Gradul este folosit pentru a simplifica înregistrarea multiplicării numărului de ele însele. De exemplu, în loc de înregistrare puteți scrie 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) (O explicație a acestei tranziții este dată în prima secțiune a acestui articol). Grade vă permit să simplificați scrierea de expresii sau ecuații lungi sau complexe; De asemenea, gradele sunt ușor pliate și scăzute, ceea ce duce la simplificarea expresiei sau a ecuației (de exemplu, 4 2 * 4 3 \u003d 4 5 (\\ DisplayStyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

Notă: Dacă trebuie să rezolvați ecuația indicativă (în această ecuație, necunoscutul este într-un indicator al gradului), citiți.

Pași

Soluția celor mai simple sarcini cu grade

Înmulțiți fundamentul gradului în sine prin numărul de ori egal cu indicatorul. Dacă aveți nevoie să rezolvați manual sarcina cu grade, rescrieți gradul sub forma unei operațiuni de multiplicare, unde fundația gradului este înmulțită cu ea însăși. De exemplu, având în vedere o diplomă 3 4 (\\ DisplayStyle 3 ^ (4)). În acest caz, baza gradului 3 trebuie să fie înmulțită de 4 ori: 3 * 3 * 3 * 3 (\\ displaystyle 3 * 3 * 3 * 3). Iată alte exemple:

Pentru a începe, înmulțiți primele două numere. De exemplu, 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4). Nu vă faceți griji - procesul de calcul nu este atât de complicat, deoarece pare la prima vedere. În primul rând, înmulțiți primele două patru, apoi înlocuiți-le cu rezultatul. Ca aceasta:

• 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 * 4 \u003d 16 (\\ displaystyle 4 * 4 \u003d 16)

1. Înmulțiți rezultatul (în exemplul nostru 16) la următorul număr. Fiecare rezultat ulterior va crește proporțional cu. În exemplul nostru, multiplicați 16 de 4. Deci:

   • 4 5 \u003d 16 * 4 * 4 * 4 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 * 4 \u003d 64 (\\ DisplayStyle 16 * 4 \u003d 64)
   • 4 5 \u003d 64 * 4 * 4 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     • 64 * 4 \u003d 256 (\\ DisplayStyle 64 * 4 \u003d 256)
   • 4 5 \u003d 256 * 4 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     • 256 * 4 \u003d 1024 (\\ DisplayStyle 256 * 4 \u003d 1024)
   • Continuați înmulțirea rezultatului de înmulțire a primelor două numere la următorul număr până când primiți răspunsul final. Pentru a face acest lucru, schimbați primele două numere și apoi rezultatul este înmulțit cu următorul număr din secvență. Această metodă este valabilă pentru orice măsură. În exemplul nostru ar trebui să obțineți: 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2. Să decidă următoarele sarcini. Verificați răspunsul utilizând calculatorul.

   • 8 2 (\\ displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\\ DisplayStyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (\\ DisplayStyle 10 ^ (7))

3. Pe calculator, găsiți cheia indicată ca "exp" sau " x N (\\ displaystyle x ^ (n))", Sau" ^ ". Cu această cheie, veți ridica numărul în grad. Calculați întinderea cu un indicator mare imposibilă (de exemplu, gradul 9 15 (\\ DisplayStyle 9 ^ (15))), Dar calculatorul poate face față cu ușurință cu această sarcină. În Windows 7, calculatorul standard poate fi comutat în modul inginerie; Pentru a face acest lucru, faceți clic pe "Vizualizare" -\u003e "Inginerie". Pentru a comuta la modul normal, faceți clic pe "Vizualizare" -\u003e "Normal".

   • Verificați răspunsul la motorul de căutare (Google sau Yandex). Folosind tasta "^" de pe tastatura computerului, introduceți expresia motorului de căutare, care afișează instantaneu răspunsul corect (și poate oferi expresii similare pentru a studia).

   Adăugarea, scăderea, multiplicarea gradelor

   1. Puteți adăuga și deduce diplome numai dacă au aceleași baze. Dacă aveți nevoie să adăugați grade cu aceleași baze și indicatori, puteți înlocui funcționarea adăugării de multiplicări. De exemplu, expresia este dată 4 5 + 4 5 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). Amintiți-vă că gradul 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) pot fi reprezentate ca 1 * 4 5 (\\ displaystyle 1 * 4 ^ (5)); în acest fel, 4 5 + 4 5 \u003d 1 * 4 5 + 1 * 4 5 \u003d 2 * 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (unde 1 +1 \u003d 2). Aceasta este, luați în considerare numărul de grade similare și apoi multiplicați o asemenea diplomă și acesta este numărul. În exemplul nostru, construi 4 în gradul al cincilea și apoi rezultatul rezultat se înmulțește cu 2. Amintiți-vă că operația de adăugare poate fi înlocuită de operația de multiplicare, de exemplu, 3 + 3 \u003d 2 * 3 (\\ AfișajStyle 3 + 3 \u003d 2 * 3). Iată alte exemple:

      • 3 2 + 3 2 \u003d 2 * 3 2 (\\ displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 * 4 5 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (\\ DisplayStyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (\\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2. Când multiplicarea gradelor cu aceeași bază, indicatorii lor sunt pliați (baza nu se schimbă). De exemplu, expresia este dată x 2 * x 5 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5)). În acest caz, trebuie doar să pliați indicatorii, lăsând baza neschimbată. În acest fel, x 2 * x 5 \u003d x 7 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7)). Iată o explicație vizuală a acestei reguli:

      Atunci când ridicați o diplomă, indicatorii sunt înmulțită. De exemplu, având în vedere o diplomă. Deoarece indicatorii de gradul sunt variabile, atunci (x 2) 5 \u003d x 2 * 5 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10)). Semnificația acestei reguli este că înmulțiți gradul (X 2) (\\ DisplayStyle (x ^ (2))) Sine pentru el însuși de cinci ori. Ca aceasta:

      • (X 2) 5 (\\ DisplayStyle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Deoarece baza este aceeași, indicatorii de gradul se adaugă pur și simplu: (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3. Gradul cu un indicator negativ trebuie transformat într-o fracțiune (la gradul invers). Nu este probleme, dacă nu știți ce este gradul de returnare. Dacă vi se oferă o diplomă cu un indicator negativ, de exemplu, 3 - 2 (\\ displaystyle 3 ^ (- 2)), Scrieți acest grad în denominatorul pantaloni (în numărator, locul 1) și faceți indicatorul pozitiv. În exemplul nostru: 1 3 2 (\\ DisplayStyle (\\ Frac (1) (3 ^ (2)))). Iată alte exemple:

      Atunci când împărțiți grade cu aceeași bază, indicatorii lor sunt deduceți (baza nu se schimbă). Funcționarea diviziei este opusul operației de multiplicare. De exemplu, expresia este dată 4 4 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2)))). Ștergeți gradul în numitor, de la indicatorul gradului cu care se confruntă numerele (nu modificați baza). În acest fel, 4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (\\ DisplayStyle (\\ Frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • Gradul cu care se confruntă numitorul poate fi scris în această formă: 1 4 2 (\\ DisplayStyle (\\ Frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\\ displaystyle 4 ^ (- 2)). Amintiți-vă că fracțiunea este un număr (grad, expresie) cu un indicator negativ al gradului.

   4. Mai jos sunt câteva expresii care vă vor ajuta să învățați să rezolvați sarcini cu grade. Aceste expresii acoperă materialul stabilit în această secțiune. Pentru a vedea răspunsul, simplificați pur și simplu spațiul gol după semnul egalității.

   Rezolvarea sarcinilor cu indicatori fracționați

   Gradul cu indicator fracționat (de exemplu, este convertit în funcționarea extracției rădăcinii. În exemplul nostru: X 1 2 (\\ DisplayStyle x ^ (\\ frac (1) (2))) = X (\\ displaystyle (\\ sqrt (x))). Nu contează ce număr este în numitorul indicatorului fracționat. De exemplu, X 1 4 (\\ AfișajStyle x ^ (\\ frac (1) (4))) - Aceasta este rădăcina gradului al patrulea de la "X", adică X 4 (\\ DisplayStyle (\\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. Dacă indicatorul gradului este fracția neregulată, atunci o astfel de măsură poate fi descompusă timp de două grade pentru a simplifica soluția problemei. Nu există nimic complicat în acest lucru - amintiți-vă regula de multiplicare în grade. De exemplu, având în vedere o diplomă. Transformați o astfel de măsură la rădăcină, gradul de care va fi egal cu proeminentul indicatorului fracționat și apoi luați această rădăcină la gradul egal cu număratorul indicatorului fracționat. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că 5 3 (\\ displaystyle (\\ frac (5) (3))) = (1 3) * 5 (\\ AfișajStyle ((\\ frac (1) (3))) * 5). În exemplul nostru:

      • X 5 3 (\\ AfișajStyle x ^ (\\ Frac (5) (3)))
      • X 1 3 \u003d X3 (\\ DisplayStyle x ^ (\\ frac (1) (3)) \u003d (\\ sqrt [(3)] (x)))
      • X 5 3 \u003d x 5 * x 1 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (\\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\\ SQRT [(3)] (x))) ^ (5))
   2. Pe unele calculatoare există un buton pentru a calcula grade (mai întâi trebuie să introduceți baza, apoi apăsați butonul, apoi introduceți indicatorul). Este notată ca ^ sau x ^ y.
   3. Amintiți-vă că orice număr din gradul I în mod egal la sine, de exemplu, 4 1 \u003d 4. (\\ DisplayStyle 4 ^ (1) \u003d 4.) Mai mult, orice număr înmulțit sau împărțit la unul este egal cu el însuși, de exemplu, 5 * 1 \u003d 5 (\\ DisplayStyle 5 * 1 \u003d 5) și 5/1 \u003d 5 (\\ DisplayStyle 5/1 \u003d 5).
   4. Știți că gradele 0 0 nu există (o astfel de măsură nu are nici o soluție). Când încercați să rezolvați o astfel de diplomă pe calculator sau pe computer, veți obține o eroare. Dar amintiți-vă că orice număr în gradul zero este de 1, de exemplu, 4 0 \u003d 1. (\\ displaystyle 4 ^ (0) \u003d 1.)
   5. În cea mai înaltă matematică, care operează cu numere imaginare: E A I X \u003d C O S A X + I S I N A X (\\ DisplayStyle E ^ (a) ix \u003d Cosax + Isinax)Unde i \u003d (- 1) (\\ displaystyle i \u003d (\\ sqrt (()) - 1)); e - constantă, aproximativ egală cu 2,7; A - Constant arbitrar. Dovada acestei egalități poate fi găsită în orice manual de matematică mai mare.

   Avertizări

   • Cu o creștere a indicatorului gradului, valoarea sa crește mult. Prin urmare, dacă răspunsul vă pare rău, de fapt el poate fi credincios. Puteți să o verificați prin construirea unui program de orice funcție indicativă, de exemplu, 2 x.

Luați în considerare subiectul transformării expresiilor cu grade, dar mai întâi să ne oprim la o serie de transformări care pot fi efectuate cu orice expresii, inclusiv cu putere. Vom învăța să dezvăluim paranteze, să aduc termeni similari, să lucrăm cu baza și indicatorul gradului, folosim proprietățile gradelor.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Care sunt expresii puternice?

ÎN curs de școală Puține utilizări ale expresiei "expresii puternice", dar acest termen se întâlnește în mod constant în colecții pentru a se pregăti pentru examen. În majoritatea cazurilor, frazele sunt indicate de expresii care conțin în înregistrările lor de diplomă. Acest lucru reflectăm în definiția noastră.

Definiție 1.

Expresia puterii - Aceasta este o expresie care conține grade.

Să dăm câteva exemple de expresii de putere, începând cu gradul cu un indicator natural și terminând cu indicatorul real.

Cele mai simple expresii de putere pot fi considerate gradul de număr cu indicatorul natural: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 · A 2 - A + A 2, X 3 - 1, (A 2) 3. Precum și grade cu indicator zero: 5 0, (A + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Și grade cu diplome negative întregi: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Ușor mai greu de lucrat cu o diplomă având indicatori raționali și iraționali: 264 1 4-3 · 3,3 1 2, 2 3, 5,2-2 2 - 1, 5, 1 A 1 4 · A 1 2 - 2 · A - 1 6 · B 1 2, x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Ca indicator, o variabilă 3 x - 54 - 7,3 x - 58 sau logaritm poate fi x 2 · l g x - 5 · x l g x.

Cu întrebarea a ceea ce expresiile de putere sunt, ne-am dat seama. Acum ne vom ocupa de convertirea lor.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor de putere

În primul rând, vom lua în considerare transformările de identitate de bază ale expresiilor care pot fi efectuate cu expresii de putere.

Exemplul 1.

Calculați valoarea expresiei de putere 2 3 · (4 2 - 12).

Decizie

Toate transformările pe care le vom efectua în conformitate cu procedura de efectuare a acțiunilor. În acest caz, începem cu implementarea acțiunilor în paranteze: înlocuiți gradul de valoare digitală și calculați diferența dintre două numere. Avea 2 3 · (4 2 - 12) \u003d 2 3 · (16 - 12) \u003d 2 3 · 4.

Încă mai trebuie să înlocuim gradul 2 3 Semnificația lui 8 și calculați lucrarea 8 · 4 \u003d 32. Iată răspunsul nostru.

Răspuns: 2 3 · (4 2 - 12) \u003d 32.

Exemplul 2.

Simplificați expresia cu grade 3 · A 4, B - 7 - 1 + 2 · A 4 · B - 7.

Decizie

O expresie dată de noi în ceea ce privește sarcina conține termeni similari pe care putem conduce: 3 · A 4, B - 7 - 1 + 2 · A 4, B - 7 \u003d 5 · A 4, B - 7 - 1.

Răspuns: 3 · A 4, B - 7 - 1 + 2 · A 4, B - 7 \u003d 5 · A 4, B - 7 - 1.

Exemplul 3.

Pregătiți o expresie cu grade 9 - B 3 π - 1 2 ca o bucată.

Decizie

Imaginați-vă numărul 9 ca grad 3 2 și să aplice formula de multiplicare abreviată:

9 - B 3 · π - 1 2 \u003d 3 2 - B 3 π - 1 2 \u003d \u003d 3 - B 3 · π - 1 3 + B 3 π - 1

Răspuns: 9 - B 3 π - 1 2 \u003d 3 - B 3 π - 1 3 + B 3 π - 1.

Și acum ne întoarcem la dezastru transformări identicecare pot fi utilizate exact în legătură cu expresiile de putere.

Lucrați cu baza și indicatorul gradului

Gradul din bază sau indicator poate avea, de asemenea, numere, variabile și unele expresii. De exemplu, (2 + 0, 3 · 7) 5 - 3, 7 și . Lucrul cu astfel de intrări este dificil. Este mult mai ușor să înlocuiți expresia la baza gradului sau expresiei din indicator identic egal cu o expresie.

Transformările de diplomă și indicatoare sunt efectuate în conformitate cu regulile cunoscute separat unul de celălalt. Cel mai important lucru este că, ca urmare a transformării, o expresie este identică cu cea inițială.

Scopul transformărilor este de a simplifica expresia inițială sau de a obține soluția la această problemă. De exemplu, în exemplul pe care l-am condus mai sus, (2 + 0, 3,7) 5 - 3, 7, puteți efectua acțiuni la tranziție la grad 4 , 1 1 , 3 . Deschideți paranteze, putem conduce termeni similari în partea de jos (A · (A + 1) - A 2) 2 · (x + 1) și obțineți o expresie puternică a unui tip mai simplu A 2 · (x + 1).

Utilizați proprietățile gradelor

Proprietățile gradelor înregistrate sub formă de egalități sunt unul dintre instrumentele principale pentru transformarea expresiilor cu grade. Iată principalele lor, având în vedere că A. și B. - acestea sunt numere pozitive și R. și S. - numere valide arbitrare:

Definiția 2.

• a R · A S \u003d A R + S;
• a R: A S \u003d A R - S;
• (a · b) r \u003d a r · b r;
• (A: B) r \u003d A R: B r;
• (A R) S \u003d A R · S.

În cazurile în care avem de-a face cu indicatori naturali, întregi și pozitivi ai gradului, limitările privind numărul A și B pot fi mult mai puțin stricte. Deci, de exemplu, dacă luăm în considerare egalitatea A M · A N \u003d A M + NUnde M. și N. - numere naturale, va fi valabilă pentru orice valori ale A, atât pozitive, cât și negative, precum și pentru A \u003d 0..

Este posibilă aplicarea proprietăților gradelor fără restricții în cazurile în care bazele de grade sunt pozitive sau conțin variabile, a căror valori admise este astfel încât numai valorile pozitive să fie luate pe ea. De fapt, în interiorul programul școlii În matematică, sarcina elevului este de a alege o proprietate potrivită și aplicația corectă.

La pregătirea pentru admiterea la universități, pot apărea sarcini în care utilizarea inecantă a proprietăților va duce la o îngustare a OTZ și a altor dificultăți cu soluția. În această secțiune, vom analiza doar două astfel de cazuri. Mai multe informații despre această problemă pot fi găsite în subiectul "Transformarea expresiilor folosind proprietățile gradelor".

Exemplul 4.

Imaginați-vă o expresie A 2, 5 · (A 2) - 3: A - 5, 5 sub forma unei grade A..

Decizie

Pentru a începe, folosim proprietatea exercițiului și transformăm al doilea factor pe el. (A 2) - 3 . Apoi utilizați proprietățile multiplicării și diviziunii de grade cu aceeași bază:

a2, 5 · A - 6: A-5, 5 \u003d A2, 5 - 6: A - 5, 5 \u003d A - 3, 5: A - 5, 5 \u003d A - 3, 5 - (- 5, 5) \u003d A 2.

Răspuns: A 2, 5 · (A 2) - 3: A - 5, 5 \u003d A 2.

Transformarea expresiilor de putere în funcție de proprietatea gradelor poate fi făcută atât de la stânga la dreapta, cât și în direcția opusă.

Exemplul 5.

Găsiți valoarea expresiei de putere 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3.

Decizie

Dacă aplicăm egalitatea (A · b) r \u003d a r · b r, Dreptul la stânga, atunci primim un produs al formei 3,7 1 3 · 21 2 3 și mai departe 21 1 3 · 21 2 3. Mutarea indicatorilor la multiplicarea gradelor cu aceleași baze: 21 1 3 · 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Există o altă modalitate de a efectua conversia:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 \u003d 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 23 \u003d 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 \u003d 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 \u003d 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 \u003d 3 1 · 7 1 \u003d 21

Răspuns: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 \u003d 3 1 · 7 1 \u003d 21

Exemplul 6.

Exprimarea puterii este dată A 1, 5 - A 0, 5 - 6Introduceți o nouă variabilă T \u003d a 0, 5.

Decizie

Imaginați-vă un grad A 1, 5 la fel de A 0, 5 · 3 . Utilizați proprietatea gradului la gradul (a r) s \u003d a r Pe partea dreaptă stânga și obține (A 0, 5) 3: A 1, 5 - A 0, 5 - 6 \u003d (A 0, 5) 3 - A 0, 5 - 6. În expresia rezultată, puteți introduce cu ușurință o nouă variabilă. T \u003d a 0, 5: A primi T 3 - t - 6.

Răspuns: T 3 - t - 6.

Transformarea fracțiilor care conțin grade

De obicei, avem de-a face cu două variante de expresii de putere cu fracțiuni: expresia este o fracțiune cu o grad sau conține o astfel de fracție. Aceste expresii aplică toate transformările majore ale fracțiilor fără restricții. Acestea pot fi reduse, duc la un nou numitor, lucrați separat cu un numitor și numitor. Noi ilustrează acest lucru prin exemple.

Exemplul 7.

Simplificați expresia de putere 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2.

Decizie

Avem de-a face cu o fracțiune, așa că efectuăm transformări în numărător și în numitor:

3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5-23 1 + 2 · x2-3-3 · x2 \u003d 3,5 2 3 · 5 1 3 - 3,5 2 3 · 5 - 2 3 - 2 - X2 \u003d \u003d 3,5 2 3 + 1 3-3 · 52 3 + - 2 3 - 2 - X2 \u003d 3,5 1 - 3,5 0 - 2 - X2

Poziția minus înainte de fracțiune pentru a schimba semnul numitorului: 12 - 2 - x 2 \u003d - 12 2 + x 2

Răspuns: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5-2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 \u003d - 12 2 + x 2

Fracțiunile conținând grade sunt date noului numitor în fracțiunile exact și raționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un multiplicator suplimentar și să multiplicați numitorul și numitorul fracției. Este necesar să se selecteze un factor suplimentar în așa fel încât să nu se aplice la zero sub nicio valoare a variabilelor de la variabilele impare pentru expresia inițială.

Exemplul 8.

Oferiți fracții unui nou numitor: a) A + 1 A 0, 7 la numitor A., b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 la denominator x + 8 · Y12.

Decizie

a) Vom selecta un multiplicator care ne va permite să aducem la un nou numitor. A 0, 7 · A 0, 3 \u003d A 0, 7 + 0, 3 \u003d A,prin urmare, ca un multiplicator suplimentar pe care îl vom lua A 0, 3. Zona valorilor admisibile ale variabilei A include multe dintre toate numerele valide pozitive. In aceasta zona A 0, 3 Nu este accesat la zero.

Efectuați multiplicarea numărătorului și a numitorului fracțiunii A 0, 3:

a + 1 A 0, 7 \u003d A + 1 · A 0, 3 A 0, 7 · A 0, 3 \u003d A + 1 · A 0, 3 A

b) să acorde atenție numitorului:

x2 3 - 2 · x 1 3 · Y 1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 2 - x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · Y 1 6 2

Înmulțiți această expresie pe x 1 3 + 2,0 Y 1 6, obținem suma cuburilor x 1 3 și 2,0 y 1 6, adică X + 8 · Y 1 2. Acesta este noul nostru numitor al nostru la care trebuie să aducem fracțiunea inițială.

Așa că am găsit un multiplicator suplimentar x 1 3 + 2 · Y 1 6. În ceea ce privește valorile admisibile ale variabilelor X. și Y. Expresia x 1 3 + 2 · Y 1 6 nu se întoarce la zero, astfel încât să putem înmulți numitorul și numitorul fracției:
1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 + 2,206 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 \u003d x 1 3 + 2,2 6 x + 8 · Y12

Răspuns: a) A + 1 A 0, 7 \u003d A + 1 · A 0, 3 A, B) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · Y 1 2.

Exemplul 9.

Reduceți fracția: a) 30 · x 3 · (x 0, 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3, b) A 1 4 - B 1 4 A 1 2 - B 1 2.

Decizie

a) Folosim cel mai mare numitor comun (nod) la care număratorul și numitorul pot fi reduse. Pentru numerele 30 și 45, acesta este 15. De asemenea, putem reduce x 0, 5 + 1 și pe x + 2 · x 1 1 3 - 5 3.

Primim:

30 · x 3 · (x 0, 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1)

b) Aici, prezența aceluiași multiplicatori nu este evidentă. Va trebui să efectuați unele conversii pentru a obține aceleași multiplicatori într-un numitor și numitor. Pentru a face acest lucru, puneți un numitor folosind formula de diferență pătrată:

a 1 4 - B14 a 1 2 - B12 \u003d A 1 4 - B14 A1 4 2 - B122 \u003d A 1 4 - B 1 4 A 1 4 + B 1 4 · A 1 4 - B 1 4 \u003d 1 A 1 4 + B 1 4

Răspuns:a) 30 · x 3 · (x 0, 5 + 1 3-5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 · X3 3 · (x 0, 5 + 1), b) A 1 4 - B1 4 A1 2 - B 1 2 \u003d 1 A 1 4 + B 1 4.

Acțiunile esențiale cu fracțiunile includ aducerea la un nou numitor și fracțiuni de tăiere. Ambele acțiuni sunt efectuate în conformitate cu o serie de reguli. La adăugarea și scăderea fracțiilor mai întâi, fracțiunile sunt date numitor comun, după ce acțiuni sunt efectuate (adăugare sau scădere) cu numerotoare. Numitorul rămâne același. Rezultatul acțiunilor noastre este o nouă fracție, al cărui numărător este produsul numerelor, iar numitorul este un produs al denominatorilor.

Exemplul 10.

Efectuați acțiuni x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2.

Decizie

Să începem cu scăderea fracțiunilor care sunt situate în paranteze. Le oferim denominatorului general:

x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1

Subscrie numere:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - X12 - 1 x 1 2 + 1,1 x 1 2 \u003d x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 · x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 - 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 2 + 2 · x12 + 1 - X122-2 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1,1 x 1 2 \u003d \u003d 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1,1 x 1 2

Acum multiplicăm fracțiunile:

4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1,1 x 1 2 \u003d 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

Vom reduce gradul X 1 2., obținem 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1.

În plus, este posibilă simplificarea expresiei de energie în numitor, utilizând formula de diferențe pătrată: pătrate: 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 \u003d 4 x 1 2 2 - 1 2 \u003d 4 x - 1.

Răspuns: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d 4 x - 1

Exemplul 11.

Simplificați expresia de alimentare x 3 4, x 2, 7 + 1 2 x - 5 8, X2, 7 + 1 3.
Decizie

Putem reduce fracțiunea (x 2, 7 + 1) 2. Obținem fracțiunea x 3 4 x - 5 8, X2, 7 + 1.

Continuăm să transformăm gradele de x 3 4 x - 5 8,1 x 2, 7 + 1. Acum puteți utiliza apărarea gradelor cu aceleași baze: x 3 4 x - 5 8,1 x 2, 7 + 1 \u003d x 3 4 - - 5 8,1 x 2, 7 + 1 \u003d x 1 1 8 · 1 x 2, 7 + 1.

Du-te de la ultima lucrare la fracțiunea x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Răspuns: X3 4 · x2, 7 + 1 2 x - 5 8, X2, 7 + 1 3 \u003d x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Mulțirile cu indicatori negativi în majoritatea cazurilor sunt mai convenabil pentru a se transfera de la numărător la numitor și înapoi, schimbând semnul indicatorului. Această acțiune vă permite să simplificați soluția ulterioară. Să dăm un exemplu: o expresie de putere (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 poate fi înlocuită cu x 3 · (x + 1) 0, 2.

Transformarea expresiilor cu rădăcini și grade

Există expresii semnificative în sarcinile care conțin nu numai grade cu indicatori fracționari, ci și rădăcini. Astfel de expresii sunt de dorit să aducă doar rădăcini sau numai la grade. Tranziția la grade este preferabilă, deoarece acestea sunt mai ușor de lucrat cu ei. O astfel de tranziție este deosebit de preferabilă atunci când variabilele OTZ pentru expresia originală face posibilă înlocuirea rădăcinilor în grade fără a fi nevoie să se întoarcă la modul sau să se împartă OTZ în mai multe goluri.

Exemplul 12.

Pregătiți expresia x 1 9 · x · x 3 6 ca diplomă.

Decizie

Zona de valori variabile admise X. Determinată de două inegalități x ≥ 0. și x · x 3 ≥ 0, care set de multe [ 0 , + ∞) .

Pe acest set avem dreptul de a trece de la rădăcini la grade:

x 1 9 · x · x 3 6 \u003d x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Folosind proprietățile gradelor, simplifică expresia de putere rezultată.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · X 1 18 \u003d x 1 9 + 1 6 + 1 18 \u003d x 1 3

Răspuns: x 1 9 · x · x 3 6 \u003d x 1 3.

Transformarea gradelor cu variabilele în indicator

Datele de conversie pur și simplu produc pur și simplu, dacă folosesc competențele proprietățile de gradul. De exemplu, 5 2 · x + 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x - 1 \u003d 0.

Putem înlocui gradul în indicatorii căruia există o sumă de variabilă și numărul. În partea stângă, acest lucru se poate face cu primul și ultimul termen din partea stângă a expresiei:

5 2 · x · 5 - 14 · 7 2 · x · 7 - 1 \u003d 0, 5 · 5 2 · x - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x \u003d 0.

Acum împărtășiți ambele părți ale egalității 7 2 · x. Această expresie pe variabila OTZ X primește numai valori pozitive:

5 · 5 - 3,5 x · 7 2 · x \u003d 0 7 2 · x, 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 2 · X - 2 · 7 2,5 2 · x 7 2 · x - 3,5 x · 7 x 7 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0.

Vom reduce fracțiunile cu grade, obținem: 5,5 2, x 7 2 · x - 3,5 x 7 x - 2 \u003d 0.

În cele din urmă, raportul dintre grade cu aceiași indicatori este înlocuit cu grade de relații, ceea ce duce la o ecuație 5,5 7 2 · x - 3,5 7 x - 2 \u003d 0, echivalentă cu 5,5 7 x 2 - 3 · 5 7 x - 2 \u003d 0.

Introducem o nouă variabilă t \u003d 5 7 x, ceea ce reduce soluția ecuației indicative inițiale la soluția ecuației pătrate 5 · T2- 3 · T-2 \u003d 0.

Transformarea expresiilor cu diplome și logaritmi

Expresiile care conțin gradul și înregistrarea logaritmului se găsesc și în sarcini. Un exemplu de astfel de expresii poate fi: 1 4 1 - 5 · log 2 3 sau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · Log 5 3. Transformarea unor astfel de expresii se realizează folosind abordările de mai sus și proprietățile logaritmilor, pe care le-am dezmembrat în detaliu în subiectul "Transformarea expresiilor logaritmice".

Dacă observați o greșeală în text, selectați-o și apăsați CTRL + ENTER

Formule de grade Folosit în procesul de abreviere și simplificarea expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c. este an n.Micul grad. a. cand:

Operațiuni cu grade.

1. Înmulțirea gradului cu aceeași bază, indicatorii lor se îndoaie:

un M.· A n \u003d a m + n.

2. În diplomele de divizare cu aceeași bază, indicatorii lor sunt dedusă:

3. Gradul de lucru de 2 sau mai mulți multiplicatori este egal cu produsul acestor factori:

(Abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. Gradul de fracție este egal cu raportul dintre gradele de divizare și divizor:

(A / b) n \u003d a n / b n.

5. Cercetarea gradului în grad, indicatorii de grade sunt prelungiți:

(A m) n \u003d a m n.

Fiecare formulă de mai sus este adevărată în direcțiile de la stânga la dreapta și viceversa.

de exemplu. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 152 \u003d 900/225 \u003d 4.

Operațiunile rădăcinilor.

1. Rădăcina lucrării mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcină din relație egală cu relația Împărțiți și rădăcini de divizor:

3. Când rădăcina este ridicată, este construită corect în acest grad.

4. Dacă creșteți gradul de rădăcină în n. o dată și în același timp construiți în n.Gradul de număr de alimentare, valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul de rădăcină în n. o dată și, în același timp, extrageți rădăcina n.Gradul de la un număr subcurțat, valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Gradul cu un indicator negativ.Gradul unui anumit număr cu un indicator indiscutabil (întreg) este determinat ca o unitate împărțită la gradul de același număr cu un indicator egal cu valoarea absolută a indicatorului non-pozitiv:

Formulă un M.: un n \u003d un m - n pot fi folosite nu numai când m.> n. dar de asemenea m.< n..

de exemplu. a. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

La formula un M.: un n \u003d un m - n a devenit corect ca. m \u003d n.Este necesară prezența unui grad zero.

Gradul cu indicatorul zero.Gradul de orice număr care nu este egal cu zero, cu indicatorul zero este egal cu unul.

de exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Diplomă cu indicator fracționat.Pentru a construi un număr valid dar în grad m / n., este necesar să extrageți rădăcina n.grad de la m.Gradul de acest număr dar.

Pe canalul de pe YouTube site-ul site-ului nostru pentru a ține pasul cu toate noile lecții video.

În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale gradelor și proprietățile acestora.

Lucrarea numărului a. În sine apare n ori, această expresie pe care o putem scrie ca o ... A \u003d a n

1. A 0 \u003d 1 (A ≠ 0)

3. A n A m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d un nm

5. A n b n \u003d (ab) n

7. A n / a m \u003d un n - m

Putere sau ecuații indicative - Acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în grade (sau indicatori), iar baza este numărul.

Exemple de ecuații orientative:

În acest exemplu, numărul 6 este baza pe care o reprezintă întotdeauna la parter și variabila x. diplomă sau indicator.

Să dăm mai multe exemple de ecuații orientative.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

Acum vom analiza modul în care sunt rezolvate ecuațiile demonstrative?

Ia o ecuație simplă:

2 x \u003d 2 3

Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în minte. Se poate vedea că x \u003d 3. La urma urmei, astfel încât partea stângă și dreaptă să fie egală cu numărul 3 în loc de x.
Acum, să vedem cum este necesar să se emită această decizie:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3.

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat aceleași motive (adică două) și a înregistrat ceea ce rămâne, este grade. A primit răspunsul dorit.

Acum rezumă decizia noastră.

Algoritmul pentru rezolvarea unei ecuații indicative:
1. Trebuie să verificați aceeași Fundamentele Lee la ecuația din dreapta și la stânga. Dacă bazele nu sunt aceleași ca și în căutarea unor opțiuni pentru rezolvarea acestui exemplu.
2. După ce fundațiile devin aceleași, egal grade și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum rescrieți câteva exemple:

Să începem cu un simplu.

Bazele din partea stângă și dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem respinge și echivalează gradele lor.

x + 2 \u003d 4 Sa dovedit cea mai simplă ecuație.
X \u003d 4 - 2
x \u003d 2.
Răspuns: x \u003d 2

În exemplul următor, se poate observa că bazele sunt diferite. Este 3 și 9.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0

Pentru a începe, transferăm cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faceți aceeași fundație. Știm că 9 \u003d 3 2. Folosim formula de grad (A n) m \u003d un nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Obținem 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 Acum este clar că în stânga și partea dreapta Bazele sunt la fel și egale cu troica, atunci putem să le aruncăm și să echivalez diplome.

3x \u003d 2x + 16 a primit cea mai simplă ecuație
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16.
Răspuns: x \u003d 16.

Ne uităm la următorul exemplu:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

În primul rând, ne uităm la bază, fundațiile sunt diferite două și patru. Și trebuie să fim la fel. Convertim cele patru cu formula (A n) m \u003d un nm.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

Și, de asemenea, utilizați o singură formulă A N A M \u003d A N + M:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

Am condus un exemplu în aceleași motive. Dar interfera cu alte numere 10 și 24. Ce să faci cu ei? Dacă puteți vedea că este clar că avem 2 2 2, acesta este răspunsul - 2 2, putem scoate parantezele:

2 2x (2 4 - 10) \u003d 24

Calculăm expresia în paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Toate ecuația delimi la 6:

Imaginați-vă 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 2 2 baze sunt aceleași, aruncându-le și echivalează gradele.
2x \u003d 2 Sa dovedit cea mai simplă ecuație. Împărțim-o pe 2
x \u003d 1.
Răspuns: x \u003d 1.

Rezolvarea ecuației:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

Transformăm:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Avem ecuația:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0

Fundațiile pe care le avem același lucru sunt egale cu trei. În acest exemplu, se poate observa că primele trei grade de două ori (2x) este mai mare decât cea a celui de-al doilea (simplu x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Numărul cu cel mai mic grad înlocuiește:

Apoi 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Înlocuiți în ecuație toate gradele cu cavități pe T:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
A primi ecuația patrată. Ne hotărâm prin discriminator, obținem:
D \u003d 144-108 \u003d 36
T 1 \u003d 9
T 2 \u003d 3

Reveniți la variabila x..

Luați T 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Acesta este,

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

O rădăcină găsită. Căutăm al doilea, de la T 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Răspuns: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.

Pe site-ul puteți, în ajutor, decizia de a vă cere să puneți întrebări. Vom răspunde.

Alăturați-vă grupului

Primul nivel

Gradul și proprietățile. Ghidul exhaustiv (2019)

De ce ai nevoie? Unde vor veni la tine? De ce trebuie să petreceți timp în studiul lor?

Pentru a afla totul despre grade, ceea ce au nevoie pentru ceea ce au nevoie cum să-și folosească cunoștințele viata de zi cu zi Citiți acest articol.

Și, bineînțeles, cunoașterea gradelor vă va aduce mai aproape de succes mână peste foc sau examenul și să intre în Universitatea din visele tale.

Să mergem ... (Drove!)

Observație importantă! Dacă în loc de formulele pe care le vedeți Abracadabra, curățați memoria cache. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe Ctrl + F5 (pe Windows) sau CMD + R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exercițiul este aceeași operație matematică ca adăugarea, scăderea, multiplicarea sau diviziunea.

Acum voi explica toată limba umană pe exemple foarte simple. Fiți atenți. Exemple de elementare, dar explicând lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți cu toții totul: suntem opt oameni. Toată lumea are două sticle de cola. Cât de mult este cola? Dreapta - 16 sticle.

Acum multiplicarea.

Același exemplu cu o cola poate fi înregistrată diferit :. Matematică - oameni vicleni și leneși. Ei primesc mai întâi niște modele și apoi inventează modul de a le "număra" mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cei opt persoane aveau același număr de sticle de cola și a venit cu o recepție numită multiplicări. Sunt de acord, este considerată mai ușoară și mai rapidă decât.

Deci, pentru a citi mai repede, mai ușor și fără greșeli, trebuie doar să vă amintiți masa multiplicare. Desigur, puteți face totul mai încet, mai greu și greșeli! Dar…

Aici este tabelul de multiplicare. Repeta.

Și celălalt, mai frumos:

Și ce alte trucuri au venit cu matematicieni leneși? Dreapta - erecție.

Erecție

Dacă aveți nevoie să multiplicați numărul pentru dvs. de cinci ori, atunci matematica spune că trebuie să construiți acest număr în gradul al cincilea. De exemplu, . Matematica amintiți-vă că două în a cincea grad este. Și rezolvă astfel de sarcini în minte - mai repede, mai ușor și fără erori.

Pentru asta aveți nevoie numai amintiți-vă ceea ce este evidențiat în culoarea în tabelul de grade de numere. Credeți-vă, vă va facilita foarte mult viața.

Apropo, de ce se numește gradul al doilea pătrat numere și al treilea - cuba? Ce înseamnă? O întrebare foarte bună. Acum va fi pentru tine și pătrate și Cuba.

Exemplu din numărul de viață 1

Să începem cu un pătrat sau de la un al doilea grad de număr.

Imaginați-vă o piscină pătrată de dimensiune a contorului pe un metru. Piscina este pe dacha ta. Căldura și într-adevăr doriți să înotați. Dar ... Piscină fără fund! Trebuie să stocați partea de jos a plăcilor de piscină. Cât de mult ai nevoie de plăci? Pentru a determina acest lucru, trebuie să aflați zona de jos a bazinului.

Puteți calcula pur și simplu, cu un deget, că partea de jos a piscinei constă dintr-un contor cuburi pe metru. Dacă aveți o placă de metru pentru metru, veți avea nevoie de bucăți. E ușor ... dar unde ați văzut o astfel de placă? Placiurile este mai probabil să vadă pentru a vedea și apoi "degetul pentru a număra" tortură. Apoi trebuie să multiplicați. Deci, pe o parte a fundului piscinei, se potrivesc plăcilor (pieselor) și pe celelalte plăci. Multiplicând, veți obține plăci ().

Ați observat că pentru a determina zona de jos a bazinului, am înmulțit același număr de unul singur? Ce înseamnă? Acest lucru este înmulțit cu același număr, putem profita de "erecția exterminării". (Desigur, când aveți doar două numere, înmulțiți-le sau ridicați-le în gradul. Dar dacă aveți multe dintre ele, este mult mai ușor să le ridicați în ceea ce privește calculele, prea puțin. Pentru examen, este foarte important).
Deci, treizeci de gradul al doilea va (). Sau putem spune că treizeci în Piața va fi. Cu alte cuvinte, al doilea grad de număr poate fi întotdeauna reprezentat ca un pătrat. Și dimpotrivă, dacă vedeți un pătrat - este întotdeauna al doilea grad al unui număr. Piața este imaginea unui număr de gradul doi.

Exemplu din numărul de viață 2

Iată sarcina, numărați câte pătrate pe o tablă de șah cu un pătrat de număr ... pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a calcula cantitatea, trebuie să multiplicați opt sau ... Dacă rețineți că tabloul de șah este un pătrat de lateral, atunci puteți construi opt pe pătrat. Se pare celulele. () Asa de?

Exemplu din numărul de viață 3

Acum un cub sau al treilea grad de număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să știți cât de multă apă va trebui să completeze această piscină. Trebuie să numărați volumul. (Volumul și lichidul, apropo, sunt măsurate în metri cubi. Dintr-o dată, nu?) Desenați o piscină: fundul dimensiunii contorului și o adâncime de contor și încercați să numărați cât de mult cuburi dimensiunea contorului pe metru va intra în piscină.

Dreptul arată degetul și numărați! O dată, doi, trei, patru ... douăzeci și doi, douăzeci și trei ... cât de mult sa întâmplat? Nu a coborât? Dificil să-ți numărați degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de matematicieni. Ele sunt leneș, prin urmare, au observat că pentru a calcula volumul bazinului, este necesar să se multipliceze reciproc în lungime, lățime și înălțime. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburile ... este mai ușor pentru adevăr?

Și acum imaginați-vă, în măsura în care matematica sunt leneși și vicleni, dacă sunt simplificați. A adus toate la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se varsă pe sine ... și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că puteți profita de gradul. Deci, ce credeți cu degetul, ei fac într-o singură acțiune: trei în Cuba este egală. Acest lucru este scris astfel :.

Rămâne numai amintiți gradele de masă. Dacă sunteți, desigur, aceeași leneșă și viclenie ca matematică. Dacă vă place să lucrați foarte mult și să faceți greșeli - puteți continua să numărați degetul.

Ei bine, pentru a vă convinge în cele din urmă că gradele au venit cu loi și cunități pentru a-și rezolva probleme de viață, nu să vă creați probleme, aici sunt alte câteva exemple din viață.

Exemplu din numărul de viață 4

Aveți un milion de ruble. La începutul fiecărui an câștigi la fiecare milion de milioane. Adică, fiecare milion se va dubla la începutul fiecărui an. Câți bani veți avea în anii? Dacă stați acum și "credeți că degetul dvs.", atunci sunteți o persoană foarte dură și ... stupid. Dar cel mai probabil veți răspunde în câteva secunde, pentru că sunteți inteligent! Deci, în primul an - doi înmulțiți doi ... în al doilea an - Ce sa întâmplat, alte două, în al treilea an ... STOP! Ați observat că numărul se multiplică. Deci, două în al cincilea grad - un milion! Și acum imaginați-vă că aveți o competiție și aceste milioane vor primi cel care va găsi mai repede ... merită să-și amintească gradul de numere, ce crezi?

Exemplu din numărul de viață 5

Aveți un milion. La începutul fiecărui an câștigi fiecare milion de două. Adevărul mare? Fiecare milion triple. Câți bani veți avea după un an? Hai să numărăm. Primul an este de a multiplica, apoi rezultatul este încă pe ... deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: Trei se înmulțesc de la sine. Prin urmare, gradul al patrulea este egal cu un milion. Este necesar să ne amintim că trei în gradul IV este sau.

Acum știi că, cu ajutorul ridicării numărului, vă veți facilita foarte mult viața. Să ne uităm alături de ceea ce puteți face cu gradele și de ceea ce trebuie să știți despre ei.

Termeni și concepte ... pentru a nu fi confuz

Deci, pentru început, să definim conceptele. Ce crezi, care este indicatorul gradului? Este foarte simplu - acesta este numărul care este "la vârf" al gradului de număr. Nu este științific, dar este clar și ușor de reținut ...

Bine, în același timp o astfel de grad de fundație? Chiar mai ușor - acesta este numărul care este mai jos, la bază.

Iată un desen pentru loialitate.

Ei bine, B. generalPentru a rezuma și a-și aminti mai bine ... Gradul cu fundația "" și indicatorul "" este citit ca "în grad" și este scris după cum urmează:

Gradul de număr cu un indicator natural

Probabil că ați ghicit deja: deoarece indicatorul este numar natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Natural Acestea sunt numerele care sunt utilizate în cont atunci când listați elemente: una, două, trei ... noi, când luăm în considerare elementele, nu spuneți: "minus cinci", "minus șase", "minus șapte". De asemenea, nu spunem: "o treime", sau "zero de întregi, cinci zecimi". Acestea nu sunt numere naturale. Și ce credeți aceste numere?

Numere precum "minus cinci", "minus șase", "minus șapte" aparțin numere întregi. În general, la numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele sunt opuse naturale (adică, luate cu un semn minus) și numărul. Zero înțelege ușor - nu este nimic. Și ce înseamnă numere negative ("minus")? Dar ele au fost inventate în primul rând pentru a desemna datorii: Dacă aveți un echilibru asupra numărului de telefon, înseamnă că ar trebui să călătoriți operatorului.

Tot felul de fracțiuni sunt numere raționale. Cum au apărut, ce crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că lipsesc numere naturale pentru a măsura lungi, greutatea, pătratul etc. Și au inventat numere rationale... mă întreb dacă e adevărat?

Există, de asemenea, numere iraționale. Ce este acest numar? Dacă scurt, atunci o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă lungimea circumferinței este împărțită în diametrul său, atunci numărul irațional va fi.

Rezumat:

Definim conceptul de grad, al cărei indicator este un număr natural (adică un întreg și pozitiv).

1. Orice număr la primul grad în mod egal la sine:
2. Evaluați numărul din pătrat - înseamnă să îl înmulțiți singur:
3. Evaluați numărul în cub - înseamnă să îl înmulțiți de trei ori:

Definiție. Evaluați numărul într-un grad natural - înseamnă să multiplicați numărul tuturor timpurilor pentru dvs.:
.

Proprietățile gradelor

De unde provin aceste proprietăți? Vă voi arăta acum.

Să vedem: Ce este și ?

A-PRIOR:

Câți multiplicatori sunt aici?

Foarte simplu: Am terminat multiplicatori în multiplicatori, a dovedit factorii.

Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu un indicator, adică că a fost necesar să se dovedească.

Exemplu: Simplificați expresia.

Decizie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Decizie: Este important să observăm că în regula noastră inainte de Trebuie să fie aceeași fundație!
Prin urmare, combinăm grade cu baza, dar rămâne un multiplicator separat:

numai pentru munca de grade!

În nici un caz nu poate scrie asta.

2. Asta este Gradul de număr

La fel ca și în proprietatea anterioară, ne întoarcem la definiția gradului:

Se pare că expresia se înmulțește singură o dată, adică conform definiției, aceasta este, există o serie de număr:

De fapt, acest lucru poate fi numit "indicatorul pentru paranteze". Dar nu o poate face niciodată în suma:

Amintiți-vă formula de multiplicare abreviată: de câte ori am dorit să scriem?

Dar este incorect, pentru că.

Negativ

Până la acest punct, am discutat doar ceea ce ar trebui să fie indicatorul.

Dar ce ar trebui să fie baza?

În gradele S. indicator natural Baza poate fi orice număr. Și adevărul, ne putem multiplica reciproc orice număr, fie că sunt pozitivi, negativi sau chiar.

Să ne gândim la ce semne ("sau" ") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, un număr pozitiv sau negativ? DAR? ? Cu prima, totul este clar: Câte numere pozitive nu suntem înmulțite unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cu negativ un pic mai interesant. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă de gradul 6: "minus pentru minus dă un plus". Adică sau. Dar dacă ne multiplicăm, va funcționa.

Determinați independent, ce semnează următoarele expresii va avea:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Face față?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este de înțeles? Uită-te la bază și indicator și aplicați regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În Exemplul 5), totul nu este la fel de înfricoșător, așa cum pare: nu contează ce este egal cu baza - gradul este chiar, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Motivul nu este egal? Evident, nu, pentru că (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de formare

Soluții de 6 exemple

Dacă nu acordați atenție gradului opt, ce vedem aici? Amintiți-vă programul de gradul 7. Deci, amintiți-vă? Aceasta este o formulă pentru multiplicarea abreviată, și anume - diferența de pătrate! Primim:

Uită-te cu grijă la numitor. El este foarte asemănător cu unul dintre multiplicatori ai numărătorului, dar ce sa întâmplat? Nu procedura termenilor. Dacă le-ar schimba în locuri, ar fi posibil să se aplice regula.

Dar cum să faci asta? Se pare foarte ușor: Gradul chiar de denominator ne ajută.

Magic, componentele s-au schimbat în locuri. Acest "fenomen" este aplicabil pentru orice expresie la un grad uniform: putem schimba în mod liber semne în paranteze.

Dar este important să vă amintiți: toate semnele se schimbă în același timp.!

Să ne întoarcem de exemplu:

Și din nou formula:

Întreg Numim numere naturale opuse celor (adică, luate cu semnul "") și numărul.

număr întreg pozitiv, Și nu diferă de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Și acum să luăm în considerare cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la zero egal cu unul:

Ca întotdeauna, ne vom întreba: de ce este așa?

Ia în considerare orice grad cu baza. Luați, de exemplu, și dominați pe:

Deci, am înmulțit numărul și am ajuns la fel ca. Și pentru ce număr trebuie să fie multiplicat, astfel încât nimic nu sa schimbat? Asta e corect. Asa de.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Repetați regula:

Orice număr la zero egal cu unul.

Dar din multe reguli există excepții. Și aici este, de asemenea, un număr (ca bază).

Pe de o parte, ar trebui să fie egală cu orice măsură - cât de mult zero nu este nici înmulțită, încă primește zero, este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr la zero, ar trebui să fie egal. Deci, care este adevărul? Matematica a decis să nu se lege și a refuzat să se ridice zero la zero. Adică, acum nu putem fi împărțiți numai în zero, ci și să-l construim la zero.

Să mergem mai departe. În plus față de numerele naturale și numerele includ numere negative. Pentru a înțelege ce grad negativ, vom face ultima oară: în mod obișnuit un număr normal la același grad negativ:

De aici este deja ușor să exprimați dorit:

Acum, am răspândit regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, formulăm regula:

Numărul este un grad negativ înapoi la același număr într-un grad pozitiv. Dar in acelasi timp baza nu poate fi zero: (Pentru că este imposibil să se împartă).

Să rezumăm:

I. Expresia nu este definită în cazul. Daca atunci.

II. Orice număr la zero este egal cu unul :.

III. Un număr care nu este egal cu zero, într-un grad negativ înapoi la același număr la un grad pozitiv :.

Sarcini pentru soluții de sine:

Ei bine, ca de obicei, exemple de soluții de sine:

Analiza sarcinilor pentru soluții de sine:

Știu, știu că numerele sunt teribile, dar examenul ar trebui să fie pregătit pentru tot! Împărtășiți aceste exemple sau împrăștiați decizia lor, dacă nu aș putea decide și veți învăța să faceți față cu ușurință cu ei la examen!

Continuați să extindeți cercul de numere, "potrivit" ca indicator al gradului.

Acum ia în considerare numere rationale. Ce numere sunt numite raționale?

Răspuns: Tot ce poate fi reprezentat sub formă de fracțiuni, unde și - numere întregi și.

Pentru a înțelege ce este "Gradul de marfă", Luați în considerare fracțiunea:

A ridicat ambele părți ale ecuației cu gradul:

Acum amintiți-vă regula despre "Gradul de grad":

Ce număr ar trebui să fie luat în gradul de obținere?

Această formulare este definiția gradului rădăcină.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina numărului () se numește numărul care este egal în exterminare.

Adică, gradul de rădăcină este o operațiune, inversează exercițiul în gradul :.

Se pare că. Evident, acest caz particular poate fi extins :.

Acum adăugați un numitor: Ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu ajutorul regulii "grad în grad":

Dar poate motivul să fie orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat într-o grad uniform este numărul pozitiv. Asta este, de a extrage rădăcinile unui grad uniform din numerele negative, este imposibil!

Aceasta înseamnă că este imposibil să se construiască astfel de numere într-o diplomă fracțională cu un numitor chiar, adică expresia nu are sens.

Cum rămâne cu expresia?

Dar există o problemă.

Numărul poate fi reprezentat sub formă de DRGIH, de exemplu, fracții reduse sau.

Și se pare că există, dar nu există, dar este doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci puteți scrie. Dar merită să ne scrieți într-un mod diferit și din nou avem o neplăcere: (adică, au primit un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita paradoxurile similare, luăm în considerare doar o bază pozitivă de grad cu indicator fracționat.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• - întreg;

Exemple:

Diplomele cu indicatorul rațional sunt foarte utile pentru conversia expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de instruire

Analiza a 5 exemple de formare

Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom înțelege iraţional.

Toate regulile și proprietățile de grade aici sunt exact aceleași ca și pentru o diplomă cu un indicator rațional, cu excepția

La urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate sub forma unei fracții, unde și - numerele iraționale sunt toate numerele valide, cu excepția rațională).

Atunci când studiază grade cu indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am constituit o anumită "imagine", "analogie" sau o descriere în termeni mai familiarizați.

De exemplu, o figură naturală este un număr, de mai multe ori înmulțită cu ea însăși;

...zero - Acesta este modul în care numărul înmulțit de la sine o dată, adică nu a început să se înmulțească, înseamnă că numărul în sine nu a apărut nici măcar - deci rezultatul este doar un anumit "număr de billet", și anume numărul;

...gradul cu un întreg indicator negativ "Se pare că a avut loc un anumit" proces invers ", adică numărul nu a fost înmulțit cu ea însăși, ci deli.

Apropo, în știință este adesea folosit cu un indicator complex, adică indicatorul nu este nici măcar un număr valid.

Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, veți avea ocazia să înțelegeți aceste noi concepte la Institut.

Unde suntem siguri că veți face! (Dacă învățați să rezolvați astfel de exemple :))

De exemplu:

Solim:

Resturi:

1. Să începem cu regulile obișnuite pentru regulile de exercitare pentru noi:

Acum uitați-vă la indicator. Nu vă reamintesc nimic? Amintiți-vă formula de multiplicare abreviată. Diferențe pătrate:

În acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Aducem fracțiunea în indicatorii de grade la aceeași formă: fie zecimal, fie atât obișnuiți. Obținem, de exemplu:

Răspuns: 16.

3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Determinarea gradului

Gradul se numește expresia formularului: unde:

• — gradul;
• - Indicator.

Gradul cu indicatorul natural (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Construiți un grad natural N - înseamnă înmulțirea numărului pentru dvs. o singură dată:

Gradul cu integrul (0, ± 1, ± 2, ...)

Dacă este un indicator al gradului software-ul pozitiv număr:

Constructie în zero grade.:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice măsură, este, iar pe de altă parte - orice număr de grad este.

Dacă este un indicator al gradului un întreg negativ număr:

(Pentru că este imposibil să se împartă).

Încă o dată despre zerouri: expresia nu este definită în cazul. Daca atunci.

Exemple:

Raţional

• - numar natural;
• - întreg;

Exemple:

Proprietățile gradelor

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde au venit aceste proprietăți? Îi dovedim.

Să vedem: Ce este ceea ce?

A-PRIOR:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține o astfel de activitate:

Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu un indicator, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Decizie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Decizie : Este important să observați că în regula noastră inainte detrebuie să existe aceleași baze. Prin urmare, combinăm grade cu baza, dar rămâne un multiplicator separat:

O altă notă importantă: aceasta este o regulă - numai pentru munca de grade!

În nici un caz la nervi să scrie asta.

La fel ca și în proprietatea anterioară, ne întoarcem la definiția gradului:

Descoperim acest lucru ca acesta:

Se pare că expresia se înmulțește cu ea însăși o dată, adică conform definiției, acest lucru este - prin gradul de număr:

De fapt, acest lucru poate fi numit "indicatorul pentru paranteze". Dar niciodată nu poate face acest lucru în cantitatea:!

Amintiți-vă formula de multiplicare abreviată: de câte ori am dorit să scriem? Dar este incorect, pentru că.

Diplomă cu o bază negativă.

Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie indicator diplomă. Dar ce ar trebui să fie baza? În gradele S. natural indicator Baza poate fi orice număr .

Și adevărul, ne putem multiplica reciproc orice număr, fie că sunt pozitivi, negativi sau chiar. Să ne gândim la ce semne ("sau" ") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, un număr pozitiv sau negativ? DAR? ?

Cu prima, totul este clar: Câte numere pozitive nu suntem înmulțite unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cu negativ un pic mai interesant. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă de gradul 6: "minus pentru minus dă un plus". Adică sau. Dar dacă vom multiplica pe (), se pare.

Și astfel la infinitate: de fiecare dată când următoarea multiplicare va schimba semnul. Normele simple pot fi formulate:

1. chiar Gradul - Număr. pozitiv.
2. Numărul negativ ridicat în ciudat Gradul - Număr. negativ.
3. Un număr pozitiv la fiecare grad este numărul pozitiv.
4. Zero la orice grad este zero.

Determinați independent, ce semnează următoarele expresii va avea:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Face față? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Uită-te la bază și indicator și aplicați regula corespunzătoare.

În Exemplul 5), totul nu este la fel de înfricoșător, așa cum pare: nu contează ce este egal cu baza - gradul este chiar, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Motivul nu este egal? Evident, nu, pentru că (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să știți că mai puțin: sau? Dacă vă amintiți că devine clar că și, prin urmare, baza este mai mică decât zero. Adică, aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim gradul de grad:

Toate ca de obicei - scrieți definiția gradelor și, împărțiți-le unul altuia, împărțiți pe perechi și obțineți:

Înainte de a dezasambla ultima regulă, rezolvăm câteva exemple.

Expresii calculate:

Soluții :

Dacă nu acordați atenție gradului opt, ce vedem aici? Amintiți-vă programul de gradul 7. Deci, amintiți-vă? Aceasta este o formulă pentru multiplicarea abreviată, și anume - diferența de pătrate!

Primim:

Uită-te cu grijă la numitor. El este foarte asemănător cu unul dintre multiplicatori ai numărătorului, dar ce sa întâmplat? Nu procedura termenilor. Dacă ar fi schimbate în locuri, ar fi posibil să se aplice regula 3. Dar cum să o faci? Se pare foarte ușor: Gradul chiar de denominator ne ajută.

Dacă îl tragi, nimic nu se va schimba, nu? Dar acum se dovedește următoarele:

Magic, componentele s-au schimbat în locuri. Acest "fenomen" este aplicabil pentru orice expresie la un grad uniform: putem schimba în mod liber semne în paranteze. Dar este important să vă amintiți: toate semnele se schimbă în același timp!Nu puteți înlocui, schimbând doar un minus dezagreabil!

Să ne întoarcem de exemplu:

Și din nou formula:

Deci, acum ultima regulă:

Cum vom dovedi? Desigur, ca de obicei: voi dezvălui conceptul de grad și simplifică:

Ei bine, acum voi dezvălui paranteze. Cât de mult vor primi scrisorile? Odată pe multiplicatori - ce reamintește? Nu este altceva decât definiția operațiunii multiplicare: În total, au existat factori. Adică, prin definiție, gradul de număr cu indicatorul:

Exemplu:

Iraţional

În plus față de informațiile despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu indicatorul irațional. Toate regulile și proprietățile de grade aici sunt exact aceleași ca și pentru o diplomă cu un indicator rațional, cu excepția - după toate, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi depuse sub forma unei fracții, în cazul în care - numerele întregi (adică numerele iraționale sunt toate numerele valide, în afară de rațional).

Atunci când studiază grade cu indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am constituit o anumită "imagine", "analogie" sau o descriere în termeni mai familiarizați. De exemplu, o figură naturală este un număr, de mai multe ori înmulțită cu ea însăși; Numărul în gradul zero este într-un fel numărul înmulțit de ea însăși o dată, adică nu a început încă să se înmulțească, înseamnă că numărul în sine nu a apărut nici măcar -, prin urmare, doar un anumit "billet", și anume, este rezultatul ; Gradul cu un întreg indicator negativ este ca și cum un anumit "proces invers" a avut loc, adică numărul nu a fost înmulțit cu ea însăși, ci împărțit.

Imaginați-vă că gradul cu un indicator irațional este extrem de dificil (așa cum este dificil să se prezinte un spațiu de 4-dimensională). Este destul de curat obiect matematicCe matematică a creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul număr de numere.

Apropo, în știință este adesea folosit cu un indicator complex, adică indicatorul nu este nici măcar un număr valid. Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, veți avea ocazia să înțelegeți aceste noi concepte la Institut.

Deci, ce facem dacă vedem o rată irațională? Încercăm să scăpăm de ea cu toată puterea! :)

De exemplu:

Solim:

1)

2)

3)

Răspunsuri:

1. Ne amintim de formula diferența de pătrate. Răspuns:.
2. Dăm fracțiunea la aceeași formă: fie zecimal, fie atât obișnuiți. Avem, de exemplu:.
3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

Rezumatul secțiunii și formulele de bază

Gradul Numit expresia formei: unde:

Întreg

gradul, indicatorul căruia este un număr natural (adică un întreg și pozitiv).

Raţional

gradul, indicatorul căruia este numere negative și fracționate.

Iraţional

gradul, indicatorul căruia este o fracțiune zecimală infinită sau o rădăcină.

Proprietățile gradelor

Caracteristicile gradelor.

• Numărul negativ ridicat în chiar Gradul - Număr. pozitiv.
• Numărul negativ ridicat în ciudat Gradul - Număr. negativ.
• Un număr pozitiv la fiecare grad este numărul pozitiv.
• Zero la orice grad este egal.
• Orice număr la zero egal.

Acum ai nevoie de un cuvânt ...

Cum aveți nevoie de un articol? Notați în comentariile cum ar fi sau nu.

Spuneți-mi despre experiența dvs. în utilizarea proprietăților gradelor.

Poate aveți întrebări. Sau sugestii.

Scrieți comentariile.

Și noroc pe examene!