Паралелограм визначення креслення основні елементи властивості. Визначення паралелограма і його властивості
Так, так: арифметична прогресія - це вам не іграшки :) Що ж, друзі, якщо ви читаєте цей текст, то внутрішній кеп-очевидність підказує мені, що ви поки ще не знаєте, що таке арифметична прогресія, але дуже (немає, ось так: Ооооочень!) Хочете дізнатися. Тому не буду мучити вас довгими вступами і відразу перейду до справи.
Для початку парочка прикладів. Розглянемо кілька наборів чисел:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \\ Sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $
Що спільного у всіх цих наборів? На перший погляд - нічого. Але насправді дещо є. А саме: кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на одне і те ж число.
Судіть самі. Перший набір - це просто йдуть підряд числа, кожне наступне на одиницю більше попереднього. У другому випадку різниця між рядом стоять числами вже дорівнює п'яти, але ця різниця все одно постійна. У третьому випадку взагалі коріння. Однак $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, а $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, тобто і в цьому випадку кожен наступний елемент просто зростає на $ \\ sqrt (2) $ (і нехай вас не лякає, що це число - ірраціональне).
Так ось: всі такі послідовності як раз і називаються арифметичними прогресіями. Дамо суворе визначення:
Визначення. Послідовність чисел, в якій кожне наступне відрізняється від попереднього рівно на одну і ту ж величину, називається арифметичною прогресією. Сама величина, на яку відрізняються числа, називається різницею прогресії і найчастіше позначається буквою $ d $.
Позначення: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ - сама прогресія, $ d $ - її різницю.
І відразу парочка важливих зауважень. По-перше, прогресією вважається лише упорядкована послідовність чисел: їх дозволено читати строго в тому порядку, в якому вони записані - і ніяк інакше. Переставляти і міняти місцями числа не можна.
По-друге, сама послідовність може бути як кінцевої, так і нескінченною. Наприклад, набір (1; 2; 3) - це, очевидно, кінцева арифметична прогресія. Але якщо записати що-небудь в дусі (1; 2; 3; 4; ...) - це вже нескінченна прогресія. Три крапки після четвірки ніби натякає, що далі йде ще досить багато чисел. Нескінченно багато, наприклад. :)
Ще хотів би відзначити, що прогресії бувають зростаючими і спадними. Зростаючі ми вже бачили - той же набір (1; 2; 3; 4; ...). А ось приклади відбувають прогресій:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \\ Sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $
Добре Добре: останній приклад може здатися надто складним. Але інші, думаю, вам зрозумілі. Тому введемо нові визначення:
Визначення. Арифметична прогресія називається:
- зростаючої, якщо кожен наступний елемент більше попереднього;
- спадною, якщо, навпаки, кожний наступний елемент менше попереднього.
Крім того, існують так звані «стаціонарні» послідовності - вони складаються з одного і того ж повторюваного числа. Наприклад, (3; 3; 3; ...).
Залишається лише одне питання: як відрізнити зростаючу прогресію від спадної? На щастя, тут все залежить лише від того, який знак числа $ d $, тобто різниці прогресії:
- Якщо $ d \\ gt 0 $, то прогресія зростає;
- Якщо $ d \\ lt 0 $, то прогресія, очевидно, зменшується;
- Нарешті, є випадок $ d \u003d 0 $ - в цьому випадку вся прогресія зводиться до стаціонарної послідовності однакових чисел: (1; 1; 1; 1; ...) і т.д.
Спробуємо розрахувати різницю $ d $ для трьох відбувають прогресій, наведених вище. Для цього достатньо взяти будь-які два сусідні елементи (наприклад, перший і другий) і відняти з числа, що стоїть праворуч, число, що стоїть ліворуч. Виглядати це буде ось так:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \\ Sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.
Як бачимо, у всіх трьох випадках різниця дійсно вийшла негативною. І тепер, коли ми більш-менш розібралися з визначеннями, пора розібратися з тим, як описуються прогресії і які у них властивості.
Члени прогресії і рекуррентная формула
Оскільки елементи наших послідовностей не можна міняти місцями, їх можна пронумерувати:
\\ [\\ Left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ right \\) \\]
Окремі елементи цього набору називаються членами прогресії. На них так і вказують за допомогою номера: перший член, другий член і т.д.
Крім того, як ми вже знаємо, сусідні члени прогресії пов'язані формулою:
\\ [((A) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]
Коротше кажучи, щоб знайти $ n $ -й член прогресії, потрібно знати $ n-1 $ -й член і різниця $ d $. Така формула називається рекуррентной, оскільки з її допомогою можна знайти будь-яке число, лише знаючи попереднє (а по факту - всі попередні). Це дуже незручно, тому існує більш хитра формула, яка зводить будь-які обчислення до першого члену і різниці:
\\ [((A) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\]
Напевно ви вже зустрічалися з цією формулою. Її люблять давати у всяких довідниках і решебники. Та й в будь-якому тлумачному підручнику з математики вона йде однією з перших.
Проте пропоную трохи потренуватися.
Завдання №1. Випишіть перші три члена арифметичної прогресії $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $, якщо $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.
Рішення. Отже, нам відомий перший член $ ((a) _ (1)) \u003d 8 $ і різниця прогресії $ d \u003d -5 $. Скористаємося тільки що наведеної формулою і підставимо $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ і $ n \u003d 3 $:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (1-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (2-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (3-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (align) \\]
Відповідь: (8; 3; -2)
От і все! Зверніть увагу: наша прогресія - спадна.
Звичайно, $ n \u003d 1 $ можна було і не підставляти - перший член нам і так відомий. Втім, підставивши одиницю, ми переконалися, що навіть для першого члена наша формула працює. В інших випадках все звелося до банальної арифметики.
Завдання №2. Випишіть перші три члена арифметичної прогресії, якщо її сьомий член дорівнює -40, а сімнадцятий член дорівнює -50.
Рішення. Запишемо умову задачі в звичних термінах:
\\ [((A) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]
\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\ \\ end (align) \\ right. \\]
\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ end (align) \\ right. \\]
Знак системи я поставив тому, що ці вимоги повинні виконуватися одночасно. А тепер зауважимо, якщо відняти з другого рівняння перше (ми маємо право це зробити, тому що у нас система), то отримаємо ось що:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ left (((a) _ (1)) + 6d \\ right) \u003d - 50 \\ left (-40 \\ right); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (align) \\]
Ось так просто ми знайшли різниця прогресії! Залишилося підставити знайдене число в будь-який з рівнянь системи. Наприклад, на початку:
\\ [\\ Begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (matrix) \\]
Тепер, знаючи перший член і різницю, залишилося знайти другий і третій член:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (align) \\]
Готово! Завдання вирішена.
Відповідь: (-34; -35; -36)
Зверніть увагу на цікаву властивість прогресії, яке ми виявили: якщо взяти $ n $ -й і $ m $ -й члени і відняти їх один з одного, то ми отримаємо різницю прогресії, помножену на число $ n-m $:
\\ [((A) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ left (n-m \\ right) \\]
Просте, але дуже корисна властивість, Яке обов'язково треба знати - з його допомогою можна значно прискорити вирішення багатьох завдань по прогресу. Ось яскравий тому приклад:
Завдання №3. П'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 8,4, а її десятий член дорівнює 14,4. Знайдіть п'ятнадцятий член цієї прогресії.
Рішення. Оскільки $ ((a) _ (5)) \u003d 8,4 $, $ ((a) _ (10)) \u003d 14,4 $, а потрібно знайти $ ((a) _ (15)) $, то зауважимо наступне:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (align) \\]
Але за умовою $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14,4-8,4 \u003d 6 $, тому $ 5d \u003d 6 $, звідки маємо:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20,4. \\\\ \\ end (align) \\]
Відповідь: 20,4
От і все! Нам не треба було складати якісь системи рівнянь і вважати перший член і різницю - все вирішилося буквально в пару рядків.
Тепер розглянемо інший вид завдань - на пошук негативних і позитивних членів прогресії. Не секрет, що якщо прогресія зростає, при цьому перший член у неї негативний, то рано чи пізно в неї з'являться позитивні члени. І навпаки: члени спадної прогресії рано чи пізно стануть негативними.
При цьому далеко не завжди можна намацати цей момент «в лоб», послідовно перебираючи елементи. Найчастіше завдання складені так, що без знання формул обчислення зайняли б кілька листів - ми просто заснули б, поки знайшли відповідь. Тому спробуємо вирішити ці завдання більш швидким способом.
Завдання №4. Скільки негативних членів в арифметичній прогресії -38,5; -35,8; ...?
Рішення. Отже, $ ((a) _ (1)) \u003d - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) \u003d - 35,8 $, звідки відразу знаходимо різницю:
Зауважимо, що різниця позитивна, тому прогресія зростає. Перший член негативний, тому дійсно в якийсь момент ми натрапимо на позитивні числа. Питання лише в тому, коли це станеться.
Спробуємо з'ясувати: до яких пір (тобто до якого натурального числа $ n $) зберігається негативність членів:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\ lt 0; \\\\ & -38,5+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 2,7 \\ lt 0; \\ quad \\ left | \\ Cdot 10 \\ right. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ left (n-1 \\ right) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (align) \\]
Останній рядок вимагає пояснень. Отже, нам відомо, що $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. З іншого боку, нас влаштують лише цілі значення номера (більш того: $ n \\ in \\ mathbb (N) $), тому найбільший допустимий номер - це саме $ n \u003d 15 $, а ні в якому разі не 16.
Завдання №5. В арифметичній прогресії $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - 147 $. Знайдіть номер першого позитивного члена цієї прогресії.
Це була б точь-в-точь така ж завдання, як і попередня, проте нам невідомо $ ((a) _ (1)) $. Зате відомі сусідні члени: $ ((a) _ (5)) $ і $ ((a) _ (6)) $, тому ми легко знайдемо різницю прогресії:
Крім того, спробуємо висловити п'ятий член через перший і різниця за стандартною формулою:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (align) \\]
Тепер чинимо по аналогії з попередньою завданням. З'ясовуємо, в який момент в нашій послідовності виникнуть позитивні числа:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (align) \\]
Мінімальна целочисленное рішення даного нерівності - число 56.
Зверніть увагу: в останньому завданні все звелося до суворого нерівності, тому варіант $ n \u003d 55 $ нас не влаштує.
Тепер, коли ми навчилися вирішувати прості завдання, перейдемо до більш складним. Але для початку давайте вивчимо ще одне дуже корисна властивість арифметичних прогресій, яке в майбутньому заощадить нам купу часу і нерівних клітин. :)
Середнє арифметичне і рівні відступи
Розглянемо кілька послідовних членів зростаючої арифметичної прогресії $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $. Спробуємо відзначити їх на числовій прямій:
Члени арифметичної прогресії на числовій прямійЯ спеціально зазначив довільні члени $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, а не якісь там $ ((a) _ (1)) , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $ і т.д. Тому що правило, про який я зараз розповім, однаково працює для будь-яких «відрізків».
А правило дуже просте. Давайте згадаємо рекуррентную формулу і запишемо її для всіх зазначених членів:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ end (align) \\]
Однак ці рівності можна переписати інакше:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ end (align) \\]
Ну і що з того? А то, що члени $ ((a) _ (n-1)) $ і $ ((a) _ (n + 1)) $ лежать на одному і тому ж відстані від $ ((a) _ (n)) $. І ця відстань дорівнює $ d $. Те ж саме можна сказати про члени $ ((a) _ (n-2)) $ і $ ((a) _ (n + 2)) $ - вони теж віддалені від $ ((a) _ (n)) $ на однакову відстань, рівну $ 2d $. Продовжувати можна до безкінечності, але сенс добре ілюструє картинка
Члени прогресії лежать на однаковій відстані від центру Що це означає для нас? Це означає, що можна знайти $ ((a) _ (n)) $, якщо відомі числа-сусіди:
\\ [((A) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]
Ми вивели чудове твердження: всякий член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх членів! Більш того: ми можемо відступити від нашого $ ((a) _ (n)) $ вліво і вправо нема на один крок, а на $ k $ кроків - і все одно формула буде вірна:
\\ [((A) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]
Тобто ми спокійно можемо знайти якесь $ ((a) _ (150)) $, якщо знаємо $ ((a) _ (100)) $ і $ ((a) _ (200)) $, тому що $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. На перший погляд може здатися, що даний факт не дає нам нічого корисного. Однак на практиці багато завдань спеціально «заточені» під використання середнього арифметичного. Погляньте:
Завдання №6. Знайдіть всі значення $ x $, при яких числа $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ і $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ є послідовними членами арифметичної прогресії (в зазначеному порядку).
Рішення. Оскільки зазначені числа є членами прогресії, для них виконується умова середнього арифметичного: центральний елемент $ x + 1 $ можна виразити через сусідні елементи:
\\ [\\ Begin (align) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]
Вийшло класичне квадратне рівняння. Його коріння: $ x \u003d 2 $ і $ x \u003d -3 $ - це і є відповіді.
Відповідь: -3; 2.
Завдання №7. Знайдіть значення $$, при яких числа $ 1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ складають арифметичну прогресію (в зазначеному порядку).
Рішення. Знову висловимо середній член через середнє арифметичне сусідніх членів:
\\ [\\ Begin (align) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ left | \\ Cdot 2 \\ right .; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]
Знову квадратне рівняння. І знову два кореня: $ x \u003d 6 $ і $ x \u003d 1 $.
Відповідь: 1; 6.
Якщо в процесі виконання завдання у вас вилазять якісь звірячі числа, або ви не до кінця впевнені в правильності знайдених відповідей, тобто чудовий прийом, що дозволяє перевірити: чи правильно ми розв'язали це завдання?
Припустимо, в завданню №6 ми отримали відповіді -3 і 2. Як перевірити, що ці відповіді вірні? Давайте просто підставимо їх у вихідне умова і подивимося, що вийде. Нагадаю, що у нас є три числа ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ і $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), які повинні складати арифметичну прогресію. Підставами $ x \u003d -3 $:
\\ [\\ Begin (align) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ End (align) \\]
Отримали числа -54; -2; 50, які відрізняються на 52 - безсумнівно, це арифметична прогресія. Те ж саме відбувається і при $ x \u003d 2 $:
\\ [\\ Begin (align) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ End (align) \\]
Знову прогресія, але з різницею 27. Таким чином, задача вирішена вірно. Бажаючі можуть перевірити другу задачу самостійно, але відразу скажу: там теж все вірно.
В цілому, вирішуючи останні завдання, ми натрапили на ще один цікавий факт, Який теж необхідно запам'ятати:
Якщо три числа такі, що друге є середнім арифметичним першого і останнього, то ці числа утворюють арифметичну прогресію.
В майбутньому розуміння цього твердження дозволить нам буквально «конструювати» потрібні прогресії, спираючись на умову задачі. Але перш ніж ми займемося подібним «конструюванням», слід звернути увагу на ще один факт, який прямо випливає з уже розглянутого.
Угруповання і сума елементів
Давайте ще раз повернемося до числової осі. Відзначимо там кілька членів прогресії, між якими, можливо. варто дуже багато інших членів:
На числовій прямій відзначені 6 елементівСпробуємо висловити «лівий хвіст» через $ ((a) _ (n)) $ і $ d $, а «правий хвіст» через $ ((a) _ (k)) $ і $ d $. Це дуже просто:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ end (align) \\]
А тепер зауважимо, що дорівнюють наступні суми:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ End (align) \\]
Простіше кажучи, якщо ми розглянемо в якості старту два елементи прогресії, які в сумі дорівнюють якомусь числу $ S $, а потім почнемо крокувати від цих елементів в протилежні сторони (назустріч один одному або навпаки на видалення), то суми елементів, на які ми будемо натикатися, теж будуть рівні $ S $. Найбільш наочно це можна представити графічно:
Однакові відступи дають однакові суми розуміння даного факту дозволить нам вирішувати завдання принципово більш високого рівня складності, ніж ті, що ми розглядали вище. Наприклад, такі:
Завдання №8. Визначте різницю арифметичної прогресії, в якій перший член дорівнює 66, а твір другого і дванадцятого членів є найменшим з можливих.
Рішення. Запишемо все, що нам відомо:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ End (align) \\]
Отже, нам невідома різниця прогресії $ d $. Власне, навколо різниці і буде будуватися все рішення, оскільки твір $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ можна переписати таким чином:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ left (66 + d \\ right) \\ cdot \\ left (66 + 11d \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right). \\ End (align) \\]
Для тих, хто в танку: я виніс загальний множник 11 з другої дужки. Таким чином, шукане твір представляє собою квадратичну функцію щодо змінної $ d $. Тому розглянемо функцію $ f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (d + 66 \\ right) \\ left (d + 6 \\ right) $ - її графіком буде парабола гілками вгору, тому що якщо розкрити дужки, то ми отримаємо:
\\ [\\ Begin (align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (align) \\]
Як бачимо, коефіцієнт при старшому слагаемом дорівнює 11 - це позитивне число, тому дійсно маємо справу з параболою гілками вгору:
графік квадратичної функції - парабола
Зверніть увагу: мінімальне значення ця парабола приймає в своїй вершині з абсцисою $ ((d) _ (0)) $. Звичайно, ми можемо порахувати цю абсциссу за стандартною схемою (є ж формула $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), але куди розумніше буде помітити, що шукана вершина лежить на осі симетрії параболи, тому точка $ ((d) _ (0)) $ рівновіддалена від коренів рівняння $ f \\ left (d \\ right) \u003d 0 $:
\\ [\\ Begin (align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (align) \\]
Саме тому я не особливо поспішав розкривати дужки: в початковому вигляді коріння було знайти дуже і дуже просто. Отже, абсциса дорівнює середньому арифметичному чисел -66 і -6:
\\ [((D) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]
Що дає нам виявлене число? При ньому необхідну твір приймає найменше значення (ми, до речі, так і не порахували $ ((y) _ (\\ min)) $ - від нас це не потрібно). Одночасно це число є різницею вихідної прогресії, тобто ми знайшли відповідь. :)
Відповідь: -36
Завдання №9. Між числами $ - \\ frac (1) (2) $ і $ - \\ frac (1) (6) $ вставте три числа так, щоб вони разом з даними числами склали арифметичну прогресію.
Рішення. По суті, нам потрібно скласти послідовність з п'яти чисел, причому перше і останнє число вже відомо. Позначимо відсутні числа змінними $ x $, $ y $ і $ z $:
\\ [\\ Left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ right \\ Відзначимо, що число $ y $ є «серединою» нашої послідовності - воно рівновіддаленим і від чисел $ x $ і $ z $, і від чисел $ - \\ frac (1) (2) $ і $ - \\ frac (1) ( 6) $. І якщо з чисел $ x $ і $ z $ ми в
Наразі не можемо отримати $ y $, то ось з кінцями прогресії інша справа. Згадуємо про середнє арифметичне: Тепер, знаючи $ y $, ми знайдемо залишилися числа. Зауважимо, що $ x $ лежить між числами $ - \\ frac (1) (2) $ і тільки що знайденим $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $. Тому
Аналогічно розмірковуючи, знаходимо час, що залишився число:
Готово! Ми знайшли всі три числа. Запишемо їх у відповіді в тому порядку, в якому вони повинні бути вставлені між вихідними числами.
Відповідь: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $
Завдання №10. Між числами 2 і 42 вставте декілька чисел, які разом з даними числами утворюють арифметичну прогресію, якщо відомо, що сума першого, другого і останнього з вставлених чисел дорівнює 56.
Рішення. Ще більш складна задача, яка, однак, вирішується за тією ж схемою, що і попередні - через середнє арифметичне. Проблема в тому, що нам невідомо, скільки конкретно чисел треба вставити. Тому покладемо для опредлённості, що після вставки за все буде рівно $ n $ чисел, причому перше з них - це 2, а останнє - 42. В цьому випадку шукана арифметична прогресія подана в вигляді:
\\ [\\ Left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \\ right \\) \\]
\\ [((A) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]
Зауважимо, однак, що числа $ ((a) _ (2)) $ і $ ((a) _ (n-1)) $ виходять з стоять по краях чисел 2 і 42 шляхом одного кроку назустріч один одному, тобто . до центру послідовності. А це означає, що
\\ [((A) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]
Але тоді записане вище вираз можна переписати так:
{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ right) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (align) \\]
Знаючи $ ((a) _ (3)) $ і $ ((a) _ (1)) $, ми легко знайдемо різницю прогресії:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ left (3-1 \\ right) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ end (align) \\]
Залишилося лише знайти інші члени:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (align) \\]
Таким чином, вже на 9-му кроці ми прийдемо в лівий кінець послідовності - число 42. Разом потрібно було вставити лише 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Відповідь: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Текстові завдання з прогресіями
На закінчення хотілося б розглянути парочку щодо простих завдань. Ну, як простих: для більшості учнів, які вивчають математику в школі і не читали того, що написано вище, ці завдання можуть здатися бляхою. Проте саме такі завдання трапляються в ОГЕ і ЄДІ з математики, тому рекомендую ознайомитися з ними.
Завдання №11. Бригада виготовила в січні 62 деталі, а в кожен наступний місяць виготовляла на 14 деталей більше, ніж в попередній. Скільки деталей виготовила бригада в листопаді?
Рішення. Очевидно, кількість деталей, розписане по місяцях, буде являти собою зростаючу арифметичну прогресію. причому:
\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (align) \\]
Листопад - це 11-й місяць в році, тому нам потрібно знайти $ ((a) _ (11)) $:
\\ [((A) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]
Отже, в листопаді буде виготовлено 202 деталі.
Завдання №12. Палітурна майстерня переплела в січні 216 книг, а в кожен наступний місяць вона переплітала на 4 книги більше, ніж в попередній. Скільки книг переплела майстерня в грудні?
Рішення. Все теж саме:
$ \\ Begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 4. \\\\ \\ end (align) $
Грудень - це останній, 12-й місяць в році, тому шукаємо $ ((a) _ (12)) $:
\\ [((A) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]
Це і є відповідь - 260 книг буде переплетено в грудні.
Що ж, якщо ви дочитали до сюди, поспішаю вас привітати: «курс молодого бійця» по арифметичній прогресії ви успішно пройшли. Можна сміливо переходити до наступного уроку, де ми вивчимо формулу суми прогресії, а також важливі і дуже корисні слідства з неї.
У математиці є своя краса, як у живописі і поезії.
Російський учений, механік Н.Є. Жуковський
Дуже розповсюдженими завданнями на вступних випробуваннях з математики є завдання, пов'язані з поняттям арифметичній прогресії. Для успішного вирішення таких завдань необхідно добре знати властивості арифметичної прогресії і мати певні навички їх застосування.
Попередньо нагадаємо основні властивості арифметичної прогресії і наведемо найбільш важливі формули, пов'язані з цим поняттям.
Визначення. числова послідовність, в якій кожний наступний член відрізняється від попереднього на одне і те ж число, називається арифметичною прогресією. При цьому число називається різницею прогресії.
Для арифметичної прогресії справедливі формули
, (1)
де. Формула (1) називається формулою загального члена арифметичної прогресії, а формула (2) являє собою основну властивість арифметичної прогресії: кожен член прогресії збігається із середнім арифметичним своїх сусідніх членів і.
Відзначимо, що саме через це властивості розглянута прогресія називається «арифметичної».
Наведені вище формули (1) і (2) узагальнюються наступним чином:
(3)
Для обчислення суми перших членів арифметичної прогресії зазвичай застосовується формула
(5) де і.
Якщо взяти до уваги формулу (1), то з формули (5) випливає
Якщо позначити, то
де. Так як, то формули (7) і (8) є узагальненням відповідних формул (5) і (6).
Зокрема , з формули (5) слід, що
До числа маловідомих більшості учнів відноситься властивість арифметичної прогресії, сформульоване за допомогою наступної теореми.
Теорема. Якщо то
Доведення. Якщо то
Теорема доведена.
наприклад, використовуючи теорему, Можна показати, що
Перейдемо до розгляду типових прикладів розв'язання задач на тему «Арифметична прогресія».
Приклад 1. Нехай і. Знайти.
Рішення. Застосовуючи формулу (6), отримуємо. Так як і, то або.
Приклад 2. Нехай в три рази більше, а при діленні на в приватному виходить 2 і в залишку 8. Визначити і.
Рішення. З умови прикладу випливає система рівнянь
Так як,, і, то з системи рівнянь (10) отримуємо
Рішенням даної системи рівнянь є і.
Приклад 3. Знайти, якщо і.
Рішення. Відповідно до формули (5) маємо або. Однак, використовуючи властивість (9), отримуємо.
Так як і, то з рівності випливає рівняння або.
Приклад 4.Знайти, якщо.
Рішення.За формулою (5) маємо
Однак, використовуючи теорему, можна записати
Звідси і з формули (11) отримуємо.
приклад 5. Дано:. Знайти.
Рішення. Так як, то. Однак, тому.
Приклад 6. Нехай, і. Знайти.
Рішення. Використовуючи формулу (9), отримуємо. Тому, якщо, то або.
Так як і, то тут маємо систему рівнянь
Вирішуючи яку, отримуємо і.
Натуральним коренем рівняння є.
Приклад 7. Знайти, якщо і.
Рішення. Так як за формулою (3) маємо, що, то з умови задачі випливає система рівнянь
Якщо підставити вираз в друге рівняння системи, То отримаємо або.
корінням квадратного рівняння є і.
Розглянемо два випадки.
1. Нехай, тоді. Оскільки і, то.
В такому випадку, згідно з формулою (6), маємо
2. Якщо, то, і
Відповідь: і.
Приклад 8. Відомо, що і. Знайти.
Рішення. Беручи до уваги формулу (5) і умову прикладу, запишемо і.
Звідси випливає система рівнянь
Якщо перше рівняння системи помножимо на 2, а потім складемо його до другого рівняння, то отримаємо
Відповідно до формули (9) маємо. У зв'язку з цим з (12) випливає або.
Оскільки і, то.
Відповідь:.
Приклад 9.Знайти, якщо і.
Рішення. Оскільки, і за умовою, то чи.
З формули (5) відомо, Що. Так як, то.
отже, тут маємо систему лінійних рівнянь
Звідси отримуємо і. Беручи до уваги формулу (8), запишемо.
Приклад 10. Розв'язати рівняння .
Рішення. З заданого рівняння слід, що. Покладемо, що,, і. В такому випадку .
Відповідно до формули (1), можна записати або.
Так як, то рівняння (13) має єдиний підходящий корінь.
Приклад 11. Знайти максимальне значення за умови, що і.
Рішення. Так як, то розглянута арифметична прогресія є спадною. У зв'язку з цим вираз приймає максимальне значення в тому випадку, коли є номером мінімального позитивного члена прогресії.
Скористаємося формулою (1) і тим фактом, що і . Тоді отримаємо, що або.
Оскільки, то чи . Однак в цьому нерівностінайбільше натуральне число, Тому.
Якщо значення, і підставити в формулу (6), то отримаємо.
Відповідь:.
Приклад 12. Визначити суму всіх двозначних натуральних чисел, Які при діленні на число 6 дають в залишку 5.
Рішення. Позначимо через безліч всіх двозначних натуральних чисел, тобто . Далі, побудуємо підмножина, що складається з тих елементів (чисел) безлічі, які при діленні на число 6 дають в залишку 5.
неважко встановити, Що. очевидно, що елементи множини утворюють арифметичну прогресію, В якій і.
Для встановлення потужності (числа елементів) множини покладемо, що. Так як і, то з формули (1) слід або. Беручи до уваги формулу (5), отримаємо.
Наведені вище приклади розв'язання задач ні в якому разі не можуть претендувати на вичерпну повноту. Ця стаття написана на основі аналізу сучасних методів вирішення типових задач на задану тему. Для більш глибокого вивчення методів вирішення завдань, пов'язаних з арифметичною прогресією, доцільно звернутися до списку рекомендованої літератури.
1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / Под ред. М.І. Сканаві. - М .: Мир і Освіта, 2013. - 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної програми. - М .: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.
3. Мединський М.М. Повний курс елементарної математики в задачах і вправах. Книга 2: числові послідовності і прогресії. - М .: Едітус, 2015. - 208 с.
Залишилися питання?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
