Operator de transfer pentru o ecuație hiperbolică. Metode numerice pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale parțiale de tip hiperbolic (în exemplul ecuației de transport)

Luați în considerare problema Cauchy pentru o ecuație a formei

în care rata de transfer v ar putea fi o funcție X. Pentru ecuația (6.1), putem propune o varietate de scheme de diferențe care diferă în ordinea aproximării, modul de reprezentare a derivatelor etc. Să ne oprim mai întâi asupra schemelor de diferență explicite, în care fiecare ecuație a sistemului conține o singură cantitate necunoscută) ", ceea ce face posibilă calcularea secvențială a valorilor soluției pe un nou strat de timp.

Se știe că cea mai importantă proprietate pe care trebuie să o dețină schemele de diferențe explicite este stabilitatea, capacitatea unei scheme de a nu acumula perturbații de calcul. Stabilitatea schemei este o cerință necesară pentru a asigura convergența soluției de diferență cu cea exactă. Pentru o ecuație hiperbolică, analiza stabilității se efectuează de obicei cu privire la datele inițiale pe baza spectrului de valori proprii ale operatorului de tranziție la un nou strat de timp, pe baza căruia sunt selectate scheme de diferențe acceptabile pentru calcule. Astfel, schema diferenței simetrice

are o condiție de stabilitate foarte strictă (m 2 vh) și ns este folosit pentru algoritmi practici... Scheme de diferență

sunt stabili condiționat. Pentru a le asigura stabilitatea, este necesar, mai întâi, să îndeplinim condiția Courant Friedrichs - Levy (CFL):

și în al doilea rând, utilizarea diferențelor față de flux, adică aplicarea schemei (6.3) pentru V> 0 și (6.4) pentru v 0.

Schema explicită cu diferențe în amonte. Dacă aplicăm selectiv cele două scheme anterioare și anume pentru v>> 0 schemă (6.3) și pentru v

va fi indiferent față de direcția vitezei și stabilă în condiții v / h^ 1. Este ușor de văzut că diferențele unilaterale din această schemă sunt luate spre flux (se spune că schema are proprietatea mpanenopmuenoemu). Scheme) "de acest tip se numește contracurent sau circuit cu diferențe în amonte.

În cazul unei ecuații cu o valoare constantă a ratei de transfer, nu există probleme cu proiectarea schemei de diferențe în direcția vântului. Diferența corespunzătoare semnului vitezei de transfer este selectată și utilizată la toate nodurile domeniului de calcul. Condiția (6.5) impune o restricție asupra raportului pașilor grilei de calcul. De obicei, pentru un pas spațial dat, pasul de timp admisibil t h / v este determinat din relația (6.5).

Dar dacă rata de transfer este o funcție a coordonatei (sau a timpului), atunci alegerea tipului de aproximare a diferenței trebuie să se bazeze pe analiza semnului ratei de transfer, de exemplu, folosind un operator condiționat. Cu excepția primite, la o rată de transfer variabilă v = v (x) condiția de stabilitate trebuie verificată pentru toate nodurile grilei și din acest set de valori ale etapei de timp alegeți-o pe cea minimă: t min ,; h / vj.

În lucrarea lui Courant și colab. (1952), a fost propusă o metodă interesantă pentru construirea unei scheme în amonte, în care operatorul condițional nu a fost utilizat. Este important să rețineți că aceasta nu este doar o tehnică formală, ci o abordare care conține idei profunde pe baza cărora se poate compara și găsi o corespondență între schemele de diferență în direcția vântului (asimetric) și simetric. Ideea de a împărți operatorii schemelor de diferență este aproape de aceasta.

Să reprezentăm rata de transfer ca suma componentelor sale pozitive și negative:

Acest lucru vă va permite să reprezentați operatorul de transport ca suma a doi operatori:

Acum, fiecare dintre operatori are un coeficient de semn constant, ceea ce face posibilă aplicarea aproximării diferenței în amonte. Rețineți că schema diferențelor din amonte pentru aproximarea termenilor convectivi este utilizată pe scară largă în diferite probleme de dinamică a fluidelor de calcul. Următoarea notație a algoritmului de calcul conform schemei (6.6) este adesea utilizată:

Dacă acum efectuăm transformări elementare în partea dreaptă a (6.7) și selectăm derivata diferenței simetrice, atunci această schemă va fi reprezentată sub forma

Se poate concluziona că schema de diferențe de contracurent (6.7) este echivalentă cu simetrică (6.2), în care este introdus un aditiv disipativ, care asigură stabilitatea condiționată a schemei.

Schema lui Lax. Această schemă a fost introdusă în practica calculului în zorii dezvoltării dinamicii de calcul a gazelor. II, deși referințe la o schemă de acest tip au fost găsite în lucrările diferiților autori, opinia publică o asociază cu numele matematicianului american Lax (PD), care a publicat în anii 50 o serie de lucrări despre diferite aspecte ale teoriei scheme de diferență. Aplicat ecuației de transport (6.1), această schemă are forma

O caracteristică a schemei este că pentru a asigura stabilitatea acesteia în aproximarea derivatei de timp, valoarea funcției grilă la nod (r, P) este înlocuit cu o jumătate de sumă de valori în nodurile adiacente ale aceluiași strat de timp. Această operație asigură, cu aproximarea centrală a derivatei spațiale, stabilitatea condițională a schemei de diferențe (în condiția Courant - Friedrichs - Levy v / h ^ 1).

Deși aici derivatul cu privire la X este prezentat cu ordinea a doua de aproximare, schema, datorită reprezentării specifice a derivatei în timp, are o disipare semnificativă. Acest lucru se vede clar din prima aproximare diferențială:

Coeficientul din partea dreaptă înainte de a doua derivată poate fi interpretat ca fiind coeficientul vâscozității schematice. După transformări simple, această valoare poate fi reprezentată ca

unde prin dar este indicat numărul Courant. Multe proprietăți ale acestui circuit pot fi determinate din aproximarea diferențială:

• - schema devine nedisipativă atunci când numărul Courant este egal cu unu;
• - circuitul nu este sensibil la direcția de curgere;

atunci când numărul Courant este mai mic decât unul, vâscozitatea circuitului are un efect stabilizator (coeficient de difuzie pozitiv); atunci când numărul Courant este mai mare de unul, vâscozitatea circuitului devine negativă, ceea ce duce la o agravare a procesului de difuzie și, în cele din urmă, la pierderea stabilității de calcul a circuitului;

Pe măsură ce pasul de timp scade, proprietățile disipative ale circuitului cresc.

Printre caracteristicile enumerate, sunt cele care reduc semnificativ avantajele circuitului. Cu toate acestea, simplitatea algoritmului este adesea baza pentru utilizarea acestuia la etapele inițiale (de depanare) în construcția programelor de calcul. În plus, schema Lax, așa cum vom vedea mai jos, este o parte integrantă a algoritmilor eficienți în mai multe etape în care se realizează o etapă preliminară (etapa de predicție) cu ajutorul acesteia.

Scheme de ordinul doi. Schemele de diferență discutate anterior au fost de primul ordin (în variabilă spațială sau temporală). Când se construiesc scheme de ordinul doi, este necesar să se furnizeze o ordine de aproximare crescută atât în ​​variația spațială, cât și în cea temporală. Să luăm în considerare mai multe scheme de acest tip.

Schema Leapfrog. O schemă de ordinul doi, atât în ​​variabila spațială, cât și în timpul celui mai simplu tip, poate fi reprezentată în formă

Această schemă se numește o schemă pas cu pas, dar este mai bine cunoscută sub numele de "leapfrog"(schema salt-broască). Schema este în trei straturi și construiește soluția din cele două straturi de timp anterioare. Prin urmare, atunci când îl utilizați, apar probleme cu începutul calculelor, care ar trebui efectuate printr-o altă metodă.

Schema Lax-Wendroff. Una dintre cele mai faimoase scheme de acest tip este schema centrală, numită după autorii săi, schema Lax-Wendroff. A ocupat o anumită nișă în teoria schemelor de diferență pentru ecuațiile hiperbolice, multe idei foarte productive sunt asociate cu aceasta, dar principalul său avantaj este că poate fi ușor generalizat și transportat în cazul problemelor mai complexe - probleme de compresibil fluxul de gaz descris de sisteme de ecuații cvasiliniare, unde a fost unul dintre principalele instrumente de calcul de destul de mult timp.

Este util să studiați caracteristicile acestei scheme printr-un exemplu de aplicare a acesteia la o ecuație de transport a formularului (6.1). Pentru a construi un circuit de ordinul doi, scriem formula lui Taylor:

pe care o vom considera împreună cu ecuația originală (6.1) Această ecuație va fi utilizată pentru a înlocui derivatele de timp din expansiune cu cele spațiale. Acest lucru este posibil, deoarece derivata pentru prima dată este exprimată direct din (6.1): du / dt = -vdu / dx. A doua derivată este, de asemenea, ușor de găsit din următorul lanț de rapoarte:

Rețineți că această reprezentare este exactă doar la o rată de transfer constantă: v = const. În caz contrar, este aproximativ, totuși, dacă rata de transfer v (x) suficient funcționalitate lină, poate fi folosit pentru a transforma relațiile de diferență, care sunt de natură locală.

Înlocuind expresiile derivatelor obținute folosind ecuația diferențială originală în formula de mai sus de Taylor, obținem relația

și înlocuind derivatele cu privire la spațiu prin relații de diferență finită de ordinul doi, obținem (după câteva transformări simple) schema diferențelor

numită schema Lax Wendroff. Această schemă a fost introdusă în practica de calcul împreună cu o serie de altele într-o serie de lucrări publicate de Lax și Wsndroff în 1960-1964.

O versiune în doi pași a schemei Lax-Wendroff. Mai târziu, Richtmeier a propus o versiune originală în două etape a schemei, care, datorită comodității în implementare, a fost pentru mult timp unul dintre principalii algoritmi de calcul pentru dinamica gazelor. Să oferim această opțiune.

În prima jumătate a pasului, calculăm valoarea intermediară a soluției folosind o schemă simplă Lax de ordinul I. Această valoare intermediară primește un indicativ n + 1/2 și rețineți că este folosit și un pas de jumătate de timp. Aplicând această schemă, obținem valorile soluției la nivelul de timp intermediar: t = t n + l / 2. Mai mult, observăm că datorită aplicării schemei Lax, în care pe stratul de jos nu există nod central, soluția este reprodusă pe stratul intermediar și în sistemul de puncte jumătate întregi.

Să oferim o înregistrare a relațiilor de diferență pentru două intervale adiacente:

A doua jumătate de etapă constă în calcularea soluției la un nou nivel de timp P+ 1 bazat pe o schemă cu diferențe centrale atât în ​​spațiu cât și în timp - schema „încrucișată”. Pentru a calcula derivatele spațiale, se utilizează valorile soluției pe stratul intermediar din sistemul de puncte jumătate întregi, soluția în sine este reconstituită în același sistem de puncte în care a fost determinată la începutul timpului Etapa:

Relațiile (6.12) și (6.13) definesc împreună schema Lax - Weidroff în doi pași. În prima etapă, este asigurată îndeplinirea condițiilor de stabilitate. Această etapă este uneori numită predictor. A doua etapă asigură atingerea preciziei cerute și este numită corector. Metodele predictor-corector sunt adesea folosite în matematica computationalaîn care etapa corectoră poate include un bloc de iterație.

Se poate arăta cu ușurință că, excluzând valorile intermediare din (6.13), folosind relațiile (6.12), ajungem la varianta principală - cu un singur pas - a schemei. În sensul ordinii de aproximare și stabilitate, ambele opțiuni sunt echivalente, dar cea în doi pași este mai convenabilă atunci când se efectuează calcule, prin urmare, numele acestei scheme de diferență este de obicei asociată cu aceasta. Versiunea în doi pași este deosebit de convenabilă de utilizat atunci când se construiesc scheme de diferențe pentru probleme mai complexe, în special pentru sisteme de ecuații cvasiliniare ale dinamicii gazelor nesigure.

Monotonitatea soluției în schemele de ordinul doi. Ultimul termen din partea dreaptă a (6.11) are o formă diferită de forma termenilor disipativi ai schemelor de ordinul întâi (6.8) și (6.10). ÎN acest caz oferă suprimarea erorii asociate cu aproximarea de ordinul întâi a derivatei de timp. Astfel, această schemă este o schemă de ordinul doi, atât în ​​timp cât și în spațiu. Prima sa aproximare diferențială nu va mai conține un termen disipativ, dar va conține o componentă de dispersie cu o a treia derivată, care este cauza erorilor de fază din circuit. Se poate aștepta ca această schemă să împrăștie ușor soluția, dar oscilațiile non-fizice cauzate de dispersie pot apărea în regiunea schimbării sale accentuate.

O schemă de diferență care transformă o soluție sub forma unei funcții monotonice a coordonatei longitudinale într-o soluție monotonă se numește schema monotonă de diferență. Conform acestei definiții, schema Lax-Weidroff este non-monotonă.

S.K. Godunov a stabilit teorema monotoniei, care ocupă unul dintre locurile centrale din teoria schemelor de diferență. Conform acestei teoreme, pentru o ecuație liniară a formei (6.1), nu există scheme monotone cu un ordin mai mare decât primul.

Pierderea monotoniei schemei de diferență este caracteristică într-un grad sau altul pentru toate schemele cu un ordin de aproximare mai mare. Pentru a depăși non-monotonitatea soluției numerice a schemelor de ordin înalt, așa-numitul hibrid scheme de diferență. Acestea aparțin clasei celor neliniare, în care, pe baza analizei comportamentului soluției, trecerea la schemele monotone de ordinul întâi în zonele în care erorile de fază sunt deosebit de pronunțate și revenirea la schemele de ordin înalt în regiunile de schimbare lină a soluției Sunt facute.

Schema lui McCormack. Este, de asemenea, o schemă în doi pași de ordinul doi, care este indiferentă față de direcția de curgere. Este mai convenabil să o demonstrați sub forma conservatoare a ecuației de transport:

Schema constă din doi pași secvențiali:

În prima etapă (6.15), se găsește valoarea preliminară a soluției tu la punctele de rețea bazate pe o schemă de diferență unidirecțională. Soluția găsită în acest mod este utilizată pentru a calcula valorile preliminare ale fluxurilor / r. Mai mult, pe baza schemelor unilaterale având direcție opusă(6.16), soluția este determinată la următorul nivel de timp.

Acest algoritm permite diverse modificări; se adaptează bine la soluția atât a sistemelor cvasiliniare, cât și a problemelor hiperbolice multidimensionale. În anii 1970, această schemă a fost una dintre principalele scheme de diferență ale computerelor străine (în principal americane), dar în prezent a fost înlocuită de altele mai moderne bazate pe ideile de hibridizare.

Să luăm acum în considerare cele mai simple scheme de diferență pentru ecuația Hopf.

Generalizarea schemei Lax la cazul ecuației Hopf are forma

Aici, evident, se folosește forma divergentă a ecuației (3.6).

Exerciții... Luați în considerare schema Lax - Wendroff pentru ecuația Hopf. Să se formuleze condițiile inițiale pentru problema Cauchy după cum urmează: u (x, 0) = ch - 2 (x). Atunci ecuația Hopf are prima integrală: ... Verificați dacă diagrama de mai sus este conservator, adică aceeași lege de conservare este îndeplinită automat la nivelul rețelei.

Construiți un circuit similar folosind forma caracteristică scriind ecuația Hopf (3.9). Va fi ea conservatoare?

Schema este stabilă condiționat în condiția Courant (mai exact, o generalizare a condiției Courant)

Aici și mai jos, ca mai înainte în (3.7), f = 0,5u 2. În acest caz, se presupune că debitul este suficient de lin, momentul catastrofei de gradient nu a sosit încă și nu există unde de șoc sau alte discontinuități în soluție.

Schema Courant - Isakson - Rhys... Generalizarea schemelor KIR în cazul cvasiliniar (când se utilizează formă divergentă ecuații) este evidentă.

Schema este stabilă în condiția Courant

Generalizare Scheme Lax-Wendroff(schema predictor-corector). Pentru ecuațiile cvasiliniare (precum și ecuațiile liniare cu coeficienți variabili, ecuații neomogene etc.), schema Lax - Wendroff devine mai complicată. Pentru a-l construi, este necesar să se introducă așa-numitele puncte jumătate întregi (puncte cu indici fracționari). În prima etapă (predictor), valorile în puncte jumătate întregi sunt calculate conform schemei de mai sus - o generalizare la cazul cvasiliniar al schemei Lax:

în a doua etapă (corector), se utilizează schema "leapfrog" (o schemă cu trei straturi pe un model cruciform, care nu este inclusă în familie (3.8)):

Schema Lax - Wendroff aparține așa-numitei central scheme. Modelul său este simetric. În prima etapă, valorile funcției grilă sunt calculate în puncte jumătate întregi ale șablonului de pe stratul intermediar (tm - 1/2, xm - 1/2), (tn + 1/2, xm + 1/2), în a doua etapă, soluția de pe stratul superior este calculată în punctul (tn + 1, xm). Schema este stabilă în condiția Courant.

Schemele lax - Wendroff pentru ecuații liniare neomogene sunt construite într-un mod similar.

Circuitul descentrat al lui McCormac(predictor - corector).

La fel ca schema Lax-Wendroff de mai sus, schema McCormack constă din două etape. Luați în considerare construcția circuitului McCormack pentru ecuație omogenă(3.7). Prima etapă (predictor) are forma

acestea. se folosește schema de colț dreapta explicită. A doua etapă este un corector:

Astfel, calculul la prima etapă conform schemei „colțului drept”, la al doilea - „colțul stâng”.

O altă schemă McCormack are forma

Astfel de scheme de diferențe sunt numite descentrat... Avantajele acestora includ absența indicilor pe jumătate întregi și o formulare mai simplă a condițiilor la graniță. În cazul liniar, schemele McCormack coincid cu schema Lax-Wendroff. Schemele au al doilea ordin de aproximare în ambele variabile, schemele sunt stabile în condiția Courant.

Schema lui Rusanov(schema centrală de ordinul al treilea de precizie).

Pentru a construi schema Rusanov, nu sunt introduse doar puncte pe jumătate întregi, ci și două straturi de puncte intermediare cu indici fracționari. Prima etapă a schemei Rusanov (tranziția la stratul 1/3) are forma

a doua etapă a acesteia este o schemă „leapfrog”

iar a treia etapă

În prima etapă, calculul se efectuează conform schemei Lax, în a doua - în conformitate cu schema „încrucișată” („leapfrog”). Ultimul termen al etapei a treia este introdus pentru a asigura stabilitatea schemei (un termen proporțional cu aproximarea diferenței a celui de-al 4-lea derivat).

Schema este stabilă condiționat atunci când condiția Courant și condiția sunt îndeplinite.

Descentrat Încălzire - schema Kutler - Lomax A treia ordine de precizie.

Primul stagiu:

A doua fază:

Etapa a treia:

Ultimul termen este adăugat pentru stabilitatea schemei, care este condițional stabilă în condițiile Courant.

Dimensiune: px

Începeți afișarea de la pagina:

Transcriere

2 MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI FEDERAȚIEI RUSII UNIVERSITATEA DE STAT NOVOSIBIRSK Facultatea de Mecanică și Matematică Departamentul de Modelare Matematică GS Khakimzyanov, SG Cherny METODE DE CALCUL Partea 4. Metode numerice pentru rezolvarea problemelor pentru ecuații hiperbolice Manual de text Novosibirsk 014

3 BBK V.193 UDC X 16 Reviewer Cand. fizic-mat. Științe A.S. Lebedev Publicația a fost pregătită ca parte a implementării Programului de dezvoltare al instituției de învățământ de stat de nivel superior învățământul profesional Novosibirsk Universitate de stat"Pentru ani. X 16 Khakimzyanov, GS Metode de calcul: În 4 ore: manual. indemnizație / G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny; Novosib. stat un-t. Novosibirsk: RITs NSU, 014. Partea 4: Metode numerice pentru rezolvarea problemelor pentru ecuații de tip hiperbolic. 07 p. ISBN Manualul corespunde programului cursului prelegerilor „Metode de calcul”, care se citește la Facultatea de Mecanică și Matematică a NSU. În partea a patra, sunt prezentate bazele metodelor numerice pentru rezolvarea problemelor valorii inițiale-limită pentru ecuațiile de tip hiperbolic, sunt formulate problemele pentru seminarii, sunt prezentate eșantioane de teste și sarcini pentru exerciții practice pe computer. Manualul este destinat studenților și profesorilor de specialități matematice superioare institutii de invatamant... ISBN LBC V.193 UDC c Universitatea de Stat Novosibirsk, 014 c G.S. Khakimzyanov, S.G. Cherny, 014

4 CUPRINS Prefață Scheme pentru ecuația de transport liniar Proprietatea monotonicității schemelor de diferență Construirea schemelor monotonice pe baza metodei de aproximare diferențială Scheme pentru o ecuație de transport neliniar Scheme pe o grilă adaptivă pentru ecuația de transfer Scheme de diferențe pentru ecuația vibrațiilor șirurilor Scheme de diferență un sistem hiperbolic de ecuații cu coeficienți constanți Scheme de diferență pentru sisteme de ecuații neliniare de apă superficială Scheme de diferențiere pentru probleme de dinamică a gazelor Lucrări de testare pe tema „Investigarea schemelor de diferențe pentru ecuația de transport” Sarcini pentru munca de laborator Răspunsuri, direcții, soluții Bibliografie

5 Prefață În cea de-a patra parte a manualului, sunt prezentate fundamentele metodelor numerice pentru rezolvarea problemelor de valoare inițială-limită pentru ecuațiile de tip hiperbolic, sunt formulate probleme pe această temă pentru seminarii, sunt date sarcini pentru exerciții practice pe computer și un exemplu munca de testare... Întrebările teoretice sunt prezentate destul de scurt. Pentru un studiu mai aprofundat al problemelor luate în considerare, vă recomandăm să faceți referire la manualul S.K. Godunov și V. S. Ryabenky, precum și la cărțile G.I. Marchuk, A.A., AA Samarsky și ES Nikolaev, BL Rozhdestvensky și NN Yanenko și manualele publicate la NSU. . Cursurile tratează probleme teoretice legate de studiul numai schemelor cu diferență finită. Ca exemple, sunt luate în considerare scheme pentru o ecuație de transport liniar, o ecuație scalară neliniară de ordinul întâi, o ecuație de ordinul doi care descrie vibrațiile șirurilor, un sistem liniar de ecuații de ordinul întâi, un sistem de ecuații de apă superficială neliniară și ecuații de dinamică a gazelor . Fiecare paragraf este însoțit de sarcini care trebuie rezolvate în cadrul seminarului. Multe sarcini sunt furnizate cu instrucțiuni și soluții detaliate. Materiale suplimentare pentru seminarii se găsesc în cărțile cu probleme. Manualul conține exemple de sarcini pentru exerciții practice în orele de calculator, oferă recomandări pentru finalizarea sarcinilor, discută aspecte legate de dezvoltarea programelor și prezentarea rezultatelor. Sarcini suplimentare poate fi preluat din mijloace didactice... A patra parte a manualului are o numerotare continuă independentă a paragrafelor și cifrelor și o listă bibliografică independentă. În interiorul paragrafelor pentru formule și enunțuri (leme și teoreme), se utilizează numerotarea cu doi indici, de exemplu 4. Referințele la formule, leme, teoreme din cele trei părți anterioare ale manualului sunt date prin adăugarea cifrei 1 sau 3 la numărul lor în fața numărului lor. De exemplu, în loc de „conform formulei (4.) din manual„ scriem „conform formulei (1.4.)”, În loc de „conform teoremei 8.3 din manual” „conform teoremei 8.3”. Autorii sunt profund recunoscători arbitrului Alexander Stepanovich Lebedev pentru sfaturi valoroase și observații critice care a contribuit la îmbunătățirea acestui lucru ghid de studiu. 4

6 1. Scheme pentru ecuația de transport liniar 1.1. Unele informații din teoria sistemelor hiperbolice. Luați în considerare problema lui Cauchy pentru un sistem liniar de ecuații diferențiale de ordinul întâi u t + A u = f (x, t),< x <, 0 < t T, x u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.1) Здесь u = (u 1,..., u m) T m-мерная вектор-функция переменных x, t, A вещественная m m матрица с элементами a i (x, t). Определение. Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точке этой области собственные значения λ 1, λ,..., λ m матрицы A вещественны и различны. Определение. Интегральная кривая x = x k (t) обыкновенного дифференциального уравнения dx dt = λ k(x, t) (1.) называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1). Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λ k. Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t >0) în direcția timpului descrescător t, va traversa axa Ox în m puncte diferite. Să aranjăm valorile proprii ale sistemului hiperbolic (1.1) (λ 1 (x, t)< λ (x, t) <... < λ m (x, t)) и через обозначим отрезок оси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первой характеристиками. Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системы уравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = x m (t), x = x 1 (t) и отрезком . Область зависимости точки (x, t) изображена на рис. 1, а. Решение u системы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u 0 (x) на 5

7 segment. Prin urmare, dacă datele inițiale din afara segmentului sunt schimbate în altele, atunci soluția de la punctul (x, t) nu se va schimba. Definiție. Domeniul de influență al unui punct (x 0, 0) este setul de puncte (x, t) din semiplanul superior delimitat de caracteristicile extreme ale sistemului (1.1) care ies din (x 0, 0), adică caracteristicile corespunzătoare valorilor proprii λ 1 și λ m. Zona de influență a punctului (x 0, 0) este prezentată în Fig. 1, b. Dacă datele inițiale sunt schimbate numai în punctul (x 0, 0), atunci soluția sistemului hiperbolic se va schimba numai în punctele (x, t) aparținând zonei de influență a punctului (x 0, 0 ). Să presupunem acum că, în loc de problema Cauchy (1.1), trebuie să rezolvăm o problemă a valorii inițiale-limită pe un interval. Apoi, pe lângă condițiile inițiale, este necesar să se specifice condițiile la graniță. Numărul de condiții de graniță la fiecare dintre granițe este determinat de numărul de caracteristici care intră în zonă. De exemplu, dacă m 0 caracteristici intră în regiune prin limita stângă x = 0, adică m 0 valori proprii λ k sunt pozitive la x = 0, atunci m 0 condiții limită trebuie specificate pe această limită. Dacă pe limita x = l numărul de valori proprii negative este egal cu m l și, prin urmare, exact m l caracteristici intră în regiune prin limita dreaptă, atunci pe această limită este necesar să se stabilească m l condiții limită. Deoarece valorile proprii depind de timp, numărul condițiilor limită la fiecare dintre limite se poate modifica cu timpul. t dx dt = m λ m (x, t) dx dt = λ 1 t dx dt = λ 1 dx dt = m λ x l a x r x (x 0,0) b x Fig. 1. Caracteristicile sistemului de ecuații (1.1) care limitează regiunile de dependență ale punctului (x, t) (a) și influența punctului (x 0, 0) (b) 6

8 Luați în considerare acum sistemul hiperbolic omogen al ecuațiilor (1.1) cu coeficienți constanți. Pentru o matrice constantă A, vectorii proprii și valorile proprii sunt constante, adică nu depind de x și t. Fie l k al k-lea vector propriu stâng al matricei A corespunzător valorii sale proprii λ k: l k A = λ k l k (k = 1, ..., m). Înmulțim sistemul (1.1) din stânga cu vectorul lk: sau unde lkut + l ka ux = 0. Această ecuație poate fi scrisă în următoarea formă: lkut + λ klkuxskt + λ skkx = 0, = 0, (1.3) sk = lku, k = 1, ... m. (1.4) Soluția sk (x, t) a ecuației (1.3) este transferată de-a lungul caracteristicii fără schimbare și, prin urmare, este calculată pentru t> 0 din valoarea inițială sk la punctul de intersecție a caracteristicii kth cu axa Ox: sk (x, t) = sk (x λ kt, 0). (1.5) Funcțiile s k se numesc invarianți Riemann. 1 .. Model liniar cu apă de mică adâncime. Cel mai simplu model matematic, în cadrul căruia este posibil să se descrie mișcarea unui fluid cu unde de suprafață, este un model liniar de apă de mică adâncime: η t + u 0 = 0, (1.6) xut + g η = 0, (1.7) x η (x, 0) = η 0 (x), u (x, 0) = u 0 (x), (1.8) unde η (x, t) este creșterea suprafeței lichidului deasupra nivelului neperturbat (vezi Fig.), U (x, t) este viteza lichidului, η 0 (x) și u 0 (x) elevația și viteza la momentul inițial t = 0, 0 = const este adâncimea bazinului, g = const este accelerația gravitației. 7

9 Sistemul de ecuații (1.6), (1.7) poate fi scris sub forma unui sistem omogen (1.1) cu o matrice A și un vector de soluție u: A = (0 0 g 0) (η, u = u) . (1.9) Matricea A are două valori proprii reale diferite λ 1 = c 0, λ = c 0 = g 0, (1.10) prin urmare sistemul de ecuații (1.6), (1.7) este de tip hiperbolic. Ecuațiile caracteristicilor (1.) iau următoarea formă: dx dt = c 0, dx dt = c 0, (1.11) prin urmare caracteristicile sunt linii drepte. Caracteristicile care trec prin punctul (x, t), t> 0, intersectează axa Ox în punctele x l și x r, unde x l = x c 0 t, x r = x + c 0 t. (1.1) Vectorii proprii stângi ai matricei A corespunzătoare valorilor proprii (1.10) sunt date de formulele l 1 = (c 0, 0), l = (c 0, 0). (1.13) y 0 η y = (x, t) lxy = - 0 Fig. Notare în problema propagării și transformării undelor într-un bazin cu pereți verticali Conform (1.4), relația dintre invarianții Riemann r = s 1, s = s și variabilele dependente inițiale sunt date de formulele r = c 0 η 0 u, s = c 0 η + 0 u, (1.14) 8

10 de unde η = r + sc 0, u = sr 0. (1.15) Din formula (1.5), luând în considerare egalitățile (1.14), obținem formule pentru rezolvarea problemei Cauchy în invarianții r (x, t) = r ( x λ 1 t, 0) = r (x + c 0 t, 0) = c 0 η 0 (xr) 0 u 0 (xr), (1.16) s (x, t) = s (x λ t, 0 ) = s (xc 0 t, 0) = c 0 η 0 (xl) + 0 u 0 (xl). (1.17) Și, în cele din urmă, folosind relațiile (1.15), obținem o soluție exactă la problema lui Cauchy (1.6), (1.7), (1.8) η (x, t) = η 0 (xl) + η 0 (xr) + 0 u0 (xl) u 0 (xr), c 0 u (x, t) = u 0 (xl) + u 0 (xr) + c 0 η0 (xl) η 0 (xr). 0 (1,18) Atunci când se rezolvă problema valorii inițiale a limitei luate în considerare, este necesar să se stabilească o condiție la fiecare punct final al segmentului. De exemplu, vom presupune că pereții bazinului sunt impermeabili la lichid, ceea ce înseamnă că viteza lichidului pe acești pereți este egală cu zero: u (0, t) = u (l, t) = 0. (1.19) Să dăm forma finală a formulării matematice a problemei asupra mișcării unui fluid cu unde de suprafață într-un bazin delimitat: găsiți o soluție η (x, t), u (x, t), continuă într-o domeniul închis D =, la următoarea problemă cu valoarea inițială a limitei η t + u 0 x = 0, ut + g η = 0, 0< x < l, 0 < t T, x u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 t T, η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.0) 1.3. Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана, 9

11 în acest caz, ecuațiile pentru invarianții Riemann nu depind una de cealaltă și fiecare dintre ele are forma u t + au x = 0, a = const. (1.1) Această ecuație este cea mai simplă ecuație hiperbolică și se numește ecuație de transport liniar. Această ecuație poate fi utilizată pentru a studia proprietățile schemelor de diferențe utilizate pentru rezolvarea sistemelor hiperbolice de ecuații. Luați în considerare pentru ecuația de transport liniar (1.1) problema lui Cauchy u t + au x = 0,< x <, 0 < t T, u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.) Характеристика x = x(t) уравнения (1.1) определяется уравнением dx dt = a, (1.3) т. е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точное решение задачи Коши определяется по формуле u(x, t) = u 0 (x at). (1.4) График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a >0 și invers). Pentru ecuația de transport cu un coeficient constant a, este ușor să scrieți soluția exactă pentru problema valorii inițiale. Fie, de exemplu, a = const> 0. Atunci următoarea problemă a valorii inițiale a limitei este corectă u t + au x = 0, 0< x l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.5) Легко проверить, что если u 0 (x) и µ 0 (t) дифференцируемые функции, то решение задачи (1.5) определяется формулой u(x, t) = { u0 (x at) при t x/a, µ 0 (t x/a) при t x/a. (1.6) 1.4. Явная противопоточная схема. Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса. 10

12 Începem cu o schemă explicită cu diferențe în amonte (schema amonte) pentru problema valorii inițiale a limitei u t + au x = f (x, t), 0< x l, 0 < t T, a = const >0, u (0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u (x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.7) În cele ce urmează, vom lua în considerare doar rețelele uniforme care acoperă regiunea închisă D =. Construim următoarea schemă de diferențe un + a un un 1 = fn, = 1, ..., N, un 0 = μ n 0, n = 0, ..., M, u 0 = u 0 (x), = 0, ..., N, (1.8) aproximând problema (1.7) cu ordinul O (+). La fel ca înainte, această schemă poate fi scrisă în forma de operator L u = f. Schema denumirii în direcția vântului este asociată cu faptul că dacă considerăm ecuația de transport ca o ecuație model pentru sistemul de ecuații care descrie fluxul unui lichid sau gaz și identificăm coeficientul a cu viteza lichidului, atunci la o viteza pozitivă, adică pentru a> 0, în schemă se iau derivate de diferență la stânga folosind nodul x 1 situat în amonte (situat în amonte). Introducem norme uniforme în spațiul funcțiilor de rețea U și spațiul laturilor din dreapta F: unde f F (= max u U max nun C = max 0 N un, = max n un C, (1.9)) µn 0, (u 0) C, max fnn C, (1,30) fn C = max 1 N fn norme uniforme pe stratul t = t n. Folosind principiul maxim, se poate dovedi următoarea afirmație. Teorema 1.1. Condiția a 1 (1,31) 11

13 este suficient pentru stabilitatea schemei de vânt (1.8) într-o normă uniformă. Dovadă. Fie x un nod de rețea cu numărul 1 N. Să rescriem ecuația diferenței circuitului la acest nod = (1 r) u n + ru n 1 + f n, unde r = a /. Ipoteza teoremei implică faptul că 1 r 0; prin urmare, următoarea estimare va fi valabilă (1 r) un + run 1 + fn (1 r) un C + run C + fn C un C + max mfm C. nod limită, avem următoarea estimare 0 = µ n + 1 0 max m µm 0. În consecință, maximul laturilor din stânga ale acestor inegalități nu poate depăși maximul celor două numere de pe laturile din dreapta ale acestor inegalități : (C max max m) µm 0, un C + max fmm C, iar acesta este principiul maxim. Am constatat că, în condiția (1.31), schema (1.8) îndeplinește principiul maxim. Prin urmare (a se vedea teorema 3.1.1) va fi stabil în norma uniformă în raport cu datele inițiale, Condiții de frontieră iar pe partea dreaptă. Aceeași condiție (1.31) este, de asemenea, o condiție necesară pentru stabilitatea schemei (1.8), care rezultă din criteriul de stabilitate spectrală Neumann. Să dovedim. Luați armonica u n = λ n e iφ (1.3) și înlocuiți-o în ecuația diferenței omogene. Ca rezultat, pentru factorul de tranziție obținem ecuația Prin urmare, λ = 1 r (1 e iφ) = 1 r (1 cos φ) ir sin φ. λ = 1 r (1 cos φ) + r (1 cos φ) + r sin φ = 1

14 = 1 r (1 cos φ) [r (1 cos φ) r (1 + cos φ)] = 1 r (1 cos φ) (1 r). Fie pașii din schema (1.8) și sunt conectați prin legea trecerii la limita r = a = const. (1.33) Atunci valorile proprii λ (φ) nu depind de; prin urmare, condiția necesară pentru stabilitatea Neumann este redusă la cerința fie λ (φ) 1, φ R. (1.34) r (1 cos φ) ( 1 r) 0, φ R. (1.35) Evident, această inegalitate este echivalentă pentru o> 0 la condiția (1.31). Astfel, condiția (1.31) pentru o> 0 este o condiție necesară și suficientă pentru stabilitatea schemei de vânt în norma uniformă. Rețineți că pentru un< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см. задачу 1.1). Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задача u t + au x = f(x, t), 0 x < l, 0 < t T, a = const < 0, u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (l) = µ l (l). (1.36) Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схему u n + a un +1 un = f n, = 0,..., N 1, u n N = µn l, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.37) которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.36) с порядком O(+). Используя принцип максимума и спектральный признак Неймана, можно показать, что схема (1.37) при a < 0 будет устойчива при выполнении условия a 1. С другой стороны, при a >Schema 0 (1.37) va fi absolut instabilă (vezi problema 1.). 13

15 Astfel, am construit două scheme explicite stabile condiționat cu diferențe în amonte pentru ecuația de transport cu un coeficient constant aunun + a un un 1 + a un +1 un Ele sunt stabile sub inegalitatea = fn dacă a> 0, = fn, în cazul în care un< 0. (1.38) a 1. (1.39) Во внутренних узлах сетки противопоточную схему (1.38) можно записать в виде одного уравнения u n + a + a u n un 1 + a a u n +1 un = f n. (1.40) Аналогично выглядит явная противопоточная схема и в случае знакопеременного коэффициента a(x, t). Например, если на границах отрезка выполнены условия a(0, t) >0, a (l, t)< 0, 0 t T, то получим такую противопоточную схему где u n + a + un un 1 + a un +1 un = f n, = 1,..., N 1, u n 0 = µ n 0, u n N = µ n l, n = 0,..., M, (1.41) u 0 = u 0 (x), = 0,..., N, a + = an + a n, a = an a n, (1.4) которая аппроксимирует с порядком O(+) начально-краевую задачу u t + a(x, t)u x = f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.43) 14

16 Folosind principiul maxim, se poate demonstra (a se vedea problema 1.10) că, pentru stabilitatea schemei de vânt în sus (1.41) cu un coeficient variabil a (x, t), este suficient să îndeplinească condiția max a (x, t) 1 . (1,44) x, t 1,5 ... Schema lui Lax. Mai mult, pentru simplitatea prezentării, vom lua în considerare problema valorii inițiale (1.7) cu ecuația omogenă de transport ut + au x = 0. (1.45) În schema Lax, ecuația diferenței care aproximează ecuația de transport (1.45) este scris ca 0,5 (un +1 +) un 1 + a un +1 un 1 = 0, = 1, ..., N 1. (1.46) Pentru eroarea de aproximare locală, avem expresia ψ n, = u tt u xx + ..., prin urmare, pentru = O () schema Lax nu va aproxima ecuația de transport și, conform legii trecerii la limita r = a = const (1.47) va aproxima cu ordinea O (+ ). Astfel, aproximarea are loc doar pentru o anumită conexiune între pași și, adică, schema Lax aparține clasei schemelor de aproximare condiționată. Pentru factorul de tranziție, obținem formula λ (φ) = cos φ ir sin φ. În consecință, conform legii trecerii la limită (1.47), condiția necesară pentru stabilitatea schemei lax este îndeplinirea inegalității r 1, adică a 1. (1.48) 15

17 1.6. Schema lui Lax Wendroff. Ecuațiile de diferență ale acestei scheme arată astfel: u + 1/0, 5 (un +1 +) un + a un +1 un = 0, / un + au + 1 / (1.49) u 1 / = 0. Laxul - Schema Wendroff aparține familiei de circuite în doi pași. În această schemă, la început, la noduri jumătate întregi x + 1 / = x + /, conform schemei Lax, se calculează valorile auxiliare u + 1 /, care se referă la momentul de timp t n + /. Apoi, la al doilea pas, valorile funcției grid necesare sunt calculate la (n + 1) al treilea strat în timp. Pentru a studia aproximarea și stabilitatea schemelor în doi pași, cantitățile auxiliare u sunt eliminate preliminar din schemă. Ca rezultat al eliminării, obținem schema Lax - Wendroff într-un singur pas un + a un +1 un 1 = a un +1 un + un 1, (1.50) care, după cum este ușor de verificat, aproximează ecuația de transport ( 1.45) cu ordinea a doua în și. Pentru factorul de tranziție, avem următoarea expresie λ = 1 ir sin φ r sin φ. Prin urmare, condiția necesară pentru stabilitatea lui λ 1 va fi echivalentă cu îndeplinirea inegalității (1 r sin φ) + r sin φ 1, sau 1 4r sin φ + 4r4 sin 4 φ + 4r sin φ (1 sin φ ) 1. Ultima inegalitate este echivalentă cu condiția r 1. Astfel, condiția necesară pentru stabilitatea schemei Lax-Wendroff coincide cu condiția necesară (1.48) pentru stabilitatea schemei Lax-Wendroff Disipare și dispersie. Împreună cu ecuația de transport u t + au x = 0, a = const (1.51) 16

18 considerăm încă două ecuații u t + au x = µu xx, µ = const> 0, (1,5) u t + au x + νu xxx = 0, ν = const. (1.53) Funcția inițială din problema lui Cauchy pentru aceste ecuații să fie reprezentată ca o serie Fourier u (x, 0) = m b m e imx. (1.54) Vom căuta o soluție la fiecare dintre aceste ecuații prin separarea variabilelor u (x, t) = bm λ te imx = bmum (x, t), (1.55) mm unde um (x, t) este un armonica cu numărul de undă mum (x, t) = λ te imx, (1,56) λ trebuie determinat. Părțile reale și imaginare ale armonicelor sunt unde m, a căror lungime l este legată de numărul de unde prin formula l = π m. (1.57) Deoarece ecuațiile (1.51) (1.53) sunt liniare, comportamentul fiecărei armonici poate fi considerat independent. Înlocuind armonica cu numărul de undă m în ecuația de transport (1.51), obținem fie ln (λ) + scop = 0 λ = e scop. Prin urmare, dacă armonica (1.56) este o soluție la ecuația de transport, atunci are forma Denotând ξ = x at, obținem u m (x, t) = e im (x at). (1,58) u m (x, t) = e imξ = u m (ξ, 0). (1,59) 17

19 Astfel, în orice moment t> 0, u armonica se obține prin deplasarea armonicii inițiale cu at. În consecință, ecuația de transport descrie mișcarea undei m, care, indiferent de lungimea lor, se propagă la o viteză constantă v m = a fără a le denatura forma. Este ușor să verificați dacă armonica (1.56) va fi o soluție la a doua ecuație (1.5) dacă ln (λ) + scop = µm sau λ = e scop e µm, adică armonica în acest caz are forma um (x, t) = e µmt e im (x at). În consecință, pentru toate armonicile, are loc atenuarea amplitudinii undei (disiparea undei). Deoarece m = π / l, undele scurte se descompun mai repede decât cele lungi. Viteza de propagare a undelor v m nu depinde de lungimea de undă și este încă egală cu a. Termenul µu xx cu al doilea derivat al soluției este responsabil pentru disiparea undelor. În cele din urmă, înlocuind armonica în ecuația (1.53) se obține ln (λ) + scop + ν (im) 3 = 0, sau de unde se obține λ = e im (a νm), um (x, t) = e im (x (a νm) t). Astfel, a treia ecuație descrie mișcarea undei fără a-i modifica amplitudinea (fără disipare). Dar viteza de propagare a acestuia depinde de lungimea de undă v m = a νm. (1.60) Din această formulă se poate observa că undele de diferite lungimi se propagă la viteze diferite (undele se dispersează). Viteza de propagare a tulburărilor de undă scurtă (m mari) suferă modificări mai semnificative. Termenul νu xxx cu al treilea derivat al soluției este responsabil pentru dispersia undei. optsprezece

20 Având în vedere comportamentul armonicelor individuale, putem prezice acum comportamentul calitativ al soluției (1.55) a problemei Cauchy pentru aceste ecuații. De exemplu, funcția inițială u (x, 0) să aibă forma unui pas (1, x 0, u (x, 0) = (1.61) 0, x> 0 și a> 0. Extinderea unui astfel de funcția din seria Fourier (1.54) va conține întregul set de armonici. Soluția problemei Cauchy pentru ecuația de transport (1.51) este reprezentată în următoarea formă u (x, t) = mbme im (x at) = mbme imξ = u (ξ, 0), (1.6) adică soluția problemei este profilul inițial care se deplasează cu viteza A. Soluția u (x, t) = mbme µmt e im (x at) = mbme µmt e imξ (1.63) la problema lui Cauchy pentru ecuația (1.5) cu un termen disipativ în care undele scurte sunt puternic degradate, vor avea forma unui pas murdar. În cele din urmă, soluția u (x, t) = mbme im (x (a νm) t) (1,64) la problema lui Cauchy pentru ecuația (1,53), în care undele de lungimi diferite se mișcă la viteze diferite, are oscilante non-monotone. Conform formulei (1,60), pentru ν> 0, unde lungimea va avea o viteză mai mică decât valurile de lungime mare, iar pentru ν< 0 наоборот. Поэтому осцилляции будут отставать от основного решения (описываемого первыми гармониками) при ν >0 și, în consecință, avansați la ν< Дифференциальное приближение разностной схемы. Вернемся к численному решению задачи Коши для уравнения переноса (1.51). В качестве начального профиля возьмем ступеньку { 1, x x0, u(x, 0) = (1.65) 0, x >x 0 19

21 și efectuați calculul conform schemei explicite în direcția vântului în sus un + a un un 1 = 0, a = const> 0. (1.66) Ca rezultat, obținem o soluție sub forma unei etape murdare (Fig. 3) , adică soluția va fi calitativă la fel ca și o soluție la ecuația (1.5) cu un termen disipativ. Ce s-a întâmplat? La urma urmei, am vrut să rezolvăm ecuația de transport în care nu există un termen disipativ. Ideea este că am căutat o soluție numerică nu la ecuația de transport, ci o soluție la schema diferențelor. Astfel, proprietățile soluțiilor ecuației diferențiale aproximate și ecuației diferenței aproximative pot să nu coincidă. Cum putem, atunci, să prezicem proprietățile soluției la ecuația diferenței? y x 30 Fig. 3. Grafice ale soluției exacte (linii punctate) și soluției numerice (linii solide) obținute utilizând schema de vânt în sus (1.66) la momente t = 1 (1); t = 8 (); t = 15 (3). a = 1; x 0 = 10; a / = 0, 5 Acest lucru se poate face folosind metoda de aproximare diferențială, cu care ne vom familiariza acum pe scurt. Esența acestei metode este înlocuirea ecuației de diferență inițiale cu o ecuație diferențială specială care are toate proprietățile ecuației de diferență în studiu. Prin urmare, în loc să investigăm ecuația diferenței, se investighează această ecuație diferențială, ceea ce în multe cazuri este mult mai ușor de realizat. Obținerea unei ecuații diferențiale corespunzătoare unei ecuații diferențiale începe cu scrierea acestei ecuații diferențiale sub forma unei așa-numite scheme de diferențe teoretice, în care operatorii diferenței acționează în același spațiu funcțional cu operatorii diferențiali pe care îi aproximează. De exemplu, ecuația diferenței (1.66) este scrisă ca următoarea diferență teoretică 0

22 circuite u (x, t +) u (x, t) u (x, t) u (x, t) + a = 0. (1.67) Soluția unui astfel de circuit este funcția u (x, t) a argumentelor continue x și t în timp ce soluția la ecuația (1.66) este funcția de rețea u, definită doar la nodurile rețelei. Fie o funcție suficient de netedă u (x, t) o soluție la schema diferențelor teoretice (1.67). Să o înlocuim în această schemă și să exprimăm u (x, t +) și u (x, t) în termeni de valori ale funcției și ale derivatelor sale la punctul (x, t) conform formulei Taylor. Ca rezultat, obținem o ecuație diferențială echivalentă cu schema de diferențe (1.67) u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx + ... = 0. (1.68) Definiție. Ecuația diferențială de ordine infinită (1,68) obținută după expansiunea conform formulei Taylor a soluției u (x, t) a schemei de diferențe teoretice (1,67) se numește reprezentarea diferențială a schemei de diferențe (1,66). Unele proprietăți ale schemei diferențiale pot fi investigate deja cu ajutorul acestei reprezentări diferențiale, dar pentru scopurile noastre va fi mai convenabil să folosim o altă formă a reprezentării diferențiale care rezultă din eliminarea din (1.68) a tuturor derivatelor în raport cu timpul cu excepția celei care apare în ecuația aproximativă (1.51), adică cu excepția lui u t. Să arătăm, de exemplu, cum să eliminăm derivatele de timp în termenii ordinii și. Pentru a face acest lucru, rescriem ecuația (1.68) luând în considerare termenii până la ordinea O () și O () ut + au x + u tt + 6 u ttt au xx + a 6 u xxx = O () (1.69 ) și găsiți folosind ecuația rezultată derivata ut: ut = au xu tt 6 u ttt + au xx a 6 u xxx + O () (1.70) Înlocuim această derivată în termenii ecuației (1.69) care conține derivatele (ut ) t și (ut) tt. Ținând cont de ordinea micției coeficienților la a doua și a treia derivată de timp, obținem că în (u t) t 1

23, este suficient să înlocuiți derivata (1,70) calculată cu precizie O (+): ut = au xu tt + au xx + O (+), (1,71) și în (ut) tt cu precizie O (+): ut = au x + O (+). (1.7) Ca urmare a acestei substituții, ecuația (1.69) ia următoarea formă: ut + au x + (au xu tt + a) u xx + t 6 (au x) tt = = au xx a 6 u xxx + O (), sau ut + au xau tx 4 u ttt + a 4 u txx a 6 u ttx = = au xx a 6 u xxx + O (). (1.73) După ce am făcut substituții în ecuația (1.69), atunci luăm acțiuni similare cu ecuația (1.73). Acum este necesar să înlocuiți derivata ut, determinată din ecuația (1.73), în cei patru termeni ai aceleiași ecuații: ut + au xa (au x + au tx + au xx) x 4 (au x) tt + + a 4 (au x) xx a 6 (au x) tx = au xx a 6 u xxx + O (). După reducerea celor similare, obținem ecuația ut + au xa 1 u txx + a 4 u ttx = = a (a) (1 r) u xx + au xxx + O (), 6 (1,74) în care, în contrast la (1.69), nu există derivate pentru a doua oară. Calculăm derivatele mixte u txx și u ttx în (1.74) pe baza egalității (1.7): u txx = au xxx + O (+), u ttx = a u xxx + O (+). (1,75)

Prin urmare, reprezentarea diferențială (1.74) ia forma u t + au x = a (1 r) u xx a 6 (r 3r + 1) u xxx + O (). (1.76) Astfel, am scăpat de derivatele de timp la puteri și. Dar derivatele cu privire la t sunt încă la grade mai mari în partea dreaptă a lui O (). Dacă continuăm procedura descrisă mai departe, atunci în reprezentarea (1.68) putem elimina derivatele de timp până la o ordine arbitrară ridicată. Ca rezultat, obținem o reprezentare diferențială a circuitului în forma sau ut + au x = a (1 r) u xx + a 6 (1 r) (r 1) u xxx + ... (1.77) ut + au x = k = ckkux k ... (1.78) Definiție. Ecuația de ordine infinită (1,78) se numește forma P a reprezentării diferențiale a schemei diferențiale. Fie ca schema diferențelor să aibă ordine de aproximare γ 1 și γ față de și, respectiv. Definiție. O ecuație diferențială obținută din forma P a reprezentării diferențiale prin eliminarea termenilor de ordine O (γ1 + 1, γ + 1) și mai mare se numește prima aproximare diferențială (p.d.p.) a schemei de diferență. Pentru schema upwind (1.66), pdp este o ecuație diferențială de ordinul doi ut + au x = µu xx, µ = a (1 r), (1.79) care, după cum vedem, coincide cu ecuația (1.5) cu termen disipativ ... Astfel, pentru r 1, schema noastră introduce implicit vâscozitatea (disiparea) în ecuația de transport aproximată, care se numește aproximarea sau schema vâscozității. Prezența vâscozității aproximative duce la înmuierea etapei inițiale. Definiție. Proprietatea unei scheme diferențiale, datorită prezenței derivatelor de ordin egal în p.d.p., se numește disipare numerică. 3

25 Forma P a reprezentării diferențiale a schemei diferențiale Lax - Wendroff are forma ut + au x = a 6 (1 r) u xxx a3 8 r (1 r) u xxxx + ..., iar pdp ut + au x + νu xxx = 0, ν = a 6 (1 r) (1.80) coincide cu ecuația (1.53) cu un termen de dispersie. În consecință, pentru r 1, schema Lax - Wendroff introduce implicit dispersia în ecuația de transport aproximativă; prin urmare, soluția schemei de diferență poate oscila (Fig. 4). y Fig. 4. Graficele soluției exacte (linii punctate) și ale soluției numerice (linii solide) obținute utilizând schema Lax-Wendroff la momente t = 1 (1); t = 8 (); t = 15 (3). a = 1; x 0 = 10; a / = 0, 5 Definiție. Proprietatea unei scheme de diferență datorată prezenței derivatelor de ordin impar în p.d.p. se numește varianță numerică. Să rezumăm raționamentul nostru. Pentru problemele cu o soluție fără probleme, contribuția armonicelor de înaltă frecvență la care este mică, acuratețea schemei Lax-Wendroff este mai mare decât acuratețea schemei de vânt în sus. Dacă rezolvăm numeric o problemă în care soluția are un profil monoton variabil, atunci utilizarea unei scheme de vânt de prim ordin va da un profil monosonic neoscilant, dar puternic netezit. Acesta este rezultatul disipării numerice. Schema Lax - Wendroff cu varianță numerică poate da profiluri nonmonotonice ale soluției numerice în vecinătatea unei discontinuități sau a unei modificări bruste a soluției, distorsionate de oscilații nefizice. x 4

26 PROVOCARE 1.1. Arată asta pentru un< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива. 1.. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явная схема для уравнения (1.1) u n + a un +1 un = 0, n = 0,..., M 1, = 0, ±1, ±,... (1.81) при a >0 este absolut instabil. Folosind metoda spectrală Neumann, obțineți condiția de stabilitate necesară pentru schema salt-broască cu trei straturi (schema leapfrog, schema leapfrog) pentru ecuația (1.1) un 1 + a un +1 un 1 = 0, n = 1, ..., M 1, = 0, ± 1, ±, ..., (1.8) dacă trecerea la limită este dată în forma (1.33) Determinați ordinea de aproximare a unei scheme explicite cu diferență centrală un + a un +1 un 1 = 0, (1.83) construit pentru ecuația de transport (1.1). Folosind metoda spectrală Neumann, investigați stabilitatea acestei scheme dacă legea trecerii la limită este dată sub forma a = const. (1,84) 1,5. Determinați ordinea de aproximare a schemei majorante u n + a un +1 un 1 = a un +1 un + un 1, (1.85) construită pentru ecuația de transport (1.1). Folosind metoda spectrală Neumann, investigați stabilitatea acestei scheme dacă trecerea la limită este dată în forma (1.84). cinci

27 1.6. Determinați ordinea de aproximare a schemei McCormack u un + a un +1 un = 0, 0, 5 (u +) un / + a u u 1 = 0, (1.86) construit pentru ecuația de transport (1.1). Folosind metoda spectrală Neumann, investigați stabilitatea acestei scheme dacă trecerea la limită este dată în forma (1.84). Determinați ordinea de aproximare a schemei de vânt cu greutăți un + σa un (1 σ) a un un 1 = 0, (1.87) construit pentru ecuația de transport (1.1) cu un coeficient a> 0. Folosind metoda spectrală Neumann, obțineți condiția de stabilitate necesară pentru schema (1.87) dacă legea la limită este dată în forma (1.84) Folosind principiul maxim, investigați stabilitatea în norma uniformă a schemei de vânt implicită un + a un + 1 1 = fn + 1, = 1, ..., N, un 0 = µ n 0, n = 0,. .., M, u 0 = u 0 (x), = 0, ..., N, (1.88) construit pentru problema (1.7) Folosind principiul maxim, găsiți o condiție suficientă pentru stabilitate în norma uniformă a unui vânt schemă cu greutăți un + σa un (1 σ) a un un 1 = fn + 1 /, un 0 = μ n 0, n = 0, ..., M, u 0 = u 0 (x), = 0, ..., N, (1.89) construit pentru problema (1.7). Aici 0 σ 1.6

28 1.10. Folosind principiul maxim, demonstrați că îndeplinirea condiției (1.44) este suficientă pentru stabilitatea schemei de vânt (1.41) cu un coeficient variabil a (x, t) Obțineți pf (1.80) din schema Lax-Wendroff. pf implicit al schemei un + a un + 1 1 = 0, (1.90) construit pentru ecuația de transport (1.1) cu un coeficient a> 0. Oferiți o explicație calitativă a comportamentului soluției schemei de diferențe pentru t> 0, dacă la momentul inițial al timpului t = 0 pasul (1.61) .. Proprietatea monotonicității schemelor de diferență. Una dintre cerințele principale pentru schemele de diferență este că soluția ecuației diferenței trebuie să transmită caracteristicile comportamentului soluției ecuației diferențiale aproximate. Luați în considerare, de exemplu, problema Cauchy pentru ecuația de transport liniar u t + au x = 0, a = const> 0,< x <, t >0, (.1) u (x, 0) = u 0 (x). (.) Dacă u 0 (x) este o funcție non-descrescătoare (non-crescătoare) a variabilei x, atunci pentru orice t fix> 0 soluția u (x, t) a problemei (.1), (. ) Va fi, de asemenea, o funcție non-descrescătoare (non-crescătoare) a variabilei x. Aceasta rezultă din faptul că, în orice moment, soluția este dată de formula u (x, t) = u 0 (x at). (.3) Este firesc să se solicite ca soluția schemei de diferențe să aproxime problema (.1), (.) De asemenea, are o proprietate similară. Dar se dovedește că multe scheme diferențiale încalcă monotonitatea soluției numerice: în loc de profilurile monotonice așteptate, se obțin soluții care conțin oscilații nefizice (Fig. 4). Motivul apariției lor este varianța numerică a diferenței 7

29 de circuite discutate în paragraful anterior. În această secțiune, prezentăm condițiile în care schema diferențelor va păstra monotonitatea soluției numerice. Luați în considerare o schemă de diferență explicită arbitrară = α b α u n + α, (.4) unde α este un număr întreg, α = α 1, α 1 + 1, ..., α, nodurile x + α definesc șablonul schemei. Definiție. O schemă de diferențe (.4) se numește o schemă care păstrează monotonicitatea unei soluții numerice (schemă monotonă) dacă transformă orice funcție monotonă într-o funcție care este monotonă pe (n + 1) stratul de timp și cu aceeași direcție de creștere. Exemplul 1. Aproximăm ecuația (.1) pe o grilă uniformă prin schema upwind u n + a un un 1 = 0. (.5) Această schemă are primul ordin de aproximare în și. Funcția de rețea u n de pe stratul de timp n poate fi monotonă, de exemplu, o funcție în creștere monotonă, adică u n un 1 pentru una arbitrară. În acest caz, în condiția stabilității circuitului, care are forma aæ 1, unde æ = /, obținem 1 = (un aæ (unun 1)) (un 1 aæ (un 1 un)) = (1 aæ) (unun 1) + aæ (un 1 un) 0. Astfel, soluția crește monoton pe stratul (n + 1). Astfel, schema din amonte (care se disipează la aæ< 1) является схемой, сохраняющей монотонность. Пример.. Покажем, что схема Лакса Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (.1) имеет вид (1.61) { 1, при x 0, u 0 (x) = 0, при x > 0. 8

30 Prin urmare, funcția grilă inițială (u 0 1, pentru 0, = u 0 (x) = 0, pentru> 0 este în scădere monotonă. Să rescriem schema luată în considerare sub forma unei scheme cu un singur pas (1,50), și apoi sub formă de schemă (.4) cu coeficienți b 1 = a æ + aæ, b 0 = 1 a æ, b 1 = a æ aæ. (.6) Atunci este ușor să verificați că pe primul strat în timp egalitatea 1 ține, pentru 1, u 1 b = 1 + b 0, pentru = 0, b 1, pentru = 1, 0, pentru. Pentru aæ< 1 схема устойчива, но b 1 + b 0 >1, adică funcția grilă u 1 nu scade monoton. Monotonitatea schemelor pentru ecuații cu coeficienți constanți poate fi investigată folosind următoarea teoremă. Teorema 1. Pentru ca schema de diferențe (.4) cu coeficienți constanți b α să rămână monotonă, este necesar și suficient ca condițiile b α 0 să fie îndeplinite pentru toți α. (.7) PROVĂ. Necesitate. Să presupunem că schema (.4) rămâne monotonă, dar există un coeficient negativ b α0< 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию u n = { 0, < α0, 1, α 0. (.8) Тогда u0 n+1 1 = b α u n α b α u n 1+α = α α = b α b α = b α0 < 0, α α 0 α α

31 adică funcția nu crește monoton, și, prin urmare, schema (.4) nu păstrează monotonicitatea, ceea ce contrazice presupunerea inițială. Contradicția rezultată dovedește că toți coeficienții b α sunt nenegativi. Adecvare. Fie b α 0 și u n o funcție monotonă, de exemplu, o funcție monotonă în creștere. Atunci 1 = α b α u n + α α b α u n 1 + α = = α b α (u n + α u n 1 + α) 0, adică este, de asemenea, o funcție care crește monoton. Astfel, schema (.4) este monotonă. Să ne întoarcem din nou la exemplele 1 și., Și acum nu vom presupune că a> 0. Schema de contracurent pentru ecuația (.1) cu un semn arbitrar al coeficientului a arată astfel: unde un îl rescriem în formă (.4) + a + un un 1 a + = a + a + a un +1 un, a = a a. = 0, (.9) unde = b 1 u n 1 + b 0 u n + b 1 u n +1, (.10) b 1 = æa +, b 0 = 1 æ a, b 1 = æa. În condiția de stabilitate a æ 1 (.11), toți acești coeficienți sunt nenegativi. Mai mult decât atât, acestea sunt constante, prin urmare, conform teoremei 1, schema de vânt în sus (.9) păstrează monotonitatea soluției în condiții (.11). Schema Lax - Wendroff este stabilă în aceeași condiție (.11) ca și schema de vânt și poate fi scrisă în forma (.10) cu coeficienți (.6), de unde se poate observa că în condiția a æ< 1 один из 30

32 de coeficienți b 1 sau b 1 sunt negativi. Conform teoremei 1, aceasta implică faptul că schema Lax - Wendroff, care are al doilea ordin de aproximare în și, nu păstrează monotonitatea soluției numerice. Dar, poate, există și alte scheme de ordinul al doilea de aproximare, care au proprietatea monotoniei. Se pare că nu există astfel de scheme. În lucrare se arată că pentru ecuația de transport liniar (.1) este imposibil să se construiască o schemă monotonă cu coeficienți constanți de ordinul doi de aproximare ... Acum să considerăm schema (.4) cu coeficienți variabili α. Pentru astfel de scheme, va fi suficientă condiția (.7) de negativitate a coeficienților pentru a păstra monotonitatea soluției numerice? Se pare că nu. Să dăm un exemplu. Exemplul 3. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuația u t + a (x) u x = 0, (.1) unde a (x) este o funcție mărită pozitivă strict crescătoare: 0< a(x) < 1 и a >0. Pentru a rezolva această problemă, luați o schemă cu coeficienți variabili 0, 5 (un +1 +) un 1 + aun +1 un 1 = 0, (.13) unde a = a (x), x este un nod de o grilă uniformă. Schema descrisă este un analog al schemei Lax (1.46), care păstrează monotonitatea soluției numerice (a se vedea problema 1). Vom presupune că condiția æa< 1, (.14) гарантирующее устойчивость схемы (.13) в равномерной норме по начальным данным: C u 0 C. (.15) Запишем схему (.13) в виде (.4): = b 1, u n 1 + b 1, u n +1, (.16) где b 1, = 1 + æa, b 1, = 1 æa, 31

33 în acest caz, coeficienții b α sunt furnizați cu un indice suplimentar, deoarece sunt coeficienți variabili și se schimbă la trecerea de la un nod la altul. În virtutea condiției (.14), ambii coeficienți sunt pozitivi, dar schema (.13) nu păstrează monotonitatea soluției numerice. Într-adevăr, luând o funcție în creștere monotonă (u n 0,< 0, = 1, 0, убеждаемся, что на (n + 1)-м слое по времени имеет место равенство = 0, при < 1, b 1, 1, при = 1, b 1,0, при = 0, 1, при 1. Но b 1, 1 >b 1.0; prin urmare, funcția grilă este în creștere. nu este monoton. Exemplul de mai sus arată că pentru schemele cu coeficienți variabili ar trebui utilizate alte criterii de monotonie decât indicatorul (.7) indicat în teorema.1. Teorema .. Fie coeficienții schemei de diferențe = b 1, un 1 + b 0, un + b 1, un +1 (.17) să îndeplinească condiția de la fiecare nod x Atunci îndeplinirea pentru toate condițiile b 1, + b 0, + b 1, = 1. (.18) b ± 1, 0, b 1, + b 1, 1 1 (.19) este necesar și suficient pentru schema (.17) cu coeficienți variabili pentru a păstra monotonitatea a soluției numerice. Dovadă. Să scriem schema (.17) cu coeficienți variabili care îndeplinesc condiția (.18) în următoarea formă: = u n b 1, (u n u n 1) + b1, (u n +1 u n). (.0) 3

34 Atunci +1 = un +1 b 1, + 1 (u n +1 u n) + b1, + 1 (u n + u n +1). Prin urmare, +1 un + 1 = (un +1 un) (1 b 1, + 1 b 1,) + (+ b 1, + 1 un + un (+1) + b 1, unun) (.1) 1. Necesitatea. Fie ca schema (.17) să fie monotonă. Să dovedim că coeficienții săi satisfac inegalitățile (.19). Să presupunem că acest lucru nu este cazul și că unele dintre condițiile (.19) nu sunt îndeplinite la un anumit nod x 0, de exemplu, b 1,0< 0. Положим Из (.1) тогда следует u n = { 0, если < 0, 1, если un+1 0 = b 1,0 < 0, т. е. функция не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (.19). Достаточность. Пусть в каждом узле x коэффициенты схемы (.17) удовлетворяют неравенствам (.19) и функция u n является монотонной, например монотонно возрастающей. Тогда из равенства (.1) следует, что функция также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана. Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (.16) не удовлетворяют второму из условий (.19) теоремы.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадим другую формулировку теоремы.. Теорема.3. Для того чтобы конечно-разностная схема u n + C 1/ un x, 1/ C+ +1/ un x,+1/ = 0, (.) сохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех условий где æ = /, u n x,+1/ = un +1 un C ± +1/ 0, C +1/ + C+ +1/ 1 æ, (.3). 33

35 Dovadă. Schema (.) Poate fi rescrisă sub forma (.17), în timp ce b 1, = æc 1 /, b 1, = æc + + 1 /, b 0, = 1 æc 1 / æc + + 1 /. Apoi pentru coeficienți se menține egalitatea b α (.18), iar condițiile (.19) sunt echivalente cu condițiile (.3). Cometariu. În lucrare s-a dovedit că îndeplinirea inegalităților (.3) este suficientă pentru ca schema (.) Să fie o schemă TVD (Total Variation Diminising Sceme), adică o schemă a cărei soluție un pentru orice n 0 îndeplinește condiția de non-creștere a variației totale TV () TV (un), (.4) unde variația totală a funcției de rețea un este înțeleasă ca valoarea TV (un) = un +1 u n. (.5) În prezent, schemele TVD și diferitele modificări ale acestora sunt utilizate pentru a rezolva multe probleme cu soluții discontinue. Motivul unei atât de mari popularități a acestor metode este că oferă profiluri neoscilante ale soluției, rezolvabilitate ridicată în regiunea discontinuității și păstrează o precizie ridicată în regiunile de netezime a soluției. Schemele TVD moderne de ordin mare de aproximare se bazează pe diverse metode de restabilire (reconstituire) a valorilor funcțiilor la limitele celulelor de valorile lor din centrele celulelor vecine. În acest caz, șablonul de schemă este variabil și depinde de comportamentul soluției numerice. Algoritmii de reconstrucție se bazează pe utilizarea unor limitatoare speciale de debit, care sunt construite astfel încât circuitul cu limitatoare să aibă proprietatea TVD (.4) .. 3. Monotonizarea schemei Lax-Wendroff. Dacă funcția inițială la t = 0 este dată sub forma unui pas, atunci pe următoarele straturi în timp vom obține o etapă distorsionată de oscilații conform schemei Lax-Wendroff (vezi Fig. 4). Dar se pare că schema Lax Wendroff poate fi modificată astfel încât să aibă 34

36 Proprietatea TVD (.4) și, prin urmare, conform teoremei 3, ar deveni o schemă care păstrează monotonitatea soluției numerice. Cu toate acestea, coeficienții schemei modificate nu vor mai fi constante; pot depinde de soluția pentru al n-lea strat, adică circuitul modificat va fi neliniar. Luați în considerare ecuația de transport (.1) în cazul a = const> 0. Schema Lax - Wendroff (1.50) poate fi rescrisă ca un + a un x, + 1 / + un x, 1 / a () unx, + 1 / un x, 1 / = 0, (.6) sau un + au nx, 1 / + a (1 aæ) un x, + 1 / un x, 1 / un = 0, (.7) + au nx , = a (1 aæ) un xx,. (.8) Funcția exponențială (1.79) a schemei upwind conține termenul disipativ 0, 5a (1 aæ) u xx în partea dreaptă, iar în reprezentare (.8) același termen disipativ sub forma diferenței are semnul opus. Astfel, schema Lax-Wendroff este reprezentată ca o schemă monotonă cu o diferență îndreptată împotriva fluxului, completată de așa-numitul termen anti-difuzie, care elimină termenul disipativ în pd.p. al schemei amonte, transformându-l în schema Lax-Wendroff. Prin reducerea termenului antidifuzie în locurile în care pot apărea oscilații, se poate încerca să le prevenim. Vom regla termenul antidifuziei în schema Lax - Wendroff (.7) folosind funcția limitativă Φ (ξ) a unui argument ξ: un + au nx, 1 / + a (1 aæ) ((Φu nx) + 1 / (Φu nx) 1 /) = 0. (.9) Dacă Φ 0, atunci avem o schemă monotonă în direcția vântului de primul ordin de aproximare. Dacă Φ 1, atunci obținem schema Lax - Wendroff de ordinul doi de aproximare pe soluții netede, dar oscilând pe soluții discontinue. 35

37 În schema diferențelor (.9) Φ + 1 / = Φ (ξ + 1 /). Ca argument discret ξ + 1 / alegem cantitatea unx, 1 / ξ + 1 / = un pentru unx, + 1/0, x, + 1 / (.30) 1 pentru unx, + 1 / = 0. Activat soluția oscilantă raportul unx, 1 / / un x, + 1 / devine negativ, prin urmare, pentru ξ + 1 /< 0 полагаем, что Φ +1/ = 0. Далее будем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ также принимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, что функция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) 0 при всех ξ 0. Далее рассмотрим случай, когда ξ +1/ >0. Vom selecta funcția limitator în așa fel încât circuitul să îndeplinească condiția TVD (.3) și să păstreze al doilea ordin de aproximare pe soluții netede. Pentru aceasta, transformăm schema Lax - Wendroff modificată (.9) în forma (.): Sau un + au nx, 1 / + a (1 aæ) ((Φ ξ un [+ a aæ ((Φ) ξ ) + 1 / + 1 / Φ 1 /) unx, 1 / = 0, Φ 1 /)] unx, 1 / = 0. Astfel, se determină coeficienții schemei (.9) scrise în forma (.) după formulele [C + +1 / = 0, C 1 / = a aæ ((Φ))] ξ Φ 1 /. + 1 / Conform teoremei 3, condiția 0 C 1/1 æ (.31) va garanta că schema Lax - Wendroff cu funcția de limitare introdusă va păstra monotonitatea soluției numerice. În cele ce urmează, presupunem că condiția de stabilitate pentru Lac-36

38 Wendroff susține, adică aæ 1. Apoi, pentru ca inegalitățile (.31) să fie valabile pentru toate aæ 1, este necesar și suficient ca inegalitățile (Φ) ξ + 1 / Φ 1 / să fie satisfăcute și pentru aceasta este suficientă pentru a solicita următoarele inegalități: (Φ) 0, 0 Φ + 1 /. ξ + 1 / Regiunea din plan a variabilelor Φ și ξ în care se mențin aceste inegalități este prezentată în Fig. 5, a. Dacă graficul funcției Φ = Φ (ξ) se află în această regiune, atunci schema modificată (.9) va păstra monotonitatea soluției numerice. Φ Φ = Φ Φ = Φ = ξ Φ = ξ Φ = ξ 1 1 Φ = a ξ b ξ Fig. 5. iar în zona umbrită, schema Lax-Wendroff modificată (.9) este o schemă TVD; b în domeniul dublu umbrit schema Lax - Wendroff modificată este o schemă TVD de ordinul doi de aproximare Deci, în cele ce urmează vom presupune că Φ (ξ) = 0 pentru ξ 0, 0 Φ (ξ) min (, ξ ) pentru ξ> 0. (.3) Să investigăm acum ordinea de aproximare a schemei modificate, presupunând că funcția continuă Φ = Φ (ξ) îndeplinește 37

39 cu următoarele constrângeri suplimentare: Φ (ξ 1) Φ (ξ) L ξ 1 ξ, ξ 1, ξ, (.33) Φ (1) = 1, (.34) adică, avem nevoie de funcția Φ = Φ (ξ) satisface condiția Lipschitz cu o constantă L> 0 și graficul acestei funcții trece prin punctul (1, 1). Rescriem schema Lax-Wendroff modificată (.9) sub forma schemei Lax-Wendroff originale (.7) cu un termen suplimentar unde un + au nx, 1 / + a (1 aæ) (unx, + 1 / un x, 1 /) + + a (1 aæ) Rn = 0, (.35) R n = (Φ + 1/1) unx, + 1 / (Φ 1/1) unx, 1 /. (.36) Fie u = u (x, t) o soluție suficient de lină la problema Cauchy (.1), (.). Înlocuim această soluție cu expresia (.36), păstrând în ea toate notațiile anterioare, dar ținând cont că acum u n x, + 1 / = u (x +1, t n) u (x, t n). (.37) Evident, dacă pe al n-lea strat în timp funcția u (x, tn) este liniară, u (x, tn) = Bx + C, atunci R n 0. Folosind condițiile (.33), (. 34 ), este ușor să verificați acest lucru pentru funcția pătratică u (x, tn) = Ax + Bx + C (A 0) egalitatea R n = O () este valabilă pentru toate nodurile unui interval numeric arbitrar (α, β) care nu conține punctul extremum x = B / A . În cazul general, următoarea afirmație este adevărată. Lemă. Să fie îndeplinite condițiile (.33), (.34) și o soluție suficient de netedă a problemei Cauchy (.1), (.) Satisfacă pe un anumit interval numeric [α, β] condiția ux (x, tn) 0 x [α, β] ... (.38) Atunci R n = O () x (α, β). (.39) 38

Scheme de diferență pentru probleme neliniare. Ecuația de transport cvasiliniar. Pentru rezolvarea numerică a problemelor neliniare în diverse situații, sunt utilizate atât scheme liniare, cât și neliniare. Durabilitatea relevante

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE UNIVERSITATEA DE STAT NOVOSIBIRSK Facultatea de Mecanică și Matematică GS Khakimzyanov, SG Cherny METODE DE CALCUL Partea 3. Metode numerice pentru rezolvarea problemelor

Teoria stabilității schemelor de diferență 1 Stabilitatea soluției problemei Cauchy în raport cu datele inițiale și partea dreaptă Fie B un spațiu Banach (adică complet normalizat) al funcțiilor definite într-un anumit domeniu

Concepte de bază ale teoriei schemelor diferențiale. Exemple de construire a schemelor de diferență pentru problemele valorii inițiale. Un număr mare de probleme în fizică și tehnologie conduc la probleme la limită sau la valoarea limită inițială pentru liniare

Ecuatii diferentiale. 1999. Vol. 35. 6.P.784-792. UDC 517.957 SOLVABILITATEA CU O VALOARE A PROBLEMELOR DE VALOARE LIMITĂ PENTRU ECUAȚIILE ELLIPTICE CU NELINARITĂȚI Yu. V. Zhernovy 1. Introducere. Formularea problemei. Cel mai

Aproximarea diferenței dintre problema valorii inițiale pentru ecuația oscilației. Scheme de diferențe explicite („încrucișate”) și implicite. Luați în considerare mai multe opțiuni pentru aproximarea diferenței ecuației oscilației liniare:

Capitolul IV. Primele integrale ale sistemelor de ODE 1. Primele integrale ale sistemelor autonome de ecuații diferențiale ordinare În această secțiune vom considera sistemele autonome de forma f x = f 1 x, f n x C 1

Aproximarea diferenței dintre problema valorii inițiale pentru ecuația căldurii. Conceptul de schemă explicită și implicită. 1 Aproximarea diferenței a ecuației căldurii

Teoria stabilității schemelor de diferență 1 Scheme de diferență de operator 1.1 Introducere Fie B un spațiu Banach (adică un spațiu complet normalizat) al funcțiilor definite în unele domenii G R m și fie u (t) un abstract

Ecuații de transport. Scheme de numărare „în funcțiune” Luați în considerare un număr de scheme de diferențe cele mai frecvent utilizate, care aproximează problemele valorii inițiale pentru ecuația de transport liniar: u t + c (x, t) u x = f (x,

Skalko Yuri Ivanovich Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander Ecuația undelor de ordinul doi Ecuația undelor sub forma unei ecuații de ordinul doi se scrie ca 2 u t 2 = c2 2 u x 2 + f Completați ecuația

METODE DE CALCUL Lectori: prof. Univ. B.I. Kvasov, prof. Univ. G. S. Khakimzyanov 5 6 semestre 1. Modele matematiceși un experiment de calcul. Clasificarea ecuațiilor fizicii matematice. Exemple de corect

Scheme de diferență pentru ecuația oscilațiilor în cazul multidimensional Pentru ecuațiile multidimensionale ale oscilațiilor, poate fi construit un analog al schemei „încrucișate” și a schemei implicite. În acest caz, schema „încrucișată” explicită este aceeași ca în unidimensională

Principalele metode de discretizare spațială.Metoda diferențelor finite. Valorile căutate sunt valorile variabilelor în unele puncte, noduri ale grilei cu diferențe finite. Eroarea scade ca N, acolo unde este pasul grilei

Ecuații În algebră, sunt considerate două tipuri de egalități, identități și ecuații. Identitatea este o egalitate care se aplică tuturor valorilor admisibile ale literelor incluse în ea. Pentru identitate, utilizați semnele

Cele mai simple metode pentru studierea schemelor de diferențe pentru stabilitate Reamintim că schema de diferențe L h y h = ϕ h (x), x ω h, l h y h = χ h (x), x γ h, aproximând valoarea limită sau problema limită inițială a valorii Lu

CAPITOLUL STABILITĂȚII SISTEMELOR LINEARE În acest capitol este investigată stabilitatea celei mai simple clase de sisteme diferențiale ale sistemelor liniare. În special, se stabilește că pentru sistemele liniare cu constante

Siberian Mathematical Journal ianuarie februarie 2001. Volumul 42, 1 UDC 517.929 METODE PENTRU STABILITATE STABILITATE STABILITATE ÎN SISTEME CU LINEARE ÎNTÂRZIERE BG Grebenshchikov Rezumat: Metode pentru studierea asimptotice

Capitolul 1 Ecuații diferențiale 1.1 Conceptul unei ecuații diferențiale 1.1.1 Probleme care conduc la ecuații diferențiale. În fizica clasică, fiecare dimensiunea fizică este potrivită

CONFERINȚE 8 9 Teorema lui Hille Yosida S 3. Definiția și proprietățile elementare ale operatorilor maximi monotoni Pe parcursul acestor două prelegeri, simbolul H denotă un spațiu Hilbert cu un scalar

Agenția Federală pentru Educație Statul Federal instituție educațională educație profesională superioară UNIVERSITATEA FEDERALĂ DE SUD R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodică

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Statul Moscovei Universitate tehnica numit după N.E. Facultatea de Științe de Bază Bauman Departamentul de Modelare Matematică À.Í. Santnikov, A.N. Grienko

Tema modulului Secvențe și serii funcționale Proprietăți ale convergenței uniforme a secvențelor și seriilor Serii de putere Lectură Definiții ale secvențelor și seriilor funcționale Uniform

Ecuații diferențiale de ordinul întâi rezolvate în raport cu derivata Teorema existenței și unicității pentru o soluție În cazul general, o ecuație diferențială de ordinul întâi are forma F ()

CAPITOL: Metoda Diferenței Finite. Cursul 5: Scheme de stabilitate a diferențelor (10 diapozitive, 6 figuri) Diapozitivul 1: Clasificarea SM după tipuri de stabilitate. În funcție de tipurile de rezistență, se disting următoarele SM: absolut

UNIVERSITATEA TEHNICĂ A STATULUI MOSCU DE AVIAȚIE CIVILĂ V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov M A T E M A T I K A R Y D S MANUAL pentru studierea sarcinilor de disciplină și control

Cursul 9 Linearizarea ecuațiilor diferențiale Ecuațiile diferențiale lineare de ordine superioară Ecuații omogene proprietăți ale soluțiilor lor Proprietăți ale soluțiilor ecuațiilor neomogene Definiție 9 Liniare

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE UNIVERSITATEA DE CONSTRUCȚIE A STATULUI MOSCOVA Institutul de Educație Fundamentală Facultatea Departamentelor Științifice Generale - FOK Vibrări de șir infinit. Formula lui D'Alembert.

Lectura 3 Teorema existenței și unicității pentru o soluție de ecuație scalară Afirmarea problemei Rezultatul principal Să luăm în considerare problema Cauchy d f () d =, () = Funcția f (,) este definită în domeniul G al planului (,

Metode pentru construirea schemelor de diferență Schemele omogene pentru o ecuație de ordinul doi cu coeficienți variabili Schemele de diferențe omogene sunt scheme de diferențe a căror formă nu depinde de nici una

VARIAȚIA ȘI EXTREMUL FUNCȚIONALULUI A. N. Myagkiy Ecuații integrale și calculul variațiilor Lectură Să se dea funcționalul V = V, y (x) M E. Fixează funcția y (x) M. Apoi orice altă funcție

Scheme economice de diferență pentru problemele multidimensionale ale fizicii matematice. Schema de direcții alternative pentru o problemă a valorii inițiale a limitei pentru ecuația căldurii într-un dreptunghi. După cum sa arătat deja

CONCEPTUL O FUNCȚIE DERIVATĂ Să avem o funcție definită pe un set X și să fie un punct X un punct interior, punctul pentru care există o vecinătate X Ia orice punct și notează prin numit

Ecuații hiperbolice. Vibrațiile unui șir infinit și semi-infinit. Metoda Fourier Metoda Fourier Undele staționare 4 Curs 4.1 Ecuații de tip hiperbolic. Fluctuații nesfârșite și semi-nesfârșite

Preliminarii teoriei schemelor de diferență 1 Formule de însumare pe părți și formule de diferență Green pentru funcții de grilă Să obținem o serie de relații, pe care le vom folosi mai târziu în studiu

Lectura 8 4 Problema Sturm-Liouville Luați în considerare o problemă a valorii inițiale a limitei pentru o ecuație diferențială parțială de ordinul doi care descrie mici vibrații transversale ale unui șir.

II ECUAȚII DIFERENȚIALE Ecuații diferențiale de ordinul întâi Definiție Relații în care variabilele necunoscute și funcțiile lor se află sub semnul derivatei sau diferențiale sunt numite

Curs 5 5 Teorema existenței și unicității pentru soluționarea problemei Cauchy pentru un sistem normal de ODE. Enunțarea problemei Problema Cauchy pentru un sistem normal de ODE x = f (, x), () constă în găsirea unei soluții x =

Compilat de VPBelkin 1 Lectura 1 Funcția mai multor variabile 1 Concepte de bază Dependența = f (1, n) a unei variabile de variabilele 1, n se numește o funcție de n argumente 1, n În cele ce urmează, vom lua în considerare

Capitolul 4. METODE NUMERICE PENTRU REZOLVAREA ECUAȚIILOR DIFERENȚIALE ORDINARE ȘI SISTEMELE LOR Acest capitol discută principalele metode numerice pentru rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuațiile diferențiale obișnuite

Metode de rezolvare a ecuațiilor de rețea 1 Metode directe și iterative Ca rezultat al aproximării diferenței dintre problemele valorii la limită ale fizicii matematice, se obțin SLAE ale căror matrice au următoarele proprietăți:

Descrierea modelelor de calcul echatio Capter Sectio .. Scheme de diferență pentru ecuațiile de tip parabolic Să luăm în considerare mai întâi cea mai simplă ecuație a căldurii: u, t uxx cost (.) Fig. Introduceți în domeniu

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI FEDERAȚIEI RUSII Instituția de învățământ de stat de învățământ profesional superior „UNIVERSITATEA NAȚIONALĂ DE CERCETARE TOMSK UNIVERSITATEA POLITEHNICĂ”

Problema cauchy pentru ecuația undei. Formula lui D'Alembert 37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446 .. 37 Căutare decizie comună ecuații u tt a u xx ..) Pas. Găsirea schimbării variabilelor Metoda prin

LINII DIRECTOARE METODOLOGICE PENTRU ACȚIUNI DE PROIECTARE PENTRU CURSUL DE MATEMATICĂ SUPERIORĂ "ECUAȚII DIFERENȚIALE ORDINARE SERIA INTEGRALE DUBLE" PARTEA III SERIA TEMEI Cuprins Seria Seria numerelor Convergența și divergența

Departamentul de matematică și informatică Elemente de matematică superioară Complex de instruire și metodologie pentru studenții SVE care studiază utilizând tehnologii la distanță Calcul diferențial al modulului Compilat de:

CAPITOL. STABILITATEA SISTEMELOR LINEARE 8 grade cu semnul +, din rezultatul obținut rezultă că () π crește de la la π. Astfel, termenii ϕ i () și k () +, adică vectorul (i) oton monoton ϕ monoton crește pentru

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Universitatea Tehnică de Stat din Moscova numită după N.E. Facultatea de Științe de Bază Bauman Departamentul de Modelare Matematică À.Í. Santnikov,

Capitolul 6 Fundamentele teoriei stabilității Curs Expunerea problemei Concepte de bază Mai devreme s-a arătat că soluția problemei Cauchy pentru un sistem normal de ODE = f, () depinde continuu de condiții inițiale la

Capitolul 9. Metode numerice. Cursul 4. Metoda diferenței Euler pentru rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuații diferențiale .. Problema diferențială și diferența Euler. Definiție. Problema diferențială a lui Euler

ECUATII DIFERENTIALE Concepte generale Ecuațiile diferențiale au numeroase și mai variate aplicații în mecanică, fizică, astronomie, tehnologie și în alte ramuri ale matematicii superioare (de exemplu

Ecuații liniare și neliniare ale fizicii Ecuația lui Laplace într-un sistem de coordonate polare. Lector superior al Departamentului Marinei Levchenko Evgeniy Anatolievich 518 Capitolul 5. Ecuații de tip eliptic 25.2. Separare

Lectura 3 Stabilitatea echilibrului și mișcării sistemului Când luăm în considerare mișcările la starea de echilibru, scriem ecuațiile mișcării perturbate sub forma d dt A Y unde vectorul coloanei este matricea pătrată a coeficienților constanți

Seria numerelor Secvența numerelor Def Secvență numerică se numește funcție numerică definită pe platou numere naturale x este un membru comun al secvenței x =, x =, x =, x =,

5 Seria de putere 5 Seria de putere: definiție, domeniul convergenței Seria funcțională a formei (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) unde, a, a, K, a , k sunt unele numere, numite numere de serie de putere

Ministerul Educației Federația Rusă MATI - UNIVERSITATEA TEHNOLOGICĂ DE STAT RUSĂ numită după KE TSIOLKOVSKY Departamentul de Matematică Superioară VV Gorbatsevich K Yu Osipenko Ecuații cu coeficienți