradul, indicatorul căruia este o fracțiune zecimală infinită sau o rădăcină.

Proprietățile gradelor

Caracteristicile gradelor.

• Numărul negativ ridicat în chiar Gradul - Număr. pozitiv.
• Numărul negativ ridicat în ciudat Gradul - Număr. negativ.
• Un număr pozitiv la fiecare grad este numărul pozitiv.
• Zero la orice grad este egal.
• Orice număr la zero egal.

Acum ai nevoie de un cuvânt ...

Cum aveți nevoie de un articol? Notați în comentariile cum ar fi sau nu.

Spuneți-mi despre experiența dvs. în utilizarea proprietăților gradelor.

Poate aveți întrebări. Sau sugestii.

Scrieți comentariile.

Și noroc pe examene!

Gradul este folosit pentru a simplifica înregistrarea multiplicării numărului de ele însele. De exemplu, în loc de înregistrare puteți scrie 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) (O explicație a acestei tranziții este dată în prima secțiune a acestui articol). Grade vă permit să simplificați scrierea de expresii sau ecuații lungi sau complexe; De asemenea, gradele sunt ușor pliate și scăzute, ceea ce duce la simplificarea expresiei sau a ecuației (de exemplu, 4 2 * 4 3 \u003d 4 5 (\\ DisplayStyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

Notă: Dacă trebuie să rezolvați ecuația indicativă (în această ecuație, necunoscutul este într-un indicator al gradului), citiți.

Pași

Soluția celor mai simple sarcini cu grade

Înmulțiți fundamentul gradului în sine prin numărul de ori egal cu indicatorul. Dacă aveți nevoie să rezolvați manual sarcina cu grade, rescrieți gradul sub forma unei operațiuni de multiplicare, unde fundația gradului este înmulțită cu ea însăși. De exemplu, având în vedere o diplomă 3 4 (\\ DisplayStyle 3 ^ (4)). În acest caz, baza gradului 3 trebuie să fie înmulțită de 4 ori: 3 * 3 * 3 * 3 (\\ displaystyle 3 * 3 * 3 * 3). Iată alte exemple:

Pentru a începe, înmulțiți primele două numere. De exemplu, 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4). Nu vă faceți griji - procesul de calcul nu este atât de complicat, deoarece pare la prima vedere. În primul rând, înmulțiți primele două patru, apoi înlocuiți-le cu rezultatul. Ca aceasta:

• 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 * 4 \u003d 16 (\\ displaystyle 4 * 4 \u003d 16)

1. Înmulțiți rezultatul (în exemplul nostru 16) la următorul număr. Fiecare rezultat ulterior va crește proporțional cu. În exemplul nostru, multiplicați 16 de 4. Deci:

   • 4 5 \u003d 16 * 4 * 4 * 4 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 * 4 \u003d 64 (\\ DisplayStyle 16 * 4 \u003d 64)
   • 4 5 \u003d 64 * 4 * 4 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     • 64 * 4 \u003d 256 (\\ DisplayStyle 64 * 4 \u003d 256)
   • 4 5 \u003d 256 * 4 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     • 256 * 4 \u003d 1024 (\\ DisplayStyle 256 * 4 \u003d 1024)
   • Continuați înmulțirea rezultatului de înmulțire a primelor două numere la următorul număr până când primiți răspunsul final. Pentru a face acest lucru, schimbați primele două numere și apoi rezultatul este înmulțit cu următorul număr din secvență. Această metodă este valabilă pentru orice măsură. În exemplul nostru ar trebui să obțineți: 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2. Să decidă următoarele sarcini. Verificați răspunsul utilizând calculatorul.

   • 8 2 (\\ displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\\ DisplayStyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (\\ DisplayStyle 10 ^ (7))

3. Pe calculator, găsiți cheia indicată ca "exp" sau " x N (\\ displaystyle x ^ (n))", Sau" ^ ". Cu această cheie, veți ridica numărul în grad. Calculați întinderea cu un indicator mare imposibilă (de exemplu, gradul 9 15 (\\ DisplayStyle 9 ^ (15))), Dar calculatorul poate face față cu ușurință cu această sarcină. În Windows 7, calculatorul standard poate fi comutat în modul inginerie; Pentru a face acest lucru, faceți clic pe "Vizualizare" -\u003e "Inginerie". Pentru a comuta la modul normal, faceți clic pe "Vizualizare" -\u003e "Normal".

   • Verificați răspunsul la motorul de căutare (Google sau Yandex). Folosind tasta "^" de pe tastatura computerului, introduceți expresia motorului de căutare, care afișează instantaneu răspunsul corect (și poate oferi expresii similare pentru a studia).

   Adăugarea, scăderea, multiplicarea gradelor

   1. Puteți adăuga și deduce diplome numai dacă au aceleași baze. Dacă aveți nevoie să adăugați grade cu aceleași baze și indicatori, puteți înlocui funcționarea adăugării de multiplicări. De exemplu, expresia este dată 4 5 + 4 5 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). Amintiți-vă că gradul 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) pot fi reprezentate ca 1 * 4 5 (\\ displaystyle 1 * 4 ^ (5)); în acest fel, 4 5 + 4 5 \u003d 1 * 4 5 + 1 * 4 5 \u003d 2 * 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (unde 1 +1 \u003d 2). Aceasta este, luați în considerare numărul de grade similare și apoi multiplicați o asemenea diplomă și acesta este numărul. În exemplul nostru, construi 4 în gradul al cincilea și apoi rezultatul rezultat se înmulțește cu 2. Amintiți-vă că operația de adăugare poate fi înlocuită de operația de multiplicare, de exemplu, 3 + 3 \u003d 2 * 3 (\\ AfișajStyle 3 + 3 \u003d 2 * 3). Iată alte exemple:

      • 3 2 + 3 2 \u003d 2 * 3 2 (\\ displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 * 4 5 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (\\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2. Când multiplicarea gradelor cu aceeași bază, indicatorii lor sunt pliați (baza nu se schimbă). De exemplu, expresia este dată x 2 * x 5 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5)). În acest caz, trebuie doar să pliați indicatorii, lăsând baza neschimbată. În acest fel, x 2 * x 5 \u003d x 7 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7)). Iată o explicație vizuală a acestei reguli:

      Atunci când ridicați o diplomă, indicatorii sunt înmulțită. De exemplu, având în vedere o diplomă. Deoarece indicatorii de gradul sunt variabile, atunci (x 2) 5 \u003d x 2 * 5 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10)). Semnificația acestei reguli este că înmulțiți gradul (X 2) (\\ DisplayStyle (x ^ (2))) Sine pentru el însuși de cinci ori. Ca aceasta:

      • (X 2) 5 (\\ DisplayStyle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Deoarece baza este aceeași, indicatorii de gradul se adaugă pur și simplu: (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3. Gradul cu un indicator negativ trebuie transformat într-o fracțiune (la gradul invers). Nu este probleme, dacă nu știți ce este gradul de returnare. Dacă vi se oferă o diplomă cu un indicator negativ, de exemplu, 3 - 2 (\\ displaystyle 3 ^ (- 2)), Scrieți acest grad în denominatorul pantaloni (în numărator, locul 1) și faceți indicatorul pozitiv. În exemplul nostru: 1 3 2 (\\ DisplayStyle (\\ Frac (1) (3 ^ (2)))). Iată alte exemple:

      Atunci când împărțiți grade cu aceeași bază, indicatorii lor sunt deduceți (baza nu se schimbă). Funcționarea diviziei este opusul operației de multiplicare. De exemplu, expresia este dată 4 4 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2)))). Ștergeți gradul în numitor, de la indicatorul gradului cu care se confruntă numerele (nu modificați baza). În acest fel, 4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (\\ DisplayStyle (\\ Frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • Gradul cu care se confruntă numitorul poate fi scris în această formă: 1 4 2 (\\ DisplayStyle (\\ Frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\\ displaystyle 4 ^ (- 2)). Amintiți-vă că fracțiunea este un număr (grad, expresie) cu un indicator negativ al gradului.

   4. Mai jos sunt câteva expresii care vă vor ajuta să învățați să rezolvați sarcini cu grade. Aceste expresii acoperă materialul stabilit în această secțiune. Pentru a vedea răspunsul, simplificați pur și simplu spațiul gol după semnul egalității.

   Rezolvarea sarcinilor cu indicatori fracționați

   Gradul cu indicator fracționat (de exemplu, este convertit în funcționarea extracției rădăcinii. În exemplul nostru: X 1 2 (\\ DisplayStyle x ^ (\\ frac (1) (2))) = X (\\ displaystyle (\\ sqrt (x))). Nu contează ce număr este în numitorul indicatorului fracționat. De exemplu, X 1 4 (\\ AfișajStyle x ^ (\\ frac (1) (4))) - Aceasta este rădăcina gradului al patrulea de la "X", adică X 4 (\\ DisplayStyle (\\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. Dacă indicatorul gradului este fracția neregulată, atunci o astfel de măsură poate fi descompusă timp de două grade pentru a simplifica soluția problemei. Nu există nimic complicat în acest lucru - amintiți-vă regula de multiplicare în grade. De exemplu, având în vedere o diplomă. Transformați o astfel de măsură la rădăcină, gradul de care va fi egal cu proeminentul indicatorului fracționat și apoi luați această rădăcină la gradul egal cu număratorul indicatorului fracționat. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că 5 3 (\\ displaystyle (\\ frac (5) (3))) = (1 3) * 5 (\\ AfișajStyle ((\\ frac (1) (3))) * 5). În exemplul nostru:

      • X 5 3 (\\ AfișajStyle x ^ (\\ Frac (5) (3)))
      • X 1 3 \u003d X3 (\\ DisplayStyle x ^ (\\ frac (1) (3)) \u003d (\\ sqrt [(3)] (x)))
      • X 5 3 \u003d x 5 * x 1 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (\\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\\ SQRT [(3)] (x))) ^ (5))
   2. Pe unele calculatoare există un buton pentru a calcula grade (mai întâi trebuie să introduceți baza, apoi apăsați butonul, apoi introduceți indicatorul). Este notată ca ^ sau x ^ y.
   3. Amintiți-vă că orice număr din gradul I în mod egal la sine, de exemplu, 4 1 \u003d 4. (\\ DisplayStyle 4 ^ (1) \u003d 4.) Mai mult, orice număr înmulțit sau împărțit la unul este egal cu el însuși, de exemplu, 5 * 1 \u003d 5 (\\ DisplayStyle 5 * 1 \u003d 5) și 5/1 \u003d 5 (\\ DisplayStyle 5/1 \u003d 5).
   4. Știți că gradele 0 0 nu există (o astfel de măsură nu are nici o soluție). Când încercați să rezolvați o astfel de diplomă pe calculator sau pe computer, veți obține o eroare. Dar amintiți-vă că orice număr în gradul zero este de 1, de exemplu, 4 0 \u003d 1. (\\ displaystyle 4 ^ (0) \u003d 1.)
   5. În cea mai înaltă matematică, care operează cu numere imaginare: E A I X \u003d C O S A X + I S I N A X (\\ DisplayStyle E ^ (a) ix \u003d Cosax + Isinax)Unde i \u003d (- 1) (\\ displaystyle i \u003d (\\ sqrt (()) - 1)); e - constantă, aproximativ egală cu 2,7; A - Constant arbitrar. Dovada acestei egalități poate fi găsită în orice manual de matematică mai mare.

   Avertizări

   • Cu o creștere a indicatorului gradului, valoarea sa crește mult. Prin urmare, dacă răspunsul vă pare rău, de fapt el poate fi credincios. Puteți să o verificați prin construirea unui program de orice funcție indicativă, de exemplu, 2 x.

Pe canalul de pe YouTube site-ul site-ului nostru pentru a ține pasul cu toate noile lecții video.

În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale gradelor și proprietățile acestora.

Lucrarea numărului a. În sine apare n ori, această expresie pe care o putem scrie ca o ... A \u003d a n

1. A 0 \u003d 1 (A ≠ 0)

3. A n A m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d un nm

5. A n b n \u003d (ab) n

7. A n / a m \u003d un n - m

Putere sau ecuații indicative - Acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în grade (sau indicatori), iar baza este numărul.

Exemple de ecuații orientative:

În acest exemplu, numărul 6 este baza pe care o reprezintă întotdeauna la parter și variabila x. diplomă sau indicator.

Să dăm mai multe exemple de ecuații orientative.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

Acum vom analiza modul în care sunt rezolvate ecuațiile demonstrative?

Ia o ecuație simplă:

2 x \u003d 2 3

Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în minte. Se poate vedea că x \u003d 3. La urma urmei, astfel încât partea stângă și dreaptă să fie egală cu numărul 3 în loc de x.
Acum, să vedem cum este necesar să se emită această decizie:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3.

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat aceleași motive (adică două) și a înregistrat ceea ce rămâne, este grade. A primit răspunsul dorit.

Acum rezumă decizia noastră.

Algoritmul pentru rezolvarea unei ecuații indicative:
1. Trebuie să verificați aceeași Fundamentele Lee la ecuația din dreapta și la stânga. Dacă bazele nu sunt aceleași ca și în căutarea unor opțiuni pentru rezolvarea acestui exemplu.
2. După ce fundațiile devin aceleași, egal grade și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum rescrieți câteva exemple:

Să începem cu un simplu.

Bazele din partea stângă și dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem respinge și echivalează gradele lor.

x + 2 \u003d 4 Sa dovedit cea mai simplă ecuație.
X \u003d 4 - 2
x \u003d 2.
Răspuns: x \u003d 2

În exemplul următor, se poate observa că bazele sunt diferite. Este 3 și 9.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0

Pentru a începe, transferăm cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faceți aceeași fundație. Știm că 9 \u003d 3 2. Folosim formula de grad (A n) m \u003d un nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Obținem 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 Acum este clar că în stânga și partea dreapta Bazele sunt la fel și egale cu troica, atunci putem să le aruncăm și să echivalez diplome.

3x \u003d 2x + 16 a primit cea mai simplă ecuație
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16.
Răspuns: x \u003d 16.

Ne uităm la următorul exemplu:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

În primul rând, ne uităm la bază, fundațiile sunt diferite două și patru. Și trebuie să fim la fel. Convertim cele patru cu formula (A n) m \u003d un nm.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

Și, de asemenea, utilizați o singură formulă A N A M \u003d A N + M:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

Am condus un exemplu în aceleași motive. Dar interfera cu alte numere 10 și 24. Ce să faci cu ei? Dacă puteți vedea că este clar că avem 2 2 2, acesta este răspunsul - 2 2, putem scoate parantezele:

2 2x (2 4 - 10) \u003d 24

Calculăm expresia în paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Toate ecuația delimi la 6:

Imaginați-vă 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 2 2 baze sunt aceleași, aruncându-le și echivalează gradele.
2x \u003d 2 Sa dovedit cea mai simplă ecuație. Împărțim-o pe 2
x \u003d 1.
Răspuns: x \u003d 1.

Rezolvarea ecuației:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

Transformăm:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Avem ecuația:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0

Fundațiile pe care le avem același lucru sunt egale cu trei. În acest exemplu, se poate observa că primele trei grade de două ori (2x) este mai mare decât cea a celui de-al doilea (simplu x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Numărul cu cel mai mic grad înlocuiește:

Apoi 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Înlocuiți în ecuație toate gradele cu cavități pe T:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
A primi ecuația patrată. Ne hotărâm prin discriminator, obținem:
D \u003d 144-108 \u003d 36
T 1 \u003d 9
T 2 \u003d 3

Reveniți la variabila x..

Luați T 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Acesta este,

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
X 1 \u003d 2

O rădăcină găsită. Căutăm al doilea, de la T 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Răspuns: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.

Pe site-ul puteți, în ajutor, rezolvarea deciziei de a vă cere să puneți întrebări.

Alăturați-vă grupului