Знайти площу правильного шестикутника зі стороною а. Як знайти площу шестикутника за формулою? Від теорії до практики

Чи знаєте ви, як виглядає правильний шестикутник?
Це питання поставлено не випадково. Більшість учнів 11 класу не знають на нього відповіді.

Правильний шестикутник - такий, у якого всі сторони рівні і всі кути теж рівні.

Залізна гайка. Сніжинка. Осередок сот, в яких живуть бджоли. Молекула бензолу. Що спільного у цих об'єктів? - Те, що всі вони мають правильну шестикутну форму.

Багато школярів губляться, бачачи завдання на правильний шестикутник, і вважають, що для їх вирішення потрібні якісь особливі формули. Чи так це?

Проведемо діагоналі правильного шестикутника. Ми отримали шість рівносторонніх трикутників.

Ми знаємо, що площа правильного трикутника:.

Тоді площа правильного шестикутника - в шість разів більше.

Де - сторона правильного шестикутника.

Зверніть увагу, що в правильному шестикутнику відстань від його центру до будь-якої з вершин однаково одно стороні правильного шестикутник.

Значить, радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, дорівнює його стороні.
Радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, неважко знайти.
Він дорівнює.
Тепер ви легко вирішите будь-які завдання ЄДІ, В яких фігурує правильний шестикутник.

Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник зі стороною.

Радіус такої окружності дорівнює.

Відповідь:.

Чому дорівнює сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, радіус якої дорівнює 6?

Ми знаємо, що сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаної навколо нього кола.

Правильний шестикутник - такий, у якого всі сторони рівні і всі кути теж рівні.

Проведемо діагоналі правильного шестикутника. Ми отримали шість рівносторонніх трикутників.

Ми знаємо, що площа правильного трикутника:.

Тоді площа правильного шестикутника - в шість разів більше.

Де - сторона правильного шестикутника.

Значить, радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, дорівнює його стороні.
Радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, неважко знайти.
Він дорівнює.
Тепер ви легко вирішите будь-які завдання ЄДІ, в яких фігурує правильний шестикутник.

Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник зі стороною.

Радіус такої окружності дорівнює.

Відповідь:.

Чому дорівнює сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, радіус якої дорівнює 6?

Ми знаємо, що сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаної навколо нього кола.

Конвертер одиниць відстані і довжини конвертер одиниць площі Приєднуйтесь © 2011-2017 Довжик Михайло Копіювання матеріалів заборонено. В онлайн калькуляте можна використовувати величини в одінаквих одиницях виміру! Якщо у вас возніелі труднощі з перетворенням одиниць вимірювання скористайтеся конвертером одиниць відстані і довжини і конвертером одиниць площі. Додаткові можливості калькулятора обчислення площі чотирикутника

Між полями для введення можна переміщатися натискаючи клавіші «вправо» і «вліво» на клавіатурі.

Теорія. Площа чотирикутника Чотирикутник - геометрична фігура, Що складається з чотирьох точок (вершин), ніякі три з яких не лежать на одній прямій, і чотирьох відрізків (сторін), попарно з'єднують ці точки. Чотирикутник називається опуклим, якщо відрізок з'єднує будь-які дві точки цього чотирикутника, буде знаходитися всередині нього.

Як дізнатися площа багатокутника?

Формула визначення площі визначається шляхом взяття кожного ребра багатокутника АВ, і обчислення площі трикутника АВО з вершиною на початку координат О, через координати вершин. При обході навколо багатокутника, утворюються трикутники, що включають внутрішню частину багатокутника і розташовані зовні його. Різниця між сумою цих площ і є площа самого багатокутника.

Тому формула називається формулою геодезиста, так як «картограф» знаходиться на початку координат; якщо він обходить ділянку проти годинникової стрілки, площа додається якщо вона зліва і віднімається якщо вона праворуч з точки зору з початку координат. Формула площі дійсна для будь-якого самонепересекающегося (простого) багатокутника, який може бути опуклим або увігнутим. зміст

1 Визначення
2 Приклади
3 Більш складний приклад
4 Пояснення назви
5 Див.

Площа багатокутника

Увага

Це може бути:

трикутник;
чотирикутник;
п'яти- або шестикутник і так далі.

Така фігура неодмінно буде характеризуватися двома положеннями:

Суміжні сторони не належать одній прямій.
У несуміжних відсутні загальні точки, тобто вони не перетинаються.

Щоб зрозуміти, які вершини є сусідніми, потрібно подивитися, чи належать вони одній стороні. Якщо так, то сусідні. В іншому випадку їх можна буде з'єднати відрізком, який необхідно назвати діагоналлю. Їх можна провести тільки в багатокутниках, у яких більше трьох вершин.

Які їх види існують? Багатокутник, у якого більше чотирьох кутів, може бути опуклим або увігнутим. Відмінність останнього в тому, що деякі його вершини можуть лежати по різні боки від прямої, проведеної через довільну сторону багатокутника.

Як знайти площу правильного і неправильного шестикутника?

Знаючи довжину сторони, помножимо її на 6 і отримаємо периметр шестикутника: 10 см х 6 \u003d 60 см
Підставимо отримані результати в нашу формулу:

квадратних коренів

Метод трапеції.
Метод розрахунку площі неправильних багатокутників за допомогою осі координат.
Метод розбивання шестикутника на інші фігури.

Залежно від вихідних даних, які вам будуть відомі, підбирається відповідний метод.

важливо

Деякі неправильні шестикутники складаються з двох паралелограмів. Для визначення площі паралелограма слід помножити його довжину на ширину і потім скласти дві вже відомі площі. Відео про те, як знайти площу багатокутника Рівносторонній шестикутник має шість рівних сторін і є правильним шестикутником.

Площа рівностороннього шестикутника дорівнює 6 площами трикутників, на які розбита правильна шестикутна фігура. Всі трикутники в шестикутнику правильної форми рівні, тому для знаходження площі такого шестикутника досить буде знати площу хоча б одного трикутника. Для знаходження площі рівностороннього шестикутника використовується, звичайно ж, формула площі правильного шестикутника, описана вище.

404 not found

Прикраса житла, одягу, малювання картин сприяло процесу формування та накопичення відомостей в галузі геометрії, які люди тих часів добували досвідченим шляхом, по крупицях і передавали з покоління в покоління. Сьогодні знання геометрії необхідні і закрійник, і будівельнику, і архітектору і кожному простій людині в побуті. Тому потрібно вчитися розраховувати площа різних фігур, і пам'ятати, що кожна з формул може стати в нагоді згодом на практиці, в тому числі, і формула правильного шестикутника.
Шестикутником називається така багатокутна фігура, загальна кількість кутів якої дорівнює шести. Правильним шестикутником називають шестикутну фігуру, яка має рівні сторони. Кути у правильного шестикутника також між собою рівні.
В повсякденному житті ми часто можемо зустріти предмети, що мають форму правильного шестикутника.

Калькулятор площі неправильного багатокутника по сторонам

Вам знадобиться

- рулетка;
- електронний далекомір;
- аркуш паперу і олівець;
- калькулятор.

Інструкція 1 Якщо вам потрібна загальна площа квартири або окремої кімнати, просто прочитайте технічний паспорт на квартиру або будинок, там вказано метраж кожного приміщення і загальний метраж квартири. 2 Для вимірювання площі квадратної або прямокутної кімнати візьміть рулетку або електронний далекомір і виміряйте довжину стін. При вимірюванні відстаней далекоміром обов'язково стежте за перпендикулярністю напрямку променя, інакше результати вимірів можуть бути перекручені. 3 Потім отриману довжину (в метрах) кімнати помножте на ширину (в метрах). Отримане значення і буде площею статі, вона вимірюється в квадратних метрах.

Формула площі Гаусса

Якщо потрібно порахувати площа статі більш складної конструкції, наприклад, п'ятикутної кімнати або кімнати з круглою аркою, схематично накресліть ескіз на аркуші паперу. потім розділіть складну форму на кілька простих, наприклад, на квадрат і трикутник або прямокутник і півколо. Виміряйте за допомогою рулетки або далекоміра величину всіх сторін одержані фігур (для кола необхідно дізнатися діаметр) і занесіть результати на ваш креслення.

5 Тепер порахуйте площа кожної фігури окремо. Площа прямокутників і квадратів вираховуйте перемножением сторін. Для розрахунку площі круга діаметр розділіть навпіл і зведіть в квадрат (помножте його на самого себе), потім помножте отримане значення на 3,14.
Якщо вам потрібна тільки половина кола, розділіть отриману площу навпіл. Щоб розрахувати площа трикутника, знайдіть Р, для цього суму всіх сторін поділіть на 2.

Формула розрахунку площі неправильного багатокутника

Якщо точки пронумеровані послідовно в напрямку проти годинникової стрілки, то детермінанти у формулі вище позитивні і модуль в ній може бути опущений; якщо вони пронумеровані в напрямку за годинниковою стрілкою, детермінанти будуть негативними. Це відбувається тому, що формула може розглядатися як окремий випадок теореми Гріна. Для застосування формули необхідно знати координати вершин багатокутника в декартовій площині.

Для прикладу візьмемо трикутник з координатами ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Візьмемо першу х -коордінату першої вершини і помножимо її на y -коордінату другий вершини, а потім помножимо х другий вершини на y третьої. Повторимо цю процедуру для всіх вершин. Результат може бути визначений за такою формулою: A tri.

Формула розрахунку площі неправильного чотирикутника

A) _ (\\ text (tri.)) \u003d (1 \\ over 2) | x_ (1) y_ (2) + x_ (2) y_ (3) + x_ (3) y_ (1) -x_ (2) y_ (1) -x_ (3) y_ (2) -x_ (1) y_ (3) |) де xi і yi позначають відповідну координату. Цю формулу можна отримати, розкривши дужки в загальній формулі для випадку n \u003d 3. За цією формулою можна виявити, що площа трикутника дорівнює половині суми 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, що дає 3. Число змінних у формулі залежить від числа сторін багатокутника. Наприклад, у формулі для площі п'ятикутника будуть використовуватися змінні до x5 і y5: A pent. \u003d 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 - x 2 y 1 - x 3 y 2 - x 4 y 3 - x 5 y 4 - x 1 y 5 | (\\ Displaystyle \\ mathbf (A) _ (\\ text (pent.)) \u003d (1 \\ over 2) | x_ (1) y_ (2) + x_ (2) y_ (3) + x_ (3) y_ (4 ) + x_ (4) y_ (5) + x_ (5) y_ (1) -x_ (2) y_ (1) -x_ (3) y_ (2) -x_ (4) y_ (3) -x_ (5 ) y_ (4) -x_ (1) y_ (5) |) A для чотирикутника - змінні до x4 і y4: A quad.

Чи є поблизу від Вас олівець? Погляньте-но на його перетин - воно являє собою правильний шестикутник або, як його ще називають, гексагон. Таку форму має також перетин гайки, поле гексагональних шахів, деяких складних молекул вуглецю (наприклад, графіт), сніжинка, бджолині стільники і інші об'єкти. Гігантський правильний шестикутник був недавно виявлений в Чи не здається дивним настільки часте використання природою для своїх творінь конструкцій саме цієї форми? Давайте розглянемо детальніше.

Правильний шестикутник є багатокутник з шістьма однаковими сторонами і рівними кутами. Зі шкільного курсу нам відомо, що він має такі властивості:

Довжина його сторін відповідає радіусу описаного кола. З усіх це властивість має лише правильний шестикутник.
Кути рівні між собою, і величина кожного становить 120 °.
Периметр гексагона можна знайти за формулою Р \u003d 6 * R, якщо відомий радіус описаної навколо нього кола, або Р \u003d 4 * √ (3) * r, якщо окружність в нього вписана. R і r - радіуси описаної і вписаного кола.
Площа, яку займає правильний шестикутник, визначається наступним чином: S \u003d (3 * √ (3) * R 2) / 2. Якщо радіус невідомий, замість нього підставляємо довжину однієї зі сторін - як відомо, вона відповідає довжині радіуса описаного кола.

У правильного шестикутника є одна цікава особливість, завдяки якій він отримав в природі таке широке поширення, - він здатний заповнити будь-яку поверхню площині без накладень і прогалин. Існує навіть так звана лема Пала, згідно з якою правильний шестикутник, сторона якого дорівнює 1 / √ (3), являє собою універсальну покришку, тобто може покрити будь-яка множина з діаметром в одну одиницю.

Тепер розглянемо побудову правильного шестикутника. Є кілька способів, найпростіший з яких передбачає використання циркуля, олівця і лінійки. Спочатку малюємо циркулем довільну окружність, потім в довільному місці на цій окружності робимо точку. Не змінюючи розчину циркуля, ставимо вістря в цю точку, відзначаємо на окружності наступну насічку, продовжуємо так до тих пір, поки не отримаємо всі 6 точок. Тепер залишається лише з'єднати їх між собою прямими відрізками, і вийде шукана фігура.

На практиці бувають випадки, коли потрібно намалювати шестикутник великого розміру. Наприклад, на дворівневому гіпсокартоном стелі, навколо місця кріплення центральної люстри, потрібно встановити на нижньому рівні шість невеликих світильників. Циркуль таких розмірів знайти буде дуже і дуже складно. Як вчинити в цьому випадку? Як взагалі намалювати велику окружність? Дуже просто. Потрібно взяти міцну нитку потрібної довжини і обв'язати один з її кінців навпаки олівця. Тепер залишилося лише знайти помічника, який би притиснув до стелі в потрібній точці другий кінець нитки. Звичайно, в цьому випадку можливі незначні погрішності, але навряд чи вони взагалі будуть помітні сторонній людині.

З питанням: «Як знайти площу шестикутника?», Можна зіткнутися не тільки на іспиті з геометрії і т.п., ці знання стануть в нагоді і в побуті, наприклад, для правильного і точного обчислення площі приміщення в процесі ремонту. Підставивши в формулу необхідні значення, вийде визначити потрібну кількість рулонів шпалер, плитки в ванну або на кухню і т.д.

Трохи фактів з історії

Геометрія використовувалася ще в стародавньому Вавилоні та інших державах, що існували в один час з ним. Обчислення допомагали при зведенні значних споруд, так як завдяки їй зодчі знали як витримати вертикаль, правильно скласти план, визначити висоту.

Естетика теж мала велике значення, І тут знову йшла в хід геометрія. Сьогодні цієї науки потрібні будівельнику, закрійник, архітекторові, та й не фахівцеві теж.

Тому краще вміти розраховувати S фігур, розуміти, що формули можуть стати в нагоді на практиці.

Площа правильного 6-кутника

Отже, у нас шестикутна фігура з рівними сторонами і кутами. У повсякденності ми часто маємо можливість зустріти предмети правильної шестикутної форми.

Наприклад:

гайка;
бджолині соти;
сніжинка.

Шестикутна фігура найбільш економічно заповнює простір на площині. Погляньте на тротуарну плитку, одна підігнана до іншої так, що зазорів не залишається.

Кожен кут дорівнює 120˚. Сторона фігури дорівнює радіусу описаного кола.

розрахунок

Необхідне значення можна обчислити, розбивши фігуру на шість трикутників з рівними сторонами.

Обчисливши S одного з трикутників, неважко визначити і загальну. Проста формула, так як правильний шестикутник, по суті, є шістьма рівними трикутниками. Таким чином, для її розрахунку знайдену площу одного трикутника множать на 6.

Якщо від центру шестикутника до будь-якої його стороні провести перпендикуляр, виходить відрізок - апофема.

Подивимося, як знаходити S шестикутника, якщо апофема відома:

S \u003d 1/2 × периметр × апофема.
Візьмемо апофему рівну 5√3 см.

Знаходимо периметр, використовуючи апофему: так як апофема перпендикулярно до сторони 6-кутника, кути трикутника, утвореного за допомогою апофеми, дорівнюють 30˚-60˚-90˚. Кожна сторона трикутника відповідає: x-x√3-2x, де коротка, проти кута 30˚, - це x; довга сторона проти кута 60˚- x√3, а гіпотенуза - 2x.
Апофему x√3 можна підставити в формулу a \u003d x√3. Якщо апофема дорівнює 5√3, підставивши цю величину, отримаємо: 5√3см \u003d x√3, або x \u003d 5 см.
Коротка сторона трикутника становить 5 см, так як ця величина - половина довжини сторони 6-кутника. Помноживши 5 на 2, отримаємо 10см, що є значення довжиною сторони.
Отриману величину помножимо на 6 і отримаємо значення периметра - 60см.

Підставляємо отримані результати в формулу: S \u003d 1/2 × периметр × апофема

S \u003d ½ × 60 см × 5√3

вважаємо:

Спрощуємо отриману відповідь, щоб позбутися від коренів. Результат буде виражений в квадратних сантиметрах: ½ × 60см × 5√3см \u003d 30 × 5√3см \u003d 150 √3см \u003d 259,8с м².

Як знаходити площа неправильного шестикутника

Є кілька варіантів:

Розбивка 6-кутника на інші фігури.
Метод трапеції.
Розрахунок S неправильних багатокутників за допомогою осей координат.

Вибір способу диктується вихідними даними.

метод трапеції

Шестикутник ділиться на окремі трапеції, після чого обчислюється площа кожної отриманої фігури.

Використання осей координат

Використовуємо координати вершин багатокутника:

У таблицю записуємо координати вершин x і y. Послідовно вибираємо вершини, «рухаючись» проти годинникової стрілки, завершуючи список повторної записом координат першої вершини.
Множимо значення координати x 1-й вершини на значення y 2-й вершини, і продовжуємо так множити. Складаємо отримані результати.
Значення координат y1-й вершини множимо на значення координат x 2-й вершини. Складаємо результати.
Віднімаємо суму, отриману на 4-му етапі з суми, отриманої на третьому етапі.
Ділимо результат, отриманий на попередньому етапі, і знаходимо, що шукали.

Розбивка шестикутника на інші фігури

Багатокутники розбиваються на інші фігури: трапеції, трикутники, прямокутники. Користуючись формулами обчислення площ перерахованих фігур, необхідні значення обчислюються і складаються.

Неправильний шестикутник може складатися з двох паралелограмів. Щоб обчислити площу паралелограма, його довжина збільшується на його ширину, а далі вже відомі дві площі складаються.

Площа рівностороннього шестикутника

У правильного шестикутника шість рівних сторін. Площа равносторонней фігури дорівнює 6S трикутників, на які розбитий правильний шестикутник. Кожен трикутник в правильному шестикутнику дорівнює, тому для обчислення площі такої фігури досить знати площу хоча б одного трикутника.

Щоб знайти шукане значення користуються формулою площі правильної фігури, описаної вище.