Sistemele ale căror secvențe de intrare și ieșire și sunt conectate printr-o ecuație a diferențelor liniare cu coeficienți constanți formează o submulțime a clasei sistemelor liniare cu parametri constanți. Descrierea sistemelor LPP prin ecuații de diferență este foarte importantă, deoarece permite adesea găsirea unor modalități eficiente de a construi astfel de sisteme. Mai mult, multe caracteristici ale sistemului luat în considerare pot fi determinate din ecuația diferențelor, inclusiv frecvențele naturale și multiplicitatea lor, ordinea sistemului, frecvențele corespunzătoare câștigului zero etc.

În cel mai general caz, o ecuație liniară a diferențelor de ordinul al treilea cu coeficienți constanți raportați la un sistem realizabil fizic are forma

(2.18)

unde coeficienții și descriu un sistem specific și . Cum exact ordinea sistemului caracterizează proprietățile matematice ale ecuației diferențelor va fi arătat mai jos. Ecuația (2.18) se scrie într-o formă convenabilă pentru rezolvare prin metoda substituției directe. Având un set de condiții inițiale [de exemplu, , pentru ] și secvența de intrare , prin formula (2.18) se poate calcula direct secvența de ieșire pentru . De exemplu, ecuația diferenței

(2.19)

cu condiția inițială și poate fi rezolvată prin substituție, care dă

Deși soluția ecuațiilor diferențelor prin substituție directă este utilă în unele cazuri, este mult mai util să se obțină soluția ecuației într-o formă explicită. Metodele pentru găsirea unor astfel de soluții sunt tratate în detaliu în literatura de specialitate privind ecuațiile diferențelor și aici va fi oferită doar o scurtă prezentare generală. Ideea principală este de a obține două soluții la ecuația diferențelor: omogenă și parțială. O soluție omogenă se obține prin înlocuirea cu zerouri pentru toți termenii care conțin elemente ale secvenței de intrare și determinând răspunsul când secvența de intrare este zero. Această clasă de soluții este cea care descrie principalele proprietăți ale sistemului dat. O anumită soluție se obține prin selectarea tipului de secvență de ieșire pentru o anumită secvență de intrare. Condițiile inițiale sunt utilizate pentru a determina constantele arbitrare ale unei soluții omogene. Ca exemplu, rezolvăm ecuația (2.19) prin această metodă. Ecuația omogenă are forma

(2.20)

Se știe că soluțiile caracteristice ale ecuațiilor omogene corespunzătoare ecuațiilor cu diferențe liniare cu coeficienți constanți sunt soluții de forma .De aceea, substituind în ecuația (2.20) în loc de , se obține

(2.21)

Vom încerca să găsim o anumită soluție corespunzătoare secvenței de intrare din formular

(2.22)

Din ecuația (2.19) obținem

Deoarece coeficienții la puteri egale trebuie să se potrivească, B, C și D trebuie să fie egali

(2.24)

Prin urmare, decizie comună are forma

(2.25)

Coeficientul este determinat din condiția inițială, de unde și

(2.26)

O verificare selectivă a soluției (2.26) pentru arată coincidența sa completă cu soluția directă dată mai sus. Avantajul evident al soluției (2.26) este că o face foarte ușor de determinat pentru orice .

Smochin. 2.7. Schemă de implementare a unei ecuații cu diferențe simple de ordinul întâi.

Importanța ecuațiilor diferențelor este că ele determină direct metoda de construire sistem digital. Astfel, o ecuație de diferență de ordinul întâi de forma cea mai generală

poate fi implementat folosind circuitul prezentat în Fig. 2.7. Blocul „întârziere” întârzie cu o probă. Forma considerată de construcție a sistemului, în care sunt utilizate elemente de întârziere separate pentru secvențele de intrare și de ieșire, se numește forma directă 1. Mai jos vom discuta diferite metode de construire a acestui și a altor sisteme digitale.

Ecuația de diferență de ordinul doi a formei celei mai generale

Smochin. 2.8. Schema de implementare a ecuației diferențelor de ordinul doi.

poate fi implementat folosind circuitul prezentat în Fig. 2.8. Această schemă utilizează, de asemenea, elemente de întârziere separate pentru secvențele de intrare și ieșire.

Din prezentarea ulterioară a materialului din acest capitol va deveni clar că sistemele de ordinul întâi și al doilea pot fi utilizate în implementarea sistemelor de ordin superior, deoarece acestea din urmă pot fi reprezentate ca sisteme de ordinul întâi și al doilea conectate în serie sau în paralel.

Rezolvarea ecuațiilor diferențelor liniare obișnuite

cu coeficienți constanți

Relația dintre ieșirea și intrarea unui sistem liniar discret poate fi descrisă printr-o ecuație obișnuită a diferenței liniare cu coeficienți constanți

,

Unde y[n]- semnal de ieșire în acest moment n,

X[n]- semnal de intrare în acest moment n,

un eu,b k sunt coeficienți constanți.

Două metode pot fi utilizate pentru a rezolva astfel de ecuații.

• metoda directa,
• Metoda Z - transformări.

Să considerăm mai întâi soluția unei ecuații de diferență liniară folosind metoda directă.

Soluția generală a unei ecuații a diferenței liniare neomogenă (cu o parte dreaptă diferită de zero) este egală cu suma o solutie generala ecuația diferențelor liniare omogene și decizie privată ecuație neomogenă

Soluția generală a ecuației diferențelor omogene ( zero-intrareraspuns) y h [n]

definit ca

.

Înlocuind această soluție în ecuația omogenă, obținem

Un astfel de polinom se numește polinom caracteristic sisteme. El are N rădăcini . Rădăcinile pot fi reale sau complexe, iar unele rădăcini pot fi coincidente (multiple).

Dacă rădăcinile sunt reale și diferite, atunci soluția ecuației omogene are forma

unde coeficienți

Dacă o rădăcină, de exemplu, λ1 are multiplicitate m, atunci termenul corespunzător al soluției ia forma

Dacă toți coeficienții ecuației omogene și, respectiv, ai polinomului caracteristic sunt reali, atunci cei doi termeni ai soluției corespunzător rădăcinilor simple complexe conjugate poate fi reprezentat (scris) sub forma , în timp ce coeficienții A,B determinat de condiţiile iniţiale.

Tip de soluție privată y p [n] ecuația depinde de partea dreaptă (semnal de intrare) și este determinată conform tabelului de mai jos

Tabelul 1. Tip de soluție specială pentru caracterul diferit al părții drepte

Semnal de intrarex[n]	Soluție privatăda[n]
A(constant)

Rezolvarea unei ecuații de diferență liniară prin metoda Z-transformare constă în aplicare Z– transformări la ecuație folosind proprietățile de liniaritate și deplasare în timp. Rezultatul este o ecuație algebrică liniară în raport cu Z- imagini ale funcției necesare. Verso Z– transformarea dă soluția dorită în domeniul timpului. Pentru a obține transformarea Z inversă, se folosește cel mai des descompunerea unei expresii raționale în fracții simple (elementare), deoarece transformarea inversă dintr-o fracție elementară separată are o formă simplă.

Rețineți că alte metode pentru calcularea transformării Z inverse pot fi, de asemenea, utilizate pentru a trece în domeniul timpului.

Exemplu. Să determinăm răspunsul (semnalul de ieșire) al sistemului descris de ecuația diferenței liniare la semnalul de intrare

Soluţie.

1. Metoda directă de rezolvare a ecuației.

Ecuație omogenă. Polinomul său caracteristic este .

Rădăcinile polinomiale .

Rezolvarea unei ecuații omogene.

Deoarece, atunci definim o anumită soluție în formă .

Înlocuiți-l în ecuație

Pentru a găsi o constantă LA Accept n=2. Apoi

Sau, K=2,33

De aici soluția specială și soluția generală a ecuației diferențelor (1)

Să găsim constante De la 1Și De la 2. Pentru asta ne-am stabilit n=0, apoi din ecuația diferenței inițiale obținem . Pentru această ecuație

De aceea . Din expresie (1)

Prin urmare,

.

Din expresia (1) pentru n=1 avem .
Obținem următoarele două ecuații pentru C 1 și C 2

.

Soluția acestui sistem dă următoarele valori: C 1 =0,486 și C 2 = -0,816.

Prin urmare, soluția generală a acestei ecuații

2. Rezolvare prin metoda Z-transformare.

Luați Z - transformarea din ecuația diferenței inițiale, ținând cont de proprietatea (teorema) deplasării în timp . Primim

Întrebări de control:

1. Ce este funcția grilă?

2. Ce ecuație se numește ecuație de diferență?

3. Ce ecuații se numesc ecuații la diferență de ordinul I?

4. Cum se găsește soluția generală a ecuației diferențelor neomogene de ordinul I?

5. Ce soluție a ecuației diferențelor se numește fundamentală?

6. De ce soluția generală a unei ecuații omogene cu coeficienți constanți arată ca o progresie geometrică?

Sarcini.

1. Scrieți o procedură pentru rezolvarea unei ecuații de diferență de ordinul întâi cu condiția inițială .

2. Pentru o ecuație dată, găsiți analitic soluțiile generale și particulare.

3. Comparați rezultatele calculelor prin formula recursivă cu soluția analitică.

4. Aflați cum perturbarea condiției inițiale, coeficienții ecuației, partea dreaptă afectează rezultatul.

				Directii

Să găsim soluția generală a ecuației diferențelor de ordinul I

. (1)

Obținem o soluție particulară a ecuației omogene pentru utilizarea formulei recursive: . Deoarece valoarea lui Y la fiecare nod următor al grilei este dublată, se dovedește progresie geometrică cu numitorul q=2:

Găsim o soluție particulară a ecuației neomogene sub forma: , unde A este un coeficient nedefinit. Atunci , , și, echivalând valoarea obținută cu partea dreaptă dată, găsim coeficientul nedefinit A=. În sfârșit, soluția generală: .

Folosind condiția inițială , găsim constanta: . În cele din urmă, o soluție specială pentru o condiție inițială dată:

.

Pentru a studia stabilitatea soluției la o perturbare a soluției în sine și condiția inițială, luați în considerare următoarea ecuație:

cu stare inițială perturbată

(aici este magnitudinea perturbației). Scăzând ecuația inițială (1), obținem ecuația diferenței pentru perturbație:

cu starea initiala. Soluția acestei ecuații este: , adică chiar și o mică perturbare la orice nod crește exponențial cu creșterea numărului de nod.

Elevul trebuie să ilustreze cele de mai sus: să investigheze influența perturbațiilor condiției inițiale, părților din dreapta și coeficienților ecuației prin schimbarea formulei recursive.

Opțiunea, în conformitate cu numărul elevului de pe lista din jurnal, trebuie rezolvată în limbajul de programare C++ (este permisă utilizarea mediului Builder) sau Pascal (este permisă utilizarea mediului Delphi) .

1. Formula recursiva pentru obtinerea unei solutii numerice.
2. Rezolvarea analitică a ecuației diferențelor. Soluție generală și o soluție particulară care satisface condițiile inițiale date.
3. Investigați stabilitatea soluției la o perturbare a stării inițiale și soluția în mod analitic.

b) când coeficienții ecuației sunt perturbați;

c) când partea dreaptă este perturbată.

Subiect: Ecuații cu diferențe de ordinul 2

Întrebări de control:

1. Ce ecuații se numesc ecuații cu diferența de ordinul 2?

2. Ce este o ecuație caracteristică?

3. Cum arată o anumită soluție a unei ecuații diferențe omogene de ordinul 2 cu rădăcini reale ale ecuației caracteristice?

4. Cum arată o anumită soluție a unei ecuații diferențe omogene de ordinul 2 cu rădăcini complexe ale ecuației caracteristice?

5. Cum se găsește soluția generală a unei ecuații de diferență neomogene de ordinul 2?

6. Care este soluția numerică și analitică a ecuației diferențelor de ordinul 2?

7. Ce sarcini se numesc bine conditionate?

Sarcini

1. Scrieți o procedură pentru rezolvarea unei probleme de valoare la limită a diferențelor pentru o ecuație de ordinul doi cu condiții la limită , .

2. Pentru o ecuație dată, găsiți o soluție generală și una particulară analitic și verificați criteriul de condiționalitate.

3. Comparați rezultatele calculelor prin formula recursivă cu soluția analitică.

4. Aflați cum perturbarea condițiilor la limită și partea dreaptă afectează rezultatul.

						Să găsim soluția generală a ecuației diferențelor de ordinul 2 poate fi găsită prin alegerea constantelor arbitrare. Alături de problemele Cauchy, problemele cu valori la limită în două puncte sunt luate în considerare și pentru ecuațiile de ordinul doi, în care valorile funcției grilă sunt date la două noduri situate nu într-un rând, ci la capetele unor finite. segment: (condiţiile de frontieră ). O soluție analitică a unei astfel de probleme poate fi obținută printr-o alegere adecvată a constantelor arbitrare în soluția generală. Totuși, spre deosebire de problema cu condițiile inițiale, problema valorii la limită nu va fi neapărat solubilă în mod unic. De aceea mare importanță are o elucidare a unei clase de probleme cu valori la limită care au o solubilitate unică și o sensibilitate slabă la perturbarea (datorită erorilor de rotunjire) a părților din dreapta și a condițiilor la limită. Vom numi astfel de sarcini bine conditionat Luați în considerare un exemplu de problemă a valorii la limită necondiționată Formularea problemei. Ecuația diferenței inițiale și condițiile la limită. Procedura de obtinere a unei solutii numerice. Rezolvarea analitică a unei probleme a valorii la limită a diferențelor. Soluție generală și o soluție particulară care satisface condițiile la limită date. Verificarea criteriului de condiționalitate. Grafice ale soluției numerice și ale soluției analitice (în aceleași axe). Graficul diferenței dintre soluția numerică și cea analitică. Grafice perturbate solutii numericeși diferența dintre soluțiile perturbate și cele neperturbate: a) când starea inițială este perturbată; b) când partea dreaptă este perturbată. Concluzie despre condiționalitatea problemei valorii la limită.

Introducere

În ultimele decenii metode matematice pătrunde din ce în ce mai insistent în stiinte umanitareși în special economia. Prin matematică şi aplicare eficientă se poate spera la creșterea economică și la prosperitatea statului. efectiv, dezvoltare optimă imposibil fără utilizarea matematicii.

Scopul acestei lucrări este de a studia aplicarea ecuațiilor diferențelor în sfera economică a societății.

Înainte de această lucrare sunt stabilite următoarele sarcini: definirea conceptului de ecuații la diferență; luarea în considerare a ecuațiilor cu diferențe liniare de ordinul întâi și al doilea și aplicarea lor în economie.

Când lucrați la un proiect de curs, au fost folosite materiale disponibile pentru studiu mijloace didactice despre economie, analiză matematică, lucrări ale unor economiști și matematicieni de seamă, publicații de referință, articole științifice și analitice publicate în publicațiile de pe Internet.

Ecuații de diferență

§1. Concepte de bază și exemple de ecuații ale diferențelor

Ecuațiile diferențelor joacă un rol important în teorie economică. Multe legi economice sunt dovedite folosind tocmai aceste ecuații. Să analizăm conceptele de bază ale ecuațiilor diferențelor.

Fie timpul t variabila independentă, iar variabila dependentă să fie definită pentru timpul t, t-1, t-2 etc.

Se notează cu valoarea la momentul t; prin - valoarea funcției în momentul deplasării înapoi cu unu (de exemplu, în ora anterioară, în săptămâna anterioară etc.); prin - valoarea funcției y în momentul deplasării înapoi cu două unități etc.

Ecuația

unde sunt constante, se numește o diferență de ordinul n-lea neomogenă cu coeficienți constanți.

Ecuația

În care =0, se numește o diferență ecuație omogenă de ordinul n-a cu coeficienți constanți. A rezolva o ecuație a diferenței de ordinul n înseamnă a găsi o funcție care transformă această ecuație într-o adevărată identitate.

O soluție în care nu există o constantă arbitrară se numește o soluție particulară a ecuației diferențelor; dacă soluția conține o constantă arbitrară, atunci se numește soluție generală. Pot fi demonstrate următoarele teoreme.

Teorema 1. Dacă ecuația diferenței omogene (2) are soluții și atunci soluția va fi și funcția

unde și sunt constante arbitrare.

Teorema 2. Dacă este o soluție particulară a ecuației diferențelor neomogene (1) și este soluția generală a ecuației omogene (2), atunci soluția generală a ecuației neomogene (1) va fi funcția

Constante arbitrare. Aceste teoreme sunt similare cu teoremele pentru ecuații diferențiale. Un sistem de ecuații cu diferențe liniare de ordinul întâi cu coeficienți constanți este un sistem de formă

unde este un vector de funcții necunoscute, este un vector de funcții cunoscute.

Există o matrice de dimensiune nn.

Acest sistem poate fi rezolvat prin reducerea la o ecuație a diferenței de ordinul n-a prin analogie cu rezolvarea unui sistem de ecuații diferențiale.

§ 2. Rezolvarea ecuaţiilor la diferenţă

Rezolvarea ecuației diferențelor de ordinul întâi. Luați în considerare ecuația diferențelor neomogene

Ecuația omogenă corespunzătoare este

Să verificăm dacă funcția

soluția ecuației (3).

Înlocuind în ecuația (4), obținem

Prin urmare, există o soluție pentru ecuația (4).

Soluția generală a ecuației (4) este funcția

unde C este o constantă arbitrară.

Fie o soluție particulară a ecuației neomogene (3). Atunci soluția generală a ecuației diferențelor (3) este funcția

Să găsim o soluție particulară a ecuației diferențelor (3) dacă f(t)=c, unde c este o variabilă.

Vom căuta o soluție sub forma unei constante m. Avem

Înlocuind aceste constante în ecuație

primim

Prin urmare, soluția generală a ecuației diferențelor

Exemplul 1. Folosind ecuația diferenței, găsiți formula pentru creșterea depozitului monetar A ​​la Banca de Economii, pusă la p% pe an.

Soluţie. Dacă o anumită sumă este depusă în bancă la dobânda compusă p, atunci până la sfârșitul anului t valoarea acesteia va fi

Aceasta este o ecuație de diferență omogenă de ordinul întâi. Decizia lui

unde C este o constantă care poate fi calculată din condițiile inițiale.

Dacă este acceptat, atunci C=A, de unde

Aceasta este o formulă binecunoscută pentru calcularea creșterii unui depozit în numerar plasat într-o bancă de economii la dobândă compusă.

Rezolvarea unei ecuații de diferență de ordinul doi. Luați în considerare ecuația neomogenă a diferențelor de ordinul doi

și ecuația omogenă corespunzătoare

Dacă k este rădăcina ecuației

este o soluție a ecuației omogene (6).

Într-adevăr, substituind în partea stângă a ecuației (6) și ținând cont de (7), obținem

Astfel, dacă k este rădăcina ecuației (7), atunci este soluția ecuației (6). Ecuația (7) se numește ecuația caracteristică pentru ecuația (6). Dacă ecuația caracteristică discriminantă (7) este mai mare decât zero, atunci ecuația (7) are două rădăcini reale diferite și, iar soluția generală a ecuației omogene (6) are următoarea formă.

Adesea, simpla mențiune a ecuațiilor diferențiale îi face pe elevi să se simtă inconfortabil. De ce se întâmplă asta? Cel mai adesea, pentru că atunci când se studiază elementele de bază ale materialului, apare o lacună în cunoștințe, din cauza căreia studiul ulterioară al diffursului devine pur și simplu tortură. Nimic nu este clar ce să faci, cum să decizi de unde să începi?

Cu toate acestea, vom încerca să vă arătăm că difuzele nu sunt atât de dificile pe cât par.

Concepte de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale

De la școală, știm cele mai simple ecuații în care trebuie să găsim necunoscutul x. De fapt ecuatii diferentiale doar puțin diferit de ele - în loc de o variabilă X trebuie să găsească o funcție y(x) , care va transforma ecuația într-o identitate.

Ecuatii diferentiale sunt de mare importanță practică. Aceasta nu este matematică abstractă care nu are nimic de-a face cu lumea din jurul nostru. Cu ajutorul ecuațiilor diferențiale sunt descrise multe procese naturale reale. De exemplu, vibrațiile corzilor, mișcarea unui oscilator armonic, prin intermediul ecuațiilor diferențiale în problemele de mecanică, găsesc viteza și accelerația unui corp. De asemenea DU sunt utilizate pe scară largă în biologie, chimie, economie și multe alte științe.

Ecuație diferențială (DU) este o ecuație care conține derivatele funcției y(x), funcția în sine, variabile independente și alți parametri în diverse combinații.

Există multe tipuri de ecuații diferențiale: ecuații diferențiale obișnuite, liniare și neliniare, omogene și neomogene, ecuații diferențiale de ordinul întâi și superior, ecuații diferențiale parțiale și așa mai departe.

Soluția unei ecuații diferențiale este o funcție care o transformă într-o identitate. Există soluții generale și speciale de control de la distanță.

Soluția generală a ecuației diferențiale este setul general de soluții care transformă ecuația într-o identitate. O soluție particulară a unei ecuații diferențiale este o soluție care satisface condiții suplimentare specificate inițial.

Ordinea unei ecuații diferențiale este determinată de ordinul cel mai înalt al derivatelor incluse în ea.

Ecuații diferențiale obișnuite

Ecuații diferențiale obișnuite sunt ecuații care conțin o variabilă independentă.

Luați în considerare cea mai simplă ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi. Arată ca:

Această ecuație poate fi rezolvată prin simpla integrare a părții sale drepte.

Exemple de astfel de ecuații:

Ecuații de variabile separabile

ÎN vedere generala acest tip de ecuație arată astfel:

Iată un exemplu:

Rezolvând o astfel de ecuație, trebuie să separați variabilele, aducând-o la forma:

După aceea, rămâne să integrăm ambele părți și să obținem o soluție.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Astfel de ecuații iau forma:

Aici p(x) și q(x) sunt câteva funcții ale variabilei independente, iar y=y(x) este funcția dorită. Iată un exemplu de astfel de ecuație:

Rezolvând o astfel de ecuație, de cele mai multe ori se utilizează metoda de variație a unei constante arbitrare sau reprezintă funcția dorită ca produs al altor două funcții y(x)=u(x)v(x).

Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesară o anumită pregătire și va fi destul de dificil să le luați „la capriciu”.

Un exemplu de rezolvare a unui DE cu variabile separabile

Așa că am luat în considerare cele mai simple tipuri de telecomandă. Acum să aruncăm o privire la unul dintre ele. Fie o ecuație cu variabile separabile.

Mai întâi, rescriem derivata într-o formă mai familiară:

Apoi vom separa variabilele, adică într-o parte a ecuației vom colecta toate „jocurile”, iar în cealaltă - „xurile”:

Acum rămâne să integrăm ambele părți:

Integram si obtinem solutia generala a acestei ecuatii:

Desigur, rezolvarea ecuațiilor diferențiale este un fel de artă. Trebuie să fii capabil să înțelegi din ce tip aparține o ecuație și, de asemenea, să înveți să vezi ce transformări trebuie să faci cu ea pentru a o aduce într-o formă sau alta, ca să nu mai vorbim doar de capacitatea de diferențiere și integrare. Și este nevoie de practică (ca orice lucru) pentru a reuși să rezolvi DE. Și dacă ai acest moment nu există timp să te ocupi de modul în care se rezolvă ecuațiile diferențiale sau problema Cauchy s-a ridicat ca un os în gât sau nu știi să formatezi corect o prezentare, contactați autorii noștri. În scurt timp, vă vom oferi o soluție gata făcută și detaliată, ale cărei detalii le puteți înțelege în orice moment convenabil pentru dvs. Între timp, vă sugerăm să vizionați un videoclip cu tema „Cum se rezolvă ecuații diferențiale”: