Desenarea definiției paralelogramei Elemente de proprietate de bază. Definiția paralel și proprietățile sale
Da, da: progresia aritmetică nu este jucăriile :) Ei bine, prieteni, dacă citiți acest text, atunci capacul interior evident îmi spune că încă nu știți ce progresie aritmetică este, dar foarte (nu, ca aceasta: oooooo!) Vrei să știi. Prin urmare, nu vă voi chinui o lungă aderare și nu veți merge imediat la acest caz.
Pentru că a început câteva exemple. Luați în considerare mai multe seturi de numere:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \\ Sqrt (2); \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $
Ce este comun tuturor acestor seturi? La prima vedere - nimic. Dar de fapt este ceva. Și anume: fiecare element următor diferă de cel precedent și de același număr..
Judecă pentru tine. Primul set este pur și simplu într-un rând al numărului, fiecare altul este mai mare decât cel precedent. În al doilea caz, diferența dintre numerele din apropiere este deja egală cu cinci, dar această diferență este încă constantă. În al treilea caz, în general rădăcini. Cu toate acestea, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, și $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, adică Și în acest caz, fiecare element următor crește pur și simplu $ \\ sqrt (2) $ (și să nu sperie că acest număr este irațional).
Deci: toate astfel de secvențe sunt numite doar progrese aritmetice. Să dăm o definiție strictă:
Definiție. Secvența numerelor în care fiecare urmărește diferită de cea anterioară și aceeași valoare numită progresie aritmetică. Dimensiunea numărului este diferită, se numește diferența în progresie și cel mai adesea indicată de scrisoarea $ d $.
Desemnarea: $ \\ Stânga ((a) _ (n)) \\ dreapta) $ - progresia în sine, $ d $ este diferența sa.
Și imediat câteva comentarii importante. În primul rând, progresul este considerat numai ordonat Secvența numerelor: li se permite să citească strict în ordinea în care sunt înregistrate - și în vreun fel. Este imposibil să rearanjați și să modificați numărul de numere.
În al doilea rând, secvența în sine poate fi atât finită, cât și fără sfârșit. De exemplu, setul (1; 2; 3) este, evident, progresia aritmetică finală. Dar dacă scrieți ceva în Duhul (1; 2; 3; 4; ...) - Aceasta este o progresie infinită. După al patrulea, după al patrulea, așa cum era, se indică, atunci există încă câteva numere. Infinit foarte mult, de exemplu. :)
Aș dori, de asemenea, să menționez că progresia este în creștere și în scădere. Am văzut deja creșterea - același set (1; 2; 3; 4; ...). Dar exemple de progresie descendentă:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \\ Sqrt (5); \\ sqrt (5) -1; \\ sqrt (5) -2; \\ sqrt (5) -3; $
BINE BINE: ultimul exemplu Poate părea prea complicată. Dar restul, cred că sunteți de înțeles. Prin urmare, introducem noi definiții:
Definiție. Progresul aritmetic este numit:
- creșterea dacă fiecare element următor este mai mare decât cel precedent;
- descendent, dacă, dimpotrivă, fiecare element ulterior este mai mic decât cel precedent.
În plus, există așa-numitele secvențe "staționare" - ele constau din același număr recurent. De exemplu, (3; 3; 3; ...).
Există o singură întrebare: cum să distingeți o progresie tot mai mare de scădere? Din fericire, totul depinde de ceea ce este semnul numărului $ d $, adică Diferența de progresie:
- Dacă $ d \\ gt 0 $, atunci progresia crește;
- Dacă $ d \\ lt 0 $, atunci progresia este în mod evident în scădere;
- În cele din urmă, există un caz de $ d \u003d 0 $ - în acest caz, întreaga progresie este redusă la secvența staționară a acelorași numere: (1; 1; 1; 1; ...), etc.
Să încercăm să calculăm diferența de $ d $ pentru trei progresuri descrescătoare date mai sus. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați toate elementele adiacente (de exemplu, primul și al doilea) și să scăpați din partea dreaptă, a numărului de articole. Va arăta așa:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \\ Sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.
După cum puteți vedea, în toate cele trei cazuri, diferența sa dovedit a fi negativă. Și acum, când ne-am dat seama mai mult sau mai puțin definiții, este timpul să se ocupe de modul în care este descrisă progresia și ce proprietăți au.
Progresie și formula recurentă
Deoarece elementele secvențelor noastre nu pot fi schimbate în locuri, ele pot fi numerotate:
\\ [\\ stânga ((a) _ (n)) \\ dreapta) \u003d \\ stânga \\ ((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ DREAPTA \\) \\]
Elementele separate ale acestui set sunt numite membri de progresie. Ele indică-le cu ajutorul numărului: primul pula, al doilea termen etc.
În plus, după cum știm deja, membrii vecini ai progresiei sunt legate de formula:
\\ [((a) _ (N)) - ((a) _ (n - 1)) \u003d d \\ dreapta ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + d \\]
Pe scurt, pentru a găsi un membru de $ N $ -d al progresiei, trebuie să știți membru $ N-1 $ și diferența $ d $. O astfel de formulă este numită recurentă, deoarece poate fi folosită pentru a găsi orice număr, cunoscând doar cel precedent (și, de fapt, toate cele anterioare). Este foarte incomod, prin urmare, există o formulă mai vicleană care reduce orice calcul al primului membru și diferența:
\\ [((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (n-1 \\ dreapta) d \\]
Cu siguranță ați întâlnit deja această formulă. Ea iubește să dea în toate directoarele și la reschebnikh. Da, și în orice manual explicativ despre matematică, ea merge una dintre primele.
Cu toate acestea, propun o mică presiune.
Numărul de sarcină 1. Asigurați-vă primii trei membri ai progresiei aritmetice de $ \\ stânga ((a) _ (n)) \\ dreapta) $, dacă $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.
Decizie. Deci, știm primul termen $ ((a) _ (1)) \u003d $ 8 și diferența în progresia de $ d \u003d -5 $. Folosim doar formula rezultată și înlocuim $ n \u003d 1 $, $ n \u003d $ 2 și $ n \u003d $ 3:
\\ [\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (n-1 \\ dreapta) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (1-1 _ dreapta) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (2-1 \\ dreapta) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (3-1 \\ dreapta) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\\\ end (align) \\]
Răspuns: (8; 3; -2)
Asta e tot! Vă rugăm să rețineți: progresia noastră este descendentă.
Desigur, $ n \u003d 1 $ nu a putut fi înlocuit - primul membru despre care suntem, de asemenea, cunoscuți. Cu toate acestea, substituirea unității, am fost convinși că chiar și pentru primul membru, Formula noastră funcționează. În alte cazuri, totul a fost adus la aritmetică banală.
Numărul de sarcină 2. Scrieți primii trei membri ai progresiei aritmetice dacă este al șaptelea membru este -40, iar al șaptesprezecelea membru este -50.
Decizie. Scriem starea sarcinii în termenii obișnuiți:
\\ [((a) _ (7)) \u003d - 40; quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]
\\ [\\ stânga \\ (\\ începe (align) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\\\ capătul (aliniere) \\ dreapta. \\]
\\ [\\ stânga \\ (\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ \\ ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ capătul (aliniere) \\ Dreapta. \\]
Am setat semnul de sistem, deoarece aceste cerințe trebuie efectuate simultan. Și acum, notăm, dacă primul care a deduce prima ecuație (avem dreptul să o facem, pentru că avem un sistem), obținem acest lucru:
\\ [\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ stânga ((a) _ (1)) + 6d \\ dreapta) \u003d - 50- \\ stânga (-40 \\ dreapta); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10D \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\\\ end (align) \\]
Asta e atât de simplu că am găsit diferența de progresie! Rămâne să înlocuiți numărul găsit la oricare dintre ecuațiile sistemului. De exemplu, în primul:
\\ [\\ începe (matrice) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; quad d \u003d -1 \\\\ \\ uwanarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\\\ end (matrice) \\]
Acum, cunoașterea primului membru și diferența, rămâne să găsiți a doua și a treia pula:
\\ [\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\\\ end (align) \\]
Gata! Sarcina este rezolvată.
Răspuns: (-34; -35; -36)
Fiți atenți la proprietatea curioasă a progresului pe care am găsit-o: Dacă luați membrii N $ și $ M $ -y și le scăpați unul de celălalt, atunci vom obține diferența în progresul înmulțit cu $ N-M $
\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ stânga (n-m \\ dreapta) \\]
Simplu, dar foarte proprietate utilăCă trebuie să știți - cu ea, puteți accelera în mod semnificativ soluția multor probleme legate de progres. Iată un exemplu luminos:
Numărul de sarcină 3. Cea de-a cincea mandat a progresiei aritmetice este de 8,4, iar cel de-al zecelea membru este de 14,4. Găsiți un al cincisprezecelea membru al acestei progresii.
Decizie. Deoarece $ ((a) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d 14.4 dolari și trebuie să găsești $ ((a) _ (15)) $, apoi notați următoarele:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\\\ end (align) \\]
Dar cu condiția $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d $ 6, prin urmare 5D $ \u003d 6 dolari, de unde avem:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20,4. \\\\\\ end (align) \\]
Răspuns: 20.4.
Asta e tot! Nu trebuia să fim un fel de sisteme de ecuații și să luăm în considerare primul membru și diferența - totul a decis literalmente în câteva linii.
Acum, luați în considerare un alt tip de sarcină - pentru a găsi membri negativi și pozitivi ai progresiei. Nu este un secret că, dacă progresia crește, cu primul său membru al ei negativ, atunci mai devreme sau mai târziu vor fi membri pozitivi. Aproape: membrii progresiei în scădere mai devreme sau mai târziu vor deveni negative.
În același timp, nu este întotdeauna posibilă adăugarea acestui moment "în frunte", transformând secvențial elementele. Adesea, sarcinile sunt concepute astfel încât să existe mai multe coli fără să știe formulele - am adormit, în timp ce au găsit răspunsul. Prin urmare, să încercăm să rezolvăm aceste sarcini într-un mod mai rapid.
Numărul de sarcină 4. Câți membri negativi în progresia aritmetică este -38,5; -35,8; ...?
Decizie. Deci $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38,5, $ ((a) _ (2)) \u003d - 35,8 dolari, unde găsim imediat o diferență:
Rețineți că diferența este pozitivă, prin urmare, progresia crește. Primul membru este negativ, deci într-adevăr la un moment dat vom împiedica numerele pozitive. Singura întrebare este când se întâmplă.
Să încercăm să aflăm: cât timp (adică, la ce fel de număr natural $ n $), negativitatea membrilor este păstrată:
\\ [\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ dreapta ((a) _ (1)) + \\ stânga (n-1 \\ dreapta) d \\ lt 0; \\\\ & -38,5+ \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ stânga | \\ CDOT 10 \\ dreapta. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27N-27 \\ lt 0; \\\\ & 27N \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ dreapta ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\\\ end (align) \\]
Ultima linie necesită explicații. Deci, știm că $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. Pe de altă parte, vom simula numai valorile întregi ale numărului (mai mult de: $ n \\ în \\ Mathkb (N) $), astfel încât cel mai mare număr admis este exact $ n \u003d $ 15 și în nici un caz 16.
Numărul de sarcină 5. În progresia aritmetică a $ ((5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Găsiți primul membru pozitiv al acestei progresii.
Ar fi exact aceeași sarcină ca cea anterioară, cu toate acestea, nu știm $ ((a) _ (1)) $. Dar membrii vecini sunt cunoscuți: $ ((a) _ (5)) $ și $ ((a) _ (6)) $, deci vom găsi cu ușurință diferența de progresie:
În plus, să încercăm să exprimăm cea de-a cincea pula prin prima și diferență conform formulei standard:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\\\ end (align) \\]
Acum facem prin analogie cu sarcina anterioară. Noi aflăm la ce punct din secvența noastră va avea numere pozitive:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3N-3 \\ GT 0; \\\\ & 3N \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ dreapta ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\\\ end (align) \\]
Soluția minimă întregă a acestei inegalitate este numărul 56.
Vă rugăm să rețineți: În ultima sarcină, totul a fost luminat de inegalitatea strictă, astfel încât opțiunea $ n \u003d $ 55 nu ne va potrivi.
Acum, când am învățat cum să rezolvăm sarcini simple, ne întoarcem la mai complexe. Dar, în primul rând, să studiem o altă proprietate foarte utilă a progresilor aritmetice, care, în viitor, ne va salva o grămadă de timp și celule inegale. :)
Media aritmetică și indicii egale
Luați în considerare câțiva membri consecutivi ai creșterii progresiei aritmetice de $ \\ stânga ((a) _ (n)) \\ dreapta) $. Să încercăm să le marcați pe o dreaptă numerică:
Membrii progresiei aritmetice pe o direcție numericăAm remarcat în mod specific membrii arbitrari $ ((a) _ (n-3)), ((a) _ (n + 3)) $, și nu unele $ ((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $, etc. Deoarece regula pe care o voi spune acum, funcționează în mod egal pentru orice "segmente".
Iar regula este foarte simplă. Să ne amintim formula de recurență și să o scriu tuturor membrilor marcați:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (N-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (N)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\\\ end (align) \\]
Cu toate acestea, aceste egalități pot fi rescrise în mod diferit:
\\ [\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (N-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3D; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3D; \\\\\\ end (align) \\]
Ei bine, deci ce? Și faptul că membrii $ ((a) _ (n - 1)) $ și $ ((a) _ (n + 1)) $ se află la aceeași distanță de $ ((a) _ (n)) $. Și această distanță este $ d $. Același lucru se poate spune despre membrii de $ ((a) _ (N-2)) $ și $ ((a) _ (n + 2)) $ - sunt, de asemenea, eliminate de la $ ((a) _ (n )) $ La aceeași distanță, egală cu $ 2D $. Puteți continua până la infinit, dar punctul este bine ilustrat de imagine
Membrii progresiei se află la aceeași distanță de centru Ce înseamnă asta pentru noi? Aceasta înseamnă că puteți găsi $ ((a) _ (n)) $, dacă vecinii sunt cunoscuți:
\\ [((a) _ (n)) \u003d \\ frac ((a) _ (n - 1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]
Am adus o mare aprobare: fiecare membru al progresiei aritmetice este egal cu membrii medii aritmetici adiacenți! Mai mult: ne putem retrage de la $ ((a) _ (n)) $ (((a) _ (n) $ nu la un pas, iar pe pașii de $ K $ - și totuși formula va fi corectă:
\\ [((a) _ (n)) \u003d \\ frac ((a) _ (n - k)) + ((a) _ (n + k)) (2) \\]
Acestea. Putem găsi în siguranță un dolar ((a) _ (150)) $, dacă știm $ ((a) _ (100)) $ și $ ((a) _ (200)) $, pentru că $ ((a) _ (150)) \u003d \\ frac ((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. La prima vedere, poate părea că acest fapt nu ne dă nimic util. Cu toate acestea, în practică, multe sarcini sunt în mod specific "ascuțite" pentru a utiliza aritmetica medie. Uitați-vă:
Numărul de sarcină 6. Găsiți toate valorile $ x $, la care numerele $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ și $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ sunt membri consecvenți ai progresiei aritmetice (în specificat).
Decizie. Deoarece aceste numere sunt membri ai progresiei, starea aritmetică medie este efectuată pentru ei: elementul central $ x + 1 $ poate fi exprimat prin elemente adiacente:
\\ [\\ începe (align) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\\\ end (align) \\]
Sa dovedit o ecuație patrată clasică. Rădăcinile lui: $ x \u003d $ 2 și $ x \u003d -3 $ - acesta este răspunsurile.
Răspuns: -3; 2.
Numărul de sarcină 7. Găsiți valoarea $$, la care numere $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ constituie o progresie aritmetică (în ordinea specificată).
Decizie. Din nou, exprimăm membrul mediu prin media aritmetică a membrilor vecini:
\\ [\\ începe (ALIGN) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac ((x) ^ (2)) + x) (2); quad \\ stânga | \\ Cdot 2 \\ dreapta.; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\\\ end (align) \\]
Din nou ecuația pătrată. Și din nou două rădăcini: $ x \u003d $ 6 și $ x \u003d 1 $.
Raspunsul 1; 6.
Dacă în procesul de rezolvare a problemei aveți niște numere brutale sau nu sunteți pe deplin încrezători în corectitudinea răspunsurilor găsite, adică o tehnică minunată, permițându-vă să verificați: Am rezolvat sarcina?
Să presupunem că în sarcina numărul 6 am primit răspunsuri -3 și 2. Cum să verificăm că aceste răspunsuri sunt corecte? Să le înlocuim în starea inițială și să vedem ce se întâmplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că avem trei numere ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ și $ 14 + (() ^ (2)) $), care ar trebui să fie o progresie aritmetică. Înlocuiți $ x \u003d -3 $:
\\ [\\ începe (align) & x \u003d -3 \\ dreapta \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ Capăt (aliniere) \\]
Numerele primite -54; -2; 50, care diferă la 52 - fără îndoială, aceasta este o progresie aritmetică. Același lucru se întâmplă la $ x \u003d 2 $:
\\ [\\ începe (align) & x \u003d 2 \\ dreapta \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ Capăt (aliniere) \\]
Din nou progresia, dar cu o diferență 27. Astfel, sarcina este rezolvată adevărată. Cei care doresc să poată verifica a doua sarcină pe cont propriu, dar voi spune imediat: totul este adevărat acolo.
În general, rezolvarea celor mai recente sarcini, am venit peste altul fapt interesantcare trebuie, de asemenea, să-și amintească:
Dacă cele trei numere sunt astfel încât a doua este aritmetica de mijloc prima și ultima, atunci aceste numere formează o progresie aritmetică.
În viitor, înțelegerea acestei declarații ne va permite să "proiectăm" literalmente evoluțiile necesare, pe baza stării problemei. Dar înainte de a ne confrunta cu un astfel de "design", ar trebui să acordați atenție unui alt fapt care rezultă direct din partea deja luată în considerare.
Gruparea și cantitatea de elemente
Să revenim la axa numerică. Observăm mai mulți membri ai progresiei, între care, eventual. Există o mulțime de alți membri:
6 elemente sunt marcate pe numerice drepteSă încercăm să exprimăm "coada stângă" prin $ ((a) _ (n)) $ și $ d $, și "coada dreaptă" prin $ ((a) _ (k) $ și $ d $. Este foarte simplu:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\\\ end (align) \\]
Și acum observăm că următoarele cantități sunt egale:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d s; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ Capăt (aliniere) \\]
Pur și simplu puneți, dacă luăm în considerare cele două elemente de progresie ca un început, care în cantitate sunt egale cu orice număr de $ s $, și apoi începeți să mergeți din aceste elemente în laturile opuse (spre celălalt sau viceversa pentru ștergere), atunci cantitățile de elemente pe care le vom poticni vor fi, de asemenea, egale $ S $. Cel mai clar poate fi reprezentat grafic:
Aceleași linii dau cantități egale. Înţelegere din acest fapt Permiteți-ne să rezolvăm mai mult problemele nivel inalt dificultăți decât cele pe care le-am considerat mai sus. De exemplu, astfel:
Numărul de sarcină 8. Determinați diferența de progresie aritmetică, în care primul mandat este de 66, iar lucrarea celor doi și a douăsprezecea membri este cel mai mic posibil.
Decizie. Scriem tot ce știm:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ Capăt (aliniere) \\]
Deci, suntem necunoscuți diferența în progresia de $ d $. De fapt, în jurul diferenței și vor fi construite toată soluția, deoarece produsul este $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ poate rescrie după cum urmează:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ stânga (66 + d \\ dreapta) \\ cdot \\ stânga (66 + 11d \\ dreapta) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ Cdot \\ stânga (d + 66 \\ dreapta) \\ cdot \\ stânga (D + 6 \\ dreapta). \\ Capăt (aliniere) \\]
Pentru cei care sunt în rezervor: am efectuat un multiplicator general de 11 din al doilea suport. Astfel, produsul dorit este o funcție patrată în raport cu variabila $ D $. Prin urmare, considerăm că funcția $ f \\ stânga (D \\ dreapta) \u003d 11 \\ stânga (D + 66 \\ dreapta) \\ Stânga (D + 6 \\ dreapta) $ - Programul său va fi ramurile Parabola sus, pentru că Dacă dezvăluiți parantezele, atunci vom obține:
\\ [\\ începe (ALRING) & F \\ stânga (D \\ dreapta) \u003d 11 \\ Stânga (((D) ^ (2)) + 66D + 6D + 66 \\ CDOT 6 \\ dreapta) \u003d \\\\ \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ CDOT 72D + 11 \\ CDOT 66 \\ CDOT 6 \\ capătul (aliniere) \\]
După cum putem vedea, coeficientul cu termenii de vârf este egal cu 11 - acesta este un număr pozitiv, deci este într-adevăr să se ocupe de ramurile parabolice în sus:
programa funcția patrată - Parabola.
Vă rugăm să rețineți: Valoarea minimă a acestei parabolei ia în vârful său cu Abscisa $ ((d) _ (0)) $. Desigur, putem calcula această abscisă în conformitate cu schema standard (există o formulă $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), dar multe minunate vor observa că doriți Topul se află pe axa simetria parabolei, prin urmare punctul $ ((d) _ (0)) $ este egal cu rădăcinile ecuației $ F \\ stânga (D \\ dreapta) \u003d 0 $:
\\ [\\ începe (align) & f \\ stânga (D \\ dreapta) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ stânga (D + 66 \\ dreapta) \\ CDOT \\ stânga (D + 6 \\ dreapta) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\\\ end (align) \\]
De aceea nu m-am grăbit să dezvăluie parantezele: în forma originală, rădăcinile au fost foarte și foarte simple. În consecință, abscisa este egală cu media numere aritmetice -66 și -6:
\\ [((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]
Ce ne dă un număr detectat? Cu aceasta, munca necesară ia cea mai mică valoare (noi, apropo, nu am considerat $ ((y) _ (\\ min)) $ - nu este necesar pentru noi). În același timp, acest număr este diferența de progresie inițială, adică. Am găsit răspunsul. :)
Răspuns: -36.
Numărul de sarcină 9. Între numere $ - \\ frac (1) (2) $ și $ - \\ frac (1) (6) $ Introduceți trei numere, astfel încât acestea să le facă progresie aritmetică împreună cu aceste numere.
Decizie. În esență, trebuie să facem o secvență de cinci numere, iar primul și ultimul număr este deja cunoscut. Denotați numărul lipsă de variabile $ x $, $ y $ și $ z $:
\\ [Left ((a) _ (n)) \\ dreapta) \u003d \\ stânga \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ dreapta \\ ) \\]
Trebuie remarcat faptul că numărul $ y este un "mijloc" al secvenței noastre - este echidistant și de la numere $ x $ și $ z $ și de la numere $ - \\ frac (1) (2) $ și $ - $ - \\ Frac (1) (6) $. Și dacă de la numere $ x $ și $ z $ suntem în acest moment Nu putem obține $ y, apoi cu capetele progresiei, situația este diferită. Ne amintim despre media aritmetică:
Acum, știind $ y, vom găsi numerele rămase. Rețineți că $ x $ se află între numerele $ - \\ frac (1) (2) $ și $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $ se găsește. prin urmare
În mod similar, argumentând, găsim numărul rămas:
Gata! Am găsit toate cele trei numere. Le scriem ca răspuns în ordinea în care trebuie introduse între numerele inițiale.
Răspuns: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $
Numărul de sarcină 10. Între numerele 2 și 42, introduceți mai multe numere, care, împreună cu aceste numere, formează o progresie aritmetică, dacă se știe că suma primului, a doua și ultima dintre numerele introduse este de 56.
Decizie. O sarcină și mai dificilă, care, totuși, este rezolvată de aceeași schemă ca cea anterioară - prin media aritmetică. Problema este că nu suntem cunoscuți câte numere specifice ar trebui introduse. Prin urmare, am stabilit pentru definiția că, după introducerea, va exista exact numere $ N $, iar primul este 2, iar ultimul - 42. În acest caz, căutarea progresiei aritmetice este prezentată în forma:
\\ [\\ stânga ((a) _ (n)) \\ dreapta) \u003d \\ stânga \\ (2; (a) _ (2)); ((a) _ (3)); (((3)); a) _ (n - 1)); 42 \\ dreapta \\) \\]
\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56 \\]
Notă, cu toate acestea, că numerele $ ((a) _ (2)) $ și $ ((a) _ (n - 1)) $ sunt obținute de la marginile numerelor 2 și 42 cu un pas unul spre celălalt, adică. . La centrul de secvență. Și asta înseamnă asta
\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (N-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]
Dar atunci expresia înregistrată mai sus poate fi rescrisă astfel:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56; \\\\ stânga ((a) _ (2)) + ((a) _ (n - 1)) \\ dreapta) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\\\ end (align) \\]
Știind $ ((a) _ (3)) $ și $ ((a) _ (1)) $, vom găsi cu ușurință diferența de progresie:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ stânga (3-1 \\ dreapta) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2D \u003d 10 \\ dreaptarrow d \u003d 5. \\\\\\ end (align) \\]
Rămâne numai pentru a găsi alți membri:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\\\ end (align) \\]
Astfel, deja la etapa a IX-a vom ajunge la capătul stâng al secvenței - numărul 42. Este necesar să se introducă numai 7 numere: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Răspuns: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Sarcini de text cu progresie
În concluzie, aș dori să iau în considerare un cuplu relativ sarcini simple. Ei bine, la fel de simplu: pentru majoritatea studenților care explorează matematica la școală și nu au citit ceea ce este scris mai sus, aceste sarcini pot părea ca un staniu. Cu toate acestea, tocmai aceste sarcini să vină peste Oge și Ege în matematică, așa că vă recomand să vă familiarizați cu ei.
Numărul de sarcină 11. Brigada a fabricat în ianuarie 62 părți, iar în fiecare lună viitoare a făcut mai mult de 14 părți decât în \u200b\u200bcea precedentă. Câte detalii au făcut o brigadă în noiembrie?
Decizie. Evident, numărul de detalii, pictat de luni, va fi o progresie aritmetică în creștere. Și:
\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ cdot 14. \\\\ end (align) \\]
Noiembrie este a 11-a lună pe an, așa că trebuie să găsim $ ((a) _ (11)) $:
\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]
Prin urmare, 202 vor fi fabricate în noiembrie.
Numărul de sarcină 12. Un atelier obligatoriu se suprapun în ianuarie 216 cărți, iar în fiecare lună a intrat între 4 cărți mai mult decât în \u200b\u200bcea precedentă. Câte cărți au copleșit atelierul în decembrie?
Decizie. Toate la fel:
$ \\ începe (align) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ cdot 4. \\\\ capătul (aliniere) $
Decembrie este ultima, a 12-a lună pe an, așa că căutăm $ ((a) _ (12)) $:
\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ CDOT 4 \u003d 260 \\]
Acesta este răspunsul - 260 de cărți vor fi interconectate în decembrie.
Ei bine, dacă o citiți aici, mă grăbesc să vă felicit: "Cursul unui tânăr luptător" cu privire la progresurile aritmetice ați trecut cu succes. Puteți trece în siguranță la următoarea lecție, unde studiem formula sumei de progres, precum și consecințe importante și foarte utile ale acesteia.
În matematică există frumusețea proprie, ca în pictura și poezia.
Om de știință rus, mecanic n.e. Zhukovsky.
Sarcini foarte frecvente teste introductive În matematică sunt provocări asociate cu conceptul de progresie aritmetică. Pentru a rezolva cu succes aceste sarcini, este necesar să se cunoască proprietățile progresiei aritmetice și să aibă anumite abilități de aplicare a acestora.
Pre-remarcă principalele proprietăți ale progresiei aritmetice și oferă cele mai importante formule, asociate cu acest concept.
Definiție. Numărul de secvențe de numere, în care fiecare membru ulterior diferă de cel precedent și de același număr, numită progresie aritmetică. In acelasi timp numită diferența în progresie.
Pentru formulele de progresie aritmetică sunt valide
, (1)
unde. Formula (1) se numește formula unui membru general al progresiei aritmetice, iar formula (2) este principala proprietate a progresiei aritmetice: fiecare membru al progresiei coincide cu aritmetica medie a membrilor sa vecini si.
Rețineți că din cauza acestei proprietăți, progresia în cauză se numește "aritmetică".
Formulele de mai sus (1) și (2) sunt generalizate după cum urmează:
(3)
Pentru a calcula suma Primul Membrii progresiei aritmetice Formula este de obicei aplicată de obicei
(5) unde și.
Dacă luăm în considerare formula (1), Apoi, din formula (5) fluxurile
Dacă desemnează, atunci
unde. Deoarece formulele (7) și (8) sunt o generalizare a formulelor corespunzătoare (5) și (6).
În special , De la formula (5) urmează, ce
Cei mai mulți studenți majoriști cunoscuți includ proprietatea progresiei aritmetice, formulată de următoarea teoremă.
Teorema. Daca atunci
Dovezi. Daca atunci
Teorema este dovedită.
De exemplu , Folosind teorema, se poate arăta că
Ne întoarcem la luarea în considerare a exemplelor tipice de rezolvare a problemelor pe tema "progresia aritmetică".
Exemplul 1. Lăsați-l să fie. A găsi .
Decizie. Folosind formula (6), ajungem. Așa cum este atunci sau.
Exemplul 2. Lăsați-l să fie de trei ori mai mult, iar atunci când se împarte în privat, se dovedește 2 și în reziduu 8. Determinați și.
Decizie. Din starea exemplului, sistemul de ecuații curge
De când, și, din sistemul de ecuații (10) ajungem
Prin rezolvarea acestui sistem de ecuații sunt și.
Exemplul 3. Găsiți dacă și.
Decizie. Conform formulei (5), avem sau. Cu toate acestea, folosind proprietatea (9), ajungem.
De când, de la egalitate Ecuația urmează sau.
Exemplul 4.Găsiți dacă.
Decizie.Prin formula (5) avem
Cu toate acestea, folosind teorema, puteți înregistra
De aici și de la formula (11) ajungem.
Exemplul 5.. DANO: A găsi .
Decizie. De atunci. Cu toate acestea, prin urmare.
Exemplul 6. Și. A găsi .
Decizie. Folosind formula (9), ajungem. Prin urmare, dacă, atunci sau.
De asemenea Apoi, aici au un sistem de ecuații
Rezolvarea care, primim și.
Ecuația rădăcină naturală este un.
Exemplul 7. Găsiți dacă și.
Decizie. Deoarece în formula (3) avem ca, atunci sistemul de ecuații curge din condițiile problemei
Dacă înlocuim expresia În cea de-a doua ecuație a sistemului, Am sau.
Rădăcini ecuația pătrată. sunteți și.
Luați în considerare două cazuri.
1. Lăsați, atunci. Pentru că și apoi.
În acest caz, conform formulei (6), avem
2. Dacă, atunci și
Răspuns: Și.
Exemplul 8. Se știe că. A găsi .
Decizie. Luând în considerare formula (5) și starea exemplului, scrieți și.
Prin urmare, sistemul de ecuații
Dacă prima ecuație a sistemului este înmulțită cu 2, și apoi o puneți cu cea de-a doua ecuație, atunci ajungem
Conform formulei (9) avem. În acest sens, din (12) fluxuri sau.
Pentru că și apoi.
Răspuns:.
Exemplul 9.Găsiți dacă și.
Decizie. Deoarece, și cu condiție, atunci sau.
De la formula (5) cunoscută, ce . De atunci.
Prin urmare, Aici avem un sistem de ecuații liniare
De aici ajungem și. Luând în considerare formula (8), scrieți.
Exemplul 10. Rezolvați ecuația.
Decizie. Din ecuația specificată rezultă că. Am pus asta și. În acest caz .
Conform formulei (1), puteți scrie sau.
Deoarece ecuația (13) are singura rădăcină adecvată.
Exemplul 11. Găsiți valoarea maximă furnizată.
Decizie. Deoarece progresia aritmetică de mai sus este descendentă. În această privință, expresia ia valoarea maximă atunci când este numărul de membru pozitiv minim al progresiei.
Folosim formula (1) și acest lucrucare și. Atunci ajungem asta sau.
De atunci, atunci sau . Cu toate acestea, în această inegalitatecel mai mare număr natural, asa de .
Dacă valori și înlocuiți în formula (6), vom primi.
Răspuns:.
Exemplul 12. Determinați suma tuturor cifrelor duble numere naturalecare, atunci când este împărțită la numărul 6, este dată în reziduul 5.
Decizie. Denotă de setul de toate numerele naturale din două cifre, adică. . Mai mult, construim un subset constând din acele elemente (numere) ale seturilor care, atunci când se împarte la numărul 6, se administrează în reziduul 5.
Este ușor de instalat, ce . Evident Aceste elemente ale setului Formează progresia aritmeticăîn care și.
Pentru a stabili puterea (numărul de elemente) a setului, am stabilit acest lucru. De atunci, de la formula (1) ar trebui fie. Luând în considerare formula (5), ajungem.
Exemplele de mai sus de rezolvare a problemelor în nici un caz pot aplica pentru o completare exhaustivă. Acest articol este scris pe baza analizei. metode moderne Soluții de sarcini tipice pe un anumit subiect. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor asociate progresului aritmetic, este recomandabil să se facă referire la lista literaturii recomandate.
1. Colectarea problemelor în matematică pentru intrarea în sol / ed. M.I. SCHANAVI. - M.: Pace și educație, 2013. - 608 p.
2. SUPRUN V.P. Matematică pentru elevii de liceu: secțiuni suplimentare programul școlii. - M.: LENAND / URSSS, 2014. - 216 p.
3. Medical M.M. Curs complet al matematicii elementare în sarcini și exerciții. Cartea 2: Secvențe numerice și progresie. - M.: Oditus, 2015. - 208 p.
Aveți întrebări?
Pentru a obține un ajutor pentru tutore - înregistrare.
site-ul, cu copierea completă sau parțială a referinței materiale la sursa originală este necesară.
